钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百十三卷目录

历法典第一百十三卷

算法部汇考五

《算法统宗一》〈明程大位著〉序目
夫算非小技也，有熊氏命隶首创焉。周官则置保氏，教国子以六艺，而数居其一。惟是数，以俟夫算，算以成夫数，固二而一者也。藉令算为小技，何古先哲王用意勤笃如是哉。乃今隶首远矣，保氏之职废，精其理者代不数人。程汝思氏怅然有恫于衷，爰辑《算法统宗》若干卷。汝思少游吴楚，历大泽名山，老憩丘园。举平生师友之所讲，求咨询之所独得者，提纲挈要，缕析支分，著是编而迪来学傥。其中有前贤未及者，而汝思悉为阐明之。汝思谓余曰：大位悦孙武子兵家言而感其通于事理也。曰：多算胜，少算不胜。而况于无算乎。迄今畴为隶首，而吾几其徒耶。畴为保氏，而吾几其副耶。匪汝思自任所事，思之自得者耳。汝思之书，具在一寓目，而千古所谓方田以下，旁要以上，九数云者，靡不了了于胸臆间。始知汝思之称说不迂矣。余谓汝思不佞于此道，未见一斑。第尝读汉记至安定嵩真，元元理，一能自算其年寿，一能为友人算囷米，举所食著十馀转不差，圭合其术。后相授受，得其分数而失元妙焉。不佞未尝不欣慕而抱愿见之思。今观汝思，骎骎乎跂，元妙之归，无让嵩真元理，当吾世而获觏其人，一何快哉。吴继绶著。
算义总总说　　　　　　　　　　　河图　　　　　　　　　洛书伏羲则图作易〈四图〉　　　洛书释数
九宫八卦图　　　　　　　　洛书易换数黄钟万事根本图　　　　　　先贤格言算法提纲　　　　　　　　　九章名义算学节要　　　　　　　　　乘除用字释用字凡例　　　　　　　　　数〈附暗马式〉　　　　大数　　小数度　量　衡　亩　　　　　　诸物轻重数钱钞名数　　　　　　　　　定算盘位次实左法右论九九八十一　　　　　　　　九九合数九归歌　　　　　　　　　　因乘论九归论　　　　　　　　　　商除论加法论　　　　　　　　　　减法论约分法论　　　　　　　　　通分法论异乘同除论　　　　　　　　异乘同乘论异除同除论　　　　　　　　开平方法论开立方法论　　　　　　　　倍法论折半法论　　　　　　　　　定位总歌〈凡三〉直指定位诀　　　　　　　　定法实诀归除法实〈凡四〉总诀
初学盘式图　　　　　　　　九因〈八问〉九归〈九问〉　　　　　　　乘法〈八问〉
归除〈歌一十问〉　　　　　〈撞归法　起一还原法〉加法〈四问〉　　　　　　　减法〈三问〉
商除〈二问〉　　　　　　　约分〈四问〉
乘分〈一问〉　　　　　　　课分〈一问〉
通分〈七问〉　　　　　　　差分〈七问〉
异乘同除〈一图五问〉　　　同乘异除〈一问〉异乘同乘〈一问〉　　　　　异除同除〈一问〉同乘同除〈一问〉　　　　　倾煎论色〈六问〉
方田章第一
丈量田地总歌〈凡二〉　　　丈量步车图〈并制释〉
方圆定则九图　　　　　　　　各种田形图〈凡七十一二十八问〉
方围方束图解　　　　　　　田亩演段根源图解方圆论说〈附图〉　　　　　方圆环总图说带分母用约分法〈六问〉　　休邑科则〈凡二〉亩法论　　　　　　　　　　古今折步粟布章第二
粟布〈诸数率数八问〉　　　官粮带耗〈三问〉盘量仓窖〈一十六问〉
各处盐场散堆量算引法〈一问〉
衡法〈二十四问〉　　　　　炼镕铜铁矿〈三问〉度法〈九问〉　　　　　　　就物抽分〈三问〉
衰分章第三
合率差分〈十问〉　　　　　四六差分〈五问〉二八差分〈三问〉　　　　　三七差分〈四问〉折半差分〈三问〉　　　　　递减挨次差分〈十问〉
带分母子差分〈四问〉　　　互和减半差分〈八问〉匿价差分〈四问〉　　　　　贵贱差分〈三问〉仙人换影〈六问〉　　　　　物不知总〈三问〉
少广章第四
开平方法　　　　　　　　　开平求廉率作法本源图方廉隅图〈五问〉　　　　　一方四廉两隅演段图〈一问〉归除开平方〈二问〉　　　　归除平方带纵〈一问〉带纵开平方〈四问〉　　　　长阔相和〈一问〉长阔相差〈一问〉　　　　　平圆〈三问〉
开平方通分法〈二问〉　　　方圆三棱图〈三图七问〉演段根源开方解〈附图〉　　带纵平方图〈一问〉长阔相差求和图〈二问〉　　减纵开方图〈一问〉减纵翻积图　　　　　　　　方圆求径图〈一问〉减积带纵开平方〈又名锁方一问〉　〈附图〉大小三方总一图〈一问〉　　开立方法〈四问〉立圆法〈二问〉　　　　　　归除开立方法〈二问〉开立方带纵法〈三问〉　　　三乘方法〈一问〉开立方廉隅图〈一问〉　　　求米仓窖盛贮〈九问〉分田截积法〈十一图十五问〉圭田截积法〈四图四问〉梯田截积法〈二图二问〉　　环田截积法〈二图二问〉圆田截积法〈一图二问〉　　弧矢法〈三图三问〉
商功章第五
坚河渠濠〈四问〉　　　　　筑台〈五问〉
筑墙〈五问〉　　　　　　　筑方锥〈三问〉筑方圆台〈三问〉　　　　　筑堤〈一问〉
开渠〈一问附杂问七〉　　　堆垛〈九问〉
挑土计方〈一问〉　　　　　量木梱〈三问〉
均输章第六
问答〈凡二十七〉
盈朒章第七
盈不足〈六问〉　　　　　　两盈两不足〈四问〉盈适足不足适足〈六问〉　　取钱买物法〈三歌五问〉
方程章第八
二色歌〈二问〉　　　　　　三色歌〈五问〉四色歌〈二问〉
句股章第九
句股名义〈一十三〉　　　　句股论说释义求弦求股求句容方容圆等图〈二十九问〉求高求远法〈四图七问〉　　难题〈附亦分列九章〉
算义总一总说

