钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第六十三卷

历法总部汇考六十三

新法历书十三

交食历指五推视会第二〈凡三章〉

交食第三卷求定望，改实时为视时，所以然者，为有升度差也。今日食以地心之实会，改为地面之视会，所以然者，为有地半径差也。以地半径差论实会、视会不同，上章已详之矣。此求视会，则依视差推算法，先求日月高弧以得高差，又求高弧与黄道之交角，因以得南北东西差次。求视会与实会之时差，以加以减于实会之时刻，而得日月正视会之时刻，其加减则以黄道九十度为限。〈即黄平象限〉
日月距地平高弧

视差有多有寡，必依太阳出地平所得高度多寡。
日月会合，若同高度，或差一度以下，其视差甚微，故得太阳高度不必复求，太阴高度必求细率，则以太阳高度查太阴高差，先加于太阳高弧，得太阴高真度也。

欲求高度几何，则用定会〈即定朔也〉之实时，及本时之太阳躔度。先以躔度推太阳距赤道之纬度，次以定会实时推其距子午圈若干，〈详见下文用法中〉得二角形。形有北极出地之馀弧，有太阳距赤道之馀弧，有两弧间角为太阳距子午圈弧之相当角，算得本形之第三弧为太阳出地高弧之馀弧也。如左图，甲乙丙为子午圈，甲丁丙为地平，丁戊为黄道，太阳在庚，则乙庚己为高弧，壬庚为太阳距赤道之馀弧，因得乙壬〈本地
图

极高之馀弧
及壬庚〈太阳距赤道之馀弧〉
两弧及乙壬庚角。〈太阳距子午之相当角〉以推第三乙庚弧，得其馀弧庚己，太阳出地平上之弧也。次推高弧交黄道之角，先以升度求庚丁弧，次以庚已高弧，以庚丁黄道弧，以庚己丁直角推得庚丁己交角。因以对角〉
图

求南北东西差法，如次图。设庚癸为高差，辛为黄道极，则辛癸大圈之弧以直角交黄道于壬，为庚壬癸三角形。先已得壬庚癸角，而庚癸壬为馀角，则全数与高差；若壬庚癸角与壬癸南北差，又全数与高差；若壬癸庚角与壬癸东西
图

差，或用简平仪求高弧，可免算第，其图愈大，所取太阳高度分愈真，乃足推算视差。如图，己戊辛为子午圈，甲乙为赤道，北极在丙，太阳距赤道北，依丁戊线行，与行壬戊弧其理一也。至戊为正午，至丁如复至壬，午前与午后同，所以然

者，戊丁直线不可得度分数，必用戊壬弧度量为准。
戊壬与戊丁皆距等，小圈两弧皆小圈之弧，即等。试想戊壬圈置戊丁线上，与戊丙圈纵横为直角，则得其理。

如彼面之丁为巳时至戊为午，行至此面之丁为未与壬为巳，至戊为午复转至壬为未，其理一也。次作丁庚直线与地平甲己线平行，则得己庚弧为太阳在巳时或在未时出地平上之高弧也。别有表以日食之实时及太阳距赤道纬度，查其出地平度而推两曜高差。又有高弧交黄道角表，以此三角形〈前图之己庚丁〉推算法，用太阳高度于太阳距黄道九十度限表中查角，〈即庚角〉详本表。又有南北东西差表，以太阴高差及高弧交黄道角，依直线三角形推算。
因三差线小，虽在天实为大圈之弧，亦可以直线句股法求之，与三角形圆线法所求不异。
黄道九十度为东西差之中限

地半径三差恒垂向下，但高庳差线以天顶为宗，下至地平为直角，南北差者变。太阴距黄道之度以黄道极为宗，下至黄道为直角，东西差则黄道上弧也。故论天顶，则高庳差为正下，南北差为斜下，而东西差独中限之。一线为正下，一线以外或左或右皆斜下。论黄道则南北差恒为股，东西差恒为句，高庳差恒为弦，至中限则股弦为一线，无句矣。所谓中限者，黄道出地平东西各九十度之限也。〈黄平象限省曰度限〉旧法以子午圈为中限，新历以黄道出地之最高度为中限，〈东西各九十度则是最高〉两法皆于中前减时差，使视食先于实食，皆于中后加时差，使视食后于实食。第所主中限不同，则有宜多而少，宜少而多；或宜加反减，宜减反加。凡加时不得合天，多缘于此。此限在正球之地距午不远，若北极渐高，即有时去午渐远，时在午东，时在午西，大都北极高二十三度三十一分。以上者
若高二十三度三十一分，以下者则日月有时在天顶南，有时在北，三视差随之，今未及论此。

