钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十二卷目录

历法典第一百二十二卷

算法部汇考十四

《算法统宗十》方程章第八

方，正也；程，数也。以诸物总并为问，去繁就简为主。乃诸物繁亢，诸价错杂，必须布置行列，或损益加减，同异正负，递互遍乘，求其有等。以少减多，馀物为法，馀价为实。性实相除，得一价以推其馀。若繁杂甚者，次第求之。
正者，正数。负者，欠数。
二色方程歌

世人欲要识方程，物价俱将左右陈。右上法乘左中下，次将左上右行乘。中间相减馀为法，下位相减馀实情。法除实为右中价，得价须将右中乘。右下价内减去积，馀为实数甚分明。右上为法除下实，便为上价细推寻。
今有马三匹，牛二头，共价银一百一十四两。又马四匹，牛五头，共价一百六十二两五钱。问：马牛价各若干。
答曰：马每匹价三十五两，牛每匹价四两五钱。法曰：列所问数
　上马〈三匹〉为法〈先乘左〉中牛二〈乘得八〉　　下价〈一百一十四两〉　得〈四百五十六两〉　上马〈四匹〉为法〈次乘右〉中牛五〈乘得一十五〉　　下价〈一百六十二两五钱〉　得〈四百八十七两五钱〉先以右行马三为法，遍乘左行中牛五，得一十五。又以法乘左行下价一百六十二两五钱，得四百八十七两五钱。却以左行马四为法，复遍乘右行中牛二，得八。减左行乘得牛十五，馀七为法。又以左上马四乘右下价一百一十四两，得四百五十六两。减左行乘价四百八十七两五钱，馀三十一两五钱为实。以法七除之，得牛匹价四两五钱。却以右行中牛二乘之，得九两。以减右行下价一百一十四两，馀一百零五两为实。以右行马三为法除之，得马一匹价三十五两。合问。
今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分。又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分。问：绫绢各价若干。
答曰：绫每尺价八分，绢每尺价六分。
法曰：列所问数
　绫〈三尺〉为法〈先乘左〉　绢〈四尺〉得〈二十八〉　价〈四钱八分〉　得三两三钱六分　绫〈七尺〉为法〈次乘右〉　绢〈二尺〉乘得〈六〉　　价〈六钱八分〉　乘得二两零四分先以右行绫三为法遍乘左中下，得数。却以左行绫七为法复遍乘右行中绢四，得二十八。减左行中得绢六馀二十二为法。又以左绫七乘右价四钱八分，得三两三钱六分。减左行乘得价二两零四分，馀一两三钱二分为实。以法二十二除之，得绢每尺价六分。就以右行绢四尺乘之，共得绢价二钱四分。以减右行价四钱八分，馀二钱四分。以绫三尺为法除之，得绫每尺价八分。合问。
三色方程歌

三色方程法更奇，物价三行左作基。左右互乘须减尽，中下价馀左位宜。又列二行仍乘减，中中左中减无馀。下馀为法价馀实，法实相除下价知。
此三色方程已后，内中或有正负、同异加减者。

