钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第七十八卷目录

历法典第七十八卷

历法总部总论六

皇清一

《新法历引》

历学维新

历学有法，有用法者，测各重天之运行体势以审诸曜出入、隐现，以求本行轨道，以定准则也。用者，取本法测定之分数，随方随时以推步日月五星，次舍冲照、交食、凌犯、顺逆等情也。二者阙一不可，然而立法难矣。《语》云：毫釐之差，千里之谬，在历学为尤甚。中国自汉迄元，造历者七十馀辈，立法者仅十有三家，且皆不免乖违，后人难凭致用。有谓得一冬至之正时即为密近者，非也。测冬至之于历术，未及百分之一。闻一知百，世无其人。有谓得一岁实、一朔实，及转终交终等策为已定者，非也。此皆诸曜平行之率，何由遽定视行。有谓测率四应，可以无忒者，非也。此不过推算平行之界而已。有谓多测交食，稽其某法，先天某法，后天而后汇计、筹策折中取之者，亦非也。历家法数繁琐，用以算步交食不下四十馀条，究竟何项何款可以折中取半者，因知古来修改，门户虽岐，实则互相依傍。间有出一二新意，亦未必洞晓本元。迹其大端，犹不过截前至后，通计所差，加、减、乘、除，分泒各岁之下，便为修改已耳。即使仅合一时，岂能施诸久远。后惟授时历庶称精密，顾其法，亦未尽善。在当日已有推食不食，食而失推之弊，何况沿袭至于今日哉。他若回回历者，其历元为西域所定，使非中历，先推太阳躔度至春分之日，彼亦茫然无据以得支干、以合中国所用岁月也，况其历元已历千年，不可复用乎。兹惟新法，悉本之西洋治历名家，曰多禄某、曰亚而封所、曰歌白泥、曰第谷四人者，盖西国之于历学，师传曹习，人自为家，而是四家者首，为后学之所推重。著述既繁，测验益密，立法致用，俱臻至极。旅辈采其精，详究其奥，赜而又参，以独得发所未发焉。更审今测，以广古测，必求合天。年世互考中西各例半，皆仍旧合异归同，成书已进阙庭，新法已行，天下用彰。昭代历典度，越前古暨质诸来祀，虽亿万年永永不爽云。

地球

地在天之中心，常静不动，与天相较，不啻稊米之于乔岳也。其形浑圆，古谓方者，盖指其德耳。凡居处地球者，其视日景之不同，分有五带其中，则自赤道南北各以二十三度半为限，〈此即二极出地之高〉名为煖带。居其下者，午正立表揆日测景，必自射南射北，顾每岁必有二日其表无景，即春、秋二分，太阳正过其天顶之日也。〈此指正居赤道下者，春、秋二分，日中无景，过春分，则景在南，过秋分，则景在北。〉此带惟一又于其南、其北各自二十三度半，外各截至六十六度半为限，名为温带。其下居南者，表景恒射南；居北者，表景恒射北。岁有一日，其景极短。然太阳则不经其天顶矣。此带有二以上三带，皆太阳每日有出有入者也。又于南北二方，自六十六度半，外各底其极名为冷带。其下或表景，周围旋转，有日太阳绕其地恒见，有日太阳绕其地恒隐，隐见之候，或久至半岁，或数月不等。此带亦二是，为大地共分五带之概也。因此推知距赤道之南北二方，其气候必相反，如太阳躔星纪宫，向北之方为冬至，向南之方为夏至，春秋二分以及诸节莫不皆然。又因此推知地球为人所止，以天顶而分四方，亦可界为三百六十度以合天行。东西为经，测以赤道，南北为纬，测以子午。〈规名解见下篇〉但测南北者，有二极以为之端；欲测东西，则须先定一所以为起界。〈新历悉以京师为起界，他方虽未亲测，亦据舆图以定其经纬。〉而后地之经纬皆可得而明焉。苟不谙此则，无以知幅员相距之数，而诸方太阳节气、五星经度、凌犯、交食时刻、日食分秒悉无从推步矣。〈日食南北东西各不同，月食分数皆同，但东西不同时耳。〉且不惟是，即古测今测岁实之异，日出、日入昼夜永短之差，咸取准于地之纬度，所系大矣。其可忽诸。