独冬夏二至度限与子午圈相合为一，从冬至迄夏至，半周恒在东，居午前；从夏至迄冬至半周恒在西，居午后。
问日月诸星东出渐高，至午为极，高乃西下，渐庳而没。则午前午后之视差岂不分左分右，渐次高庳，以正午为中限乎。曰：南北差，东西差，皆以视度与实度相较得之。而日月之实度，皆依黄道视度因焉。安得不并在黄道，从黄道论其初末，以求中限乎。推太阴之食分，以其实距黄道度为主；推太阳之食分，则以太阴之实距度，先改为视距度，所改者，亦黄道之距度也。论实望、实会，欲求其实时，以黄道经度为主。今求视会，其所差度必不离黄道经度，而因度差多寡求其相当之时差，以得正视会，理甚明矣。若子午圈者，赤道之中限也。度限为东西差，有无多寡之限，犹冬夏至为昼夜永短之限，午正时为日轨高庳之限也。惟岁惟时自宗，赤极不借黄道之度中为限。东西视差自宗，黄极何乃借赤道之午中为限耶。昔之治历者，未能悉究三差之所从生，徒见午前食恒失于后天，午后食恒失于先天，故后者欲移而前，前者欲移而后。又见所移者，渐向日中，渐以加少，遂疑极高至午中则无差，不知黄道两象限之自有其高也，亦自有其中也。必如彼说以午正为东西差之中限设太阳实食午正，遂以为无时差，遂以为定朔、为食甚。傥此时之度限尚在西，愈西，则愈有西向之差。法曰：中以东，则宜减，安得不见食于午前乎。傥此时之度限尚在东，愈东，则愈有东向之差，法曰：中以西，则宜加，安得不见食于午后乎。如万历二十四年丙申八月朔日食，依大统法推得初亏巳正三刻，食甚与定朔无异，皆在午正初刻。至期测得初亏巳正一刻，后天二刻，此所谓中东宜减，见食于前者也。今试依新法减时，则推定朔在午正初刻内四分四十九秒，于时日月躔度在鹑尾宫二十九度八分四十七秒，黄道中限在本宫一十三度○一分，距正午西一十八度五十九分，距太阳躔度一十六度○八分，太阳定朔之高尚有五十○度，查得太阴高差三十八分，先求高弧交黄道角，为日距度限弧之切线与本角。若全数与高弧之切线得视差小，三角形内正对东西差边之角二十○度一十一分，再推本角之正弦与东西差。若全数与高庳差得一十三分○四秒，为此时之东西差，因此求时差，得太阴行一十三分，应为时二十四分二十六秒，于法宜减，故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒，在定朔之前也。更求初亏约用前四刻。依法复求视差，其时黄道度限在鹑尾宫初度二十○分，即午后一十四度四十○分，距太阳二十八度四十六分，太阳高四十八度，得太阴高差四十○分，东西差二十四分，求其视行度，得四刻行二十一分，又以开方法算得太阴自初亏至食甚行三十一分。今视行二十一分，得四刻，则三十一分应得五刻一十三分五十四秒，以减食甚时得初亏在巳正一刻内一十一分四十三秒，与实测时刻密合。
凡九十度限去子午圈不远，新旧两历所推之定朔不远，则两所得之时差亦不远。若相距远而度限在东，则食在午前，或在午后，新历所得时刻皆多于旧历；度限在西，食在午前午后，新历所得时刻皆少于旧历。如万历三十八年庚戌十一月朔，大统历推食甚在申初一刻，至期实测得申初四刻先天三刻，于时度限距子午圈二十一度○四分，在东距太阳五十九度四十七分，日月并高一十六度，得太阴高差五十四分一十五秒，从是算得东西差二十八分三十一秒，应时差四刻○一分三十五秒，依法与实时相加，而实时与大统历算小异。在未正三刻○四分得视时，乃大异。是繇度限在东，加数宜多，而午正为限者，加数则少，安得不先天也。又万历三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒，大统历推食甚在辰正初刻，新历推得在辰正三刻内，此时度限亦在东，距午正一十五度四十二分，较太阳距正午为更近，所得东西差止一十九分二十四秒，应时差四十七分四十六秒，依法宜减，则实时巳初一刻○六分，改视时为辰正二刻○三分，此两食者，皆所谓度限在东，则食在午前午后，新历所得时刻皆多于旧历者也。又其甚者，若日食在正午及度限之间，则宜加者反减之，宜减者反加之，所失更多。如崇祯四年辛未十月朔日食，大统推初亏未初一刻，较新历迟三刻，有奇食甚未正初刻新历推未初一刻内，至期实测果在本刻内。所以然者，新历以黄道九十度限为中，所得时差与实时相减，则食甚后退，故合大统以午正为中，所得时差反加，而前进去之愈远矣。盖本日食甚实时，日月并已过午正一十七度二十九分○一秒，未至黄平象限六度二十二分三十九秒，则度限在午西二十三度五十一分○四秒，算得东西差三分三十四秒，应时差○五分为减，而先推实会在未初八分四十○秒，因时差退减为未初一刻内三分四十○秒，如是止矣。若以子午圈为中限，则本时日月过午巳十七度有奇在西，东西差既宜少而多，时差又反减为加，即多得时刻。若此者，就用西法算两曜高三十五度四十八分，及其距午正之度能生东西差一十一分一十三秒，应得差二十二分，定朔在未初二刻○五分，相加亦不得不为未正可见中限异同，实为加时离合之根也。
算视会必求黄道九十度限

交食以黄道出地之最高度为中限，固矣。但限内所应加减者则有时差。
图

日食在九十度，西时差宜加，在东宜减。
此实食视食之所繇以先后。〈详见上篇〉故算视会者，必先求九十度限所向何方，乃可，然求之。之方不一，或依常法定其宫度分，或依简法止推两曜当食之时，居九十度东西何方，而不必
图