今有砚三个，墨五匣，笔九枝，共价八钱一分。又砚四个，墨六匣，笔七枝，共价八钱九分。又砚五个，墨七匣，笔八枝，共价一两零六分。问：砚墨笔各价若干。答曰：砚每个八分，墨每匣六分，笔每枝三分。
法曰：列所问数
　砚〈三〉为法〈先乘左右〉墨〈五〉得〈二十〉　笔〈九〉得〈三十六〉价〈八钱一分〉　得三两二钱四分　砚〈四〉得〈一十二〉　　墨〈六〉得〈一十八〉笔〈七〉得〈二十一〉价〈八钱九分〉　得二两六钱七分　砚〈五〉得〈一十五〉　　墨〈七〉得〈二十一〉笔〈八〉得〈二十四〉价〈一两零六分〉得三两一钱八分先以右行砚三为法，遍乘左中二行得数。却以中行砚四遍乘右行墨笔得数。墨得二十，笔得三十六，价得三两二钱四分。与中行对减，馀墨二，笔十五，价五钱七分。另列右位，又以左行砚五为法，遍乘右行墨笔得数，墨二十五，笔四十五，价四两零五分。与左行对减，馀墨四，笔二十一，价八钱七分。另列左位，再列减馀，以分左右位数。以右行墨二为法，遍乘左行笔价，得数列左位。
　墨〈二〉　笔〈十五〉　　得〈六十〉　价〈五钱七分〉　得二两二钱八分　墨〈四〉　笔〈二十一〉　得〈四十〉价〈八钱七分〉　　得一两七钱四分复以左行墨四为法，遍乘右行笔价，得数列右位。却以左右对减，墨尽，馀得笔一十八枝为法。又以馀价得数相减，馀五钱四分为实。以法除实，得笔价每枝三分。就以笔价乘后右馀笔十五，得四钱五分。以减右行馀价五钱七分，馀一钱二分。以右行馀墨二为法除之，得墨价每匣六分。于前右行原价八钱一分内，减原笔九价二钱七分，原墨五价三钱，馀二钱四分为实。以前右原砚三为法除之，得砚价每个八分。今有马一匹，骡二匹，驴三匹。皆载四石二斗，至坡皆不能上。马借骡一匹，骡借驴一匹，驴借马一匹，方过其坡。问：三等力各若干。
答曰：马二石四斗，骡一石八斗，驴六斗。
法曰：列所问数
正马〈一〉为法〈先乘左中〉　〈借〉骡〈一〉　下空　四石二斗　空　正骡〈二〉　〈借〉驴〈一〉　四石二斗〈借〉马〈一〉　空〈负一〉　正驴〈三〉得〈三〉　四石二斗　得四石二斗先以右行正马一为法，遍乘左行中下得数。却以左行借马一为法，遍乘右行中下，得数。中得一因左行中空无减，加入负骡一。下空无数，转乘本行下正驴三，得三四石二斗。得四石二斗，与左行减尽。又以中行正骡二遍乘左行中下得数。中加一得二，下三得六。四石二得八石四斗。再以左行中一为法，遍乘中行中下得数。中中正二得二，与左中二减尽。下一得一，加左行下六，得七。为法四石二斗。得四石二斗与左行八石四斗对减，馀四石二斗为实。以法除之，得驴匹力六斗。中行四石二斗内减借驴一匹，除六斗仍三石六斗。作骡二匹除之，得骡力一石八斗。右行四石二斗内减借中行骡一匹，除一石八斗，馀二石四斗，为马一匹力。合问。
今有朱二斤，粉三斤，价二两零四分。又粉五斤，丹六斤，价六钱四分。又朱三斤，丹七斤，价二两九钱八分。问：三色各价若干。
答曰：朱每斤九钱，粉每斤八分，丹每斤四分。
法曰：列所问数
　朱〈二〉为法〈先乘左行〉　粉〈三〉　得〈一〉　空　价〈二两零四分〉　空　粉〈五〉　丹〈六〉　价〈六钱四分〉　朱〈三〉　空〈负九〉　丹〈七〉得〈一十四〉价〈二两九钱八分〉　得五两九钱六分先以右行朱二为法，遍乘左行。得数列于左位。却以左行朱三为法，遍乘右行粉三，得九。左空亦立负九价二两零四，得六两一钱三分。与左行得数五两九钱六分对减馀，一钱六分。又以中行粉五为法，遍乘左行粉负九，得负四十五，丹十四，得七十馀价一钱六分，得八钱。再以左行负粉九为法，遍乘中行粉五，得四十五。与左行负粉对减，尽丹六，得五十四异。加左丹七十，共一百二十四为法。以中原价六钱四分，亦以负粉九乘，得五两七钱六分。减左馀价八钱。馀四两九钱六分为实。以法除之，得丹每斤价四分于中行。价六钱四分内减原丹六共价二钱四分，馀价四钱为实。以粉五为法除之，得粉每斤价八分。又于右行价二两零四内除粉三斤，共减价二钱四分，馀价一两八钱为实。以朱二斤为法除之，得朱每斤价九钱。合问。
今有鹅四只，鸭三只，共价七钱五分。又鹅三只，鸡四只，共价六钱。又鸭五只，鸡六只，共价八钱一分。问：三色价各若干。
答曰：鹅每只价一钱二分，鸭每只价九分，鸡每只价六分。
法曰：列所问数。
　鹅〈四〉为法〈先乘中行〉　鸭〈三〉中法〈乘得九〉　空　七钱五分〈中法乘得二两二钱五分〉　鹅〈三〉为法〈次乘右行〉　空〈照左负九〉　　鸡〈四右法乘得十六左法乘得八十〉　六钱〈右法乘得二两四钱咸右馀一钱五分左法乘得七钱五分〉　空　　鸭〈五〉中法〈负九乘得四十五〉　鸡〈六〉中法〈负九乘得五十四〉　八钱一分〈中法负九乘得七两二钱九分〉先以右行鹅四为法，遍乘中行，得数鸡一十六、价二两四钱，列中位。又以中行鹅三为法，遍乘右行，得数鸭九、价二两二钱五分，列右位。以中右对减，馀鸡一十六，价一钱五分，又列中位为用。再以左行鸭五为法，复遍乘中行得数。鸭照右设立，负九得四十五。鸡十六得八十，价一钱五得七钱五分，列中位。又以中行负九为法，遍乘左行，得数鸭四十五，鸡五十四，价七两二钱九分，列左位。以中左对减，鸭尽。鸡中行八十加左行五十四，共一百三十四为法。以价中七钱五分加左七两二钱九分，共八两零四分为实。以法除之，得六分为鸡一只之价。另以左行原价八钱一分减鸡六只，共价三钱六分，馀四钱五分。以鸭五只为法除之，得鸭价每只九分，再以右行原价七钱五分减鸭三只，共价二钱七分，馀四钱八分。以鹅四为法除之得鹅每只价一钱二分。合问。
今有卖二牛、五羊，买十三猪，剩银五两。卖一牛、一猪，买三羊适足。卖六羊、八猪，买五牛，少银三两。问：牛、羊、猪，各价若干。
答曰：牛价银六两，羊价银二两五钱，猪价银一两五钱。
法曰：以卖牛为正，以买猪为负。以多为正，以少为负。列所问数　牛〈正〉二为法　羊〈正〉五　猪〈负〉十三　〈正〉五两　牛〈正〉一　羊〈负〉三〈得负六〉　猪〈正〉一〈得正二〉　空适足　牛〈负〉五　羊〈正〉六〈得正十二〉　猪〈正〉八〈得正十六〉　〈负〉三两〈得六两〉先以右行牛正二为法，遍乘中左二行得数。却以中行牛正一为法，复遍乘右行羊正五得正五。异加中行羊负六，共得羊负十一。猪负十三得负十三。异加中行猪正二，共得猪正十五，价正五两得正五两。因中行价空，无减得正五两。再以左行牛负五为法复遍乘右行羊正五，得羊正二十五。同名加左羊正十二，共得三十七。猪负十三得猪负六十五。异减左行猪正十六，馀得猪负四十九。价正五两得正二十五两。异减左行负六两，馀得负一十九两。再以中行羊负十一为法遍乘左行羊正三十七，得羊正四百零七。猪负四十九得猪负五百三十九。价负一十九两得价负二十两零九钱。却以左行羊正三十七为法复遍乘中行羊负十一，得羊负四百零七。与左行羊正四百零七异名对减尽。猪正十五得猪正五百五十五。异减左行猪负五百三十九，馀得猪正一十六为法。价正五两得正一十八两五钱。异减左行价二十两零九钱，馀得正二两四钱为实。以法除之得猪价一两五钱。中行猪正十五。以价一两五钱乘得二十二两五钱。加正五两共二十七两五钱。以羊十一除之，得羊价二两五钱。右行猪负十三。以价一两五钱乘，得一十九两五钱。加入正五两，共得二十四两五钱。减五羊价共一十二两五钱，馀得一十二两。以牛二除之得牛价六两。合问。
四色方程歌〈附五六色仿数〉