数何肇，其肇自图书乎。伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物成务。凡天官地员，律历兵赋，以及纤悉秒忽，莫不有数，则莫不本于易范。故今推明直指算法，辄揭《河图》、《洛书》于首，见数有原本云。
河图河图

《河图》者，伏羲氏王天下，龙马负图出河，遂则其文，以画八卦。
《河图》以相生为序，故右行自北，而东而南，而中而西，复始于北。

〈天数〉一三五七九〈积二十五〉
〈地数〉二四六八十〈积三十〉
共积五十五数此所以成变化而行。

求积法曰置天一，地十并得十一，以十乘之得一百一十，折半得五十五为天地之数也。
洛书洛书

《洛书》者，禹治水时，神龟负文列于背，有数至九，禹遂因而第之，以成九畴。
《洛书》以相克为序，故右转自北，而西而南，而东而中，复始于北。

盖取龟象，故其数戴九，履一左三右七。二四为肩，六八为足。
洛书易换数

洛书释数洛书释数

洛书释数

求积法曰：并上下数，一九共十，以九乘之，得九十，折半得积四十五，为实。以三行为法，除之，得纵横斜角皆十五数也。
黄钟万事根本图

先贤格言〈改调西江月〉

智慧童蒙易晓，愚顽皓首难闻。世间六艺任纷纷，算乃人之根本。知书不知算法，如临暗室昏昏。谩同高手细评论，数彻无萦方寸。
算法提纲〈习学之法〉

一要先熟读九歌，二要诵归除歌法，三要知加减定位，四要知度量衡亩，五要知诸分母子，六要知长阔堆积，七要知盈朒互隐，八要知正负行例，九要知句股弦数，十要知开方各色。
九章名义

数学从来有九归，方田粟布易推详。衰分辨别贵和贱，少广开除圆与方。商度功税术最妙，均平输运法最良。盈朒得互须列位，方圆正负要排行。若算高深并广远，好将句股细思量。
一曰方田〈以御田畴界域〉二曰粟布〈以御交质变易〉三曰衰分〈以御贵贱廪税〉四曰少广〈以御积幂方圆〉五曰商功〈以御功程积实〉六曰均输〈以御远近劳费〉七曰盈朒〈以御隐杂互见〉八曰方程〈以御杂据正负〉九曰句股〈以御高深广远〉
算学节要

