別集類
之成帝以为
法戒其篇首论君道者有三师旷之对晋平公
曰人君之道清净无为务在博爱趋在任贤广
开耳目以察万 方廓然 远见踔然独立此人君
之操也尹文之对齐宣王曰人君之事无为而
能容下事寡易从法省易因大道容众大德容
下周 (第 3a 页)
法戒其篇首论君道者有三师旷之对晋平公
曰人君之道清净无为务在博爱趋在任贤广
开耳目以察万 方廓然 远见踔然独立此人君
之操也尹文之对齐宣王曰人君之事无为而
能容下事寡易从法省易因大道容众大德容
下周 (第 3a 页)
皆仲舒推明正学之力及其两事骄王皆能以礼义
匡正无所陵荡可谓真儒矣使其处之切要因武帝
聪明特达之资当嗜好 方开之 日纳约自牖而启沃
之以善无少间断则其格君之功岂止如江都胶西
而已哉自昔时君世主尝患外重内轻本小末 (第 2a 页)
匡正无所陵荡可谓真儒矣使其处之切要因武帝
聪明特达之资当嗜好 方开之 日纳约自牖而启沃
之以善无少间断则其格君之功岂止如江都胶西
而已哉自昔时君世主尝患外重内轻本小末 (第 2a 页)
勾股测望论
勾股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟
速之变山溪之高深广远凡目力所及无不可知盖不
能逃乎数也勾股之法横为勾纵为股斜为弦勾股求
弦勾股自乘相并为实平 方开之 得弦勾股求股勾弦
自乘相减为实平 (第 23b 页)
方开之 得股股弦求勾同法盖一弦
实藏一勾一股之实一勾一股之实并得一弦实也数
非两不行因勾股而得弦因股弦而 …… (第 23b 页)
之圆又准于均齐之圆以方为率径十寸矢
一寸则积必是十寸矢二寸则积必是二十寸但得积
为实只约矢与径为从平 方开之 足矣盖方无虚隅也 …… (第 29a 页)
自乘该十二
寸二分五釐上廉三寸五分下廉十寸以三乘 方开之
而一寸无开方则上下廉如元数共得十三寸五分为
廉法与一寸矢相乘除实恰少一寸二分五釐是为负 …… (第 30a 页)
寸则带二分五釐为准以减径
然后法实相当也又如径十寸矢二寸积该十寸自乘
该百寸上廉十寸下廉亦十寸以三乘 方开之 则须以
矢数乘上廉上廉该得二十寸盖长十寸而高二寸之
数以矢数自乘得四而乘下廉下廉该得四十寸盖高
十寸 …… (第 30b 页)
弦相并之
本数除矢而弦可见也径矢求积则先得弦而后得积
盖以矢减径以矢乘之四因得数而弦幂藏于其中平
方 开之 得弦乃以矢自乘以矢与弦相乘合二数而半
之则得积矣 …… (第 34a 页)
妙也其径背求矢法则以半背自乘为实而约矢以减
径以矢乘之为半弦幂而平方 开之 以减背其减馀之
数恰与矢之背弦差数相当则矢数见矣盖半背数中
藏一半弦数藏一背弦差数故合二数而消息之也 …… (第 34b 页)
半背三寸一分十寸之径每一寸矢该差
二分二寸矢该差四分为定差今约矢一寸以减径得
九寸以矢乘亦得九寸平方 开之 得三寸为半弦以除
半背而馀一分恰勾一寸差数则矢之为一寸也无疑 …… (第 34b 页)
如径十寸半背四寸四分约得矢二寸以减径馀
八寸以矢乘得十六寸为弦幂平方 开之 为四寸以减
半背四寸而馀四分恰得二寸矢之定差则矢之为二
寸也无疑矣又法半背幂自乘为实中藏一个半弦自 …… (第 35a 页)
四分除之则定差本数也夫背
弦差者矢之所藏也以差立法古未有之而实求矢之
大机也差径求矢以差与径相乘平方 开之 得矢差矢
求径矢自乘以差为从平方 (第 37a 页)
开之 得径而差与弦亦可
以求矢径半弦之幂矢除径而矢乘径之数也差者矢
幂而径除之之数也先约径矢数与弦幂相同而 (第 37a 页)
勾股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟
速之变山溪之高深广远凡目力所及无不可知盖不
能逃乎数也勾股之法横为勾纵为股斜为弦勾股求
弦勾股自乘相并为实平 方开之 得弦勾股求股勾弦
自乘相减为实平 (第 23b 页)
方开之 得股股弦求勾同法盖一弦
实藏一勾一股之实一勾一股之实并得一弦实也数
非两不行因勾股而得弦因股弦而 …… (第 23b 页)
之圆又准于均齐之圆以方为率径十寸矢
一寸则积必是十寸矢二寸则积必是二十寸但得积
为实只约矢与径为从平 方开之 足矣盖方无虚隅也 …… (第 29a 页)
自乘该
寸二分五釐上廉三寸五分下廉十寸以三乘 方开之
而一寸无开方则上下廉如元数共得十三寸五分为
廉法与一寸矢相乘除实恰少一寸二分五釐是为负 …… (第 30a 页)
寸则带二分五釐为准以减径
然后法实相当也又如径十寸矢二寸积该十寸自乘
该百寸上廉十寸下廉亦十寸以三乘 方开之 则须以
矢数乘上廉上廉该得二十寸盖长十寸而高二寸之
数以矢数自乘得四而乘下廉下廉该得四十寸盖高
十寸 …… (第 30b 页)
弦相并之
本数除矢而弦可见也径矢求积则先得弦而后得积
盖以矢减径以矢乘之四因得数而弦幂藏于其中平
方 开之 得弦乃以矢自乘以矢
之则得积矣 …… (第 34a 页)
