钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第一百十九卷

算法部汇考十一

《算法统宗七》少广章第四中立圆法歌

立圆问径法何如，十六乘积九归除。除此数常为实积，立方开见更何如。立圆若问周围数，四十八乘积数躯，乘为实积用开立，即见周围数不虚。
法曰：外周者，置积若干，以四十八乘之得若干为实。以开立方法除之，得周若要还原，以周自乘再乘以四十八除之见积。问径置积若干以十六乘之，得若干又用九归之，得若干为实。以开立方法除之得径。若要还原以径自乘再乘以九因十六除之见积。周径下原有不尽者，或周径自乘再乘并入不尽数，周以四十八除之见积径，以九因十六除之见积。若问周问径，遇有馀积不尽者。依开立方下命法命之。
今有积六万二千二百零八尺，欲为立圆。问：径若干。答曰：径四十八尺。
法曰：置积尺数以十六乘之，又用九归之得一十一万零五百九十二尺为实，以开立方法除之，初商四十自乘得一千六百，再乘得六万四千，除实馀实四万六千五百九十二尺，另将初商四十以三因得一百二十为方法，列位次商八尺于初商之次，得四十八尺。就以八乘之得三百八十四尺为廉法，以方乘廉得四万六千零八十尺，除实馀实五百一十二。另以次商八尺自乘再乘得五百六十二尺为隅法，除实恰尽得立圆径。合问。
此问周径如圆毬

今有积六万二千二百零八尺，欲为立圆。问：周若干。答曰：周一百四十四尺。
法曰：置积尺以四十八乘之，得二百九十八万五千九百八十四尺为实，以开立方法除之，初商一百尺自乘得一万，再乘得一百万，除实馀实一百九十八万五千九百八十四尺，另以初商一百以三因得三百为方法，次商四十于初商之下，共一百四十。就以四十乘之得五千六百为廉法，以方乘廉得一百六十八万，除实馀实三十万零五千九百八十四，另以次商四十自乘再乘得六万四千为隅法，除实馀实二十四万一千九百八十四。再以初次商一百四十以三因得四百二十为方法，再商四尺于初次商之下共得一百四十四尺，就以四尺因之，得五百七十六为廉法。以方乘廉得二十四万一千九百二十。除实馀实六十四，又以再商四尺自乘再乘得六十四。除实讫。合问。
凡立圆问周径，遇数单者则有不尽。

今有立方积一万五千六百二十五步。问：立方一面若干。
答曰：二十五步。
归除开立方法曰：置积一万五千六百二十五尺为实，以万积商二十置于积前，就置二十于右下自乘得四百步与上商二十相呼，二四除实八千馀实七千六百二十五步，却以右下四百步以三十乘之得一千二百，为法。归除之，呼逢五进五又呼二五除一千，另置初商二十步以次商五步乘之得一百步。以三因之得三百步，以加入自乘次商五步得二十五步，共三百二十五步于右。与次商五步相呼除之，呼三五除一千五百步，又二五除一百步，又五五除二十五步，积尽以左上二十五步为立方一面之数。合问。
今有立方积一亿零二百五十万零三千二百三十二尺。问：立方一面若干。
答曰：四百六十八尺。
归除开立方法曰：置积为实以七千万，该商四百尺。于左上又置四百尺于右下，自乘得一十六万相呼一四除四千万尺又四六除二千四百万，馀实三千八百五十万零三千二百三十二尺。却以右下一十六万尺以三乘之得四十八万为法，归除之，呼四三七十二少除〈因下位数不足除〉，呼四归起一下还四呼六八除四十八。另置初商四百尺以次商六十尺乘之，得二万四千尺以三因之，得七万二千尺为廉法，加入次商六十尺。自乘得三千六百尺，共七万五千六百尺。却以次商六十尺相呼除之，六七除四十二，又五六除三十。又六六除三十六。馀实五百一十六万七千二百三十二尺，以方法四十八万并入两个廉法七万二千。再并入隅法三个，三千六百尺共得方法六十三万四千八百尺为法，归除之。呼六五八十二。呼三八除二十四，又呼四八除三十二，又八八除六十四。右下之法不用再置。所商共四百六十尺，以次商八尺乘之，得三千六百八十尺。以三因之得一万一千零四十尺并入，再商八尺自乘得六十四尺共一万一千一百零四尺。又以次商八尺相呼除之，一八除八万，又一八除八千，又一八除八百，又四八除三十二尺。除实恰尽。以左上所商四百六十八尺，为立方一面之数。合问。
开立方带纵法

