刘徽之字叔猷，结庐花圃，谒名三载，未暇命也。一日，读唐人刘言史《秋》诗，其末联云：「才薄无潘舆，便便昼偃庐」。余久客横塘，因娶刘家，而即居焉。按塘东西世谱，盖从王氏光州来。然自闽太傅存，而上失其传。今《唐书·王潮传》所载刘行全，岂其先耶？人之族属多散处，言史亦其祖裔，未可知也。三五百年揣摩旧事，偶或有中，则取「昼偃」以名庐，乃是吾家故实，不犹愈于借诸葛、陶令家事乎？《诗》曰：「岂无他人，不如我同姓」。庆元二年正月望日序。

夫博通九经，为儒门之首；学该六艺，为伎术之宗。若非材性通明，孰能与于此也？然算数起自伏牺，而黄帝定三数为十等，隶首因以著九章。逮乎有虞，乃同律度量衡。孔子曰：谨权量，审法度。汉备五数，纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万。度长短者，不失豪毫厘；量多少者，不失圭撮；权轻重者，不失黍累。五曹孙子，述作滋多；甄鸾刘徽，为之详释。稽之往古，妙绝其能。储校今时，少有闻见。余以总角，志好其文。略寻古今，备览差互。其如明数造术，讵晓端倪。寻改遗言，颇知梗概。且计课租庸调，无术可凭，步数奇残，若为销尽，永变米谷。经旨未赡，正耗共升，何由剖析？三分、五分取一，法理为明焉。况今令式，与古数不同，奚能则定？代相沿革，互议短长，经术尤深，难可意测。是以跋涉川陆，参会宗流，纂定研精，刊繁就省，祛荡疑惑，括诸古法，烛尽毫芒。谨录异同，列之于左。

臣少锐愚尚，专功数术，搜练古今，博采沉奥，唐篇夏典，莫不揆量，周正汉朔，咸加该验。罄策筹之思，究疏密之辨。至若立圆旧误，张衡述而弗改；汉时斛铭，刘歆诡谬其数。此则算氏之剧疵也。《乾象》之弦望定数，《景初》之交度周日，匪谓测候不精，遂乃乘除翻谬，斯又历家之甚失也。及郑玄、阚泽、王蕃、刘徽，并综数艺，而每多疏舛。臣昔以暇日，撰正众谬，理据炳然，易可详密，此臣以俯信偏识，不虚推古人者也。按何承天历，二至先天，闰移一月，五星见伏。或违四旬，列差妄设，当益反损，皆前术之乖远，臣历所改定也。既沿波以讨其源，删滞以畅其要，能使躔次上通，晷管下合，反以讥诋，不其惜乎。寻法兴所议六条，并不造理难之关楗。谨陈其目。

其一：日度岁差，前法所略，臣据经史辨正此数，而法兴设难，征引《诗》、《书》，三事皆谬。其二，臣校晷景，改旧章法，法兴立难，不能有诘，直云「恐非浅虑，所可穿凿」。其三，次改方移，臣无此法，求术意误，横生嫌贬。其四，历上元年甲子，术体明整，则苟合可疑。其五，臣其历七曜，咸始上元，无隙可乘，复云「非凡夫所测」。其六，迟疾阴阳，法兴所未解，误谓两率日数宜同。凡此众条。或援谬目讥，或空加抑绝，未闻折正之谈，厌心之论也。谨随诘洗释，依源征对。仰照天晖，敢罄管穴。

法兴议曰：「夫二至发敛，南北之极，日有恒度，而宿无改位。故古历冬至，皆在建星」。冲之曰：周汉之际，畴人丧业，曲技竞设，图纬实繁。或借号帝王以崇其大。或假名圣贤以神其说。是以谶记多虚，桓谭知其矫妄；古历舛杂，杜预疑其非直。按《五纪论》，黄帝历有四法，颛顼、夏、周，并有二术，诡异纷然，则孰识其正，此古历可疑之据一也。夏历七曜西行，特违众法，刘向以为后人所造，此可疑之据二也。殷历日法九百四十，而《乾鉴度》云殷历以八十一为日法。若《易纬》非差，殷历必妄，此可疑之据三也。《颛顼》历元，岁在乙卯，而《命历序》云：「此术设元，岁在甲寅」。此可疑之据四也。《春秋》书食有日朔者凡二十六，其所据历，非周则鲁。以周历考之，检其朔日，失二十五，鲁历校之，又失十三。二历并乖，则必有一伪，此可疑之据五也。古之六术，并同《四分》，《四分》之法，久则后天。以食检之，经三百年，辄差一日。古历课今，其甚疏者，朔后天过二日有馀。以此推之，古术之作，皆在汉初周末，理不得远。且却校《春秋》，朔并先天，此则非三代以前之明征矣，此可疑之据六也。寻《律历志》，前汉冬至日在斗牛之际，度在建星，其势相邻，自非帝者有造，则仪漏或阙，岂能穷密尽微，纤毫不失。建星之说，未足证矣。