妙也其径背求矢法则以半背自乘为实而约矢以减
径以矢乘之为半弦幂而平方 开之 以减背其减馀之
数恰与矢之背弦差数相当则矢数见矣盖半背数中
藏一半弦数藏一背弦差数故合二数而消息之也 …… (第 34b 页)
半背三寸一分十寸之径每一寸矢该差
二分二寸矢该差四分为定差今约矢一寸以减径得
九寸以矢乘亦得九寸平方 开之 得三寸为半弦以除
半背而馀一分恰勾一寸差数则矢之为一寸也无疑 …… (第 34b 页)
如径十寸半背四寸四分约得矢二寸以减径馀
八寸以矢乘得十六寸为弦幂平方 开之 为四寸以减
半背四寸而馀四分恰得二寸矢之定差则矢之为二
寸也无疑矣又法半背幂自乘为实中藏一个半弦自 …… (第 35a 页)
四分除之则定差本数也夫背
弦差者矢之所藏也以差立法古未有之而实求矢之
大机也差径求矢以差与径相乘平方 开之 得矢差矢
求径矢自乘以差为从平方 (第 37a 页)
开之 得径而差与弦亦可
以求矢径半弦之幂矢除径而矢乘径之数也差者矢
幂而径除之之数也先约径矢数与弦幂相同而 (第 37a 页)
答曰。中率六万一千八百零三。
末率三万八千一百九十七。
术曰。求中率则首率自乘为长方积。仍以首率为长广。较以带纵较数直 方开之。 求末率。则中率反减首率。
又首率为股。首率折半为胊。推得弦内减勾馀为中率。反减首率。为末率。 …… (第 186H 页)
术曰。原雇钱通内乘今雇钱分母。转乘原车行分母为一率。原车行通内为二率。今雇钱通内乘原雇钱分母为三率。
正方面积一十尺。问每方尺几何。(以下开方之分。)
答曰。三尺七分尺之一强。
术曰。置为实平方 开之 馀实一尺。不尽倍商。(商为方倍之为两方。)添八廉一。(为两方之 (第 187L 页)
隅角。)共七为分母。实馀一为分子。(廉乘商。加方添廉为分母。亦得。○开方之分。可见大较。终有盈朒。实非精率。还原则原尺自乘。添入馀尺乃准。)
正方面积四万五千六百七十八尺。问每方尺几何。
答曰。二百一十三尺四百二十七分尺之三百九。
术曰。置积为实平方 开之 馀实三百九尺。倍商添廉为分母。实馀为分子。
正立方积二十八尺。问每方尺几何。
答曰。三尺三十七分尺 (第 188H 页)
之一。
术曰。置积为实立方 开之 馀实一尺。商自乘。(商为一方线自乘。为一方面。)三因之。(为三方面。)得二十七。又三因之商。(商为一 (第 188H 页)
方三因之为三方。)得九。并之添廉一。(为三方之隅角。)共三十七为分母。实馀一为分子。(廉乘商加隅。隅乘商加方。三因商并方添廉为分母。亦得。)
正立方积一万五千七百三十六尺。问每方尺几何。
答曰。二十五尺一千九百五十一分尺之一百一十一。
术曰。置积为实立方 开之 馀实一百一十一尺。商自乘。又三因之。得一千八百七十五。又三因商。得七十五。并之添廉为分母。实馀为分子 …… (第 188H 页)
术曰。列积以四因之。得八千二百八尺。又以和尺自乘。得八千四百六十四。内减四积之数。馀二百五十六尺为实。平方 开之。 得一十六尺为长广。较并和尺为一百八尺。折半得五十四尺为长。减较得二十八尺为广。
又列积为实。以和为 …… (第 193H 页)
术曰。列积四因之。得二十八万七千二百九十六。和步自乘。得四十四万八千九百。内减四积之数。馀一十六万一千六百四为实。平方 开之。 得四百二为长广。较并和步折半为长。减较为广。
又以减从法求广。则列积为实。以和为方。以一为廉。方再 …… (第 193L 页)
术曰。列积为实。以较为方。一为廉。方一进廉再退。上商二十。廉商相乘(一二二)加方。得五百。商方相乘(二五十)除实。馀四百五十六。又廉商相乘(一二二)加方。得七百。方一退廉再退。续商六步。廉商相乘(一六六)加方。得七十六。商方相乘(六七四十二○六六三十六)除实恰尽。得广加较得长。
正圆面积五百八十八尺。问周径各几何。
答曰。周八十四尺。
径二十八尺。
术曰。先求周则列积十二乘之。得七千五十六为实。平方 开之。 得周三 (第 193L 页)
归之为径。
先求径则四因之三归之。得七百八十四为实。平方 开之。 得径三因为周。
圆营积七万一千八百二十四步。问周径各几何。
答曰。周九百二十八步三分。(馀一十二步 …… (第 194H 页)
径三百九步四分。(馀二十七步七分三釐。)
术曰。求周则置积十二乘之。得八十六万一千八百八十八为实。平方 开之。 得周馀一百四十七步一分一釐。十二除之。(还原。)为馀实数。
求径则置积四因之三归之。得九万五千七百 (第 194H 页)
六十五步三分步之一。通分内子。(还四因原数。)得二十八万七千二百九十六为实。平方 开之。 但以分母三为廉。如初商三百。以廉乘商。以九为方。商方相乘以二七除实也。得径尺馀一百一十步九分二釐。三 …… (第 194H 页)
术曰。置积倍之。(为长方面积。)又四因之。得六百七十二。和自乘得六百七十六。内减积数馀四尺为实。平方 开之。 得二尺为面。中较加和。折半得每面尺。减较得中长尺。