天道

天体浑沦，穹然莫辨，必也相形，酌理判立界限以为依据，而后推测之功可施则。夫设立诸规以著象数为用甚大且急，较为历家首务也。新法总有四大规；一曰地平，一曰赤道，一曰黄道，一曰子午。四规阙一不可。盖地平规者，从人足所附，极目四望之界而设也。人附地面所可望见者，天之半耳。其半恒绕于地下，人不可得而见也。即此可见、不可见之界而诸曜，由是而出，入明暗昼夜由是而分，因设此规，剖为四象以应四方，象各限以九十度，是为地平经度，而各曜出入之方位以辨矣。又自地平上至天顶设距等圈，以为地平纬度，而各曜渐升之度，以明各曜出地离赤道之纬度，并北极出地之数皆可得而稽之矣。赤道规者，从南北二极相距正中之界而设也。古曰：天行健。又曰：天左旋。左旋而行健则知南北必有其极矣极也者，天体永久不动之两点。周天倚为环动之枢者也。〈极非星也。云极星者，盖指其最近极之星以命耳。〉如一极出地，必一极入地。其出入之度惟均，历家乃于二极相距最中之界，设有赤道一规，平分天体为南北。南者，为外为阳，而北者为内为阴。其亘于天中也。终古不易，推步者毕赖之为准，则无容置议也。本规列度三百有六十辰十有二刻九十有六天体，一日一周之运于是焉。纪昼夜刻分之永短于是焉；定黄道出入之广狭于是焉；齐春秋二分之晷景于是焉；限南北纬算于是焉；起天地全圆于是焉。度凡此皆其用也。黄道规者，从太阳旋周一岁之界而设也。盖太阳行天一岁，所周轨迹旋以成规，是名黄道。本规斜络于赤道，其半在南，最南界为冬至；其半在北，最北界为夏至。二道相交之两点为春、秋分。以故四平分之为象限，限各九十度者，是即二分二至，四正之限也。总计为三百六十度，十二剖之为宫，二十四剖之为节气，七十二剖之为候。盖用以节七曜列宿之行，用以审日月交食之限，至较著也。子午规者，从诸曜升降度适中之界而设也。太阳一日旋天一周，见于东方渐升至高为正午，此地平以上东半昼分过午，向西渐底地平是为西半昼分，乃谓之降。他曜皆然于此，升降度之中界立有一规，名为子午。诸曜际此谓为在子、在午，是规透过赤道及地平各二极，其偕赤道地平而交为直角也。恒然不动，但人在地面南北迁此规惟一，东西迁则随在各异也。〈与地平同〉已上四规，各有本用，所系非小历家测候，欲求七政行度会望等诸法，舍此无从措手，以此未言象数，先以详明诸规为首务也。
一系赤道有恒动、恒不动二用。恒不动者，以定各方时刻；恒动者，以相交相割于黄道也。俗谓赤道。有二者，盖即指此二用，非实有二道也。二系赤道正居天顶，则两极适与地平相当，至若赤道斜交地平之所，则极出地度数即赤道距天顶度数矣。其经度即过极圈，纬度即距等圈也。
三系黄道与赤道斜交，故其极自有本极，谓之黄极。黄极者，恒星与太阳本行之枢也。论二道最远之距，〈即南至北至之距〉今古不同，今测定为天度二十三度三十一分三十秒，上古较多数十分，后此则渐减矣。
四系周天诸道用立多规，以便测验，但其为规也，非止旋周一线而已，盖一满平圆面也。面为各曜之所经行，故谓之道某曜在某面上，即谓之在某道云。

历元

所谓历元者，乃以诸曜之平行，同时而求各所历数，历家因之用为起算之根也。新法则以天聪戊辰前，太阳过天正冬至，后第一子正为历元，其日干则己卯也。斯时太阳躔星纪宫初度五十三分，太阴在六宫初度五十分，他曜皆以此时行度为准，不用冬至时刻与旧历异，缘冬至有正、有平，最难得其真率也。夫历元为诸算，先资稍有舛忒，即诸行皆谬矣。况诸曜终岁细行，莫不以子正起算，又安用冬至时刻为哉。

