钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第一百九卷

算法部汇考一

《礼记》内则

六年，教之数与方名。〈又〉九年，教之数日。十年，出就外傅，居宿于外，学书计。
〈注〉数谓一十百千万，方名东西南北也。九年，教之数日。知朔望与六甲也。书谓六书，计谓九数。

《周礼订义》地官

保氏，掌谏王恶，而养国子以道。乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。
〈注〉郑司农曰：九数，方田粟米，差分少，广商功，均输方程，赢不足旁。要今有重差、夕桀、句股。贾氏曰：皆依九章算术而言。云今有重差、夕桀、句股者，此汉法增之。

《周髀算经》〈汉赵君卿注〉卷上一

昔者，周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。〈唐寅曰经文也〉
周公姓姬，名旦，武王之弟。商高，周时贤大夫，善算者也。周公位居冢宰，德则至高，尚自卑己以自牧，下学而上达。况其凡乎。〈唐寅曰此赵注也〉

请问：古者包牺立周天历度。
包牺，三皇之一，始画八卦，以商高善数，能通乎微妙，达乎无方，无大不综，无幽不显。闻包牺立周天历度，运章蔀之法。《易》曰：古者，包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。此之谓也。

夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度。
邈乎悬广，无阶可升，荡乎遐远，无度可量。

请问：数从安出。
心昧其机，请问其目。

商高曰：数之法，出于圆方。
圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为句，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五。政圆方邪径相通之率。故曰数之法，出于圆方。圆方者，天地之形，阴阳之数。然则周公之所问天地也，是以商高陈圆方之形以见其象，因奇耦之数以制其法，所谓言约旨远，微妙幽通矣。

圆出于方，方出于矩。
圆规之数，理之以方，方周匝也。方正之物，出之以矩，矩广长也。

矩出于九九八十一。
推圆方之率，通广长之数，当须乘除以计之。九九者，乘除之原也。

故折矩。
故者，申事之辞也。将为句股之率，故曰折矩也。

以为句广三。
广圆之周横者，谓之广句，亦广。广，短也。

股修四。
应方之匝从者，谓之修股，亦修。修，长也。

径隅五。
自然相应之率，径直隅角也，亦谓之弦。

既方之外，半其一矩。
句股之法：先知二数，然后推一见句股，然后求弦。先各自乘成其实，实成势化，外乃变通。故曰：既方其外，或并句股之实，以求弦，实之中乃求句股之分。并实不正等，更相取与，互有所得，故曰半其一矩。其术：句股各自乘三三如九，四四一十六，并为弦，自乘之实二十五，减句于弦为股之实一十六，减股于弦，为句之实九。

环而共盘，得成三四五。
盘，读如盘桓之盘言取而并，减之积环屈而共盘之谓开方，除之其一面，故曰得成三四五也。

两矩共长二十有五，是谓积矩。
两矩者，句股各自乘之实。共长者，并实之数。将以施于万事，而此先陈其率也。

故禹之所以治天下者，此数之所生也。
禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏垫之厄。使东注于海而无浸溺，乃句股之所由生也。
左图

