地理類
術數類
天文算法類
醫家類
類書類
带纵较数立方
带纵立方者两两等边长方体积也高与阔相等惟
长不同者为带一纵立方长与阔相等而皆比高多
者则为带两纵相同之立方至于长与阔与高皆不
等者则为带两纵不同之立 方开之 之法大槩与立
方同祗有带纵之异耳其带一纵之法如以高与阔
相等惟长不同为问者则以初商为高与阔以之自
乘 (第 2a 页)
带纵立方者两两等边长方体积也高与阔相等惟
长不同者为带一纵立方长与阔相等而皆比高多
者则为带两纵相同之立方至于长与阔与高皆不
等者则为带两纵不同之立 方开之 之法大槩与立
方同祗有带纵之异耳其带一纵之法如以高与阔
相等惟长不同为问者则以初商为高与阔以之自
乘 (第 2a 页)
四十二万二千四百九十六尺书于原
积之下相减恰尽是开得二十二尺为
每一根之数也
又法用带纵平方及立 方开之 将原积
一亿一千三百四十二万二千四百九
十六尺为长方积以多四立方作四尺
…… (第 42b 页)
之数也盖五乘方多立方与方根自乘
再乘为阔加多立方数为长所作之长
方积等故用带纵较数开平方法 开之
得数复开立方即得每一根之数也
设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三
万八千四百三十九尺相等问每 …… (第 43a 页)
尺与原积相合是开得一十一尺为每
一根之数也
又法用带纵平方及立 方开之 将原积
一千一百五十三万八千四百三十九
尺为长方积以一万立方作一万尺为
…… (第 45b 页)
方少五乘方与方根自乘再乘为阔与
立方数相减为长所作之长方积等故
用带纵和数开平方法 开之 得数复开
立方即得每一根之数也
(第 46a 页)
积之下相减恰尽是开得二十二尺为
每一根之数也
又法用带纵平方及立 方开之 将原积
一亿一千三百四十二万二千四百九
十六尺为长方积以多四立方作四尺
…… (第 42b 页)
之数也盖五乘方多立方与方根自乘
再乘为阔加多立方数为长所作之长
方积等故用带纵较数开平方法 开之
得数复开立方即得每一根之数也
设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三
万八千四百三十九尺相等问每 …… (第 43a 页)
尺与原积相合是开得一十一尺为每
一根之数也
又法用带纵平方及立 方开之 将原积
一千一百五十三万八千四百三十九
尺为长方积以一万立方作一万尺为
…… (第 45b 页)
方少五乘方与方根自乘再乘为阔与
立方数相减为长所作之长方积等故
用带纵和数开平方法 开之 得数复开
立方即得每一根之数也
(第 46a 页)
者月食既内分据历经原以既内分与一十分相减相
乘平 方开之 也今则讹为一十五分夫月食十分
而既其既内五分倍之为十分而止矣安得有所
谓既内十五分乎今以弦较 (第 6a 页)
乘平 方开之 也今则讹为一十五分夫月食十分
而既其既内五分倍之为十分而止矣安得有所
谓既内十五分乎今以弦较 (第 6a 页)
一题
句股求弦
法曰句股各自乘并之开方得弦
如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自
乘得乙戊方两方相并即甲巳 方开之
得甲丙弦
论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬
实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽 (第 2a 页)
句股求弦
法曰句股各自乘并之开方得弦
如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自
乘得乙戊方两方相并即甲巳 方开之
得甲丙弦
论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬
实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽 (第 2a 页)
第一法
假如句股积(一百/二十)弦较和(四/十)
法以积四之得四百八十弦较和自之得(一千/六百)两数相
减馀(一千一/百二十)折半得(五百/六十)为实弦较和(四/十)为法除之得
(十/四)为句股较以减弦较和得(二十/六)为弦弦自乘(六百七/十六)
加四句股积(四百/八十)得(一千一百/五十六)平 方开之 得(三十/四)为句
股和以与句股较(十/四)相加得(四十/八)折半(二十/四)为股又相
减得(二/十 (第 4a 页)
假如句股积(一百/二十)弦较和(四/十)
法以积四之得四百八十弦较和自之得(一千/六百)两数相
减馀(一千一/百二十)折半得(五百/六十)为实弦较和(四/十)为法除之得
(十/四)为句股较以减弦较和得(二十/六)为弦弦自乘(六百七/十六)
加四句股积(四百/八十)得(一千一百/五十六)平 方开之 得(三十/四)为句
股和以与句股较(十/四)相加得(四十/八)折半(二十/四)为股又相
减得(二/十 (第 4a 页)
求丁丙边
依句股求弦术以丙戊股自乘(四十一万三千/四百四十九尺)丁戊句
自乘(一十三万三千/二百二十五尺)并之得数(五十四万六千/六百七十四尺)为实平 方开之 得弦七百三十九尺为丁丙边
求丙角
术为以丁丙边比丁乙边若乙角正弦与丙角正
弦