历算

旧以周天判为三百六十五度又四分度之一，所谓日度也。盖以太阳之行黄道日一度，度析百分，分析百秒，且又均之分，为宫次气候法。用奇零，势难齐一，且天度者，岁实之日分也。中历所用岁实，诸家多寡不等，是其分天非一定之术，而为游移之法。欲以是决定诸曜之行，岂不难乎。若夫新法之分，周天历度也。即于天度以三百六十平剖之度，析六十分，分析六十秒。盖六十者半之，则为三十三之一，则二十四之一，则十五馀，任剖析皆为自然而然之分。往古历纪未始繁载，但于测得之数，曰：某度几何分之一而已。错综离合，其于历算甚便也。请言历算，夫历之为数，祇就天行无假淹，贯九章而其所须用者，加、减、乘、除、开方、五法。古用觚棱近便珠算，西法第资毫颖，今复有算筹之创，简捷尤甚矣。所谓加法者，以类相比并多分以成全。如度并度，分并分，秒并秒，时刻并时刻是也。此须知定位及进位之法，如积六十秒为一分，积六十分为一度，秒进于分之位，分进于度之位，而与他度分秒并之，若加时刻，则以十五分进一刻，四刻进一时，二十四时进一日，二十四，西法谓之小时也。此加法也。减与加反用，稽所馀其法，先须较数多寡，多中减寡理数易明。若于少内减多，必立借法以通其变。如借度化分，借分化秒，为本类以用之。乘法者，九九互积之义，有实数、有法数，凡单数乘度分秒不变位，若度乘度，复生多度，分乘分以生秒，秒乘秒以生微，则皆变位。〈分秒相生皆指奇零而言〉此不可不知也。除法者，以少剖多，分分除减意也。为法有二：或以单数商除亦不变位，苟分度不尽，即以馀度化分除之，分秒亦然；开方者，以化法求其微数，用筹乘除，然后再受为度，或用三率法亦可。是五法者，尽历算矣。然而新历之算诸星经纬及交食等项也，盖有二术：其一取所图各宿曜本行规之半径，并其所设某日平行，〈即本圈上之弧〉用诸三角形法推演，乃可得经纬细行、或交食之分数时刻。此术最为缜密，果能精心于此。即诸天周行轨迹隐微罔不洞然。其二以先所推定诸表握算，设如某日某刻欲求太阳经度，则第用加减二法检表二三次，以求即可得其宫度，较之中历节气，求经朔之法，简便，数倍馀。如五星太阴等曜以及交食皆各有表，可稽火星兼用乘除他则，但资加减立法，虽难致用，则易然，而一趋超径，万一操觚小，失恐并迷昧元初之理，所以二术不可偏废，皆为推步家之所朝夕从事者也。

句股

句股之术，从来尚矣。古九章周髀载之，究不过一三边直角形而已。垂线为股，横线为句，斜线为弦，测量家立表代股，平圭代句，而景为其弦，善斯术者，高深广远无不可求。而测天之为用尤大然，而旧法虽有三元、五和、五较等用，不过设二求三，且泥于直角一形，若遇斜角、弧角无以措用矣。新法变而通之，既名其公曰：三角形。又审其平面、球面、曲线、杂线、锐角、钝角之别，即知天为圜体，宜测以弧宿曜近远诸道互交，宜测以多类之弧，遂生多类之三弧形，于是各形咸备有三弧、三角，互设三以求馀三，是谓以圆齐圆，于法为善。故虽天道隐微，象数零杂，未有能遁焉者也。

割圆

割圜古法亦即以圜求圜之意。但古法设弧以求弦，矢款目四十馀项，颇为艰繁。新法易之以表，开卷即得，盖因圜形之弧与角总代以直线，数种稽其数，名为八线表。云夫圜形半径为本规六平分之通弦，若二半径各自乘之，并而开方，可得本规四平分之通弦，用几何诸法，又可得各度分之通弦。其各弧及其通弦折半，乃得正弦、正弧，有弦弧即有其矢矣。故矢不另立表也。通弦之外有切线、割线，通弦全在规内，切线全在规外，线从规心出于规周之外则为割线，然而弧有正、有馀，弦、矢、切、割四者因亦各有正馀，如一象限为本表之限，或于限内取几何度谓为正弧，其或逾九十度者，即谓之馀矣。正馀各有弦、矢、割、切四线，都为八线也。