弦图弦图

右图缺句股方圆图注右图弦图右图

缺句股方圆图注缺句股方圆图注
赵君卿曰：句股各自乘并之为弦实，开方除之即弦也。案弦图，又可以句股相乘为朱实，二倍之为朱实四。以句股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实。以差实减弦实，半其馀，以差为从法开方除之，复得句矣。加差于句即股，凡并句股之实即成弦实。或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。句实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤而股实方其里。减矩句之实于弦实，开其馀即股倍。股在两边为从法开矩句之角，即股弦差，加股为弦，以差除句实得股弦并，以并除句实亦得股弦差。令并自乘与句实，为实倍并，为法所得亦弦句实。减并自乘，如法为股。股实之矩，以句股差为广。句弦并为袤，而句实方其里。减矩股之实于弦实，开其馀即句倍。句在两边为从法开矩股之角即句弦差，加句为弦，以差除股实得句弦并。以并除股实得句弦差。令并自乘，与股实为实倍并为法，所得亦弦股实。减并自乘，如法为句。两差相乘倍而开之，所得以股弦差增之，为句。以句弦差增之为股，两差增之为弦倍。弦实列句股差实见弦实者，以图考之，倍弦实满外大方，而多黄实。黄实之多即句股差实。以差实减之，开其馀得外大方。大方之面即句股并也。令并自乘，倍弦实乃减之，开其馀得中黄方。黄方之面，即句股差。以差减并而半之为句，加差于并而半之为股，其倍弦为广袤合。令句股见者，自乘为其实，四实以减之，开其馀所得为差，以差减合半其馀为广，减广于弦即所求也。观其迭相规矩，其为反覆，互与通分，各有所得。然则统叙群伦，弘纪众理，贯幽入微，钩深致远。故曰其裁制万物，唯所为之也。
释圆方句股注
按君卿注曰：句股各自乘并之为弦，实开方除之即弦。
臣鸾曰：假令句三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，开方除之，得五，为弦也。〈寅曰：五五二十五弦实四面之一也〉
注云：按弦图，又可以句股相乘为朱实，二倍之为朱实四。以句股之差自相乘为中黄实。〈寅曰：句股相乘其数一十二也〉
臣鸾曰：以句弦差二倍之为四，自乘得一十六，为左图中黄实也。〈寅曰：甄氏止注以句股十二字之义〉臣淳风等谨按注云：以句股之差自乘为中黄实，鸾云：倍句弦差自乘者，苟求异端。虽合其数，于率不通。〈寅曰：句股之差，其数一也。自乘得一一如一〉注云：加差实亦成弦实。
臣鸾曰：加差实一，并外矩青八，得九；并中黄十六，得二十五，亦成弦实也。
臣淳风等谨按注云：加差实一亦成弦实。鸾曰：加差实并外矩及中黄者，虽合其数，于率不通。〈寅曰：加差实之，一于前文所言，朱实四之，上朱实之四为二十四，加一为弦实二十五也〉注云：以差实减弦实，半其馀以差为从法，开方除之复得句矣。
臣鸾曰：以差实九减弦实二十五，馀十六。半之得八，以差一加之得九，开之，得句三也。
臣淳风等谨按注宜云：以差实一减弦实二十五，馀二十四。半之为十二。以差一从开方除之得句三。鸾云：以差实九减弦实者，虽合其数，于率不通。〈顾应祥曰：以差实一减弦实二十五〉
注云：加差于句，即股。
臣鸾曰：加差一于句三，得股四也。
注云：凡并句股之实，即成弦实。
臣鸾曰：句实九股实十六并之，得二十五也。注云：或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。句实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤。
臣鸾曰：以股弦差一为广，股四并弦五得九为袤。左图外青也。
注云：而股实方其里。
臣鸾曰：为左图中黄十六。
注云：减矩句之实于弦实，开其馀即股。
臣鸾曰：减矩句之实九，于弦实二十五，馀一十六。开之得四，股也。
注云：倍股在两边为从，法开矩句之角，即股弦差。臣鸾曰：倍股四得八，在圆两边。以为从法，开矩句之角九得一也。
注云：加股为弦。
臣鸾曰：加差一于股四，则弦五也。
注云：以差除句实，得股弦并。
臣鸾曰：以差一除句实九得九，即股四弦五并为九也。
注云：出并除句实，亦得股弦差。