三角营积一万四千一百一十二步。只云每面中长和三百 …… (第 194H 页)
术曰。置积倍之。又四因之。得一十一万二千八百九十六。自和乘得一十一万五千六百。内减积数。馀二千七百四为实。平方 开之。 得五十二步为面。中较加和。折半得面步。减较得中步。 …… (第 194H 页)
术曰。置积三归之四因之。(弧矢面为长方面四分之三。)又四因之。得一千二百八十。和自乘。得二千三百四。内减积数。馀一千二十四为实。平方 开之。 得三十二尺为弦矢。较加和折半。得弦减较得矢。
偃月营积七千八百六十四万三千二百步。只云弦矢和二万九千 …… (第 194L 页)
术曰。置积三归之四因之。又四因之。得四亿一千九百四十三万四百。和自乘。得八亿八千一百八十五万二千四百一十六。内减积数。馀四亿六千二百四十二万二千一十六为实。平方 开之。 得二万一千五百四步为弦矢。较加和折半。得弦减较得矢。
正立方积一万五千六百二十五尺。问每方几何。
…… (第 194L 页)
答曰。四十八尺。
术曰。置积以一十六乘之。得九十九万五千三百二十八。以九除之。得一十一万五百九十二为实。立方 开之。 西洋圆舶积三万六千步。问径几何。
答曰。四十步。
术曰。置积以一十六乘之。以九除之。得六万四千 (第 195H 页)
步为实。立方 开之。 军营开方法
今有军总一万七千九百五十六人。每人纵横占地四步。问积几何。
答曰。七万一千八百二 …… (第 195H 页)
术曰。置军数以四步因之。合问。
今有营积七万一千八百二十四步。欲为方营。问方面步几何。
答曰。二百六十八步。
术曰。置积为实。以一为廉。平方 开之。(倍方之法一退者不再倍) 合问。
今有营积如上。欲为圆营。问周径各几何。
答曰。径三百零九步四分。(馀二十七步七分三釐。) …… (第 195H 页)
术曰。求径者。以圆田术置积数。四因之三归之。得九万五千七百六十五步三分步之一。通分内子。得二十八万七千二百九十六为实。以三为廉。平方 开之。 合问。馀一百一十步零九分二釐。三因之归之。得八十三步一分九釐。(开方之实。以四因三归而得数。故三因四 …… (第 195H 页)
求周者。置积数身外加二。(圆田求周十二乘之。)得八十六万一千八百八十八为
实。以一为廉。平方 开之。 合问。馀一百四十七步一分一釐身外减二。(还原求本)为馀实数。
三廉开方。术曰。列通分数为实。借分母 …… (第 195L 页)
术曰。置积八因之三归之。得一十九万一千五百三十步零三分步之二。通分内子。得五十七万四千五百九十二为实。以分母三为廉。平方 开之。 合问。馀二百一十四步三分一釐。八归之三因之。又以分母三归之。求矢者折半弦步。
今有营积如上。欲为三角 (第 195L 页)
营。问径几何。
答曰。三百七十九步。(馀三步半。)
术曰。置积倍之为实。平方 开之。 合问。馀七步半之。
杂法(二十一题)
高竿影长三十五尺二寸。傍立短竿长十尺。影长六尺四寸。问高竿 (第 195L 页)
末率三万八千一百九十七。
术曰。求中率则首率自乘为长方积。仍以首率为长广。较以带纵较数直 方开之。 求末率。则中率反减首率。
又首率为股。首率折半为胊。推得弦内减勾馀为中率。反减首率。为末率。 …… (第 186H 页)
术曰。原雇钱通内乘今雇钱分母。转乘原车行分母为一率。原车行通内为二率。今雇钱通内乘原雇钱分母为三率。
正方面积一十尺。问每方尺几何。(以下开方之分。)
答曰。三尺七分尺之一强。
术曰。置为实平方 开之 馀实一尺。不尽倍商。(商为方倍之为两方。)添八廉一。(为两方之 (第 187L 页)
隅角。)共七为分母。实馀一为分子。(廉乘商。加方添廉为分母。亦得。○开方之分。可见大较。终有盈朒。实非精率。还原则原尺自乘。添入馀尺乃准。)
正方面积四万五千六百七十八尺。问每方尺几何。
答曰。二百一十三尺四百二十七分尺之三百九。
术曰。置积为实平方 开之 馀实三百九尺。倍商添廉为分母。实馀为分子。
正立方积二十八尺。问每方尺几何。
答曰。三尺三十七分尺 (第 188H 页)
之一。
术曰。置积为实立方 开之 馀实一尺。商自乘。(商为一方线自乘。为一方面。)三因之。(为三方面。)得二十七。又三因之商。(商为一 (第 188H 页)
方三因之为三方。)得九。并之添廉一。(为三方之隅角。)共三十七为分母。实馀一为分子。(廉乘商加隅。隅乘商加方。三因商并方添廉为分母。亦得。)
正立方积一万五千七百三十六尺。问每方尺几何。
答曰。二十五尺一千九百五十一分尺之一百一十一。
术曰。置积为实立方 开之 馀实一百一十一尺。商自乘。又三因之。得一千八百七十五。又三因商。得七十五。并之添廉为分母。实馀为分子 …… (第 188H 页)