今有方仓贮米五百一十八石四斗，方比高多三尺。问：方高各若干。
答曰：方一丈二尺。高九尺。
法曰：置米五百一十八石四斗，以斛法二尺五寸乘之得积一千二百九十六尺为实，以开立方带纵除之，以方多三尺自乘得九尺为纵方，再置三尺倍之得六尺为纵廉，约积一千，商十尺。今有纵方只商九尺置于实前，另以九尺自乘得八十一尺，加入纵方九尺共九十尺为方法。另以纵廉六尺，以九尺乘之得五十四尺为廉法。二法并共一百四十四尺，于右下，以所商九尺相呼。一九除九，又呼四九除三十六。又四九除三十六。除实恰尽。以商九尺为高，加入方多三尺得方仓一十二尺。合问。
今有立方一所积一千七百八十七万五千尺，只云高阔相等，长多阔三十六尺。问：立方高阔及长若干。答曰：长二百八十六尺，阔二百五十尺，高二百五十尺。
法曰：置积一千七百八十七万五千尺为实，以开立方带纵法除之，初商约得二百尺，自乘得四万尺再乘得八百万尺，又约二百五十尺自乘得六万二千五百尺，再以二百五十尺乘之，得一千五百六十二万五千尺减去积馀积二百二十五万尺为实，另置长多三十六尺，以所商二百五十尺乘之，得九十尺。再以二百五十尺乘之得二百二十五万尺，除实恰尽。得阔二百五十尺，加入长多三十六尺共二百八十六尺，为长数。合问。
今有立方积二万九千八百零八尺，高比方不及一丈三尺。问：高方各若干。
答曰：高二丈三尺。方仓三丈六尺。
法曰：置积二万九千八百零八尺为实，以开立方带纵法除之，约实二万商三十尺，自乘得九百尺再以三十尺乘之，得二万七千尺，又约商三十六尺自乘得一千二百九十六尺，另置三十六尺减不及一十三尺，馀二十三尺，乘之得二万九千八百零八尺。除实尽得方仓三十六尺，高二丈三尺。合问。
今有三乘方积二千零一十五万一千一百二十一尺。问：一面若干。
答曰：六十七尺。
法曰：置积为实，下法常超三位，初商六十于左下法。亦置六十自乘得三千六百，再乘得二十一万六千为隅法，与上商六十相呼。除实一千二百九十六万馀实七百一十九万一千一百二十一尺，乃以四乘隅法二十一万六千，得八十六万四千为方法。另置上商六十自乘，得三千六百。又以六因之，得二万一千六百尺为上廉。又置上商六十以四乘得二百四十尺为下廉。次商七尺于左六十之次下法。亦置七尺自乘，得四十九尺，再以七因，得三百四十三尺为隅法。又以次商七尺乘上廉二万一千六百得一十五万一千二百，又以下廉二百四十用两次七因，初次因得一千六百八十尺，二次因得一万一千七百六十尺，以方法八十六万四千，上廉一十五万一千二百，下廉一万一千七百六十。隅法三百四十三并四法共一百零二万七千三百零三尺，皆与次商七尺相呼，除实恰尽。得一面六十七尺。合问〈此三乘方捷径〉。一法用二次开平方法除之，亦得初一次置积数为实，以开平方法除之商得四千四百八十九尺。第二次就以此初商数为实，亦以开平方法除之，即得一面六十七尺，合问〈此又捷径〉。
若还原置一面六十七尺，自乘得四千四百八十九尺，再乘得三十万○○七百六十三尺，又乘之即见原积数也。
自乘再乘又乘故曰三乘。其四乘乃四次乘也。其五乘乃五次乘也。
今有田积三千三百七十五尺。问：立方面若干。答曰：面方一十五尺。
法曰：置积三千三百七十五尺为实，以开立方法除之。古法用三为廉率，约实定位，从实末位尺，十尺定尺百尺。千尺定十尺，初商一十于左下，法亦置初商一十自乘得一百，再乘得一千。除实讫馀实二千三百七十五尺，却以下法初商一十自乘得一百。用三因为方法，又以初商一十以三因，得三十为廉。次商五尺于左，初商之次下法亦置次商五尺。自乘得二十五尺为隅法，又以次商五尺乘廉三十得一百五十为廉法，并方法三百，廉法一百五十，隅法二十五共四百七十五尺。皆与次商五尺相呼，四五除二。五七除三十五，五五除二十五，得方面一十五尺。合问。
开立方开立方