问其宫度，先以常法论。设甲乙丁斜三角形，甲为天顶，乙为黄道交子午圈。日月俱在丁，以升度得乙丁弧，以太阳距度得甲乙弧，查本表得其两孤间之角。以甲乙丙三角形内因九十度限在丙必求甲丙为垂线，指九十度距甲顶若

干，更求乙丙为九十度限与子午相距若干，则丁丙乃日月距九十度○，所自有者，而以先得甲乙弧与乙丁弧及两弧间之角，因求得时差，此本九十度限表所繇起，乃常法也。第以此求之，必先算日月高弧及高弧交黄道角等，未免太烦。乃简法，则惟算黄道何度分当九十度，即此斜角三角形内径求甲丁弧为日月高弧之馀弧，又求甲丁乙角，即高弧交黄道之角，则视差小。三角形内〈见前五卷三题〉以高弧得高差，以本角得交角及馀角，而推所对之弧为南北东西差，
图

固巳，捷若指掌矣。再欲察日食在九十度限东，若西亦得两法。一以黄道在正午度推九十度距午左右何若，则以定朔所得太阳躔度较先所得在正午黄道度，即得太阳在九十度限东西何方。如依甲乙丁斜三角形以升度求乙丁

弧，必得何度在乙，〈子午圈交黄道之处〉使星纪宫初度，或鹑首初度在乙，乃为正九十度。此外，则以食时按极出地度求之。盖北极高过二十三度三十一分。凡自星纪初度至鹑首初度，黄道度在午者，必九十度偏东；自鹑首至星纪，黄道度在午者，反为九十度偏西。而距午最远者，则在大火宫或元枵宫，随极高低不一，亦随宫度各处不一也。试以极高二十四度，则九十度限距午最远，特一十五度耳。极高四十度，则九十度限能距午二十四度，馀宫度在九十度限，亦距午渐近，因而推日食在九十度之或东或西较，较不爽也。又一法以黄道交高弧角求之，更准。盖本角向子午圈者，在午前为锐角，午后为钝角，则食必在九十度之东；若本角午前为钝角，午后为锐角，则食必在九十度之西，如此可免再求矣。
求视会复算视差之故第三〈凡三章〉

日食与九十度相近，则太阴之偏东西不多，所得时差于本食之实时不甚相远，可免复求。东西差倘所食远距九十度之限，则太阴偏左偏右〈左右即东西〉者，必多而能变，其实行以为视行，使不再三考求，何从而知。故必先算太阴之视差，化之为时差；次求其视行与太阳实相距若干，则用以推东西差，可得食甚。至若初亏复圆总不外太阴之视行而得之，此推步日食者所以复算视差。
求太阴视行

定太阴东西差，须得其与太阳相会之实度，应先，〈如在九十度东〉应后，〈在九十度西〉乃使太阴实行，即从自行可得，则或二十八分一小时，或三十○分或三十三分有奇。
因最高最庳中距不等故，

以三率法推其度差，则相应几何。时刻因与定朔加减之，其所得时亦可于真视会不远，但先后会之度差必以太阴实行为主。然因视差故，每每移其本实行，故以实行求时差多谬，而以视行求之，乃准矣。法曰：日食在九十度东，则较定朔前一小时食；在九十度西，则较定朔后一小时。复求东西差，以两差不等之分秒或加、或减于太阴一小时，因以实行得其视行。若次得之，东西差大于先得之东西差，其两差不等之数为减；若次得之差数小于先得数，则两差不等之数为加，乃得太阴一小时视行也。或不用一小时先于定朔算东西差，而以实行化为时差，或加或减于本时得视会，又以视会与定朔相去不拘若干，惟于此时再求东西差，两差不等之数，依前法加减之，必得太阴视行时差，因以复算真时差。
假如崇祯四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒，此时顺天府得东西差三分五十○秒。太阴一小时实行为三十三分二十○秒，以此算得六分五十四秒为时差。因食在九十度东，故减得未初○一分四十六秒，即相近视会时也。次升度先在正午自春分起为二百二十六度二十五分四十○秒，因时差宜减一度四十三分，则以馀升度查本表得躔度在正午者为大火宫一十七度一十二分，算得九十度在午西，离二十三度三十五分，比日月距午更远七度四十四分三十八秒。又以太阳高三十六度一十四分，算得高弧交黄道角八十四度一十七分，则以馀角复得东西差四分五十○秒，两差不等之数为○一分，因后得之差大，故先得差内减一分实得○二分五十○秒，为太阴过太阳之视行也。前时差○六分五十四秒，今以三率法依本视行得前东西差○三分五十○秒，应九分一十九秒为真时差，因减故算得视会在午正三刻一十四分二十一秒。〈一十五分为一刻〉
考真时差

