钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百十四卷目录

历法典第一百十四卷

算法部汇考六

《算法统宗二》算义总二乘法〈留头乘〉

按：因与乘一也。单位者，谓之因。位数多者，谓之乘。特以此而异其名耳。
原有破头乘，掉尾乘，隔位乘，总不如留头乘之妙，故皆不录。
歌曰

下乘之法此为真，起手先将得二因。三四五来乘遍了，却将本位破其身。
用留头乘法，若依盘式小九数位次先后不一，难以挨次。今将暗马数以别先后，庶不乱矣。〈暗马式附前，用字凡例中。〉假如今有布四百二十五疋，每疋价银二钱五分。问共该银若干。
答曰：一百零六两二钱五分。
法曰：置布为实。以每疋价银二钱五分为法，乘之合问。定位法只认疋下一位，定钱依次逆数，升上合得也，此所谓因乘俱向下位推。
图缺还原〈用归除法详后〉

二一添作五〈无除〉　起一下还二　四五除二十逢四进二十　二五除一十　二一添作五　五五除二十五
假如今有豆二十八石六斗，每斗价银三分四釐五毫。问共该银若干。
答曰：九两八钱六分七釐。
法曰：置豆为实，以每斗三分四釐五毫为法，乘之合问，定位同前。
图缺还原〈用归除法详后〉

逢六进二十　二四如除八　二五除一十　三二六十二　逢六进二十　四八除三十二　五八除四十　三二六十二　四六除二十四　五六除三十
假如今有银三十五两八钱，每银一两籴米二石四斗六升八合。问该米若干。
答曰：八十八石三斗五升四合四勺。
法曰：置总银为实，以每两籴米数为法，乘之合问。定位同前。
图缺还原〈用归除法详后〉

逢六进三十　三四除一十二　三六除一十八三八除二十四　二一添作五　四五除二十　五六除三十　五八除四十　二一添作五　逢六进三十　四八除三十二　六八除四十八　八八除六十四
假如今有米三百四十五石，每石价银四钱，外牙用三釐。问该银若干。
答曰：一百三十九两零三分五釐。
法曰：置总米为实，以每石价并牙用共四钱零三釐为法，乘之合问。定位同前。
图缺还原〈用归除法详后〉

四一二十二　逢四进一十　三三如除九　四一二十二　逢八进二十　三四除一十二　四二添作五　三五除一十五
假如今有田二千三百四十五亩，每亩科粮一斗八升七合。问该粮米若干。
答曰：四百三十八石五斗一升五合。
法曰：置总田为实，以每亩科米一斗八升七合为法，乘之合问。
图缺还原〈用归除法详后〉

逢二进二十　二八除一十六　二七除一十四逢三进三十　三八除二十四　三七除二十一逢四进四十　四八除三十二　四七除二十八逢五进五十　五八除四十　　五七除三十五假如今有直田长三十六步三分，阔七步四分。问该田积若干。
答曰：二百六十八步六分二釐。
法曰：置长为实，以阔七步四分为法，乘之合问。定位法只认步下一位是法首步，数逆上合得也。
图缺还原〈用归除法详后〉

七二下加六　逢七进一十　三四除一十二　七四五十五　逢七进一十　四六除二十四　七二下加六　逢七进一十　三四除一十二
假如今有田长七十五步，阔三十二步。问该积步若干。
答曰：二千四百步。
法曰：置长为实，以阔为法，乘之合问。定位法只认原实步下一位，定法首位十逆升合得。
图缺
假如今有方田长阔各一百二十六步。问该积步若干。
答曰：一万五千八百七十六步。
法曰：置方面一百二十六步为实，亦置一百二十六步为法，即自乘之合问。
图缺还原〈用归除法详后〉

