钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第八十七卷

仪象部汇考五

《新法历书三》浑天仪说三依比例原法复解圆线三角形

圆线三角形中之比例，总归四原，因生四公论，以尽解或直或斜三角形之理。
一论曰：凡多直角三角形得锐角同近底线者，以较其弦及垂线之正弦，必皆互得比例。设后图于仪上，
图

甲乙丙丁为地平，戊为天顶。从戊过甲戊丙与庚戊己皆以直角交地平。彼为子午圈，此为高弧，乙辛丁当赤道圈，以直角交子午于辛，以斜角交地平于乙、于丁，盖多三角形中取二形，即丁辛丙及丁壬己乃二形，中有丁辛与丁壬为

弦线，辛丙与壬己为垂线，丁丙、丁己皆底线，锐角在丁。依常法以辛癸及壬寅两弦线之正弦与辛子及壬丑两垂线之正弦互相较，先得三线，其馀线俱可得矣。今用浑仪显之，试以二弦线及大形中之垂线求小形中之垂线，因而设丁辛得九十度为赤道一象限，丁壬为赤道四十二度之弧辛丙则其地平高得四十八度二十五分法移高弧在壬，下至地平得壬己弧为三十度○二分，或安高弧以三十馀度交赤道圈，即自限小形之弦可并得两弦线，欲求大形中之垂线，则辛丙必为子午圈上之弧，自地平至赤道高四十八度二十分，或以二垂线及大形中之弦线求小形中之弦线，各依前所定度，则自壬高弧交赤道处至本赤道交地平丁必得四十二度。
二论曰：凡多直角三角形得锐角同近底线者以较，其底线之正弦与弦弧之切线必皆互得比例。如前图三角形同，而大形底弧之正弦癸丙，其切线即卯丙，小形底弧之正弦己已，其切线为辰己，皆可反复相解。或求垂线，或底线，必以算乃得。今于浑仪上查
图

之，设赤道高同，前高弧交处亦同前度，必所得垂线亦不异前。若求丁己底线，即自赤道交地平至高弧切地平之处，得其弧为三十度五十馀分。因依常法，凡弦弧之正弦与垂线之正弦，得比例可互求，而底线之正弦较垂线之正弦

则否，何也。盖垂、底两弧之正弦，各圆线形内不能合成一直线三角形。故〈见前第一图〉用浑仪可免直线形，止须以圈相交处即得各弧之长短大小焉。
三论曰：凡圆线三角形，其线之正弦必与对角之正弦得正比。例如后图：设甲乙丙为直角三角形，直角在丙，馀皆锐角。各边引长为一象限至壬、至戊、至丁，自丁复引象限至子、至庚，因得乙丁己斜角三角形。今依常法，直角形内求甲丙边，即因先比之丙角与甲乙，或甲角与乙丙，推乙角与甲丙之比例，求乙角，
图

即因甲乙反比之丙角，或乙丙与甲角，亦算得甲丙与乙角。又求乙丙，应以甲角较推。如丙比甲乙同而反求甲角，应以乙丙边推，如甲乙比丙同。此反复用八线表推求法也。若用浑仪，即本图内子甲壬自当地平，必得天顶在丁，而子

丁壬为子午圈。设辛乙戊为赤道，丁乙丙为黄道或当高弧，则直角形中之三边各显于本图，各有定度可取。盖论角则丙角自显为直角，以丁子弧可徵。馀角皆以对弧得，则甲角以戊壬，乙角以辛癸是也。试于斜角三角形内，先求乙己边，必以丁对角推之。用乙与丁己，或己与丁乙之比例，求乙己等角，亦以对边求之，法必同前。但查表或疑其所求角应锐与否，
如查正弦九二七一八，应六十八度，并应一百二十二度。
必以取准图形为正，或用天球尤易明。盖设丁庚为
高弧，得丁角于丙庚地平弧。乙角在两道相交之处必对，则在过二至之圈弧。己角既为钝角，乃左右之边无以定其象限，必球上自顶顺高弧界线，而线交乙己弧之点移至顶，则球一面依先界线安高弧必尽于地平一面，赤道亦自至地平，彼此间地平弧即能量定己角矣。
四论曰：凡圆线三角形，两边各小于象限，先以两边弧自并，后又以小边并大边之馀弧，而即以此后总弧之正弦，或减先并总弧之馀弦，或加其过象限弧之正弦所得线半而用之，乃以求第三边，即前两边间角之矢与他线如全数，与前半线所复得线为后并弧之正弦，所减必馀第三边之馀弦，或为后并弧之正弦所加，亦馀第三边过象限弧之正弦。若反求角，则他线与角之矢如前半线与全数，而他线亦为后并弧之正弦。以内减第三边之馀弦，或加其过象限弧之正弦所生，因此三角形中之两边并较象限，或等、或小、或大，而各依之以推第三边。设角时直、时斜皆同，但推角。设边反异，盖两边并较象限相等或小，则设第三边必小于象限，独两边并大于象限，所设第三边亦能大于象限，故法虽同，临推种种略异。此等三角形，历家无所不用，虽加减法，若省然亦未免于烦。欲查浑仪，则捷若指掌，何也。以二边及间角求馀边，先设两边并与象限等，其一为四十七度，其一为四十三度，间角为五十度。试于仪上极高四十度即安高弧，令地平上依间角自南去东距子午圈五十度，自顶于高弧上查四十三度，亦自顶于子午圈馀四十七度，得其中黄道弧从娵訾宫一十四度至降娄宫一十七度，共为三十三度，即形内馀边也。复设两边并小于象限，如各为三十五度，间角与极高同前，得三边在中黄道弧，则自降娄宫九度至大梁宫六度，共为二十七度。又设两边并大于象限，如各为六十度，馀皆同前，得第三边在黄道弧自元枵宫二度至娵訾宫十五度，共为四十三度。若求角，即以先所得三边反查高弧及子午圈之间角，则所得三弧必生五十度之角。第原法凡得三边小于象限者，用其馀弦与后并弧之正弦相减。大即以其大弧之正弦相加，乃仪上亦无二法。如黄道自元枵宫一十八度至实沈宫初度，共一百零二度为第三边，其对角当在高弧及子午圈相距之地平上，得一百一十度，此则抱角之二弧并必大于象限也。今试以公论，用仪解日食内所算三角形，则凡直角形归一种，斜角形又归一种，共列二等如左。
求时圈与地平交角