术曰。列积以四因之。得八千二百八尺。又以和尺自乘。得八千四百六十四。内减四积之数。馀二百五十六尺为实。平方 开之。 得一十六尺为长广。较并和尺为一百八尺。折半得五十四尺为长。减较得二十八尺为广。
又列积为实。以和为 …… (第 193H 页)
术曰。列积四因之。得二十八万七千二百九十六。和步自乘。得四十四万八千九百。内减四积之数。馀一十六万一千六百四为实。平方 开之。 得四百二为长广。较并和步折半为长。减较为广。
又以减从法求广。则列积为实。以和为方。以一为廉。方再 …… (第 193L 页)
术曰。列积为实。以较为方。一为廉。方一进廉再退。上商二十。廉商相乘(一二二)加方。得五百。商方相乘(二五十)除实。馀四百五十六。又廉商相乘(一二二)加方。得七百。方一退廉再退。续商六步。廉商相乘(一六六)加方。得七十六。商方相乘(六七四十二○六六三十六)除实恰尽。得广加较得长。
正圆面积五百八十八尺。问周径各几何。
答曰。周八十四尺。
径二十八尺。
术曰。先求周则列积十二乘之。得七千五十六为实。平方 开之。 得周三 (第 193L 页)
归之为径。
先求径则四因之三归之。得七百八十四为实。平方 开之。 得径三因为周。
圆营积七万一千八百二十四步。问周径各几何。
答曰。周九百二十八步三分。(馀一十二步 …… (第 194H 页)
径三百九步四分。(馀二十七步七分三釐。)
术曰。求周则置积十二乘之。得八十六万一千八百八十八为实。平方 开之。 得周馀一百四十七步一分一釐。十二除之。(还原。)为馀实数。
求径则置积四因之三归之。得九万五千七百 (第 194H 页)
六十五步三分步之一。通分内子。(还四因原数。)得二十八万七千二百九十六为实。平方 开之。 但以分母三为廉。如初商三百。以廉乘商。以九为方。商方相乘以二七除实也。得径尺馀一百一十步九分二釐。三 …… (第 194H 页)
术曰。置积倍之。(为长方面积。)又四因之。得六百七十二。和自乘得六百七十六。内减积数馀四尺为实。平方 开之。 得二尺为面。中较加和。折半得每面尺。减较得中长尺。
三角营积一万四千一百一十二步。只云每面中长和三百 …… (第 194H 页)
术曰。置积倍之。又四因之。得一十一万二千八百九十六。自和乘得一十一万五千六百。内减积数。馀二千七百四为实。平方 开之。 得五十二步为面。中较加和。折半得面步。减较得中步。 …… (第 194H 页)
术曰。置积三归之四因之。(弧矢面为长方面四分之三。)又四因之。得一千二百八十。和自乘。得二千三百四。内减积数。馀一千二十四为实。平方 开之。 得三十二尺为弦矢。较加和折半。得弦减较得矢。
偃月营积七千八百六十四万三千二百步。只云弦矢和二万九千 …… (第 194L 页)
术曰。置积三归之四因之。又四因之。得四亿一千九百四十三万四百。和自乘。得八亿八千一百八十五万二千四百一十六。内减积数。馀四亿六千二百四十二万二千一十六为实。平方 开之。 得二万一千五百四步为弦矢。较加和折半。得弦减较得矢。
正立方积一万五千六百二十五尺。问每方几何。
…… (第 194L 页)
答曰。四十八尺。
术曰。置积以一十六乘之。得九十九万五千三百二十八。以九除之。得一十一万五百九十二为实。立方 开之。 西洋圆舶积三万六千步。问径几何。
答曰。四十步。
术曰。置积以一十六乘之。以九除之。得六万四千 (第 195H 页)
步为实。立方 开之。 军营开方法
今有军总一万七千九百五十六人。每人纵横占地四步。问积几何。
答曰。七万一千八百二 …… (第 195H 页)
术曰。置军数以四步因之。合问。
今有营积七万一千八百二十四步。欲为方营。问方面步几何。
答曰。二百六十八步。
术曰。置积为实。以一为廉。平方 开之。(倍方之法一退者不再倍) 合问。
今有营积如上。欲为圆营。问周径各几何。
答曰。径三百零九步四分。(馀二十七步七分三釐。) …… (第 195H 页)
术曰。求径者。以圆田术置积数。四因之三归之。得九万五千七百六十五步三分步之一。通分内子。得二十八万七千二百九十六为实。以三为廉。平方 开之。 合问。馀一百一十步零九分二釐。三因之归之。得八十三步一分九釐。(开方之实。以四因三归而得数。故三因四 …… (第 195H 页)
求周者。置积数身外加二。(圆田求周十二乘之。)得八十六万一千八百八十八为
实。以一为廉。平方 开之。 合问。馀一百四十七步一分一釐身外减二。(还原求本)为馀实数。
三廉开方。术曰。列通分数为实。借分母 …… (第 195L 页)
术曰。置积八因之三归之。得一十九万一千五百三十步零三分步之二。通分内子。得五十七万四千五百九十二为实。以分母三为廉。平方 开之。 合问。馀二百一十四步三分一釐。八归之三因之。又以分母三归之。求矢者折半弦步。
今有营积如上。欲为三角 (第 195L 页)
营。问径几何。
答曰。三百七十九步。(馀三步半。)
术曰。置积倍之为实。平方 开之。 合问。馀七步半之。
