钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第一百二十一卷

算法部汇考十三

《算法统宗九》盈朒章第七

盈，多也；朒，少也。此是假设有馀不足者，以求隐杂之数也。隐杂者，不见之数；显者，可见之数。故以显者推隐杂者。且如数人共买物，出钱多则有馀，少则不足，无可考究者。故以有馀、不足数求之，则人数物价可知矣。
歌曰

算家欲知盈不足，两家互乘并为物。并盈不足为人实，分率相减馀为法。法除物实为物价，法除人实人数目。
法曰：置所出率与盈不足〈出率　出率〉互〈盈率不足率〉，以盈不足互乘，所出率并之，共若干为物实。另并馀不足共若干为人实。置所出率相减，馀若干为法除人实，得人数；除物实得物价。
又法：并盈不足为人实，以出率相减，馀为法除实，得人数。却以出率乘人数，得若干。减盈增不足即得物价。
若人分物者，却是增盈减不足，即得物数也。其盈朒互乘出率，并为物实。又并盈朒为人实。或并盈朒为人实，俱出率相减，馀为法也。其理则一作法之意也。

今有人买物。每人出银五两，盈六两。每人出银三两，不足四两。问：人物价各若干。
答曰：五人，物价银一十九两。
法曰：置盈不足〈出五两　出三两〉互〈盈六两不足四两〉，先以出五两互乘，不足四两，得二十两。次以出三两互乘，盈六两，得一十八两。并二位共三十八两为物实。另并盈六两不足四两，共十两为人实。却以出五两内减出三两，馀二两。为法除人实，得五为人数，除物实得一十九两为物价。
此是盈朒互乘出率，并为实，又并盈朒为人实者。

今有人分物。每人分一十二个，盈一十二个。每人分一十四个，不足六个。问：人数及物若干。
答曰：九人物一百二十个。
法曰：置盈不足并盈十二、不足六，共一十八个为人实。以分十四减分十二馀二，为法除人实，得九人。却以分一十四个，乘人数，得一百二十六个。内减去不足六个，馀一百二十个，是物数。或置九人以分一十二个，乘得一百零八个，内增十二，亦得物数。合问。
此是并盈朒为人实，出率相减，馀为法除人实，得人数。以分率乘之。或增盈减不足，得物数。凡分物则用增盈减不足。若买物者，则用减盈增不足。

今有买物，每人出钱八文，盈三文。每人出钱七文，不足四文。问：人数物价各若干。
答曰：七人，物价五十三文。
法曰：置盈不足，并盈三文、不足四文，共七文为人实。以出八文减出七文，馀一文。为法除人实，得七人。却以出八文乘人数，得五十六文。内减盈三文馀五十三文是物价。或置七人以出率七文乘之，得四十九文。内增不足四文，亦得物价。合问。
此因前并盈朒为人实者，是买物也。仍前得人数，却以出率乘之。或减盈增不足，即得物价。凡贾物者仿此。

今有人分绢。只云每人分八匹，盈一十五匹。每人分九匹，不足五匹。问：人绢各若干。
答曰：二十人，绢一百七十五匹。
法曰：置盈不足〈分八匹　分九匹〉互〈盈十五匹不足五匹〉。先以分八匹互乘不足五匹，得四十匹。次以分九匹互乘盈十五匹，得一百三十五匹。并二位，得一百七十五匹，为绢数。又并盈十五不足五共二十，为人数。合问。
此是分八匹分九匹相减，馀一为法者。虽用归之数，亦如故。惟以大数变化，为小故不必用此法亦得。只并盈朒为人实。另并前互乘二位为绢数。

人有绢一匹，欲作帐幅。先摺作六幅，比旧帐长六寸。后摺作七幅，比旧帐短四寸。问：绢及旧帐幅长各若干。
答曰：绢长四丈二尺，旧帐幅长六尺四寸。
法曰：置先摺绢六幅以比旧帐长六寸乘之，得三尺六寸。另置七幅以短四寸乘，得二尺八寸。如盈不足列〈六幅　七幅〉互〈长三尺六寸宽二尺八寸〉，以七幅互乘长三尺六寸，得二丈五尺二寸。又以六幅互乘二尺八寸，得一丈六尺八寸，并二数，得四丈二尺为绢实。却以七幅减去六幅，馀一幅。为法除绢实得绢长数，另并互乘长短得六尺四寸，为旧帐幅实，仍前法除之。
今有直田一段。欲截南头卖之。只云截长六步，不足七步。截长八步，盈九步。问：截卖步数及田原阔各若干。
答曰：截卖五十五步，原阔八步。
法曰：置盈不足〈截六步　截八步〉互〈不足七步盈九步〉，先以截六步乘盈九步，得五十四步。次以截八步乘不足七步，得五十六步。并二位共得一百一十步为截积之实。却以截卖六步八步相减，馀二步。为法除之，得截积五十五步。另以不足七步，并多九步，共得一十六步为田阔之实。仍以前法二除之，得原阔八步。合问。
两盈两不足歌