时圈与赤道经圈及过赤极圈皆一，而独以其所用有分别焉。设太阳居正午，其过时圈至地平正交必为直角。若午前后，因斜交地平，得角亦斜，且大小不一。复设太阳在正东，距正子午圈共六小时，则过时圈至北极得九十度，其交角大小与极高度同。使交角在正午及正东西间，即以高弧求其大小法，从交点各圈上正去九十度安高弧，〈地平上算〉必本弧上从地平至交时圈间度为时圈交地平角也。假如太阳躔降娄宫初度，设时为辰正二刻。先将午正与本躔度并居子午圈下，后转仪，令辰正二刻正切子午圈，乃本时圈交地平，从正东起南去四十度以之安高弧，又距本度满一象限，则又在正北之四十度，以此度复安高弧，从地平上数起，得交时圈五十三度为时圈交地平角也。
求地平与黄道交角

法用高弧过黄平象限，下至地平，即因高弧为大圈。以所正对交角之弧能量其大小，则必自地平至其交黄道点，乃得黄道交地平角也。假如北极高四十度，设实沈宫初度居地平，东出得平象限偏子午圈之东，以高弧从此点过至地平，约得三十四度一十○分为地平及黄道二圈之交角。盖黄道因半周恒在地平上，而平分左右各得九十度，独冬、夏二至此限正合子午圈，外此则限每偏东或西，所以查交角，用高弧，不能用子午圈也。
求黄平象限距子午圈为三角形之弧

黄道随宗动左旋其交子午圈也，时高时庳，因而两象限之中点距天顶亦时近时远，且以斜升斜入故，则九十度限大半偏东或西，乃从冬至迄夏至，限常在东；从夏至迄冬至，限常在西，即从而得限及子午圈中之弧也。今依法加高弧，使之过其限，必以直角相交，其角左右之弧一在高弧，一在黄道，而相对之底弧在子午圈，则三弧共为直角三角形也明矣。本形内各弧亦能自显度分，乃限距天顶，又距子午圈等度皆见于弧。若更求高弧距子午圈中黄道之对角，必应查于地平，即以高弧距子午圈之中弧量之乃得，且本弧大小正与黄道出没之广弧等。如北极高四十度，设大梁宫初度为平象限，因偏东十四度以安高弧，得其至地平切子午圈东二十七度，即象限偏子午圈对角之弧，与黄道自正东去北之出，正西去南之人等，而高弧自顶至交限点则三十度也。
求子午圈及黄道交角

凡黄道以冬、夏二至交子午圈成角者，必为四直角。因子午圈当过黄极并二至圈，此间必正相交故也。使以春、秋二分交，即为斜角，得对弧正与两道最相距之馀弧等。从此距分渐远，交角亦渐易。必自冬至至夏至交得锐角，向东北或西南，自夏至至冬至亦交得锐角，向西北或东南，法以黄道度正合子午圈，定住移交点至天顶，从此至地平两圈各成象限，则其间地平弧能量交角之度。如大梁宫初度交合子午圈七十九度，〈从北极算〉必移其七十九度在顶与本宫初度相交。其二弧至地平间，必抱七十度，东北与西南皆等。又设鹑火宫以十五度相交，因在子午圈七十四度，移本度居顶得二圈，至地平中弧必为七十二度，西北与东南皆等。
求高弧与黄道各度之交角

先依黄道距午正前后度，以赤经圈交黄道角，或加或减于高弧交经圈之角，乃得高弧与黄道或正或馀〈形内外是〉之交角。此原法也。今用浑仪可免加减径安高弧交黄道于其距正午度，即依前法，界线随移本度至顶，复依线安高弧，必得角于对地平弧矣。如北极高四十度，设大梁宫初度距午正六十四度，〈东西无异〉使高弧交其躔度，因得界线后起大梁初度居顶，依线复安高弧，即得所指地平五十八度为高弧交黄道角也。或不必转仪，而独移高弧于地平对度，用规
图

器于高弧及黄道弧距前交点九十度之界量其二弧相距，则地平上亦得五十八度。如上图甲为天顶丙戊黄道弧，甲丁为子午圈，平象限距其东设在乙，日食在戊或丙。依前第三及第四题公论，以二曜躔度丙及定朔时，先得丙丁
图

黄道弧，必使丁居正午，以高弧过丙，为甲丙丁斜角三角形内求甲丙弧〈二曜地平高之馀弧〉及丙交角。盖以甲丙查得太阴高庳差，〈丙己是〉丙角为小形内交角，等因并得所馀己角，〈壬自为直角〉而以之推丙壬时差及壬己气差故也。或依第一及第二

题公论，以先得黄道交子午圈丁点，于仪上并得平象限相距之乙丁弧，即安高弧过乙限，先得甲丁乙直角三角形内查甲乙本限距顶之弧，而更使高弧过丙躔度，乃复得甲乙丙直再三角形内求甲丙弧及丙角，皆依前法，因解丙己壬小形以求视差，其法尤省。
依浑仪制日晷法

太阳左旋以定昼夜十二时，〈二十四小时〉则常依赤道三度四十五分为一刻，每十五度为一小时，故诸圈以二十四平分之。而每分又以四平分之，乃得时盘必周分，各与赤道皆等之度相应。令之竖立与赤道高下等，而中依直角安表，则表景所射即能定时，而赤道晷所繇起也。今不必恒以竖立合赤道圈，或正立面向南比为立晷，或正倒面向天顶为地平晷，或复正立面东西正向为子午晷，或又正立面偏正南左右，或不正立面偏地平，各以所向天上之圈得名，而各以其面承接日光。故立表或正或斜不一，即表射景远近与面分时刻广狭亦不得一，虽太阳左旋同诸时刻，平行同而线，则实繇景得射景既异，相距之线安得不异。此诸晷公有日平行之原而私，则各有所异，总于本仪可得而明矣。
求诸晷方位法

日晷之制，原以度数考求，而度数必有相应之定处，则又在取准方位焉。故凡平面日晷所向方位多变，大约相较有二原，或较地平，即与之为平行，有正立有曲立，种种不同，皆应度数不等；或较子午圈亦与之为平行，乃有偏左偏右，而多寡复以间度为则者，
图

