钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第九十二卷目录

历法典第九十二卷

仪象部汇考十

皇清四

《灵台仪象志四》验气说
气者四元行之一，盖天之于地有上、中、下三域。上域近火，近火常热；下域近水土，水土常为太阳所射，故气煖也；中域上远于天，下远于地，故寒也。然则各域之界由何而分。今姑以极峻之山，画三界以喻之。山之巅为上域，风雨之所不至者也，故其气极清而人与物不可居焉。其下为中域，霜雪必尔凝结也。又其下则为下域，而其寒煖之分又有轻重厚薄之不同焉。若南北二极之下，因远太阳，则上下之煖处薄，中之寒处厚。若赤道之下，因近太阳，则上下之煖处厚，中之寒处薄。以是知气域之不齐也。
四元行之中，惟气行为最易变，以气在天地之间，上依星辰异照，下依土水异情。其星辰各有德性而资育万物者也。然各曜又因相会相对之势而变异其情，则其效遂因之而亦异。且气甚微甚顺，易受诸天之变诸效之染也。但其所为易变者，难以分别，而大概则自冷热乾湿而来。然能验其为然者，则全赖人触觉之官。盖人之五官所司，惟触司顽钝而不能显证其气细微之变。〈其触司所以能觉者，赖一身脉络所通之肌肤〉何以言之。如有外热攻伐吾身，而身内之本热与之相等，则触司必不之觉也。惟外来之热有过，不及于吾身之热，而人之触司方能辨其热之强弱也。故〈仁〉特造一器而藉视司，即五司之最灵者以补足触司之所不及焉。其器之属有三：一作法，一用法，一效验之所以。然所谓作法者，用琉璃器，如甲、乙、丙、丁置木板架，如〈一百九图〉上毬甲与下管乙丙丁相通，大小长短有一定之则，木架随管长短分三层，以象天地间元气之三域。下管之小半以地水平为准，其上大半两边各分十度，其所画之度分俱不均分，必须与天气寒热加减之势相应，故其度分离地平线上下远近若干，则其大小应加减亦若干。假如冬月在本球内之天气加厚，而其从前所占八寸之地自收敛而归于二寸之地。若五日内如皆八分之冷，则球内之气第一日加厚一寸，第二日不及一寸，第三日不过五分，第四、五日加至三分而不动矣，若六日内八分之冷气与此相同，而其加厚之寸分每日不同。盖冷热之验有所必然者，故候气之具自与之相应，而以冷热之度大小不平分相对之。至于用之法颇多，总归于一，即所谓辨冷热之分是也。冷热者，天地万变之所起，造化之功所由成也。今姑举其用之有四以验之：一测天气，一测地气，一测人物气，一测月星等之气。先以测天气言之，天之气昼夜无间而无不变易。在卯酉子午时，其气之升降不同，器内之水亦应之。如卯时太阳上地平，天气加热而升，午时气更热而更升，〈气升降之理有本论〉在乙庚管之水亦然。酉时太阳下地平，而天气降，子时更降，在管之水随之而归于地平。如明日较今日天气热冷若干，而在管之水因而升降亦若于。盖昼夜如此，而周年每节气日亦如此。是以冬气与春气，又春气与夏、秋等气彼此相比，因管之水升降度分若干可以推其冷热若干，又今年之节气于次年之节气彼此相比亦然。欲辨东西南北等风之气何如，则以此管对之，风热则水必升，风冷则水必降。捷如影响，毫不爽焉。又以测地气者言之，凡山谷房屋上下左右之地气，其清浊、轻重、乾湿诸理，即以冷热之分而大略可推焉。盖凡此诸气之理，或从冷热而生，或因他有而起，则冷热随之。元行之轻而且微，以其所染外气易入人物而熏染之。由是推知人物之智愚、强弱、病否诸理，皆感受于其各地之气而有所异焉。今欲辨其各地之气何如，则置此器于地内。少顷，视水之升降可以别其地气之冷热矣。又以测人物之气者言之，譬有两人于此，其齿同，欲分别其气质何如，则使之各