臣鸾曰：以九除句实九，得股弦差一。
注云：令并自乘，与句实为实。
臣鸾曰：令并股弦得九，自乘为八十一。又与句实九加之，得九十为实。
注云：倍并为法。
臣鸾曰：倍股弦并九得十八者，为法。
注云：所得亦弦。
臣鸾曰：除之得五为弦。〈寅曰：以法十八除实九十〉注云：句实减并自乘，如法为股。
臣鸾曰：以句实九减并自乘八十一，馀七十二。以法十八除之，得四，为股也。
注云：股实之矩以句弦，差为广。句弦并为袤。臣鸾曰：股实之矩以句弦差二为广，句弦并八为袤。
注云：而句实方其裹，减矩股之实于弦实，开其馀即句。
臣鸾曰：句实有九，方在右图里。以减矩股之实十六，于弦实二十五，馀九，开之，得三，句也。
注云：倍句在两边。
臣鸾曰：各三也。〈寅曰：倍之得六〉
注云：为从法开矩股之角，即句股差，加句为弦。臣鸾曰：加差二于句三，则弦五也。
注云：以差除股实得句弦并。
臣鸾曰：以差二除股实十六得八，句三弦五并为八也。
注云：以并除股实，亦得句弦差。
臣鸾曰：以并除股实十六，得句弦差二。
注云：令并自乘与股实为实。
臣鸾曰：令并八自乘得六十四，与股实十六加之，得八十为实。
注云：倍并为法。
臣鸾曰：倍句弦并八，得十六为法。
注云：所得亦弦。
臣鸾曰：除之得弦五也。
注云：股实减并自乘，如法为句。
臣鸾曰：以股实十六减并自乘六十四，馀四十八。以法十六除之，得三，为句也。
注云：两差相乘，倍而开之，所得增股弦差为句。臣鸾曰：以股弦差一乘句弦差二得二，倍之为四，开之得二。以股弦差一增之，得三，句也。
注云：以句弦差增之为股。
臣鸾曰：以弦差二增之，得四，股也。
注云：两差增之为弦。
臣鸾曰：以股弦差一，句弦差二，增之，得五，弦也。注云：倍弦实，列句股差实。见弦实者，以图考之，倍弦实满外大方。而多黄实。黄实之多即句股差实。臣鸾曰：倍弦实二十五得五十，满外大方七七四十九，而多黄实。黄实之多，即句股差实也。
注云：以差实减之，开其馀得外大方。大方之面即句股并。
臣鸾曰：以差实一减五十，馀四十九，开之即大方之面，七也，亦是句股并也。
注云：令并自乘，倍弦实乃减之，开其馀得中黄方。黄方之面，即句股差。
臣鸾曰：并七自乘得四十九，倍弦实二十五得五
十。以减之馀即中黄方，差实一也。故开之即句股差一也。
注云：以差减并而半之为句。
臣鸾曰：以差一减并七馀六，半之得三，句也。注云：加差于并而半之为股。
臣鸾曰：以差一加并七得八，而半之得四，股也。注云：其倍弦，为广袤合。
臣鸾曰：倍弦二十五为五十，为广袤合。
臣淳风等谨按：列广袤术，宜云倍弦五，得十为广袤合。今鸾云：倍弦二十五者，错也。〈寅曰：句广一袤九，股广二袤八〉注云：而令句股见者，自乘为其实四，实以减之开其馀，所得为差。
臣鸾曰：令自乘者，以七七自乘得四十九。四实大方，句股之中有四方，一方之中有方十二。四实有四十八，减上四十九馀一也，开之得一即句股差一。
臣淳风等谨按注：意令自乘者十，自乘得一百四实者，大方广袤之中有四方。若㨿句实而言，一方之中有实九。四实有三十六，减上一百馀六十四，开之得八，即广袤差。此是股弦差减股弦并馀数。若据股实而言之，一方之中有实十六。四实有六十四，减上一百，馀三十六，开之得六，即广袤差。此是句股差减句弦，并馀数也。鸾云：令自乘者，以七七自乘得四十九，四实者，大方。句股之中有四方，一方之中有方十二四实者，四十八减上四十九馀一也，开之得一，即句股差一者，错也。〈寅曰：大方之中有四弦实，故四其句，实得三十六，减之，馀六十四，开其馀，得八，为句之广袤差。四其股，实得六十四，减之馀三十六，开得六，为股之广袤差。所谓广袤差者，句广一而袤九，股广二而袤八，广袤相减之馀也〉注云：以差减合，半其馀，为广。
臣鸾曰：以差一减合七，馀六，半之得三，广也。臣淳风等谨按注：意以差八六各减合十，馀二四。半之得一二。一即股弦差，二即句弦差。以差减弦即各袤广也。鸾云：以差一减合七，馀六，半之得三，广者，错也。〈寅曰：以句之广袤差八，减广袤合十，馀二，半之为句之广。以股袤差六，减广袤合十，馀四，半之为股之广。二注皆未莹〉
注云：减广于弦，即所求也。
臣鸾曰：以广三减弦五，即所求差二也。
臣淳风等谨按：注意，以广一二各减弦五，即所求股四，句三也。鸾云：以广三减弦五，即所求差二者，此错也。〈寅曰：甄鸾述说终此〉