逢一进一十　一二如除二　　一六如除六　　逢二进二十　　　二二如除四　　二六除一十二　逢六进六　　　　　二六除一十二　六六除三十六
归除

凡二至九位数多者，用此。置物为实，以价或分者为法，先将法首对实首，呼九归歌，或进或倍后将法次位对所归数，呼九九数除之，用乘法还原。
歌曰

惟有归除法更奇，〈算学中惟归除最妙〉将身归了次除之〈先将本位呼归法，归之其次不拘几位俱呼小九数除之。〉有归若是无除数〈若本位有子可归，次位无子可除也。〉起一还将原数施〈如一归本位起，一下位还一，如二归本位起，一下位还二，馀仿此。〉或遇本归归不得{{Annotation|如一归只一子，二归只二子，因下位无子，可除，故不能归也。馀仿此。}}撞归之法莫教迟〈如一归见一，无除加八，撞凑作九下位加一，如撞归讫，除数不足，照前用起一还原法。〉若人识得其中意〈如学者，晓得归除中间之理，深奥也。〉算学虽深可尽知〈云算者，用心习学，可以尽识者矣。〉
撞归法

〈一归〉见一〈原实〉无除作九〈得数〉一〈馀数后仿此〉〈二归〉见二无除作九二　〈三归〉见三无除作九三〈四归〉见四无除作九四　〈五归〉见五无除作九五〈六归〉见六无除作九六　〈七归〉见七无除作九七〈八归〉见八无除作九八　〈九归〉见九无除作九九已有归而无除用起一还原法〈即是起一还将原数施也〉〈一归〉起一〈得数〉下还一〈原实〉○〈本位起一下位还一，若二归起一则下位还二，馀仿此。〉〈二归〉起一下还二　　〈三归〉起一下还三
〈四归〉起一下还四　　〈五归〉起一下还五
〈六归〉起一下还六　　〈七归〉起一下还七
〈八归〉起一下还八　　〈九归〉起一下还九
撞归者，有归而无除之谓也，予以法实盈亏进退之理推之，盈则有归，照法首之数进于上位，成十亏则无除，起一退于下位，照法首之数还原。先哲有云：见一无除作九，一之类，此正谓有归无除之秘法，知此可与论制算纂法之深奥矣。
假如今有银二百四十三两，籴米每斗价银五分四釐。问共该米若干。
答曰：四百五十石。
法曰：置总银为实，以每斗价五分四釐为法，归除之合问。定位法只认实上原首位起往后顺数至分。遇法首位是每斗三分则止，前一位得令是斗，逆数升上合得后仿此。
图缺还原〈用乘法〉

四五得二十　五五二十五　四四一十六　四五得二十
假如今有银二百六十五两三钱二分，作十二人分之。问每人该银若干。
答曰：二十二两一钱一分。
法曰：置银为实以十二人为法，归除之合问。定位与前归法同。
图缺还原〈用乘法〉

一二如二　一一如一　一二如二　一一如一二二如四　一二如二　二二如四　一二如二假如今有米一百二十九石九斗六升，作一十九人分之。问每人该米若干。
答曰：六石八斗四升。
法曰：置米为实，以一十九人为法，除之合问。
图缺还原〈用乘法〉

四九三十六　一四如四　八九七十二　一八如八　六九五十四　一六如六
假如今有银二十六两六钱，买猪二十八只。问每只该银若干。
答曰：九钱五分。
法曰：置银为实，以猪二十八只为法。除之合问。
图缺还原〈用乘法〉

五八得四十　二五得一十　八九七十二　二九一十八
假如今有金二两八钱三分五釐，作四百零五人分之。问每人该金若干。
答曰：七釐。
法曰：置金为实，以人数为法，除之合问。定位法多实少，先从原实首位起往前逐位逆，数升上至呼遇法首位百则止，向前一位得令，是两。降下合得。
图缺还原〈用乘法〉

五七三十五　四七二十八
假如今有米二十二石五斗二升，作五千六百三十人分。问每人该米若干。
答曰：四合。
法曰：置米为实，以人数为法，除之合问。定位法多实少同前。
图缺还原〈用乘法〉

四六二十四　三四一十二　四五得二十
假如今有银一千零九十七两二钱五分，作五百七十人分之。问每人该银若干。
答曰：一两九钱二分五釐。
法曰：置银为实，以人数为法，除之合问，定位法先数原实千顺下至法首百前，位定两合得。
图缺还原〈用乘法〉

五七三十五　五五二十五　二七一十四　二五得一十　七九六十三　五九四十五　一七如七
一五如五

假如今有银四钱八分，每银七分五釐换赤金一分。问该金若干。
答曰：六分四釐。
法曰：置总银为实，以七分五釐为法，除之合问。
图缺还原〈用乘法〉

四五得二十　四七二十八　五六得三十　六七四十二
假如今有钱五千六百四十文，买梨一万六千九百二十枚。问每钱一文买梨若干。
答曰：三枚。
法曰：置梨为实，以钱数为法除之合问。
图缺还原〈用乘法〉