四色方程法可誇，须存末位作根芽。诸行乘减同前例，偶与奇行认莫差。若遇奇行须减价，偶行之价要相加。加减作实须加法，减法亦须减法佳。随问几多繁杂色，凭斯推广更无他。
今有瓜二个，梨四个，共价四分。梨二个，桃七个，共价四分。桃四个，榴七个，共价三分。瓜一个，榴八个，共价二分四釐。问：各该价若干。
答曰：瓜八釐，梨六釐，桃四釐，榴二釐。
法曰：列所问数。以一行、三行为奇，二行、四行为偶。　瓜〈二〉　梨〈四〉　空　空　价四分　空　梨〈二〉　〈七〉　空　价四分　空　空　〈四〉　榴〈七〉　价三分　瓜〈一〉　空〈负四〉　空　榴〈八〉得〈一十六〉　价二分四釐　得四分八釐先以一行瓜二为法，遍乘四行梨空。负四桃，空榴八得一十六。价二分四釐，得四分八釐。却以四行瓜一遍乘一行梨四，得四。第四行梨空无，减桃空。价四分得四分。与四行四分八釐对减，馀八釐。次以二行梨二遍乘四行梨负四，得八桃。空榴十六得三十二。价八釐得一分六釐。却以四行梨负四遍乘二行梨二得八。与二行梨八对减尽桃七，得二十八榴空。价四分得一钱六分。加四行一分六釐共一钱七分六釐。又以三行桃四遍乘四行桃负二十八，得一百一十二。榴三十二得一百二十八。价一钱七分六釐得七钱零四釐。却以四行桃负二十八遍乘三行桃四，得一百一十二。与四行桃减尽榴七，得一百九十六。减四行榴一百二十八，馀六十八为法。价三分得八钱四分。减四行价七钱零四釐，馀一钱三分六釐为实。以法除之得二釐为榴价。于三行价三分内减榴七共价一分四釐，馀一分六釐。以桃四除之得四釐为桃价。于二行价四分内减七桃价，共二分八釐，馀一分二釐。以二梨除之得六釐为梨价。于一行价四分内减四梨，共价二分四釐，馀一分六釐。以二瓜除之，得八釐为瓜价。合问。
今有绢三疋，添价六钱，买布十疋。又布五疋，添价一钱，买绢二疋。问：绢布价各若干。
答曰：绢疋价八钱，布疋价三钱。
法曰：如前正负术之法。〈此问可作盈不足算〉
　绢三〈正〉为法　布十疋〈负〉　价六钱〈正〉　绢二〈负〉　布五疋〈得正十五〉　价一钱〈正〉得三钱先以右行绢正三为法，遍乘左行布正五，得正一十五。价正一钱得正三钱。却以左行绢负二为法，遍乘右行布。负十疋得正二十疋。减左行布正十五，馀五为法。价正六钱得一两二钱。加左行三钱共一两五钱为实。以法除实得三钱为布疋价。却以左行布五疋，以每疋三钱乘之，得一两五钱。加添价一钱共一两六钱，以绢二疋除之，得绢疋价八钱。合问。

句股章第九

横阔谓之句，直长谓之股，两隅斜去谓之弦。此章以句股求弦之斜；句弦求股之长；以股弦求句之阔；求
句股形图

句股中容方、容圆；求山之高、水之深、城之广、路之远，皆可知也。
句股之形，即今木匠曲尺之
形也。句是尺，股是尺稍，自尺头至稍尾斜去，是弦也。
设如句三尺，股四尺，弦即五尺也。句股名义〈生变有一十三〉

