钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第九十卷目录

历法典第九十卷

仪象部汇考八

皇清二

《灵台仪象志二》新仪坚固之理
夫历之为学也，其理其法，必有先后之序，渐以及焉。故由易可以入难，而由小可以推大，未有略形器而可骤语，夫精微之理者也。如几何，原本诸书为历学万理之所从出，然其初要自一点、一线、一平面之解。及其至也，穷高极远，而天地莫能外焉。今之学历者，于凡发明器数之书，忽为平常而不屑寓目，辄希顿悟于要渺之途。譬之登高而不自卑，何由至也。即有自命博雅，以格物穷理为学，然而务大而遗小，务贵而略贱。夫道无往而不在，岂事物之大与贵者理在，而事物之小与贱者而理即不在乎。殊不知形上之理，不越乎形下之中也。今〈仁〉之著测天诸仪说也，不惟论其用法与。夫测天之细微，以及推诸天、诸星之奥义，其于制作法、轻重法、坚固法之众理，亦必详载而论列之。盖精粗、表里互发而益明也。夫欲仪制之坚固，不在乎尺寸之加广、铢两之加重，而徒以粗厚名也。大率在于仪径长短之尺寸，与仪体轻重之铢两，相称而适均，乃为得耳。盖仪之径愈长，则仪愈难承负，仪体既重，若又加铜以图坚固，则径反弱而自下垂。如赤道、黄道、经纬诸规两端悬于南北两极之轴，若铢两加倍，则东西两半太重，必自下垂而不合乎天上所当之平面圈矣。若竖立之，则上下两半又下垂，而圆圈又类卵形矣。其长圆之径表两端定处则中心太重，必自下垂而离南北之径线，又象限仪之横梁纪、限仪、六尺半径之干等，皆须与地平线平行而用权衡之，理依据于中心之一点。若过加铢两，则两端必下垂而不合于本圈之径线，造仪之难正在于此。而仪之准与否亦即在于此。今更取五金所以坚固之，理以明之，夫五金等材坚固之，力必从人之所推移而见，又必从压之以重物，而始见之。姑借方圆柱所承之力以类推焉。凡形之长者必有纵径、有横径，其纵径之力与横径不同。仪之中有方柱、圆柱、有长方，各梁柱有长远，表其中有竖立者，有与地平线平行者，有横斜用者，纵径、横径各有说焉。今先论纵径之力以定横径所承之力。西士嘉理勒之。法曰：观于金、银、铜、铁等垂线系起若干斤重，渐次加分两，至本线不能当而断。如金及银之垂线，其横径一釐，试加斤两至二十三斤而断。又同径之铜铁线，试加斤两至十八斤而断。因此法而推论曰：有金银立柱于此，其横径有六釐，必得八百二十七斤之分两；能当之铜、铁柱，必得六百四十七斤之分两；能当之有同径之乌木等材料之立柱，约得一百一十八斤之分两；能当之如十八图，盖凡两柱大小之比例为其两横径再加之比例，而其坚固之比例必与之相同。譬如有金线于此，其横径为一釐，若能当二十斤，则一分径之金线必能当二十斤矣。盖一釐之径与一分之径如一分之径与一寸之径，则一釐之径与一寸之径，如二十斤与二千斤同是。再加倍之比例，从此而推方圆等柱以其横径之所当分两若干。如十九图有方柱竖立为戊己，其纵径仅足拉断之斤两即辛。系在于己，又有方柱甲、乙、丙、丁于地平线平行，其大小于竖立之方柱戊己相同，其横径仅足拉断之斤两即壬，系在于丙。题曰：辛之斤两于壬之斤两如戊己柱之纵径于甲丙柱之横半径。盖丙丁线杠杆之类，其支矶在丁，其用力在丙，由此论之，试令本柱之横半径丙庚有其纵径甲乙四分之一，而辛之斤两为四千斤，则壬之斤两不过一千斤。而原柱依其横径必坠断矣。又有两长方之柱〈见二十图〉甲乙、丙丁，而甲乙之厚面及丙丁之宽面两面于地平线平行，与两柱之一端各有系于本力相称之斤两。如戊与己，若再加之斤两，则两柱必不能当而坠断矣。题曰：甲乙柱厚面