三六一十八　三四一十二　三五一十五
假如今有银五万五千三百八十五两，作一千零七人分之。问每人该银若干。
答曰：五十五两。
法曰：置银为实，以人数为法，除之合问。
图缺还原〈隔二位乘〉
五七三十五　一五如五　五七三十五　一五如
五
加法

凡乘法首位有一数者用此，置所有物为实，以所求价为法，加之。然加法不用首位一数，只以次位馀数加之，言十就身，加十言如次位加，如亦从末位算起用减法还原。
歌曰

加法仍从下位先，如因位数或多焉。十归本位零居次，一外添加法更元。
假如今有珍珠二百六十八颗，每颗价银一两一钱。问该银若干。
答曰：二百九十四两八钱。
法曰：置珠为实，以每颗价除价首一两，只以次价一钱为法从末位加起，次第而上。定位只认颗本位，定两十颗上，定十两百颗，上定百两。所谓加减只须认本位也馀仿此。
图缺还原〈用减法即定身除也〉

一二减去二〈九去二存七〉　一六减去六〈除六下还四〉　一八减去八〈恰尽〉
假如今有绢九丈八尺，每尺价一钱三分五釐。问共该银若干。
答曰：一十三两二钱三分。
法曰：置绢为实，以每尺除价首一钱只以三分五釐为法，加之，定位只认尺本位，定钱丈上定两，十丈定十两，合得。
图缺
假如今有罗二百四十六疋，每疋价银一两二钱七分五釐。问该银若干。
答曰：三百一十三两六钱五分。
法曰：置罗为实，以每疋除价首一两只以二钱七分五釐为法，加之。定位只认疋位上定两依次逆升合得。
六七加四十二　五六加三十　二六加一十二四七加二十八　四五加二十　二四如加八　二七加一十四　二五加一十　二二如加四
假如今有米四万六千七百五十一石，每石加耗七升。问共该米若干。
答曰：正耗共该五万零零二十三石五斗七升。法曰：置正米为实，以耗米七升为法，隔位加之合问。一七加七〈先从石上起，呼于隔位升上。〉　五七加三十五〈石上加三斗下位加五〉　七七加四十九〈十位加四，下位加九，九退一，成一十。〉　六七加四十二〈百位加四，四下五，除一下位加二，二起八成一十。〉　四七加二十八〈千位加二下位加八〉
按因乘加三法，其名虽殊而理则一，但加法须记实位，不动本身学者宜当详审不致差误也。
减法

凡归除遇法首位有一数者用此，所谓定身除者，先定本身之位，而后减除也。置所有物为实，以所求价为法，与身数相呼，九九之数，言十就身，言如隔位次第如法减而除之。〈先从实首位起，用加法还原〉定位法因实位本身减去，而无逢进比归除而降一位。今将法首一数除而不用，亦可以抵逢进升位也。
歌曰

减法须知先定身，得其身数始为真。法中有一何曾用，身外除零妙入神。
假如今有银二百九十四两八钱，买绢每疋价银一两一钱。问该绢若干。
答曰：二百六十八疋。
法曰：置总银为实，以每疋除价首一两不用，只以次位一钱为法，定身减而除之合问。定位此是求总之法，数原实顺下至钱则止，前一位是疋也，逆数升上合得。
图缺
假如今有米一千零三十八石，作一百七十三人分之。问每人该米若干。
答曰：六石。
法曰：置米为实，以人数除首位百不用，只以七十三人为法，定身除之合问。定位此是求零之法，先数原实起顺下至遇法首十数则止，前一位得令，是石也。
图缺
假如今有金八十九两三钱八分，令金户一百零九人办纳。问每人各该若干。
答曰：八钱二分。
法曰：置金为实，以金户除百不用只以九人为法，隔位定身除之合问。
图缺求一乘除法

按古有之，大位因考其法，用倍折之，繁难不如归除之简易，故今于此而废之，使学者专心于乘除加减之法，而无他岐之惑焉。
商除

商除者，商量而除之也。如定商太过，则总数不足，而无除如定商不及，则总数有馀务要酌量彀除方，可然此一术亦兼归除，归除既通，不必学此，但开方之法必用商除，演此而为梯阶，其法不可废也。
歌曰