真时差者，为太阴视行反覆推求，再三加减吻与视会相合者也。欲更考其实，须算太阴实距太阳几何。若所得分数与太阴所当视会之东西差等，则所得视会亦准；若微有不等，则以不等之分数化为时，依两曜实相距之分数较之，视差或大、或小，依法加减。于前视会如距度大，日食在九十度东，则时差为加；食在九十度西，则时差为减。如距度小，则九十度东宜减；九十度西宜加。分秒内可得其准也。因此再求东西差，而以本视会时复求九十度限，与其距天顶及距太阳度，因以本高弧及高弧交黄道角复算视差。如前假如得真时差九分一十九秒，何以知其然也，因减时九十度，略在前，即寿星宫二十三度○六分，距天顶五十三度四十○分，距午二十三度三十一分，较太阳复西去○八度二十一分，算得高弧三十六度三十四分，交角八十三度四十五分，推东西差○五分一十三秒，故以三率法用太阴实行三十三分二十○秒，一小时以真时差得五分一十○秒，为太阴实距太阳分数，见其与，才得之。东西差相等，则前时之时差亦准；若未等，则求所差分数如前东西差三分五十○秒，得九分一十九秒为时差。此不等之三秒，亦得七秒依前法视会内应减，实得午正三刻一十四分一十四秒，乃真视会也。
求初亏复圆俱依视差算

凡算月食推初亏复圆，先以开方求其自初亏至食甚所行之度分若干，又自食甚至复圆所行之度分亦若干，故所推食甚前后时刻大约相等。算日食则不然，虽太阴在食甚前后所行度数相等，而所应之时刻鲜有不参差者，盖视差能变实行为视行，有前得之，时较后，得为多；亦有后得之，时较前，得为多。此
图

中种种不一，如图：甲为太阳，乙丙丁皆为太阴。甲乙或甲丙为两曜视半径，甲丁为太阴食甚视距度，则甲乙线之方数减甲丁线之方数，其馀数开方得乙丁线为太阴自初亏至食甚所行之度，与丁丙至复圆数略相等。但太阴行过
乙丙线时，〈除食甚正在九十度〉前后未尝相等，故求之。之法必
于前时以东西差求其视行，则得初亏距食甚之时，又于后时复以东西差求其视行，乃得复圆与食甚相距之时。然初亏与食甚，或皆在九十度东，则因初时之东西差大于后时之东西差，其两差不等之数减于太阴实行，则得视行；若初时之东西差反小于后时之东西差，其两差不等之数则加于太阴实行，而得其视行。或初亏与食甚皆在九十度西，而初时之东西差大，后时之东西差小，其两差不等之数用加；如初时之东西差小，后时之东西差大，其两差不等之数用减，与前法相反。此较初亏与食甚，若较食甚与复圆皆为一理。第其两相比量，俱以先东西差与次东西为主。故求初亏，则食甚为后时；而求复圆，则食甚又为前时也。或前后两时不同，在九十度之一边，如初亏在东，食甚在西，则求东西差必不止食甚前后之两次。因九十度而中分之，则一视行求其时之多半，又一视行求其时之馀，乃合之为初时至后时太阴视会所行度分矣。
假如视会在鹑首宫初度午后正二刻，距九十度西，得东西差○五分。设得视行二十二分，则太阴自九十度至本视会之度，两刻间视东行一十一分，如前图乙丁线为二十八分，减一十一分，所馀一十七分为太阴在九十度东，自初亏至食甚时所行，即因九十度前一小时，以东西差得太阴视行二十一分，故其行一十七分必须时三刻○四分，乃自初食至正午〈此正午与九十度同故〉为太阴所行之时。并午前后时总得五刻○四分，为太阴自初亏至食甚过乙丁线所行时也。
算日食复求太阴视距度之故第四〈凡二章〉

前以实会而不得其视会，则所求者，在东西差乃今视会真矣。然何以知其所食大小之分数，及以月掩日所向之方位乎。曰：此皆繇于太阴视距度也。故推步者，必先于食甚求视距度，则得日应食几何分，又于初亏复圆求视距度，则得月掩日之光在何方。
日食分数

凡推月食以太阴实距度，较其半径及地景半径，即得月食之分。今算日食法虽同，然因视度为主，则必以太阴视距度与日月两轮之半径相较，乃得日食分矣。依法于视径本表查日月半径并之，减视距度为太阴掩日之分。〈天度数之分〉次以三率法求食之分，〈日径分十分之分〉因先于食甚求太阴实距度，则太阴视会及实会间之本行或加或减于其交周度。依时差加减得视会时太阴交周度，用算或查表即得距度。假如时差为三十五分二十一秒宜加此间太阴过太阳行一十七分五十六秒，太阳本行○一分二十七秒，相加共得一十九分二十三秒，为太阴本行。今设交周实度为五宫二十九度，因时差应加，则交周多得一十九分二十三秒，终得太阴食甚时实距北○一分四十一秒，次以南北视差本实距度改为视距度。故凡于三差小三角形内考时差并求南北差，乃所得为正视会。若太阴距黄道北，人居夏至北，则实距度恒减，视差为视距度；若太阴距黄道南，则视差反加，于实距度为视距度。
假如万历二十四年丙申岁八月朔日食，历官报应食九分八十六秒，实测得八分强弱之间。依新法算当食甚时太阳高五十○度○五分，得太阴高差三十八分。因九十度距太阳西一十六度○八分，算得高弧交黄道角六十八度四十八分，为南北差线。其对角为南北差得三十五分，因当时太阴近交中，在黄道北二十八分五十○秒，与南北差相减得○六分一十○秒，乃太阴视距在黄道南矣。又日月两轮半径并得三十二分○五秒，减视距度得二十五分五十五秒，以此求食分数，得○八分二十九秒，乃与所测适合也。
日食图说