之横径于丙丁柱宽面之横径加倍之尺寸若干则戊之斤两于己之斤两加倍若干。解曰：甲乙柱厚面之横径与丙丁柱宽面之横径如五与一，因而若己之重一百斤，则戊之重五百斤矣。有两柱〈见二十一图〉甲乙丙丁、戊己庚壬，其长短等，其粗细不等，其粗柱之坚固与细柱之坚固有己壬之横径与乙丁之横径三加之比例。如乙丁有己壬三分之一，而细柱之坚固能当三千斤，则粗柱之坚固能当八万一千斤。因此而推圆柱之长应加若干之尺寸，以知其不能当本体之重，以知其横系于空中时，若钉此一端于壁，则彼一端自弱而重垂下，必横断矣。如甲乙柱〈见二十二图〉横悬于空中，其长径五尺于地平线平行，其本体之重有六百斤，若再加一千斤之重系在于丁，则圆柱坠断。今球应加若干尺寸以知其自垂而断之处，依本法之理以论之，若于本柱加一丈五尺，共得二丈，则本柱不能当本体之重自垂而横断矣。总而论之，甲乙柱之斤两与本柱之斤两并其所系于丁斤两之加倍。如五尺与二丈一尺七寸之比例今于二丈一尺七寸再加本柱之长五尺而三倍之，其积数共得八丈零一寸。若此数并五尺之数，中取中比例数，得二丈，即所求甲乙柱之尺寸矣。从圆或方柱之理可推他类。从五金之柱形可推他形。并材料又筋系麻等绳坚固之力，同一比例之理，以上总论，依勾股之理，方圆等柱坚固之理。今依勾股之弦，斜向之柱万变不同，其坚固与否，其自弱而垂下之势若干，皆照其斜向之势若干。欲明此理必，须先知方圆等柱，各依勾股各弦之斜向，加减本体之轻重若干，而后可也。详载举重学论内。
新仪轻重比例之法
夫仪之重轻，与其大小必有一定之比例。因其轻重可推而知其大小，又因其大小可推而知其轻重。凡为轻重者，必以其体形相等为主。两物体形相等者，彼此有轻重多寡之比，不相等者，其轻重无相比之定理。如有铜球于此，其径一尺，不可以为一定之轻重。若相等形之他球，如同径之铁球、木球，斯可以比之而定其轻重。盖铁球比铜球为轻，比木球为重也。轻重学有云：凡铜色之球如皆为铜或铁，等其轻重之比例为其全径三加之比例。如有两铜球甲与乙，〈见二十三图〉甲之径为二尺，乙之径为一尺，若甲球重三千零四十斤，则乙球之重必三百八十斤。因此比例法，从轻推重、从小推大，又从同色之类推大小之同类。譬如将黄蜡作球，从此蜡圈、蜡球之轻重可推金、银、铜等项之同径球之轻重。〈凡铸铜仪先用蜡作各仪之式样〉其法曰：造诸色同径之体，如球体、或立方体，权之得其轻重之差。以为比例之根率。如下表：纵横两行列诸色之体，名上边之横行，从最重起至最轻止，傍边之纵行从最轻起至最重止，纵横两行相遇之方位所得之数。即两同类异色之体，轻重之比例也。
图缺此表之用法有二：其一求两等大异色体之轻重差；其一求两异色等重体之大小差，两法从先所引轻重学之一题而生。若求两体轻重之差，则以其轻体者当一，或斤两等分。若球本体大小之差则以其重者当一。假如球蜡与铜轻重之差，蜡比铜轻则蜡当一，而蜡铜纵横两行相遇之方内书在九倍，又二十一分之九。分解曰：若蜡球有一斤重，则同径之铜球有九斤重。又一斤二十一分之九分。欲观水与水银之轻重差，则在卷内之十三分又七分之四分可考也。又如水之重约一斤，则水银相等有十三斤。又一斤七分之四，若仪器铜圈应厚一寸、宽二寸，其径该六尺长，求其铜之斤两。法曰：先作有一尺径蜡圈宽厚与铜大圈相等，因而照前表法求等大之铜圈，次从一尺之径圈，因而推六
尺之径圈。〈看新法测量全义第五卷然后看前表〉凡铜铸仪，其座架并方圆各形之柱、表梁等先无不用蜡，而作大小各式样，因可推其应作铜、铁元柱表梁等各轻重之斤两矣。凡此系前表之第一用法。今照第二用法，有铜、有蜡两球，轻重相等，求其大小之差。铜球必小当一，而铜、蜡纵横两行相遇之方内书在九又二十一分之九分。解曰：铜球之大与蜡球之大如一与九又二十一分之九分，则蜡球包含铜球之大约九倍半，其馀比例皆仿此。
新仪之重心，向地之中心