句〈横曰句〉　　　　　　句股较〈句股相减〉
句弦较〈句弦相减〉　　　句股和〈句与股并〉
句弦和〈句与弦并〉
股〈直曰股〉　　　　　　股弦较〈股弦相减〉
股弦和〈股与弦并〉
弦〈斜曰弦〉　　　　　　弦较和〈弦与句股较并〉弦和和〈弦与句股和并〉　弦和较〈弦与句股和相减〉弦较较〈弦与句股较相减〉
句股论说释义

假如句二十七步，股三十六步，弦四十五步。
其求句，求股，求弦。容方、容圆另具图于后。
句股之法：横曰句，直曰股，斜之为弦。句二
十七、股三十六相减，其差九曰较。句股相并得六十三曰和。股三十六减弦四十五之差九曰股弦较。句二十七弦四十五之差十八曰句弦较。并句股共六十三，减弦四十五之差十八则曰弦和较。
弦四十五减句股之差九，其差三十六曰弦较较。股弦相并得八十一，则曰股弦和。句弦相并得

七十二，曰句弦和。句股之差九并弦共五十四，则曰弦较和。句股弦并得一百零八，曰弦和和。倍弦实〈即弦自乘倍之〉得四千零五十，减句股和，自乘得三千九百六十九，馀八十一为实，平方开之，得九为句股较。前倍弦实减句股较九，自乘得八十一，馀三千九百六十九，平方开之，得六十三为句股和。并句弦共七十二，除股自乘得一千二百九十六，得十八为句股较。即句弦之差十八，除股自乘得一千二百九十六，得七十二为句弦，和并得股弦共八十一，以除句自乘得七百二十九得九为股弦较。即股弦之差九，除句自乘得七百二十九得八十一为股弦和。句股和六十三自乘得三千九百六十九，减弦自乘得二千零二十五，馀一千九百四十四为实，以弦较较三十六除之，得五十四为弦较和。弦较和除前实，得弦较较。句股之差九自乘得八十一，以减弦自乘得二千零二十五，馀一千九百四十四为实，以弦和和一百零八除之，得十八为弦和较。弦和较除前实得弦和和。句二十七加股弦较九，共三十六即弦较较。句二十七减股弦较九，馀十八即弦和较。句加弦较和五十四共八十一即股弦和。股三十六加句弦较十八共五十四即弦较和。股三十六减句弦较十八馀十八即弦和较。股加弦较较三十六共七十二即句弦和。句股较九加股弦较九共十八即句弦较。句股较九减股弦和八十一馀七十二即句弦和。句股和六十三加股弦较九共七十二为句弦和。股弦和八十一减句股和六十三馀十八即句弦较。句股较九加句股和六十三共七十二半之为股。句股和六十三减句股较九馀五十四折半为句。股弦较九加股弦和八十一共九十，半之为弦。股弦和八十一减股弦较九馀七十二，半之为股。句弦较十八加句弦和七十二共九十，半之为弦。句弦和七十二减句弦较十八馀五十四，半之为句。弦和较十八加弦和和一百零八共一百二十六，半之为和。弦和和一百零八减弦和较十八馀九十，半之为弦。弦较较三十六加弦较和五十四共九十，半之为弦。
弦较和五十四减弦较较三十六馀十八，半之为

较。变而通之，神而明之，存乎其人焉。
句股求弦句弦求股股弦求句共歌

句股求弦各自乘，乘来相并要分明。开方便见弦之数，法术从来有见成。句弦求股要推详，各自乘来各一张。以少减多馀作实，实求股数要开方。弦股求句皆一例，算师熟记莫相忘。
句股求弦法，曰：置句自乘，股自乘，并二数以开平方法除之，得弦数。
其句自乘，股自乘，二数并之。合弦自乘。数故用开平方法除之，即得弦斜数也。