新法以图显本食所向之方，故上下书，南北左右书，东西其绘图，则以太阴距度为主，但食时先后太阴距度常有变易，或初亏距度多，而复圆距度少；或初亏距度少，而复圆距度多。此其故盖，因食在交处前后之不一也。若前后离交相等，则虽距度同而所向南北未免有不同矣。故日食前后求太阴视距度，必以交周所应食甚视距度，减其自初亏至食甚所行径度，则得太阴初亏视距度。又以加于自食甚至复圆所行径度，则得其复圆视距度也。复求交周所应太阴食甚视距度惟查距度表内上下左右则得交周度及其在交前后分数。
假如前万历二十四年食甚得视距度○六分一十○秒，即交中。后查本表右得○一度一十二分，其本表上，则得六宫，乃所应视距度交周也。又当时自初亏至食甚太阴所行径度三十一分○七秒，与交周相减得六宫○度四十一分五十一秒，相加得六宫
图

○一度四十三分○五秒，即初亏及复圆交周也。依此交周复查表，得初亏视距度○三分三十三秒，而复圆得八分五十三秒。因此画本食图。如乙丁及丙戊两直线以直角在甲相交，指南北东西方。乙丁为黄道，甲心为太阳居其中，
图

依前食论其太阳半径得一十五分一十五秒，较太阴半径略小。甲戊线则并两轮半径为三十二分○五秒，因太阴食甚在辛，甲辛乃当时视距度○六分一十○秒，初亏在壬，即乙壬与甲己相等，只三分三十三秒。复圆在庚得丁庚

与甲癸相等，共八分五十三秒，而壬辛庚皆视距南也。〈以上原本历指卷十四交食之六〉
测食分第一〈凡八章〉

算食而不溯食，将何以考其法。非强天，即自欺故。必随测随算，了了于目，了了于手，则视差视径时分俱准，而法乃得矣。
测太阴食分

常法全赖目力，因分太阳径为一十分，太阴径亦如。之食甚时，则以所见不食之径约略不能见之馀分。设并见失光之体庶几，所食有半者，依此以测犹可，此外则多有谬焉，何也。太阴未食以前，欲用器测全径，食甚时又测光所存之馀径，此际甚难，〈其光微又无从定中线故〉且不正合于法。今补此阙，用太阴地景两径之比例及太阴见缺之边。如图地景心在丙，得乙戊辛弧为边，太阴心在甲，以其乙丁辛边弧入景中为所缺。自乙至辛作直线更一直线，联其两心及两边交切之界于乙，或辛为甲乙，乙丙及甲丙而甲丙及乙辛以直角相交于己。使太阴入景之边乙丁辛为六十
图

度，因半之于丁，得乙丁对乙甲己角为三十度，必馀角甲乙己为六十度。〈甲己乙直角故〉甲乙割线二万乙己止一万，则以甲乙与乙丙之比例，〈一与三是〉乙丙得六万为丙乙己角之割线，查八十度二十四分，本角之切线五九一二三六为丙己。而

甲己为甲乙己角之切线一七三二○五，两切线为甲丁及丙戊所减〈甲丁与甲乙丙戊与丙乙自相等〉馀，丁己二六七九五，戊己八七六四，并之得三五五五九，为甲乙二万分比例之分，因以推太阴之食分。盖设太阴半径得一十六分，与之相乘用二万除，得食二分五十一秒，〈度数之分〉即径分止有五十三秒，以此测虽微有差，所推径分终近矣。
测太阳食分

密室中对太阳开小圆孔，以受其光。因孔小出光之体大，则所正照之光必为角形。其底在太阳，其角在孔之中。夫光一入内，又复展开为角形，以致底所对之墙，转其原形。以上为下，以左为右，使墙与光直角相遇，则底为圆形，不则为圆长形。使孔不圆且小，则光底在墙或彷佛孔形，而所像太阳之形大都不真，何也。太阳、孔、墙三者，皆有远近大小之比例。盖孔距墙得其本径数，与太阳所距本径数等，则光底在墙必像太阳圆形。及孔之多边形各等，为杂形。若两径数不等，而太阳距墙得径数多，则光底失去原形，转随孔形；得径数少，则光底必因之愈少，故测食者恒。设孔小而圆，乃可远近无差，因以墙上所缺之形徵太阳所食之分法。以规器于纸上先画大小不等数圆圈，各以径分之，其径以十，或更密平分之。临测室中以圈受光不拘远近，任用大小圈，全以吻合于光为准。既合，便转纸使其圈径横过馀光形，中平分两角，则光缺之界即所食分数。方光与圈合时，遂以笔于光景间微识三四小点，求心，因之作圈，略得太阴掩太阳大小之比例。如图：甲乙丙丁为太阳食外之
图

馀光，正与甲乙丙圈界相合。其心在戊，其径与丁以直角交景，而平分甲及丙两光角，则得太阳食七分有奇。更取三点为甲丁丙，以己为心，〈几何三卷二十四题〉以甲丁丙辛为太阴，乃以己丁较戊乙，亦得日月两径大小之比例。
日食射光之容

