钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十八卷目录

历法典第一百二十八卷

算法部总论

《隋书》律历志备数

五数者，一十百千万也。《传》曰：物生而后有象，滋而后有数。是以言律者，云数起于建子，黄钟之律，始一而每辰三之，历九辰至酉，得一万九千六百八十三。而五数备成，以为律法。又参之终亥，凡历十二辰，得十有七万七千一百四十七，而辰数该矣。以为律积，以成法除该积，得九寸，即黄钟宫律之长也。此则数因律起，律以数成。故可历管万事，综覈气象。其算用竹，广二分，长三寸，正策三廉，积二百一十六枚，成六觚乾之策也。负策四廉，积一百四十四枚，成方坤之策也。觚方皆经十二，天地之大数也。是故探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。一十百千万，所同由也。律度量衡历率，其别用也。故体有长短，检之以度，则不失毫釐；物有多少，受之以器，则不失圭撮；量有轻重，平之以权衡，则不失黍丝；声有清浊，协之以律吕，则不失宫商；三光运行，纪以历数，则不差晷刻；事物糅见，御之以率，则不乖其本。故幽隐之情，精微之变，可得而综也。夫所谓率者，有九流焉：一曰方田，以御田畴界域；二曰粟米，以御交质变易；三曰衰分，以御贵贱廪税；四曰少广，以御积幂方圆；五曰商功，以御功程积实；六曰均输，以御远近劳费；七曰盈朒，以御隐杂互见；八曰方程，以御错糅正负；九曰句股，以御高深广远。皆乘以散之，除以聚之，齐同以通之，今有以贯之。则算数之方，尽于斯矣。古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈圆周，盈数二丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间，密率圆径一百一十三，圆周三百五十五，约率圆径七周二十二又设开差幂，开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为缀术，学官莫能究其深奥。是故废而不理。
明《唐顺之本集》句股测望论
句股，所谓矩也。古人执数寸之矩，而日月运行，朓朒迟速之变，山溪之高深广远，凡目力所及，无不可知。盖不能逃乎数也。句股之法，横为句，纵为股，斜为弦。句股求弦，句股自乘，相并为实，平方开之，得弦。句股求股，句弦自乘，相减为实，平方开之，得股。股弦求句，同法。盖一弦实，藏一句一股之实；一句一股之实，并得一弦实也。数非两不行，因句股而得弦，因股弦而得句，因句弦而得股：三者之中，其两者显而可知，其一者，藏而不可知，因两以得三，此句股法之可通者也。至如远近可知，而高下不可知，如卑则塔影，高则日影之类。塔影之在地者可量，而人足可以至于戴日之下，而日与塔高低之数不可知，则是有句而无股弦，三者缺其二，数不可起，而句股之法穷矣。于是有立表之法，盖以小句股求大句股也。小句股每一寸之句为股长几何，则大句股每一尺之句，其长几何可知矣。此以人目与表，与所望之高，三相直而知之也。人目至表，小弦也；人目至所望之高，大弦也。又法：表为小股，其高几何，与至塔下之数相乘，以小句除之，则得塔高。盖横之则为小股，至塔之积；纵之则为小句，至塔顶之积。纵横之数，恰同是变句以为股，因横而得纵者也。句、股、弦三者有一可知，则立表之法可得而用。若其高与远之数皆不可知，而但目力可及，如隔海望山之类，则句、股、弦三者无一可知，而立表之法又穷矣。于是有重表之法，盖两表相去几何为影差者，几何因其差以求句股，亦可得矣。立表者以通句股之穷也，重表者以通一表之穷也，其实重表一表也，一表句股也，无二法也。