学算之人须努力，先将九数时时习。呼如下位算为先，变其身数呼求十。观其法门果何如，仔细斟量分法实。若然法实既能知，次求定位是为急。再考九归及归除，又将减法细寻绎。有能致意用工夫，算学虽深可尽识。
乘除用字释

以者，用也。置者，列也。为者，数未定也。得者，数已成也。呼者，呼唤其数也。命者，言也。首者，第一位也。尾者，末位也。身者，本位也。率者，齐数也。实者，所问之物也。法者，所求之价也。乘之者，九字相生之数也。除之者，谓九归归除商除之类。
用字凡例

法〈样数也〉　　　　　　　　　　　实〈本数也〉　　　　　　　　　　　因〈法之单位者又由也〉　归〈入己之数也〉加〈增添也〉　　　　　　　　　　　减〈除少也〉　　　　　　　　　　　乘〈法之多位者〉　　　　归〈先归后除合名也〉除〈减少也〉　　　　　　　　　　　积〈乘成之数也〉　　　　　　　　　乘〈法实合变数也〉　　　如〈九数用此下一位也〉身〈本位也〉　　　　　　　　　　　则〈法也〉　　　　　　　　　　　　左〈上边大位也〉　　　　右〈下边小位也〉纵〈直长也〉　　　　　　　　　　　横　　　　　　　　　　　　　　　　广〈俱阔也〉　　　　　　阔〈横广也〉直〈长也〉　　　　　　　　　　　　面〈方面也〉　　　　　　　　　　　高〈立起也〉　　　　　　深〈陷下也〉倍〈加上本数也〉　　　　　　　　　并〈二数相合也〉　　　　　　　　　截〈割断也〉　　　　　　分〈拨开也〉原〈初数也〉　　　　　　　　　　　差〈多少不同数也〉　　　　　　　　通〈合同其数〉　　　　　变〈改换其数〉约〈量度也〉　　　　　　　　　　　中〈算盘之中〉　　　　　　　　　　进〈移上前一位〉　　　　逢〈遇有数而言逢〉上〈脊梁之上又位之左〉　　　　　　下〈脊梁之下又位之右〉　　　　　　挨〈隋身变数也〉　　　　退〈移下后一位〉句〈阔也〉　　　　　　　　　　　　股〈长也〉　　　　　　　　　　　　斜〈两隅相去又不正也〉　弦〈句股斜曰弦弧矢亦有弦〉　　　　　　　　　　　　　　隅〈曲角也〉　　　　　　　　　　　长〈直也〉　周〈外围也〉较〈相减馀也〉　　　　　　　　　　廉〈方直也〉　　　　　　　　　　　方〈四面同数〉　　　　　径〈周中之弦〉脊〈盘中横梁隔木〉　　　　　　　　列位〈各置位次〉　　　　　　　　　折半〈减去一半〉　　　　还原〈复旧数也〉商除〈心与意商量而除之〉　　　　　相乘〈长阔银货等类〉　　　　　　　自乘〈法实数自相乘〉再乘〈自乘之而又乘〉　　　　　　　遍乘〈先以一法遍乘诸数〉　　　　　商总〈合用商开之法于盘中〉　　　　　　　　　　　　　开方〈即自乘还原也〉　　　　　　　开立〈即自乘再乘之还原也〉中实〈即商总也〉　　　　　　　　　并率〈如一二三四五并得十五数也〉　得令〈斤两贯个石等类也〉　　　　　　　　　　　　　　得术〈乃法首位每下该得之名〉　　　互乘〈如四处数目颠倒相乘〉　　　　　　　　　　　　　相较〈如二数以少减多馀曰较〉　　　合得〈算数定夺〉若干〈一为数始十为数终未算难定〉　几何〈与若干相同〉
数〈附暗马式〉

〔参考页面〕
右大圈，九字配合，相生而成，法也。大圈之下，小圈乃暗子马数，惟一二三，不拘横直正位数，配合得宜，不乱为式。

假如十一数作，二十二作，三十三作，四十四作，五十七作，六十九作。
大数

一〈数之始〉　　　　　　十〈十个一为十〉　百〈十十为百〉　千〈十百为千〉万〈十千为万数之成也〉　十万　　　　　　　百万　　　　　　千万亿〈万万曰亿〉　　　　　十亿　　　　　　　百亿　　　　　　千亿万亿　　　　　　　　　　十万亿　　　　　　百万亿　　　　　千万亿兆〈万万亿〉　　　　　　京〈万万兆〉　　　垓〈万万京〉　　秭〈万万垓〉穰　　　　　　　　　　　沟　　　　　　　　涧　　　　　　　正载　　　　　　　　　　　极　　　　　　　　恒河沙　　　　　阿僧秪那由他　　　　　　　　　不可思议　　　　　无量数
自京垓，以后世之罕用，姑存之。又按万万曰亿，万万亿曰兆，孟子注其丽不亿，解为十万，误也。
小数

