钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十三卷目录

历法典第一百二十三卷

算法部汇考十五

《算法统宗十一》难题一序目

夫难题昉于永乐四年。临江刘公仕隆偕内阁诸君预修大典，退公之暇，编成《难法》，附于九章通明之后。及钱唐吴信民《九章比类》，与诸家算法中诗词、歌括、口号，总集名曰《难题》。难者，难也。然似难而实非难，惟其词语巧捏，使算师一时迷惑莫知，措手不知。难法皆不离于九章。非九章之外，其难题惟在乎立法。立法既明，则迎刃而破，又何难之有哉。今分列《九章立法明辩》，附集杂法于统宗之后，俾好事者共览云。
方田一〈凡七问〉
歌

昨日丈量田地回，记得长步整三十。广斜相并五十步，不知几亩及分釐。
答曰：二亩。
法曰：置广斜相并五十步自乘，得二千五百步。另以长三十步自乘，得九百步。二位相减，馀一千六百步。折半，得八百步为实。以广斜五十步为法除之，得阔一十六步。以乘长三十步，得四百八十步。以亩法二四除之。合问。〈此是句弦和〉
歌

三十八万四千步，正长端的无差误。六丝二忽五微阔，不知共该多少亩。
答曰：一亩。
法曰：置长三十八万四千步为实。以阔六丝二忽五微为法乘之，得二百四十步。以亩法二四除之。合问。〈此是直田长阔间积〉
歌

一段环田径不知，二周相并最幽微。皆知一亩无零积，一百六十不差池。三般可以见端的，只要名家仔细推。
答曰：径三步，外周八十九步，内周七十一步。
法曰：通田一亩得二百四十步为实。另以二周相并一百六十步折半，得八十步。为法除之，得径三步。以三步自乘，得九步。以减八十步，馀七十一步为内周。以减总一百六十，馀得外周八十九步。合问。
凤栖梧

一段环出余久虑。众说分明，亦有谁人悟。忘了二周并径步。人道二周不及为，差处七十有馀单。二步三事，通知答曰分明注。五亩二分无零数。元机奥妙堪思慕。〈题解内周不及外周七十二〉
答曰：径一十二步，内周六十八步，外周一百四十步。
法曰：以亩法通田五亩二分得一千二百四十八步。倍之得二千四百九十六步为实。以不及七十二步，以六除得径一十二步。为法除之得二百零八步。以减不及七十二步，馀一百三十六步，折半得内周六十八步。加不及七十二步，得外周。合问。〈此是环田问周径〉弧矢问难，已载少广章中，故不重述。
双捣练

长十六，阔十五，不多不少恰一亩。内有八个古坟墓，更有一条十字路。阔一步。每个墓，周六步。十字路，阔一步。每亩价银二两五。除了墓，除了路，问君该剩多少数。
答曰：路墓共占地二分二釐五毫，〈内八墓计二十四步路计三十步〉
路墓地图

剩地七分七釐五毫，该银一两九钱三分七釐五毫。
法曰：通田一亩为二百四十步。于上另置墓八个。以每个周六步自乘得三十六步。以十二除

之得三步。八墓共积二十四步。又十字路阔一步，长一十六步，阔一十五步二，共三十一步。除路中心一步，实三十步加八墓，共二十四步。通共占地五十四步。以亩法二四除之，得二分二釐五毫为占地数。以减去一亩，馀剩地七分七釐五毫。以每亩价银二两五钱乘之，得剩地价银。合问。
竿上安箍歌

圆圆三丈一高竿，稍尖头径尺二宽。今有铁箍径九寸，试问将来何处安。答曰：自上而下二丈二尺五寸。
法曰：置竿高三丈为实，以头径一尺二寸为法除之得二尺五寸。以箍径九寸乘之，得自上而下二丈二尺五寸。上安箍只离头七尺五寸。合问。〈此如方锥作方台问截高〉
歌

今有直田不知亩，长阔相和十七步。平不及长廿五尺，请问田该多少数。
答曰：二分五釐，计六十步。
法曰：置相和一十七步，减不及五步，馀一十二步为长。以阔五步相乘。合问。
歌