杂法(二十一题)
高竿影长三十五尺二寸。傍立短竿长十尺。影长六尺四寸。问高竿 (第 195L 页)
天元解
元(一)。列亩通步为实。(亩法。二百四十步也。)以和九十二为从方。以一为隅。从方一进。隅再进。上商三十步。以隅因上商减从方。馀六百二十。因上商除实。一百八十六。又以隅因商减从方。馀三百二十。从方一退。隅再退。续商八步。以隅因商减从。馀二十四。因上商除实恰尽。得平三十八步。合问。(右减从开平方法)
若先求长则法实上同。上商五十。以隅因商减从。馀四百二十。因上商得二千一百。多于原积反减。馀四十八为负实。又以隅因商得五百。多于从反减。馀八十为方。法退位如法续商四步。以隅因商加方法。得十二。因商除实恰尽。上商得五十四步长也。(右开平方翻积法)
元(二)。列亩通步。四之与寄左相消。馀三百二十四为实。以一为廉。平 方开之。 得较十八步。以古法演之。
若先求平。则用减从开平方法。列亩通步为实。以和七十四为从方。以一为隅从一进 …… (第 200H 页)
元(十二)。列积四之。得四千九十六为实。平方 开之。 得长六十四步。以四除之。即平也。
又记实少方多。方退一隅退二。上商二分。以隅因商减从。馀四〇五。因商 …… (第 201L 页)
记列积开平方。得长二分五釐。乘之得平。(列积四之。)
元(十三)。列直积以少长除之。得一千二十四。平 开之 得平三十二步。以少长乘之。得一百二十八步。即长也。
又记上商四步。以隅因商。得四步为别方。反减从方。 (第 201L 页)
馀二分半为方法。因商除实恰尽。用平方带从法。则实少方多。方退一隅二如法 开之。 得小平二分半。以除直积。得大长羃一千六百三十八步四分半。 (第 201L 页)
方开之。 得大长一百二十八步。以小平乘之。即大平。
元(十四)。以小面乘大面。比于长平相乘。故云直积，共积。比 (第 201L 页)
如勾股之弦积。故云弦羃。二积相减。馀为较羃。以较为从方。天元一。为隅 开之。 置直积为实。以较十七为从方。以一为隅。从一进隅二进。上商六十。以隅因商。得六十。反减从。馀四十三。 …… (第 201L 页)
之。得平加差。即长。
元(十八)。和如长。中方面如平。长平相乘以减共积。馀为二段较羃。故二为隅。平方 开之 得较。
又列积为实。以二隅平方 (第 202L 页)
开之。 得较十六步。加中方面得大方。而中方面减较。即小方面也。
元(十九)。用带从平方法 (第 202L 页)
开之。 置一千五百三十四万九百二十为实。以九万二千三百四十四为从方。以六千四百九十八为隅。从方一进。隅二进。 …… (第 202L 页)
并三线折半。为一率。小腰反减一率。为二率。大腰反减二率。又底反减一率。两较相乘。为三率。推得四率。平方 开之。 等边三角求面积。(两等边锐角钝角并同。)
半底为勾。一腰为弦推股。得中垂线。以乘底折半。
钝角求 …… (第 207L 页)
求五分圜通弦。则半径为底。仍为一腰。十分圜之通弦。为一腰。求得中垂线倍之。
又半径为股。十分圜之通弦为勾。推弦。
又半径自乘为长方积。半径为长广较。以带纵较数 开之。 得长。折半为自圜心至通弦之垂线。乃以半径为弦。垂线为股。推勾倍之。
求十五分圜通弦。则半径为弦。五 …… (第 209H 页)
本弧正弦自乘半径除之。又倍之反减半径。得馀弦。
知本弧正弦馀弦。求半弧正弦。
正弦为股。馀弦半减半径为勾。推弦折半。
又馀弦反减半径。馀折半以乘半径。平方 开之。 亦得。 …… (第 209H 页)
馀弦自乘。以半径除之。仍反减半径。又倍之。又反减半径。
知本弧馀弦。求半弧馀弦。
馀弦反减半径。仍折半并馀弦。又乘半径。平方 开之。 知本弧正弦。求三分一弧正弦。
倍正弦为倍弧通弦。以乘半径羃为实。三因半径羃为法。以益实归除法除之 …… (第 209L 页)
平勾股
勾二十一尺。股二十八尺。问弦几何。
(勾股总率。勾股求弦法。并两羃开方。)
答曰。三十四(一作五)尺。
术曰。勾股各自乘并之。平方 开之。((股自乘七百八十四尺。勾自乘四百四十一尺。并之为一千二百二十五尺。以此为实。依平方法推之。得弦长如答。)) 弦三十五尺。股二十八尺。问勾几何。
(弦股求勾法。弦羃减股羃开方。)
答曰。二十一尺。
术曰。 (第 211H 页)
弦股各自乘相减。平方 开之。((弦自乘一千二百二十五尺。内减股自乘七百八十四尺。则馀四百四十一尺。以此为实。依平方法推之。得勾长如答。)) 弦三十五尺。勾二十一尺。问股几何。
(弦勾求股法。弦羃减勾羃开方。)
答曰。二十八尺。
(第 211H 页)
术曰。弦勾各自乘相减。平方 开之。((弦自乘。一千二百二十五尺。内减勾自乘。四百四十一尺。馀七百八十四尺。以此为实。依平方法推之。得▣长如答。)) 勾二十尺。股三十尺。问对直角中垂线几何。
(勾股求对直角中垂线法)
答曰。一十七尺弱。(弱者不足 …… (第 211L 页)
