钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百三卷目录

历法典第一百三卷

测量部汇考四

《诗经》鄘风定之方中

定之方中，作于楚宫。揆之以日，作于楚室。
〈传〉定，营室也。揆，度也。度日出日入以知东西，南视定北准极以正南北。室，犹宫也。〈笺〉定星昏中而正，于是可以营制宫室，故谓之营室。定昏中而正，谓小雪时，其体与东壁连正四方。〈疏〉《正义》曰：此度日出日入，谓度其影也。故《公刘传》曰：考于日影是也。其术则匠人云水地以县，置槷以悬视，以影为规，识日出之影，与日入之影。昼参诸日中之影，夜考之极星，以正朝夕。注云：于四角立植而悬以水，望其高下。高下既定，乃为位而平也。于所平之地中央树八尺之槷以悬正之视之以其影端，以至日入既则为规。测影两端之内规之，规之交乃其审也。度两交之间，中屈之以指槷，则南北正也，日中之影最短者也。极星谓北辰也，是揆日瞻星，以正东西南北之事也。如匠人注：度日出日入之影，不假于视，定视极而东西南北皆知之。此传度日出入以知东西，视定极以正南北者，考工之文，止言以正朝夕，无正南北之语。故规影之下，别言考之，极星是视，极乃南北正矣。但郑因屈横度之绳，即可以知南北，故细言之，与此不为乖也。

大雅公刘

笃公刘，既溥既长，既景乃冈。相其阴阳，观其流泉。
〈传〉既景，乃冈考于日景，参之高冈。〈笺〉以日景定其经界于山之脊观，相其阴阳寒煖所宜，流泉浸润所及，皆为利民富国。〈疏〉日影定其经界者，民居田亩，或南或东，皆须正其方面，故以日影定之。

《易纬》通卦验

冬至之日，树八尺之表。日中视其晷景长短，以占和否。夏至影一尺四寸八分，冬至一丈三尺。

《书纬》考灵曜

日末影尺五寸，日短景尺三寸。

《淮南子》天文训

正朝夕，先树一表东方，操一表却去前表十步以参望。日始出，北廉日直入。又树一表于东方，因西方之表以参望，日方入北廉，则定东方。两表之中与西方之表则东西之正也。日冬至，日出东南，维入西南。维至春秋分，日出东中入西中。夏至出东北，维入西北。维至则正南。欲知东西南北广袤之数者，立四表以为方一里距先春分若秋分十馀日。从距北表参望，日始出及旦以候相应，相应则此与日直也。辄以南表参望之，以入前表数为法。除举广，除立表。袤以知从，此东西之数也。假使视日出入，前表中一寸，是寸得一里也。一里积万八千寸得从，此东万八千里。视日方入，入前表半寸，则半寸得一里。半寸而除一里，积寸得三万六千里。除则从此，西里数也，并之东西里数也，则极径也，未春分而直，已秋分而不直，此处南也。未秋分而直，已春分而不直，此处北也。分至而直，此处南北中也。从中处欲知中南也，未秋分而不直，此处南北中也。从中处欲知南北，极远近从西南表参望日。日夏至始出，与北表参则是东。与东北表等，正东万八千里则从中，北亦万八千里也。倍之南北之里数也，其不从中之数也。以出入前表之数益损之。表入一寸，寸减日近一里；表出一寸，寸益远一里。欲知天之高，树表高一丈，正南北，相去千里同日度其阴，北表二尺，南表尺九寸，是南千里阴短寸，南二万里则无景，是直日下也。阴二尺而得高一丈者，南一而高五也。则置从此南至日下里数，因而五之为十万里，则天高也。若使景与表等，则高与远等也。