句股容方圆论

凡奇零不齐之数，准之于齐；圆准之于方，不齐之圆，准于齐之圆，不齐之方，准于齐之方，句股容圆准于句股容方。假令句五股五弦七，有奇，此为整方均齐无较之句股，其容方径，该得句之半，盖容方积得句股全积四分之一，其取全积时，句股分在两廉，则句五股五，五五二十五内，一半为句积，一半为股积。其求容方，则并句股为纵。一廉得十为长之数，得阔二五与原句相半，盖始初，则一半句积，一半股积，横列之而为正方。及取容方，则股积在上，句积在下，而为长方矣。其容方，所以止得半句者，则以句股之数均也。若句短股长，则容方以渐，而阔不止于半句矣。故大半为股积，小半为句积，其始横列时，句积与股同长而不同阔；其从列时，则股积之阔如故，而句积截长以为阔，则阔与股积同而长与股积异，与横列正相反。此变长为阔，而取容方之法也。其谓之句积股积者，从容方，径与句股相乘之数而名之也。若取容圆径，则用句股自之，而倍其数。以句股与弦并为法，盖容圆之径多于容方。方有四角，与弦相碍，故其数少。圆循弦宛转，故其数多。若以求容方，与求容圆相比，则积中恰少一段圆径与半弦和较相乘之数。弦和较者，勾股并，与弦相较之数也。假令勾五股五相乘，亦倍之，得五十。如求容方，则亦倍勾股为法，得二十，亦恰得二寸五分之径。如求容圆，则不用倍勾股为法，而用一句股并与一弦，是以一弦代一句股并也。以一弦代一句股并，恰少一弦和较，加一弦和较，则亦两句股矣。假令一句股，得十倍句股，得二十，是取容方之径。一句股得十，一弦得七，恰少一弦和较。三是取容圆之径，其所以少一弦和较者，圆径多于方径也。假令取容圆不用句股倍积，而止用句股本积，则宜用句股并为廉，而除去半弦和较，亦得或约得圆径。之后与半弦和较相乘添积，而以句股并为廉，不除亦得。或用句股倍积，用两句股相并为廉，而以全弦和较，与约得圆径相乘添积，亦得此改方为圆之妙。其机括只寓之于弦和较间也。至于句股积与弦积，亦只于句股较中求之，盖数起于参伍，参伍起于畸零，不齐也。假令股五句五齐数之句股，则句股幂倍之，即得弦幂。盖两句股积，而成弦积也。至于句短股长相乘之积，则成一长方倍之。而弦侧不当中径，亦不成弦幂，惟以一句股较积补之，乃能使长方为一正方，而得弦积。盖句股之差愈远，则长方愈狭；长方愈狭，则句股之差积愈多。故句股差者，所以权长方不及正方之数以相补，辏此补狭为方之法也。