摩上球甲至刻之一二分，〈一分即六十秒定分秒之法有本论大约以脉一至可当一秒〉视水升降若干，则两人之气质分矣。医者用是法可定病之轻重、进退，亦可以别药材、花草等香味、力气，以定其性之温热、平冷，其用无穷也。又以测太阴、金、木等星之情气者言之，或曰天星之光下，照必同带热气。今欲辨之，则用此器而对太阴之光，则乙庚之水必退分数而向地平，若有他物遮隔其光，则水必上地平而归原数，故知太阴之光全属冷气。测金、木等星之情气皆仿此，但星光愈微，则所用测器必愈大矣。又以升降之所以然者言之。夫水之升降为热冷之效固矣。然其故何也。盖如上球甲一触外来热气，则内所含之气稀微舒放，奋力充塞，则球隘既无所容，又无隙漏可出，势必逼左管之水从地平而下至丁，右管之水从地平而上至戊矣。此热之理所必然也。若冷之理，则反是。盖冷气于凡所透之物收敛凝固。如本球甲一触外来之冷气，则内所含之气必收敛，左管之水欲实其虚，故不得不强之而上升矣。总之天下之物皆贯通联属，必相济而后能相保，此空虚之所以必欲其实也。今甲丁之气既被外冷而收敛，则原占之所较前必小。假如前占甲丁之所，而自收敛之后不过甲己耳。设丁丙水不上以至己，则己丁之管尽无气而空矣。然物性既不容空，则丁丙之水势不得不强升以补之。假使塞管之口而不使通外气，则甲丁内气为外冷所逼，势必收敛凝固，虽甲丁之器为铜铁所成，必自破裂而受外气以补盈其空阙矣。又自外来之气甚热，而内气必欲舒放，无隙可出，则甲丁既无所容，亦必自破裂而奋出矣。
测气燥湿之分
夫燥气之性，于凡物之所入，即收敛而固结之。湿气之性反是。欲察天气燥湿之变，而万物中惟鸟兽之筋皮显而易见，故借其筋弦以为测器。〈见一百九图〉法曰：用新造鹿筋，弦长约二尺，厚一分，以相称之斤两坠之，以通气之明架空中横收之，上截架内紧夹之，下截以长表穿之，表之下安地平盘，令表中心即筋弦垂线正对地平中心。本表以龙鱼之形为饰验。法曰：天气燥，则龙表左转，气湿则龙表右转。气之燥湿加减若干，则表左右转亦加减若干。其加减之度数，则于地平盘上之左右边明画之，而其器备矣。其地平盘上面界分左右，各画十度，而阔狭不等，为燥湿之数。左为燥气之界，右为湿气之界。其度各有阔狭者，盖天气收敛，其筋弦有松紧之分，故其度有大小以应之。譬如人用力紧纫一物，初用八分之力，其物可旋绕一周，再用八分之力物，绕不及一周。复再用八分之力，而物绕则仅半周矣。其用力同而旋绕不同，夫天气加减，燥湿之气收敛，筋弦之理亦有然者。凡欲分别东西南北各方之风气，或上、下、左、右各房屋之气燥湿何如，以此器验之，无不可也。夫气之有厚薄也，疏密也，轻重也。加减而递相为焉，何以明其然邪。今以气自然所在之地为七十分之一分而设言之。假如有气于此，其自然所在之地止能盈寸。若用法以强之，则此一寸之气能放而盈七十寸之地。又有气于此，其自然所在之地则盈七十寸。若用法以强之，而即揫敛于一寸之地。此诸气厚薄、轻重之力与诸测法也。其强之法与器详见水法之本论。