两盈出率互相乘，多减少剩是物情。两盈相减遗人实，出率相减法之名。法除物情是物价，法除人实人数称。若问算中两不足，与盈法例一般行。
法曰：置所出率与两盈互乘，各得若干。以少减多，馀为物实。另以两盈相减，馀为人实。又以出率相减，馀为法除人实，得人数。除物实得物数。
今有人买物。每人出银三两五钱，盈六两。每人出三两三钱，盈二两八钱。问：人数物价各若干。
答曰：一十六人，物价银五十两。
法曰：置两盈〈出三两五钱　出三两三钱〉互〈盈六两　盈二两八钱〉，先以出三两五钱互乘盈二两八钱，得九两八钱。次以出三两三钱互乘盈六两，得一十九两八钱。二数相减，馀十两为物实。另以置六两内减盈二两八钱，馀三两二钱为人实。又以出三两五钱内减出三两三钱，馀二钱。为法除物实得五十两。为物价法除人实得一十六，为人数。合问。
今有人买牛。每人出银五两，不足四两。每人出五两四钱，不足二两。问：人数物价各若干。
答曰：五人，物价银二十九两。
法曰：置两不足〈出五两　出五两四钱〉互〈不足四两　不足二两〉，先以出五两乘不足二两，得一十两。次以出二两四钱乘不足四两，得二十一两六钱。二数相减，馀一十一两六钱为物实。另以不足四两，减不足二两，馀二两为人实。又以出五两四钱内减出五两，馀四钱。为法除物实得物价。就以法四钱除人实，得五为人数。合问。今有里长值月。议云每里科出银五钱，依帐买物以办酒席，多银三两五钱。每里科出四钱，亦多五钱。问：合用银并里数若干。
答曰：三十里，用银一十一两五钱。
法曰：置两盈〈出五钱　出四钱〉互〈多三两五钱　多五钱〉，先以出五钱互乘多五钱，得二两五钱。次以出四钱互乘多二两五钱，得一十四两。二数相减，馀一十一两五钱为用银实。另以多三两五钱减多五钱，馀三两为人实。再以出五钱减出四钱，馀一钱。为法除银实即银数除人实，即里数。合问。
今有井不知深。先将绳摺作三条入井汲水，绳长四尺。后将绳摺作四条入井，亦长一尺。问：井深及绳长各若干。
答曰：井深八尺，绳长三丈六尺。
法曰：两盈置绳长四尺以摺作三条通之，得一十二尺。又置长一尺以摺作四条通之，得四尺。各列置位〈三条　四条〉互〈长十二尺　长四尺〉。先以三条乘四尺，得一十二尺。又以四条乘长一十二尺，得四十八尺。二数相减，馀三十六尺为绳实。却以三条四条相减，馀一为法除绳实，得绳长。另以前通两盈数相减，馀八尺为井实。仍以法一除之，得井深数。合问。
此是三条四条相减馀一为法者，不必用法除，即是。
盈适足不足适足歌

盈与适足数相乘，乘数将来为物情。盈数自称为人实，二位各列要分明。出率相减馀为法，法除物实物价真。法除人实为人数，不足适足一般行。
法曰：盈适足者置所出率于上，以盈与适足于下或以盈数互乘适足出率，得若干为物实。另以盈数为人实，又以出率相减，馀为法除人实，得人除物实得物。
一法：以盈数为人实，另以出率相减，馀为法除人实，得人数若干。却以适足数乘之，得物数〈此乃捷径〉。今有人买物。每人出银二两五钱，盈六两。每人出银二两三钱，适足。问：人数物价各若干。
答曰：三十人，物价银六十九两。
法曰：置盈适足列〈出二两五钱　出二两三钱〉互〈盈六两适足〉，只以盈六两互乘出二两三钱，得一十三两八钱为物实。另以盈六两为人实，却以出二两五钱减出二两三钱，馀二钱。为法除物实，得物价。除人实，得人数。合问。一法：以盈六两为人实，另以出率相减，馀二钱为法除人实，得三十。却以二两三钱乘之，亦得物价。今有人买物。每人出银七两不足一十四两。每人出银九两适足。问：人数物价各若干。
答曰：七人，物价银六十三两。
法曰：置不足适足列〈出七两　出九两〉互〈不足十四两适足〉，只以不足一十四两互乘出九两，得一百二十六两为物实。另以不足一十四两为人实，却以出九两内减出七两，馀二两。为法除物实得物价。除人实得人数。合问。
一法：以不足一十四两为人实，以出率相减馀二。为法除实，得七人。以九两乘之，得物价。
今有米换布七匹，多四斗。换九匹，适足。问：米布价各若干。
答曰：米一石八斗，布匹价米二斗。
法曰：置盈适足。以多四斗为实。另以九匹减七匹馀二匹。为法除实，得匹价米二斗。却以适足九匹乘之，得总米一石八斗。合问。
盈朒双套〈今述释义于左〉