弧矢论

凡弧矢算法，准之于矢，而参之于径。背径求矢之法，先求之背弦差，而半背弦差藏之，矢幂与径相除之中，倍矢幂，与径相除，则全背弦差也。半法简捷，故用其半幂者，方眼也。自乘之数必方，故谓之幂。假令径十寸截矢一寸，一寸隅无开方，即以一寸为矢幂，而以十寸之径除之，该得一分，是半背弦差一分。若二寸矢，开方得四寸，是为一寸者四，半背弦差得四分。三寸矢开方得九，是为一寸者九半背弦差得九分。皆准之于十寸之径。故一寸之幂，而差一分递，而上之视其幂，以为差之多少。又假令径十三寸矢，幂一寸，则以十三寸之径与一寸相除，每寸该差七釐七毫，弱以为半背弦差，若二寸矢，开方得四，该四个七釐七毫并之，得三分八毫，以为二寸矢半背弦差，此准之十三寸之径亦递，而上之视其幂，以为差之多少，盖径长则背弦之差减，故一寸矢而差止七釐有奇。径短则背弦之差增，故一寸矢而差及一分虽。其数有增减，而准之于一寸之幂与径相除，而以渐开之。每得一寸，则得元差，而相并以为背弦之差，则其法之一，定不可易者也。背径求矢、矢背求径诸法，消息管于是矣。至于径积求矢一法，古法以倍截积自乘为实四，因截积为上廉四，因直径为下，廉五为负隅，与矢相乘，以减下廉；而以上下廉与矢除实。今立一法，但以截积自乘为实，而遂以截积为上廉，直径为下廉，每一寸矢带二分五釐，二寸矢则带五分。四分而增其一，以减径其倍积四，因之法，悉去不用，颇为简捷。盖径积求矢，准于矢径之差。矢径差者，矢径互为升降也。矢一寸则该减径一寸二分五釐，矢二寸则该减径二寸五分，而矢径之差起于积数之不足。且夫圆准于方，而畸零之圆又准于均齐之圆。以方为率，径十寸，矢一寸，则积必是十寸；矢二寸，则积必是二十寸，但得积为实，只约矢与径为从平方开之，足矣。盖方无虚隅也。又以整圆为率，径十寸，矢五寸，则圆积必居方积四分之三，而以四之一为虚隅，足矣。盖虽有虚隅，而其数易准也。惟是矢以渐而短，则积以渐而减。有不能及四分之三虚隅，以渐而加。有不止于四分之一者矣，于是平方法与四分，而一为虚隅之法，皆不可用。惟是乘平方之积为三乘，而以四分之矢减五分之径，则不问矢之长短，积与虚隅之多寡，而其数皆至此，而均齐犹之平方之法。数有多寡，而减来减去必得一均齐之数，以为准。而后不齐者，皆齐此天然之妙也。夫积，自乘而为三乘方之实，则一整方耳，而矢数藏焉。及立法求矢，则分为上下两廉，而矢数著焉盖整方。所以聚积而分廉，所以散积，补短截长，而方圆斜直通融为一，此亦天然之妙也。假令径十寸，矢一寸，积该三寸五分，自乘该十二寸二分五釐，上廉三寸五分，下廉十寸，以三乘方开之，而一寸无开方，则上下廉如，元数共得十三寸五分，为廉法与一寸矢相乘，除实恰少一寸二分五釐，是为负隅之数。所以用每矢一寸，则带二分五釐为准，以减径，然后法实相当也。又如径十寸，矢二寸，积该十寸自乘该百寸，上廉十寸，下廉亦十寸，以三乘方开之，则须以矢数乘上廉，上廉该得三十寸。盖长十寸而高二寸之数，以矢数自乘得四而乘下廉，下廉该得四十寸。盖高十寸而阔四寸之数，上下廉共得六十寸。又以矢二寸为方面与上下廉相乘，除实共二个六十寸，该得一百二十寸，其数乃足。而元数止得百寸，恰少积二十寸，所以用二寸五分，以除下廉，则该止得七寸五分，为下廉。其下廉减去高二寸五分，中阔该四寸，则四个二寸五分该得十寸方，面二寸，与十寸相乘，共二十寸，恰勾负隅之数。所以二寸矢，则用二寸五分减法也。递而上之每寸，以二分五釐为准，盖虽径有极长极短，而一寸寸矢带二分五釐，减径之法，则定数也。径积求矢，矢积求径，径矢求积诸法，消息管于是矣。然此二法者，背弦之差，则随径而不随矢，所以均为一寸之矢。而其差则有多寡之不齐。矢径之差，则随矢而不随径，所以但得一寸之矢，则不问径之长短。而一例为差，此二法之异也。若以今法与旧法相通，今法不倍积。所以不用四因。四因者，生于倍积也，古法之五为负隅，即今之一寸带二分五釐也。