又或有偏于地平，偏于子午，兼地平子午而别为一种，总不外此二原，乃复得一方位者，必先置木或铜，取四方直角平面形为甲、乙、丙、丁，依其长边面内作戊己线与甲乙为平行线，应平分于壬，即以壬为心，以辛为界，作己辛戊半圈，
乃平分一百八十度也。从中线壬辛左右各一象限，
而另设垂线于壬，则定方位之器全矣。临用时，如求地平方位，即令此器以丙丁边倚晷面正立，得垂线合壬辛中线者，即得其面正与地平同。若垂线偏距中线左右，则必查象限得晷面前后离地平若干度，以垂线依象限辛点之前后度为法，或令甲丙边依直角倚晷面，得垂线正合壬辛线者，即其面正立在地平。若得垂线距辛点内外，则依其距度于象限上亦可得晷面偏前后之广。欲求距子午圈方位，即令甲乙边以直角倚晷面，从此器中心壬出尺能旋转于半圈诸度，尺末设指南针，其上随尺同转，乃先安器后转尺，而以罗针对下顺尺线者为准，随以尺距中线之度定晷面距子午圈之广。但罗针未免略差，故又一法，晷面上界线自上一直下于线上立表，表末另悬垂线，候日光射垂线之景，必合晷面上线乃准。且将浑仪依法测得日轮高度，而以太阳躔度对高弧，则高弧所指地平度或正东西、或偏左右，因偏若干亦可定晷面离正南北之广也。其求重复方位，各依所向可得，乃向地平，如前向子午，别有法，于晷面立二表，任意相距，表锐各设垂线，距面皆等。候日轮出，视其二线准对，即于仪上测其地平高，以与高弧正合，而地平经度可得，子午圈方位亦定矣。
制正球日晷

凡日晷之表等，虽北极出地不等，得各时线相距等者谓之正球晷。此其制原易，可不须球，然舍球又无以明其理也。如赤道晷因诸时圈与赤道交，其相距皆于球心相切。设以本仪之枢当表，其射景必顺时
图

圈行赤道，使各依极安仪，而表之长短同，则时圈在赤道上相距之度亦同。或论赤极晷，因其面正合卯酉时圈，设本面距仪心任表长短等，而诸时圈与中心相切，从心过晷面相距不等，则正午线合仪枢可当仪面中线，而馀线左右

相距渐远，皆平行。如右图：以长方形为晷面，其丙丁横线者即赤道与之相切线，其甲午正南北线者，即合仪枢从赤道顶过时圈所为线也。立圈者乃赤道周平分以指诸时圈相交之点者也。盖时圈必皆切表顶，〈当地心是〉而后开之使过至丙丁线上为时线所居之界，故本晷诸线交心在面外，而以表顶为心，彼此相距皆平行。今设表长短同，虽极高，多寡不同其线，则二晷相距无异。又设甲午线依天枢斜竖，令晷面偏东或西，则午时线不能定在面之中，必依面所偏多寡而晷面亦移，左右不等，至其面向正东正西，乃以中线为卯正、酉正，馀线渐远，惟午时线不入晷面，而丙丁线则尚为赤道所切，虽时线皆平行，乃晷则应以一面斜起，庶合赤道高度，而得中所横线，其高低度与之等也。
制斜球正日晷

凡日晷之表等，因北极出地不等，得各时线相距亦不等者，谓之斜球晷。其制法原不一，今用浑仪列简法如左。
如制地平晷，先起仪，依本北极高，乃令过极圈正合子午圈，而子午圈之左或右，每于赤道上查十五度移居子午圈下，即识过极圈交地平正南北度，复于赤道上查十五度，如前移居子午圈下，又得过极圈交地平度，以此递查递移必至尽，过极圈交地平度之界而止，则诸时线在晷面相距之广全得焉。盖晷面上先作两直线，以直角相交，其一为子午线，其一为卯酉线，而以交点为心任意大小作虚圈，或用比例尺，或依本圈预分度取仪上地平所识度为法。〈自卯酉线至子午线或反之以应仪上所识度为准〉从心出线过此者皆平晷时线也。如北极高四十度以过春分经圈，居子午圈下，必在地平之正南北，初度为午正，移之去东十五度〈依赤道度〉得经圈，东交地平十度〈距子午圈算〉为午初，移之去西十五度得经圈，西交地平亦十度为未初，〈距午前后等时恒得距度等〉巳正及未正约得二十度半，巳初及申初约得三十三度，辰正、申正得四十八度，辰初、酉初得六十七度半，至卯正、酉正则各满九十度，而卯酉外与前距时等，必皆得度等。若求刻线，亦依赤道上三度四十五分为一刻，如前法递查之安表，使之出晷心，向午正距晷面渐远，以北极出地度为则，必悬子午线上，以正合本地天枢是也。
若正南北立晷，亦用仪上赤道求距度，渐移至子午圈，法同前，其所异惟在交度，盖高弧与过极圈相遇处为交度，而高弧则定居东西或卯正、酉正，苟不用高弧，惟以极高所馀度求之。如北极高四十度，依其地制立晷，必使仪北极出地平上五十度，如前法定时线，盖五十度即极高四十度之馀度，其安表渐距晷面正下，以至本地赤道高为止，此晷自卯正至酉正独十二小时，向南而卯前酉后之时面皆向北，其表渐距晷面与前同，从上反求得正矣。
制斜球单偏日晷