恒星

恒星亦名列星，亦名经星。云恒者谓其象，终古不易也。云经者以别于五纬，南北行之义，其数甚夥。莫能穷尽就中，有光体渺微，非目可及，非仪可测者，略而不录，其在等第之内已经新法测定者，南北二极共一千七百二十有五星稽，其大小分为六等，第一等大星，如五帝座、织女类者。一十有七；二等如帝星开阳类者，五十有七；三等如太子少卫类者，八十有五；四等如上将柱史类者，三百八十有九；五等如上相虎贲类者，三百二十有三；六等如天皇大帝后宫类者，二百九十有五。此皆有名之星，计共一千一百六十有六馀，皆无名者矣。至于天汉斜络天体，古昔多谬解。迩来窥以远镜，知是无算，小星接攒一带，即如积尸气等，亦小星攒聚以成第，非人目所能辨，遂作如是观耳小者，不足论。论其大者，古历以周天诸星分为三垣二十八宿，各定有名位、座次，每座每宿星数多寡不齐，顾其所谓宿者，盖取七曜经行止宿之义，且用以便测算经度，又为其各能主施德也。西古历亦列二十八舍，所定二十八距星，皆与中古吻合，第觜距西，用天关为小异耳。此二十八宿者，各以一字命名，分注每日之下内以房虚星昴四宿为属太阳之日，心危毕张为属太阴之日，此外五纬各属四宿，每以七日为期，每日各属一宿，西历亦然。西经传，上古有一大师名诺厄者，广宣历理，以遍万国，则亦有所本也。
一系星之命名，多系借义，非可过泥虚名，便谓实有其验。比如贯索一星，中以其象囹圄，名以贯索，西以其象冠冕，名以冠冕。一吉一凶，全由人意。岂天星实然乎。至谓诸星情性不同，敷施互异，是又理所必然不得，概置弗论也。故总图于某星属某纬者，咸附注之。
二系图星之法有二；一浑球有南、北二极，有地平、子午诸规界，判黄赤二道，运之能肖天体，旋转以审各星，经纬度分以辨星中，出没以测夜时甚便也。一平面图虽乏以上诸用，然诸星位置、宫度、瞭若视掌，为用亦大。因有多种之分，曰：见界图以北极为心，其最南隐于地中星极，非此方人目可见者，则截出之；一曰赤道图、黄道图。二者各以其极为心，其道为界，盖皆以天之南北平剖为二图者也。曰：分星图依黄道，分天为二十图，均赋经纬，署以维辰，按图指陈天象，莫晰于此。外有浑，盖所用天盘以极为心，截冬至规为界，亦图星于仪上肖天，运动以觇诸星出没升降，又有平仪从二极剖天，为南六宫、北六宫，二面亦绘辰宿，可代浑仪旋转。至若古传星经图步天歌等，虽亦分有宿座，便于观览而经纬度分悉皆茫然。挂漏于测候无用也。

星中出没

太阳右旋一日一度，终岁行天一周，必复与某恒星合。又必有某星与之冲。历家无从测其合者，测得其冲者，谓为岁差。所从来矣。然由本方极出地度，恒星有出没者，亦有不出、不没者，如京师北极出地四十度，则星距极四十度以外，皆为恒见；而距南极四十度以内者，在京皆不能见矣。至论恒星见伏亦由太阳右旋至某宿度，附近之星光为日夺，故不能见迨太阳，去离渐远则此星光渐升，东方见而不伏矣。缘是而升至午点，即曰中星，此其星中出没在立象学为用甚钜。而历家但于中夜，资之以定时刻而已。