法兴议曰：「战国横骛，史官丧纪，爰及汉初，格候莫审，后杂觇知在南斗二十二度，元和所用，即与古历相符也。逮至景初，终无毫忒」。冲之曰：古术讹杂，其详阙闻，乙卯之历，秦代所用，必有效于当时，故其言可征也。汉武改创，检课详备，正仪审漏，事在前史，测星辨度，理无乖远。今议者所是不实见，所非徒为虚妄，辨彼骇此，既非通谈，运今背古，所诬诚多，偏据一说，未若兼今之为长也。《景初》之法，实错五纬，今则在冲口，至曩已移日。盖略治朔望，无事检侯，是以晷漏昏明，并即《元和》，二分异景，尚不知革，日度微差，宜其谬矣。

法兴议曰：「《书》云『日短星昴，以正仲冬』。直以月推四仲，则中宿常在卫阳，羲、和所以正时，取其万代不易也。冲之以为唐代冬至，日在今宿之左五十许度，遂虚加度分，空撤天路」。冲之曰：《书》以四星昏中审分至者，据人君南面而言也。且南北之正，其详易准，流见之势，中天为极。先儒注述，其义佥同，而法兴以为《书》说四星，皆在卫阳之位，自在巳地，进失向方，退非始见，迂回经文，以就所执，违训诡情，此则甚矣。舍午称巳，午上非无星也。必据中宿，馀宿岂复不足以正时。若谓举中语兼七列者，觜参尚隐，则不得言，昴星虽见，当云伏矣。奎娄已见，复不得言伏见（缺）不得以为辞，则名将何附。若中宿之通非允。当实谨检经旨，直云星昴，不自卫阳，卫阳无自显之义，此谈何因而立。苟理无所依，则可愚辞成说，曾泉、桑野，皆为明证，分至之辨，竟在何日，循复再三，窃深叹息。

法兴议曰：「其置法所在，近违半次，则四十五年九月率移一度」。冲之曰：《元和》日度，法兴所是，唯征古历在建星，以今考之，臣法冬至亦在此宿，斗二十二了无显证，而虚贬臣历乖差半次，此愚情之所骇也。又年数之馀有十一月，而议云九月，涉数每乖，皆此类也。月盈则食，必在日冲以检日则宿度可辨，请据效以课疏密。按太史注记，元嘉十三年十二月十六日中夜月蚀尽，在鬼四度，以冲计之，日当在牛六。依法兴议曰「在女七」，又十四年五月十五日丁夜月蚀尽，在斗二十六度，以冲计之，日当在井三十。依法兴议曰：「日在柳二」。又二十八年八月十五日丁夜月蚀，在奎十一度，以冲计之，日当在角二。依法兴议曰：「日在角十二」。又大明三年九月十五日乙夜月蚀尽，在胃宿之末，以冲计之，日当在氐十二。依法兴议曰：「日在心二」。凡此四蚀，皆与臣法符同，纤毫不爽，而法兴所据，顿差十度，违冲移宿，显然易睹。故知天数渐差，则当式遵以为典，事验昭皙，岂得信古而疑今。