周公曰：大哉。言数。〈唐寅曰：此经文也〉
心达数术之意，故发大哉之叹。〈唐寅曰：此赵注也〉

请问：用矩之道。
谓用表之宜，测望之法。

商高曰：平矩以正绳。
以求绳之正，定平悬之体。将欲慎毫釐之差，防千里之失。

偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。
言施用无方，曲从其事。术在九章。

环矩以为圆，合矩以为方。
既以追寻情理，又可造制圆方。言矩之于物，无所不至。

方属地，圆属天，天圆地方。
物有圆方，数有奇耦。天动为圆，其数奇。地静为方，其数耦。此配阴阳之义，非实天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎。又曰：北极之下高，人所居六万里。滂沲四隤而下，天之中央亦高，四旁六万里，是为形状。同归而不殊涂，隆高齐耽而易以陈。故曰天似盖笠，地法覆槃。

方数为典，以方出圆。
夫体方则度影正，形圆则审实难。盖方者有常，而圆者多变。故当制法而理之。理之法者，半周半径相乘，则得方矣。又可周径相乘四而一，又可径自乘三之四而一，又可周自乘十二而一。故圆出于方。〈典实也〉

笠以写天。
笠亦如盖，其形正圆，戴之所以象天，写犹象也。言笠之体，象天之形。《诗》云：何蓑何笠，此之义也。

天青黑，地黄赤。天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。
既象其形，又法其位，言相方类，不亦似乎。

是故知地者智，知天者圣。
言天之高大，地之广远，自非圣智。其孰能与于此乎。

智出于句。
句，亦影也。察句之损益，加物之高远，故曰智出于句。

句出于矩。
矩谓之表，表不移亦为句。为句将正。故曰：句出于矩焉。

夫矩之于数，其裁制万物，唯所为耳。
言包含几微，转通旋环也。

周公曰：善哉。
善哉，言明晓之意，所谓问一事而万事达。

昔者，荣方问于陈子。
荣方、陈子是周公之后人。非《周髀》之本文。然此二人共相解释。后之学者，谓之章句。因从其类，列于事。下又欲尊而远之。故云：昔者。时世官号未之前闻。

曰：今者，窃闻夫子之道。
荣方问陈子能述商高之旨，明周公之道。

知日之高大。
日去地与圆径之术。

光之所照，
日旁照之所及也。

一日所行，
日行天之度也。

远近之数。
冬至夏至，去人之远近也。

人所望见，
人目之所极也。

四极之穷，
日光之所远也。

列星之宿，
二十八宿之度也。

天地之广袤。
袤长也，东西南北谓之广长。

夫子之道，皆能知之，其信有之乎。
能明察之，故不昧不疑。

陈子曰：然。
言可知也。

荣方曰：方虽不省，愿夫子幸而说之。
欲以不省之情，而观大雅之法。

今若方者，可教此道邪。
不能自料，访之贤者。

陈子曰：然。
言可教也。

此皆算术之所及。
言《周髀》之法，出于算术之妙也。

子之于算，足以知此矣。若诚累思之。
累，重也。言若诚能重累思之，则达至微之理。

于是荣方归而思之，数日不能得。
虽潜心驰思，而才单智竭。

复见陈子曰：方思之不能得，敢请问之。陈子曰：思之未熟。
熟犹善也。

此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类。
定高远者，立两表望悬邈者，施累矩言未能通类。求句股之意。