一 丁丙边 (第 28a 页)
依句股求弦术以丙戊股自乘(四十一万三千/四百四十九尺)丁戊句
自乘(一十三万三千/二百二十五尺)并之得数(五十四万六千/六百七十四尺)为实平 方开之 得弦七百三十九尺为丁丙边
求丙角
术为以丁丙边比丁乙边若乙角正弦与丙角正
弦
一 丁丙边 (第 28a 页)
相乘(六万一千七/百七十六尺)为实以乙丙底
为法除之得数(一百三/十二尺)转减乙丙馀数(三百三/十六尺)半之得
乙丁(一百六/十八尺)依句股法以乙丁自乘(二万八千二/百二十四尺)与甲
乙自乘(五万三千八/百二十四尺)相减馀数(二万五千/六百尺)平 方开之 得
甲丁垂线(一百六/十尺)以甲丁垂线折半乘乙丙底得积
凡求得锐角形积三万七千四百四十尺
…… (第 4b 页)
(一百一/十七步)内减乙丙馀数(八十/四步)折半
(四十/二步)为乙丁(即乙丙/引长边)依句股法乙丁自乘(一千七百/六十四步)甲
乙自乘(三千三百/六十四步)相减馀数(一千六/百步)平 方开之 得甲丁 …… (第 5a 页)
得较(二十/六尺)三较连乘(以两较相乘得/数又以馀一较)
(乘之/也)得数(三十三万六千/九百六十尺)又以半总较之得数(八千七/百六十)
(万零九千/六百尺)平 方开之 得积
凡求得钝角形积九千三百六十尺
若系锐角同法
解曰此亦中垂线乘半周之理但所得为幂乘幂之数
故 …… (第 9b 页)
(四百四/十尺)以半总除之得数(三千一/百三十)
(六/尺)四因之(一万二千五/百四十四尺)为实平 方开之 得容员径
凡求得内容员径一百一十二尺
锐角同法
解曰此所得者为容员径上之自乘方幂故开方得径
(第 18a 页)
为法除之得数(一百三/十二尺)转减乙丙馀数(三百三/十六尺)半之得
乙丁(一百六/十八尺)依句股法以乙丁自乘(二万八千二/百二十四尺)与甲
乙自乘(五万三千八/百二十四尺)相减馀数(二万五千/六百尺)平 方开之 得
甲丁垂线(一百六/十尺)以甲丁垂线折半乘乙丙底得积
凡求得锐角形积三万七千四百四十尺
…… (第 4b 页)
(一百一/十七步)内减乙丙馀数(八十/四步)折半
(四十/二步)为乙丁(即乙丙/引长边)依句股法乙丁自乘(一千七百/六十四步)甲
乙自乘(三千三百/六十四步)相减馀数(一千六/百步)平 方开之 得甲丁 …… (第 5a 页)
得较(二十/六尺)三较连乘(以两较相乘得/数又以馀一较)
(乘之/也)得数(三十三万六千/九百六十尺)又以半总较之得数(八千七/百六十)
(万零九千/六百尺)平 方开之 得积
凡求得钝角形积九千三百六十尺
若系锐角同法
解曰此亦中垂线乘半周之理但所得为幂乘幂之数
故 …… (第 9b 页)
(四百四/十尺)以半总除之得数(三千一/百三十)
(六/尺)四因之(一万二千五/百四十四尺)为实平 方开之 得容员径
凡求得内容员径一百一十二尺
锐角同法
解曰此所得者为容员径上之自乘方幂故开方得径
(第 18a 页)
即容员半径自乘又乘半总
之积也
置三较连乘数以半总除之得数(一千二百/二十五)平 方开
之 得容员半径(三十/五)倍之得容员径(七/十)
置三较连乘数以半总乘之得数(四千五百一十/五万八千四 (第 20b 页)
百)平
方开之 得三角形积(六千七/百二十)
若如常法求得中长线(一百/二十)以乘乙丙底而半之所
得积数亦同
…… (第 20b 页)
之亦二十三万五千二百故可通用
问三较之术可以求角乎曰可其所求角皆先得半角
即锐钝通为一术矣
术曰以三边各减半总得较各以所求角对边之较乘
半总为法以馀两较各与半径全数相乘又自相乘为
实法除实得数平 方开之 为半角切线捡表得度倍之
为所求角 …… (第 24b 页)
乘得数(一四○○○○○/○○○○○○○)为
实法除实得数(六九四四四/四四四四四)
平 方开之 得数(八三三/三三)为半
角切线捡表(三十九度四十/八分一十九秒)
…… (第 25b 页)
数(三八/四○)为法馀两较(甲丙二一/乙丙三五)各乘半径全数又自
相乘得数(七三五○○○○/○○○○○○)为实法除实得数(一九/一四)
(○六二/五○○)平 方开之 得半角切线(四三七/五○)捡表(二十三/度三十)
(七分五十/二秒半)倍之得丙角(四十七度一十/五 …… (第 26a 页)
数(三三/六○)为法馀两较(甲丙二一/甲乙四○)各乘半径全数又自
相乘得数(八四○○○○○/○○○○○○)为实法除实得数(二五/○○)
(○○○/○○○)平 方开之 得半角切线(五○○/○○)捡表(二十六/度三十) (第 26a 页)
之积也
置三较连乘数以半总除之得数(一千二百/二十五)平 方开
之 得容员半径(三十/五)倍之得容员径(七/十)
置三较连乘数以半总乘之得数(四千五百一十/五万八千四 (第 20b 页)
百)平
方开之 得三角形积(六千七/百二十)
若如常法求得中长线(一百/二十)以乘乙丙底而半之所
得积数亦同
…… (第 20b 页)
之亦二十三万五千二百故可通用
问三较之术可以求角乎曰可其所求角皆先得半角
即锐钝通为一术矣
术曰以三边各减半总得较各以所求角对边之较乘
半总为法以馀两较各与半径全数相乘又自相乘为
实法除实得数平 方开之 为半角切线捡表得度倍之
为所求角 …… (第 24b 页)
乘得数(一四○○○○○/○○○○○○○)为
实法除实得数(六九四四四/四四四四四)