句弦求股法，曰：置弦自乘内减句，自乘，馀以开平方除之，得股长数。
其弦自乘数内有一句，自乘一股。自乘数今减去句，自乘数馀是股自乘数。故用开平方除之，得股长数。

股弦求句法，曰：置弦自乘内减股自乘，馀以开平方除之，得句阔数。
其弦自乘有一句、一股。自乘数今减去股，自乘数馀是句。自乘数故用开平方除之，得句阔数。

今有句二十七尺、股三十六尺。问：弦斜若干。
答曰：弦斜四十五尺。
法曰：置句二十七尺自乘，得七百二十九尺。另以股三十六尺自乘，得一千二百九十六尺。二数并之得二千零二十五尺为实，乃合弦。自乘数以开平方法除之，初商四十于左，亦置四十于右。为方法左四对右四呼四，四除实一千六百尺，馀实四百二十五尺。却以下位初商方法四十，倍作八十。为廉法次商五尺于左位，初商四十之次，亦置五于右位。廉法八十之次。为隅法左五对右八呼五，八除实四百。又左五对右五呼五，五除实二十五尺恰尽，得弦斜四十五尺。
今有句二十七尺、弦四十五尺。问：股长若干。
答曰：股长三十六尺。
法曰：置弦四十五尺自乘，得二千零二十五尺。内有一句、一股。自乘之数另以句自乘，得七百二十九尺。二数相减，馀一千二百九十六尺为实。是股自乘数以开平方法除之。初商三十于左位，亦置三十于右位。为方法左三对右三呼三，三除实九百馀实三百九十六尺。另以下位初商三十倍作六十。为廉法次商六尺于左三十之次。亦置六于右，廉法六十之次。为隅法左六对右六呼六，六除实三百六十。又左六对右六呼六，六除实三十六尺恰尽。得股长三十六尺。合问。
今有股三十六尺、弦四十五尺。问：句阔若干。
答曰：句阔二十七尺。
法曰：置弦四十五尺自乘，得二千零二十五尺。内有一句、一股。自乘之数另以股自乘，得一千二百九十六尺。二数相减，馀七百二十九尺为实。〈是句自乘数〉以开平方法除之，初商二十于左。亦置二十于右。为方法左二对右二呼二，二除实四百，馀实三百二十九尺。却以下位初商二十倍作四十。为廉法次商七尺于左，初商二十之次亦置七尺于右廉法四十之次。为隅法左七对右四呼四，七除实二百八十。又左七对右七呼七，七除实四十九恰尽。得句阔二十七尺。合问。
句股容方容圆共歌

句股容方法最良，以句乘股实相当。并之句股数为法，以法除实便知方。句股容圆法可知，句弦股数并为奇。三数并来为法则，句股相乘倍实宜。法除倍实为圆数，算者详之不用疑。
今有句股内容方，句二十七尺、股三十六尺。问：中容方面径若干。
勾股容方图

答曰：中容方面一十五尺有畸。法曰：置句二十七尺乘股三十六尺，得九百七十二尺为实。以句股并得六十三尺。为法除之

得中容方面径一十五尺有畸。
今有句股容圆，句二十七尺、股三十六尺、弦四十五尺。问：中容圆径若干。
句股容圆图缺答曰：中容圆径一十八尺。法曰：置句二十七尺、股三十六尺相乘，得九百七十二尺。倍之得一千九百四十四尺为实。并

句、股、弦三数共一百零八。为法除实得容圆径一十八尺。合问。
今有句股玉一块。长一尺二寸、阔六寸。今欲截角为方取印一颗。问：方面若干。
答曰：方面四寸。
勾股容方图缺法曰：置句股相乘得七十二寸为实。以句股相并得十八，为法除之即得。
若以圆径十八尺，用一尺二寸归除，得方径十五尺。若
以方径十五尺，用一尺二寸乘之，得圆径十八尺。
较求句股弦共歌〈较差也是股弦相差及句弦相差也〉

股较求股句自乘，股较自乘减句盈。减除句馀为实数，股较倍之为法行。法实相除为股数，句较求句一样成。弦较求弦句自乘，弦较除之为实情。仍加弦较须折半，就得弦长数即成。
今有句阔二十七步，只云弦多股九步。问：股弦各若干。
答曰：股三十六步，弦四十五步。
法曰：置句二十七步自乘得七百二十九步。另以弦多股九步为股较，即以此自乘得八十一步。二位相减，馀六百四十八步为实。倍较九步得一十八步。为法除之，得股长三十六步。加较九步，得弦长四十五步。合问。
此是股较求股即股弦相差也。

一法名弦较求弦。置句自乘得七百二十九步为实。以弦较九步为法除之，得股弦和八十一步。仍加弦较九步得九十步。折半是弦长四十五步。内减较九步是股长三十六步。亦可得也。
今有葭二茎生池中。并根杪齐出水三尺，即葭一茎斜去至岸九尺，与水适平。问：水深若干。
答曰：水深一丈二尺。
股较求股图

法曰：置去岸九尺为句，自乘得八十一尺。以出水三尺为股较，自乘得九尺。以减八十一尺，馀七十二尺为实。以较三尺倍作六尺。

为法除之，得水深一丈二尺。合问。〈水深如股葭至岸如弦〉今有句九尺，却将弦比股有馀三尺。问：弦股各若干。答曰：弦一十五尺，股一十二尺。
法曰：以句九尺自乘，得八十一尺为实。以多三尺为法除之，得二十七尺。减去多三尺馀得二十四尺，折半得股长一十二尺。加入弦多三尺，得弦一十五尺。合问。
今有立木不知其高，索不知其长。垂索委地二尺，引
股较求股弦

索去木八尺，其索斜柱地适尽。问：木高、索长各若干。答曰：木高一丈五尺，索长一丈七尺。
法曰：置去木八尺为句，自

乘得六十四尺。以委地二尺为股较，自乘得四尺。以减六十四尺馀六十尺为实。以较二尺倍作四尺。为法除之，得木高一丈五尺。如股加较二尺，得索长一丈七尺，如弦。合问。若以弦较求弦法。置去木八尺为句，自乘得六十四尺为实。以委地二尺如弦较，为法除之得三十二尺。加弦较二尺共得三十四尺，折半，得索长一丈七尺。将弦内减去较二尺，得木高一丈五尺，即股。
今有厅门外悬帘下垂，离地五寸，引帘离阈六尺，离
弦较求弦图