是智有所不及，而神有所穷。
言不能通类，是情智有所不及，而神思有所穷滞。

夫道术言约而用博者，智类之明。
夫道术，圣人之所以极深而研。几唯深也，故能通天下之志。唯几也，故能成天下之务。是以其言约其旨远，故曰智类之明也。

问一类而万事达者，谓之知道。
引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣，故谓之知道也。

今子所学，
欲知天地之数

算数之术，是用智矣。而尚有所难，是子之智类单。
算术所包，尚以为难，是子智类单尽。

夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。
不能广博，

既博矣，患其不习。
不能究习，

既习矣，患其不能知。
不能知类

故同术相学，
术教同者，则当学通类之意。

同事相观。
事类同者，观其旨趣之类。

此列士之愚智，
列，犹别也。言视其术，鉴其学，则愚智者别矣。

贤不肖之所分。
贤者，达于事物之理。不肖者，闇于照察之情。至于役神驰思，聪明殊别矣。

是故能类以合类。此贤者业精习智之质也。
学其伦类，观其指归。唯贤智精习者能之也。

夫学同业而不能入神者，此不肖。无智而业不能精习。
俱学道术明，不察不能以类。合类而长之，此心游目荡，义不入神也。

是故算不能精习，吾岂以道隐子哉。固复熟思之。
凡教之道，不愤不启，不悱不发。愤而悱之，然后启发。既不精思，又不学习，故言吾无隐也。尔固复熟思之，举一隅，使反之以三也。

荣方复归思之，数日不能得。复见陈子曰：方思之以精熟矣。智有所不及，而神有所穷。知不能得，愿终请说之。
自知不敏，避席而请说之。

陈子曰：复坐，吾语汝。于是荣方复坐，而请陈子说之。曰：夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿测影。
臣鸾曰：南戴日，下立八尺表。表影千里而差一寸。是则天上一寸，地下千里。今夏至影有一尺六寸，故其万六千里。冬至影一丈三尺五寸，则知其十三万五千里。

此一者，天道之数。
言天道数，一悉以如此。

周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。
晷，影也。此数望之从周城之南千里也。而周官测影尺有六寸，盖出周城南千里也。记云：神州之土方五千里，虽差一寸，不出畿地之分。先王知之，是故建王国。

髀者，股也。正晷者，句也。
以髀为股，以影为句，股定。然后可以度日之高远。正晷者，日中之时节也。

正南千里，句一尺五寸。正北千里，句一尺七寸。
候其影，使表相去二千里，影差二寸。将求日之高远，故先见其表影之率。

日益表南晷，日益长候句六尺。
候其影，使长六尺者，欲令句股相应，句三股四弦五，句六股八弦十。

即取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日。
以径寸之空视日之影，髀长则大，矩短则小，正满八尺也。捕，犹索也。掩，犹覆也。

而日应空之孔。
掩若重规更言八尺者，举其定也。又曰近则大远则小以影六尺为正。

由此观之，率八十寸而得径一寸。
以此为日髀之率。

故以句为首，以髀为股。
首，犹始也。股，犹末也。句能制物之率，股能制句之正。欲以为总见之数，立精理之，本明可以周万事。智可以达无方，所谓智出于句，句出于矩也。

从髀至日下六万里，而髀无影。从此以上至日，则八万里。
图

臣鸾曰：求从髀至日下六万里者，先置南表晷六尺上十之为六十寸，以两表相去二千里乘得十二万里为实，以影差二寸。为法除之得日底地去表六万里，求从髀至日八万里者，先置表高八尺，上十之为八十寸，以两表相去二千里乘之得十六万为实，以影差二寸，为法除之得从表端上至日八万里也。