《隋书》天文志

《周礼》：大司徒职，以土圭之法测土深，正日景以求地中，此则浑天之正说，立仪象之大本。故云：日南则景短，多暑；日北则景长，多寒；日东则景夕多风，日西则景朝多阴。日至之景，尺有五寸，谓之地中，天地之所合也，四时之所交也，风雨之所会也，阴阳之所和也。然则百物阜安乃建王国焉。又考工记匠人建国水地以县置槷，以县视。以景为规，识日出之景与日入之景。昼参诸日中之影，夜考之极星以正朝夕。按：土圭正影，经文阙略，先儒解说，又非明审。祖暅错综经注以推地中，其法曰：先验昏旦，定刻漏，分辰次，乃立仪表于准平之地，名曰南表。漏刻上水居日之中，更立一表于南，表影末，名曰中表。夜依中表以望北极枢而立北表，令参相直。三表皆以县准定乃观，三表直者，其立表之地，即当子午之正。三表曲者，地偏僻。每观中表以知所偏，中表在西，则立表处在地中之西，当更向东求地中。若中表在东，则立表处在地中之东也，当更向西求地中。取三表直者为地中之正。又以春秋二分之日，旦始出东方半体，乃立表于中表之东，名曰东表。令东表与日及中表参相直，是日之夕。日入西方半体，又立表于中表之西，名曰西表。亦从中表西望西表。及日参相直，乃观三表直者，即地南北之中也。若中表差近南，则所测之地在卯酉之南。中表差在北，则所测之地在卯酉之北。进退南北求三表直，正东西者则其地处中，居卯酉之正也。〈地中〉
昔者周公测晷景于阳城，以参考历纪。其于周礼，在大司徒之职，以土圭之法测土深，正日景以求地中。日至之景，尺有五寸，则天地之所合，四时之所交，百物阜安乃建王国。然则日为阳精元象之著然者也。生灵因之动息，寒暑由其递代。观阴阳之升降，揆天地之高远。正位辨方，定时考闰，莫近于兹也。古法简略，旨趣难究。术家考测，互有异同。先儒皆云：夏至立八尺表于阳城，其影与土圭等。案《尚书·考灵曜》称，日永景尺五寸，日短景尺三寸。《易通卦验》曰：冬至之日，树八尺之表，日中视其晷景长短以占和否。夏至景一尺四寸八分，冬至一丈三尺。《周髀》云：成周土中夏至景一尺六寸，冬至景一丈三尺五寸。刘向《鸿范传》曰：夏至景长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分，春秋二分景七尺三寸六分。后汉《四分历》、魏《景初历》、宋《元嘉历》、《大明祖冲之历》皆与《考灵曜》同。汉魏及宋所都，皆别四家历法。候景则齐，且纬候所陈，恐难依据。刘向二分之景直以率推，非因表候定其长短。然寻晷景尺丈，虽有大较，或地域不改而分寸参差，或南北殊方而长短维一。盖术士未能精验，冯古所以致乖。今删其繁杂，附于此云：梁天监中、祖暅造八尺铜表，其下与圭相连。圭上为沟，置水以取平，正揆测日晷求其盈缩。至大同十年，太史令虞𠠎又用九尺表格，江左之景夏至一尺三寸二分，冬至一丈三尺七分。立夏、立秋二尺四寸五分，春分、秋分五尺三寸九分。陈氏一代，唯用梁法。齐神武以洛阳旧器，并徙邺中以暨。文宣受终，竟未考验。至武平七年，讫于景礼。始荐刘孝孙、张孟宾等于后主刘张建表，测景以考分至之气，草创未就，仍遇朝亡。周自天和以来，言历者纷纷复出，亦验二至之景以考历之精粗。及高祖践极之后，大议造历。张胄元兼明揆测言：日长之瑞有诏司，存而莫能考决。至开皇十九年，袁充为太史令，欲成胄元旧事，复表曰：隋兴已后，日景渐长。开皇元年冬至之景长一丈二尺七寸二分，自尔渐短。至十七年，冬至景一丈二尺六寸三分。四年冬至，在洛阳测景长一丈二尺八寸八分，二年夏至景一尺四寸八分，自尔渐短。至十六年夏至景一尺四寸五分，其十八年冬至阴云，不测。元年十七年、十八年亦阴云，不测。周官以土圭之法正日景，日至之景尺有五寸。郑元云：冬至之景一丈三尺，今十六年夏至之景短于旧五分。十七年冬至之景短于旧三寸七分。日去极近则景短，而日长去极远则景长。而日短行内道则去极近，行外道则去极远。《尧典》云：日短星昴以正仲冬据昴星昏中，则知尧时仲冬日在须女十度。以历数推之，开皇以来冬至日在斗十一度，与唐尧之代去极俱近。谨案《元命包》云：日月出内道，璇玑得其常。天帝崇灵圣王，初功京房别对曰：太平日行上道升平，日行次道霸代，日行下道伏惟。大隋启运上感乾元景短日长，振古希有是。时废庶人勇晋王广初为太子，充奏此事，深合时宜。上临朝谓百官曰：景长之庆，天之祐也。今太子新立，当须改元，宜取日长之意以为年号。由是改开皇二十一年为仁寿元年。此后百工作役，并加程课，以日长故也。皇太子率百官诣阙，陈贺案日徐疾盈缩无常，充等以为祥瑞，大为议者所贬。又《考灵曜》、《周髀》、张衡《灵宪》及郑元《注周官》并云：日影于地千里而差一寸。案宋元嘉十九年，壬午使使往交州测影，夏至之日影出表南三寸二分。何承天遥取阳城云：夏至一尺五寸。计阳城去交州路当万里，而影实差一尺八寸二分，是六百里而差一寸也。又梁大同中，二至所测以八尺表率取之，夏至当一尺一寸七分彊。后魏信都芳注周髀四术称，永平元年戊子，当梁天监之七年，见洛阳测影又见。公孙崇集诸朝士共观，秘书影同是。夏至日其中影皆长一尺五寸八分。以此推之，金陵去淮南北略当千里而影差四寸，则二百五十里而影差一寸也。况人路迂回，山川登降，方于鸟道所校弥多，则千里之言未足依也。其揆测参差如此，故备论之。〈晷影〉