平 方开之 得数(八三三/三三)为半
角切线捡表(三十九度四十/八分一十九秒)
…… (第 25b 页)
数(三八/四○)为法馀两较(甲丙二一/乙丙三五)各乘半径全数又自
相乘得数(七三五○○○○/○○○○○○)为实法除实得数(一九/一四)
(○六二/五○○)平 方开之 得半角切线(四三七/五○)捡表(二十三/度三十)
(七分五十/二秒半)倍之得丙角(四十七度一十/五 …… (第 26a 页)
数(三三/六○)为法馀两较(甲丙二一/甲乙四○)各乘半径全数又自
相乘得数(八四○○○○○/○○○○○○)为实法除实得数(二五/○○)
(○○○/○○○)平 方开之 得半角切线(五○○/○○)捡表(二十六/度三十) (第 26a 页)
十其幂二千五百三因之得七千五百
为乙甲中垂之幂(丙甲股幂减丙己弦幂得/句幂也丙己亦即丙乙) 平 方开
之 得八十六(六○/二五)为乙甲其三之一得二十八(八六/七五)为
心甲 其三之二得五十七(七三/五○)为 …… (第 7a 页)
之斜亦同为浑圆径幂三之二
若设浑圆径一百其幂一万则内容四等面边之幂六
千六百六十六六六亦三之二也
平 方开之 得八十一六四九六为四等面边即内容立 …… (第 12b 页)
方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三为浑圆
径幂三之一即方斜之半幂亦即四等面边幂之半
平 方开之 得五十七七三五○是为浑圆径一百内容
立方之边亦即浑圆内容立方立方又容小圆之径
若于四等面内又容浑圆则 …… (第 13a 页)
百
四十五(七九/七○) 亥甲句五十○自乘幂二千五百 相
并为亥丁弦幂九千○四十五(七九/七○) 平 方开之 得亥
丁九十五(一○/五二)为外切浑圆半径 亦即二十分形自
其各角辏心之棱 倍之得一百九十○(二一 …… (第 38a 页)
圆径上面幂三之一而立方
之各角即同十二等面角以切于立圆之面
法以外切浑圆径上幂取三之一为十二等面内小立
方幂平 方开之 得小立方根根乘幂见积
又简法以十二等面之面幂求其横剖之大线此线即
十二等面内容小 …… (第 45a 页)
立方根以此自乘而三之即
小立方外切浑圆径幂
凡立方内容二十等面二十等面内又容浑圆圆内又
容小立方此小立方之各角能同浑圆之切点以切于
二十等面之平面心
法以内容浑圆径之幂取三
之一为内小立方之幂平 方
开之 得切点相距即小立方
根以根乘幂见积 …… (第 45b 页)
○(九○/一七)其幂六千五百四十
五(○八/五○)为股幂并句股幂九千○四十五(○八/五○)平 方开
之 得甲中弦
依法求得甲中九十五(一○/六五)
求体积
设边一百其半五十 斜垂线八十六(六○/二五) 相 …… (第 61a 页)
计开十二等面
一率 七六八二二一五 例容
二率 一○○○○○○ 例边上立积
三率 一○○○○○○ 设容
四率 ○一三○一七○ 求得设边上立积
立方法 开之 得其根五十
与比例规解合与测量全义差四千一百七十四为
二百分之一
算辛丁(庚丁戊/丁并用) 又 (第 66a 页)
为乙甲中垂之幂(丙甲股幂减丙己弦幂得/句幂也丙己亦即丙乙) 平 方开
之 得八十六(六○/二五)为乙甲其三之一得二十八(八六/七五)为
心甲 其三之二得五十七(七三/五○)为 …… (第 7a 页)
之斜亦同为浑圆径幂三之二
若设浑圆径一百其幂一万则内容四等面边之幂六
千六百六十六六六亦三之二也
平 方开之 得八十一六四九六为四等面边即内容立 …… (第 12b 页)
方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三为浑圆
径幂三之一即方斜之半幂亦即四等面边幂之半
平 方开之 得五十七七三五○是为浑圆径一百内容
立方之边亦即浑圆内容立方立方又容小圆之径
若于四等面内又容浑圆则 …… (第 13a 页)
百
四十五(七九/七○) 亥甲句五十○自乘幂二千五百 相
并为亥丁弦幂九千○四十五(七九/七○) 平 方开之 得亥
丁九十五(一○/五二)为外切浑圆半径 亦即二十分形自
其各角辏心之棱 倍之得一百九十○(二一 …… (第 38a 页)
圆径上面幂三之一而立方
之各角即同十二等面角以切于立圆之面
法以外切浑圆径上幂取三之一为十二等面内小立
方幂平 方开之 得小立方根根乘幂见积
又简法以十二等面之面幂求其横剖之大线此线即
十二等面内容小 …… (第 45a 页)
立方根以此自乘而三之即
小立方外切浑圆径幂
凡立方内容二十等面二十等面内又容浑圆圆内又
容小立方此小立方之各角能同浑圆之切点以切于
二十等面之平面心
法以内容浑圆径之幂取三
之一为内小立方之幂平 方
开之 得切点相距即小立方
根以根乘幂见积 …… (第 45b 页)
○(九○/一七)其幂六千五百四十
五(○八/五○)为股幂并句股幂九千○四十五(○八/五○)平 方开
之 得甲中弦
依法求得甲中九十五(一○/六五)
求体积
设边一百其半五十 斜垂线八十六(六○/二五) 相 …… (第 61a 页)
计开十二等面
一率 七六八二二一五 例容
二率 一○○○○○○ 例边上立积
三率 一○○○○○○ 设容
四率 ○一三○一七○ 求得设边上立积
立方法 开之 得其根五十
与比例规解合与测量全义差四千一百七十四为
二百分之一