数中有术。号商除，商总分排两位推，惟有开方，须用此续商，不尽命其馀。
假如今有军士六百名，分粮三百九十四石二斗。问每名该若干。
答曰：六斗五升七合。
法曰：置粮米于盘中为实，以军士六百名于右为法，商除之初商六十于左位，就以左右相呼，六六除实三百六十石，馀实三十四石二斗次商五升于左位。六斗之次就以次商五升对，右六相呼，五六除实三十石，馀实四石二斗，再商七合于左位五升之下，就以左七对右六相呼，六七除实四斗二升，恰尽。今列布算式于后。
商除式样

学者但看初商，即看初除，又看次商，又看次除，复看再商。复看再除，挨次位数则不乱矣。
图缺
假如今有芝麻六十七石，榨得油三千零一十五斤。问每石该油若干。
答曰：四十五斤。
法曰：置油数于盘中为实，以麻六十七石于右为商，除法初商四十斤于左，就以左右相呼，四六除实二千四百，又呼四七除二百八十斤馀实三百三十五斤，次商五斤于初商四十之下位，就以五斤对右六相呼，五六除，三百又呼五七，除三十五斤，恰尽合得。
约分法

约以分子通以分母也，法曰可半者，半之不可，半者以少减多，更相减损。求其有等，以等约之，若数如四分两之一者二。钱五分也，此为有尽，若数如三分两之一者三钱三分三釐三毫有零也。此所谓不尽必须约分之法。
解曰：约分者，谓用除法，多有畸零数之不尽，带有几千百分者以约去其繁，而就其简也，或有不可约者。

法曰：数多为母，数少为子，子母之数两列互相减损，至同就以此数为法，各以法除子母，原数却无畸零。所谓齐不齐而致其齐也，如人分银以至数之不能尽者，亦有物之不可分者，不能呼数，必以法而约之。
歌曰

数有参差不可齐，须凭约法命分之，法为分母实为子，不与差分一例推。
又歌

约分须分子母名，更相减损至同成。就把其同为法则，除来各数自无零。
假如今有物九十八，除了四十二。问约得若干。答曰：七分之三。法曰：数多为母，数少为子，置母九十八内减去二个四十二，馀一十四，另置子四十二减去二个一十四亦馀一十四，谓之子母相同，就以十四为法，除母九十八，是七个一十四，另以十四为法，除子四十二是三个一十四，故曰七分中除三。馀仿此。
假如今有二十一分之一十四。问约得若干。
答曰：三分之二。
法曰：置母二十一，减去子一十四，馀七另置子一十四减去七，亦馀七。就以七为法，除母二十一，得三，又以法七，除子一十四，得二合问。
假如今有丝二百五十二斤，卖过一百四十四斤。问约得若干。
答曰：七分斤之四。
法曰：置母二百五十二，减去子一百四十四，馀母一百零八，反将原子一百四十四减去馀母一百零八馀子三十六，又将馀母一百零八减去馀子二个三十六馀母亦三十六，为之更相减损，就以母子同数。为法以除原母原子各得分数。
假如今有鸭七十二只，生子六十三个。问约得若干。答曰：八分个之七。〈即是八只鸭生七个子也。〉
法曰：列子母数更相减损，置母七十二减去子六十三，馀母九。反将子六十三内减去六个馀母九子亦馀九，就以九为法除原母七十二得八个九，又以法九除原子六十三得七个九，故命之曰八分之七也。
乘分

假如今有一百九十人，支银一两十九分两之一。问该银若干。
答曰：二百两。
法曰：置银一两，以分母十九通之，加分子一，共得二十，又以人一百九十乘得三千八百，为实，却以支银一两以分母十九通之，得十九两为法，除之合问。
解题曰十九分两之一，每人即一两零五分二釐六毫有零。
课分。

假如今有布二疋九分疋之五，用过一疋六分疋之一。问尚馀若干。
答曰：馀一疋又十八分疋之七。
法曰：置用过布一疋以分母六通之，加分子一共得七，又以原布分母九通之，得六十三。另置原布二疋以分母九通之，加分子五，共得二十三疋。又以用过布分母六通之，得一百三十八，内减去前六十三馀七十五为实，以两分母九六相乘得五十四为法，除之得一疋馀实二十一，法实皆三约之合问。
通分