《宋史》律历志

英宗明天历法，升降分：皇极躔衰有陟降率，麟德以日景差、陟降率、日晷景消息为之，义通轨漏。夫南至之后，日行渐升，去极近，故晷短而万物皆盛；北至之后，日行渐降，去极远，故晷长而万物寖衰。自大衍以下，皆从麟德。今历消息日行之升降，积而为盈缩焉。岳台日晷，岳台者，今京师岳台坊地曰浚仪近古候景之所，《尚书·洛诰》称东土是也。《礼·玉人职》土圭长尺有五寸以致日，此即日有常数也。司徒职以圭正日晷，日至之景尺有五寸，谓之地中，此即是地土中，致日景与土圭等。然表长八尺，见于《周髀》。夫天有常运，地有常中，历有正象，表有定数。言日至者，明其日至此也。景尺有五寸与圭等者，是其景晷之真效然。夏至之日尺有五寸之景，不因八尺之表，将何以得。故经见夏至日景者，明表有定数也。

【宣和博古图】

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【周双螭表座】

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右表座高一尺三寸七分，下径一尺九寸三分，重五十五斤。无铭。周官置槷昼以参诸日中之景。槷即表也。是器形若大盘，上蟠双螭，而仰其首于两螭间。又出一筒，中通上下，是为表座中通。所以植槷无欹，侧以取其端焉。

【汉表座】

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右表座高四寸六分，深四寸二分，阔七寸一分，口径一寸一分，重三斤九两。无铭。是器，表座也。作三圜筒相合为一体，措之地则一筒端立可以立表。周官所谓槷者，是器所以为测日之具也。

《元史》天文志

鲁哈麻亦渺凹只，汉言春秋分晷影堂。为屋二间，脊开东西横罅，以斜通日晷。中有台，随晷影南高北下，上仰置铜半环，刻天度一百八十，以准地上之半天，斜倚锐首铜尺，长六尺，阔一寸六分，上结半环之中，下加半环之上，可以往来窥运，侧望漏屋晷影，验度数，以定春秋二分。鲁哈麻亦木思塔馀，汉言冬夏至晷影堂也。为屋五间，屋下为坎，深二丈二尺，脊开南北一罅，以直通日晷。随罅立壁，附壁悬铜尺，长一丈六尺。壁仰画天度半规，其尺亦可往来规运，直望漏屋晷影，以定冬夏二至。

《新法历书一》大测上

大测者，测三角形法也。凡测算皆以此测彼。而此一彼一不可得。测九章算多以三测，一独句股章以二测。一则皆三角形也，其不言句股者，句与股交必为直角。直角者，正方角也，遇斜角则句股穷矣。分斜角为两直角，亦句股也。遇或不可得分，又穷矣。三角形之理，非句股可尽，故不名句股也。句股之易测者，直线也，平面也。测天则圜面曲线，非句股所能得也。故有弧矢弦割圜之法。弧者，曲线。弦矢者，直线也。以弧求弧无法可得，必以直线曲弧相当相准，乃可得之。相当相准者，围径之法也。而围与径终古，无相准之率。古云：径一围，三实围以内。二径之六弦，非围也。祖冲之密率云：径七围二十二，则其外切线也，非围也。刘徽密率云：径五十围百五十七，则又其内弦也，非围也。或推至万万亿以上然。而小损即内弦，小益即外切线也，终非围也。历家以句股开方，展转商求，累时方成一率。然不能离径一围三之法，即祖率已繁，不复能用，况徽率乎。况万万亿以上乎。是以甚难而实谬。今西法以周天一象限分为半弧，而各取其正半弦。其术从二径六弦，始以次求得六宗率皆度数之正义无可疑者。次用三要法相分相准，以求各率，而得各弧之正半弦。又以其馀弧之正弦为馀弦，以馀弦减半径为矢弧之外，与正弦平行而，交于割线者，为切线。以他半径截弧之一端而交于切线者，为割线。其与馀弦平行者，则馀切线也。即正割一线交于馀切线，而止者，馀割线也。以正弦减半径者，馀矢也。总之为八线，其弧度分为五千四百。每一度分有八线焉，合之为四万三千二百率也。其用之则一形中有三边、三角，任有其三可得其馀三也。凡测候所得者，皆弧度分也。以此二三弧求彼一弧，先简此弧之某直线与彼弧之某直线，推算得数简表，即得彼弧之度分。不劳馀力，不费晷刻。为之者，劳用之者，逸方之句股。开方以测圆者，甚易而实是也。然则必无差乎。曰：有之。或在其末位。如半径设十万，则所差者，十万分之一也。设千万则所差者，千万分之一也。历家推演至微，纤以下率皆弃去，即谓之无差亦可。故论此法者，谓于推步术中为模范矣。测天者，所必须大于他测，故名大测，其解义六篇，谨列如左：
因明篇第一
总论〈凡三十二条〉