大段解曰：立方积形如骰子，有上下左右，前后六面。方如一段大方，积是初商方高十尺自乘再乘得一千尺。三段平廉，每段方十尺高五尺即初商十尺，自乘又以次商五尺乘，积五百尺。用三因，即三段积一千五百尺，三段长廉每段长十尺阔五尺高五尺即初商十尺，以次商五尺乘，又以次商五尺乘得每段积二百五十尺，用三因即三段积七百五十尺。一段小方隅即次商五尺，自乘再乘积一百二十五尺也。
求米仓窖盛贮歌〈每石斛法二尺五寸〉

米求仓窖要知源，斛法先除米数全。若见圆仓乘十二，方窖三因米数然。三十六乘圆窖米，各为实积定无偏。却用立方开见约方，求长阔约为先圆数。求周为约数各将，约数自乘焉乘来。为法除实积，便见深高法更元。
今有米二千四百一十九石二斗，欲为方仓盛之。问：长阔高各若干。
答曰：长二十八尺，阔一十八尺，高一十二尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘之，得六千零四十八尺为实，以开立方法约之，得阔一十八尺，便约长二十八尺，却以长阔相乘得五百零四尺为法，除实得高。合问。
今有米七百零五石六斗，欲作圆仓盛之。问：周围及高各若干。
答曰：周四十二尺。高一十二尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘之，得一千七百六十四尺，再以圆法十二乘之，得二万一千一百六十八尺为实，以开立方法约之，得周四十二尺，自乘得一千七百六十四尺为法，除实得高一十二尺。合问。今有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之。问：上下方及深各若干。
答曰：上方九尺。下方一十二尺。深一十三尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘之，得一千四百四十三尺，又以三因之得四千三百二十九尺为实，以开立方法约之，得上方九尺，便约下方一十二尺。却以上方自乘得八十一尺，另以下方自乘得一百四十四尺，又以上方九尺乘下方一十二尺得一百零八尺。并三位共三百三十三尺为法。除实得深一十三尺。合问。
今有米七十七石二斗，欲作圆窖盛之。问：上下周及深各若干。
答曰：上周一十四尺。下周一十八尺。深九尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘之得一百九十三尺，再以圆率三十六乘之，得六千九百四十八尺为实。以开立方法约之，得上周一十四尺，便约下周一十八尺。另以上周一十四尺自乘得一百九十六尺。又以下周一十八尺自乘，得三百二十四尺，又以上周一十四乘下周一十八，得二百五十二尺，并三位共七百七十二尺为法，除实得深九尺。合问。
今有米二千四百一十九石二斗，欲造长仓盛之，只云阔一十八尺，高一十二尺。问：长若干。
答曰：长二十八尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘得六千零四十八尺为实，另以高乘阔得二百一十六尺为法，除实得长。合问。
或只云长二十八尺，高一十二尺。问：阔若干。
答曰：阔一十八尺。
法曰：仍以前实却以长高相乘，得三百三十六尺为法，除实得阔一十八尺。合问。
今有米七百零五石六斗，欲作圆仓盛之，只云高一十二尺。问：周若干。
答曰：周四十二尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘之，得一千七百六十四尺，又以圆率十二乘之，再以高一十二尺除之，如故为实以开平方法除之，得周四十二尺。合问。今有米五百七十七石二斗，欲作方窖盛之，只云上方九尺，深一十三尺。问：下方若干。
答曰：下方一十二尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘之，得一千四百四十三尺，以三因之，得四千三百二十九尺。以深一十三尺除之，得三百三十三尺。内减上方自乘得八十一尺，馀二百五十二尺为实，以上方九尺为纵方。开平方法除之，得下方一十二尺。合问。
或云下方一十二尺，深一十三尺。问：上方若干。答曰：上方九尺。
法曰：仍以前实四千三百二十九尺，以深除之，得三百三十三尺，内减下方自乘一百四十四尺，馀一百八十九尺为实，以下方一十二为纵方，以开平方法除之，得上方九尺。合问。
今有米七十七石二斗，欲造圆窖盛之，只云上周一十四尺，深九尺。问：下周若干。
答曰：下周一十八尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘之，得一百九十三尺，又以圆率三十六尺乘之，得六千九百四十八尺。以深九尺除之，得七百七十二尺，内减上周自乘一百九十六尺，馀五百七十六为实，以上周一十四为纵方，以开平方法除之，得下周一十八尺。合问。或云下周一十八尺，深九尺。问：上周若干。
答曰：上周一十四步。
法曰：仍以前实六千九百四十八尺，以深九尺除之。得七百七十二尺，内减下周自乘得三百二十四尺，馀四百四十八尺为实，以下周一十八尺为纵方，以开平方法除之，得上周一十四尺。合问。
今有米五百一十八石四斗，欲造方仓盛之。问：方高各若干。
答曰：方一十二尺，高九尺。
法曰：置米数以斛法二尺五寸乘之，得一千二百九十六尺为实，以开立方法约之，得方一十二尺，却以方一十二尺自乘得一百四十四尺为法，除实得高九尺。合问。
或云：高九尺。问：方若干。
答曰：方一十二尺。
法曰：仍以前实，以高九尺除之，得一百四十四尺，以开平方法除之，得方一十二尺。合问。
分田截积法上
直田截积歌