今有直田用较除，一百二十步无馀。长阔相和该一百，问公三事几何如。
答曰：长六十步，阔四十步，较二十步。
法曰：置较除一百二十步减长阔相和一百步，馀二十步为较。以减相和一百步馀八十步，折半得四十步为阔。加较二十得长六十。合问。
粟布二
哑子买肉歌

哑子来买肉，难言钱数目。一斤少四十，九两多十六。试问能算者，合与多少肉。
答曰：一十一两，每两该钱八文。
法曰：置少四十加多十六共五十六为实。以多十六减九两，馀七两。为法除之，得八文。却以九两因之，得七十二。加多十六，共得原钱八十八文。以八归之，得肉一十一两。合问。
解曰：若买一斤少钱四十文，若买九两多钱十六文。
老人问甲歌

有一公公不记年，手持竹杖在门前。借问公公年几岁，家中数目记分明。一两八铢泥弹子，每岁盘中放一丸。日久岁深经雨湿，总然化作一泥团。秤重八斤零八两，加减方知得几年。
答曰：一百零二岁
法曰：置总八斤半，以每斤三百八十四铢乘之，得三千二百六十四铢为实。以每岁一两作二十四铢加入八铢共三十二铢，为法除之。合问。
西江月

白面秤来四斤，使油一斤相和。今来有面九斤多，六两五钱不错。已用香油和合，二斤十二无讹。再添多少面来和，不会应须问我。答曰：添面一斤九两五钱。法曰：合用异乘同除法。置今有油二斤十二两，先将十二两化为七五于二斤之次。以乘原面四斤得面一十一斤为实。以原用油一斤为法除之如故。仍得实面一十一斤减去已用面九斤六两五钱，馀为添面一斤九两五钱。合问。
梅气清

三石五斗粟，会换芝麻三石足。又有五斗五升麻，换来小麦量八斗。今有小麦换粟米，九石六斗无零数。
解题曰：假如有粟米三石五斗换芝麻三石，又如芝麻五斗五升换折小麦八斗。今却有小麦九石六斗要换粟米，问：该若干。

答曰：粟米七石七斗。
法曰：合用异乘同乘法。置今有小麦九石六斗以乘所问芝痲五斗五升，得五石二斗八升。再以粟米三石五斗乘之，得一十八石四斗八升为实。又用异除同除法置所换芝麻三石，以乘小麦八斗，得二石四斗。为法除之，得粟米七石七斗。合问。
解法曰：置米三石五斗为实，以换麻三石为法除之，得麻每石换米一石一斗有零。又云麻五斗五升换麦八斗。置麻五斗五升，以每石折米一石一斗并零乘之，得米六斗四升并零为实。以换麦八斗为法除之，得麦每石折米八斗有零。又云今有麦九石六斗换米，问：该几何。置麦九石六斗，以麦每石折米八斗并零乘之，得米七石七斗。此乃用法之理，是一乘一除理之然也。盖因除法多有畸零，数之不尽，故前法用总乘，然后用总除。真是大术矣。
西江月

甲钏九成二两，乙钗七色相同。李银铺内偶相逢，各欲改成器用。其子未详所以，误将一处销镕。当时闷恼李三翁，又把算师扰动。
答曰：共销镕八成色金四两，甲该分二两二钱五分，〈折足色一两八钱〉　乙该分一两七钱五分。〈折足色一两四钱〉法曰：置甲金二两折足色一两八钱，乙金七成二两折足色一两四钱，并之得足色三两二钱。以原金二共四两归之，得八色。就以八为法除甲一两八钱，得甲金二两二钱五分。亦以法八除乙一两四钱，得乙金一两七钱五分。合问。
歌
肆中听得语吟吟，薄酒名醨厚酒醇。好酒一瓶醉三
客。薄酒三瓶醉一人。共同饮了一十九，三十三客醉醺醺。试问高明能算士，几多醨酒几多醇。
答曰：好酒十瓶，薄酒九瓶。
解曰：共三十三人饮酒一十九瓶好酒，三人饮一瓶薄酒，一人饮三瓶。