三角形者，一形而三边。容有三角也。如左图：甲乙丙
图

为平面三角形，丁戊己为球面三角形。
三角形各以两边容一角，此两边为角形之两腰，第三边为角形之底。
如上：甲乙丙形，若以甲乙甲丙为两腰，则容乙甲丙角，〈第二字为所指角〉乙丙其底也，馀二同，丁戊己亦同。
图

各边向一角者，名为对角。如上甲乙线向丙角者，名为对丙角，甲丙向乙名为对乙角。
角以何为尺度。一弧之心在交点，从心引出线为两腰，而弧在两腰之间，此弧即此角之尺度。
如上乙甲丙角，其尺度则
图

丁丙或戊己皆是。其法甲为心其界或近如丁丙，或远如戊己。
大测法：分圈三百六十为度，度析百分，〈中历〉或六十分，〈远西〉分或百析为秒，递析为百至纤而止。〈中历〉或析为六十秒，递析为六十至十位而止。〈远西〉
圈愈大，其度分亦愈大。两弧之分数等，其圈等弧亦等。其圈不等，弧亦不等。其不等之两弧，名相似弧。如上丁丙虽小于戊己，而同对甲角，即同为若干度分之弧也。
圈四分之一为九十度，有弧不足九十度，则其外
图

至九十者，名馀弧，亦曰较弧，亦曰差弧。
如甲丁弧四十度，则丁至丙五十度为馀弧。
有弧大于象限，〈在九十以上〉名为过弧。
如甲乙弧大于甲丁，过九十度则丁乙为过弧。半圈界一百八十度，有弧小于半圈，则其外至百八十度者，名为半圈之较弧。
如甲乙弧小于甲乙丙半圈，则乙丙为其较弧。凡交角俱相等。
如甲与乙，丙与丁，皆交角相等。〈见几何第一卷十五题〉如戊与己亦交角相等。
图

角有二类：一直角，一斜角。凡直角其度皆九十。斜角有二类：一锐角，一钝角。
钝角者，其度大于象限。锐角者，其度小于象限。角之馀，与弧同理。〈或曰较角或曰差角〉
有两角并在一线，上为同

方，角并之等于两直角。如右图甲与乙，丙与丁皆是同方，两角等于两直角，故彼角为此角之较。
如前乙角即甲之较，甲亦乙之较。
三角形或三边等，或两边等，或三不等。
三角形两腰等，其底线上两角亦等。底上两角等，则两腰亦等。〈见几何一卷第五〉
三边形之三角等，则三边亦等。
三角形之角有二类：一为直角三边形，一为斜角三边形。
直角三边形，形内止有一直角。
直角三边形之对直角边名弦，两腰名句股。
远西句股，俱各垂线互用之。

斜角形其角皆斜。
斜角形有二类：一曰锐角，一曰钝角。
钝角形止有一钝角。
锐角形三皆锐角。
三角形有二类：一曰平面上形，一曰球上形。
论平面上三角形〈凡十一条〉

平面上三角形有三种：一直线，一曲线，一杂线。大测所论皆直线也。
凡等角，两三边形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等。而对等角之边为相似边。〈几何六卷第四题〉凡两三角形其角两边之比例等，即两形为等角形。而对各相似边之角各等。〈几何六卷第五题〉
此二题为大测之根本，不用开方，直以比例得之。法至简，用至大也。

如左图甲乙丙、丁戊己两形，甲与丁，乙与戊，丙与己
图

皆等角，其旁各两腰之比例等者，十与六若五与三也。更之，则十与五若六与三也。反之，则六与十若三与五也。
凡两形中，各对相当等角之边皆相似之边。如甲丙对乙，丁己对戊。而乙戊为等角者，即甲丙丁己为相似之边也。
三角形之外角与相对之内两角并等。〈几何一卷之三十二〉如上甲乙丙形之乙甲两角并，与甲丙丁角等。三角形之三角并，等于两直角。
如上图丁己庚直角与乙角等，其甲丙二角并与丁
图

己戊角等。
平面上三角形止有一直角或一钝角，其馀二必皆锐角。
三边形内之第三角为前两角之馀角，何者。为前两角不满二直角故。
直角旁之两腰，其能与弦等。能等者谓两腰，上两方
图

形并与弦上方形等也。〈几何一卷之四七〉
此理之用为：先得二边以求第三边。如甲乙丙形先得甲乙、乙丙两边，而求第三边法：以甲乙三自之为九，乙丙四自之为十六，并得二十五，与甲丙之实等。开方得甲丙弦五。若先得
图

直角旁之一腰，如甲乙三，又得甲丙弦五，而求乙丙。则以甲丙自之得二十五，乙甲自之得九，相减之较十六，开方得乙丙四。直角形之两等边有数，则其弦无数，可推。若弦有数，则两等边无数，可推。如图甲乙、甲丙各三自之
图