若不正立，面向南北制法略与正立同，但用高弧必依其偏容有异。盖向南面偏北者，必查偏度于子午圈，从仪顶去北即此安高弧，面向南者，则偏度，宜求于顶之南，以此界出高弧，其向北晷面偏南者，即依偏度于顶南求界，或面反偏北，尤宜于顶北求界，总之偏度多寡及所向方位，皆应查于子午圈距顶南或北之处以安高弧，而高弧下至地平恒在正东正西之点，表位必在正午时，线从晷心渐距其面，与高弧上距北极等。
若不正，立面偏正东、正西，法用立象半圈先于高弧上取偏度，如设面向东而偏西三十度，令高弧自顶下至正西量三十度为限，即安半圈于其限以当地平，必识其与极圈相交之点为各时线之距。如北极高四十度，安高弧及半圈如前，将时盘与夏至圈对试于太阳出时，必得春分经圈。北交半圈十六度，卯初交十二度渐过，以南交二十六度，后七十等度至未正一刻馀，太阳过半圈，西晷面无景。其本晷表位偏午正线，左右距晷面较地平面高不等，求其位法，使经圈与立象半圈以直角相交，即因经圈自交点至极中弧得表之高，半圈自交点至交北地平得表位与午正线相距之远，如依前极高等数，则表距三十八度，高二十二度。
若正立面偏东或西，制法亦与正向南北立晷同，独高弧下至地平不得定在正东、正西之处，必依晷面偏度因之距东西等。如面向南偏西三十度，即高弧距正西亦北去三十度，面偏东必高弧距正西之南向北面偏东西皆仿此。但偏晷所得高弧度午前后必异，时刻多寡不等。试令北极高四十度，晷面向南偏西三十度。先以高弧北距正西三十度，转经圈西十五度，〈赤道上取或用时亦同〉得其交高弧点距顶十二度为未初，乃自正午相距线也。又渐转仪，每十五度为限，得午后时刻各依交度不同之广。未正交二十三度，申初交三十三度半，申正交四十四度，酉初交五十五度，酉正交六十九度，戌初交八十七度。复移高弧在东，距正东之南亦三十度。随转过极圈东十五度，得午初交高弧九度，巳正交二十九度，巳初交四十八度，辰正交七十度，辰初则交地平。虽夏日最长亦不能全见午前半昼景。安表必先查其偏东西若干，距晷面多寡。法令高弧至地平，居本晷偏度限，〈晷面偏东，用高弧于东地平，偏西用高弧于西。〉乃转仪，使过极圈，距子午圈与偏度等，必得以直角交高弧，则自顶至交点于高弧上，得表在晷面上垂线之度。自极至交点于经圈上，得表距晷面之度。假如前设偏西三十度之晷将高弧下至西地平，北距正西三十度，过极圈亦应于北地平，距子午圈三十度，得其与高弧以直角相交，则自交点至北极中约四十二度，为表出心渐距晷面之高。复自交点至顶约三十度，为表渐距中垂线之广。此立晷之面南偏西，用高弧及经圈之法与面北偏东，而面南偏东与面北偏西者亦同。但表末于面南晷以向南极为正，而面北晷反应向北极也。
制斜球重偏日晷

若不正立面向南北，复偏东西则较本晷面与地平面或偏向、或偏离为交角时，锐时钝之异。故依偏容分别其晷为二种。先论锐角向地平者，法查本晷所偏东西度，于其本向地平，或晷向西南、东南，必从子午圈南交地平，起其所止限为高弧。当至之处则自顶，依高弧求晷面偏地平度，即以合度处于球上作识，复自高弧交地平处去北九十度为限，因之以安高弧移居顶。而过前所识处即于高弧上得诸时线相距之度。则因交前所识及子午圈间弧为晷面，中垂线距正午线之广也。次转球过极圈以十五度为交高弧之界，与前法同。得午前或后依面向东、或西各时线之距而馀，方则移高弧于正对地平度，转球使极圈渐交高弧，各时俱可定矣。若以钝角向地平法，反查偏东西度于本晷，所向正对地平或晷向西南、东南，则从子午圈北交地平起，所止限亦为高弧当至之处。乃于球上作识，依之求时线相距，皆与前同。独高弧宜去南九十度，以定复安之限，虽高弧不能过球，上所识并至子午圈，惟令立象半圈过正相对地平，而左右转球，则午前后时线度，半圈上可得。假如北极高四十度，晷面偏西距正南三十度，向地平偏二十度，必使高弧在子午圈西与地平三十度合，令夏至圈正居子午圈下，乃自顶依高弧量二十度，得近黄道处为实沈宫二十一度，与高弧二十度合为点，作识，后复安高弧或立象半圈在地平正西之北三十度，从前点过，〈球尚不动〉与正相对之度至地平则所交子午圈处，距顶约二十三度，距点一十二度则，一十二度为晷，中垂线距午正线之度，便转球西一十五度，〈用时盘亦可〉夏至圈必交高弧八十七度为未初，次交七十二度为未正，次五十八度，次四十五度，次三十三度，次一十八度，末五度为申初、申正等时，以至戌初始尽。复转球，令夏至圈距子午东一十五度，得交对度高弧六十四度为午初，次四十六度，次二十六度，次一十一度，次即入地平。盖辰初不载晷面，因其偏西故也。欲安表，必先查其应距晷面若干，偏午正线左右若干，因而从晷心出，依偏距度起，射景与各时正合。求距面度法，使高弧在晷正面地平，〈未求馀方时之前〉渐转球，以过夏至圈，得北极及高弧中最小之弧，即因本弧量表距面之广，或于本方使过至圈与高弧以直角交，则自交处至极中弧亦为表距面度。查表偏午正法，用高弧交过至圈与前同，独偏度当于高弧上从交点至子午圈上求之，必中弧为相应之距度。假如前晷求表，安高弧在西地，平北去正西三十度，使之上距顶南二十三度，转球令过至圈以直角交高弧，即从交点至北极中，约得六十度为表距晷面度，复从交点至高弧切子午圈，约得五十五度为表距。午正时线之度馀仿此。
界节气线于正球日晷

凡节气在黄道上正相对者以较赤道，其距内外天上必等，盖随宗动左旋必为平行圈，故乃平晷。节气线则不然。虽赤道线为直线，而内外节气线其形甚曲，多缘彼此相距渐远，或不以赤道为中界，故较赤道平有异向焉。惟赤道晷之节气线亦自为平行圈，亦内外相距等，其形正与天合。试就浑仪先论之。设
图

仪上赤道为实圈，天枢上任取其表之长作识切赤道面，向外并取过极圈上与表相等弧识之，从所识处量各节气之距，而每界出直线过表顶，得凡线至晷面所止之处，因以定节气当居之位焉。法用规器以赤道心为心，以线止位

为界作平行图。如前外圈限赤道晷面周平分为时刻，其中心出表为甲戊，设庚己辛为过极圈，即从庚外取庚己与甲戊等而已，为诸节气距内外之中界。盖以戊为心作辛己壬弧，从己至辛、至壬取二十三度三十一分得夏至，及冬至界取二十度一十三分得大暑，小满至大寒、小雪，其馀节气皆仿此，乃从其各界引辛戊乙等直线，得乙丙丁等圈，于向北晷为赤道北节气，向南晷为赤道南节气也。
凡正球晷之节气线，以赤道为中线，馀线凡相对者，左右距必等，而各渐开距必不等。法设仪心为表顶，其面任距远近必依表长短为则，与前制晷法同，即将过极圈于赤道，内外识各节气之距度，随以各度出直线从仪心过，使至本时线上，必得赤道在中左右诸点为节气应过之处。此即界线之所以然，临制时，以表顶为心时，线交赤道点为界，作圈即得切割等线，依八线表取用，盖赤道为全数时，线左右为切线，从圈心出线与时线相交得割线，故将全数载比例尺，馀线依之取载晷面是也。如后图：上下为时线，
图