法曰：列置问衰。〈一瓶三人〉互〈三瓶一人　十九瓶三十三人〉先以右上一瓶互乘左中一人，得一人。又以左上三人互乘右中三瓶，得九瓶。相减馀八瓶为法。另以右中三瓶互乘左下三十三人，得九十九人。另以左上三人乘右中三瓶，得九瓶。再乘共酒一十九瓶，得一百七十一人。内减九十九人，馀七十二人为实。以法八瓶除之，得薄酒九瓶。以减总酒，馀得好酒十瓶。合问。
水仙子

为商出外去经营，将带白银去贩参。为当初不记原银锭，只记得七钱七分买六斤。脚钱便使用三分，总记用牙钱四锭，是六分中取二分。问先生贩买数分明。
答曰：人参四万三千五百斤，原银六千两，牙钱二百两，脚钱二百一十七两五钱。
解曰：每人参六斤价七钱七分，又用脚钱三分、牙钱二百两，乃是六十分中取二分也。

法曰：置牙钱四锭，以锭率五十两乘之，得二百两。以六十分取二分，该得原银六千两。减牙钱二百两，馀剩五千八百两。以买参六斤因之，得三万四千八百斤为实。却以价七钱七分，用脚钱三分共八钱为法除之，得参四万三千五百斤。以每六斤归之，得七千二百五十斤。以参价七钱七分乘之，得参价五千五百八十二两五钱。以减总银五千八百两，馀得脚银。合问。
歌

二丈四长尺八阔，四两半银休打脱。三丈六长尺六问，该银多少要交割。
答曰：六两。
法曰：用异乘同除法置令长三丈六尺，阔一尺六寸相乘，得五丈七尺六寸。以乘卖银四两五钱，得二百五十九两二钱为实。以原长二丈四尺，阔一尺八寸相乘，得四丈三尺二寸。为法除之。合问。
歌

足色黄金整一斤，银匠误侵四两银。斤两虽然不曾耗，借问却该几色金。
答曰：八色。
法曰：置金一十六为实，另以金加银四两，共二十两。为法除之。合问。
歌

足色纹银十二两，欲倾八成预忖量。分两虽然添得重，入铜多少得相当。
答曰：入铜三两。
法曰：置纹银一十二两，以八色归之，得一十五两。减去原银一十二两，馀三两为入铜数。合问。
歌

一斤半盐换斤油，五万白盐载一舟。斤两内除相为换，须教二色一般筹。
答曰：各二万斤。
法曰：置总盐五万斤为实，并盐油共得二斤。半为法除之得各二万斤。合问。
铺金问积歌

皇城内丹墀中，周围有八里。铺金二寸深，方寸十六两。秤来有一斤，不知多少数。特来问缘因。
答曰：金七百二十万斤。
法曰：置周八里以四归之，得每面二里。自乘得四里。又以每里三百六十步乘之，得一千四百四十步。以每步二千五百寸乘之，得三百六十万寸。又以深二寸因之，得七百二十万寸，即七百二十万斤也。合问。
西江月

客向新街籴米，共量八十四石。一千二百七十知，石价尽依乡例。雇觅小车搬运，装钱三百三十。脚言家内缺粮食，只据原钱要米。
答曰：客米六十六石六斗七升五合，脚米一十七石三斗二升五合。
法曰：此乃就物抽分之法。置米八十四石，以价一千二百七十文乘之，得一十万零六千六百八十文为实。另以石价并脚钱共一千六百文为法除实，得客米数。以减总米馀为脚米。合问。
衰分三
西江月

净拣棉花弹细，相和共雇王孀。九斤十二是张昌，李德五斤四两。纺绩织成布匹，一百八尺曾量。两家分布要明彰，莫得些儿偏向。
答曰：张昌七丈零二寸，李德三丈七尺八寸。
法曰：列各衰张昌九斤十二两，李德五斤四两，各以两法通之，张得一百五十六两，李得八十四两。副并共得二百四十两为法。另以织布一百零八尺乘张一百五十六两，得张一千六百八十四丈八尺。乘李八十四两，得李九百零七丈二尺。各自为实，以法除之。合问。
歌

赵嫂自言快绩麻，李宅张家雇了他。李宅六斤十二两，二斤四两是张家。共织七十二尺布，二人分布闹喧哗。借问乡中能算士，如何分得的无差。
答曰：张宅五丈四尺，李宅一丈八尺。
法曰：置共织布七十二尺为实，并二麻张六斤一十二两。以斤加六得一百零八两。李二斤四两以斤加六得三十六两，共一百四十四两。为法除之，每两得五寸。以乘各出麻。合问。
诵课增倍歌