术曰。出南门为馀勾。出东门为馀股。相乘开方。为容方径倍之。(出南门三十步。与出东门七百五十步相乘。得二万二千五百步为实。以平方法 开之。 得一百五十步。倍之为三百步。即城方也。)
城方二百步。出东门一十五步。有树一株。问出南门见此树。为步 (第 212H 页)
元(一)。列亩通步为实。(亩法。二百四十步也。)以和九十二为从方。以一为隅。从方一进。隅再进。上商三十步。以隅因上商减从方。馀六百二十。因上商除实。一百八十六。又以隅因商减从方。馀三百二十。从方一退。隅再退。续商八步。以隅因商减从。馀二十四。因上商除实恰尽。得平三十八步。合问。(右减从开平方法)
若先求长则法实上同。上商五十。以隅因商减从。馀四百二十。因上商得二千一百。多于原积反减。馀四十八为负实。又以隅因商得五百。多于从反减。馀八十为方。法退位如法续商四步。以隅因商加方法。得十二。因商除实恰尽。上商得五十四步长也。(右开平方翻积法)
元(二)。列亩通步。四之与寄左相消。馀三百二十四为实。以一为廉。平 方开之。 得较十八步。以古法演之。
若先求平。则用减从开平方法。列亩通步为实。以和七十四为从方。以一为隅从一进 …… (第 200H 页)
元(十二)。列积四之。得四千九十六为实。平方 开之。 得长六十四步。以四除之。即平也。
又记实少方多。方退一隅退二。上商二分。以隅因商减从。馀四〇五。因商 …… (第 201L 页)
记列积开平方。得长二分五釐。乘之得平。(列积四之。)
元(十三)。列直积以少长除之。得一千二十四。平 开之 得平三十二步。以少长乘之。得一百二十八步。即长也。
又记上商四步。以隅因商。得四步为别方。反减从方。 (第 201L 页)
馀二分半为方法。因商除实恰尽。用平方带从法。则实少方多。方退一隅二如法 开之。 得小平二分半。以除直积。得大长羃一千六百三十八步四分半。 (第 201L 页)
方开之。 得大长一百二十八步。以小平乘之。即大平。
元(十四)。以小面乘大面。比于长平相乘。故云直积，共积。比 (第 201L 页)
如勾股之弦积。故云弦羃。二积相减。馀为较羃。以较为从方。天元一。为隅 开之。 置直积为实。以较十七为从方。以一为隅。从一进隅二进。上商六十。以隅因商。得六十。反减从。馀四十三。 …… (第 201L 页)
之。得平加差。即长。
元(十八)。和如长。中方面如平。长平相乘以减共积。馀为二段较羃。故二为隅。平方 开之 得较。
又列积为实。以二隅平方 (第 202L 页)
开之。 得较十六步。加中方面得大方。而中方面减较。即小方面也。
元(十九)。用带从平方法 (第 202L 页)
开之。 置一千五百三十四万九百二十为实。以九万二千三百四十四为从方。以六千四百九十八为隅。从方一进。隅二进。 …… (第 202L 页)
并三线折半。为一率。小腰反减一率。为二率。大腰反减二率。又底反减一率。两较相乘。为三率。推得四率。平方 开之。 等边三角求面积。(两等边锐角钝角并同。)
半底为勾。一腰为弦推股。得中垂线。以乘底折半。
钝角求 …… (第 207L 页)
求五分圜通弦。则半径为底。仍为一腰。十分圜之通弦。为一腰。求得中垂线倍之。
又半径为股。十分圜之通弦为勾。推弦。
又半径自乘为长方积。半径为长广较。以带纵较数 开之。 得长。折半为自圜心至通弦之垂线。乃以半径为弦。垂线为股。推勾倍之。
求十五分圜通弦。则半径为弦。五 …… (第 209H 页)
本弧正弦自乘半径除之。又倍之反减半径。得馀弦。
知本弧正弦馀弦。求半弧正弦。
正弦为股。馀弦半减半径为勾。推弦折半。
又馀弦反减半径。馀折半以乘半径。平方 开之。 亦得。 …… (第 209H 页)
馀弦自乘。以半径除之。仍反减半径。又倍之。又反减半径。
知本弧馀弦。求半弧馀弦。
馀弦反减半径。仍折半并馀弦。又乘半径。平方 开之。 知本弧正弦。求三分一弧正弦。
倍正弦为倍弧通弦。以乘半径羃为实。三因半径羃为法。以益实归除法除之 …… (第 209L 页)
平勾股
勾二十一尺。股二十八尺。问弦几何。
(勾股总率。勾股求弦法。并两羃开方。)
答曰。三十四(一作五)尺。
术曰。勾股各自乘并之。平方 开之。((股自乘七百八十四尺。勾自乘四百四十一尺。并之为一千二百二十五尺。以此为实。依平方法推之。得弦长如答。)) 弦三十五尺。股二十八尺。问勾几何。
(弦股求勾法。弦羃减股羃开方。)
答曰。二十一尺。
术曰。 (第 211H 页)
弦股各自乘相减。平方 开之。((弦自乘一千二百二十五尺。内减股自乘七百八十四尺。则馀四百四十一尺。以此为实。依平方法推之。得勾长如答。)) 弦三十五尺。勾二十一尺。问股几何。
(弦勾求股法。弦羃减勾羃开方。)
答曰。二十八尺。
(第 211H 页)
术曰。弦勾各自乘相减。平方 开之。((弦自乘。一千二百二十五尺。内减勾自乘。四百四十一尺。馀七百八十四尺。以此为实。依平方法推之。得▣长如答。)) 勾二十尺。股三十尺。问对直角中垂线几何。