地二尺五寸。问：帘高若干。答曰：帘高一丈。
法曰：置去阈六尺为句，自乘得三十六尺。以离地二尺五寸减去原离地五寸，馀二尺为弦较。

除之得一十八尺。加弦较二尺共得二十尺，折半得帘高一丈。合问。
今有开门，去阈一尺，不合二寸。问：门广若干。
答曰：门二扇广九尺九寸。
股较求股图

法曰：置去阈十寸为句，自乘得一百寸。以不合二寸折半，得一寸为股较，自乘得一寸。以减一百寸馀九十九寸为实。以较一

寸倍作二寸，为法除之得一扇门广四尺九寸五分。如股倍之得二扇门广九尺九寸。合问。
今有墙高一丈，斜倚二木于上。木杪与墙头齐，其木根抵地。却将木一根平卧于地，其木杪抵墙脚，此木根则过斜木根一尺。问：木长并去墙若干。
弦较求弦股图

答曰：木长五丈零五寸，去墙四丈九尺五寸。
法曰：依弦较求弦。以墙高十尺为句，自乘得一百尺。以过斜木根一尺为弦较，除之如故。一百尺加较一尺，共得一百零一尺，折半，得木长五丈零五寸。如弦减过斜木一尺，馀如股至墙四丈九尺五寸。合问。

今有圆木泥在壁中，不知径。以锯锯之，深一寸，锯道
弦较求弦图

长一尺。问：木径若干。答曰：木径一尺六寸。法曰：置锯道一尺折半，得五寸为句。自乘得二尺五寸为实。以深一寸为股较，除之如故，得二尺五寸为

股。加深一寸，共得木径二尺六寸。合问。此如圆田中截去一张矢田问原径，同法。置锯道一尺如弧矢之弦，折半得五寸。自乘得二尺五寸为实。以深一寸如矢，为法除之得二尺五寸。并入矢深一寸，共二尺六寸为圆木原径，亦得。
今有圆木径二尺六寸，锯深入木八寸。问：锯道长若干。
答曰：锯道长二尺四寸。
此问与右图式相同，今以数并注于图内径左，以便共览。

法曰：以径二尺六寸减深八寸，馀一十八寸。复以锯深八寸乘之，得一百四十四寸为实。以开平方法除之，得一十二寸。倍之得二尺四寸。合问。
今有股长三十六步，只云弦多句十八步。问：句弦各若干。
答曰：句二十七步，弦四十五步。
法曰：置股三十六步自乘，得一千二百九十六步。另以弦多句一十八步为句较，自乘得三百二十四步。二位相减馀九百七十二步为实。倍较十八得三十六步，为法除之得句一十七步。加较一十八步得弦长四十五步。合问。〈此即句弦相差〉一法名弦较求弦。置股自乘得一千二百九十六步为实。以弦较十八步为法除之，得句弦和七十二步。仍加较一十八步，共九十步，折半得弦四十五步。内减较一十八步，馀二十七步即句之数也。
今有弦长四十五步，只云股多句九步。问：句股各若干。
答曰：句二十七步，股三十六步。
法曰：置弦四十五步自乘，得二千零二十五步。另以股多句九步为句股，较自乘得八十一步。二位相减馀一千九百四十四步。加入弦自乘得二千零二十五步。共三千九百六十九步为实，以开平方法除之，得句股相和六十三步。加入差九步，共得七十二步，折半得股三十六步。内减差九步，馀得句二十七步。合问。
今有户高多广六尺八寸，两隅斜去十尺。问：高广各若干。
答曰：高九尺六寸，广二尺八寸。
法曰：置两隅斜十尺如弦自乘，得一百尺。另以高多广六尺八寸为句股较，自乘得四十六尺二寸四分。二位相减，馀五十三尺七寸六分。加入斜自乘得一百尺共一百五十三尺七寸六分为实。以开平方法除之，得句股相和一丈二尺四寸。加入差六尺八寸，共得一丈九尺二寸，折半得高九尺六寸。内减差六尺八寸，馀得广二尺八寸。合问。〈此二条即句股相差〉
股别句弦歌〈附句别股弦即句弦和亦即股弦和〉

股别句弦股自乘，句弦自乘减股零。折半留为句实积，句弦为法最公平。法除句积为句数，句别股弦依此行。
今有竹高一丈，为风所折仆地。稍尖去根三尺。问：折
股别勾弦图

处高若干。
答曰：高四尺五寸五分。法曰：置去根三尺如句，自乘得九尺。是以竹高一丈如股弦和，为法除之得九

寸。以减股弦和一丈，馀九尺一寸。折半，得四尺五寸五分即是折处高股也。
今有股长三十六步，只云句弦相和七十二步。问：句弦各若干。
答曰：句二十七步，弦四十五步。
法曰：置股三十六步自乘得一千二百九十六步。另以句弦和七十二步自乘得五千一百八十四步。二位相减，馀三千八百八十八步，折半得一千九百四十四步为实。以句弦七十二步为法除之，得句二十七步。以减句弦和，馀得弦四十五步。合问。
一法以股自乘得一千二百九十六步为实。以句弦和七十二步为法除之，得句弦相差一十八步。仍加和七十二步共九十步，折半，得弦四十五步。内减差一十八步，馀二十七步是句。亦得。〈此乃句弦和〉今有句阔二十七步，只云股弦相和八十一步。问：股弦各若干。
答曰：股三十六步，弦四十五步。
法曰：置句二十七步自乘得七百二十九步。另以股弦和八十一步自乘得六千五百六十一步。二位相减，馀五千八百三十二步，折半，得二千九百一十六步为实。以股弦和八十一步为法除之得三十六步为股长。以减股弦和八十一步，馀四十五步为弦。合问。
今有弦长四十五步，只云句股相和六十三步。问：句股各若干。
答曰：句二十七步，股三十六步。
法曰：置弦四十五步自乘得二千零二十五步。另以句股和六十三步自乘得三千九百六十九步。二位相减，馀一千九百四十四步。再减弦自乘得二千零二十五步，馀八十一步。以开平方法除之，得句股相差九步，加入相和六十三步，共七十二步，折半，得股三十六步。内减去差九步，馀得句二十七步。合问。〈此是句股相和〉
句弦较股弦较歌〈此是句弦差又股弦差〉