有个学生心性巧，一部孟子三日了。每日增添一倍多，问君每日读多少。
答曰：头一日读四千九百五十五字，第二日读九千九百一十字，第三日读一万九千八百二十字。法曰：置〈一　二　四〉并为七衰为法，以孟子字数三万四千六百八十五字为实。以法除之，得四千九百五十五字为头日之数。倍之为第二日数。又倍之为第三日数。合问。
行程减等歌

三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。要见每朝行里数，请公仔细算相还。
答曰：初日一百九十二里，次日九十六里，三日四十八里，四日二十四里，五日一十二里，六
日六里。
法曰：置三百七十八里为实，列置衰。〈一　二　四　八　十六　三十二〉并得六十三衰，为法除实得六里为第六日之数。递加一倍。合问。
浮屠增级歌

远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。
答曰：顶层三盏。
法曰：置共灯数为实，列置衰。〈一　二　四　八　十六　三十二　六十四〉并之得一百二十七衰。为法除实，得三为顶层灯数。各加倍，得各层灯数。合问。
三等赔偿鹧鸪天

八马九牛十四羊，赶在村南牧草场。吃了人家一段谷，议定赔他六石粮。牛一只，比二羊，四牛二马可赔偿。若还算得无差错，姓字超群到处扬。
答曰：马八共赔三石，牛九共赔一石六斗八升七合五勺，羊十四共赔一石三斗一升二合五勺。
解曰：马八只、牛九只、羊十四只，共议赔谷六石。羊一分，牛二分，马四分。

法曰：置米六石为实。另置马八，以四因得三十二衰。牛九以二因得一十八衰。羊一十四衰并得六十四衰，为法除之，得九升三合七勺五抄，为一羊所吃赔谷数。为法遍乘各衰。先以羊一十四衰乘之，得一石三斗一升二合五勺，为羊主赔数。又以牛衰十八乘之，得一石六斗八升七合五勺，为牛主赔数。又以马衰三十二乘之，得三石为马主赔数。合问。
五爵分金歌

公侯伯子男，五四三二一。假有金五秤，依率要分讫。答曰：公一秤十斤，侯一秤五斤，伯一秤，子一十斤，男五斤。
法曰：置金五枰，以每秤一十五斤乘，得七十五斤为实。列公五、侯四、伯三、子二、男一，副并得一十五。为法除实得五斤，为男所得数。加五得十斤为子所得数。再加五得一秤为伯所得数。又加五得一秤零五斤为侯所得数。再加五得一秒一十斤为公所得数。合问。
八子分绵歌

九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠。次第每人多十七，要将第八数来言。务要分明依次第，孝和休惹外人传。
答曰：长子一百八十四斤，次子一百六十七斤，三子一百五十斤，四子一百三十三斤，五子一百一十六斤，六子九十九斤，七子八十二斤，
八子六十五斤。
法曰：置七衰〈一　二　三　四　五　六　七〉并得二十八衰为实。以多十七乘之，得四百七十六。以减总绵数，馀五百二十。以八子除之，得六十五斤，为第八子数。加十七得八十二斤，为七子数。仿此递加十七至长。合问。
九儿问甲歌

一个公公九个儿，若问生年总不知。自长排来争三岁，共年二百七岁期。借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。答曰：长儿三十五岁，次儿三十二岁，三儿二十九岁，四儿二十六岁，五儿二十三岁，六儿二
十岁，七儿一十七岁，八儿一十四岁，九儿一
十一岁。
法曰：列八衰。〈以一　二　三　四　五　六　七　八〉各以差三岁因之，为各人之衰数。长儿因得三，次儿因得六，三儿因得九，四儿因得十二，五儿因得一十五，六儿因得一十八，七儿因得二十一，八儿因得二十四。并入衰得一百零八数，以减总二百零七岁，馀九十九岁。以九人除之得一十一岁，为第九儿之年岁。次递加三岁至长。合问。
依等算钞歌

甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平。甲乙念三七钱钞，〈二十三两七钱〉念六一钱戊己庚。〈二十六两一钱〉惟有丙丁钞无数，要依等第数分明。请问高明能算者，细推详算莫差争。
答曰：甲该钞一十二两二钱，乙该钞一十一两五钱，丙该钞一十两零八钱，丁该钞一十两零一钱，戊该钞九两四钱，己该钞八两七钱，庚该
钞八两。
法曰：置戊、己、庚三人，添一为四。以三乘之，得十二，折半，得六。减去三馀三为下差率。另以甲乙二人乘，总七人得十四。减去下差率三，馀得十一为上差率。列置戊、己、庚、甲、乙。〈三二〉互〈馀三　得六　二十六两一钱　得五十二两二钱　馀十一　得三十三　二十三两七钱　得七十一两一钱〉先以左上二互乘右中三，得六。又以左上二乘右下二十六两一钱，得五十二两二钱。次以右上三乘左中十一，得三十三。以减去右中六馀二十七为法。又以右上三乘左下二十三两七钱，得七十一两一钱。减去右下五十二两二钱，馀一十八两九钱为实。以法二十七除之，得七钱为一差之数。另置甲乙共钞二十三两七钱，加入差七钱，共二十四两四钱，折半得一十二两二钱为甲所得数。除差七钱，馀一十一两五钱，是乙钞。各减七钱得各数。
竹筒容米歌

家有九节竹一茎，为因盛米不均平。下头三节三升九，上稍四节贮三升。惟有中间二节竹，要将米数次第盛。若是先生能算法，教君直算到天明。
答曰：第一节容米一升四合，第二节一升三合，第三节一升二合，第四节一升一合，第五节一升，第六节九合，第七节八合，第八节七合，第九节六合。法曰：置上四节加一为五与四乘，得二十。折半得一十。减去四，馀得六，为下差率。另以下三节以总九节乘之，得二十七。减去下差率六，馀二十一为上差率。列置，〈右四　左三〉互〈馀六　得一十八　三升　得九分　馀二十一　得八十四　三升九合　得一十五分六釐〉先以左上三互乘右中六，得一十八。次以右上四互乘左中二十一，得八十四。以少减多，馀六十六为法。复以左上三乘右下三，得九分。又以右上四乘左下三升九，合得一十五分六釐。减去九分馀六分六釐，为一节之差数。却以下三节盛米三升九合为实，以法六十六乘之，得二百五十七分四釐。以三归之，得八十五分八釐，是第二节数。加六分六釐为第一节数，减六分六釐得七十九分一釐为第三节数。又减去六分六釐，馀七十二分六釐为第四节数。每节次第减六分六釐，得各数。以法六十六除之。合问。
原法下头三节贮四升米不尽者多，今改为三升九合却尽矣。
歌

一万六百八两银，四个商人依率分。原银轮递四六出，休将六折术瞒人。
答曰：甲四千四百零六两四钱，乙二千九百三十七两六钱，丙一千九百五十八两四钱，丁一千三百零五两六钱。
解曰：四六者乃是每两多五。故自丁起递用加五为衰，并之为法除实。

法曰：各列置衰，〈丁四　丙六　乙九　甲一十三衰五分〉副并得三十二衰五分为法。另以银一万零六百零八两，以乘各衰。甲十三衰五分得一十四万三千二百零八两，乙九衰得九万五千四百七十二两，丙六衰得六万三千六百四十八两，丁四衰得四万二千四百三十二两。各自为实，以法各除之。合问。
歌

三千四百十两银，五个为商照本分。原银轮递二八出，休将八折易瞒人。
答曰：甲二千五百六十两，乙六百四十两，丙一百六十两，丁四十两，戊一十两。
解曰：二八者，乃是每两多四。故自戊起依次递用四，因为衰并之为法。

法曰：各列置衰，〈戊二　丁八　丙三十二　乙一百二十八　甲五百一十二〉副并得六百八十二衰为法。以所分银三千四百一十两为实，以法除之，得五十为一衰。以乘各衰得各人数。合问。
歌