通分者，通以分母约以分子也。夫数之有尽者，不必通也，若畸零之不尽者，使不通之则何以置位而算之乎。此通分之法所由立也，假如四分两之一者则二钱五分也，此所谓数之有尽者也，若三分两之一者三钱三分三釐以至于三三之无穷，此所谓数之不尽者也，必须以分通之，乃可算也。不然则畸零之不尽终无可置位矣。
假如今有布四十五疋，每疋价三分两之二。问共该银若干。
答曰：三十两。
法曰：置布四十五疋，以分之二，因之得九十两为实却以分母三为法，归之合问。
解题曰：三分两之二即每疋六钱六分六釐而不能尽，故用约分之法也。

假如今有米三分石之二，每斗价银七分二釐。问共该银若干。
答曰：四钱八分。
法曰：置银七分二釐，以每石十斗因之，得七钱二分。又以分子之二因之，得一两四钱四分为实，却以分母三为法归之合问。〈按此法即异乘同除也。〉
假如今有商夥论本分物，俱得八分之七，至银百两。问该若干。
答曰：八十七两五钱。
法曰：置银一百两以子之七因之，如故仍以分母八为法归之合得。
假如今有罗六十六疋九分疋之六，每疋价二两五钱。问该银若干。
答曰：一百六十六两六钱三分钱之二。
法曰：置六十六疋以分母九通之，得五百九十四，加分子六共六百，以二两五钱因之，得一千五百，以分母九为法归之，得一百六十六两六钱三分钱之二。假如今有米六分石之二，每斗价四分钱之三。问该银若干。
答曰：二钱五分。
法曰：置分子石之二钱之三因之，得六两为实，以分母六分四分相乘得二十四两，为法除之得二钱五分合问。〈按此法即异乘同除也。〉假如今有缎四十五疋，每疋价四两三分两之二。问该银若干。
答曰：二百一十两。
法曰：置每疋价四两，以分母三两因之，得一十二两。加入分子二两，共得一十四两，以乘总缎四十五，得六百三十两，为实，以分母三两为法，除之合问。假如今有豆九石六斗六分斗之四，每石价银二钱三分钱之一。问该银若干。
答曰：二两二钱五分九分钱之五。
法曰：先置每石价二钱以分母三因之，得六，加纳子之一共得七钱，另置豆九石六斗以分母六因之，得五七六加纳子之四，共得五十八以七钱因之，得四十两零六钱为实，却以分母六分三分相因，得一十八为法，除之不尽之数，一法实皆折半而命之。
差分〈衰分意同〉

差分之法，并来分须要分数一分成，将此一分为之实以乘各数自均平。
假如今有东西二邻共织丝绢，东邻四斤六两，西邻三斤二两，共丝七斤八两，织绢二十一丈八尺。问各该若干。
答曰：东邻一十二丈七尺一寸六分六釐，西邻九丈零八寸三分三釐。
法曰：置总绢二十一丈八尺为实，以共丝七斤八两。先将八两变化为五，就以七斤五为法，除之得二丈九尺，零六分六釐六毫六丝为法，另以东西各丝斤数不动，将两减六，东六两变作三七五，西二两变作一二五，并原斤为实乘之合问。
假如今有元亨利贞四人合本经营，元出本银二十两，亨出本银三十两，利出本银四十两，贞出本银五十两，共本一百四十两，至年终共得利银七十两。问各该利银若干。
答曰：元该利一十两，亨该利一十五两，利该利二十两，贞该利二十五两。
法曰：置利银七十两为实，以四人共本一百四十两为法，除之得五钱为每两之利，就以此为法以乘各人原本合问。
假如今有甲乙丙三人合夥同商，因各人本银不齐，前后付出。甲于正月付出本七十两，乙于四月付出本八十两，丙于七月付出本九十两，三人共本二百四十两，至年终得利七十两。问各该利银若干。答曰：甲该利二十八两，乙该利二十四两。丙该利一十八两。
法曰：置利银七十两为实，另置甲本七十两以十二个月通之得八百四十两，又置乙本八十两，以九个月通之得七百二十两，再置丙本九十两以六个月通之，得五百四十两。三共并得二千一百两为法除实得三钱三分三釐三毫三丝，此乃是每月每两之利也。就以此又为法以乘，甲通八百四十月得利二十八两，又乘乙通七百二十月得利二十四两，再乘丙通五百四十两得利一十八两合问。
此是差分乘而相并除，而又乘之法也。