句弦股较法尤精，句乘股较二来因。平方开见弦和数，和加句较股分明。股较加和句可见，算师熟记看灵扃。
今将弦比句馀四尺，复将弦比股馀二尺。问：句弦股
勾弦股较图

各若干。
答曰：句六尺，股八尺，弦一丈。
法曰：以句较四尺乘股较二尺，

得八尺。倍之得一十六尺为实。以开平方法除之，得四尺。加入股较二尺，得六尺为句。另以四尺加入句较四尺，得八尺为股。又加入股较二尺，得一丈为弦。合问。
今有直田不知长阔，只云隅斜比长多二步，又云斜比阔多九步。问：长阔及斜各若干。
答曰：长一十五步，阔八步，斜一十七步。
法曰：置句弦较九步，以股弦较二步乘之，得一十八步。以二因之，得三十六步为实。以开平方法除之，得弦和六步。加句较九步，得股长一十五步。另以弦和六步加股较二步，得阔八步。再加句较九步，得斜弦一十七步。合问。
今有句弦和七十二步，股弦和八十一步。问：句股弦各若干。
答曰：句二十七步，股三十六步，弦四十五步。
法曰：置句弦和七十二步，以股弦和八十一步相乘，得五千八百三十二步。倍之得一万一千六百六十四步为实。以开平方法除之，得句股弦和一百零八步。以减股弦和八十一步，馀得句二十七步。又置一百零八步内减句弦和七十二步，馀得股三十六步。又置一百零八步以减句二十七步，减股三十六步，馀得弦四十五步。〈此是句弦和又股弦和〉
今有直田积一百二十步，广不及纵七步。问：广若干。答曰：广八步。
法曰：置田积一百二十步，以四因之得四百八十。以较七步自乘，得四十九步。相并得五百二十九步。以开平方法除之，得句股和二十三步。加较七步，共得三十步，折半，得股长一十五步。内减较七步，馀广八步。
今有井不知其深。井径五尺，直立木五尺于井上，从木末望井底，人目入径四寸。问：井深若干。
答曰：井深五丈七尺五寸。
法曰：以井径五尺除目入四寸，馀四十六寸。与木高五十寸相乘，得二千三百寸为容方积。以馀句四寸为法除之。
今有邑不知大小，四面居中开门。西门外三十步有
馀勾馀股求容方

木一根，出南门外七百五十步，见木。问：邑方若干。答曰：邑方三百步。
法曰：出西门三十步为馀句，出南门为馀股。相乘得

二万二千五百步。以平方开之，得一百五十步，为半邑之方。倍之，为全邑方也。〈即句股容方〉
今有邑方二百步，四面居中开门。东门外一十五步
容方馀勾求馀股

有木一根。问：出南门若干。答曰：六百六十六步六分步之一。
法曰：半邑方为容方一百步，自乘得一万步为实。以

东门外十五步为馀句，为法除之。合问。〈此是容方与馀句求馀股〉
求高求远法
海岛题解

魏刘徽注九章，重立差著于句股之下，以阐世术。夫度高测深，非句股之法，则无可知矣。故以重表累矩，旁求审察。其窥望海岛、隔水望木，是重表也。其岸望谷深，山望津广，是累矩也。以海岛去表为之篇首。因以名之实九章之遗法也。后至唐李淳风，而续算草。宋杨辉释名图解，以伸前贤之美。本经题目广远，难于引證学者。今将孙子度影量竿，题问于前，引用详解以验海岛之法，亦循循诱入之意。姑以一问，其馀好学者，自能触类而考知矣。
假有立木不知高，日影在地长五丈。随立一竿长一丈，在边影长一丈二尺五寸。问：立木高若干。
答曰：木高四丈。
法曰：置立木影长五丈为实。以竿影长一丈二尺五寸为法除之。合问。
今有立木不知高，日影在地长四丈。随立一竿长一丈，在边影长八尺。问：木高若干。
答曰：木高五丈。
法曰：置木影长四丈为实，以竿影八尺为法除之。合问。
右二问，乃孙子度影量竿之法。
遥望木竿歌

望木须知立表竿，表离木处几多宽。退行表后参眸望，望表斜平末与竿。表数减除人目数，馀表乘远实相看。退行之数为法则，法实相除加一竿。
假有木不知高，从木脚量远二十五尺立一丈表竿。表后退行五尺，用窥穴望表与木，斜平。其人窥穴高四尺。问：木高若干。
答曰：木高四丈。
法曰：以表高十足减去人目穴四尺，馀六尺。以乘表竿去木远二十五尺，得一百五十尺为实。以退行五尺为法除之，得三十尺。加表高十尺，得木高四十尺。合问。
解曰：木高如股，〈是上节三十尺表高十尺　减人目四尺馀六尺是馀股〉末如句二十五尺，表后退行五尺是馀句，木顶斜至
股较求高之图