算辛丁(庚丁戊/丁并用) 又 (第 66a 页)
其半三十五(三五五三/乙戊戊丁)
求甲戊斜垂线
法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊
丁等皆三十五(三五/五三)其幂皆一千二百五十
求丙戊中长线
以戊丁幂三因之为丙戊幂平 方开之 得六十一(二三/七二)
为丙丁乙等边三角形中长线
求甲己中高线
法以戊丁幂(一千二/百五十)取三之一 …… (第 17b 页)
既得中长线丙乙以乘丁
乙半边即等边三角形积 若以丙乙幂丁乙幂相乘
得数平 方开之 得三等边形之幂积
捷法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘
开方得根即三等边幂积 或用原边丁甲自乘 (第 41b 页)
得数
乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等
边积亦同
论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必
得积之幂矣故开方得积
法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两
次为实平方为法 开之 得三等边形幂积
解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘
也 又法以原边与半边幂相减相乘开方见积 …… (第 42a 页)
壬子与卯子之比例即三等
边幂与正方幂积比例
用法有三等边形求积法以甲丁边上方形(即庚/甲)积作
卯子直线如句四倍之作横线如辰子为股次引横线
取子癸为卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸为
半径丁为心作半员截卯子于壬即得壬子为三等边
积
捷法不作辰子线但于子作半十字线如癸丁次于子
点左右取癸取丁各为卯子四之一乃任以丁为心癸
为界作割员分即割卯子于壬而为三等边形之积
论曰此借用开平方法也平方求根有算法有量法此
所用者量法也量法有二其一以两方之边当句当股
而求其弦是为并方法也其一用半员取中比例此所
用者中比例也(详比例/规解)
附三等边求容圆
法曰以原边之幂十二除之为实平 方开之 得容圆半
径
解曰原边幂十二之一即半边三之一也
附三等边形求外切圆
法曰以原边之幂三除之为实平 (第 44a 页)
方开之 得外切圆半 …… (第 44a 页)
等边则只用边
若六等边形亦即用边与平方平员之全径相比则如
后法
平方 四○○ 平方 一○○○○
平员 三一四 平员 七八五四
六角 一○二○ 六角 二五五○○
三角 一七○ 三角 四二五○
论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则为
平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○
○○○之比例也
量体细法
四等面体求积
法曰以原边之幂三除之得数以乘边幂得数副寘之
又置边幂二十四除之得数以乘副平 方开之 即四等
面积也
又法置半边幂三除之得数以乘半边幂得数副寘之又
以六为法除半边幂得数为实平 (第 47a 页)
方开之 即四等面积四
分之一也(即三角/扁锥)
算二十等面 …… (第 47a 页)
(九百二/十一)为股幂并二幂(一万/○九)
(百四/十六)平 方开之 得弦(一○四/又六二)
(不尽约为一/○四半强)为角至体心之
…… (第 51b 页)
四 中乙 七十五(七○/)
用句股法以心乙(一百四/十四)为弦中乙(七十/五七)为句句弦各
自乘相减得心中股幂平 方开之 得中高线(心中为容/员半径)
求得容员半径一百二十二半弱(心/中) …… (第 53b 页)
二十五)为句幂心乙(一百四/十四)自乘(二万○七/百三十六)为股幂并
之得(二万三千七/百六十一)平 方开之 得弦(一百五/十四强)为自角至心
之线甲心即外切员半径
作法 以五等面之一边为 …… (第 54b 页)
立方
置公积即浑圆积(五二三八○/九三三三)立方开之得立方根八
○六二○二七一七是为与浑圆等积之立方
方锥
置公积(五二三八○/九三三三)以三因之得数立 方开之 得高阔
相等之方锥形根一一六二二四四四四七是为与浑
圆等积之方锥
方 (第 56a 页)
锥
圆柱
置公积(同/上)十四因之十一除之为实立 方开之 得高阔
相等之圆柱形根八七四二三九四二是为与浑圆之
积之圆柱
(圆/柱)
圆锥 (第 56b 页)
置公积(同/前)以三因之(变圆锥形积/为圆柱积)再以十四因之十一
除之为实(变圆柱积/为立方积)立 方开之 得高阔相等之圆锥形
根一二五九四七五九是为与浑圆等积之圆锥 或
置积以四十二因之十一除之立 (第 57a 页)
方开之 亦同
(圆/锥)
按变体线本法有四等面八等面十二等面二十等面
诸数表皆未及其同者惟有浑圆立方二形 …… (第 57a 页)
浑圆以径求积
置径自乘又以半径乘之又四因之又以十一乘之以
十四除之又以三除之见积
解曰平圆与平方之比例知其周与周假如七则方周
二十八圆周二十二两率各折半为十四与十一 径
自乘则为平方形以十一乘十四除则平方变为平圆
矣以平圆为㡳半径乘之成圆柱形再以三归之成圆