三百六十九斤丝，出钱四客要分之。原本皆是八折出，莫教一客少些儿。
答曰：甲一百二十五斤，乙一百斤，丙八十斤，
丁六十四斤。
法曰：各列置衰，〈甲一千　乙八百　丙六百四十　丁五百一十二〉副并得二千九百五十二为法。另以所分丝三百六十九斤乘未并各衰。甲一千得三十六万九千，乙八百得二十九万五千二百，丙六百四十得二十三万六千一百六十，丁五百一十二得一十八万八千九百二十八。各自为实，以法除实，得各人丝。合问。
歌

甲乙丙丁戊，分银一两五。甲多戊钱三，互和折半与。答曰：甲三钱六分五釐，乙三钱三分二釐五毫，丙三钱，丁二钱六分七釐五毫，戊二钱三分五釐。
解曰：甲多戊一钱三分也。

法曰：此互和减半之法。置分银一两五钱为实，以例用〈一分　三分　五分　七分　九分〉并之，得二钱五分。为法除之，得六钱，乃首尾之数。于内减中多戊一钱三分，馀四钱七分，折半得戊二钱三分五釐。仍加多一钱三分，得甲三钱六分五釐。互和甲戊，共得六钱，折半得丙三钱。互和加甲三钱六分五釐，共得六钱六分五釐，折半得乙银三钱三分二釐五毫。并丙戊共五钱三分五釐，折半得丁二钱六分七釐五毫。合问。
西江月

群羊一百四十，剪毛不惮勤劳。群中有母有羊羔，先剪二羊比较。大羊剪毛斤二，一十二两羔毛。百五十斤是根苗，子母各该多少。
答曰：大羊一百二十只，小羊二十只。
法曰：置羊一百四十，以大羊剪毛一斤二加六为一十八两。乘之得二千五百二十两。以减共剪毛一百五十斤，亦加六为二千四百两，馀一百二十两为实。另以大羊毛一十八两，减小羊毛一十二两，馀六两。为法除之，得小羊二十只。以减总羊，馀得大羊一百二十只。合问。
二果问价歌

九百九十九文钱，甜果苦果买一千。甜果九个十一文，苦果七个四文钱。试问甜苦果几个，又问各该几个钱。
答曰：甜果六百五十七个该钱八百零三文，苦果三百四十三个该钱一百九十六文。
法曰：列置，〈九个十一文〉互〈七个四文　一千个九百九十九文〉先以右上九个互乘左中四文，得三十六个。次以右中七个互乘左上一十一文，得七十七文。以少减多馀四十一为长法。又以右中七个互乘左下九百九十九文，得六千九百九十三文。再以左中四文互乘右下一千个得四千。以少减多馀二千九百九十三文。却以长法除之，得七十三为短法。若求甜果，以七十三乘九个，得甜果六百五十七个。另以七十三乘一十一文，得甜果钱八百零三文。于总果内除六百五十七，馀苦果三百四十三个。又于总钱减去甜果钱，馀得苦果钱。合问。
均舟载盐歌

四千三百五十盐，大小船只要齐肩。五百盐装三大只，三百盐装四小船。请问船只多少数，每只船载几引盐。
答曰：大船一十八只装盐三千引，小船一十八只装盐一千三百五十引。
法曰：列置，〈四只　三只〉互〈三百　五百〉先以左上三只互乘右下三百引，得九百。次以右上四只互乘左下五百，得二千。并之得二千九百。为法列置三四乘得一十二只。以乘总盐得五万二千二百为实。以法除之，得十八，是大小船数。先以大船盐五百因之，得九千。再以船三只归之，得盐三千引。又置小船一十八只，以盐三百因之，得五千四百。又以船四只归之，得盐一千三百五十引。合问。
增钱剥浅歌

邻家有客乱争喧，相见问其所以然。二百三十六担货，程途远近论船钱。九十五担六分算，八十五担四分还。更有五十六担货，二分五釐算为先。只因剥浅争船价，二两五钱二分添。请问高明能算士，各人分派免忧煎。
解曰：假如赵一、钱二、孙三三人共货二百三十六担，雇船一只。原各以程途远近不等，水脚多寡不同。内赵一货九十五担交卸甚远，每担船脚银六分。钱二货八十五担卸处颇近，每担船脚四分。孙三货五十六担程途又，近每担船脚二分五釐。算其银付足外，因中途剥浅贴银二两五钱二分，照依远近船钱派分，各该若干。
答曰：赵一该贴一两三钱六分八釐，钱二该贴八
钱一分六釐，孙三该贴三钱三分六釐。
法曰：置赵一货九十五担，以每担船脚银六分乘之，得五两七钱。另以钱二货八十五担，以每担船银四分乘之，得三两四钱。又以孙三货五十六担，以每担船银二分五釐乘之，得一两四钱。并三数原船脚银一十两零五钱为法，却以贴银二两五钱二分为实。以法除之，得二钱四分，乃是船脚每两贴剥之数。就以此二钱四分为法，以乘各客船脚银数。即得。
笔套取齐歌