分〈十釐为分〉　釐〈十毫〉　　　毫〈十丝〉　　丝〈十忽〉忽〈十微〉　　　微〈十纤〉　　　纤〈十沙〉　　沙〈十尘〉尘　　　　　　　埃　　　　　　　渺　　　　　　漠模糊　　　　　　逡巡　　　　　　须臾　　　　　瞬息弹指　　　　　　刹那　　　　　　六德　　　　　虚空清净
模糊以下，虽有此名，虚而无实，公私亦不用。
度〈所以分别长短之法〉

丈〈十尺〉　　　　尺〈十寸〉　　　　　　　寸〈十分〉　　　　　　　分〈十釐〉釐毫丝忽同前　　　疋〈四丈今无定则〉端〈五丈今亦不一〉
量〈所以分别多寡之法〉

石〈十斗〉　　　　斗〈十升〉　　　　　　　升〈十合〉　　　　　　　合〈十勺〉勺〈十抄〉　　　　抄〈十撮〉　　　　　　　撮〈十圭〉　　　　　　　圭〈十粟〉粟〈即一粒之粟〉　斛〈古一石今五斗或二斗五升〉釜〈六斗四升〉　　庾〈十六斗〉　　　　　　秉〈十六斛〉
衡〈所以分别轻重之法〉

斤〈十六两〉　　　两〈二十四铢〉　　　　　铢〈十累〉　　　　　　　累〈十黍〉黍〈禾方得而有准　以上是自斤而下者，然今两之下惟用钱分釐毫丝忽，其铢累黍等俱不用。〉秤〈原十五斤今二十斤或三十斤〉　　　　　　钧〈二秤即三十斤〉　石〈四钧〉引〈二百斤　以上是自斤而上者〉
亩〈所以分别田阔狭远近之法〉

步〈方五尺也〉　　分〈五寸一尺为二分也〉　釐〈半寸一寸为二釐也〉　毫丝忽同亩〈横一步直二百四十步为一亩；每步止五尺。若以丈计即横一丈长六十丈，以尺计长横计积六千尺。〉
分〈二十四步为一分，十分为一亩。分之下亦有釐毫丝忽。然上是步之分釐毫丝忽分，是步十分之一此是，亩之釐毫丝忽分是亩十分之一。〉
顷〈百亩为顷〉　　角〈一亩分为四角每角六十步〉里〈三百六十步为一里计一百八十丈约人行一千步〉
诸物轻重数〈谓长阔高，皆方一寸为则。〉

金〈重十六两〉　　银〈重十四两〉　　　　玉〈重十二两〉　　　　　　铅〈重九两五钱〉铜〈重七两五钱〉　铁〈重六两〉　　　　　青石〈重三两〉
〈按轻重数不知。所本西法比例铅次于金，而重于银与此不同。〉钱钞名数

钱钞之法谓之文，一文之上有十文，十十为百文，十百文为千，文千文为一贯，五贯为一锭。一文之下亦有分釐毫丝忽之数。
定算盘位次实左法右论

按《洛书》数曰：左三右七，则右者第一之行位也，左者第二之行位也。又按《大学章句》曰：别为序次，如左则左者以后之事也，又曰：右传之某章，则右者，以前之事也。今当以初行为右，次行为左。以理而推之，法当从右实当在左，此乃不易之位也。
九九八十一

〈一遍〉　一上一　　二上二　　三上三　　四上四
五上五　　六上六　　七上七　　八上八九上九

〈二遍〉　一上一　　二上二　　三下五除二
四下五除一　　　　　五起五成一十六上一起五成一十　　七上二起五成一十八退二成一十　　　　九退一成一十

〈三遍〉　一上一　　二下五除三　　三上三
四起六成一十　　　　五上五　　六上六七退三成一十　　　　八退二成一十九退一成一十

〈四遍〉　一上一　　二上二　　三起七成一十
四下五除一　　　　　五起五成一十六退四成一十　　　　七退三成一十八上三起五成一十　　九退一成一十

〈五遍〉　一下五除四　　　　　二起八成一十
三下五除二　　　　　四起六成一十五上五　　　　　　　六上一起五成一十　　七上七八退二成一十　　　　九退一成一十

〈六遍〉　一上一　　　　　　　二上二　　　　　　　三起七成一十
四下五除一　　　　　五起五成一十六上六　　　　　　　七退三成一十八退二成一十　　　　九上四起五成一十