测天诸气之法于蒙气之差所系为最大。其差加减之于高度，则其所测之合天与否可定也。其测法并其差表具载日躔历指诸书中。但蒙气差细微之处极繁，不过数分秒耳。今姑举他体通广之差，并其测法差表以明其理而推广。夫仪器之用法，夫通广之体有二，一光明易为透彻，一难透彻，皆由本体各有厚薄之分。厚薄有加减，则其所通光之差亦因之而有加减。又凡其所差，以天顶线为主，其顶线则立于光所，初入之地，夫日月诸星之光，若从易通光之体而难入通光之体，则其所透之光必向顶线而凝聚矣。若从难通光之体而入易通光之体，则其所透之光必离顶线而涣散矣。〈见一百十三图〉假如丙丁为水盈之盘，于其底而置一钱，而钱所升之象与太阳之升光同一理也。其象交水盘之边而初入空明之气。若立顶线，如壬丙己，则明见其象，不依直线而射于乙，必更离于壬丙己顶线而偏射于辛，因从难透之水体入易透之气体故也。又试观空明之地，如辛有光，而以顶线壬丙己，从本盘之底己至立水面丙，立有直
表，而辛光之一道照至于丙点，其光道与表影不依直线而射戊地，必依曲线向壬丙己顶线而偏于甲，因从易透空明之气体入难透之水体故也。其测法用两象限仪，一在水面上，一正对于水面下，〈见一百十四图〉而以水中表影所射之度数对比于水外日高之度数。假如东西壬辛为半球空影，其东西全径于地平线平行，其壬东辛西两象限仪各平分九十度，两象限仪相对同穿于壬辛顶线轴上，而任意左右转移以对于太阳之高度，次半球形用水盈之地平东西之线令齐，而甲乙窥衡表对于太阳之高度，则半径辛乙表端之影水中所对射之度数为气水高下差之度数矣。若不用日光，则目依窥衡表，甲乙线水中所窥对之度数为气水差之度数也。今照比例法列为六等之表，以明三等体所通光之差，各体立气水等差。二表见于后篇，今约举数端以解之。
水差者，光既从空明之气而入透于水，则其水中所射之高度比在空明气之高度所差若干度分也。〈见一百四图〉假如太阳空明处距天顶线八十度，而其射光一道径过半径表端甲，若圆球形之器内无水，测其光道与表影，在圆器内依径线正射八十度矣。若充其水齐边，测其光道，止射五十度矣。因而通气通水之光道差三十度为其玻璃差者，则光〈或是物象同一理〉从空明之器透玻璃，离于径线近远之差也。见上气水差之图，而以丁线为直径线，以水盈之圆球形为玻璃球形也。凡玻璃望远、显微等镜，其所以发现物象近远、大小、暗明、正斜之众端，皆可从此差之理而明之，详见本论。
水气差者，则光或物象从水中升出而射空明之气，其所以射光之线，水内气内各离顶线近远不同之差也。假如射光之道，其在水内离顶线五十度，其在空明气内离本顶线六十五度，两差十五度，则此推表之度数准合于仪器之所测矣。试于大盂内照气水差表制界节气线日晷，盂中注水与表端齐，则太阳之光照表，其表影盂底正对于本日节气线，及时刻纤毫不爽也。若盂内无水，则表影与本节气线不对而大谬矣。其照界节气线日晷依常法，空明气中制之，则表端与本节气线难免有过、不及之差。今依气水差表制之，岂有表影与其所测之高度不相合者哉。
诸曜出入地平蒙气广度差表诸曜出入地平，必在蒙气之中，故其出入之广度有加分、有减分，北加而南减，多寡不等，依各地北极之高度多寡不等也。今依蒙气之高差最大者三十四分而推其出入广度之差分，悉照各方极之出地之高度，列表如左：
诸曜出入地平蒙缺气水等差表
气水差者，即光及物象从气入水而斜透水内高度之差也。所谓水气差者，即光从水入气而斜透，则气内高度之差也。气玻璃差及水玻璃差等俱仿此，皆以光离天顶之远近为主。假如太阳离天顶线四十度，气水差表内相对为三十度，其相差者乃十度。也水气差表内相对之度为五十一度，其差则十一度也。气玻璃差表内相对之度为二十五度，则所差为十五度也。其馀仿此。