角形(即圆/锥)浑圆面幂为㡳半径为高之角形四倍大于
此圆角形故又四因之即成浑积也
捷法 径自乘以乘半径乃以四十四因四十二除见
积 或径上立方形二十二因四十二除或用半数十
一因二十二除见积并同
浑圆以积求径
置积以三因之四除之又以十四因之十一除之再加
一倍立 方开之 得圆径
解曰圆积是圆角形四今三因之变为圆柱形四矣故
用四除则成一圆柱此圆柱形是半径为高全径之平
圆为 (第 58b 页)
㡳今以十四乘十一除则变为全径之平方为㡳
半径为高矣故加一倍即成全径之立方
捷法 积倍之以四十二因四十四除立方 开之 得圆
径 或用本积以八十四乘四十四除立方 (第 59a 页)
开之 或
用半数以四十二乘二十二除立方 (第 59a 页)
开之 或又折半
以二十一乘乘十一除立方 (第 59a 页)
开之 得积并同
按径七围二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可
见其立法之善虽异城有同情也虽其于真圆之数似
尚 (第 59a 页)
求甲戊斜垂线
法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊
丁等皆三十五(三五/五三)其幂皆一千二百五十
求丙戊中长线
以戊丁幂三因之为丙戊幂平 方开之 得六十一(二三/七二)
为丙丁乙等边三角形中长线
求甲己中高线
法以戊丁幂(一千二/百五十)取三之一 …… (第 17b 页)
既得中长线丙乙以乘丁
乙半边即等边三角形积 若以丙乙幂丁乙幂相乘
得数平 方开之 得三等边形之幂积
捷法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘
开方得根即三等边幂积 或用原边丁甲自乘 (第 41b 页)
得数
乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等
边积亦同
论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必
得积之幂矣故开方得积
法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两
次为实平方为法 开之 得三等边形幂积
解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘
也 又法以原边与半边幂相减相乘开方见积 …… (第 42a 页)
壬子与卯子之比例即三等
边幂与正方幂积比例
用法有三等边形求积法以甲丁边上方形(即庚/甲)积作
卯子直线如句四倍之作横线如辰子为股次引横线
取子癸为卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸为
半径丁为心作半员截卯子于壬即得壬子为三等边
积
捷法不作辰子线但于子作半十字线如癸丁次于子
点左右取癸取丁各为卯子四之一乃任以丁为心癸
为界作割员分即割卯子于壬而为三等边形之积
论曰此借用开平方法也平方求根有算法有量法此
所用者量法也量法有二其一以两方之边当句当股
而求其弦是为并方法也其一用半员取中比例此所
用者中比例也(详比例/规解)
附三等边求容圆
法曰以原边之幂十二除之为实平 方开之 得容圆半
径
解曰原边幂十二之一即半边三之一也
附三等边形求外切圆
法曰以原边之幂三除之为实平 (第 44a 页)
方开之 得外切圆半 …… (第 44a 页)
等边则只用边
若六等边形亦即用边与平方平员之全径相比则如
后法
平方 四○○ 平方 一○○○○
平员 三一四 平员 七八五四
六角 一○二○ 六角 二五五○○
三角 一七○ 三角 四二五○
论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则为
平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○
○○○之比例也
量体细法
四等面体求积
法曰以原边之幂三除之得数以乘边幂得数副寘之
又置边幂二十四除之得数以乘副平 方开之 即四等
面积也
又法置半边幂三除之得数以乘半边幂得数副寘之又
以六为法除半边幂得数为实平 (第 47a 页)
方开之 即四等面积四
分之一也(即三角/扁锥)
算二十等面 …… (第 47a 页)
(九百二/十一)为股幂并二幂(一万/○九)
(百四/十六)平 方开之 得弦(一○四/又六二)
(不尽约为一/○四半强)为角至体心之
…… (第 51b 页)
四 中乙 七十五(七○/)
用句股法以心乙(一百四/十四)为弦中乙(七十/五七)为句句弦各
自乘相减得心中股幂平 方开之 得中高线(心中为容/员半径)
求得容员半径一百二十二半弱(心/中) …… (第 53b 页)
二十五)为句幂心乙(一百四/十四)自乘(二万○七/百三十六)为股幂并
之得(二万三千七/百六十一)平 方开之 得弦(一百五/十四强)为自角至心
之线甲心即外切员半径
作法 以五等面之一边为 …… (第 54b 页)
立方
置公积即浑圆积(五二三八○/九三三三)立方开之得立方根八
○六二○二七一七是为与浑圆等积之立方
方锥
置公积(五二三八○/九三三三)以三因之得数立 方开之 得高阔
相等之方锥形根一一六二二四四四四七是为与浑
圆等积之方锥