〈七遍〉　一上一　　　　　　　二下五除三　　　　　三上三
四退六成一十　　　　五上五六退四成一十　　　　七上二起五成一十八退二成一十　　　　九退一成一十

〈八遍〉　一上一　　　　　　　二上二　　　　　　　三下五除二
四下五除一　　　　　五起五成一十六上一起五成一十　　七退三成一十八退二成十　　　　　九退一成一十

〈九遍〉　一上一　　　　　　　二上二　　　　　　　三上三　　四上四
五上五　　　　　　　六上六　　　　　　　七上七　　八上八九退一成一十
九九合数〈乘除加减，皆呼此数，故呼小数在上，大数在下。〉

一一如一
一二如二　二二如四
一三如三　二三如六　三三如九
一四如四　二四如八　三四一十二　四四一十六
一五如五　二五得一十　三五一十五　四五得二十　五五二十五
一六如六　二六一十二　三六一十八　四六二十四　五六得三十　六六三十六
一七如七　二七一十四　三七二十一　四七二十八　五七三十五　六七四十二　七七四十九一八如八　二八一十六　三八二十四　四八三十二　五八得四十　六八四十八　七八五十六
八八六十四

一九如九　二九一十八　三九二十七　四九三十六　五九四十五　六九五十四　七九六十三
八九七十二　九九八十一
右法遇十，挨身上逢，如下位加　谓句内有十字之数，就本身之位上之，若句内有如字之数，下一位上之也。
九归歌〈呼大数在上小数在下〉

〈一归〉　一归不须归〈一者原数不必归也〉　其法故不立〈二归〉　二一添作五　逢二进一十　逢四进二十
逢六进三十　逢八进四十

〈三归〉　三一三十一　三二六十二　逢三进一十
逢六进二十　逢九进三十

〈四归〉　四一二十二　四二添作五　四三七十二
逢四进一十　逢八进二十

〈五归〉　五一倍作二　五二倍作四　五三倍作六
五四倍作八　逢五进一十

〈六归〉　六一下加四　六二三十二　六三添作五
六四六十四　六五八十二　逢六进一十

〈七归〉　七一下加三　七二下加六　七三四十二
七四五十五　七五七十一　七六八十四逢七进一十

〈八归〉　八一下加二　八二下加四　八三下加六
八四添作五　八五六十二　八六七十四八七八十六　逢八进一十

〈九归〉　九归随身下　逢九进一十
右法与九九合数相混。但记句法惟辨多数在先，少数在次，即九归之句。如八六七十四是归，六八四十八是因之类。已上句法，并后各样歌诀，皆学者所当熟记。〈按一归不须归者，为单一数言耳，若除法自两位三位以上，其法首或为一十或为一百一千则仍有逢一进一，至逢九进九之用。九归歌有法有实有得数有馀，实如云二一添作五者，则二是法，一是实，五是得数。其意是两人分一数，则各得其半，如分一两各得五钱也。又此所分不能成一整数，故不言进而。但于本位添一作五故谓之添作也。其云逢二者，二即实也，进一十者，得数也。两人分二数则各得其一也。所得既为整一，故进前一位而谓之进一。十逢二上，宜有二字，为法数。今不言者，省文也。馀仿此其云三一三十一者三为法一为实三十为得数末一字，则馀实也。其意如三人分一两，各得三钱，仍馀一钱也。此三十即本位而馀实一，则置于丁位以待再分也，馀仿此，其五归倍作云者，皆得数在本位倍之，与添作五同，其云六一下加四者，六为法，一为实，又为得数下加四者，馀实也，假如六人分一两，各得一钱，而仍馀四钱，以待再分也。因得数在本位，与实数同为一故不用添倍，即借原数为得数，而但于下位加馀实四，即得之矣。馀仿此。〉