日轨

太阳之行，黄道也。论其积岁平分之数，新法以天度计为五十九分八秒有奇。所谓平行度分是也。然平行齐，而实行则固非齐矣。冬盈而夏缩矣。所以然者，盖缘黄道圈与日轮天不同心，而黄道之心即地球心，是日轮天与地球不同心也。心既不同，则日行距地近远不等。距近即行疾，疾则所行之度过于平行而为盈，每冬月一日计行一度一分有奇，以较平行盈二分矣；距远即行迟，迟则所行之度不及平行而为缩，每夏月一日计行五十七分有奇，以较平行则缩二分矣。盈缩相差若此，岂可谓之齐乎。终岁之间但，逢最高限、最庳限二日，平、实二行度数惟一。此外两行之较，日日不等，新法因其或过、或不及也。故有加分、减分，谓之加减差。盖以有恒率之平行为根，而以加减差定之，然后差而不差非齐而齐矣。至论太阳之入某宫，次以分节气也。亦有平、实二算，盖算平行十五日二十一刻有奇为一节气，乃一岁二十四平分之一耳。若用躔度之日以算，则冬夏不齐。冬一节气为十四日八十四刻有奇，夏一节气为十五日七十二刻有奇，总由夏迟冬疾，故其差如此皆，非旧历之所解也。
系太阳天距地极远之点谓之最高极，近之点谓之最高冲。〈亦名最卑〉此二点者，乃盈缩二行之界。古法于冬、夏二至，谓其恒在一点，其实非也。按古今诸测皆各不齐。古测最高在夏至前数度，今则在后六度矣。以此推知，一年之内太阳自行四十五秒也。

年月

纪年者何。太阳随列宿东行旋天一周之期也。太阳之行界二：其一从某宫次度分行天一周而复于元度，其数为三百六十五日二十四刻二十一分有奇；其一为太阳会于列宿天之某星行天一周，而复与元星会，但其星每岁有本行，故须加本行以定岁，而其所须加者，新法定为五十一秒，所谓岁差也。然而日历纪年，惟以全日推算，不用小馀。如以太阳十二次会合太阴为岁也，为三百五十四日。每二年、三年而闰一月，中历是已。如以太阳周十二宫次为岁也，为三百六十五日，每四年而闰一日，西历是巳。此纪年之概也。纪月有二：或因太阴会朔一次，以定谓太阴之月；或因太阳行一宫次，以定谓太阳之月。顾其十二分年之一分则一也。一月之终分有大尽小尽者。比如初朔子正苟二朔者，过二十九日外而不及第三十日之子正，则谓之小，过子正则谓之大。大则二朔同一天干，小则不同矣。故有三十日弱时刻不及者，历家不得名大，或二十九日强而时刻已逾者，历家仍不得名小也。且宇内地度不同，而月之大小因以互异。比如京师第二朔在子初二刻未到子正，其月为小，而西安此朔则巳在子正初刻，又当为大尽矣。地度愈远，时刻愈差，非可强而同之也。月有闰者，太阳躔一宫之时与月会合二次以成者也。其月因无中气，故谓之闰。但古法置闰用平节气，而新法用太阳所躔天度节气，故闰有合、有否，或先后一月不等也。

昼夜晨昏

太阳随宗动天西行一周而复于元界，谓之一日。东升西降，循环无端，其在历家起算，判定一界以为依据，则恒以太阳在子、在午为准也。论从子午起算之日，每岁实行度分日日不等差，较一刻有馀。盖缘黄道夏迟冬疾差馀四分，而黄赤二道又广狭异距，则率度必不同分，此其所当审者也。今论昼夜，太阳在地平上，人目可得而睹谓之昼，太阳渐隐地平之下，人目无见则谓之夜，是昼夜者，全由人居以分。随方、〈极出地若干〉随时，〈太阳躔某宫〉其昼夜刻分皆可依法推算焉。然而法算与目见恒异，盖太阳体大算法皆以体心出地为昼，始而人目以一见日轮即为昼。始又日出没升降度有斜正不同，又地平各曜出没之界，受清蒙气有变，凡此皆非人目能辨。故历家立有视差法也。一昼一夜平分为十二时，时各八刻，一日十二时，共刻九十有六。此恒率也。其昼夜永短递迁之故，则不但日行南陆、北陆不同而己，亦由北极出地高庳互异，而永短因焉。比如赤道正过天顶之地，两极合于地平，其昼夜均停，绝无永短，又极在天顶，赤道与地平平行，其下昼夜亦无长短之较，但太阳百八十日恒见，百八十日恒隐耳。此外诸方各有永短，顾其一岁之中，昼夜均停者，四日握算者，引而伸之，据四日之一日，逐渐加减，因得九十日之昼夜长短，随可以推终岁之数也。再论晨昏是分昼、分夜之二界也。太阳将出，未出数刻之前，其光东发，星光斩为所夺，是名为晨；太阳已入，回光返照，亦经数刻始逌，然灭尽是名为昏，其久暂分数亦因冬夏而分短长；新法以日在地平下十八度内为晨昏之限，但太阳行此十八度，又各方各宫不等，因有五刻、七刻、十刻之别，若论极高七十二度以上之度，则夏月晨昏相切，虽至丙，夜无甚黯黑也。