直田截积法尤奇，截长积步阔除之。截阔用长除且易，得其步数不须疑。
法曰：若依原长，截积则以原阔除之，若依原阔截积。则以原长除之。
直田截积，原载方田章因与圭梯等截积间隔不便观览，今移此以统于一。

今有直田长四十八步，阔四十步，今依原长截积七
直田截阔图

百二十步。问：截阔若干。
答曰：阔一十五步。
法曰：置截积七百二十步为实，以原长数为法，除之即得截阔数。合问。

今有直田长四十八步，阔四十步。今依原阔截积七百二十步。问：截长若干。
直田截长图

答曰：长一十八尺。
法曰：置截积七百二十步为实，以原阔四十步为法除之，得截长一十八步。合问。

今有方田一丘，要从东南角截一直形积三十二步，南边阔四步。问：截东边长若干。
答曰：截东长八步。
法曰：置截积三十二步为实，以南阔四步为法，除之
方田截直图

得截积东长八步。合问。若东长定数，问截南阔，就以长数为法，而除截积。

今有直田长一十五步六分阔一十二步，今从东边
直田截斜图

截积五十四步六分，北头要阔四步。问：截南头阔若干。
答曰：截南头阔三步。
法曰：置截积五十四步六分为实，以

原长一十五步六分为法，除之得截阔三步五分。此是二广均匀之数，加倍得七步，减去北广四步馀得截南广三步，是也。
又法倍截积得一百零九步二分为实，以原长一十五步六分为法除之，得共截阔七步，减北广四步，馀得截南广三步亦得。
今有直田长一十五步，阔一十二步。今从西北角截
直截句股图

句股形一段，积三十一步五分，原坐落西边股长九步。问：截北边句阔若干。
答曰：截北句阔七步。
法曰：置截积三十一步五分，倍之得六十三步，以西股长九步为法除之得截北句阔七步。合问。
今有直田积一千九百二十步，只云长六十步。问：阔若干。
答曰：阔三十二步。
法曰：置积一千九百二十步为实，以长六十步为法，除之得阔。若是只云阔三十二步，问长若干，就以阔为法，除之即得长。
今有圭田积二百二十五步，只云长三十步。问：阔若干。
答曰：阔一十五步。
法曰：置积倍之得四百五十步为实，以长为法除之，得阔。若云中长步数，倍积为实，以阔为法除之，即得。
以上二款名曰：忘长失短，与直田截积意同。

今有句股田长三十步，阔一十五步，今从尖截长一十二步。问：中广若干。
勾股截积图

答曰：截中广六步。
法曰：置截长一十二步，以句阔乘之得一百八十步为实，以股长为法，除之。

又法：置句为实，以股为法，除之。每股长一步，得阔五分，以乘截长亦得。
今有斜田南广四步，北广十二步，长三十二步，今从中截，腰广六步。问：截南长若干。
答曰：截南头长八步。
斜田截积图

法曰：置截中广六步，减上广四步馀二步，以乘长三十二步，得六十四步为实，却将南北二广相减馀八步为法除之，即得。若截下长，

置下广减中广，馀六步以乘，原长得一百九十二步为实，以上下二广相减，馀八步为法除之，得截下长二十四步。合问。
今以前图截下长二十四步。问：截中广若干。
答曰：六步。
法曰：将下广减去上广四步，馀八步为实，以原长三十二步为法除之，每长一步得阔差二分五釐，就以此为法，以乘下长二十四步。得阔差六步，以减下阔一十二步，馀六步即是中广。合问。
今有梯田积一千五百步，北广四十步，中长五十步。问：南广若干。
答曰：南广二十步。
法曰：置积一千五百步，倍之得三千步为实，以长五十步为法除之，得六十步于内，减北广四十步馀得南广二十步。合问。
原有斜田南广四步，北广十步，长一十二步。今欲增作句股样式。问：股长出若干。
斜增为勾股图