因乘法者，单位曰因，位数多曰乘，通而言之乘也，置所有物为实，以所求价，为法皆从末位而起，如法乘之，呼九字相生之数，次第乘之，呼如须次位，言十在本身，升积谓之乘其数，虽升而位，反降矣，必须用定位之法而治之。详见于后。
九归归除法者，单位者，曰归。位数多者，曰归除。通而言之，曰归除。置所出率为实，以所求率为法，皆从实首位而起，以法之首位用归，以次之位皆用除之，故曰归。除归者，呼九归之歌，除者呼九字相生之数。次第除之，降积谓之除，其数虽降而位反升矣，须详定位诀而求之，以法为母，以实为子，实如法而一。法实相反失之千里，必须用心详玩。直指定位法实诀于后，或有畸零之不尽者，设有约分，之法而命之。商除法者，商量法实多寡而除之，古法未有归除，故用之不如归除最是捷径之法也。然开方法用之。加法者，随母留身增添谓之加，谓如正米每斗带耗七合者，留身以七合隔位加之，又如每银一两加利三钱不破本身，以三增之，故谓之加法，或用乘法而代之，如每斗加七合，就以一斗零七合乘之，得正耗之数也。
减法者，即曰定身除法约存原本之数，而除之，故谓之减。假有正耗米共九斗，只约正米八斗呼七八减去五升六合之类。又如本利银四两，每两减去三钱。只呼三三除减九钱得本银三两有零之类。或用归除而代之，如正耗米为实，就以一斗零七合为法归除之，得正米之数也。
约分法者，凡用除法多有畸零数之不尽，位数多者以法约之，则简假如九百四十分之二百三十五，以法约之得四分之一何也。曰分母九百四十分乃是四个二百三十五故谓四分之一也。去其繁而截其约之故耳。
通分法者，谓法实带有畸零之数，若不设法通之则何由而置位乎。假如畸零四分之一者，就以一分之数变作四分加入零，一分可用乘除而算之，故曰通母凡公私皆不用之。今但有畸零者，至于毫忽以五收之，以四去之，算家若不精微岂可合得数乎。异乘同除者，谓先应用除法而后用乘法者，其除法多有畸零不尽之数，则何出而用乘法乎。故变法而先用乘法然后用归除，虽有畸零数之不尽者，而可命之，故曰异乘同除。至于精奥其变通之大术矣。异乘同乘者，谓如用四，乘之又，用五乘之，再以七乘之者，就变法以四乘五得二十。再以七乘之得一百四十。就以一百四十为法乘之，以代三次相乘而数不差矣。
异除同除者，谓用四归之又用五归之，再用十二归之者，就变法以四乘五得二十再以一十二乘之得二百四十，就以二归四除以代三次除，也已上皆言算法变通之理。
开平方法者，谓如平地四面皆然也，如长十步阔十步自乘得积一百步，开者以积求方面之数也。此法别是一种有实而，无法则商约而除之，所以最难之法也。今新增归除开平方而法之便矣。
开立方法者，立者，立起之方也。如长十尺阔十尺自乘得一百尺，再以高十尺乘之得积一千尺。开者以积求立方每面之数也，有实而无法，则商约而除之，所以更难也。今新增归除开立方而法又便矣。倍法者，加一倍是也。法当用二，因而位反降矣。今变用五归而位不降矣。
折半法者，谓减去一半是也。法当用二归而位反升矣，今变用五因而位不升矣。
定位总歌

数家定位法为奇，因乘俱向下位推。加减只须认本位，归与归除上位施。法多原实逆上法，位前得令须下宜，法少原实降下数，法前得令逆上知。
又十二字诀

乘从每下得术，归从法前得令。
定位秘诀

凡定位俱从实上原首位数起，至遇法首位。〈乘则每数即斤两贯个石等类除则不拘斤两，贯个石等类。〉则止。乘从每下得术。
术者，乃法首位每下该得之名也。从实上原首位起往后顺数至法首位，每数则止于下位，得法首每该之名是钱，呼钱是石，呼石是两，呼两已。上十百千万已下釐毫合勺回向前数，则升依数呼之。

归从法前得令。
令，者斤两贯钧石等类，亦从实上原首位起，实多法少者，往后顺数至法首之数则止。转向前一位得令往前逐位升之合得。实少法多者亦从实上原首位数起往前逆数，顺至法首之数则止。再进前一位，得令回则往后降起。
直指定位诀