凡有重体之论，必以其重心为主。所谓重心者，即重物内之一点，而其上下左方两重彼此相等也。如〈二十六图〉甲乙体内，丙点是也。但每重体独有一重心，仪器则有本形之中心，亦有本体之重心，凡仪器中心必当天之中，即地之中心也。盖凡推算日月、五星、二十八宿等在天所行之度分，必以天之中心为主。从天之中心出线至天上各星，则定某星在本天大圈之某度分，乃从仪之小圈以测验之。而准其度分，必仪之小圈之度分与在天大圈之度分相应相合。然在天之大圈与仪之小圈之度分上下既一一相应相合。则在天之大圈与仪之小圈所向之中心必为一无二矣。今人用仪之时，虽在于地面之上，而离地之中心即天之中心约一万五千里。其从地面所测天上之度分即如从地中心测验之无二。盖地半径之差与天之最高、最远无比惟，月天略有可比之理。因有数分地半径之差而生也。夫仪之重心以地之中心亦为定向，盖凡重物之体，自上直下，必欲至地心而止者，是也。试观二十四图。甲为地球之中心，乙、丙、戊皆重物，各体皆直下向地心而方止。盖重性就下而地心，乃其本。所故耳。譬如磁石吸铁，铁性就石，不论石之在上、在下、在左、在右，而铁必就之者，其性使然也。何况地之中心、六合内最下之所物，离其中心不得为下，必为上也。此地道宁静而永不动之故也。盖凡谓下者必远于天而就地心。凡谓上者必就天而远于地心。而地一圜球悬于空际，居中无著常得安然，而四方土物皆降而就于地心之本所，东降欲就其心而遇西就者，不得不止，南降欲就其心而遇北就者，亦不得不止。凡物之欲就者皆然。故凡物相遇之际，皆能相冲、相逆，故凝结于地之中心，即不相及者，以欲就故。亦附丽不脱致令大地悬居空际也。如二十五图，丙为地中心，甲、乙两分各为之半球。甲东降就其心，乙西亦降就其心。两半球又各有本体之重心，如丁、如戊，甲东降必欲令本体之重心丁至丙中心，然后止。乙西降必欲其本体之重心戊至丙中心，然后止。故两半球相遇于丙中心，甲不令乙得东，乙不令甲得西，一冲一逆，势力均平，遂两不进亦两不能退。而悬居空际安然永奠矣。譬有一门于此，二人出入在外者，冲欲开之在内者，逆欲闭之，一冲一逆为力均平，门必不动。甲乙半球其理同也。至四方八面，一尘一土，莫不皆然。隤然下凝职此之由也。
诸仪座架之法
座架者，所以托载重体而免致于倾仆者也。座架之式有二：一直、一斜。皆以垂线分别垂线于座架为直角者，即直座也。为斜角者，即斜座也。凡座架以重径线为平稳之，则夫重径者，径过重心之垂线也。其周围、铢两、轻重、相均，兹姑举二题以见例。
第一题
凡物之重径在其直座架内，则其物必托载平稳而无倾仆也。
假如重物甲乙，〈见二十七图〉托于直座架丙丁，而重径为戊己，故重物甲乙自不倾仆矣。盖甲戊、戊乙轻重均平，因而甲壬小半比壬乙大半必轻矣，凡重径在直座之外，则重物未有不倾仆者。第二题
于重体或左右加减、或那移铢两，则其重心必那而改移，重心一移则重径必随之而移。犹人体及禽兽行动之势，可明而推之于他类也。人体当伫立之时，全托于两足。其两足所立之地愈大而宽，则其身体愈稳矣。人体与兽体之所为托载者，与仪之架座正同一理。故架座愈宽，则其所托之重物愈稳也。盖物重径如丙丁在架座之中，四方离座边愈远，则重物愈难仆矣。〈见二十八图〉夫人以至于兽，行动之时，其身体之重心，左右那离不断，则其重径亦因之那移而不
断。假如提起右足之时，其身体必偏于左，而独托于左足。故其重径丙丁径过左足。提起左足之时，其身体偏右，而独托于右足，设使人伫立时而提起右足，若不偏身于左，必不能立而仆矣。〈见二十九图〉又如人坐之时，〈见三十图〉其胸与股、其股与足，皆为直角。又若人欲起而立，必身体之直角形变为锐角之形，即胸并手那移向前，而足向后。〈见三十一图〉自令本体之轻重均分于重径丙丁之周围，若不变通，其力使之轻重适均，则如三十图之形，而人之身必不能立矣。又如人从地掀翻，不拘何物，其两足必分开一前一后。自令重径线丙丁径过本体之中。如飞禽之上跃斜坡，张翼而前下跃斜坡，敛翼而后，而重径线丙丁前后均平分本体之轻重，乃不致于身仆尔。〈见三十二图〉飞禽之颈长者，足必长也。当禽于空中飞翔之时，引颈而前若干，必伸足于后若干，而重径丙丁正在本体之中。〈见三十三图〉又如山坡所栽之树，未尝随斜坡之形而斜长，盖必依中径垂线丙丁竖立而长，〈见三十四图〉令其根、其干、其枝全依之而立，以免夫倾仆焉。故山坡之斜线甲乙比山底之平线丙乙虽长，其所容之树木、麦穗等必相等矣。夫物之生成者，依重径线之理如此，故能保其本体以免于偏仆也。则凡造成之物必法之，而以重心重径为座架也。固宜矣。