八万三千短竹竿，将来要把笔头安。管三套五为期定，问君多少配成完。
答曰：管套各得一十五万五千六百二十五个，管竹五万一千八百七十五竿，套竹三万一千一百二十五竿。
解题：共有短竹八万三千竿，每一竿截作笔管三个，每一竿截为笔套五个。问：各该用竹若干裁截配合成笔。

法曰：置竹八万三千为实，以管三套五并作八，为法除之得一万零三百七十五又为实。另以管三乘套五得一十五。又为法乘实得管套各得一十五万五千六百二十五个，列置。问管竹以三归之，问套竹以五归之。合问。
金毬问积歌

有个金毬里面空，毬高尺二厚三分。一寸自方十六两，试问金毬多少金。
答曰：一百三十八斤一十两零二钱四分。
解曰：金毬者，形如立圆。高尺二即圆中之径也。厚三分者，乃中径。之两头俱有，故并共厚六分。以减全径尺二，馀得内中空径一尺一寸四分也。其用立圆之法，自再乘毕。又用九因十六除者，何也。其平圆居方内四分之三，故用三因四归，得积。今立圆而又多一，再乘者故。以三三如九因之，平圆四归而一。今立圆亦再以四自乘，得一十六而除之，是也。若毬周问积，置周数以三归，求出径数。同法算积。

法曰：置毬高一十二寸自乘、再乘，得一千七百二十八寸。以九因十六除，得九百七十二寸，是全个金毬之实。另置径一十二寸，减去径两头共厚六分，馀得毬中空径一十一寸四分。亦自乘、再乘，得一千四百八十一寸五分四釐。亦以九因十六除，得八百三十三寸三分六釐为毬内空积之数。以减全毬积数，馀一百三十八寸六分四釐。以一百三十八寸变为一百三十八斤零者，用加六之法，得一十两零二钱四分。合问。
西江月

帝城三五元宵，鳌山两样灯毬。都来一秤三斤油，七两又来添凑。三两分为四盏，四两分作三瓯。三停盏子二停瓯，请问先生知否。
答曰：瓯一百二十只油十斤，盏一百八十个油八斤七两。
法曰：置油一秤为一十五斤。又添三斤，共一十八斤。每斤用加六法得二百八十八两。又添七两共二百九十五两。以每两二十四铢乘之，得七千零八十铢为实。另置油三两，以二十四铢乘，得七十二铢。以四盏归之，每盏得一十八铢。又以三停乘之，得五十四铢为盏之法。另又置油四两以二十四铢乘之，得九十六铢。以三瓯归之，每瓯得三十二铢。又以二停乘之，得六十四铢为瓯之法。并瓯盏二法，共一百一十八为总法。除实七千零八十铢，得六十为则。以二停因，得一百二十为瓯数。以每瓯油三十二铢乘之，得三千八百四十铢。以每斤三百八十四铢除之，得十斤为瓯油总数。另以则六十以三停因之，得一百八十为盏总数。以每盏油一十八铢乘之，得三千二百四十铢。以每两二十四铢除之，得一百三十五两。以斤法一十六两除之，呼见一无除作九，一无除起一。下还一六八除四十八馀七两，不可除，即是八斤七两为盏油总数。并瓯总油共一十八斤七两。合问。
以碗知僧歌

巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，恰合用尽不差争。三人共餐一碗饭，四人共尝一碗羹。请问高明能算者，算来寺内几多僧。答曰：六百二十四人，饭碗二百零八只，羹碗一百五十六只。
法曰：以三人、四人相乘，得一十二人。以乘总碗三百六十四只，得四千三百六十八为实。另以三四并之，得七。为法除之，得僧数。用三归得饭碗。用四归得羹碗。合问。
河边洗碗歌