盖以五乘之矢除，四因之径，则亦一寸矢而减一寸三分五釐之径也。然有廉而无方隅者，盖截积止得廉数也。即此二法，可见截弧截积之法，皆从边起，而准之于边，以渐消息之矣。既得一寸之定差，则虽倍蓰十伯错综变化，而皆不能出乎范围之外，此天然之妙也。故曰：握其机而万事理矣。其弦矢求径法，半弦自乘为实，而以矢除之，加矢得径，是径之数藏于半。弦幂与矢相除，而加矢之中也。今环而通之，以为背弦求矢诸法。背弦求矢，其半背幂中藏一个半弦幂，与矢相除，而加矢之径数，藏一个矢幂以径数相除，为背弦差之数，二数消息恰得半背幂本数，则矢数见矣。假令径十寸，矢一寸，半背弦差一分，半背数三寸一分，自乘得九寸六分一釐，其九寸为弦幂，所谓中藏半弦幂与矢相除，而加矢之径数，其六分一釐，乃是两半背幂，而空其一差，亦名差与半背相开方之数，即以与其差一分相乘之数。所谓一个矢幂，以径数相除，为背弦差之数也。二数消息，以尽背幂，而法可立矣。其背矢求弦法，若背矢，先求出径，而后以矢径求弦，则为简捷。盖半背幂中所藏弦幂，与背弦差幂。今以矢幂约径，而以径除矢幂，为背弦差。又以矢截径，以矢乘之，为半弦幂。二数消息恰得半背幂本数。则径数见矣。得径而弦在其中矣。其矢弦求背，亦须先得径，而后得背。盖半弦幂为实，乃以矢约径，以矢减之，以矢乘之，恰得半弦幂本数。则径数见矣。得径而背在其中矣。假令矢一寸半，弦三寸，自乘九寸，为半弦幂为实。以矢约寸得十寸，以矢一寸减之得九寸，以矢一寸乘之得九寸，恰与半弦幂相同，则为径十寸矣。此背弦矢径四者相乘除，循环无穷之妙也。至于径积求矢，则既然矣。因而通之积矢求径。假令径十寸，矢一寸，积三寸五分自乘，该十二寸二分五釐，乃以原积三寸五分为上廉，一寸之矢为下廉，以除自乘之积，馀数得八寸七分五釐，加矢带数一寸二分五釐，则为径十寸矣。又如径十寸，矢二寸，积十寸自乘，寸百为实，矢乘积得二十寸为上廉，再矢自乘得八为下廉，以二乘上廉，消积四十，以八消馀积六十，得七寸五分，加入矢带数二寸五分，则径十寸矣。径积求矢，则积为上廉，而径为下廉。矢积求径，则亦积为上廉，而矢为下廉，此其纵横往来相通之妙，而一乘上廉，再乘下廉，则三乘开方之定法也。积矢求弦，则倍其积，以矢除积，而减矢。弦矢求积，则并矢于弦，以矢乘积，而半其积，盖矢弦并之为长，以矢乘之，而得两积，故半之，而积可见也。倍之，则为矢弦相并之积，以矢除之，而得矢弦相并之本数，除矢而弦可见也。径矢求积，则先得弦，而后得积，盖以矢减径，以矢乘之四，因得数面弦幂藏于其中平方开之得弦乃以矢自乘以矢与弦相乘，合二数而半之，则得积矣。此又积矢径弦四者相乘除，循环无穷之妙也。其径背求矢法，则以半背自乘为实，而约矢以减径，以矢乘之，为半弦幂，而平方开之，以减背，其减馀之数，恰与矢之背弦差数相当，则矢数见矣。盖半背数中，藏一半弦数，藏一背弦差数，故合二数而消息之也。径十寸，矢一寸，半背三寸一分，十寸之径，每一寸矢该差二分，二寸矢该差四分，为定差。今约矢一寸，以减径，得九寸，以矢乘亦得九寸，平方开之得三寸，为半弦。以除半背，而馀一分，恰勾一寸差数，则矢之为一寸也，无疑矣。又如径十寸，半背四寸四分，约得矢二寸，以减径，馀八寸，以矢乘，得十六寸，为弦幂平方开之为四寸，以减半背四寸，而馀四分，恰得二寸，矢之定差，则矢之为二寸也，无疑矣。又法，半背幂，自乘为实，中藏一个半弦，自乘之数，一个背弦差与两半背，而空出一差，相乘之数，亦名背弦差与背相开方之数，以此两数与实相消，而矢数见矣。假令径十寸，半背三寸一分，其半背幂，该九寸六分一釐，约矢一寸，与径相减，相乘如前法，得九寸，以除实九寸，而以一寸之差一分，与两半背而空出一差之数，得六寸一分，与上差一分相乘，得六分一釐，并二数九寸六分一釐，除实，恰尽。以是知矢之为一寸也。