制仪之器与法
凡测天之仪必极其精良灵巧，以准合乎天行之细微而转动，以适于用则其事乃善已。是故制仪者欲善其事，则必备诸精妙之利器，而随其式变通以作之，以务合乎其宜焉。则制器之能事毕矣。今姑举其作法之次第，如左云：凡仪之大圈必依其大小之尺寸铸造，之后则以十字架粗木定其中心。而照第三十五图：以为立飞轮之形安于架上转动之，去其模而大约归于圆，其圈愈大而重既悬于中心之轴。则其转动愈易而且疾矣，盖重物之势使然耳。其次则置圈于别架之上，务与地面相平，而照圈圆形左右作榆木圈于弧内，安定刮刀约二十许，〈见三十六图〉刮刀架以重石紧压铜圈面上，用骡马之力以转动刮刀之轮而圈之，上下两面务为刮平。又骡马周围转动自行有大圈之路，以其大圈之半径与铜圈半径之比例若干，则知骡马用力于刮刀重压之斤两若干矣。又刮刀轮必须预备磨刀轮法。〈见三十七图〉其作法、其转动之势、并其所用力之比例与刮刀轮之理无二。但刮刀架之下安磨石，而上安压石于压石之上，又安自漏水筒以便于磨平之用。〈见三十八图〉如刮刀轮与平磨轮之功已毕，则铜圈内再定中心。此中心应定于钢片上，而钢片则稳。钉重大之木上而在铜圈之正中，〈见三十九图〉其木之两端不可抵于圈，须稍离一间，否则失其圆形矣。次用两螺旋转展缩其定规，〈见四十图〉甲、乙其前后两端螺柱之下定心，并画圈线之表，皆为钢尖表。一表定中心，一表循钢圈，周围内外过不及之中边，而内外划两界线之圈，此面已定，则又于本圈之下面亦划两界线圈，而与上面之圈正相对。若不正对则内外铜圈边必斜，其上下两面之圈及度数不出于一圈之同心。而以之测天，则大舛矣。故圜圈应竖立，而用上下对面线之比例。〈见四十一图〉下面之上定内外边界线与上下之界线正对，然后照前法，昼内外边之界线，次本圈又竖立，而用细齿之钢锯照内外之界线锯解其粗模，〈见四十二图〉又次用粗细各锉以锉圈之内外边为平圆，至内外界线而止。次本圈又横置与地面相平，而用极细之锉四面平磋之，令上下各相对之面平合于内细微之线。又次以细微之径线为准，则从两相对处紧合之，令其相交于圈之中心，〈见四十三图〉四面皆准，合于此，则本圈各两相对弧可代测天之表，而可准对于分秒之细微。至天体之球，则必旋之而后得圆，其旋之之法与他圈同。〈见四十四图〉诸圈类此，皆须于上下、横竖、反覆而经百手，则其工之大端得矣。乃于其四面上，依法划圈线、度数、分秒，然后诸圈榫对，令其中心相合归于一点，即天体之中心。而上下，左右各分秒总归于全仪之一心。〈见四十五图〉务令各圈四面相对之半径皆出于一球之中心，此作仪之难也。然而仪之合天之细微，亦即在此。如天球黄赤各仪安于子午圈、南北两轴，若其轴纤毫不对于子午圈之中心，则球必偏于东西。盖照子午圈正面于球面上下相对处画线而转球，令上变，下则上相对
时，下必有过不及之差。欲正之，必须那移南北之轴，子午圈向内、向外，以其过不及之差。若干为主。法曰：依此全差四分之一，而那轴则得其宜。其画圈度数、分秒等线之规矩，并取直、取平、取方，取圆等比例尺甚繁，一并绘图见于别卷中。
新仪运用，莫便于滑车
用滑车之法而运动仪器，其便有二：省人力，一也；仪器不致于损伤，二也。其省人力者何。盖凡人之起重必力与其重相等，如一百斤之重必须一百斤之力始足以当之。今法止用一轮之滑车，而力之半能起重之全，则五十斤之力能当一百斤之重。若用二轮之滑车，则是以力之四分之一而能当全重，即二十五斤之力能起百斤之重也。三四等轮之比例皆仿此。假如用一对滑车，又须用两绞架，而一近一远置之，其近者傍于所动之重物，而远者离于重物也。今论一对滑车，以定其加力之比例，则以近架为主。盖近架内小轮若干，则力必加倍若干也。但比例有二：其一平分者，以平分之数解之，如四六八等。其一不平分者，以不平分之数解之，如三五七等，依二法安定滑车，则各有不同矣。如依平分之比例安定倍力之滑车，〈见七十一图〉其所倍力之数若干平分，而以其数之半若干于近架内安定小轮若干，而其绳之一端则必系于远架。