(勾股求对直角中垂线法)
答曰。一十七尺弱。(弱者不足 …… (第 211L 页)
术曰。出南门为馀勾。出东门为馀股。相乘开方。为容方径倍之。(出南门三十步。与出东门七百五十步相乘。得二万二千五百步为实。以平方法 开之。 得一百五十步。倍之为三百步。即城方也。)
城方二百步。出东门一十五步。有树一株。问出南门见此树。为步 (第 212H 页)
空体积八尺一寸。
术曰。求径则一亿为一率。一亿二七三二三九五四为二率。面积为三率。推得四率。平 方开之。 求周则一亿为一率。一十二亿五六六三七〇六二为二率。面积为三率。推得四率。平 (第 237L 页)
方开之。
求空体积则管长乘面积。(下仿此。)
黄钟管长九寸。三分损一。下生林钟。问管长及空体积各几何。 (第 237L 页)
术曰。求径则一亿为一率。一亿二七三二三九五四为二率。面积为三率。推得四率。平 方开之。 求周则一亿为一率。一十二亿五六六三七〇六二为二率。面积为三率。推得四率。平 (第 237L 页)
方开之。
求空体积则管长乘面积。(下仿此。)
黄钟管长九寸。三分损一。下生林钟。问管长及空体积各几何。 (第 237L 页)
人者当先恢量。有至大之量。斯受至大之任。且时君世主之猜疑愎谏。总坐是量狭。斯义亦不可不早陈之于 智思 方开之
日。其次。 冲年潜德。虽无阙失之可指陈。惟是近习便嬖之为今日之患。启后日之弊者。最为目下可戒之事。故 (第 35H 页)
知见。先入为主。岂可俯就而低说。要随其文义之浅深。虽其远者大者。反复委曲。冀有以领会。俾早有闻于知思 方开之
日。则其有补于日后之典学也。岂少也哉。老兄亦尝出入讲席矣。 睿质天纵。 睿智夙就。虽在冲年。凡于讲官 (第 124H 页)
传曰。年前讲书院之初设也。首以尔为傅。盖欲以养蒙之责。专畀于尔矣。今复授尔以赞善之官者。岂亶尔也。以予心怀。今见冲孙之开讲。不待予言之。而想尔亦有感于中者。前后招徕。缘予诚浅。不能致尔于朝。而当此胄筵 方开之
时。导迪成就之道。非尔其谁任之。悠悠万事。只在于此。尔若一向固守。视予迈迈。则其可曰世禄休戚之义乎。 …… (第 600L 页)
何其浼浼乃尔也。辅导之方。所陈甚切。当深庸感叹。宁不体念。而尔既言之。又处其职。当此知思日长。书筵日 开之 时。尔以山林宿德。朝夕左右。诱掖劝导。蒙养以正。则其为观感薰陶之效。岂止课日讲对之比乎。尔其亟回遐心 …… (第 602H 页)
。不少槩见。当与千古志士。同其赍恨者也。然道之不行。以其不明也。惟唐虞精一之传。待孔孟而明。惟邹鲁继 开之 功。待程朱而明。若夫洛建训释阐发之旨。亦有所留蕴以待夫百世。而义理无穷。闻见有局。多少衅罅。从补苴而 (第 616H 页)
何其浼浼乃尔也。辅导之方。所陈甚切。当深庸感叹。宁不体念。而尔既言之。又处其职。当此知思日长。书筵日 开之 时。尔以山林宿德。朝夕左右。诱掖劝导。蒙养以正。则其为观感薰陶之效。岂止课日讲对之比乎。尔其亟回遐心 …… (第 602H 页)
。不少槩见。当与千古志士。同其赍恨者也。然道之不行。以其不明也。惟唐虞精一之传。待孔孟而明。惟邹鲁继 开之 功。待程朱而明。若夫洛建训释阐发之旨。亦有所留蕴以待夫百世。而义理无穷。闻见有局。多少衅罅。从补苴而 (第 616H 页)
楚茨
御制条问曰。我仓既盈。我庾既亿。仓不言数而庾独言数。何欤。
臣对曰。仓虽高大。若依九章计术则一亿十万斛其
积。可知方一尺而长二十万七尺。立 方开之。 几六十五尺。则仓虽高大。岂有能容此者乎。若庾则露积在地。非有可满之期。故庾曰亿而仓不言数者。此也。 (第 205L 页)
御制条问曰。我仓既盈。我庾既亿。仓不言数而庾独言数。何欤。
臣对曰。仓虽高大。若依九章计术则一亿十万斛其
积。可知方一尺而长二十万七尺。立 方开之。 几六十五尺。则仓虽高大。岂有能容此者乎。若庾则露积在地。非有可满之期。故庾曰亿而仓不言数者。此也。 (第 205L 页)
二。三乘方。今有积一百十二万九千四百五十八
尺六百二十五分尺之五百一十一。问为三乘方几何。答曰三十二尺五分尺之三。列全步通分内。子得七万五百九十一万一千七百六十一。三乘 方开之。 得一百六十三。按三乘方。即一次商除后。又一次立 (第 529L 页)
方开之 则除尽。而三乘开法未能透解。伏乞指示假令。
三。正负法。今有直田。句弦和取七分之五。股弦和取七分之 …… (第 529L 页)
。)
第二三乘方开法。不见于筹学诸书。数十年前。妄以己见。创立一法。顷日报录中。略举其例。然彼以翻法 开之。 故委折较多。此以正法为例。稍似简当。置本积七万五百九十一万一千七百六十一为实。上商一百。下方亦置一百 …… (第 530L 页)