又如半背四寸四分，自乘得十九寸三分六釐，为实约，矢二寸与径相减，相乘如前法，得十六寸，以除十六寸，而以二寸之差四分与两半背，而空出一差之数，得八寸四分，与上差四分相乘，得三寸三分六釐，并二数十九寸三分六釐，除实恰尽以是知矢之为二寸也此其法亦始于先得定差，而约矢与径，两相消息，以得矢也。其径数有长短，差数有多寡，亦准。此法而通之也，在先得定差，而已又法半径，自乘为径，幂半背，自乘为背幂，二幂相乘为实，乃约矢，以减径，以矢乘之，为半弦幂，与径幂相乘，以除实，又以径幂除其馀实，恰得矢数之定差，则矢可得矣。盖二幂相乘，中藏一个径幂，与弦幂相乘之数，藏一个径幂，与半背弦差幂相乘之数，而背弦差者，矢之所藏也。假令径十寸，矢二寸，背差八分，半径自乘，得二十五寸，半背自乘，得十九寸三分六釐，相乘得四百八十四寸，为实及约矢，得二寸，以减径，而乘之得十六寸，为弦幂，与径幂相乘，得四百，以除实，馀八十四寸；又以径幂除之，得三寸三分六釐，恰与二寸矢之定差相合，然二寸矢之定差四分，而乃有三寸三分六釐者，盖始求背幂之时，以两背数相乘，则四分寓，其间恰得此数，所谓差与背相开方之数也。以四分与八寸四分相乘，得三寸三分六釐，故定差四分，而其积则三寸三分六釐也。以八寸四分除之，则定差本数也。夫背弦差者，矢之所藏也。以差立法，古未有之，而实求矢之大机也。差径求矢，以差与径相乘，平方开之得矢；差矢求径，矢自乘以差，为从平方开之得径，而差与弦亦可以求矢径半弦之幂，矢除径，而矢乘径之数也。差者，矢幂而径除之之数也。先约径矢数与弦幂相同，而又以径除矢幂，与差数同，则得矢径差与背，求矢径减差，则得弦，即差弦求矢径也。积者，矢与弦并，以矢除而半之之数也。积弦求矢，倍积为实，约矢而加之于弦，为从方，以矢为法除之，则得矢也。矢积求弦，矢自乘，而置虚积与元积相当，然后减去矢自乘之幂，而以矢除其虚积与元积之并，则得弦也。假令矢一寸，积三寸五分，矢自乘，得寸添积二寸五分，乃与元积相当。然后减去矢自乘之寸，馀六寸，以矢除之，得弦六寸也。矢二寸，积十寸，矢自乘，得四寸，加虚积六寸，与元积相当。减去矢自乘之寸，馀十六寸，以矢除之，得弦八寸也。如不以矢径求弦得积，而遂以矢径求积，则矢每寸截径寸二分五釐，而以矢自乘，再乘，以乘截馀之径，为径积，然后以径约积，而以积与矢自乘之数相乘，添入径积，合为积幂，而复以约积自乘，亦与前积幂同数，则积亦可得矣。然不如得弦而后得积之为简捷也。至于残周与弦求矢，则亦用半弦自乘为实，而约出矢数，以除半弦幂，而加矢为径，乃以径补出全周之数，而以半背数除半弦数，馀为半背弦差，恰得矢之定差，则矢可得矣。假令弦六寸，残周二十三寸八分，则以半弦自乘，得九为实，而约出矢一寸，以除实而加之，得十寸为径，该周三十寸，除残周数，得半背三寸一分，除半弦三寸，而馀一分，恰得一寸矢之定差，则矢一寸也。又如弦八寸，残周二十一寸二分，半弦自乘，得十六为实，约出矢二寸，以除实而加之，得十寸为径，该周三十寸，除残周数，得半背四寸四分，除半弦四寸，而馀四分，恰得二寸，矢之定差，则矢二寸也。数虽如是，而起算极周折惟求之，弦、矢、径三相权，则其数可准，盖径、矢求弦，则以矢减径，以矢乘之，为半弦幂径、弦求矢，则以半弦自乘为实，而以径为益方，以矢减益方，而相乘，除实，亦是以矢减径，以矢乘之，而得半弦幂也。弦、矢求径，则以半弦自乘，以矢除之，加矢而得径，由是三者辗转求之，则是半弦幂，中藏却以矢减径，以矢乘之之定数，以是约出矢径，而因径以为周，减其残周，而得背。以半背与半弦相较，而得差，恰与矢之定差相同，则矢数无所失矣。其有不合，则更约之，此数虽若眇茫，然准之，于以矢减径，即以矢乘，必须与半弦幂相当，则亦未尝无绳墨也。此意元之又元也，至神莫知也，积也，矢也，径也，弦也，背也，残周也，差也，凡七者转相为法，而转相求，共得三百二十六法，而后尽浑然一圆圈，而中含错综变化，乃至于此。呜呼。岂非所谓至妙至妙者哉。