若依不平分之比例安定倍力之滑车于倍之数，减一而馀数之半，即为近架小轮之数。而其绳之一端则必系于近架也。〈见七十二图〉如上滑车近远两架通用一绳，而其一端止系于一处，其倍力之比例皆如此。若其小轮则每一轮各用别绳，而各绳之一端又各有安定之处，则其倍力之比例为更大焉。〈见七十三图〉假如重物在庚，滑车各绳定于甲、乙、丙、丁，人力在戊，则加十六倍。盖依滑车之力也。若人力在己，则与重物相等，在辛则加二倍，在壬则加辛之力二倍，己之力四倍，在癸则又加壬之力二倍，即己之力八倍。盖递加新轮，则递加倍力有如此，此滑车之轮法，假若倒用，而以重物之所在为人力之所在，则重物之斤两加倍若干，而起之速亦加倍若干。〈见七十四图〉假如用为水筒乙为人力，按此轮法，人手拉绳至五尺以下，则盈水之筒即起有四十尺之高，而手动五尺之时，水筒已去四丈之远，可知其速已。
其仪器不致于伤损者何。夫仪器愈广大，则用以测天愈精微，但其广大若干，而其重之斤两亦若干，若无法以运动之，则未有不崩坠而触损者矣。故纪限仪之大弧，象限仪之长大表等，运动之，皆用滑车之法。〈见七十五图〉盖滑车轮多近远，置以两架，用一绳以多绕而相连之，虽其重大而有垂压之势，然因其绳绕之纠缠，而势不能骤开，必有先后渐次焉。故仪器用滑车以绞动，设纵偶有脱手，其绳必不能骤开而致有崩坠触损之患矣。盖滑车之理，小轮两架绳，绳若干，则其用力加倍亦若干，又拉重者比其所拉之重行动之捷若干，则其力亦必加倍若干。故滑车之绳一端若系于近架，拉重则更加其力矣。
又用多轮之滑车一对，不如用单轮之滑车两对，其所倍之力更大。假如一对滑车，其近远两架各四轮，则共八轮，其力之加大为十倍。今有相对、相连之滑车，其近远两架各有二轮，则共八轮，与前同，则其力之加倍为二十五倍，与前大不同也。凡用滑车运动最重之物，必须绞架，所以倍加其力也。假有相连两对之滑车于此，各有四轮，而有人在丙用四十斤之力，则能动一千斤之重。若又添绞架，其绞柄于其绞柱之径如十与一，则以四十斤之力能动二万五千斤之重。故绞架与滑车互相为用也。若独用绞架则其所绕绞柱之一单绳，不足以当二万五千斤之重。若独用滑车则其诸绳虽足当乎重物，而其倍力之比例实不及矣。若用绞架连用滑车，则合力当之而有馀焉。又其所绕绞柱虽仍有一单绳，而此一绳则能当双绳相连，八绳之力也。凡此倍力之所以然，详见举重学内，兹不具载。
新仪用轮相连，以便运动。
天体纪限诸仪皆宜，用轮相连法以便运动之。盖天体仪之广大，重四千斤，其妙用在可对乎天下各省北极之高度。夫人之目虽不离于
京师观象台之一处，然究其可见者，则在各省之
天象，与在一处无异也。故特用大小轮法以便
运动，而对于各处、北极之高度。用此轮法则用四斤之力而能运四千斤之天体也。若纪限仪原为百游之仪，亦用此轮法以便对于天之正斜、左右、上下百游之方向。而转动之所为轻便者，在大小轮相连一定之比例，盖大轮之径比小轮之径尺寸有若干。〈见八十四图〉则即省转动之力有若干。如有轮架五对，每一对有大小两轮，同在一轴，每大轮与其小轮之比例如五与一。五对轮相连，大拨小，而同为五倍相连之比例。今推算其力，如有一孺子于此，止能用一斤之力，若用此轮法则能起二百九十八万五千九百八十四斤之重。曾照此法造小轮架，以为引重其长不及二尺，其阔深不及一尺，内有三等轮，与三轴彼此相通相拨。独用一丝绳以转动之，而拉重物胜于数十人之力焉。其所以然之故。则详见所论重学诸题。
新仪用螺旋转以便起动
诸仪中最有力者，螺旋转也。其作法之巧妙，与用法之广大，及其运动省力之理甚微。故新造之诸仪俱用之螺旋转。上端用绞柄开之、旋之、紧松之，其绞柄之尺寸比螺旋转之半径若干，则其省力亦若干。如新仪并座架共有四五千斤之重，今用一寸径之螺旋转，又加一尺之绞柄，则虽一孺子用数斤之力，而既能起动之。若照比例相连之法，用螺旋转彼此相拨之法，则用一斤之力者，而可以起数万斤之重也。盖此相拨之器具，一动而有无所不动之势。故其力为甚大也。其螺旋所以省力之故，则在句股形之弦与股一定之比例。〈见八十七图〉并详于举重学内，则其本论为甚明也。〈以上原本卷二〉