假如今有人借去银二百六十两，每年加三起息，今有十个月二十四日。问该利银若干。
答曰：七十两零二钱。
法曰：先将二十四日用三归，得八数在十月，隔空一位之下，再以十二月除之，得九数。如年以乘原本得二百三十四两为实，以每年加三为法，因之合问。
解曰：凡算年月日期即与两求斤法减六同理。每斤一十六两减六，只作一数。每年十二月每月三十日，故先用三归，如月并月后用十二除月，如年以乘各人原本合得馀皆仿此。图式具左。
定盘算日月为年式。
图缺
假如今有赵钱孙李四人同商，前后付出本银赵一于甲子年正月初九日付出本银三十两，钱二于乙丑年四月十五日付出本银五十两，孙三于丙寅年八月十八日付出本银七十两，李四于丁卯年十月二十七日付出本银九十两，四共得本银二百四十两，至戊长年终共得利银一百二十两。问各该得利银若干。
答曰：赵一该得利二十九两五钱五分。○○一丝，钱二该得利三十六两七钱一分一釐，孙三该得利三十二两八钱○○三毫，李四该得利二十两零九钱三分七釐五毫。
法曰：置利银一百二十两为实，另置各人年月日数，照依前式，归日如月，除月如年，次位之零并年以乘原本合问。赵一计四年十一个月二十一日，先归日后除月又原本通得一百四十九两二钱五分。钱二计三年零八个月一十五日。先归日后除月，又原本通得一百八十五两四钱一分六釐五毫。孙三计二年零四个月一十二日，先归日后除月又原本通得一百六十五两六钱六分六釐六毫。李四计一年零二个月零三日，先归日，后除月，又原本通得一百零五两七钱五分。
将四人年月日通得之数共并得六百零六两零八分三釐三毫为法，除实得一钱九分七釐九毫九丝即是每年每两之利也，就以此又为法以乘各人通得之数合问。
假如人借去银每年每两加利二钱七分，今有一年零三个月二十日收还银三百六十二两四钱七分。问本利各得若干。
答曰：本二百六十八两，利九十四两四钱七分。法曰：置还本利共银为实，另置年月日数照依前式用三归二十日得六六六六于三月之下位，并月再以十二除之得三月零五五五于一年之下位，另以每年利二钱七分乘之，得每两利三钱五分二釐五毫，加原本一两二共为法，除实得原本银二百六十八两，再以每两利三钱五分二釐五毫乘之，得利九十四两四钱七分合问。
假如原借本银一十五两，每月加利二分五釐，今有六个月，已还过银九两，除作本及利。问本利各该若干。仍存原本若干。
答曰：除原本七两八钱二分六釐，该利－两一钱七分四釐，仍存原本银七两一钱七分四釐，仍以原日起利。
法曰：置还银九两为实，另置六个月以月利二分五釐通之，得一钱五分加原本一两本利共一两一钱五分为法，除实得除本银七两八钱二分六釐，又以通利一钱五分乘之，得利银一两一钱七分四釐，本利共合九两之数，另将原本一十五两除还原本七两八钱二分六釐，馀者仍存数也。
异乘同除

此法虽易知之术，其意至奥，或人用先除后乘之法。若除之不尽将何以乘之乎。此异乘同除，实为通变之法也。
歌曰

异乘同除法何如，物卖钱来作例推。先下原钱乘这物，却将原物法除之。将钱买物互乘取，百里千斤以类推。算者留心能善用，一丝一忽不差池。
假如原有米五石八斗四升，卖银四两三钱八分，今只有米一石七斗二升。问该银若干。
答曰：一两二钱九分。
法曰：置今有米一石七斗二升，以原卖银四两三钱八分乘之，得七两五钱三分三釐六毫为实，却以原有米五石八斗四升为法，除之合问。
一法先用除而后乘，先置原价四两三钱八分，以原米五石八斗四升为法除之，得每石价银七钱五分，又为法以乘，今米一石七斗二升亦得。
此法虽易知之，恐愚拙者法则难于取价。须用先乘后除其法捷妙。
异乘同除互换捷用法图