分法论

差分方程，盈朒粟米，总是一分法也。物有多寡，价有贵贱，两物相形，已知物之孰贵孰贱，各有定价矣。若使两物总共若干，两价亦总共若干，则两物混杂。虽则两物混杂，而总价固相差也。于是以价权物，则因价之贵贱而差之也。未知两物之孰贵孰贱，而但知两物相参伍之总价，若使此三而彼五，则价共增若干。此五而彼三，则价共减若干，则两价混杂，而物数固相形也。于是以物权价，则因物之参伍，而推出价之贵贱，谓之方程。方程者，言物价相检，括有定式，而不可乱也。差分方程之所不能尽，于是有盈朒。盈者有馀，朒者不足，盈朒者，因其外露畸零可见之数，而推知其中藏隐，杂不可见之数，以据末颖而窥全，锥也。假令物共若干，两价共若干，两两物混杂，而法有不尽于差分也，于是而盈朒之。假令总是贵物，则原总价不足若干；总是贱物，则原总价有馀若干。于是推乘，以齐其数。以不足之数乘贱物，以有馀之数乘贵物，两物各得其所乘之数，以为实，而并有馀；不足之数，以为法，而各归之，则物之多寡，可得矣。此差分之盈朒也。未知两物之孰贵孰贱，而但知此三而彼五，则价共增若干。此五而彼三，则价共减若干。两价混杂，而法有不尽于方程也，于是而盈朒之。假令此贱若干，彼贵若干，则原总价有馀几何。此贵若干，彼贱若干，则原总价不足几何。于是维乘，以齐其数，以有馀乘。此贵彼贱，亦以不足乘。彼贵此贱，令两贱自相减，两贵自相减，为实有馀。不足，亦自相减为法，则价之贵贱可得矣。此方程之盈朒也。差分以价，权物方程，以物权价，差分露价而混物，方程露物而混价，露价而混物，故以价相辖；露物而混价，故以物相参。而盈朒通乎其间矣。至于物有以多而易寡，价有以贵而易贱，于是有粟米，则乘除互换之，间而多遂与寡相当，贱遂与贵相当，而其数齐矣。以粟易米，则以粟率乘，以米率除；以米易粟，则以米率乘，以粟率除；以贵物易贱物，则以贵率乘，以贱率除；以贱物易贵物，则以贱率乘，以贵率除；以贱物易，皆以本率乘，以所易之率除。谓之粟米者，因粟米以名诸物也。