三百六十五万五百八十七。乃命续商三除实恰尽。如此烦琐。未易究会。然若知其所以乘得之数。则当知其所以分 开之 路。若曰一次商除后立 (第 531H 页)
方开之。 恐非体例。一次商除后立 (第 531H 页)
方开之。 两次商除后平 (第 531H 页)
方开之。 或三次商除。皆可得之。然此则除而非开。不可以为正法也。
第三正负法。直田句弦和取七分之四。(示录作七 …… (第 531H 页)
句弦和五十六。(自之为三千一百三十六。倍之为一百一十二。)股弦和六十三。(自之为三千九百六十九。倍之为一百二十六。)句股两羃。并之为七千一百五。又并一百一十二二百二十六。为二百三十八。以三十五乘二百三十八。(演虚)得数反减七千一百单五。(减故负之)馀一千二百二十五即弦羃。(脱其真积)平 方开之 得弦。又以三十五。减二百三十八。(减故负之)馀二百单三。仍以三十五。对呼二百单三。除尽合问。
第四天 (第 531L 页)
尺六百二十五分尺之五百一十一。问为三乘方几何。答曰三十二尺五分尺之三。列全步通分内。子得七万五百九十一万一千七百六十一。三乘 方开之。 得一百六十三。按三乘方。即一次商除后。又一次立 (第 529L 页)
方开之 则除尽。而三乘开法未能透解。伏乞指示假令。
三。正负法。今有直田。句弦和取七分之五。股弦和取七分之 …… (第 529L 页)
。)
第二三乘方开法。不见于筹学诸书。数十年前。妄以己见。创立一法。顷日报录中。略举其例。然彼以翻法 开之。 故委折较多。此以正法为例。稍似简当。置本积七万五百九十一万一千七百六十一为实。上商一百。下方亦置一百 …… (第 530L 页)
三百六十五万五百八十七。乃命续商三除实恰尽。如此烦琐。未易究会。然若知其所以乘得之数。则当知其所以分 开之 路。若曰一次商除后立 (第 531H 页)
方开之。 恐非体例。一次商除后立 (第 531H 页)
方开之。 两次商除后平 (第 531H 页)
方开之。 或三次商除。皆可得之。然此则除而非开。不可以为正法也。
第三正负法。直田句弦和取七分之四。(示录作七 …… (第 531H 页)
句弦和五十六。(自之为三千一百三十六。倍之为一百一十二。)股弦和六十三。(自之为三千九百六十九。倍之为一百二十六。)句股两羃。并之为七千一百五。又并一百一十二二百二十六。为二百三十八。以三十五乘二百三十八。(演虚)得数反减七千一百单五。(减故负之)馀一千二百二十五即弦羃。(脱其真积)平 方开之 得弦。又以三十五。减二百三十八。(减故负之)馀二百单三。仍以三十五。对呼二百单三。除尽合问。
第四天 (第 531L 页)
之象。故曰三驱。所以不同。何论其是非哉。其小象舍逆取顺云云。程传已详。更何疑哉。盖汤取不用命。如云我 方开之
使去。而顺吾命而去者舍之。逆吾命而来者取之也。易以向背言。如云我方驱之使入。而背我去者舍之。向我来者 (第 404L 页)
取之也。所以两说不同也。命字之义。只是畋者之所命。而即程传所谓 开之 使去者也。非禽兽生死之命之谓也。剥复之义。亦已备详于本义中。而复初九一分复时。却剥上九一分。来说尽精 (第 404L 页)
取之也。所以两说不同也。命字之义。只是畋者之所命。而即程传所谓 开之 使去者也。非禽兽生死之命之谓也。剥复之义。亦已备详于本义中。而复初九一分复时。却剥上九一分。来说尽精 (第 404L 页)
语不可不向公一道耳。吁。
送梅朴瓛卿书
凡花之候。得气于枝。枝之气厚薄。为花先后。此其南枝已落。北枝 方开之 势。而今郁养之家。一夜之间。朵朵齐发。花之天已失矣。此树以其不遭煖郁之厄。故能保其天。亦可贵也已。 (第 173L 页)
送梅朴瓛卿书
凡花之候。得气于枝。枝之气厚薄。为花先后。此其南枝已落。北枝 方开之 势。而今郁养之家。一夜之间。朵朵齐发。花之天已失矣。此树以其不遭煖郁之厄。故能保其天。亦可贵也已。 (第 173L 页)
别纸
宋崔与之自四川制置使。召为礼部尚书。以疾乞归广州。每有除命。皆力辞不起。后以参知政事。召命益力。与之控辞至十三疏。不许。后又辞右丞相不至。未几。得奉祠三年而卒。论者谓与之年寿既高。胡人方炽。非筋力衰惫者之可办云云。人皆谓滉 恩眷隆重。不可固辞。不急趋谢 恩。虽滉亦不能无疑于此。今据与之事如彼。 方廓然 无可疑矣。所虑时议不深考此例之有无。一以违忤断之。则区区素抱。无路可明于圣世。故如前日所望者。不可缓 (第 118H 页)
宋崔与之自四川制置使。召为礼部尚书。以疾乞归广州。每有除命。皆力辞不起。后以参知政事。召命益力。与之控辞至十三疏。不许。后又辞右丞相不至。未几。得奉祠三年而卒。论者谓与之年寿既高。胡人方炽。非筋力衰惫者之可办云云。人皆谓滉 恩眷隆重。不可固辞。不急趋谢 恩。虽滉亦不能无疑于此。今据与之事如彼。 方廓然 无可疑矣。所虑时议不深考此例之有无。一以违忤断之。则区区素抱。无路可明于圣世。故如前日所望者。不可缓 (第 118H 页)