测日食，以最微之孔对照之，西土用绿色玻璃仅见日周俱掩去，馀耀反照，则用水盘欲细则以平面镜所接之光反射墙上，可略得分明。第对照水中反照皆非实测之法，惟射光于墙略近。然因尚容次光乱其景，犹未足，故前以密室测食之分，为本法。今再全解之，欲光从外入室内，以其形正彷原形，尽乎大小之比例。倘孔非最小〈几何称无分点之小〉而圆，则太阳食照必略变。其馀光之角形为不彷原之一；又太阴掩太阳其径略小，即失天上视径之比例为不彷原之二；因径小所食之分较天上之真分亦少，为不彷原之三，三者皆归一缘。盖接光之孔稍广，则从中心摄太阳之形全显于墙或纸，亦并周孔边之每点全进焉。乃每点所进射之形，虽圆其出外，与孔之圆不平行，而每点射形之公界复与之平行，且内抱中心所射之形亦与之平行。如左图：乙丙丁界内为光，即太阳总形也。其内圈壬庚癸为孔之广，因圆故，受光至平面亦圆。第太阳大不可比其光，一入复宽为戊己辛形
图

与内圈平行，以其中心甲与太阳正对，故以远近之比例可推本形。甲戊半径与太阳视半径大小之比例。然庚内圈之点射太阳形为丙己辛，较于中圈更以戊丙径线出外，〈戊丙与甲庚孔之半径等〉而壬癸及馀点皆射圆形，则外得乙丙丁总圈。
图

其甲丙与太阳半径无大小之比例，以远近可推也。又因原形入室内必借孔形，以两形合，别为杂形。今测太阳，设圆孔原形无从可变，〈除上为下左为右〉而食之时其自变形露角射于密室内，又与孔之圆形不合，因而损其角似圆矣。如左图：
图

太阳食之馀光实为甲乙，丙丁乃从甲孔之心射入，以丙丁乙弧不异于孔形，而丁甲乙角形则异矣。故本界四周以孔半径展开，
甲戊、丙己、乙辛、丁壬皆半径。
外得戊辛已壬为总界，与前图所解同。则以辛己壬

弧元合于孔形，而壬戊辛亦必彷之。其彷之，之规必依孔半径。故丁乙各人为心，得壬癸及辛庚弧皆变为圆角耳。
室中测食日月两径有定差

依本食图，丁甲乙弧为太阴掩太阳之边，其心在癸。从癸心出直线至丁、至甲、至乙。又乙丙丁中原形，使之过庚为圈，而从其甲心引直线至壬、至辛、至己，因甲乙丙丁为日食馀光之真形，实合于原，则癸甲与甲丙或癸乙与甲乙，癸丁与甲丁，
图

甲丙、甲乙、甲丁，皆太阳半径。癸甲、癸乙、癸丁皆太阴半径。
得真大小之比例亦与原视半径全合。今密室之中辛己壬戊光形实以甲戊孔之半径周展其界，则太阳亦展半径自甲致之于壬、于辛、于己，而甲辛与甲

癸太阳半径之比例必过甲乙与本甲癸之比例。太阴半径亦然。移癸甲为发戊，其癸丁、癸乙皆曲而小，故甲乙与癸戊之比例又大于甲乙与癸甲之比例，而甲辛愈大，〈因甲辛大于甲乙故〉可徵两径在光形密室之中，比于两径实在食时，必依孔之广狭，变其大小未尝正合焉。
室内测食食之分有定差

依前图总光界辛己壬弧以加壬丁辛弧作全圈，则甲乙元为食分，与丙乙太阳全径实得比例。今总光
图

形之径己丁较之丙乙，长两孔之半径，〈即己丙及乙丁〉故本径与食分变比例，因而甲乙比于己丁线不如比于丙乙线，得大小之理。若丁戊〈光形食之分〉则既乙丁与甲戊等，亦自与甲乙相等，可徵其大小之比例在光形有失矣。
或问测食与算食分数不合，而每每所测分数恒不
及，必因食形假耳。今欲改为真形，从何法得。曰：以太阴半径加孔半径，于太阳馀光之内，反减之。各依本心光形内作弧，得甲庚丙癸原正形，即从甲太阳形心及丁太阴形心推定也。
定食分及两径比例必系真光形

推算食分以定多寡法，以两曜视径较于距度求之。今欲于所测对验，亦以日月两径，以其两心相距几何，即可得矣。但测时因太阳行速依前法于形中点号，以求径并距孔，时远时近，就景于先所画圈亦不易，故纸距孔须定度。
用窥管前开小孔，后置白牌，彼此以平行相照，

可免多圈多量之烦，受景之底，大小依远近。如左图，外有己壬辛大圈为定周分度数，共作四象限。〈用以取食方向见下文〉中有乙戊丙丁小圈以甲为轴，能转动，此乃受光形之圈故，以丁戊指太阳全径，以甲心及孔之中心与太阳中心正对，本圈上安量尺，即戊丁中空以两旁与圈径平行，其尖锐直至大圈，以能指度为
图

用量。尺上仍有方尺为乙丙中开一小陷道，以合于下，前后可任进退，将用浑器对太阳，时便转中圈令其径平分馀光之角，随以方尺就之其交径之点，必用号以识之，有光无光之边交径点亦然，即以此定乙甲丙弧分食与不食之
图