太阴

太阴之行，参错不一，推步筹算，为力倍艰。苟或分秒乖违，交食岂能密合。故必细审其行度所以然，而后可立法致用也。盖月较诸曜本旋之外行复多种第；一曰平行，一日十三度有奇，但此行之界凡四：一界是从某宫次度分起算，此界定而不动；二界为本天之最高，此非定界，每日自顺天右行七分有奇，是月距本天最高，一日为十三度三分有奇也，故其平行二十七日三十刻有奇为一周，已复于宫次元度，又必再行二十三刻有奇，为二十七日五十三刻始能及于本天之最高。此行新法谓之月自行，中历于此周谓之转周，满一周谓之转终。其最高则行八年有奇，而周天谓之月孛，三界为黄白二道相交之所，所谓正交、中交。此界亦自有行，乃逆行也。〈自东而西〉每日三分有奇，则月平行距正交一日为十三度十三分有奇，至二十七日二十七刻，减交行之一度二十三分，得二十七日十五刻有奇。月乃回于元界，历谓之交终。四界是与太阳去，离太阳一日约行一度，则太阴距太阳为十二度十分有奇，至二十九日五十三刻有奇，逐及太阳，复与之会，历谓朔策是也。凡上四行总归第一平行。其第二行曰小轮，每一朔内行满轮周二次，每日为二十四度有奇。〈若以不同心圈论，此即太阴中距圈也。〉因有此行，复生第二，损、益、加、减分云第二者，盖于朔望所用加减分外，再加再减故也。此行中历所无。以上太阴诸行，新法定其轨辙不外三者，均圈一，不同心圈一，小轮一，然不同心圈与小轮，名异而理实同。历家资以推算，两用互推所得之数正等也。
一系月道惟一，古谓月行。九道者乃白道正交行，及四正阴阳二历各异。命之因有八名，加以公名，共有九耳。非真有九道也。白道两交黄道论，最远之距谓为五度。此系二历，未甚大差之数，新法测得，凡朔望外相距皆过五度，上下二弦则为五度一十七分三十秒，推知二道相交之角，非定而不动者，要其广狭之行，恒以十五日为限也。
二系各朔后月夕西见，迟疾不一，甚有差至三日者，其故有三：一因月视行度，视行为，疾段则疾见，迟段则迟见；一因黄道升降，或斜、或正，正必疾见，斜必迟见；一因白道在纬南、纬北，凡在阴历疾见，阳历迟见也。此外又有极出地之不同，朦胧分与气差诸异，所以迟疾难齐也。