六分论

数欲以繁而从简，而数之有分者，不可以常法约也。于是有约分之法，则以子减母，以母减子，至于等，而后止。等数者，母子之数所共止齐也，必相减，而后得之，所谓减损求原也。然后以等约母，以等约子，而繁者简矣。数有以少而合多，以聚其零散；亦有以少而减多，以较其多寡。而数之有分者，不可以常法，合而减也，于是有合分。课分之法，分母不同，分子亦异，于是母互乘子，以齐其数。假令二分之一与三分之一相乘，二分之母数本少也，与子之二数相乘而为四，则虽少而多。三分之母数本多也，与子之数相乘，而为三，则虽多而少一，互乘而裒多，益寡之义著矣。诸分皆母互乘子而合，分则相并以为实，所以为合也。课分，则相减，以为实，所以为减也。其实有相乘相减之异，而其法则皆以母相乘，盖其始皆母互乘子，以为实，则其母亦互相乘，以为法也。合分观其所总，而聚散著矣。减分观其所馀，而多寡著矣。数有多寡损益以取平，而数之有分者，不可以常数平也。于是有平分之法。亦母互乘子而副置之，其一相并以为平实，其不相并而据诸分之位数，凡几谓之列数名，以列数乘其不相并之分子，以为列元，是三位相并，则以三为列数。原是四位相并，则亦以四为列数，以三数乘，不相并，则亦与三数相并相当矣。以四数乘，不相并，则亦与四数相并相当矣。但相并，则诸分。总得其相乘之数。不相并，则诸分各得其相乘之数耳。以各较总而有馀，不足见矣。故平实者，总也；列实者，各也。非总无以准各，非各无以自准，有总有各而有馀，不足见矣。列实有馀者，以平实准之，而得其减数。列实不足者，以平实准之，而得其益数。减有馀之列，实益不足之列实，皆齐于平实而后止，是若齐于总也。于是以诸母相乘犹之母互乘子也。亦以列数乘，诸母之相乘者，犹之列数乘诸分子也，则分母恰与分子相当。以为法，以命平实，而诸分平矣。乘分者，乘法之有分者也。除分者，除法之有分者也。其乘分、除分皆用通分法。假如有银十两三分，两之二，则无分之全数，与有分之零数，相碍而不相通。于是以分母三乘全两，其十两得三十分，带分子二，共三十二分。所谓分母乘其全分子，从之也。通分，则全数与零数均为一法。而不相碍通分之后乘分，则以各通分相乘，为实分母相乘，为法除分，则以实分母乘法，以法分母乘实，而法与实之数始相当，而无偏，亦所谓变而通也。算经曰：学者不患乘除之为，难而患分法之为，难然必精于无分之乘除，而后能通于有分之乘除，非二致也，法有浅深而已矣。天地之间聚散分合，而已天气下降，地气上腾，而天地合。天气上腾，地气下降，而天地判合。则气发泄于其外判，则气凝结于其中其分，所以为合也。兵之用，聚散分合而已矣。分不分，谓之縻军；聚不聚，谓之孤旅。然聚易，而分难，其分所以为聚也。韩信多多益辨，兵家以为分数明也。数之用聚散分合而已矣。聚小以为大，谓之乘；散大以为小，谓之除。聚小以为大，则无畸零不尽之数；散大以为小，则多有畸零不尽之数矣。是以乘法省，而除法繁；乘法易，而除法难也。可知矣。

算法部艺文

明算　　　　　　　　　　册府元龟

自隶首作算，容成造历，后之学者，不绝英华。或妙尽其能，或略穷其理。忘寝废食，精骛心游。耳不闻于雷霆，行或坠于坎窞。尝龆龀而耽味，射隐伏以冥符。小则括毫釐之形，大则周天地之数。聊屈指而洞明，运只著而无爽。若非苦志名山，寻师远道，则何以臻此哉。

测圆海镜序　　　　　　　　　李冶

数本难穷，吾欲以力强穷之，彼其数不惟不能得其凡，而吾之力且惫矣。然则数，果不可以穷耶。既已名之数矣，则又何为而不可穷也。故谓数为难穷，斯可谓数为不可穷。斯不可，何则彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之，何也。已苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。予自幼喜算数，恒病夫考圆之术，例出于牵强，殊乖于自然。如古率、徽率、密率之不同，截弧、截矢、截背之互见。内外诸角，析会两条，莫不各自名家，与世作法，反反覆研究，而卒无以当吾心焉。老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎而乡之，病我者始去之而无遗馀。山中多暇客，有从余求其说者。于是乎，又为衍之，遂累一百七十问。既成编，客复目之《测圆海镜》，盖取夫天临海镜之义也。昔半山老人集唐百家诗选，自谓废日力于此，良可惜。明道先生以上蔡谢君记诵，为玩物丧志，夫文史尚矣。犹之为不足贵，况九九贱技能乎。嗜好酸咸，平生每痛，自戒敕，竟莫能已。类有物凭之者，吾亦不知其然而然也。故尝私为之解，曰：由技进乎道者，言之、石之、斤扁之，轮庸非圣人之所予乎。览吾之编，察吾苦心。其悯我者，当百数；其笑我者，当千数。乃若吾之所得，则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉。