各九，并之得十八。乙丙上实十八，开方得四，馀实二分之，或为八分之二或为九分之二。八分之二则大于真率，九分之二则小于真率。其乙丙真率无数可得更细分之，亦复不尽。直角三边形之两锐角，彼锐为此锐之馀。
图

如乙丙二锐角，丙为馀角，为三角并等二直角。此二锐应等一直角，乙一角不足一直角，故丙角为乙角与直角相减之较。
平边三角形在圈内，其各角之度数皆为其对弧度数之半。
如上甲乙丙形三边等分
图

圈为三，各弧俱一百二十度。本形之三角等二直角，并得一百八十。则对弧百二十度倍于对角六十度也。
平面两三角形在圈内，同底两形之顶相连成一四边形。此形内有两对角线，则此形相对之各两边，各
图

相偕为两直角，形并与两对角线相偕为直角形等。如上甲乙丙、甲丁丙两三角形在甲乙丁丙圈内，甲丙同底，其顶乙丁相连成甲乙丁丙四边形。形内有甲丁、乙丙两对角线，以此两线相偕为直角形。次以乙丁、甲丙两相对边以甲

乙、丁丙两相对边各相偕为直角形。题言后两形并与前一形等。
其用为：先得五线，以求第六线。〈多罗某之法〉
论球上三角形〈凡二十条〉

凡球上三角形，皆用大圈相交之角。
大测所用三角形之各弧，必小于大圈之半。
球大圈分球为两平，分离于两极，各九十度。
彼大圈过此大圈之极，此两圈必相交为直角。两大圈相交为直角，必彼大圈过此大圈之极。
图

如甲丙大圈，其极乙丁有乙戊丁己大圈过两极，其交处如戊，如己，各成四直角。
球上角之度，必从交引出为两弧，各九十度而遇一象限之弧，两遇处相去之度即此角之大。
如甲乙丙球上三角形，欲
图

知甲角之大为几何度分，不得用己庚弧为其尺度，必从甲引出至乙、至丙各为一象限之弧。而戊丁亦大圈之一象限弧也。丁戊弧与甲乙、甲丙相遇，即乙丙弧之大为甲角之大。球上角之两边引出之至相遇，即两弧俱成半圈，而
图

两对角必等。
如甲乙丙三角形，从两腰各引出之至丁，则甲丙丁、甲乙丁两弧皆成半圈，而甲与丁两角等。
球上三角形有相对彼三角形与同底，而对角等，即彼形之两腰为此形两腰之馀腰。
图

初腰不足一百八十度，故后腰为半圈之馀。
其彼此之同方，两角亦等。两直角而彼角为此角之馀角。
如上甲乙丙三角形与相对之乙丙丁同乙丙底，而甲乙两角等，即乙丁为甲乙之馀弧，丙丁为甲丙之
图

馀弧，丁乙丙角为甲乙丙之馀角。
为甲乙丙不足两直角故。
乙丙丁角为甲丙乙之馀角。
球上直角三边形，或有一直角，或二直角，或三俱直角。
图

球上三边形有一直角者，或有两锐角，或有两钝角，或一钝一锐角。
如上甲乙丙形，甲为直角，其乙丙为两锐角。乙丁丙形，丁为直角，其乙丙为两钝角。若丁戊己形则其戊为锐角，其己为钝角。甲戊己形则其戊为钝角；其己

为锐角。
球上直角三边形有两锐角，则其对直角之直角三边形有两钝角。
如前图，甲乙丙之甲直角与乙丁丙之丁直角相对者是。
球上直角三边形有两锐角，其三弧皆小于象限。如前图甲乙丙是。
球上直角三边形有两钝角，其两腰皆大于象限，而第三弧必小于象限。
图

如前图乙丁丙是。
球上直角三边形有一锐一钝角，其锐角之相对三角形亦有一直角、两锐角，如上图丁乙丙三边形，丙为直角，丁为锐角，乙为钝角，即丁锐角之相对乙丙戊形，其丙为直角。
与乙丙丁并等两直角，
图

其乙与戊为两锐角。球上三边形有多直角，其对直角之各弧皆为一象限。
如甲为直角，乙丙弧对之为一象限。馀二同。
此图为三直角，题言多者，以该二直角也。
球上三边形有二直角，若
图

第三为锐角，即对角之弧小于象限。若钝角，即对角之弧大于象限。
如上丁戊己形丁戊皆直角，己为锐角，即对己之丁戊弧小于象限。甲乙丙形甲丙皆直角，乙为钝角，则对角之甲丙弧大于象限。球上斜三角形有三类：或
图

俱锐角，或俱钝角，或杂锐钝角。
球上斜三角形俱锐角者，其相对三角形有两钝角，一锐角。
如上甲乙丙形三皆锐角，即相对丁乙丙形其乙丙为两钝角，丁为锐角。球上三边形俱钝角者，其
图