法兴议曰：「在《诗》『七月流火』，此夏正建申之时也。『定之方中』，又小雪之节也。若冬至审差，则幽公火流，晷长一尺五寸，楚宫之作，昼漏五十三刻，此诡之甚也」。冲之曰：臣按此议三条皆谬，《诗》称流火，盖略举西移之中，以为惊寒之候。流之为言，非始动之辞也。就如始说，冬至日度在斗二十二。则火星之中，当在大暑之前，岂邻建申之限。此专自攻纠，非谓矫失。《夏小正》：「五月昏，大火中」。此复在卫阳之地乎。又谓臣所立法，楚宫之作，在九月初。按《诗》传笺皆谓定之方中者，室辟昏中，形四方也。然则中天之正，当在室之八度。臣历推之，元年立冬后四日，此度昏中，乃自十月之初，又非寒露之日也。议者之意，盖误以周世为尧时，度差五十，故致此谬。小雪之节，自信之谈，非有明文可据也。

法兴议曰：「仲尼曰：『丘闻之，火伏而后蛰者毕。今火犹西流，司历过也』。就如冲之所误，则星无定次，卦有差方，名号之正，古今必殊，典诰之音，时不通轨。尧之开、闭，今成建、除，今之寿星，乃周之鹑尾也。即时东壁，已非玄武，轸星顿属苍龙，诬天背经，乃至于此」。冲之曰：臣以为辰极居中，而列曜贞观，群象殊体，而阴阳区别，故羽介咸陈，则水火有位，苍素齐设，则东西可准，非以日之所在，定其名号也。何以明之？夫阳爻初九，气始正北，玄武七列，虚当子位。若圆仪辨方，以日为主，冬至所舍，当在玄枵；而今之南极，乃处东维，违体失中，其义何附。若南北以冬夏禀称，则卯酉以生杀定号，岂得春躔义方，秋丽仁域，名舛理乘，若此之反哉！因兹以言，固知天以列宿分方，而不在于四时，景纬环序，日不独守故辙矣。至于中星见伏，记籍每以审时者，盖以历数难详，而天验易显，各据一代所合，以为简易之政也。亦犹夏礼未通商典，《濩》容岂袭《韶》节，诚天人之道同差，则艺之兴，因代而推移矣。月位称建，谅以气之所本，名随实著，非谓斗杓所指，近校汉时，已差半次，审斗节时，其效安在。或义非经训，依以成说，将纬候多诡，伪辞间设乎？次随方名，义合宿体，分至虽迁，而厥位不改，岂谓龙火贸处，金水乱列，名号乖殊之讥，抑未详究？至如壁非玄武，轸属苍龙，瞻度察晷，实效咸然。《元嘉历法》，寿星之初，亦在翼限，参校晋注，显验甚众。天数差移，百有馀载，议者诚能驰辞骋辩，令南极非冬至，望不在冲，则此谈乃可守耳。若使日迁次留，则无事屡显，乃臣历之良证，非难者所宜列也。寻臣所执，必据经史，远考唐典，近征汉籍，谶记碎言，不敢依述，窃谓循经之论也。月蚀检日度，事验昭著，史注详论，文存禁阁，斯又稽天之说也。《尧典》四星，并在卫阳，今之日度，远准元和，诬背之诮，实此之谓。