算法部纪事

《通鉴前编》：黄帝有熊氏，命隶首作数。〈注〉《外纪》曰：帝命隶首定数，以率其羡，要其会，而律度、量、衡，由是而成焉。
《史记》：张苍明习天下图书计籍，又善用算律历，故令苍以列侯，居相府，主领郡国上计者。
《册府元龟》：汉许商为博士，治《尚书》为算，能度功用，尝著《五行论历》〈注〉《艺文志》，有《许商算术》二十六卷，《杜忠算术》十六卷。
桑弘羊，武帝时以计算。羊年十三为侍中。
耿寿昌，宣帝时为大司农丞，以善算为算工，得幸于帝。
《后汉书·冯勤传》：勤为司徒，八岁善计〈注〉计算术也。《册府元龟》：张衡为尚书，尤致思于天文阴阳历算。王子山与父叔师，到泰山，从鲍子真学算。
《西京杂记》：汉安定，皇甫嵩、真元菟、曹元理并善算术，皆成帝时人。真尝自算其年寿七十三，于绥和元年正月二十五日晡时死，书其屋壁，以记之。二十四日晡时死，其妻曰：见算时，常下一算，欲以告之。虑脱有旨，故不告。今果先一日也。真又曰：北邙青冢上，孤槚之西，四丈所凿之入七尺，吾欲葬此地。及真死，依言往掘，得古时空椁，即以葬焉。
曹元理，尝从真元菟友人陈广汉，广汉曰：吾有二囷米，忘其石数，子为吾计之。元理以食箸十馀转，曰：东囷七百四十九石二斗七合，西囷六百九十七石八斗。遂大署囷门，后出米，西囷六百九十七石七斗九升中，有一鼠大堪一升；东囷不差圭合。元理后岁复遇广汉。广汉以米数告之元理，以手击状，曰：遂不知鼠之食米，不如剥面皮矣。广汉为之取酒鹿脯数脔，元理复算曰：甘蔗二十五区，应收一千五百三十六枚；蹲䲭三十七亩，应收六百七十三石千；牛产二百犊；万鸡将五万雏。羊豕鹅鸭皆道其数；果蓏殽核悉知其所。乃曰：此资业之广，何供具之褊。广汉惭，曰：有仓卒客，无仓卒主人。元理曰：俎上蒸肫一头，厨中荔枝一盘，皆可以为设。广汉再拜谢罪，入取，尽日为欢。其术后传南季，南季传项滔，项滔传子陆，皆得其分数，而失其元妙焉。
《后汉书·郑元传》：元以永建二年七月戊寅生，八九岁能下算乘除。年十一二，随母还家，腊日宴会，同时十许人皆美服盛饰，语言通了。元独漠然状，如不及。母私督数之，乃曰：此非元之所志也。
《异苑》：郑元在马融门下，三年不相见。高足弟子，传授而已。常算浑天不合，问诸弟子，弟子莫能解。或言：元。融召令算，一转便决，众咸骇服。及元业成辞归，融心忌焉。元亦疑有追者，乃坐桥下，在水上据屐。融果转式逐之，告左右曰：元在土下水上，而据木，此必死矣。遂罢追。元竟以免。一说郑康成师马融，三载无闻。融鄙而遣还。元过树阴，假寐，见一老父，以刀开腹心，谓曰：子可以学矣。于是寤而即返，遂精洞典籍。融叹曰：诗、书、礼、乐，皆已东矣。潜欲杀元。元知而窃去。融推式以算元，元当在土木上，躬骑马袭之。元入一桥下，俯伏柱上。融踟蹰桥侧，云：土木之间，此则当矣。有水非也。从此而归。元用免焉。
《册府元龟》：郑元造太学，受业师事京兆第五。元先始通《春秋》、《三统历》、《九章》、《算术》，又因卢植事马融，融素贵元。在门下三年，不得见会。融集诸生，考论《图纬》，闻元善算，乃召见。元因质诸疑义，后徵大司农，不起〈注〉三统历，刘歆所撰九章、算术，周公作凡有九篇：方田一，粟布二，差分三，少广四，均输五，方程六，旁要七，盈不足八，钩股九。
《三国·魏志·王粲本传》：粲子仲宣，山阳高平人也。性善算，作算术，略尽其理。
《册府元龟》：吴顾谭为左节度，每省簿书，未尝下筹。徒屈指心计，尽发疑谬。下吏以此服之。
赵达，明算术，事大帝。帝令达算：作天子之后，当复几年。达曰：高祖建元十二年，陛下倍之。帝大喜，左右称万岁。果如达言。黄武三年，魏文帝在广陵，大帝令达算之。曰：曹丕走矣。虽然吴衰庚子岁。帝曰：几何。达屈指而计之，曰：五十八年。帝曰：今日之忧，不暇及远，此子孙事也。达治九宫一算之术，究其微，旨是以能应机立成，对问若神。至计飞蝗射隐伏，无不中。效或难。达曰：飞者，固不可校。谁知其然，此殆妄耳。达使人取小豆数斗，播之席上，立处其数验，覆果信。尝过知故，知故为之具食。毕，谓之曰：仓卒乏酒，又无佳肴，无以叙意，如何。达因取盘中只箸，再三纵横之，乃言：卿东壁有美酒一斛，又有鹿肉三斤，何以辞无。时适坐有他宾，内得主人情。主人惭，曰：以卿善射有无，欲相试耳，竟效如此。遂出酒酣饮。又有书简上作千万数，著空仓中封之，令达算之。达处如数，云但有名无实。其精微若是。达又閒居，无为引算自较，乃叹曰：吾算讫尽，某年月日其终矣。达妻数见达效，闻而哭，泣达，欲弭妻意，乃更步算，言：向者谬误耳，尚未也。后如期死。大帝闻达有书，求之不得。乃录问其女，及发达棺，无所得。法术绝焉。
宋关康之，字伯愉，河东杨人。世居京口，寓属南平昌，少而笃学，算术妙尽其能。太宗诏徵，不起。
祖冲之为长水校尉，善算，注九章，造缀术数十篇。后魏安丰王猛，子延明，为尚书右仆射。以河间人信都芳，工算术，引之在馆，共撰古今乐事、九章、十二图。高允为太常，明算法，为算术三卷。
殷绍，长乐人。少聪敏，好阴阳术数。游学诸方。达九章、七曜。太武时，为算生博士。
《北齐书·信都芳传》：芳，河间人。少明算术，为州里所称。有巧思，每精研究，忘寝与食，或坠坑坎。尝语人云：算之妙，机巧精微。我每一沉思，不闻雷霆之声也。其用心如此。以术数干高祖，为馆客，授参军丞相仓曹。祖珽谓芳曰：律管吹灰，术甚微妙，绝来既久。吾思所不至，卿试思之。芳遂留意十数日，便云：吾得之矣。然终须河内葭莩灰。后得河内葭莩，用其术，应节便飞，馀灰即不动也。不为时所重，竟不行，故此法遂绝云。《册府元龟》：信都芳，初为魏安丰王延明所馆。延明家有群书，欲抄集五经算事，为五经宗。又聚浑天欹器地动铜乌候风诸图。为器准，并令芳算之。会延明南奔，芳乃自撰注。芳注重差句股，撰史宗，仍自注之，合数十卷。
北齐许遵，明易，善算。高祖引为馆客。后文宣无道，日甚遵，语人曰：多折算来，吾筮此狂夫，何时当死。遂布算满床，大言曰：不出冬初，我乃不见。遵果以九月死。隋萧吉，字文休。为上仪同。博学多通，尤精阴阳算术。刘炫为旅骑尉，撰算术一卷行于世。
唐傅仁，均为太史令，善历算。
李淳风为太史令，尤明天文历算阴阳之学。与算学博士梁，永太学助教王真儒等，注释五曹、孙子等十部算经，分二十卷，显庆元年左仆射于志宁等奏之，付国学行用。
僧一行，姓张氏，公谨之孙也。初求访师，资以穷。大衍至天台山国清寺，见一院古松，数十门有流水。一行于门屏间，闻院僧于庭布算声，而谓其徒曰：今日当有弟子，自远求吾算法，已合到门，岂无人导达也。即除一算，又谓曰：门前水当却西流，弟子亦至。一行承其言而趋入，稽首请法，尽授其术。而门前水果却西流。
《稽神录》：后唐表弘禦，为云中从事，尤精算术。同府令算庭下桐树叶数，即自起量树，去地七尺围之，取围径之数布算。良久曰：若干叶众，不能覆。命撼去二十二叶。复使算，曰：已少向者二十一叶矣。审视之，两叶差小，止当一叶耳。节度使张敬达有二玉碗，弘禦量其广深，算之，曰：此碗明年五月十六日巳时当破。敬达闻之，曰：吾敬藏之，能破否。即命贮大笼藉，以衣絮锁之库中。至期，库屋梁折，正压其笼，二碗俱碎。太仆少卿薛文美同府亲见。
《宋史·徽宗本纪》：大观三年冬十一月丁未，诏算学，以黄帝为先师，风后等八人，配飨巫咸等七十人从祀。