妇人洗碗在河滨，试问家中客几人。答曰不知人数目，六十五碗自分明。二人共餐一碗饭，三人共吃一碗羹。四人共肉无馀数，请问布算莫差争。答曰：客六十人，饭碗三十只，羹碗二十只，肉碗一十五只。
法曰：以二人乘三人得六人。又以四人乘之，得二十四人。以乘总六十五碗，得一千五百六十为实。另列维乘，〈得六　得一十二〉先以二乘三得六。次
以三乘四，得一十二。又以四乘二得八。并之，得二十六。为法除实，得六十人。各列以二归，得饭碗。以三归得羹碗。以四归得肉碗。合问。
书生分卷歌

《毛诗》《春秋》《周易》书，九十四册共无馀。《毛诗》二册三人共，《春秋》一本四人呼。《周易》五人读一本，要分每样几多书。就见学生多少数，请君布算莫踌蹰。
答曰：《毛诗》四十本，《春秋》三十册，《周易》二十四本，学生各经一百二十名，总计三百六十人。
法曰：列置三人、四人、五人维乘，以三人乘四人，得一十二。又以四人乘五人，得二十。又以五人乘三人，得一十五。并之，得四十七为法。另以共书九十四本在位，以《诗》三人乘之，得二百八十二本。再以《易》四人乘之，得一千一百二十八本。又以《书》五人乘之，得五千六百四十本为实。以法四十七除之，得各经学生一百二十名。列三位以三人归之，得《诗经》四十本。以四人归之，得《春秋》三十本。以五人归之，得《易经》二十四本。并三经学生，共三百六十人。合问。
僧分馒头歌

一百馒头一百僧，大和三个更无争。小和三人分一个，大小和尚得几丁。
答曰：大和尚二十五人该馒头七十五个，小和尚七十五人该馒头二十五个。
法曰：置僧一百名为实，以三个、一个并得四个。为法除之，得大僧二十五人。以每人三个因之，得馒头七十五个。于总僧内减大僧，馀七十五为小僧。以三人归之，得馒头二十五个。合问。
歌

一千官军一千布，一官四匹无零数。四军才分布一匹，请问官军多少数。
答曰：官二百员该布八百匹，军八百名该布二百匹。
法曰：置官军共一千为实，以四匹、一匹并得五匹。为法除之，得官二百员。以每员四匹因之，得布八百匹。于总官军内减二百，馀八百名为军。以四军归之，得布二百匹。合问。
歌

今有千文买百鸡，五十雄价不差池。草鸡每个三十足，小者十文三个知。
答曰：公鸡八只价钱四百文，母鸡十一只价钱三百三十文，小鸡八十一只价钱二百七十文。
原法曰：置钱千文为实，另置公鸡一、母鸡一，各以小鸡三因之，得公鸡三，母鸡三，小鸡三，共得九。为法除实，得十一为母鸡数。不尽一，返减下法九馀八为公鸡数。另列总鸡一百只，减去公鸡八只，母鸡一十一只，馀八十一只为小鸡数。各以价钱因之。合问。
又引前法置所答数。公鸡八只，增四作十二。母鸡十一，减七为四小鸡。八十一益三为八十四，共百鸡，千文也。此乃张丘建云。鸡公增四，鸡母减七，鸡雏益三，又细参之。仍置原数，却将鸡公八只减四得四只。鸡母十一增七，得一十八只。鸡雏八十一减三得七十八只。亦得百鸡千文也。其一法而生三，故在变通之意也。
水仙子

元宵十五闹纵横，来往观灯街上行。我见灯上下红光映，绕三遭，数不真。从头儿三数无零，五数时四瓯不尽，七数时六盏不停。端的是几盏明灯。
解题：初以三算之恰尽。次以五算之，馀四盏。再以七算之，馀六盏。问：共灯若干。

答曰：六十九盏。
法曰：此如孙子物不知总法也。先置三数无零，不必下五数剩四。每一下二十一数，四共该下八十四数。七数剩六。每一下十五数，六共该下九十数，并之共得一百七十四，减去满法一百零五，馀得六十九盏。合问。