设制赤极晷，即午正居中，卯酉居边。制东西正向晷，午正居边，卯酉居中，而赤道横交诸时线，彼此必同。甲丙为表长，依之为圈，而左右定节气之距。如丙己、丙丁等弧即得甲丙全数，丙己、丙丁直线为切线，甲己、甲丁其割线以定夏至。

及冬至，于午时或卯酉时线而定。两至中节气亦不异。此试于申巳时线，必以乙为心，〈表顶之距〉作壬丁辛圈，左右取丁壬、丁辛各至之距弧，馀节气线弧皆与前同，即乙丁为全数，丁壬、丁辛直线为切线，甲壬、甲辛为割线，而节气宜过其点，位亦依之定矣。又试于午初酉初，即丙为心以作圈，求子庚、子癸两至，距赤道中界而求他节气，皆同一法也。
界节气线于斜球日晷

凡斜球晷之节气线虽以赤道分内外，然各节气正
图

相对者距赤道远近不等，而自为曲形，则其曲必等。故设过极圈以定各节气初度之距，令出直线过仪心至各时线上，皆与前同法。先依本地北极高求各节依各时应出地平高。〈见前二卷〉随以高弧考对，即仪心当表末依所行直线各至
时线为点，而每时识点处连之必为曲线，以指本节
气也。假如仪心在乙，以辛庚为晷面得甲乙表，癸己为过极圈，设北极高四十度，欲制地平晷节气线，即辛庚为午时线，辛壬为天枢，距面四十度，入地于辛，以定出时线之心，任安表于甲，即因表锐当地心亦并为过极圈之心，得癸丁弧为赤道出地平高。而馀节气初度，则必距赤道内外皆在戊己二至之中。设从各距度引直线至乙点，复引过晷面午正线，而赤道止于丙。夏至在子，冬至过赤道下在庚。又设过极圈在表顶，周转以对未申等时，〈午前后同〉而赤道、二至等节气初度皆合高弧上本时所对高度，令出直线过表顶，必至本时线为点以引节气于此过矣。
凡制立晷节气线，即辛壬距晷面，宜依赤道高癸丁弧，依北极出地高，〈癸为天顶，癸丁弧即赤道距顶弧，必与北极出地等故。〉馀节气度俱依之。出直线至午未等时线上，以赤道上者为冬，赤道下者为夏。则各节气自明矣。如图：以乙为心，甲为界，作甲丑弧，即乙子、乙丙、乙庚等线皆为割线，甲子、甲丙、甲庚皆为切线。以表为全数查节气，依各时高度于八线表，用比例尺或平分直线，如法简取，盖依本北极出地地平晷，用馀切线立晷，反用正切线，何也。地平晷算高度于癸己弧，而用甲丑弧之切线立晷，则于癸己算节气距面之弧，其馀即正高度亦应甲丑上取切线也。偏晷同一法，以各节气依各时高度出直线过表顶，下至晷面，定其曲线宜引之点，则除正向南北偏晷外，其馀安表必于午正线外求位。盖因天枢斜过晷面，故乃枢正下别为直线，从晷心出与赤道线以直角相交，则线上交表，线中节气线相距最近，左右复开展，相距必等。依前图，论表既不竖在午正线，而在天枢线上，则癸乙过极圈径不以本线平行，且以直角与甲乙表相交，虽转以对各时线交表，法必不变矣。
界地平经纬等线于日晷

凡日晷有面与表为公，而载线其私也。一切定时、分节气、列方位，种种各异，种种能互为用，而总入诸晷之面与表矣。即地平一晷时刻节气线外，尚有可界于其上者。如地平经线〈太阳方位线〉相交于表位，自为直线，其相距必等。地平纬线〈太阳高度〉以表位为心，周皆为平行圈线，相距不等。十二舍线为南北平行，乃相距远近不等之直线。太阳出没后，时线皆偏左或右，皆斜交赤道线，亦自为直线。七政时线左右向其中线，亦皆为直线。昼夜长短线复仿节气线之曲形，而疏密复异。东西诸方相距线与时线同，任用多寡乃所以异，何也。地平经线即高弧自顶至地平所为者，仪上移高弧，任取十度，或多或少，距限恒等，而依之视正对地平度以为直线，故恒得仪心居间，此本线所以合于表位也。其地平纬线必安高弧于定处，从下渐上，以相等之距限视仪心，则以目光线所射之面为界，初宽而后狭。若移高弧他处，亦依此为法，此以表位为心，而图平行圈之所以然也。其制法惟量表大小依之，开比例尺于上，取各距度之切线，从表位带入面上为圈，即地平纬度限，则表景所至，必指太阳出地平高度。随将地平纬度平分，或五或十等距度，〈从午正线起〉则表位所出直线皆过其分弧界，即地平经度已定，而表景所至，必指太阳所向方位。
论十二舍线，即立象半圈所为本圈，仪上皆合子午圈，交地平为一点者，但若左右倒耳。故正东西从仪上视之，至面必为平行直线，其制法亦不异正向东西之偏晷也。论太阳出没已距时线，即过极圈依各赤纬度所为，起仪，依本极高将时盘午正与过极圈合，令之转东或西，以太阳本方春、秋分出没为止，则即地平分赤道及二至圈皆不等，而赤道恒得六时至午正，夏至若过，冬至反不及。今设去夷地平圈上一时或二时，至满半昼时皆并过横线，至第六时，其线赤道上必交子午圈，夏至上未及，冬至上已过，即因其横线指太阳，出没相离时若干。依之从浑仪心视晷面，必皆斜交赤道，而愈离愈斜，法必先于晷面界。赤道线就内或外加一节气，得昼时双数者，因以太阳至本节气出没之时定为初时，而馀时渐依之列也。如北极高四十度，太阳至立夏，昼长约十四时，而立冬止得十时，皆双数，则因立冬日出辰初。必得辰正为距日出第一时，而馀时次之，立夏日没戌初，而戌正即日没后第一时，馀时亦随次之。今赤道上辰初恒为日出后第一时，戌初为日没后之初时，即前所识节气线上诸时点，与赤道上相应之时点以直线连引之，得太阳出没后诸时线也。论七政时线，其向中线繇赤道等圈，则自午前及午后以至地平，皆平分各六时。盖夏至午前后弧大于冬至午前后之各弧，而赤道得居中，必与诸时线斜相交，是以其线自向中也。法先依最长之昼平分时盘，或六或十二分遂于地平，求各时相距度，〈皆依前二卷〉带入夏至节气，必得其平分午正左右各六时也。然后将赤道与夏至相应之时以直线连之，得左右皆同，皆与斜球斜交赤道，其昼长短线总繇赤道纬度，任用疏或密，故其理不异。节气线制法亦同，若诸方相距东西线皆子午圈所为，与时圈同，必以过两极圈。取准与制地平晷线同法。以上晷面所得诸线，依本容因之有异，必从其仪上所得圈视仪心至面止，俱依前法。如试于立晷，即地平与赤道为平行，故地平纬似节气线形，地平经皆上下平行，远疏而近午时则密，全仿赤极晷线。十二舍线皆出地平，与子午线相交太阳出没距时线。如前地平面同七政线亦出地平，交子午线之点，昼夜长短亦如节气线。诸方相距东西线，亦与正时线同。制法各随本类全载日晷本款，此不复详。
地球用法