相对三角形有两锐角，一钝角。
如上甲乙丙形三皆钝角，即相对乙丙丁形其乙丙为两锐角，丁为钝角。球上三角形之三角并，大于两直角。
有二直角即大，何况一直一钝以上。
割圆篇第二
总论〈凡二十六条〉

三角形有六率：三角、三边是也。测三角形者，于六率中先得其三，而测其馀三也。
测三角形者，止测其线，非测其容。测或作推，或作解，下文通用。

测三角形必藉同比例法。〈亦曰三率法〉同比例者，四率同。比例先有三而求第四也。故三角形之六率，其比例欲定，其分数欲明。
三角形六率之比例，其中用弧者，最为难定。何者圆线与直线之比例，从古至今未有其法。故
三角形何以有弧。曰：球上三角形其三边皆弧也，其三角皆弧角也。即平面三角形，其可以直线测者，三边耳。欲测其角，非弧不得。而弧为圆，线无数可测。故测弧者，必求其与弧相当之直线。
与弧相当之直线者，割圆界而求其直线之分，与弧分相当者是也。
割圆之直线有四：一曰弦，一名通弦，二曰半弦，皆在
图

圆界内。三曰切线，在圆界外。四曰割线，在圆界之内外。
弦者，直线在圈内，从此点至彼点分圈为两分。凡弦皆，对两弧一上一下。如上图甲乙为弦，分甲丙乙丁圈为两分，甲丁乙为大分，甲丙乙为小分。则甲
图

乙弦上当甲丙乙小弧，下当甲丁乙大弧。
正弧者，从弧作垂线至全径上。
如上图从丁作甲乙之垂线，若从丁直至戊则为通弦，故丁丙为半弦。
半弦又有二种：有正弦，有倒弦。
图

正半弦是直线在半圈内，从弧作垂线至径上，分半圈为不等之两分，一大弧，一小弧。此半弦者，当小弧，亦当大弧。
当者，为小弧之半弦，亦为大弧之半弦。
如上图从己弧下至甲乙全径，上作己庚垂线，分甲

丙乙半圈为不等两分：乙己弧为小分，己丙甲弧为大分。则己庚为己乙小弧之半弦，又为己丙甲大弧之半弦。
正半弦从一点作两半弦。第一为前半弦，第二为后半弦。又为馀弧弦，又为较弦，又为差弦。
如前图先论，己庚即为前半弦，其己戊即为后半弦。又为馀为较者，乙己丙弧九十度。乙己不足九十度，则己丙为馀弧，亦为较弧。故己戊为馀弦较弦也。前后两半弦，其能等于半径。
图

如上图庚己为前弦当乙己弧，己戊为后弦当己丙馀弧。戊己弦等于丁庚。〈几何一卷三十四〉则丁己半径上方与庚己己戊上两方并等，故云两半弦之能等于半径。
论曰：其两半弦可互为垂线，则己庚丁为直角，而对
图

直角之弦己丁上方与句股上两方并等也。〈几何一卷四十七〉
系直角三边形内有半径，亦有一半弦，即可求后半弦。
法曰：半径上方形实减半弦上方形实，其较即后半弦上方形之实。开方得后
图

半弦。
如丙乙半径十，甲乙前半弦六，而有丙甲乙直角，今求丙甲后半弦。其法：丙乙自之为百，甲乙自之为三十六，相减馀六十四，即甲丙方之实平方法，开之得八。
两正弦之较与纪限左右
图

距等，弧之半弦等。〈六十度为纪限〉解曰：甲乙丙象限内有丙己小弧，丙己戊丁大弧，丙戊弧为六十度，而戊己戊丁两弧等其两半弦：一为己辛，一为丁庚。两半弦之较为丁癸。题言：丁癸较与己壬半弦壬丁半弦各等。论曰：试作一己子线，则丁

己子成三边等角形，何也。此形中有子丁壬、壬己子两三角形，此两角形等，又何也。子戊同腰而丁壬、壬己两腰等，则丁壬、己壬两直角亦等，而丁子、子己两底亦等，子丁己、子己丁两角亦等。又丙戊弧既六十度，其馀戊乙弧必三十度，其乙甲戊角为三十度角。甲乙庚丁既平行，甲戊线截二线于子，即内外角等。而丁子戊角亦三十度，戊子己角亦三十度，是丁子己为六十度角也。丁与己与全子三角既等，两直角〈一卷三十二〉则共为一百八十度。于中减全子角六十度，
图

则丁、己两角百二十度。而此两角既等，即各得六十度，则此形之三角三边俱等。夫丁己、巳子两线等，则己癸垂线所分之丁癸、子癸两直角亦等，而己癸同腰则丁癸与癸子必等。丁癸为丁子之半，丁壬为丁己之半，全线等则所分必