形，不须别点。如二图：设乙丙丁戊为太阳食形，得心在甲，丙戊为径，以方尺〈乙己丁〉切光之钝角〈乙丁〉交径于己，景边交于戊。今依孔半径得己庚，作壬庚辛直线与方尺平行，而更作辛癸壬子，即日食之真形，何也。使壬丁、辛乙各于方尺为

垂线，必自为平行线，因而庚己亦于方尺为垂线，〈因作法盖庚己为丙巳径之分〉则庚己、壬丁、辛乙三线皆等，既等而庚己为孔之半径，则馀两线亦各半径可知。壬、辛两点当孔中心，为真形之锐角，则日月两边实于此点相交，而壬癸辛为太阳壬子辛，即太阴两弧中必食分外，则为所存光之真形也。
或问真原形既定，何以依之推两径之比例及太阳食之分数。曰：孔与形相距之度，与甲癸真形之半径，若全数与原视半径之切线，查表得太阳视半径试
图

以全形为一百分，孔径一十分，相距万分，一百减一十馀癸丑为九十，半之得甲癸四十五，以算终得一十五分二十八秒。〈度数之分〉论太阴半径此以庚辛中比例线求之，盖先以庚癸太阳径分求庚辛，〈见几何三卷三十五题〉次以庚子与庚辛。若庚

辛复与庚寅得全子寅论食分，则发丑与一十平分。若子丑与食之分，或若癸子与未食之分于十分，相减馀则为所食之真分。
测日食细法

用方尺量食之形，或景淡，而景符无处可用。欲以所测推太阴视径未免微差，今更用一器愈准、愈易。前所云受光形之表中有轴，能令小轮转动，轮上定量尺随以同转，则因以载方尺而外指度数矣。此则两尺俱不用本小轮改为方形，如左图。甲为表中之轴，
图

亦为太阳景心。〈先依太阳在本圈某宫度取视径作圈〉乙丙丁戊，则大方形也。转以甲轴以辛为表锐，用锐以指外圈之度左右，〈大方形〉开两小陷道能受小方形为己庚癸壬。此中亦有小圈，即掩太阳之太阴也。周圈先去孔半径形，
得圈大小不等。预以引数取定，或备数面，以待临期更换亦可。

其四图〈小方形〉开空止存六小条与方相连，以支圈将测用大方置衡上。
长方尺为衡，其图在下，前所言窥管亦可。

与孔以定度，相距小方贯入其前，令中圈以边，合于景食甚时，见本圈上方馀光先至，而左右尚未及，必圈小宜换大；若左右先与光齐，而上方未及，则圈大宜换小，总以正合为准。万历二十九年辛丑冬至后
图

两日，第谷门人在西土测日食用本器，大方中圈设一百一十分，小方圈七十五分，两数总而半之，得九十二分三十秒，即初亏时太阴与太阳以中心相距之分。〈任取无度数之分〉故至食甚时所见食之分，〈略得八分〉此中必减去馀分，及两心相距

之分。第先定太阴视径因小方圈正食于景，而设径有七十五分二十八秒，以加孔径一十六分三十○秒，总得九十二分，以此求度数之分，得太阴在最高本径三十分三十秒，若求食之分，因当时形中得食八分，〈径半十二分之十分〉以比例法算得七十四分，〈任取分之分〉与两心初亏相距之分相减馀一十八分三十秒，化为度数之分得六分○八秒。
光形一百一十分减孔全径一十六分三十秒，馀分为法数。太阳在最庳径三十一分，为实数。算得
图

六分○八秒。
如图，甲丙太阴半径减甲乙两心之距，馀乙丙为九分○七秒，加乙丁太阳半径，〈一十五分三十秒〉得丙丁为二十四分三十七秒，〈度数之分〉即月体掩日之分。故以三十一〈全径〉为法，以十二平分为实，算得九分三十二秒，即

太阳实食之分，较形中所见食多一分三十二秒矣。或问测食常法因难分食与未食之径，不待言矣。今室中测食虽能明分之，而所见食分非真食分，所测径非真径，则古测又奚足用。曰：因分得日月两径大小之比例，及明暗之界，即推真食分及真径之根。盖古之定日月两径多依此，测不能无差，今从而改之，此外尚有测其径之多法。〈见月离历指〉
以真视径比例推食之实分

测食者于室中任用器之长短，孔之大小，不必拘远近之比例，而惟以先列视径表定食分为止法。以所测之光形作圈，以光景之界弧求心，〈几何三卷二十五题〉即太阴心亦作圈，必量两圈径〈用比例尺或预分定数百平分之线〉得各分数若干，总而半之，即于两曜视半径并分数等。何为分数等也，日食形内光与景各失其本，然止以边。论则犹是，若两心相距则非矣。盖两心相距与原形恒有比例，因彼所张此，反损各半径与原半径不合，而两并与原并数，则有合焉。故以此总〈两半径量之分〉与彼总〈两半径度数之分〉之比例各本分〈或日或月〉推相应之。半径〈形中非真半径〉与真半径比较得差数，因以复推食分，加于测食分，即得所食之实分矣。
假如万历十八年庚寅七月，朔第谷门人在西土测日食见食六分正，
依十二径分，大统亦能见，推食五分有奇，依十径分；