地球以圆形仿地之本体，又以旋动反其性情者，总欲因各处向顶之自然也。盖地居万物之中心，随处向天，即如圆圈中心出直线，无一线不正向其界者，然乃制之为球，反若偏居，〈在地面故〉距天此近彼远，〈俱以子午圈求天顶故〉必宜活动以随处，能移至顶与天相近，而从之向顶可也。故安球必先取平以合于地平，使子午圈南北得正，而因以诸方向得本所焉。后令球前后起，或左右转，务以本处至中顶，乃得向天之势，有以二处相提而论，或经纬皆异者，或经同而纬异者，或求二处相距之里及所向之位，纬同而经异者，总于本球得明矣。先论其经纬皆异者，法任令一处居顶，而从此下高弧至地平，使之南北游移，以正交其彼处为度，乃识交度。与顶之中弧化为里，则得二处直相距之里数，又复识本高弧交地平度，因以得彼处较前处所居之方位。假如顺天府北极出地四十度，令球极起四十度，随转球，使顺天府至子午圈，即以之居顶。乃依之安高弧过云南，则自顶至交点约二十二度，即算得六千里。〈依二百七十里一度算〉而高弧至地平，则从正南去西五十二度，即西南第四向位也。〈各向详下文〉又使高弧过星宿海，得自顶至本海之中弧为一十八度，化得四千八百馀里。而高弧至地平，乃距正南六十二度，则因本海较顺天府在西南第三向位矣。若经同而纬异，即先移其处同居子午圈下，以本圈上度识二处各距赤道若干度，以之相减，乃得其相距度，因以化为里。如顺天府与南昌府约在同经，试于子午圈上得南昌北距赤道二十八度，顺天距四十度，相差十二度，化得三千六百馀里。设一处在赤道内，一处在赤道外，各以所得数相加，即其相距度，乃因以化为里。若纬同而经异，即先各以其处移至子午圈下，从莺岛圈线起，至子午圈下止。赤道上算各经度，以之相减，即得二处经度差。但距赤道内外远近者，依赤道平行小圈，似不能如前法求里数，盖小圈所应一度之里，较本赤道度相应者不等，因而度小，里数亦应少。今惟于球上用高弧乃有一简即得者，何也。以一处居顶，安高弧使从他处过则止，视高弧上交点与顶之间弧，即其相距度。因复算得里数如前。假如大西之极西地得北极高四十度，与顺天府同纬。因属距赤道四十度之平行小圈，论其本经度，应差一百三十度。依度求里，亦应距三万五千一百有奇。今止以高弧为主，则二处直相距约九十度，算得为二万四千三百里，而相应之向位且亦不在正东西焉。使以顺天府居顶极西地，必北去正西五十馀度。入从西第五方位，使以极西地居顶，顺天府亦必北去正东五十馀度，以入东第五方位。凡此皆地为圆形，而更得斜容故也。
任以一处依经纬度安于球

地球以东西为经，南北为纬，与天球不异。但求纬甚易，惟一测其极出地高，即得其顶距赤道度，而纬定矣。若经度，必以其所先定处为界，依之东去加度，至某处止，乃较前所得距度是其本经度也。如测纬，依测北极诸法，即以所得极高度，于子午圈上从赤道往极数至本度，随识之球上乃得纬圈应过之界焉。测经一法，以月食为准，因先知某处月食初亏、食甚等时分秒，今复得他处所测分秒，以之相较，必得二处相距之时，乃化为度。盖前处居西，所得差度加前经度；前处居东，所得差度减于前经度，乃因得本处之经度。次于本球赤道上从前处查得其度，而于本度左或右，即以距弧所至之处，复移至子午圈，则本圈交前纬圈之点，即某处在地面方位也。第月食不常遇，更有一法，止须测太阴在黄道度，并识其临测之时刻，而复考他处，所载太阴细行〈务求极准者〉应于何时至所测度分，则较二时所距化为度，如前加减乃复得二处距经度，然太阴每多视差，必候其在冬、夏至之时，于正过子午线上测之，乃可免视差也。又或以其角，依上下垂线取准，盖两角居一线上，则月体正在黄平象限，全无时差，否则上角偏东即未及，上角偏西即已过也。因之求时与度，法同前。又一法，可于行程中求之于起程时，以自鸣钟准合天，任去一二日，复以他器测日考时，得之与钟正合，则较前处必南北相距东西犹同。若不合，即以所差时加减之乃得二处东西相距之时，而钟必求其分毫之不爽者，始克有济。
求海中舟道