歌曰

此法有四隅，内有一隅空。异名斜乘了，同名兑位除。
详此歌则知异名乘同名除也。

假如原有小麦八斗六升磨面六十四斤八两，今有小麦三十五石四斗八升。问该面若干。答曰：二千六百六十一斤。
法曰：置今麦三十五石四斗八升，以磨面六十四斤半乘之，得二万二千八百八十四斤六为实，以原麦八斗六升为法除之合问。
假如今有夏布四十五疋，欲换棉布，只云夏布三疋共价二钱，棉布七疋共价七钱五分。问该换棉布若干。
答曰：棉布二十八疋。
法曰：先置今有夏布四十五疋，以原夏布价二钱因之，得九两，又以棉布七疋因之得六十三疋，为实。以夏布三疋因棉布价七钱五分，得二两二钱五分为法，除之得棉布二十八疋合问。
假如原有麦三斗五升磨面二十五斤，今欲用面一百七十五斤。问该麦若干。
答曰：二石四斗五升。
法曰：置原麦乘今用面为实，以磨面二十五斤为法，除之合问。假如今有绫一百六十一疋，每七疋价银五两。问共该银若干。
答曰：一百一十五两。
法曰：置总绫以五两因之，为实，以七疋为法归之合问。
同乘异除歌
此法买宝石珍珠大小块颗价用此，果品亦同。

同乘异除法可识，原物价相乘为实，今物除实求今价，今价除实求今物。
假如原有小珍珠五十颗重一两，价银一十二两今有大珍珠三十颗重一两。问该银若干。
答曰：二十两。
法曰：置原珠五十以原价十二乘，得六百两为实，以今珠三十颗除之合问。
异乘同乘法

假如原每人一日织锦八尺二寸五分，今有五十六人共织二十七日。问织锦若干。
答曰：一千二百四十七丈四尺。
法曰：置五十六人乘二十七日得一千五百一十二工，再以日织八尺二寸五分乘之，得一万二千四百七十四尺合问。
异除同除法理

假如今有客一十五人住一十二日，共用米三石六斗。问一客每日用米若干。
答曰：每日二升。
法曰：置米三石六斗为实，另以一十五人乘一十二日得一百八十人为法，除实得二升合问。
同乘同除法理

假如原有鹅八只，换鸡二十只，每鸡三十只换鸭九十只，每鸭六十只换羊二只，今却有羊五只换鹅。问该若干。
答曰：该鹅二十只。
法曰：用异乘同乘之法，置原鹅八只以乘原鸡三十只得二百四十只，又以原鸭六十只乘之得鹅一万四千四百只，再以今有羊五只乘之得七万二千只为实。又用异除同除之法以所换鸡二十只乘换鸭九十只得一千八百只，又以所换羊二只因之得羊三千六百只为法，除实得鹅二十只合问。
指曰：法应一除一乘，多有不尽之数。今变法总乘为实，总除为法，此术极妙。
倾煎论色

假如今有九二成色银七两四钱八分，倾销足色银。问该若干。
答曰：足色银六两八钱八分一釐六毫。
法曰：置银为实以九二色为法乘之合问。
假如今有足色纹银一十五两二钱，换九五色银。问该若干。
答曰：九五色银一十六两。
法曰：置纹银十五两二钱为实，以九五色为法，除之即得。
假如今有八五色银五两六钱，换九五色银。问该若干。
答曰：该九五色银五两零一分零五毫。
法曰：置银五两六钱以八五乘之，得四两七钱六分为实，以九五为法，除之合问。
假如今有足色纹银七两六钱五分，倾出成色银九两。问色几何。
答曰：八五色。
法曰：置纹银为实，以倾出色银九两为法，归之合问。假如今有足色纹银三十五两二钱，欲倾八八色银。问用铜若干。
答曰：铜四两八钱。
法曰：置纹银为实，以八八色为法除之得色银四十两。内减原银馀四两八钱，是铜数也合问。
假如有铜七钱五分，今煎作八八色银。问纹银若干。答曰：纹银五两五钱。
法曰：置铜为实，以每两用铜一钱二分为法除之，得八八色银六两二钱五分，于内减去原铜七钱五分馀得纹银合问。