盈朒章〈盈不足，两盈两不足。盈适足，不足适足〉。三宗皆先贤立法正律格式。自刘氏通明，吴氏比类始增。双套者，用分母子者，皆存于后，以便学者。
双套法：三宗五条，布算俱分左右，二行各列上中下三位。俱先以右上左上相乘，得若干。为乘人率通法。以右上乘左中，左上乘右中，二数相减，馀若干。为法除人实、物实之法〈三宗双套俱先如此〉。
双套盈不足法：先用前双套法。次以右中得数乘左下，左中得数乘右下，二数相并，为物实。以前除法除，得物数。却以右下盈若干，左下不足若干，二数相并，为人率。先以前通法乘之，为人实。后仍以前除法除之，得人数。
双套两盈法：先用前双套法。次以右中得数乘左下，左中得数乘右下，二数相减，馀为物实。以前除法除，得物数。却以右下盈若干，左下盈若干，二数相减，馀为人率。先以前通法乘之，为人实。后仍以前除法除，得人数〈两不足同〉。
双套盈适足法：先用前双套法。次以右中得数乘左下盈数，就为物实。以前除法除之，得物数。却以左下盈若干，就为人率。先以前通法乘，为人实。后仍以前除法除之，得人数〈不足适足同〉。
今有人买物。每八人出银七两，盈四两五钱。每九人出银六两，不足三两。问：人数物价各若干。
答曰：三十六人，物价银二十七两。
法曰〈双盈不足〉置〈右上八人　左上九人〉互〈中出七两　中出六两〉互〈得六十三　得四十八〉互〈下盈四两五钱　下不足三两〉，先以左上九人、右上八人相乘，得七十二，为乘人率通法。又以左上九人互乘右中七两，得六十三。再以右上八人互乘左中六两，得四十八。二数相减，馀十五。为除人实、物实法。次以左中得数四十八互乘右下盈四两五钱，得二百一十六。又以右中得数六十三互乘左下不足三两，得一百八十九。二数相并共四百零五为物实。以法十五除之，得银二十七两。却以左下不足三两、右下盈四两五钱，二数相并得七两五钱，为人实率。先以前通法七十二乘之，得五百四十，为人实。后仍以前法十五除之，得三十六人。合问。
今有人买物。每六人出银九两多三两，每四人出银七两多六两。问：人数物价各若干。
答曰：一十二人，物价银一十五两。
法曰：双两盈置〈右上六人　左上四人〉互〈中出九两得三十六　中出七两得四十二〉互〈下盈三两　下盈六两〉。先以左上四人、右上六人相乘，得二十四，为乘人率通法。又以左上四人互乘右中九两，得三十六。再以右上六人互乘左中七两，得四十二。二数相减，馀六，为除人实、物实法。次以左中得数四十二互乘右下多三两，得一百二十六。再以右中得数三十六互乘左下多六两，得二百一十六。二数相减，馀九十两为物实。以前法六除之，得银一十五两。却以左下多六两、右下多三两，二数相减，馀三两，为人实率。先以前通法二十四乘之，得七十二为人实。后仍以前法六除之，得一十二人。合问〈双套两不足法仿此〉。
今有买物。每三人出银五两，多十两。每五人出银九两，适足。问：人数物价各若干。
答曰：七十五人，物价银一百三十五两。
法曰：双套盈适足置〈右上五人　左上三人〉互〈中出九两　中出五两得五〉互〈下适足　下盈十两〉。先以左上三人、右上五人相乘，得十五，为乘人率通法。次以左上三人互乘右中九两，得二十七。再以右上五人互乘左中五两，得二十五。二数相减，馀二，为除人实物实法。次以右中得数二十七乘左下盈十两，得二百七十两，就为物实。以前法二除之，得银一百三十五两。却以左下盈十两就为人实率。先以前通法十五乘之，得一百五十为人实。后仍以前法二除之，得七十五人。合问〈双套不足适足仿此〉。
取钱买物盈朒歌