新仪安置之法，并摘罗经之误。
凡测天之仪，盖本乎历象自然之法，而造为精微之器者也。故仪与天合象之，规使安之而失其正，则仪必不合乎。天矣。不知者归咎于历法之不合天，或以为仪之不合于法，又因不知其舛错之处，而究其本源，妄意修改，反以良法为弊法目之，此历法之乱所由始也。夫安仪之法一，以四方向一，以北极高度，此为两大端。苟有纤毫之差，则仪不合于天矣。测定本极之高度详载日躔历指二卷。诸法中若定安仪之方向断乎。不可以罗经为主。盖罗经或偏东、或偏西，天下各省多寡不同，向正南、正北者绝少。京师偏东四度有馀，故京师内外，凡房舍坟地山向俱依罗经所定者。率多，有偏未有一向正南者，〈仁〉数载京华，凡所阅历安定日晷诸仪多，所测试每有南北之墙，四五丈内偏三尺馀者。夫观象台原属安诸仪，以测天定诸星、诸天象，正方向之所究之四面之方向，大谬也。〈仁〉于康熙十年以正法考之，其东西墙五丈内离正东西二尺有馀。古之管窥象纬者，何误一至此也。定正向之原所已谬，如此将何施而可哉。夫差之毫釐，谬以千里。今四五丈内有二三尺之差，则四五里内即有数丈之差。如九十一图：甲乙为旧台，东西墙，己丁为正东西线，两线引长至四五里远，愈远愈多，相离五里，既有数丈之差。则引长而至于天上、元地平圈线，岂不有数千里之差乎。〈凡定方向必以天上元地平线为主，而罗经之中心当元地平之中心。〉今罗经之所定既差至数千里如此，岂可用以定安仪之方向乎。
大地之方向并方向之所以然
凡定方向必以地球之方向为准。地球之方向定，则凡方向遂无不可定矣。夫地虚悬于天之中，备静专之德，本体凝固，而为万有方向之根底。一曰：天两极之向；一曰：天中心之向。所谓天两极之向者，即地球南北之极正对天上南北之极末远而不离者也。并无动之之理，即使地有偶然之变，因动而离于极则地亦必即自具转动之能，以复归于本极与元所向天上南北之两极焉。夫地球两极正对天上两极，振古如斯未之或变也。故天下万国，从古各有所测本地北极之高度，与今日所测者无异可知矣。所谓地自能转动以归向天上两极者，举三端之理以推之。其一：地所生之铁及土所成之旧砖等，其性禀受于地，故具能自转动向南、北两极之力。如烧红之铁以铜丝悬之空中，既复原冷，则两端自转而向南北两极。再如旧墙内生铁锈之砖等，照前法悬之空中亦然。假使地之本性无南北之向，何能使所生之物而自具转动向南北两极之理乎。其一：地之全体相为葆合。有脉络以联贯于其间，尝考天下万国名山及地内五金矿大石深矿，其南北陡袤面上明视，
每层之脉络皆从下至上，而向南北之两极焉。〈仁〉等从远西至中夏历九万里而遥，纵心流览，凡于濒海陡袤之高山，察其南北面之脉络，大概皆向南北两极。其中则另有脉络与本地所交地平线之斜角正合本地北极在地平上之斜角，五金石矿等地内深洞之脉络亦然。凡此脉络内多有吸铁石之气生。夫吸铁石之气者无他，即向南北两极之气也。夫吸铁石原为地内纯土之类，其本性之气与地之本性之气无异故耳。又稽夫讲五金，诸书皆以铁性为纯土之性，即五金中，铁之体为最近纯土之体。如铁之有锈也。原其所从生则亦类乎。土之渣滓，此可以推其理也。其馀四金之体皆为杂体，则离纯土之性更远矣。所谓纯土者，即四元行之一行，并无他行以杂之也。夫地上之浅土、杂土为日月诸星所照临，以为五谷、百果、草木、万汇化育之功，纯土则在地之至深，如山之中央，如石铁等矿是也。审此则铁及吸铁石并纯土同类，而其气皆为向南北两极之气自具各能转动本体之两极而正对。夫天上南北之两极此皆本乎地之脉络者，然也。夫地之两极原自正对夫天上南北之两极，犹之草木之脉络皆自达其气而上生焉。盖天下万物之体，莫不有其本性，则未有不顺本性之行以全乎。其为本体者也。又尝考天下万国堪舆诸书图五大洲，凡名山大川，皆互相绵亘至几千万里之遥，自南而北逶迤绣错，其列于地者，显而可见也。其内之脉络蝉联、索贯，即何殊乎。人身之脉络、骨节、纵横通贯而成其为全体也哉。