等。是丁癸与丁壬等，与壬己亦等。
系题两弧各有其正半弦，两半弦至弧之点在六十度之左右，而距度点等其前两正半弦之较，即后两半弦。
如前图，丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十度，丙己之正半弦己辛，简表先得七千六百六十。丙丁弧七十度，丁戊弧亦十度。丙丁弧之正半弦为丁庚，先得九千三百九十六，今求丁戊弧之半弦。其法：以己辛、丁庚两半弦相减得丁癸，较一千七百三十
图

六，即丁戌弧十度之丁壬半弦。〈此设数半径一万〉倒弦者，馀弦与全数之较，本名为矢。
如上图，甲丙径以乙丁正半弦，分径为二：分一为甲丁，一为丁丙。其丁丙即乙丁，正半弦之倒弦也。矢有二，有大有小。

如前图：甲丁为大矢，与甲乙弧相当。丁丙为小矢，与乙丙弧相当。
矢加于馀半弦即半径。
如前图，乙己为乙丁正弦之馀弦以加丁丙，即半径为乙己，与丁戊等故。
切线者，弧之外有线，为径一端之垂线，半径为底线而交于截弧之弦线。
弦线者，句股之弦，非弧矢之弦也。

如上图，戊丙弧乙丙为半径，从丙出垂线至丁，又从
图

乙出线截戊丙弧于戊，而与丁丙线交于丁。即丁丙为切线，而与戊丙弧相当也。
割线者，从心过弧之一端而交于切线。
如上图，乙戊丁线为割线，与戊丙弧相当也。故戊丙弧在三角形内。其句为半
图

径，其股为切线，其弦为割线，皆与戊丙弧相当之直线。
又戊丙一弧，其相当之直线有四：一丁丙切线，一乙丁割线，一戊己正半弦，一己丙矢。
定割圆之数当作割圆线，以立成表。
图

一名三角形表，一名度数表，今名大测表。
大测表不过一象限。
古用弦则须半周。
如上图用弦，则乙丙弧必得乙丙弦，乃至乙庚弧必得乙庚弦。故百八十度之弧，必得百八十度之弦也。因此术既繁且难，后从简
图

便。则以半弦当之为各半弦，可当上下两弧，故不过一象限而足也。
如上图辛壬半弦当乙壬小弧，亦当壬己甲大弧。庚己半弦当乙己小弧，亦当己甲大弧。且一象限之外无切线，而亦无割线，故用半圈之全不如象限之半

也。
大测表不止有各弧之各度数，亦有其各分数。
欲极详，亦可析分为十，为六也，但少用耳。

作大测表，先定半径为若干，分愈多愈细。
凡割圆四线，大抵皆不尽之数。无论全数不尽，即以畸零法命其分，亦不能尽。故大测表不得谓其不差。但所差甚少，不至半径全数中之一耳。
假如半径为千万，表中诸线中不至差千万分之一分。自一以内或半，或大，或少，不能无差而微乎微矣。故作表中半径必用极大之数，最少者，一万以上或至百万千万，或至万万可也。
七位即千万，八位即万万。

定半径之全数，即可求一象限内各弧各度分之半弦。以此半弦可求得其切线、割线。
凡半径用数少即差多。
如用千则差千之一，用万则差万之一。

用极大之数，即难推。
如用万万以上数，极繁矣。

今定为几何，则可曰：凡半径之数，其中之小分与半弧度分之小分大约相等，而上之即是中数。
假如欲测有分之弧，问半径应定几何。分曰一象限九十度，每度六十分，则一象限五千四百分。又古率圆与径之比例大略为二十二与七，则象限弧与半径之比例若十一与七。
如左图，周二十二四分之，则一象限为五又半。径七二分之，则三又半。此二比例有畸零之数，故各倍之为十一与七也。
图

今用同比例法：〈即三率法〉以象限十一为第一数，以半径七为第二数，以象限五千四百分为第三数，而求得第四数为三千四百三十六。故半径分为三千四百三十六，则半径之各分略相等于一象限之各分，五千四百也。故用大数最少，
图

一万为与五千相近。用此乃可推有分之弧也。欲推弧分之秒，亦用此法。其象限为三十二万四千秒。依三率法，十一与七若三十二万四千与二十○万六千一百八十二。其半径细分，与象限之分秒相等，而上之必用百万。
表原篇第三

表原者，作表之原本也。测圆无法，必以直线。直线与圆相准不差，又极易见者，独有六边一率而已。古云：径一围三是也，然此六弧之弦，非六弧之本数。自此以外，虽分至百千万亿，皆弦耳。故测弧必以弦，弦愈细数愈密，其法仍由六边之一准率始。自此又推得五率，此六率皆相准不差。但后五率其理难见，推求乃得是名。为六宗率其法：先定半径为若干数，〈今用一千万〉则作圈内六种多边形。〈俱见几何第四卷〉推此六形各等边之数得此六数，即为六通弦，各当其本弧。因以为作表原本。
宗率一　圈内六边等切形求边数