方 (第 56a 页)
锥
圆柱
置公积(同/上)十四因之十一除之为实立 方开之 得高阔
相等之圆柱形根八七四二三九四二是为与浑圆之
积之圆柱
(圆/柱)
圆锥 (第 56b 页)
置公积(同/前)以三因之(变圆锥形积/为圆柱积)再以十四因之十一
除之为实(变圆柱积/为立方积)立 方开之 得高阔相等之圆锥形
根一二五九四七五九是为与浑圆等积之圆锥 或
置积以四十二因之十一除之立 (第 57a 页)
方开之 亦同
(圆/锥)
按变体线本法有四等面八等面十二等面二十等面
诸数表皆未及其同者惟有浑圆立方二形 …… (第 57a 页)
浑圆以径求积
置径自乘又以半径乘之又四因之又以十一乘之以
十四除之又以三除之见积
解曰平圆与平方之比例知其周与周假如七则方周
二十八圆周二十二两率各折半为十四与十一 径
自乘则为平方形以十一乘十四除则平方变为平圆
矣以平圆为㡳半径乘之成圆柱形再以三归之成圆
角形(即圆/锥)浑圆面幂为㡳半径为高之角形四倍大于
此圆角形故又四因之即成浑积也
捷法 径自乘以乘半径乃以四十四因四十二除见
积 或径上立方形二十二因四十二除或用半数十
一因二十二除见积并同
浑圆以积求径
置积以三因之四除之又以十四因之十一除之再加
一倍立 方开之 得圆径
解曰圆积是圆角形四今三因之变为圆柱形四矣故
用四除则成一圆柱此圆柱形是半径为高全径之平
圆为 (第 58b 页)
㡳今以十四乘十一除则变为全径之平方为㡳
半径为高矣故加一倍即成全径之立方
捷法 积倍之以四十二因四十四除立方 开之 得圆
径 或用本积以八十四乘四十四除立方 (第 59a 页)
开之 或
用半数以四十二乘二十二除立方 (第 59a 页)
开之 或又折半
以二十一乘乘十一除立方 (第 59a 页)
开之 得积并同
按径七围二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可
见其立法之善虽异城有同情也虽其于真圆之数似
尚 (第 59a 页)
总 校 官 (臣/) 陆 费 墀
#+PROPERTY: JUAN 原序
医垒元戎原序
革车千乘带甲十万筹策沈机神鬼猜泣奇正万全历
古如是况良医之用药独不若临阵之用兵乎柰何世
人以平昔卤莽之浮学应仓卒无穷之疾变其不眩骇
颠仆者寡矣况患固多藏于细微而发于人之所忽由
轻蹈危疗之求当苟无妙算深谋成法以统之则倒戈
败绩之不暇尚何胜之可图哉则前日门类品目之定
尽计不及之也予自河南与诸友将弟兵日从事于患
难之场随病察胗逐脉定 方开之 效之薄之发之以尽
其宜吐之神之汗之下之以极其当攻守不常出没无
定大网小纪经纬悉陈本数末度条理具设前乎 (第 3b 页)
#+PROPERTY: JUAN 原序
医垒元戎原序
革车千乘带甲十万筹策沈机神鬼猜泣奇正万全历
古如是况良医之用药独不若临阵之用兵乎柰何世
人以平昔卤莽之浮学应仓卒无穷之疾变其不眩骇
颠仆者寡矣况患固多藏于细微而发于人之所忽由
轻蹈危疗之求当苟无妙算深谋成法以统之则倒戈
败绩之不暇尚何胜之可图哉则前日门类品目之定
尽计不及之也予自河南与诸友将弟兵日从事于患
难之场随病察胗逐脉定 方开之 效之薄之发之以尽
其宜吐之神之汗之下之以极其当攻守不常出没无
定大网小纪经纬悉陈本数末度条理具设前乎 (第 3b 页)
为实以乙东行步自之得一十万零二千四百步为
勾幂以甲南行步自之得三十六万步为股幂二幂
相并得四十六万二千四百步为弦方实以平 方开
之 得六百八十步则弦也以弦加勾股共共得一千
六百步以为法如法而一得二百四十步则城径也
合问
或问甲乙 …… (第 2a 页)
得六万五千五百三十六步为勾幂以甲南行步自
之得二十三万零四百步为股幂勾股幂相并得二
十九万五千九百三十六步为弦方实以平 方开之
得五百四十四步为弦也以加入南行步共得一千 …… (第 2b 页)
万八千四百九十六步为勾幂又以甲南行自之得
六万五千零二十五步为股幂二幂相并得八万三
千五百二十一步为弦方实以平 方开之 得二百八 …… (第 4a 页)
得三万六千八百六十四步为勾幂又置甲南行自
之得一十二万九千六百步为股幂二幂相并得一
十六万六千四百六十四步为弦方实以平 方开之
得四百零八即弦也又置甲南行步内减乙东行步
馀一百六十八步即较也以较加弦共得五百七十
六步以为法实 …… (第 5b 页)
为实以甲南行自之得二万二千五百步为股幂又
以乙东行步自之得六千四百步为勾幂勾股幂相
并得二万八千九百步为弦方实以平 方开之 得一
百七十步即弦也以二行步相减馀七十步为勾股
较也以此较又减弦馀一百步即弦较较也便以为
法实 …… (第 6b 页)
为股幂又以乙西行自之得二千三百零四步为勾
幂并二幂得一万零四百零四步为弦方实以平 方
开之 得一百零二步为弦也又并二行步得一百三
十八步为和以弦减和馀三十六步得黄方以为法
实如法而一得二百 …… (第 7b 页)
一百八十四步为勾幂又以南行自之得一万八千
二百二十五步为股幂二幂相并得二万三千四百
零九步为弦方实以平 方开之 得一百五十三步即 …… (第 8a 页)
十步为实又以乙东行自之得二百五十六步为勾
幂又以甲南行自之得九百步为股幂二幂相并得
一千一百五十六步为弦方实以平 方开之 得三十
四步即弦也以甲南行三十步为股以减弦馀四步
以为法以法除实得二百四十步即城径也合问
或问甲 …… (第 9a 页)
法曰此为半矮梯也以二行步相乘为实如平方而