图缺图缺论飞葭之无合于历。
如前验气之法，其微妙如此，且不可以测天上之节气分也。况葭管、飞灰其术莫验，又安所用之哉。故凡引钟律以为验节气法者，不过欲附会欺世而扰紊历法耳。天其可欺也哉。今约举四端以辨之。
一、春分之日，太阳正交赤道之日也。万国同是此日，故万国同日，皆可以测验。飞灰候气全系地气，地气有冷热、乾湿之不同，万国有不同之地气，无不一之春分也。
二、每年太阳一交赤道便为春分，则春分万年如一，永不改变。若地气至春分时，各国每年改变不同。设欲以地气测春分，则春分年年不同矣。
三、春分只有一日，春分前后几日，地气乾湿冷热大概相同，难以分别。况春分等节气只在本日一刻之间，本日自朝至暮，地气亦大概如一，又难以分别，何可就地气以测定春分在某日某时刻乎。
四、地气本乎地势，或傍山，或近江湖，常有变换，又有风雨云雾，皆能变易地气。春分之日，全凭太阳交赤道度，距地甚远，与地何涉。岂可以多变之地气测验不变之春分也。
测中域云高度之法
假如空际有云象，〈见一百十图〉其一端为甲，两人各用象限仪，一从乙处，一从丁处，〈从丙处更便〉测其高度，因于甲乙丁三角形内得其三角，并乙丁线之步数，故照法推知甲乙线。今以甲戊线为从云而下之垂线，甲乙戊三角形内既得甲乙线，而甲戊乙为直角，则依句股法之理推知甲戊线之步数，而可得云之高度矣。虹霓诸类之高度与云象诸测法皆仿此。其测彗孛新星等另有本论。若测雷起处距地近远等，则以测时刻分秒之垂球仪可推而知也。详见别集。
测空际异色并虹霓珥晕诸象
格物家论色之异有二，一真实，一幻妄。何谓真实。盖从寒、热、燥、湿四元行之情相交而生，然必杂体可见而纯体不可见也。何谓幻妄。盖从光照物体退返之势而生，虽易显著，亦易涣散。夫二者亦各分五等，正相反者有二：纯白、纯黑是也。又中等者有三：黄、红、青是也。由是五等彼此相交相变而各色生矣。〈见一百十一图〉姑以各色玻璃相交映之势言之，于一密室中，户牖皆闭，务令幽暗，或户或牖微开一隙，其大小与玻璃相称，而以通日光隙内置各色玻璃，用洁白纸对之。其日光透射玻璃，玻璃所映之色必映于纸上。如隙内并置玻璃两片，一黄色，一红色者，则纸上必现黄金之色矣。如并置两片，一黄一青者，则纸上必现绿色矣。如并置两片，一红一青者，则纸上必现紫色矣。馀仿此。若以铜圆柱镜对于通日光之隙，则周围返照之光而五彩虹霓之象俱显矣。至于各色明丽、深浅、浓淡之加减，则随其圆柱镜之光有斜正返照之势而生焉。盖圆柱镜返照之日光愈斜，则其所映之光愈昏，而其色之变异，遂去日之原光愈远矣。若夫真实之色别有阐发，今止就幻妄之色而论之。大凡有形象者，皆由质模作为四者而成诸异色也。其质者即空际之气也。气必稍厚而密，方可成色。其模者即光也，光道愈密，则各色必愈明丽矣。其作者即太阳与射光之星月也，其为者即六合品汇之全而万有之美也。其色之异者或由夫气质之厚薄，或由夫光辉之进退，或由夫空际之异势。盖凡光照，空际之体厚，则其
所生之色必深而黑；若体稍薄而湿，则其色必青；若又稍薄，则其色必红；若体薄甚，则其色青绿；若体精而稍厚，色则为黄矣。即日月星辰之异色，多为空际之所映射而致，正如火焰之异色由烟气熏灼而成耳。