漂海者依指南针行，此定法也。总分针盘为三十二向，如正南、北、东、西乃四正向，如东南、东北、西南、西北乃四角向，又有在正与角之中各三向，各相距一十一度一十五分。而各向线乃其过顶及交地平之大圈也。临行时，其道有三等，皆依盘上向线引舟，而实有与盘所载直线异同者，盖正南北行，则依针线所引之道，与所指子午圈同正东、西。在赤道下行，则依东西线所引之道，与所指过顶之赤道圈同。若正东西在赤道内外行者，虽依东西线引舟，而其实所行之道与赤道为平行，与线所指之圈则不同。
线指过顶交地平大圈，因至地平，并交赤道与之斜行，乃舟离去。二界皆距赤道等，而路以直角交中子午圈，必与赤道平行。

若西南、西北、东南、东北行，虽依针盘所分正角中诸线引舟，而其实所引之舟与所行之道异，盖所行之道非大圈，亦非平行圈，且亦非圆圈线。何者大圈。因过天顶斜交子午圈，则所交子午圈之角不等，必渐还，得角渐大，而平行圈皆以直角交，乃舟道之交子午者为等角，随处方向同，故自与大小等圈不同也。今舟行正南北、或正东西，赤道下即未尝离子午，或赤道，因而皆为大圈，则须以度加减之乃可得其路程，即正东西与赤道为平行，亦不离此小圈，而以所去度化为赤道度，〈平行圈度大小不等〉复以加减求之亦可得。惟斜行推，路甚烦，故或以经纬推距度及方向，或以经及方向推距与纬，又或以纬与距度推经及方位，或以方向及距推经纬。必先知总方所引，〈西南西北东南东北全圈四分之一〉及原界之纬度所开，乃依本球求得此简法也。
以经纬推距度及方向

法于子午圈上识开舟时二界〈繇此界以至彼界，故名二界〉相距之纬，随于球上任用一方向线以交子午圈于前纬为度，因以得二界相距之经，乃转球令之东或西，〈依引舟总方是〉视本方向线能复交前纬点，则其线必为舟所应随之线，否则另试一方向线，务以得交如前法。假如利未亚洲之西狮山距莺岛东一十五度二十分，距赤道北七度三十分，设于此处开舟引之至依勒纳岛，乃更距东九度一十分，距赤道南一十五度三十分。试转球，以东南之偏南中线交子午圈，距北七度三十分。复转球西〈因去界在东故〉过赤道九度一十分，〈二界经度差是〉则得本线距赤道南一十五度三十分交子午圈，乃依针盘本线引舟至依勒纳岛也。又一法，用规器于球上量二界之距，必本则正合方向线在二界纬圈上，即本线必为引舟之线矣。假如取琼州府与小琉球之距，因琼州府距赤道北一十八度，小琉球距赤道北二十二度，必求方向线于十八及二十二度，各纬圈线上得在东南之偏东中线。依之从琼州府去小琉球，必正道也。向线定矣。因求二处相距之至法，用规器于里表上取相应半度之数，〈为一百三十五里，愈少取愈准。〉依二处纬圈中之向线量之，得数与一百三十五相乘，因得总里数。或用后表更准，初行指一总方向线之数，次三行指大向度分秒所应各向线之纬度。如自琼州府至小琉球，其路为东北之偏东中者，应从正北数第六线，〈从子午圈左右数为恒法〉盖子午线上平度一距度应大圈二度三十六分四十七秒，而总二处相距之纬正四度，推得二千八百二十一里，为此二处之总路，馀仿此。
方向一二三四五六七，
度一一一一一二五。
分一四。〈一二四三○二四七六七〉
秒。〈一五○五五四三○六九一九七三〉
以经及方向求距与纬

法将球本向线至子午圈与开舟处之纬相交，复转球，令其经度差过子午圈，〈东西必繇彼界之距〉亦视其向线在何度，复交子午圈。即是舟所至界之纬。设从依勒纳岛舟行西北之偏西中向，相距经约二十四度，因使本向线交子午圈得距赤道南一十五度三十分，〈本岛纬是〉随转之，东行至二十四度，止得原向线交子午圈为距赤道南五度三十分，即舟所至界之纬。而其距前界之里数，亦可依前法推定矣。
以纬与距度推经及方向

法依前小表自显于球，如从利未亚洲白山〈最西边〉往西北行其所应止之纬，为距赤道北三十度三十分，相去四千八百六十馀里，乃白山在赤道北二十度三十分，则纬差十度，以所应里总数推一度应里四百八十六以二百七十，除之，馀一度四十八分，为应一纬度之距，查表得第五向线，即西北偏西左向线为舟行之道耳。方向已定，随查球上本向线交所至界纬圈点，乃自本点至前界中赤道弧，即得二处经度差。
以距及方向推经纬

法略同前。假如从大浪山开舟，繇西北之偏北中向行二千九百二十五里，乃先求所止界之纬。因本向为去正北，第二线则此纬一度之距，应平度一度零五分，得里数二百九十二有半。故总行之里数，得十度为三十五度所减，〈大浪山在赤道南三十五度故〉馀二十五度，即舟行所止之纬，因求经度如前。
大小圈度相应表

大小圈皆以三百六十平分为度，但各圈不等，必随其圈之大小为则。又小圈距中大圈愈远，得度愈狭，故必依南、北纬算表，乃可初行载诸纬度。次二行载诸纬过小圈，所应一度之分秒，因而纬远，得分秒渐少，其所量小度亦更小，以至近极之一，小度得对大圈度之一分耳。
大小圈度相应表缺
用表法或以里数推经度，或以经度反求里数。如从顺天府一直东去至鸭绿江为二千二百里，或一直西去至宁夏其里等。盖东西路皆与赤道平行，相距俱四十度。因表中查四十度之纬，得小圈一度为大圈之四十五分五十八秒，应里数二百零七里，为二千二百所除，得二处各距顺天府十度三十七分。以之较顺天府总经度，东加、西减，即得二处各经度。若以经度求里数法。于球上子午圈对二处之纬，得同度，即转球，识二处赤道上距，即经度也。经已定，随用表中相应之纬分秒，以推彼此相距之里。如成都府与杭州府皆距赤道北三十度，试以杭州居子午圈，渐转球，使成都亦居子午圈，得赤道中弧约一十五度。今二纬各三十度应五十一分五十七秒，乃以此数与十五度相乘，得十五小度之分秒。而以一平度相应之里，求比得二处直相距之里为三千五百六里有奇。凡南北小圈俱仿此。〈以上原本卷四〉
浑天仪制度