法兴议曰：「夫日有缓急，故斗有阔狭，古人制章，立为中格，年积十九，常有七闰，晷或盈虚，此不可革。冲之削闰坏章，倍减馀数，则一百三十九年二月，于四分之料，顿少一日；七千四百二十九年，辄失一闰。夫日少则先时，闰失则事悖。窃闻时以作事，事以厚生，此乃生民之所本，历数之所先。愚恐非冲之浅虑，妄可穿凿」。冲之曰，按《后汉书》及《乾象》说，《四分历法》虽分章部创自元和，而晷仪众数定于嘉平三年。《四分志》，立冬中影长一丈，立春中影九尺六寸。寻冬至南极，日晷最长，二气去至，日数既同，则中影应等，而前长后短，顿差四寸，此历景冬至后天之验也。二气中影。日差九分半弱，进退均调，略无盈缩，以率计之，二气各退二日十二刻，则晷影之数，立冬更短，立春更长，并差二寸，二气中影俱长九尺八寸矣。即立冬、立春之正日也。以此推之，历置冬至，后天亦二日十二刻也。嘉平三年，时历丁丑冬至，加时正在日中。以二日十二刻减之，天定以乙亥冬至，加时在夜半后三十八刻。又臣测景历纪，躬辨分寸，铜表坚刚，暴润不动，光晷明洁，纤毫𢛯然。据大明五年十月十日，影一丈七寸七分半，十一月二十五日，一丈八寸一分太，二十六日，一丈七寸五分强，折取其中，则中天冬至，应在十一月三日。求其蚤晚，令后二日影相灭，则一日差率也。倍之为法，前二日减，以百刻乘之为实，以法除实，得冬至加时在夜半后三十一刻，在《元嘉历》后一日，天数之正也。量检竟年，则数减均同，异岁相课，则远近应率。臣因此验，考正章法。今以臣历推之，刻如前，窃谓至密，永为定式。寻古历法并同《四分》，《四分》之数久则后天，经三百年，朔差一日。是以汉载四百，食率在晦。魏代已来，遂革斯法，世莫之非者，诚有效于天也。章岁十九，其疏尤甚，同出前术，非见经典。而议云此法自古，数不可移。若古法虽疏，永当循用，谬论诚立，则法兴复欲施《四分》于当今矣，理容然乎？臣所未譬也。若谓今所革创，违舛失衷者，未闻显据有以矫夺臣法也。《元嘉历》术，减闰馀二，直以袭旧分粗，故进退未合。至于弃盈求正，非为乖理。就如议意，率不可易，则分无增损，承天置法，复为违谬。节气蚤晚，当循《景初》，二至差三日，曾不觉其非，横谓臣历为失，知以少之先时，未悟增月之甚惑也。诚未睹天验，岂测历数之要，生民之本，谅非率意所断矣。又法兴始云穷识晷变，可以刊旧革今。今复谓晷数盈虚，不可为准，互自违伐，罔识所依。若推步不得准，天功绝于心目，未详历纪何因而立。案《春秋》以来千有馀载，以食检朔，曾无差失，此则日行有恒之明征也。且臣考影弥年，穷察毫微，课验以前，合若符契，孟子以为千岁之日至，可坐而知，斯言实矣。日有缓急，未见其证，浮辞虚贬，窃非所惧。

法兴议曰：「冲之既云冬至岁差，又谓虚为北中，舍形责影，未足为迷。何者？凡在天非日不明，居地以斗而辨。借令冬至在虚，则黄道弥远，东北当为黄钟之宫，室壁应属玄枵之位，虚宿岂得复为北中乎？曲使分至屡迁，而星次不改，招摇易绳，而律吕仍往，则七政不以玑衡致齐，建时亦非摄提所纪，不知五行何居，六属安托」。冲之曰：此条所嫌，前牒已详。次改方移，虚非中位，繁辞广证，自构纷惑，皆议者所谬误，非臣法之违设也。七政致齐，实谓天仪，郑、王唱述，厥训明允，虽有异说，盖非实义。

法兴议曰：「夫置元设纪，各有所尚，或据文于图谶。或取效于当时。冲之云：『群氏纠纷，莫审其会』。昔《黄帝》辛卯，日月不过，《颛顼》乙卯，四时不忒，《景初》壬辰，晦无差光，《元嘉》庚辰，朔无错景，岂非承天者乎。冲之苟存甲子，可谓为合以求天也」。冲之曰：夫历存效密，不容殊尚，合谶乖说，训义非所取，虽验当时，不能通远，又臣所未安也。元值始名，体明理正。未详辛卯之说何依，古术诡谬，事在前牒，溺名丧实，殆非索隐之谓也。若以历合一时，理无久用，元在所会，非有定岁者，今以效明之。夏、殷以前，载籍沦逸，《春秋》汉史，咸书月蚀，正朔详审，显然可征。以臣历检之，数皆协同，诚无虚设，循密而至，千载无殊，则虽远可知矣。备阅曩法，疏越实多。或朔差三日，气移七晨，未闻可以下通于今者也。元在乙丑，前说以为非正，今值甲子，议者复疑其苟合，无名之岁，自昔无之，则推先者，将何从乎？历纪之作，几于息矣。夫为合必有不合，愿闻显据，以核理实。