若求邪至日者，以日下为句，日高为股。句股各自乘并而开方除之得邪至日。从髀所旁至日所十万里，
旁此古邪宇，求其数之术曰：以表南至日下六万里为句，以日高八万里为股，为之求弦句股各自乘并而开方除之，即邪至日之所也。
臣鸾曰：求从髀邪至日所法：先置南至日底六万里为句，重张自乘得三十六亿为句实，更置日高八万里为股重张，自乘得六十四亿为股实。并句股实得一百亿为弦实，开方除之得从王城至日十万里。今有十万里，问径几何。曰：一千二百五十里八十寸而得径一寸。以一寸乘十万里为实，八
十寸为法即得。

以率率之八十里，得径一里十万里得径千二百五十里。
法当以空径为句率，竹长为股率，日去人为大股。大股之句即日径也。其术以句率乘大股股率，而一此以八十里为法，十万里为实。实如法而一，即得日径。

故曰日晷径千二百五十里。
臣鸾曰：求以率八十里得径一里十万里，得径千二百五十里法：先置竹孔径一寸为十里为句，更置邪去日十万里为股，以句十里乘股十万里得一亿为实。更置日去地八万里为法，除实得日晷径千二百五十里，故云日晷径也。
臣淳风等谨按：夏至王城望日立两表，相去二十里。表高八尺，影去前表一尺五寸，去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法，以前影寸数乘表间为实。实如法得万五千里为日下去南表里。又以表高八十寸乘表间为实，实如法得八万里，为表上去日里。仍以表寸为日高，影寸为日下。待日渐高，候日影六尺用之为句，以表为股，为之求弦得十万里为邪表数目。取管圆孔径一寸长八尺，望日满筒以为率，长八十寸为一邪。去日十万里日径即千二百五十里，以理推之，法云：天之处心高于外衡六万里者，此乃语与术违。句六尺、股八尺、弦十尺，角隅正方，自然之数盖。依绳水之定，施之于表矩。然则天无别，体用日以为高下。术既随手而迁高下，从何而出。语术相违，是为大失。又按二表下地，依水平法定。其高下若北表。地高则以为勾，以间为弦，置其高数其影乘之其表，除之所得益股为定间。若北表下者，亦置所下以法乘除，所得以减股为定间。又以高下之数与间相约，为地高远之率。求远者，影乘定间差法而一，所得加表日之高也。求邪去地者，弦乘定间差法而一，所得加弦日邪，去地此三等至。皆以日为正，求日下地。高下者，置戴日之远近，地高下率。乘之如间率而一，所得为日下地。高下形势，隆杀与表间同，可依此率。若形势不等，非代所知率日径，求日大小者，径率乘间如法而一，得日径。此径当即得。不待影长六尺。凡度日者，先须定二矩。水平者，影南北立勾齐高四尺，相去一丈。以二弦候牵于勾，上并率。二则拟为候影。勾上立表，弦下望日。前一则上畔，后一则下畔。引则就影，合与表日参直二至前后三四日间影不移处，即是当以候表并望。人取一影亦可日径影端表头为则。然地有高下，表望不同，后六术乃穷其实。
第一后高前下术：高为句，表间为弦，后复影为所求率表。为有所率以句为所有数所得益，股为定间。
第二后下术：以其所下为句，表间为弦，置其所下。以影乘表，除所得，减股馀为定间。
第三邪下术：依其北高之率，高其句影，令与地势隆杀相似，馀同平法。假令髀邪下，而南其邪亦同。不须别望，但弦短与句股，不得相应。其南里数亦随地势，不得校乎。平则促，若用此术，但得南望。若北望者，即用句。照南下之术，当北高之地。
第四邪上术：依其后下之率，下其句影，此谓回望北极。以为高远者，望去取差亦同。南望此术，弦长亦与句股不得相应。唯得北望不得南望。若南望者，即用句影北高之术。
第五平术，不论高下。周髀度日，用此平术，故东西南北四望皆通。远近一差，不须别术。