一得半径
草曰以二行步相乘得一万四千四百步为实以平
方开之 得一百二十步倍之即城径也合问
又问甲乙二人乙出南门折而东行七十二步而止甲
出北门折而东行二百望见乙 …… (第 9b 页)
草曰二行步相乘得一万四千四百步又四之得五
万七千六百步为实以平 方开之 得二百四十步即
城径也合问
又假令乙出南门折东行二十步甲出北门折东行七
百二十步如此之类亦同上 …… (第 10a 页)
法曰此为两差求黄方也以二行步相乘倍之为实
以平方开得城径
草曰二行步相乘得二万八千八百步倍之得五万
七千六百步为实以平 方开之 得二百四十步即城
径也合问 别得甲南行即股圆差也乙东行即勾
圆差也
或问甲出东门四十八步而立乙出 …… (第 10b 页)
(除倍积得三事和今以半黄/方除直积亦为三事和也)然后并二行步又并入
勾股共得□□为同数与左相消得□□□以带纵
平 方开之 得一百二十步倍之得全径也合问
按是书皆先法后草草者以立天元一推衍而得
其方元积数者也法者又取 (第 12b 页)
勾幂以甲南行步自之得三十六万步为股幂二幂
相并得四十六万二千四百步为弦方实以平 方开
之 得六百八十步则弦也以弦加勾股共共得一千
六百步以为法如法而一得二百四十步则城径也
合问
或问甲乙 …… (第 2a 页)
得六万五千五百三十六步为勾幂以甲南行步自
之得二十三万零四百步为股幂勾股幂相并得二
十九万五千九百三十六步为弦方实以平 方开之
得五百四十四步为弦也以加入南行步共得一千 …… (第 2b 页)
万八千四百九十六步为勾幂又以甲南行自之得
六万五千零二十五步为股幂二幂相并得八万三
千五百二十一步为弦方实以平 方开之 得二百八 …… (第 4a 页)
得三万六千八百六十四步为勾幂又置甲南行自
之得一十二万九千六百步为股幂二幂相并得一
十六万六千四百六十四步为弦方实以平 方开之
得四百零八即弦也又置甲南行步内减乙东行步
馀一百六十八步即较也以较加弦共得五百七十
六步以为法实 …… (第 5b 页)
为实以甲南行自之得二万二千五百步为股幂又
以乙东行步自之得六千四百步为勾幂勾股幂相
并得二万八千九百步为弦方实以平 方开之 得一
百七十步即弦也以二行步相减馀七十步为勾股
较也以此较又减弦馀一百步即弦较较也便以为
法实 …… (第 6b 页)
为股幂又以乙西行自之得二千三百零四步为勾
幂并二幂得一万零四百零四步为弦方实以平 方
开之 得一百零二步为弦也又并二行步得一百三
十八步为和以弦减和馀三十六步得黄方以为法
实如法而一得二百 …… (第 7b 页)
一百八十四步为勾幂又以南行自之得一万八千
二百二十五步为股幂二幂相并得二万三千四百
零九步为弦方实以平 方开之 得一百五十三步即 …… (第 8a 页)
十步为实又以乙东行自之得二百五十六步为勾
幂又以甲南行自之得九百步为股幂二幂相并得
一千一百五十六步为弦方实以平 方开之 得三十
四步即弦也以甲南行三十步为股以减弦馀四步
以为法以法除实得二百四十步即城径也合问
或问甲 …… (第 9a 页)
法曰此为半矮梯也以二行步相乘为实如平方而
一得半径
草曰以二行步相乘得一万四千四百步为实以平
方开之 得一百二十步倍之即城径也合问
又问甲乙二人乙出南门折而东行七十二步而止甲
出北门折而东行二百望见乙 …… (第 9b 页)
草曰二行步相乘得一万四千四百步又四之得五
万七千六百步为实以平 方开之 得二百四十步即
城径也合问
又假令乙出南门折东行二十步甲出北门折东行七
百二十步如此之类亦同上 …… (第 10a 页)
法曰此为两差求黄方也以二行步相乘倍之为实
以平方开得城径
草曰二行步相乘得二万八千八百步倍之得五万
七千六百步为实以平 方开之 得二百四十步即城
径也合问 别得甲南行即股圆差也乙东行即勾
圆差也
或问甲出东门四十八步而立乙出 …… (第 10b 页)
(除倍积得三事和今以半黄/方除直积亦为三事和也)然后并二行步又并入
勾股共得□□为同数与左相消得□□□以带纵
平 方开之 得一百二十步倍之得全径也合问
按是书皆先法后草草者以立天元一推衍而得
其方元积数者也法者又取 (第 12b 页)
草曰立天元一为全径以减于二之甲南行步得□
□为两个大差也以乙东行步乘之得□□为圆径
幂(寄/左)然后以天元幂与左相消得丨□□以带纵平
方开之 得二百四十步即城径也合问
又法半之乙东行步乘南行步为实半之乙东行步为
从一步常法得半径
草曰立天 …… (第 2a 页)
之得一千四百七十四万五千六百为一段圆径幂
(寄中勾分/母寄左)然后以天元径自之又以中勾乘之得
□□为同数与左相消得丨□□□以𢃄纵立 方开
之 得二百四十步为城径也合问
按不受除者无可除之理也凡二数此数于彼数 …… (第 3b 页)
七十二步为半个梯头以乘上位得□□□为半径
幂(内寄小/股分母)寄左然后置天元幂又以分母小股乘之
得□□□为同数与左相消得□□□□以立 方开
之 得一百二十步倍之即城径也合问
又法曰以二数相乘为实相减为从一虚法平开得半
径 …… (第 5a 页)
(寄/左)再以大差勾减于大差股馀□□为较又加入大
差弦四百单八共得□□为弦较共也以天元乘之
得□□为同数与左相消得□□□以平 方开之 得
一百二十步即半径合问 前法太烦故又立此法 …… (第 5b 页)
天元自之又倍之得□□为同数与左相消得□□