夫空际彩色之异，从云气之厚薄而生，前论已悉之矣。今更借玻璃之五彩以明之。如三棱角玻璃，从每角起至对角面止，则玻璃之体渐次加厚。〈见一百十二图〉甲乙、戊己为三棱角玻璃分三等厚薄之界线，因而所见彩色约分三等焉。如香圆色、红花色、天青色是也。其馀诸色从此三色交映而生。盖太阳之光斜透玻璃必多混杂，其玻璃厚薄若干，则日光混杂亦若干，而其所现彩色浓淡即若干矣。如玻璃上层甲乙较他层更薄，日光易透，故其所映之光稍混，而彩色与原光相近，其所现之色浅淡，如香圆色是也，玻璃下层戊己较他层厚甚，日光难透，故其所映之光朦混，而彩色与原光相远，其所现之色深浓，如天青色是也；玻璃中层在厚薄之间，故人目透视之，日光其彩色乃在青黄之中，如红花色是也。然则日光之浓淡、昏明无不从玻璃之厚薄而生也。审此，则玻璃所现之彩色与虹霓之彩色其理固无异矣。又虹霓本然之妙及其所以然之，奇为众象首原。夫虹霓乃润云被日对照而成多色之弧也。盖云者，虹之质而云之润。乃所以必成其虹质之势也。一被日对照而虹乃由之以成矣。夫云非当其化雨，则不能生虹，而云非承日光则虹无由而成，又日光非正对则虹又无由而成。故虹之见也，必朝西而暮东，亦或东北也。曰：弧者，虹形之曲也。曰：多色者，别虹于诸色他弧、他象也。次曰：同时多虹可成。假如日当于午东西方，各有云气，日光照之，遂成虹矣。但因人目限于一方，止见其一而不能并见其他耳。假使一方而有二云，日光照之，其一正对者变虹矣而其回光照及相近之云又二变而为虹矣。又由此云所照之日光退传至于他云，又三变而为虹矣。若论其色之奇，三变不如其二变，二变不如其初变，盖初所变之虹则受日光之正照，而二变与三所变之虹不过受斜退之光已耳。虹色虽多，约分为三：上如香圆色也；中如青草色也；下如红花色也。然其所以不同之故，由于云之厚薄异势。故云之上白而且薄，接日之照则现黄色中之体，厚则现绿色，其下尤厚则现红色矣，至若云之厚薄之异，由于气之势异也。气之轻且薄者，腾愈高，接日光愈深，其回光愈弱，所生之色愈轻淡矣。气之浊且厚者，腾愈下，日光愈浅，其回光愈强，所生之色愈浓深矣。至言二变之虹，较之初变之虹，色虽同而序相反。上反为红中绿，自若而下者反黄矣。次曰：日、月、晕、虹、霓等象皆为圆形，其所以然者，乃由日光斜透之势耳。凡现虹霓之时皆太阳所映彩色。故碧落之云无不变现，但人目止见一圆弧之异色，因其斜透圆弧之光，道皆离太阳及离人目有一定之远近故耳。如鹁鸽之颈、孔雀之翎，向日空中虽发多色，人目旁见之，必有一定之近远，若或过、或不及，则异色俱不见矣。天文家常测得虹霓之半径为四十五度，日晕半径为二十二度半。如甲为日，乙为人目，丙丁为日晕，中心为庚，过中心之光道甲庚乙为日晕之轴也。太阳所透周围之光道各离日晕之中轴二十二度半，而此度数以内、以外之光道乙日皆不得见，其所映之彩色矣。月晕、日珥及日月旁气之象，其彩、其形皆仿此。凡此类，通光并生杂色之云气，比之取火之玻璃镜，如太阳之透玻璃镜，远近无不射其光，但其聚光、聚火之处，在圆光之中。离玻璃后面有一定之近远，人目所见云内彩色之处，亦在过不及之中耳。
凡从原光所生之彩色，皆为次光之类，比之原光，犹灯光之比日光焉。然灯光白日淡而不显，夜则大显五彩之光亦然。暗地则大显者，是各发其所以映之异色也。夫太阳在地平之上，终日照耀四方，无不斜透空际之云气，而映成多色矣。凡异色于白日不显，至晨昏倍觉分明，职此故耳。
测水法