其一：天下各地，万物生长变化之功，皆原太阳及诸星，循四时之序照临而成也。在各国之地平、上下、高卑若干，因而刚柔、燥湿随之，而万物各得其所宜耳。今使地之两极不必其为向天上之两极，而离之或于上下、或于左右，则是天下万国必随之，而纷扰动摇将原在乎赤道之北者，忽易而为赤道之南，赤道之南者，忽易而为赤道之北近者，变远远者变近，夏之热忽变乎冬之寒，则四序颠倒，生长变化之功因之大乱，而万物灭绝矣。审乎此，则地之南、北两极恒向乎。天之两极亘万古而不移也。夫何惑焉。指南针之偏于东西而不合于南北之正向，夫指南针而谓可以定南北之真向者，鲜矣。以其或偏东、或偏西也，远西从数百年以来，知天文地理博学之名士，阅历遍于万国，迹之所至，必究心焉。是以知指南针之偏而记录各地之偏若干度分，所以定地之经度，而因以推知海洋之路〈仁〉等，西儒末学自远西接踵而至中华，盖由舫海曲折以历乎东西南北之境，约九万里而遥，每于日出入时，依本法测验指南针之偏，而较古人之所记录者，遂照大地之经纬度随地计指南针所偏之度分。今试举其所以然者，言之夫吸铁石一交切于铁针，则必将其本性之转动，而向于南北之力以传，之如火所炼之钱等物必传其本性之热焉。又凡铁针及吸铁石彼此必互相向，故即使有针向正南、正北者，而或左右、或上下，有他铁以感之，则针必离南北而偏东西向焉。今夫吸铁之经络自向南北二极而行，但未免少偏而恰合正南、正北者少，故各地所对之铁针未免随之而偏矣。试观水盘内照南北之各线，按定大小各吸铁石而于水面，各以铁针对之，则明见多针或偏西之与偏东若干。若照盘底内，其所对之吸铁石偏东西又若干矣。今绘大海之图以明之。〈吸铁之筋脉在水面下者比在水面上者，其气更全。以其为诸星照临之所不到，无有伤之故也。〉东西南北为地球，〈见九十二图〉甲乙丙丁绕地面之大海，从南至北抱大地之曲线者，即大地向南北吸铁之筋脉也。夫行海者所为定南北之针多偏东、偏西者，因其海底吸铁之经脉偏东西若干也。陆地之针亦然审乎。此则指南针多偏之故并其所以不可定南北之正向，明矣。
真正南北向之线
欲定南北之线，观日躔历指诸法可得矣。然欲精审乎所定之线，正合南北，使无毫发之差，则更有三法以详之。其一：用地平经纬仪于冬夏二至相近之日，将向所定南北线之东西近远相同者，各取若干度分，以太阳于午之前后，一交某经度分，测其高度，若午前后同为一高度分，则向所定之线正向南北无疑矣。若午前之高度多，则先所定南北之线未可以为准。而其向南之一端必改移于东矣。应移若干度分则详见后篇。其一：天晴时不拘何夜，照前所测太
阳之法，于南北线之东西，测定不拘何名星之高度，其南北之线应改与，否则以某星午前后之高度异同，照前法为定。其一：用定时刻分秒之垂球，见第四卷垂球仪用法第一题而晴夜测名星向东之高度，又从某一定之高度起，数垂球之分秒，至某星正对于向所定南北之线。又从星对南北之线起，数垂球之分秒至某星西方之高度与东方之高度相同。盖午前后分秒，若彼此相同，则向所定南北之线正矣，若午前分秒比午后多，则其所差刻数之分秒，应变赤道之分秒。而取其半以改南北之线，盖此一半之分秒若干，则南北之线应移于东分秒若干。若午后分秒多，则南北之线照上法应移于西，以上诸法，改移南北线或东、或西若干分秒，详见九十三图。庚午、戊子为应改南北之线，即子午圈也。子午为地平，戊为天顶，甲丁庚为赤道，癸为赤极，戊辛为高弧，壬为某星午前所测之高度，已为其午后之高度。今依三角形法，应推两角即戊癸壬角、并戊癸己角，戊壬癸形有壬癸弧，即星赤道纬之馀弧，有壬戊癸角即星地平经度角之馀角，有戊癸弧即北极高度之馀弧，故依法推知，戊癸壬角又戊己癸形有某星赤道纬度之馀弧，有己戊癸角，如前法，并戊己弧即星高度之馀弧，因而推知，己癸戌角两角之大减于小，而馀数平分随笔记之，次于原南北之线为心，而用窥仪东西作大圈之弧，两孤以对角线之法细分度数分秒，然后将上所笔记分秒而加于南北线之东西，以为原移改之界。盖若某星向所测，午前之高弧大，则从本圈之中心引线至东方界，若午后之高弧大，则引线至西方界，此以较定分界之线，而比正南北之线，则必合而无疑矣。