法兴曰：「夫交会之元，则蚀既可求，迟疾之际，非凡夫所测。昔贾逵略见其差，刘洪粗著其术，至于疏密之数，莫究其极。且五纬所居，有时盈缩，即如岁星在轸，见超七辰，术家既追算以会今，则往之与来，断可知矣。《景初》所以纪首置差，元嘉兼又各设后元者，其并省功于实用，不虚推以为烦也。冲之既违天于改易，又设法以遂情，愚谓此治历之大过也」。冲之曰：迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推，刘、贾能述，则可累功以求密矣。议又云：「五纬所居，有时盈缩」。「岁星在轸，见超七辰」。谓应年移一辰也。案岁星之运，年恒过次，行天七匝，辄超一位。代以求之，历凡十法，并合一时，此数咸同，史注所记，天验又符。此则盈次之行，自其定准，非为衍度滥徙，顿过其冲也。若审由盈缩，岂得常疾无迟。夫甄耀测象者，必料分析度，考往验来，准以实见，据以经史。曲辩碎说，类多浮诡，甘、石之书，互为矛盾。今以一句之经，诬一字之谬，坚执偏论，以罔正理，此愚情之所未厌也。算自近始，众法可同，但《景初》之二差，承天之元，实以奇偶不协，故数无尽同，为遗前设后，以从省易。夫建言倡论，岂尚矫异，盖令实以文显，言势可极也。稽元曩岁，群数咸始，斯诚术体，理不可容讥；而讥者以为过，谬之大者。然则《元嘉》置元，虽七率舛陈，而犹纪协甲子，气朔俱终，此又过谬之小者也。必当虚立上元，假称历始，岁违名初，日避辰首，闰馀朔分，月纬七率，并不得有尽，乃为允衷之制乎？设法情实，谓意之所安，改易违天，未睹理之讥者也。

法兴曰：「日有八行，合成一道，月有一道，离为九行，左交右疾，倍半相违，其一终之理，日数宜同。冲之通周与会周相觉九千四十，其阴阳七十九周有奇，迟疾不及一匝，此则当缩反盈，应损更益」。冲之曰：此议虽游漫无据，然言迹可检。按以日八行譬月九道，此为月行之轨，当循一辙，环匝于天，理无差动也。然则交会之际，当有定所，岂容或斗或牛，同丽一度。去极应等，安得南北无常。若日月非例，则八行之说是衍文邪？左交右疾，语甚未分，为交与疾对？为舍交即疾，若舍交即疾，即交在平率入历七日及二十一日是也。值交蚀既当在盈缩之极，岂得损益。或多或少。若交与疾对，则在交之冲，当为迟疾之始，岂得入历或深或浅，倍半相违，新故所同，复标此句，欲以何明。臣览历书，古今略备，至如此说，所未前闻，远乖旧准，近背天数，求之愚情，窃所深惑。寻迟疾阴阳不相生，故交会加时，进退无常。昔术著之久矣，前儒言之详矣。而法兴云日数同。窃谓议者未晓此意，乖谬自著，无假骤辩。既云盈缩失衷，复不备记其数。或自嫌所执，故泛略其说乎？又以全为率，当互因其分，法兴所列二数皆误。或以八十为七十九，当缩反盈，应损反益，此条之谓矣。总检其议，岂但臣历不密，又谓何承天法乖谬弥甚。若臣历宜弃，则承天术益不可用。法兴所见既审，则应革创。至非景极，望非日冲，凡诸新说，必有妙辩乎（《宋书·历志》下）？

《黄帝九章》古序云：「国家尝设算科取士，选《九章》以为算经之首，盖犹儒者之六经，医家之《难》、《素》，兵法之《孙子》欤」。昔圣宋绍兴戊辰，算士荣棨谓靖康以来，罕有旧本，间有存者，狃于末习。向获善本，得其全经，复起于学。以魏景元元年刘徽等、唐朝义大夫行太史令上轻车都尉李淳风等注释，圣宋右班直贾宪撰草。辉尝闻学者谓《九章》题问颇隐，法理难明，不得其门而入，于是以答参问，用草考法，因法推类，然后知斯文非古之全经也。将后贤补赘之文，修前代已废之法，删立题术，又纂法问，详著于后。傥得贤者改而正诸，是所愿也。