用因乘定位诀曰：预先以算盘上写定万千百十或顷亩石斗两钱之类，因乘完毕得数莫动，或云每亩科粮四升但以亩之下位得升，以亩变斗以十变石以百亩变十石之类是也，馀物仿此。
用归除定位诀有二条曰：预先以算盘上写定石斗或两钱顷亩步分之类。假如有米四百馀石，每银一两籴米三石，问共该银若干，法曰：置米为实，以银每两籴米三石为法除之，得数莫动，定位诀曰：此是实多法少，先从实首位起，数原实百顺下至石，遇法首位是石则止，前一位得令是两，又前一位是十两，又前一位是百两，此是逆上。
假如麦四百五十石，卖银三十二两四钱，问每石该银若干，法曰：置银为实，以麦为法，归除之得数莫动。定位诀曰：此是法多实少，先从实首位起，数原实十逆上至百遇法首位是百，则止前一位得令，是两。降下顺数至实是七分，次位即二釐也。
但用因乘法实，后定位故云乘法虽升而位反降矣。但用归除法，实前定位，故云除法虽降而位反升矣。
定法实诀

诀曰：凡因乘不必拘于法实，或以法乘实，或以实乘法，皆可也。惟归除不可颠倒错乱，详理而用之。
归除法实

假如有银若干买物若干，或几人分，或几人出以银物为实，以人分为法。
假如有银若干，买货若干问银，每两该货若干，以货为实，以总银为法。若问货价则以银为实，以货为法。假如有银若干，每货价若干，问共该买货若干，以总银为实，以货价为法。
假如有货若干，每两卖货若干，问共该银若干，以总货为实，以每两之货为法。
总诀

一曰以所有总数为实，以所求每数为法，除之。一曰有总物而又有总价，或问每物，则以物为法，以价为实。或问每价即以价为法，以物为实。馀仿此。
分别法实左右图

九因

凡二至九单位者，用此置物为实，以价为法，呼九九合数，言十就身。言如隔位从末位算起，用九归还原。
因法歌

合数九因须记熟，起手先从末位推。言十就身如隔位，若要还原用九归。
归因总歌

归从头上起，因从足下生。逢如须隔位，言十在本身。假如今有银一百二十三两四钱，每银一两籴米二石，问共该米若干。
答曰：二百四十六石八斗。
法曰：置银于左，为实，以每银籴米二石于右，为法，因之合问。定位法只认两下位〈即钱之位〉定石逆上〈即两之位〉定十石再上位〈十两之位〉定百石合得。
此所谓因乘俱向下位推，先数左首原实百位起顺下至两，遇右法首位每两二石，则止下位得术是石，回向前逐位逆数升上合得也。今列布算之法于后。
图

还原〈用二归法详后〉

逢二进一十　逢四进二十　逢六进三十　进八进四十
假如今有米二百三十四石五斗，每石卖银三钱。问共该银若干。
答曰：共该七十两零三钱五分。
法曰：置所有米为实，以每石银三钱为法，因之合问。
定位先数原实百起，顺下至石止。下一位得术是

钱，回向前逆数升上合得。
图缺图缺还原〈用三归法详后〉

逢六进二十　三一三十一　三一三十一　逢三进一十　三一三十一　逢六进二十
假如有人借去本银二百五十八两二钱，每年加四还利。问该利银若干。
答曰：该利一百零三两二钱八分。
法曰置本银为实，以利四钱为法，因之合问，定位同前。
图缺还原〈用四归法详后〉

四一二十二　四二添作五　四三七十二　逢四进一十　逢八进二十
假如今有谷二百四十六石九斗，每石碾米五斗。问该白米若干。
答曰一百二十三石四斗五升。
法曰：置谷为实，以每石碾米五斗为法，因之合问。
图缺还原〈用五归法详后〉

五一倍作二　五二倍作四　五三倍作六　五四倍作八　逢五进一十
假如今有杉木二万三千五百六十九根，每根价银六分。问共该银若干。
答曰：一千四百一十四两一钱四分。
法曰：置木为实，以每根价银六分为法，因之合问。
图缺还原〈用六归法详后〉

六一下加四　逢六进一十　六二三十二　六三添作五　六四六十四　六五八十二　逢六进一十
假如秋粮米二万三千四百五十七石九斗，每石科银七钱。问共该银若干。
答曰：一万六千四百二十两零五钱三分。
法曰：置粮米为实，以每石七钱为法，因之合问。
图缺还原〈用七归法详后〉