黄赤二仪安定之法
黄赤二仪安定之法略同。以东西、南北、地平三圈并北极之高度为定，先竖子午圈，而左右以六尺之垂线准之，使其两面正合，过天顶圈即以直角交地平也。〈以后凡说垂线者，必须细微铜丝用斤半重之垂球，四方之筒以避风，盖丝绢等线左右转动难以定准，见九十四图〉次照前法，依南北之线安定之，次于本圈之顶极安垂线，至其底极安垂球，用座架四角之螺旋转高下本圈，使其北极正对天上之北极，即使垂线正合于本圈之底极度。〈凡垂线于底极左右所切度分，应为本度分之半耳。因垂线之角，负圈之角故也。其理详见前章。〉次用赤道纬圈，〈若用黄道仪，则以过极之圈为赤道纬圈〉而午前、午后累测恒星赤道之纬度，盖使午前后两测之纬度分相同无差，则南北、东西诸圈正合于天而无差，明矣。
地平经纬仪并天体仪安定之法
历家欲精测天象之地平经纬度，则必分地平之经仪与纬仪，而两测之如使并测于一仪，恐未可以为准也。今先论夫安经仪之法，其要端有二：其一：地平圈必务合于天元地平线，而从本圈之中心所离之直线必须合于天元顶线，故仪之顶线置窥筒内，筒之外有垂线。〈见九十五图〉次四面之螺旋转柱上下、进退使垂线不倚，窥筒而四面，正合筒底所刻为准之记，其一地。平圈上南北之线必须合于天元地平上南北之线，其法与向所论真正南北向之线诸法无异。又可用赤道之仪以考测其差与否。盖冬夏二至相近，日太阳在巳位时，测其离正午往东若干，或度数分、或刻数分而于其时，又以地平圈表对之，并本圈上与其所对之度分记识之。又太阳在未位时，测其离正午往西与其在午前相同之度数分、或刻数分，而彼时又即以地平表对之，又记识之。次从午前所对设至午后两所，测相距之度数，以本地平之表平分之，此表平分之线为本地平圈上正南北之线。若依恒星为据，则不拘何夜候测名星在巳、申两位之时，与候测太阳同法同理也。
若夫地平纬仪即象限仪。其安法以天顶之垂线为定，盖象限仪背面有垂线球，其线必须与本仪之半径线正对，与本仪之立柱须常平行，故立柱下端四面有螺旋、转柱、进退、螺柱。〈见九十六图〉东、西、南、北务求垂线准合于背面之所记识，则安法得宜，而全仪合于天元顶圈矣。夫天体之安法以子午并地平两圈为定其法，以地平下所安之轮进退子午圈，或南、或北，使之齐北极高度，准合于本地应天之北极之高度。次地平圈上面以垂线为准，其定四面方向之法，大约似地平经仪之安法。若欲取天体之便而定之，则本仪上于某时刻太阳所躔之度分立直表，次用前所安赤道之经纬仪，而于本时刻测
太阳离正午，或东、或西、若干度分，并所值时刻转仪至先所立表，无射影处，〈见九十七图〉若仪上北极周围，所安时圈之刻分数，准合于赤道仪上刻分数，则本仪方向必正矣。若依恒星定方向，则照前法必须两人同测，一人用赤道圈表于某时刻，测某星相去午正，或东、或西若干刻分。一人用天体上时圈表于本时刻对齐于某星，若两圈上相去午正之刻分相同，则仪之方向又正矣。夫纪限能应天上东、西、南、北、正、斜诸圈，自无不定之方向，其安法以座架正竖立不偏为准也。
测地半径之法
地半径者，凡测天及诸星大小、近远之共度，盖地经纬度与天经纬度相应也。其测里数之法实繁。故另绣有东西二舆图剖浑天之半、以约定其经纬焉。玆姑举其一端如后：
假如乙丙为海水面，甲乙为高山，〈见九十八图〉在海边上求其高于海之水平面丈尺几何。先用象限仪而测定之，次又用象限仪从山顶甲窥水面尽处丙，则甲丙线切圆形于丙，而于地半径戊丙作甲丙戊直角，〈见几何原本第三卷第十八题〉次从乙引长切线交甲丙线于己，而同丁戊线相遇于丁，盖甲乙己三角形内己甲乙角系若干度分，从象限仪窥衡表明见之，而甲乙己角为直角，则依勾股法而推知甲己并乙己线丈尺几何。然丙己线与己乙线相等，则甲丙全线之丈尺可得而推也。又甲丙戊三角形内既得其三角并甲丙线之丈尺，则依勾股法，戊丙地半径之丈尺亦可得而推也。