水之周绕于地，同为圆形，已详于别集矣。〈并见全地图〉今略举测水平之器与其法而言之。夫水平，人人之所知也。然水平之理及测法之极致则取水平者，皆有所不知焉。如五六丈之远以取平，难见其谬。若至数十丈或数里之远，并其测
法俱穷矣。且测法之准与不准，所系为甚钜。盖
国家之大工如挑浚河渠为兴利防患计者，不越
乎此。夫水之通塞分于毫末之高庳，其说别详于引水法论。盖水平之与地平有异，所谓地平者，乃地上一线与过地中心之垂线为直角也。其线两端距地中心近远不同，而与地平无碍。〈见一百三图〉甲、丙、戊、丁为地水球甲乙线之两端，甲与乙去地中心戊近远不同，但其本线与垂线甲戊作直角，实为地平线也。所谓地平线者，必其两端去地中心近远无二。如上图内，辛壬线是也。今姑举数题以明其测法。
第一题：
测定两地同在水平线上下若干，法曰：取其平器安于两地互相距度数之中。〈见一百四图〉假如测戊、己两处同在戊己水平线中，否则取平仪安于丁，而从本仪左右之两端表窥测两处，从右表窥向左处，从左表窥向右处。若测戊、丁两处而仪器止安于一端，如丁则以丁戊线为水平线，而大误矣。若照此线引水从丁至戊，则其水必从戊向丁倒流矣。盖测定高法以垂线为主，而垂线以地平中心为定向，不拘何物之垂线在地面上若干，则其本物之为高低亦若干。今戊癸线为戊高之垂线，丁、戊两处所差之高度则戊癸线也。戊、丁两处互相距愈远，其差愈多。古有测山之高而每有所误者，多在于此。〈见一百五图〉乙、丙为高山在地面上，古用象限仪从远处戊测其高，以目所窥壬处为山顶，而以其在地平戊己线上之垂线，壬己为山之高。但山之高则以其向地中心之垂线乙丙丁为主，而以其在地面上乙丙垂线为本山之高，其测法在测量山岳之论内详之。今姑以测地近远法内所列测高远表，可推而定焉。夫定水平法原系细微之法，若仪之安法、或窥法有分秒之差，而以测高低则大谬矣。假如一处相距百步，而安取平仪、或窥法之误不过一分之数釐，而其水平线遂差至四五尺有馀也。若测两处高低之差，其两处相距倘不甚远，则于其适中处安仪而依法以测之即可，以取定其平矣。若相距甚远须于相距处均画数方，而于每方之居中安仪，测定左右各至之高低，然后将所测定各方左右两处之高低总归于一而相比之，则可以定其相距之高低矣。测大海、江河、泉井等水之深浅、轻重、咸淡若干，各有本法本器，另有本论详之。
垂线球仪
垂线球何昉乎。盖近今数十年以来，远西之历学名家特创新意，而曲尽其测验之法者也。故凡时刻之分秒纤微天行，毫末之差数靡不于时而可悉焉。不宁惟是举天下运动之疾，如空际之雷响诸类也，弓所发之矢也；铳所激之弹也；皆可以测而推之也。其器较诸仪为最简，而其为用则甚便云。
测法三题
第一题：测日月之全径。〈见一百十五图〉此题甚有系于推测历理盖凡定二曜之大小、及交食之分秒、地影之广狭，与太阳太阴距地之远近，四时并每月各有不同。以至日月与本天有最高、最卑之处，大约皆用加减表等算法而定也。今以垂线球可测而定之。法曰：安定三角形线，〈见一百十五图〉对天正南北之线，测候须以二人。如甲人测候至日月体之西弧，与南北三角形线及窥目相参直，次乙人放垂线而数其往来之秒至本曜之东弧与角线，并窥目相参直，彼时若本曜行赤道线，则以本表查时刻之分秒，而变通于天度之分秒，即得本径之分秒矣。若本曜杂于赤道之内外，则定其纬度与赤道平行圈相距之度分若干，而以本圈之分秒与相应赤道之分秒相对，则通变之以求其分秒，即得矣。见大小圈度相应表。
