姚延启，字季迪，号敬舆，浙江乌程（今湖州市）人，同进士出身。明崇祯十五年（1642年）以监生中式壬午科顺天乡试举人。清顺治六年（1649年）与弟姚延著同登己丑科进士。顺治十三年（1656年）任工科给事中。顺治十四年（1657年）任户科右给事中。顺治十五年（1658年）任户科左给事中。次年改工科都给事中。