交食

凡日月之行，二十九日有奇。而东西同度，谓之会朔。至若日行在黄道，近交人视为与日同经同纬，是人目与月日相参直，而月魄正隔日光，于人目则为日食。日食者，非日失其光，光为月掩耳。凡太阴距太阳百八十度，而正与之冲，谓之望。若当冲时月行近于两交，必入地景而为闇虚，此乃月日同在一线，而地居其中间，日光为地所阻，不能射照月体，则月失其光而为月食。此日月二食者，躔度有恒，持筹推步分秒确然，而历家各法之疏密于此，更难掩也。试言其略黄白二道，相交之二所名，正交中交。凡日月行及二交为同度，同度则有食矣。然而论交又须论限，及交而在限内则食，限外则不食，此不可不审也。顾限度诸方不一，盖太阳于诸方之地平高度不同，而阴阳二历之各限亦异。论煖带下之地，二历互相受变。如白道向南极半周，有时在天顶及黄道之中，势必反谓为阴历；白道向北半周，是时在黄道外势，必反谓为阳历。故其下日食之限，莫得而定之也。他域更近于北，必阴历限多，阳历限少；更近于南必阳历限多，阴历限少。比如京师近北约算阳历八度，阴历二十一度，则知日月相会，凡在阳历近二交八度，在阴历近二交二十一度。其下必见日食而过此限，以往则否，即北可以推南，莫不以远近分多寡矣。然而二历食限之度有异者，其故盖在月轮。月轮比日最近于地，而月又小于地，人目见月之所，又在地面，不在地心。故以月天论地平，虽天与地球皆为平分，直过其心，而人在地面高，所以视天地之两界，则似地球与月天非平分也。少半在上，多半在下，而差约一度。故以本法推算，月已出正地，平其于人目所视之地平尚少一度。此其较谓之视差。盖惟月在天顶，正地平与视地平之极皆以一直线，合于天顶，无有视差。过此左右不免有差，愈远天顶愈近地平，差必愈甚。夫视差无他，恒降下月体数十分耳。设令日月同度。同在近交之南，又因同度，并在正地平上高二十度，则太阳于视地平为十九度五十八分，祇降二分。太阴于视地平为十九度，直降一度矣。而日月二差之较为五十八分，故以算论，虽二曜同高、同度，而人目视之，太阴恒下于太阳一度弱，不掩日光则不食，若二曜在地平上高七十度，则太阳无视差，太阴视差止二十分，其降于太阳亦止二十分。势必相切，或至掩数分而成食。若二曜在交北，又当以太阴算在太阳之上，庶因视差所降而掩阳光，以为食也。顾此二地平之差，又分二类，一加减交食分数谓之气差，一加减时刻谓之时差。历算之艰且剧，莫过于此，所最当究心者也。
系日食之全与不全，其故有二：一由天上之行，一由食时地平上高弧之度。故均一食也。有见全食者，有见食多寡不等者，有全不见食者，就南北论见食地界，设如北京见全食，其南北各距四十五度之地为万一千有馀里，皆见有食然。而多寡不等；就东西论，各距六十度，为万五千有馀里，各见食而分数多寡亦不等焉。即月食时刻，南北亦有不同，而东西为甚也。

三馀

三馀旧加紫气，名为四馀，亦谓之四隐曜。然详求天行，实无紫气，且绝无当于推步之术，故西法弃而不录，第取三馀。一罗㬋，一计都，一月孛。罗㬋即白道之正交，计都即中交也，月道自南愬北以交于黄道之一点，此点有本行，每日左旋三分有奇。而罗㬋正对之点即为计都，盖两规斜络其两交之二点必正相对也。月孛是月所行圈极高、极远之点，谓月离，于是其行极迟，其体见极小。盖孛云者，指其交转两行相悖之义，故其平行右旋，每日七分有奇。是三点者，土、木、火诸星本圈亦有之，名义皆同，第其各行不同耳。古历悉所未谙，悉置不推不录。新法用算五星之纬，故于本历各详其名数，云独惜日者之流，以罗计、月孛等名皆指为星，谓其所躔宿度各有吉凶，用以推人禄命，不知周天诸道、诸点，皆人所设以便揆算其行度耳，并非实物，何与吉凶。至紫气一曜，或谓生于闰馀，或谓土、木相会，或谓古人以是纪直年宿，故二十八年而一周天，都无义理可考，故月离历指详论其必无是曜也。