取钱买物求盈朒，分子互将分母乘。乘讫却来通物价，以钱并作物之情。互乘物价亦相并，乘子除为钱实名。买率减馀为法则，除来钱物自分明。
今有银不知其数，欲买田。取银三分之二买之，盈三两。取银五分之三买之，不足一两。问：总银田价各若干。
答曰：总银六十两，田价银三十七两。
法曰：先以之二互乘五分，得一十。以通不足一两得十两。次以之三互乘三分，得九。以通盈三两得二十七两。如盈朒法列位〈九十〉互〈多二十七两少一十两〉。先以十互乘多二十七两，得二百七十两。又以九互乘少十两，得九十两。并二位，得三百六十两。却以分子之二、之三相乘，得六十两，为银实。却以通十、减九，馀一，为法除之，得总银六十两。次以多二十七两、少十两并之，得三十七两，为田价实。仍以前法一除之，得田价三十七两。合问。
取钱买物两盈歌〈附两朒即两不足〉

取钱买物两皆盈，分子互乘分母讫。以母通乘物价周，对减盈钱为物实。物价互乘少减多，乘子除为钱实积。率减零馀为法行，法实相除尽可识。
今有银不知数，欲买鹿。取银六分之四买之，盈二两。取银四分之三买之，盈三两五钱。问：银数鹿价各若干。
答曰：银一十八两，鹿价一十两。
法曰：先以之四互乘四分，得一十六，以通盈三两五钱，得五十六两。次以之三互乘六分，得一十八，以通盈二两得三十六两。各列位〈十八　十六〉互〈盈三十六　盈五十六〉。先以十六互乘三十六，得五百七十六两。又以十八互乘五十六，得一千零八两。二位相减，馀四百三十二两。却以分子之三、之四相乘，得十二。除之得三十六，为银实。却以十八十、六相减，馀二，为法除之，得银数一十八两。另以两盈三十六、五十六相减，馀二十，为鹿价实。仍以前法二除之，得鹿价一十两。合问。今有官派银不知数。依例令上等八户，下等五户，纳之不足五两。复令上等六户，下等八户，纳之亦不足三两。其银下户例如上户例，十分之八。问：派银数及各户则例若干。
答曰：官派银六十五两，上户例五两，下户例四两。
法曰：先置上等八户，以十因之，得八十户。又置下等五户，以八因之，得四十户。并之，得一百二十户。列位。次置上等六户，以十因之，得六十户。又置下等八户，以八因之，得六十四户。并之得一百二十四户。列位〈一百二十户　一百二十四户〉互〈不足五两　不足三两〉。先以一百二十户互乘不足三两，得三百六十两。又以一百二十四户互乘不足五两，得六百二十两。二位相减，馀二百六十两，为银实。却以户数一百二十与一百二十四相减，馀四，为法除之，得官派银六十五两。另以两不足五两、三两相减，馀二两，为则例实。仍以前法四除之，得五钱，以十因之，得上等一户则例银五两。另列五钱以八因之，得下等一户则例银四两。合问。
取钱买物盈适足歌

取钱买物盈适足，子互乘母自相通。却以盈钱为物实，减率留馀作法宗。取钱适足乘盈数，乘子除为钱实宫。如法除之钱可见，不足适足术相同。
假有铜钱不知数，欲买木一根。取钱二分之一买之，盈钱四文。取钱七分之三买之，适足。问：钱数木价各若干。
答曰：总钱五十六文，木价二十四文。
法曰：先以二分下之一互乘七分，得七数次。以七分下之三互乘二分，得六数。以通盈四文，得二十四文。如盈适足列位〈六七〉互〈盈二十四适足〉。先以盈二十四文为木价实，却以六相减，馀一，为法除之，得木价二十四文。次以七互乘盈二十四，得一百六十八。却以之一、之三相乘，得三，为法除之，得钱五十六文。合问。今有芝麻不知数。只云取麻八分之三，粜银十两，不足二石。取麻三分之一，粜银八两，适足。问：麻数及每两该麻若干。
答曰：总麻四十八石，每银一两该麻二石。
法曰：先以八分下之三互乘三分，得九数。以通八两得，七十二两。次以三分下之一互乘八分，得八数。以通十两，得八十两。以八通不足二石，得一十六石。如不足过足列位〈八十两　七十二两〉互〈不足十六石适足〉。先以七十二互乘一十六石，得一千一百五十二。却以之一、之三相乘，得三。除之，得三百八十四石为麻实。却以八十两减去七十二两，馀八两。为法除之，得总麻四十八石。另以不足一十六石为银。该麻之实仍以前法八除之，得每银一两，该麻二石。合问。
此取钱买物数条，是带分母之法。