□以平 方开之 得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门直行不知步数而止甲出西门南行四
百八十步望见乙复就乙斜行 …… (第 7a 页)
差也半之得□□□于上乃以天元减甲南行步得
□□为股圆差以乘上位得丨□○□为半径幂(寄/左)
然后以天元幂与左相消得下式□□□以平 方开
之 得一百二十步倍之即城径也合问 …… (第 7b 页)
乃置乙斜行六百八十步为大弦加入大股共得□
□于上再置二行差内减天元得□□为小差勾即
股弦较以乘上位得□□□为同数与左相消得□
□□以平 方开之 得一百二十步倍之即城径也合
问
又法求小差二行相减以自之又四之为实二行相减
八之于上二之南行步内 …… (第 9a 页)
后以半城径减于甲南行得□□又倍之得□□为
两个大差也又以天元乘之得□□○为同数与左
相消得下式□□□以平 方开之 得八十步为小差
也
或问乙出南门南行不知步数而立甲出西门南行四
百八十步望乙与城参相直复就乙斜行 …… (第 9b 页)
位得□□□又倍之得□□□为圆径幂(内寄小/股分母)寄
左然后倍天元以自之又以小股乘之得□□为同
数与左相消得□○□以平 方开之 得一百二十步
倍之即城径也合问
按此题止用股弦求勾法即得城半径其必展转 …… (第 10b 页)
(分/母)以小勾大勾相乘得□□□为半径幂(内带股率/幂为分母)
寄左然后置天元以自乘又以股率幂乘之得丨□
□□为同数与左相消得□□□以平 方开之 得一
百二十步倍之即城径也合问 …… (第 11b 页)
平方除之乃为九百六十元少一平方与十万零
八百步等两数等所降之位又等则两数仍相等
而实积步数乃出矣故可以带纵平 方开之 也此
系降位而得实数者与前升位而得实数者其理
互相发明草中不言盖以为不待于言也
或问甲乙二人 …… (第 12a 页)
勾弦和再以□勾弦和乘之为从又倍□勾弦和减
边股馀为益廉一为隅𢃄纵立方 开之 得□股
草曰别得边股即高股弦和□股即高股弦差□股
弦和即平勾也立天天一为□股自之得丨□应以
□ (第 20a 页)
□为两个大差也以乙东行步乘之得□□为圆径
幂(寄/左)然后以天元幂与左相消得丨□□以带纵平
方开之 得二百四十步即城径也合问
又法半之乙东行步乘南行步为实半之乙东行步为
从一步常法得半径
草曰立天 …… (第 2a 页)
之得一千四百七十四万五千六百为一段圆径幂
(寄中勾分/母寄左)然后以天元径自之又以中勾乘之得
□□为同数与左相消得丨□□□以𢃄纵立 方开
之 得二百四十步为城径也合问
按不受除者无可除之理也凡二数此数于彼数 …… (第 3b 页)
七十二步为半个梯头以乘上位得□□□为半径
幂(内寄小/股分母)寄左然后置天元幂又以分母小股乘之
得□□□为同数与左相消得□□□□以立 方开
之 得一百二十步倍之即城径也合问
又法曰以二数相乘为实相减为从一虚法平开得半
径 …… (第 5a 页)
(寄/左)再以大差勾减于大差股馀□□为较又加入大
差弦四百单八共得□□为弦较共也以天元乘之
得□□为同数与左相消得□□□以平 方开之 得
一百二十步即半径合问 前法太烦故又立此法 …… (第 5b 页)
天元自之又倍之得□□为同数与左相消得□□
□以平 方开之 得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门直行不知步数而止甲出西门南行四
百八十步望见乙复就乙斜行 …… (第 7a 页)
差也半之得□□□于上乃以天元减甲南行步得
□□为股圆差以乘上位得丨□○□为半径幂(寄/左)
然后以天元幂与左相消得下式□□□以平 方开
之 得一百二十步倍之即城径也合问 …… (第 7b 页)
乃置乙斜行六百八十步为大弦加入大股共得□
□于上再置二行差内减天元得□□为小差勾即
股弦较以乘上位得□□□为同数与左相消得□
□□以平 方开之 得一百二十步倍之即城径也合
问
又法求小差二行相减以自之又四之为实二行相减
八之于上二之南行步内 …… (第 9a 页)
后以半城径减于甲南行得□□又倍之得□□为
两个大差也又以天元乘之得□□○为同数与左
相消得下式□□□以平 方开之 得八十步为小差
也
或问乙出南门南行不知步数而立甲出西门南行四
百八十步望乙与城参相直复就乙斜行 …… (第 9b 页)
位得□□□又倍之得□□□为圆径幂(内寄小/股分母)寄
左然后倍天元以自之又以小股乘之得□□为同
数与左相消得□○□以平 方开之 得一百二十步
倍之即城径也合问
按此题止用股弦求勾法即得城半径其必展转 …… (第 10b 页)
(分/母)以小勾大勾相乘得□□□为半径幂(内带股率/幂为分母)
寄左然后置天元以自乘又以股率幂乘之得丨□
□□为同数与左相消得□□□以平 方开之 得一
百二十步倍之即城径也合问 …… (第 11b 页)
平方除之乃为九百六十元少一平方与十万零
八百步等两数等所降之位又等则两数仍相等
而实积步数乃出矣故可以带纵平 方开之 也此
系降位而得实数者与前升位而得实数者其理
互相发明草中不言盖以为不待于言也
或问甲乙二人 …… (第 12a 页)
勾弦和再以□勾弦和乘之为从又倍□勾弦和减
边股馀为益廉一为隅𢃄纵立方 开之 得□股
草曰别得边股即高股弦和□股即高股弦差□股
弦和即平勾也立天天一为□股自之得丨□应以
□ (第 20a 页)