第六术者，是外衡。其径云四十七万六千里，半之得二十三万八千里者，是外衡去天心之处。心高于外衡六万里为率，南行二十三万八千里。下校六万里约之，得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九步差下三十步。〈阙〉三十步大强差下十步，以此为准，则不合有平地。地既平而用术尤乖理验且自古论晷影差变每有不同今略其梗概，取其推步之要。尚书考灵曜云：日永影尺五寸，日短一十三尺，日正南千里而减一寸。张衡灵宪云：悬天之晷，薄地之仪，皆移千里而差一寸。郑元注《周礼》云：凡日影于地千里而差一寸。王蕃姜岌因此为说。按前诸说，是数并同。其言更出书非直有此以事，考量恐非实矣。谨按宋元嘉十九年岁在壬午，遣使往交州度日影。夏至之日影在表南三寸二分。太康地理志交趾去洛阳一万一千里，阳城去洛阳一百八十里。交趾西南望阳城，洛阳在其东南。较而言之，令阳城去交趾近于洛阳去交趾一百八十里。则交趾去阳城一万八百二十里，而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。况复人路迂回，羊肠曲折。方于鸟道所较弥多。
以事验之，又未盈五百里。而差一寸明矣。千里之言，固非实也。何承天又云：诏以土圭测影，考校二至〈阙〉三日有馀。从来积岁及交州所上，验其增减，亦相符合，此则影差之验也。《周礼》：大司徒职曰：夏至之影尺有五寸。马融以为洛阳，郑元以为阳城。《尚书·考灵曜》：日永影一尺五寸，郑元以为阳城。日短十三尺，易纬通卦验，夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。刘向《洪范传》夏至影一尺五寸八分，是时汉都长安而向不言测影处所。若在长安，则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又云：春秋分长七尺三寸六分，此即总是虚妄。《后汉历志》：夏至影一尺五寸。后汉洛阳冬至一丈三尺，自梁天监已前，并同此数。魏景初夏至影一尺五寸。魏初都许昌与颍川相近，后都洛阳又在地中之数。但《易纬》因汉历旧影似不别。影之冬至一丈三尺。晋姜岌影一尺五寸。宋都建康在江表，验影之数，遥取阳城冬至一丈三尺。宋大明祖冲之历夏至影一尺五寸。宋都秣陵遥取影同前，冬至一丈三尺。后魏信都芳注《周髀四术》云：按永平元年戊子，是梁天监之七年也。见洛阳测影，又见公孙崇集。诸朝士共观，秘书影同。是夏至之日，以八尺之表测日中影，皆长一尺五寸八分。虽无六尺近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞邝以九尺表于江左。建康测夏至日中影长一尺三寸二分，以八尺表测之影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分，八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开皇元年，冬至影长一丈二尺七寸二分。开皇二年夏至影一尺四寸八分，冬至长安测夏至，洛阳测及王邵。隋灵感志冬至一丈二尺七寸二分，长安测也。开皇四年，夏至一尺四寸八分，洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分，洛阳测也。大唐贞观二年，己丑五月二十三日癸亥，夏至中影一尺四寸六分，长安测也。十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分，长安测也。按汉魏及隋所记夏至中影，或长短齐其盈缩之中，则夏至之影尺有五寸为近定实矣。以周官推之，洛阳为所交会，则冬至一丈二尺五寸，亦为近矣。按梁武帝都金陵，云洛阳南北大较千里以尺表令其有九尺影则大同十年，江左八尺表夏至中影长一尺一寸七分，若是为夏至。八尺表千里而差一寸弱矣。由此推验，即是夏至影差降升不同，南北远近数亦有异。若以一等，永定恐皆乖理之实。
日高图