答曰：股长出八步。
法曰：以南广四步乘长一十二步，为实，另以二广相减馀六步为法，除之得尖出股长八步。合问。
圭求广纵歌〈除圭尖即是梯形〉

梯求上广出尖长，上阔乘纵法最良，却将上下广相减，馀法除之免思量。
今有上圭下梯田，上广一尺六寸，下广一十二尺八
圭求广纵图

寸，圭下正纵一十尺零五寸。问：圭尖长若干。
答曰：尖高长一尺五寸。
法曰：置正纵一十尺零五寸，以上

广一尺六寸乘之，得一十六尺八寸为实，另以下广一十二尺八寸减上广一尺六寸，馀一十一尺二寸为法，除之，得圭尖长一尺五寸。合问。
圭求下广歌

圭田若问梯下广，圭梯并长不必想。上广乘长为实则，尖长法除即下广。
法曰：置圭长并梯长共一十二尺，以上广一尺六寸乘之，得一十九尺二寸为实，以尖长一尺五寸为法，除之得下广一十二尺八寸。合问。
圭求外梯长歌

圭田欲问外梯长，下广减去上广良。除以圭长乘为实，上广法除是梯长。
法曰：以下广一十二尺八寸减去上广一尺六寸馀一十一尺二寸，以圭长一尺五寸乘之，得一十六尺八寸。为实以上广一尺六寸，除之得梯正纵长一十尺零五寸。合问。
圭求中广歌

圭求中广要思量，却用下广乘尖长。正纵加入尖长数，为法除之中广良。
法曰：置下广一十二尺八寸，以尖长一尺五寸乘之。得一十九尺二寸为实，另以正纵一十尺零五寸。加入尖长一尺五寸，共一十二尺为法，除之得中广一尺六寸。合问。
假如三角田一丘，三面各一十四步，今作三段，俱要四角。问：长阔各若干。
三角截四角圆

答曰：共积八十四步。三角各得二十八步。每角计长八步，阔七步。法曰：置每面一十四步，六因七归得中径一十二步，另以每面一十四步，与径一十二步，相乘得一百六十八

步，折半得积八十四步为实，以三段归之，各得二十八步，却以每面折半得阔七步，以归二十八步得四步，倍之得中长八步。合问。
今有直田长一十五步，阔一十二步，今依阔截圭积
直田截圭图

四十五步。问：截圭长若干。答曰：圭长七步五分。
法曰：置截积倍之，得九十步为实。以阔一十二步为法除之，即得。其馀

圭梯等截法俱用，开方列法于左。
圭田截积歌〈若作三段分者先截尖段下二段以作梯形截法〉

圭田截积小头知，倍积原长以乘之，原阔归除为实积，开方便见截长宜。仍以截长乘原阔，原长为法以除之。除来便见截阔数，法明简易不须疑。
今有圭田长七十五步，北阔三十步，今自尖头截积
圭截小头圆

四百零五步。问：截长阔各若干。答曰：长四十五步，阔一十八步。法曰：置截积四百零五步，倍之得八百一十步，以原长七十五步乘

之得六万零七百五十步，以阔三十步除之，得二千零二十五步为实，以开平方法除之，得截长四十五步就以原阔三十步乘之，得一千三百五十步为实。以原长七十五步为法除之，得截阔一十八步，合问。今有句股田股长四十步，句阔二十步，今从大头截
勾股截积图

积一百七十五步。问：所截长阔各若干。
答曰：截下长一十步，截上广一十五步。

法曰：先将句股相乘，得八百折半得积四百步，减截积一百七十五步，馀积二百二十五步以作圭田，截积小头知而算之，置小头积二百二十五步倍作四百五十步，以原长四十步乘之，得一万八千步以原阔二十步。除之得九百步为实，以开平方法除之，得上尖长三十步，就以此为法以除倍积四百五十步，得截阔一十五步，另将原长减去截长三十步，馀得下长一十步。合问。
今又有圭田长七十五步，北阔三十步，今自北阔截
圭截大头图

积七百二十步。问：截长阔各若干。答曰：截下长三十步，阔一十八步。
法曰：置截积七百二十步倍之，得

一千四百四十步以原阔三十步乘之，得四万三千二百步为实，以原长七十五步为法除之，得五百七十六步再以北阔三十步自乘，得九百步以减五百七十六步，馀三百二十四步为实，以开平方法除之，得截阔一十八步，并北广三十步，共四十八步折半，得二十四步为法，除截积七百二十步得截长三十步。合问。