仪中诸圈宜合天上相应之圈，而相合必有定处。大小皆如法。乃始成一浑仪也。但前以所分之仪，平与不平定图大小之异。今则不然，而以能合一器各不失乎。应天之理者为则，因有三圈内外相等，为赤道及两过极圈。又有二圈内等而外异，为子午及地平圈。又二圈外等而内异，为太阴本圈及过罗计。以从黄极之小圈馀则各不等，各依本仪大小定度焉。
制内外等圈

论过极圈为浑仪之脊骨，须先从此圈制起，而诸圈依之可定，任用银或铜制二圈为匾形，各厚约半分，〈此就径过六七寸者论耳其馀以仪大小为度后仿此〉阔约二分，〈以其上能刻度与字为则〉大小任意两面磨之使光，复如法圈之，安于铜板上，〈小釬釬住〉以求中心随用规器齐其内外之周边，并于面上作圈线，以别度与字之间处，必于刻度处缩之，刻字处宽之，乃度居外而字居内也。其度数每面为三百六十，至五线稍引长至十，其线径过圈面，而字乃识度之数者，从正对之二处起至九十度，于正对之二处止乃初界，为赤道交二圈之限末界，其二圈自相交之点，因以定南、北极焉。须各圈以两面度及字彼此准对，而两圈尤以诸面皆等为务。〈诸圈当磨之使光，乃复齐之使平，刻度等皆仿此。〉圈制矣，必以十字直角交之，使合法于止数，正对之界圈各开小方孔，其孔较圈面有半，一内一外，若公母笋者然。乃用铜成二圆条，厚分半馀，长五六分，一大端开十字方孔，以受二圈之交点，一小端不令开孔，少锐之，便入子午圈以当仪枢，复于二圈各起数，正对之界与赤道圈，如前法，各开半孔，直角相交以为总合之处。如图：甲、乙为二圈，相交之地加丙丁，各条利其坚且当天枢，故向内开孔以受仪枢，向外小锐以入子午圈，中为南、北极戊己、庚辛皆圈，腰之孔皆距极等。乃所以受赤道圈者，盖二圈既交，必少制之，使不紧，便于入赤道圈矣。随从二圈
图

相交之点任于一圈上，数二十三度半，其正相对处皆等。复用二铜条一端开小孔少许入其处，一端向内任意长短，又开一小孔备以受月本圈者。〈如前图：壬癸皆指铜条小孔，自显于壬。〉即月圈本极可当黄道极，乃其圈必为过冬夏二至之圈。

赤道圈周分三百六十度，二面俱等，顺书其数，亦二面同。乃初度与九十度，及一百八十度与二百七十度，皆应开孔，则初度与一百八十度所交之圈必为定春秋二分。过极圈九十度与二百七十度为限冬夏二至过极圈之交界。盖春分得初度，右行九十度为夏至，递而秋分，而冬至至三百六十度止，渐又至春分矣。即此可以查升度，其制法与制二圈同。内外周边以规器齐之，各面以圈线分度与字，度居外，字居内，皆如前圈，图可不赘。
制内等外不等圈

论子午及地平圈内，周边之齐同。较前三圈约宽一分。盖安高弧与时盘，必使诸圈利于旋转，势不得不少处其盈也。且分四象限，以九十度正对之合处为止。而度反居内，字反居外，其子午圈之两面度数同地平，独用一面惟度数外，更增以时与刻，故较子午必倍其体也。今详各圈之所异，子午为诸圈所倚，较他圈独厚，乃取其坚而阔与之等，或微过焉。其一面于度数初起处，各加一铜耳，以便于受天枢，因枢左
图

右有钉、或螺旋转安于圈面，故如图：甲、乙为各数初起之界，并为南北二极，而丙丁正对处则各满一象限，乃正戊己及壬辛为铜耳。长尽于安钉，阔止于圈面之半厚，以与圈能开孔容天枢为则。故本面当仪之正中，临用时，或安高弧、
图

或就时盘定时，皆以此面为界，前卷所谓子午圈正面是也。
地平或安于木架上，厚薄不拘，独下面用三、四铜钉透入木中使之固，且令不随子午圈起动焉。或不用木架，而用铜架，止令数处倚于铜柱亦可。自立其子
图

午正对处，各开一口，深与子午圈及铜耳之阔等，宽如其圈与铜耳，之厚取其便于高下出入已耳。如图：内层分三百六十度为四象限，每象限各九十度，外层周分刻数，并十二大时，乃午在南，子在北，甲、乙其口也。宽窄之势以紧容子

午圈及铜耳为度，而子午圈之面则又平分地平，居浑仪之中焉。
制外等内不等圈

因太阴本圈用以显交食者，故体势稍小，居仪之中距日约远，应随浑仪旋转，又能依左右那动，乃代月轮，从黄道并出黄道内外者，必更借一轮与之等。以支之法，本轮两面皆无度数，独以十字平分为四界，即于正相对二界，上各安铜条外出少许，各条于末端少锐，用以入黄极所出，二铜条中即安于前所云。过冬夏二至之圈者，复于彼二界。向内斜开小孔，深入圈面之半，以其能受月轮圈且得出入黄道内外，其太阴圈外周与前圈等齐，内周略阔，为其另加竖圈，为月轮所附以旋转者，亦无度数。独一面分四界，为正中二交阴阳二历之限。故于交处，外开小孔与前圈斜孔相交，加以铜结入圈其中以固之，从交处向左，因其圈偏内，即以所交为正交，内半圈皆阴历，从此而圈复偏外，即以所交为中交，外半圈皆阳历，如图：甲、乙、丙、丁为所借圈于正对处，载铜条为乙丁，
图图

{{padding-left|10em|乙处少锐应入南黄极，丁之锐入北黄极，即月本轮随之转，因以得阴阳历黄道内外者，是其甲丙相交处。〈一正一中〉必居黄道正下，使月可得南北纬度，其加戊己二结者，以总合二圈故也。庚辛为太阴本圈，载前四限于其上，〈二交左右可识日月食限〉
图

多寡须依法
其内周加竖圈为
壬癸，周约等阔半分馀，即月轮所倚以旋转者，其南黄极于甲乙丙丁圈内出。小表为子表末，正向阴历限为太阴本圈之中心，乃开小圆孔，内载一铜弧如弓形，以此弧之一末安其心，一末带月转，如上图：甲}}为入心之钩，乙即附于竖圈之背，使月轮自倚其正面以旋动，然未安赤道之前，不可不预备此，免后安置之烦耳。