第二题：测天上不拘何两星，相距赤道经度之分秒。法曰：照前题测候，此两星与上三角形线相参直，而两中间凡有垂球往来之分秒，照前法变度数之分秒。凡二星密近，用他仪测候，难得其相距之分秒，用此垂线仪，则一仰观而即得矣。
第三题：凡重物陨坠所行之丈尺，并求其所须时刻之分秒，有再加之比例，其比例以不平分之数而明之，如一三五七九十一等。假如有重物于此自高坠下，若第一秒内下行一丈，则第二秒内行三丈，第三秒内行五丈，第五秒内行七丈，后行、前行相并，如第一秒之行一丈，第
二秒之行三丈，则并之为四丈，又第三秒之行五丈，并于第二秒之行四丈，则共得九丈。又有八寸之垂线球于此，其一往一来而相应则十微也。设有物之重八两者自高坠下，则五十微内下行一丈，其递加仿此，今依此比例之数列表如左：
八寸垂　　　　一一二二
线球〈单行〉五○五○五
相秒〈○一二三四〉
应微〈五四三二一○○○○○〉
〈重物分行丈数〉一三五七九
〈重物总行丈数〉一四九〈一二六五〉
不平分数一三五七九
用法
手握垂球，不急不缓，任意离之于顶线。〈见六十四图〉假如甲自甲至乙乃释手放之，则球之中心恒当天顶一圈线之中。自上下往来而离顶线，其左右则作圈线弧，如甲、乙、丙，而其圈之中心在于轴之中心，如戊。此圈弧短小如将尽时，即照前法，提球而放之，令往来一日相继以定时刻分秒之准则焉。但初放时其圈弧不可太过大，略在四十五度之内。又从而提之，不可等球往来全尽，如将尽，则又提球而放之，各有定规学者习而熟之，无所施而不可也。今约举数题以解之。
第一题：凡垂球一来一往之单行，其相应之时刻分秒皆相等，又凡垂球往来之双行，其相应之时刻分秒亦相等。所谓单行者即垂球之一往或一来也。假若从甲至乙为一往之单行，从乙至甲为一来之单行，从甲至乙并从乙回至甲即往来之双行也。解曰：若用测分秒之赤道大仪，或细微沙漏、水漏，或本人脉息之数，而对比之，夫垂球往来之数，必观其大弧之往来与小弧之往来，论时刻之分秒皆相等也。又大弧之往来疾，小弧之往来迟迟疾不同，而其所历时刻之秒大弧小弧皆相同也。又试依正南、北安定三角形线，而晴夜测候不拘为何星，而交切之，一交切则放垂球而数其往来至他星，正交之时，则记其数若干。〈两星相距愈远其测法愈准〉次夜又测候前两星交三角形线之时，又放球如前，而记其往来之数，此两夜中就其往来之弧大小各有不同，究之。次夜所记之数必与前一夜所记之数相同也。如法，三夜连测之，其从角宿交切本三角形线至大角星交切之，则两间球之往来皆至三千二百十二之数。盖莫准于此也。
第二题有两垂线球，除垂线长短不等，其馀相等，其短者之尺寸与长者之尺寸，如长者往来之方数比短者于相等时刻往来之方数。假如两垂线球甲、乙，甲球之垂线长一尺，乙球之垂线长二尺。试观甲球往来八十五次之时，则乙球必往来六十次耳。然六十之方数即三千六百与八十五之方数，即七千二百如一与二夫八十五之方数，虽本为七千二百二十五，而其与前方数有微差。原从垂线往来之总数而生，若论其细分即无差矣。盖垂线一往一来，各有细分。但难以分别之，又设若乙球之垂线长三尺，甲球之垂线仍一尺，则甲球六十次往来之时，乙球之往来必一百零四次。而其方数即一万○千八百十六与三千六百，约如三与一也。