几何原本四卷十五题言六边等形在圈内者，其各边俱与半径等。半径既定为千万，即边亦千万。凡边皆弦也。圈分三百六十度，此各弦相当之弧各六十度，各与千万相当矣。相当者千万，即六十度弧之弦也。
如左，乙丙圈内有六边等形，其半径甲乙既定为千
图

万，即乙丙弦为六边形之一边，亦千万。而相当之乙丙弧六十度。
宗率二　内切圈直角方形求边数
几何四卷第六言：一线在圈内对一象限为方形边，其上方形等于两半径上方形并，〈几何一卷四七〉此句股法
图

也。故用两半径之实，并而开方而得本形边。
如上乙丙圈内方形，甲乙为半径。句股法：甲乙、甲丙上两方并，与乙丙上方等。即以之开方而得乙丙边，今两半径上方形并为二○、○○○○、○○○○、○○○○○。
此数为二百万万万。○旁作点者，万也。末○为单数。

以开方得其边一千四百一十四万二千一百九十六，此为乙丙弧之弦也。乙丙弧为四分圈之一九十度，则乙丙弧数为乙丙九十度弦相当之数。
宗率三　圈内三边等切形，求边数

几何十三卷十二题言三边等形内切圈，其各边上方形三倍于半径上方形。
丁乙方与丙丁、丙乙两方等，而四倍于丙丁形。则
图

丙乙为丁乙四之三，而三倍于丙丁。
如上图，乙丙圈甲乙为半径，乙丙上方三倍大于甲乙上方，即三因半径上方为三○、○○○○、○○○○、○○○○○。
此数为三百万万万有奇。
图

开方得一千七百三十二万○五○八弱。
宗率四　圈内十边等切形求边数
几何十三卷九题言：以比例分半径为自分，连比例线，其大分则十边等形之一边。
如上图，甲乙半径与戊己
图

等，用自分连比例法。
几何六卷三十称理分中末线
分为大小分。其大分为丁己，与十边形之乙丙边等。盖戊己线与己癸等，己癸线既两平分于庚，则戊己己庚线上两方并，与庚戊上方等。〈几何一卷四十七〉今以庚

戊上方开得庚戊线为一千一百一十八万○四百三十○。次减去己庚五百万馀六百一十八万○四百三十○，即丁己线，亦即乙丙弦。而乙丙弦为全圈十分之一，得三十六度，是乙丙为三十六度弧之弦。
宗率五　圈内五边等切形求边数

几何十三卷第十题言：圈内五边等切形，其一边上方形与六边等形、十边等形之各一边上方形并等也。
如左圈内，甲乙戊为五边等形，甲丙己为六边等形，
图

甲丁乙为十边等形。题言：甲丁、甲丙上两方并，与甲乙上方等者，前言甲丙半径为千万，甲丁线为六百一十八万○四百三十○，各自之，并得数开方，得甲乙线为一千一百七十五万五千七百○四弱。其弧五分全圈得七十二，即甲

乙为七十二度弧之弦。
宗率六　圈内十五边等切形，求边数。

几何四卷十六题言，圈内从一点作一三边等形，又作一五边等形。同以此点为其一角，从此角求两形相近之第一差弧，即十五边形之一边。
如左图，从甲点作甲乙丙三边形，甲丁戊五边形，求得两形相近之第一差为乙戊，即十五边等形之一边，乃丁乙全差之半。其数先有三边形之乙丙，一百二十度之弦为一千七百三十二万○五百○八弱。
图

又有五边形之戊子，七十二度之弦为一千一百七十五万五千七百○四弱。则乙庚六十度之正弦为乙丙之半，得八百六十六万○二百五十四弱。戊辛三十六度之正弦为戊子之半，得五百八十七万七千八百五十二。两相减馀

为乙癸，得二百七十八万二千四百○二。夫乙己半径上方减壬乙六十度之正弦，乙庚上方馀己庚。依开方法为五百万。己子半径上方，与己辛三十六度之正弦辛子上两方并等。依前法亦得己辛八百○九万○一百七十○。己辛、己庚两相减馀为庚辛，得三百○九万○一百七十○，庚辛即戊癸也。既得乙癸二百七十八万二千四百○二，今得戊癸三百○九万○一百七十○，用句股术求得乙戊弦为四百一十五万八千二百三十四，为十五边等形之一边。其乙戊弧为全圈十五分之一，得二十四，则乙戊为二十四度弧之相当弦。
六题总表

边　　　弧度　　　　　　弦数
三　　　一百二十　　　　一七三二○五○八四　　　九十　　　　　　一四一四二一九六五　　　七十二　　　　　一一七五五七○四六　　　六十
十　　　三十六　　　　　六一八○三四○十五　　二十四　　　　　四一五八二三四既得全数，今推半弧、〈即半角〉半弦。
弧度　　半弦
六十　　八六六○二五四
四十五　七○七一○九八
三十六　五八七七八五二
三十　　五○○○○○○
十八　　三○九○一七○
十二　　二○七九一一七〈以上原本卷一〉