表末如弦，表末斜至人目是馀弦。弦之内外分二段句股，其句中容横股，中容直二积皆同，各一百五十尺。以馀句五尺除横积一百五十尺，得积外之股，即木上三十尺。加表高十尺即木高四十尺，以馀股六尺。除直积一百五十尺，得

积外之句，即木至表二十五尺。〈古人以题易名若非释名则无以知其源〉今较还原法曰：置弦内外二句股，木高四丈内除人目四尺，馀股各三丈六尺为长。以远二十五尺加退后五尺，共三十尺为阔相乘得方积一千零八十尺。今复将弦内外二股各长三十尺，二句各阔二十五尺相乘，得方积七百五十尺。另以下句直长二十五尺、阔六尺乘之，得直积一百五十。又以右边股直三十尺，以阔五尺乘之，得直积亦一百五十。再以馀句五尺乘馀股六尺，得积三十尺。四共亦得一千零八十尺，较之以合前数而不差也。
已上遥望木竿是一表望木也。

今立表三尺六寸，退行二尺又立表三尺。人目望其高处，二表俱与参合，自前表相去二丈五尺。问：高若干。
答曰：高一丈一尺一寸。
法曰：置远二十五尺，加入退行二尺，共二十七尺。以二表相减馀六寸。乘之得一十六尺二寸为实。却以退行二尺为法除之，得八尺一寸。加入后表三尺，得高一丈一尺一寸。合问。
若依前法置前表三尺六寸，减去后表三尺，即是人目数，馀六寸以。乘远去二丈五尺，得一丈五尺为实。以退行二尺为法除之，得七尺五寸。加入前表三尺六寸，共高一丈一尺一寸。
今立表三尺，退行一尺八寸。又立表三尺六寸，人目望其二表俱对远处参合。问：远若干。
答曰：十尺零八寸。
法曰：置后表三尺六寸，以退行一尺八寸乘之，得六
句较求远之图

十四寸八分为实。却以二表相减，馀六寸。为法除之，得一十尺零八寸，为后表相去之远。若以前表三尺，以退行一尺八寸乘之，得五尺四寸为实。却以二表相减，馀六寸。为法除之，得九尺为前表相去之远也。
窥望海岛歌

望岛知高法术奇，立来二表并高低。表间尺数乘高数，以作实情更不疑。二表退行相减较，减馀为法以除之。更将一表相加并，海岛巅高尽可知。另置表间之尺数，以乘前表退行宜。前法除之知隔水，水程远近不差池。
假如隔水望木有竿，不知其高。立二表各长一丈，前后参直相去一十五尺。从前表退行五尺，人目四尺窥望，表与竿齐平。复从从表退行八尺窥望，亦与竿齐平。问：竿高隔水各若干。
答曰：竿高四丈，隔水广二丈五尺。
法曰：置表高十尺减人目四尺，馀六尺。以相去一十五尺乘之，得九十为实。另以前表退行五尺减去后表退行八尺，馀三尺。为法除实得三十尺。加表高十尺，得竿高四十尺。另置相去一十五尺，以前表退行五尺乘之，得七十五尺。仍以前法三尺除之，得隔水广二十五尺。合问。
解曰：前表是第一图，以表望木后表是第二图。以表望木，盖总设人不知所以分作两图。其以隔水望木为问，设窥望海岛为题，以重差为术。好事者引而伸
股较隔水望木之图

〈此乃二表〉
较数，辨理
凑方式以
合，总而不
差故也。


之，以发其馀也。其前表去木远乃小，股中容积一段。后表去木远乃大，股中容积一段。以小容积减大容积，其馀不尽者，乃前后表两界之中各表间积。所以古人以表高减人目四尺，馀六尺，乘为实。以前图小馀股五尺减后图大馀股八尺，馀三尺，为法除实得弦外之高，即木上节三十尺。加表高十尺，得木高四十尺。本是大小容积相减馀为实。以大小馀股相减，馀为法除实得弦外之高。加表高十尺为木高也。今有海岛不知其高，远立表竿三丈，退行六十丈。又
窥望海岛之图窥望海岛之图

立短表三尺。人目望其二表，俱与岛峰参合。复却退行五百丈，又立表三丈。退行六十二丈，又立表三尺。人目望其二表，俱与岛峰参合。问：海岛高远各该若干。
答曰：岛高三里一百三十八丈，岛远八十三里六丈。
法曰：置表高三丈减去短表三尺，即是人目数也。馀二丈七尺，以表间相去五百丈乘之，得一千三百五十丈为实。另置后表退行六十二丈减去前表退行六十丈，馀二丈。为法除之，得六百七十五丈。加入表高三丈，共六百七十八丈。以里法一百八十丈为法除之，得岛高三里一百三十八丈。又置表间相去五百丈，以前表退行六十丈乘之，得三万丈为实。亦以所馀二丈为法除之，得一万五千丈。以里法一百八十丈为法除之，得岛远八十三里六丈。合问。