五纬异行

土、木、火、金、水五曜，名为纬星者，谓其日有近南、近北之行，与恒星异也。夫五纬之行，各有二种。其一为本行，如填星约三十年行天一周日二分，岁星约十二年一周天日五分，荧惑将满二年一周天日三十五分，太白辰星皆随太阳每年旋天一周。各有盈缩，各有加减，分各有本天之最高与最冲，即其最高又各有本行。论其行界，亦分四种，非若回回历总一最高也。其二在于本行之外，西法称为岁行，盖各星会太阳一次成一周也。因此岁行之规〈亦名小轮〉推知各星顺逆留疾诸情，故依新法图，五纬各有一不同心圈、一均圈、一小轮，凡星在小轮极远之所，必合太阳。其行顺而疾，其体见小；凡在小轮极近之所，其行逆而疾，其体见大。土、木、火行逆则冲太阳，金、水行逆夕伏而合，行顺晨伏而合。其各顺行转逆，逆行转顺之两中界为留，留非不行，乃际于极迟行之所也。留段前后或顺或逆，皆有迟行，其土、木、火行逆即冲太阳，而金、水则否者，缘土、木、火之本天，大皆以太阳为心而包地，得与太阳冲，而金、水之本天虽亦以太阳为心，而不包地，不能冲太阳也。金、水不能冲太阳而能与之离，金离太阳四十八度，水离二十四度。

五纬纬行

太阳之行，因黄道斜交于赤道，故其距赤道之纬南、纬北也，各二十三度有半，以成二至是黄道者，太阳之轨迹也。太阴本道又斜交于黄道，最远之距为五度，以生阴阳二历。五星之道虽相距纬度各异，而其斜络黄道则与月道同理，故皆借月道诸名名之。其两交之所亦谓正交、中交，其在南在北两半周亦谓阴阳二历。审是而五星纬行庶可详求矣。盖各本道外之岁行小轮恒与黄道为平行，而又斜交于本道，其上半恒在黄本二道中。凡星躔于此，则减本道之纬，其下半恒在本道外，星躔于此，则加其纬，然此小轮之纬向则恒不变。如土星三十年行天一周，其在正中，二交之下必无纬度分，十五年恒北，十五年恒南耳。凡冲太阳，因在小轮下半，即加本道纬度；凡会太阳，因在小轮上半，即减纬度。他星亦犹是也。其或行近于地，小轮加纬益多。太白至夕伏合之际，因其近地，其纬几及八度矣。中历不谙纬行之原，一见金星在纬南北七、八、九度，即詑谓本星失行，岂非诬乎。又中历亦有五星，南北纬行图亦界以黄道、本道似矣，但其逆行之迹，恒作一斜方形，此甚非也。五纬不行直线，安得方形。以此新法图分二种，一设人在地，仰观天上进退诸行，故于上三星冲太阳，下二星夕伏时，第作一仅似之圆形。凡冲太阳，如在本道交上，则不作圆形，即彷佛一之字形而已。一各星近远于地之图要，皆旧历所未谙也。

五星伏见

五星之光与日相较，譬犹萤火之于庭燎光，本非灭，第为大光所夺，人莫能睹耳。旧历亦晓此理，故用黄道距度以定诸星伏见。如谓太阳在降娄初度，岁星在十五度，即以为见限似矣。然而诸星各有纬南、纬北之分，黄道有正斜、升降之势，各宫不同，何得泥距度以定限乎。新法定限，惟以地平为主缘。地平障蔽日光，能使星或伏或见耳。夫日之下于地平，其光渐杀，所谓晨昏。此晨昏光之久暂，四时不等，即冥漠等矣。而星见时刻又自不等。所以然者，太阳由黄道而下地平，或十度，或十五度，或至三十度有奇，原自不等。而星在黄道，南相距必多数度，在北相距必少数度。其限岂可泥乎。大略土、木、火三星，较太阳行迟、行后，太阳夕伏晨见。金、水二星顺天东旋，较太阳行疾、行先，太阳晨伏夕见，逆行反是。其与太阳遇也，亦夕伏晨见。太阴行较太阳更疾，晨伏夕见。至于金星之纬不及八度，则凡逆行合太阳于寿星大火二宫，而其纬又在北七度以上，虽与日合，其光不伏，一日晨夕皆可见之。水星之纬惟四度馀，若其纬向南合太阳于寿星，此后去离夕必不见合太阳于降娄，此后去离晨必不见金合，而不伏水离而不见，此二故者，浑仪解之。他如恒星亦有夕伏晨见者，一因黄道之经纬度，一因其小大等第，即为见伏之限，故亦可推也。