日高图注
赵君卿曰：黄甲与黄乙，其实正等，以表高乘两表相去为黄甲之实，以影差为黄甲之广而一，所得则变。得黄甲之袤上，与日齐。按图当加表高。今言八万里者，从表以上复加之青丙与青己，其实亦等。黄甲与青丙相连，黄乙与青己相连，其实亦等。皆以影差为广。
臣鸾曰：求日高法，先置表高八尺，为八万里为袤以相两表。相去二千里为广，乘袤八万里得一亿
六千万里为黄甲之实。以影差二寸为二千里，为法除之，得黄乙之袤八万里，即上与日齐。此言王城去天名曰甲日底地，上至日名曰乙。上天名青丙，下地名青戊。㨿影六尺王城上，天南至日六万里。王城南至日底地亦六万里，是上下等数。日夏至南万六千里者，立表八尺于王城，影一尺六寸，影寸千里。故王城去夏至日，底地万六千里也。

法曰：周髀长八尺，句之损益寸千里。
句，谓影也。言悬天之影，薄地之仪，皆千里而差一寸。

故曰：极者，天广袤也。
言极之远近有定则，天广长可知。

今立表高八尺以望极，其句一丈三寸。由此观之，则从周北十万三千里而至极下。
谓冬至日加卯酉之时，若春秋分之夜半。极南两旁与天中齐，故以为周去天中之数。

荣方曰：《周髀》者，何陈子曰：古时，天子治周。
古时天子谓周成王。时以治周，居王城，故曰昔先王之经邑奄观九隩。靡地不营土圭测影，不缩不盈当风雨之所交。然后可以建王城，此之谓也。

此数望之从周，故曰《周髀》。
言周都河南为四方之中，故以为望主也。

髀者，表也。
用其行事，故曰髀。由此捕望，故曰表影为句，故曰句股也。

日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里。日中无影，以此观之，从南至夏至之日中，十一万九千里。
诸言极者，斥天之中极去周十万三千里，亦谓极与天中齐。时更加南万六千里，是也。

北至其夜半，亦然。
日极在极北，正等也。

凡径二十三万八千里，
并南北之数也。

此夏至日道之径也。
其径者圆中之直者也。

其周七十一万四千里，
周，匝也。谓天戴日行，其数以三乘径。
臣鸾曰：求夏至日道径法列：夏至日去天中心十一万九千里，夏至夜一日。亦去天中心十一万九千里，并之得夏至日道径二十三万八千里，三乘径得周七十一万四千里也。

从夏至之日中至冬至之日中，十一万九千里。
冬至日中去周十三万五千里，除夏至日中去周一万六千里，是也。

北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里，从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里，此冬至日道径也。其周百四十二万八千里，从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。
春秋之日影七尺五寸五分，加望极之句一丈三寸。
臣鸾曰：求冬至日道径法列：夏至去冬至日中十一万九千里，从夏至日道北径亦十一万九千里，并之得冬至日中北极下二十三万八千里。从极至夜半亦二十三万八千里，并之得冬至道径四十七万六千里。以三乘径即冬至日道周一百四十二万八千里。

从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里，周一百七万一千里，故日月之道常缘宿，日道亦与宿正。
内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道二十八宿列焉。日之行也，一出一入，或表或里。五月二十三分月之二十一道，一交谓之合朔交会，及月蚀相去之数，故曰缘宿也。日行黄道以宿为正，故曰宿正于中衡之数，与黄道等。
臣鸾曰：求春秋分日道法列：春秋分日中北至极下十七万八千五百里，从北极北至其夜半亦然。并之得春秋分日道径三十五万七千里，以三乘径，即日道周一百七万一千里。求黄道径法列：从北极南至夏至日中一十一万九千里，以从极北去冬至夜半二十三万八千里，并之得黄道三十五万七千里。从极南至冬至日、北至夏至日夜半，亦黄道径也。以三乘径周，得一百七万一千里也。

南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径三十五万七千里，周一百七万一千里。
此皆黄道之数与中衡等。