夫六艺之设，数学居其一焉。昔黄帝时，大夫隶首创此艺，继得周公署《九章》。战国则有魏刘徽撰《海岛》，至汉甄鸾注《周髀五经》，唐李淳风校正诸家算法。自昔历代名贤皆以此艺为重。迄于我宋，设科取士，亦以《九章》为算经之首。辉所以尊尚此书，留意详解。或者有云无启蒙之术，初学病之，又以乘除加为法，称斗尺田为问，目之曰《日用算法》。而学者粗知加减归借之法，而不知变通之用，遂易代乘代除之术，增续新条目，曰《乘除通变本末》。及见中山刘先生益撰《议古根源》，演段锁积，有超古入神之妙，其可不为发扬，以裨后学？遂集为《田亩算法》。通前共刊四集，自谓斯愿满矣。一日，忽刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧列遗忘之文，求成为集，愿助工板刊行，遂添摭诸家奇题，与夫缮本，及可以续古法草，总为一集，目之曰《续古摘奇算法》，与好事者共之，观者幸勿罪其僭。时德祐改元冬至壬辰日，钱塘杨辉谨识。

臣孝通言。臣闻九畴载叙。纪法著于彝伦。六艺成功。数术参于造化。夫为君上者。司牧黔首。布神道而设教。采能事而经纶。尽性穷源。莫重于算。昔周公制礼。有九数之名。窃寻九数。即九章是也。其理幽而微。其形秘而约。重勺聊用测海。寸木可以量天。非宇宙之至精。其孰能与于此者。汉代张苍。删补残缺。校其条目。颇与古术不同。魏朝刘徽。笃好斯言。博综纤隐。更为之注。徽思极毫芒。触类增长。乃造重差之法。列于终篇。虽未即为司南。然亦一时独步。自兹厥后。不继前踪。贺循徐岳之徒。王彪甄鸾之辈。会通之数。无闻焉耳。但旧经残駮。尚有缺漏。自刘巳下。更不足言。其祖暅之缀术。时人称之精妙。曾不觉方邑进行之术。全错不通。刍亭方亭之问。于理未尽。臣今更作新术。于此附伸。臣长自闾阎。少小学算。镌磨愚钝。迄将皓首。钻寻秘奥。曲尽无遗。代乏知音。终成寡和。伏蒙圣朝收拾。用臣为太史丞。比年巳来。奉敕校勘傅仁均历。凡駮正术错三十馀道。即付太史施行。伏寻九章商功篇。有平地役功受袤之术。至于上宽下狭。前高后卑。正经之内。阙而不论。致使今代之人。不达深理。就平正之閒。同欹邪之用。斯乃圆孔方枘。如何可安。臣昼思夜想。临书浩叹。恐一旦瞑目。将来莫睹。遂于平地之馀。续狭斜之法。凡二十术。名曰缉古。请访能算之人。考论得失。如有排其一字。臣欲谢以千金。轻用陈闻。伏深战悚。谨言。

《九章算经》九卷，周公之遗书，而汉丞相张苍之所删补也。算数之书，凡数十家，独以《九章》为经之首。以其九数之法，无所不备。诸家立术虽有变通，推其本意，皆自此出，而且知后人无以易周汉之旧也。自唐有国，用之以取士。本朝崇宁亦立于学官，故前世算数之学，相望有人。自衣冠南渡以来，此学既废，非独好之者寡，而《九章》正经亦几泯没无传矣。近世民间之本，题之曰《黄帝九章》，岂以为为隶首之所作欤？名以不当，虽有细草，类皆简捷残阙，懵于本原，无有刘徽、李淳风之旧注者。古人之意不复可见，每为慨叹。庆元庚申之夏，余在都城，与太史局同知算造杨忠辅德之论历，因从其家得古本《九章》，乃汴都之故书。今秘馆所定著，亦从此本写以送官者也。谨按《晋志》，刘徽所注《九章》，实魏之景元四年。观其序文，以谓析理以辞，解体用图，又造重差于勾股之下。辞乃令之注文，其图至唐犹在，今则亡矣。重差之法，今之《海岛算经》是也。又李淳风之注，见于《唐志》，凡九卷，而今之盈不足方程之篇，咸阙淳风注文。意者此书岁久，传录不无错漏，犹幸有此存者，今此乃是合刘、李二注而为一书云。其年六月一日乙酉，迪功郎、新隆兴府靖安县主簿括苍鲍浣之仲祺谨书。