第三题：有两垂线球甲、乙，除垂线长短不等，其馀相等，以甲球往来之数，求乙球往来之数。法曰：甲球往来之方数与其垂线长之尺寸分釐相乘，而所得之商数与乙球垂线长之尺寸分釐，归之，又归除之商数，依开方法，取其根。盖根数多寡若干，则乙球之往来多寡若干。第四题：以垂线球之往来，求相应之时刻分秒。
法曰：以其准定分秒之日晷法，如赤道大仪，
或以两星相距定分秒之度数，照前第一题交切南北线，求某垂线球往来之总数，相应天上分秒之总数几何。然后以三率法推定本球每一往一来相应之分秒几何。依此法曾制垂线球，推定其一往一来相应天上一秒，六十次往来正对一分，所以一刻内有九百往来，四刻内共三千六百往来之数。
第五题：以某垂线球相应之分秒，求他不拘大小垂球相应之分秒纤微等。法曰：照第三题用比例法，其一往一来相应三十微，其往来之
双行相应一秒，因而上第四题所定之垂球六十次往来之时，此垂球往来一百二十次，又更加细微亦曾另制小垂线球推，定其一往一来相应天上十微，所以六次往来对一秒，六十往来对十秒，三百六十往来对一分。若以之定自鸣钟，虽历二三月之久不调，其轮牌而分秒无差，待此器至中夏之时，自详言其用法。
第六题：凡求时刻之分秒，如无诸仪参测其细微，则随时随处而以本身之脉息可推而知也。盖人当气血平和之时，其一息大率应时刻分之一秒。如当测时，切脉而自数其息，则以其定秒推之，而以球之往来较之。假如球每一往一来为一秒，而其六十次之往来为一分，当彼六十次往来之时，若己之脉息亦至六十次。则每一息代秒用之，若有过不及之差则用比例法。假如球六十次往来之时数己之脉息至六十八次，则一次为比例之共率，因得三十四脉息，相应三十秒十七脉息，相应十五秒馀，仿此，盖六十八与三十四如六十与三十，又六十八与十七如六十与十五，同一比例之理也。第七题：拟天以下之疾行比，而推天以上之疾行。近今有测量名家；依前定秒微，诸法曾验。放小铳时，于三秒内其弹行一百八十二丈之远。设使此弹常飞行空中而不断，则必阅十一年零一百一十八日，而其所行不能尽太阳一日所行之度也。照此推算，则六十秒即一分内行三千六百四十丈之远，而六十分即四刻内行二十一万八千四百丈之远。若九十六刻即一日内行五百二十四万一千六百丈之远。今以丈数归之里数，凡一里既为二百一十六丈，则前所计丈数共为二万四千二百六十六里，一百四十丈也。然地球每一度为二百五十里算之，则天下周围共九万里，而铳之弹一日止行二万四千二百六十七里矣。若行至九万里之远，则必须三日零六十八刻有馀。历学公论曰：地球之全径其在于太阳，天之全径者。如一与一千一百四十二之比例，今周与周、如径与径之比例，则太阳天周围之里数包地周围之里数一千一百四十二倍也。若照前所拟，铳弹行空三日而不断，则必须四千二百三十三日即十一年零一百一十八日始行尽于太阳天一日内所行一周之里数矣。又恒星天全径与太阳天全径如十二与一，则恒星天一周包日天一周十二倍也。故夫铳弹以行尽太阳天之数，推之则必须一百三十九年零八十四日，始行尽于恒星一日所行之里数矣。然凡此天行之疾，则又有何所比拟哉。
作法假如；〈六十四图〉庚辛为铜横条，钉稳于横木梁上，令毫不动摇。壬丁戊己为粗铜耳。中安铜轴，而轴长径线丁戊须与地平线平行，轴中系垂线球，其球随本横轴转动恒，当甲丙过天顶一圈线之中往来而不离于左右，其轴之长径与垂球之径相等。以便自此轴中心至球之中心比测，而定垂线长短之尺寸，分釐其垂线为小圈相连之铜锁，其垂线之长短，其重之分两，又垂球之分两，皆须预知而准定，使毫不差失而器于是乎全已。