七一下加三　逢七进一十　七二下加六　逢七进一十　七三四十二　七四五十五　七五七十一　七六八十四　逢七进一十
假如今有军人一百三十四万五千六百七十九名，每名给米八斗。问共该米若干。
答曰：一百零七万六千五百四十三石二斗。
法曰：置军人为实，以每名给米八斗为法，因之合问。
图缺还原〈用八归法详后〉

八一下加二　八二下加四〈四下五除一〉　逢八进一十　八三下加六　逢八进一十　八四添作五
八五六十二　八六七十四　八七八十六　逢

八进一十
假如湿谷一千二百三十四石五斗六升七合九勺，每石晒得乾谷九斗。问该乾谷若干。
答曰：一千一百一十一石一斗一升一合一勺一抄。法曰：置湿谷为实，以晒乾九斗为法，因之合问。
图缺还原〈用九归法详后〉
九一下加一　九二下加二　九三下加三　九四

下加四　九五下加五　九六下加六　九七下加七　九八下加八　逢九进一十
九归

凡二至九单位者，用此置物为实，以价或分物者为法，呼九归之歌或进或倍，从实首位算起，用因法还原。
歌曰

九归之法乃分平，凑数从来有现成。数若有多归作十，归如不尽搭添行。
又歌

学者如何算九归，先从实上左头推。逢进起身须进上，下加次位以施为。
假如今有米四百八十六石二斗，每银一两籴米二石。问共该银若干。
答曰：二百四十三两一钱。
法曰：置总米数为实，以每两籴米二石为法，归之合问。定位法只认石上前一位，〈即十之位〉定两逆上，〈即百之位〉定十两再升，上一位定百两合得。
此所谓归与归除上位施　先数，原实百起，顺下至石遇法首位是每两二石，则止转向前一位得令是两逐，位逆数升上合得也今列布算于后。
图缺还原〈用二因〉

一二如二　二三如六　二四如八　二二如四假如今有银八百三十五两八钱，每银三两籴米一石。问该米若干。
答曰：二百七十八石六斗。
法曰：置总银为实，以每石银三两为法，归之合问。定位法只认两，前一位是石，逆上依次，升之合得。
图缺还原〈用三因〉

三六一十八　三八二十四　三七二十一　二三如六
假如今有苧麻七百三十五斤，每苧四斤卖银一钱。问该银若干。
答曰：一十八两三钱七分五釐。
法曰：置总苧麻为实，以每钱卖苧麻四斤为法归之合问。定位法只认斤前一位定钱依次逆升合得。
图缺还原〈用四因〉

四五得二十　四七二十八　三四一十二　四八三十二　一四如四
假如今有银一百二十三两四钱五分，每银五两换金一两。问该金若干。
答曰：二十四两六钱九分。
法曰：置总银为实，以每银五两为法，归之合问。定位法只认银两，上前一位是金，两数逆升合得。
图缺还原〈用五因〉

五九四十五　五六得三十　四五得二十　二五得一十
假如今有米二十石，五万人分之。问每人该米若干。答曰：四勺。
法曰：置米为实，以人五万为法，归之合问。定位法多实少，先从实首原位数起逆上，至遇法首位是万则止，向前一位得令，是石也，顺数降一合得。
图缺还原〈用五因〉

四五得二十
假如今有银二百六十五两三钱二分，作六人分之。问每人该银若干。
答曰：四十四两二钱二分。
法曰：置银为实，以六人为法归之合问。定位法从原实数百降下，次位几十，又次位几人，遇法是人则止，前一位得令是两，逆上升之合得。
图缺还原〈用六因〉

二六一十二　二六一十二　四六二十四　四六二十四
假如今有银七十两，籴大麦七百五十五石一斗六升。问每银一两该麦若干。
答曰：一十石零七斗八升八合。
法曰：置麦为实，以总银七十为法归之合问。定位同前。
图缺还原〈用七因〉

七八五十六　七八五十六　七七四十九　一七如七
假如今有银九十八两九钱二分，买羊八十只。问每只该银若干。
答曰：一两二钱三分六釐五毫。
法曰：置银为实，以羊八十为法，归之合问。
图缺还原〈用八因〉

五八得四十　六八四十八　三八二十四　二八一十六　一八如八
假如今有银二百六十五两三钱二分，买椒每斤价银九分。问共该椒若干。
答曰：二千九百四十八斤。
法曰：置总银为实，以每斤椒价九分为法，归之合问。
图缺还原〈用九因〉

八九七十二　四九三十六　九九八十一　二九一十八