光景各半径并得四十七分。太阳近最高得半径一十五分○二秒，太阴距最高四十馀度，得半径一十五分二十五秒，两半径并为三十○分二十七秒，即与前四十七分等，故一为法，一为实，求二十三分〈太阴或景任取之分〉相应度数之分若干，算得一十四分五十四秒，比太阴视半径差三十一秒，而差数或加或减于太阳半径，则以真半径为法，〈当差数加也〉推得六分一十三秒。
孔小故受景正，而测之分，比推算之分略近，

为真食之分。
又一法用远镜或于密室，或在室外。但在外者，必以纸壳围窥筒以掩馀耀，若绝无次光者，然而形始显矣。盖玻璃原体厚能聚光，使明分于周，次光又以本形能易光，以小为大，可用以细测。
以小为大，非前所云光形周散也。因镜后玻璃得缺形，光以斜透，其元形无不易之，使大见远镜本论。

然距镜远近，无论止以平面，与镜面平行，开阖长短俱取乎正。
光中现昏白若云气，则长边有蓝色，则短进管时须开阖得正。

馀法与前同。崇祯四年辛未十月朔在，于历局测日食用镜二具。一在室中，一在露台，两处所测食分俱得一分半，〈径分十分〉先依顺天府算以太阳引数三宫二十七度，取视半径一十五分四十二秒，以太阴引数五宫一十九度，取半径一十七分五十八秒，半径俱误用大，故并而减太阴当时视距度二十七分二十二秒，馀六分一十八秒，因算得食二分。试依新列表改之，则太阳得一十五分二十一秒，太阴得一十七分一十七秒，并而复减，视距度馀五分一十六秒，算
图

得一分四十三秒，为真食分，必如镜所测也。夫镜所测形为丁乙丙戊，即太阳食边之下映者，与实在天所食之形相反。〈大光过小孔之故〉依丁乙丙弧求己心，即太阴心。设其半径己乙为五十分，甲戊四十八分，两半径并得九十八分〈皆比例之分〉

为法数，两半径又并作三十二分三十八秒〈度数之分〉为实数，则以太阴五十分，推得一十六分三十九秒为己乙度数之分，必较于己壬真视半径得差三十八秒为乙壬。今论径分，〈以十分分之〉以三十八秒算得一十二秒宜加，所测之辛乙一分三十秒，总得辛壬为一分四十二秒，正合于所算食分矣。
或问远镜前后，有玻璃在前者聚光渐小至一点，乃在后者受其光，而复散于外，则后玻璃可当一点之孔，何所射之光形不真乎。曰：后玻璃不正居聚光之点，必略进焉。以接未全聚之光，乃复开展可耳。〈见远镜本论〉故谓此当甚微之孔，则可谓当无分点之孔，则不可所以用镜测者，纵或不真。然较之不用镜者，不但能使所测之形大而显，亦庶几于真形不远矣。
测食方位第二〈凡五章〉

古多禄某以交食占验欲定何州郡，则以本食方位求法近世。以本方位立法，因推太阴距太阳视经纬而以所测定其视行也。
测日食方位
图

太阳本食或正向南北东西，则目力所及一见能决惟不尽出于正，而偏有所距，则因以分别所偏若干定分数多寡，此必实见之，测乃可得耳。前论食分，设两轮盘并在一平面上，与太阳正对，亦与外耳进光者平行，其下大盘不动，分

以过圈径，从径左右边分全度数，用以测食方向。上小盘则能运转载量尺，与下轮边以对度数为主，将测全器对太阳下盘之径线，对高弧以光形之角较本线，或正或偏，因推所向方位。设两轮底方以直角安表衡上为甲乙，与外耳戊正对太阳，毫不偏于左右，则乙戊衡正居过天顶及太阳圈之平面。〈前所云高弧也〉而甲乙直线自上至下，亦当天上本圈径之分，外有木矩架为丙丁己，〈全形见月离三卷〉以丁己柱正立取地平柱端作运轴，使衡能上下转，以入架腰定丙乙太阳出地平高度，而全架则又周转，而辘轳也。用法日食时，表衡对太阳以甲乙方之面正受其景，则上下轮环转，而方尺与馀光两角或积或平，行其量尺所指轮边度分，即太阳本食所偏向高弧度分也。又本衡末于架腰自指太阳高度，则得时分，因得太阳及高弧距正东西以加或减于日食之角，偏去高弧度分终得食景偏去正东西度分。设衡下无架，可分太阳高度，则以别法求时刻，而于衡之末以直角加横平方。其甲乙直线及浑衡亦合于高弧圈之面，若不用量方两尺，依前第二法，用两方形有圈者以上方进入下方之中圈直至形前掩景，周围与光齐，而左右小条当方尺与两馀光之角或相积，或平行，其外锐亦指本景所向之方，与前同。如太阳初亏测方向得偏高弧距三十度，太阳出东地平高四十一度三十四分，躔降娄宫初度，因得巳时高弧距正东四十八度○四分，〈或查表或以三角形算〉减食方向距高弧度馀一十八度○四分，即初亏向西北度。若太阳复圆其方向高度时分皆如前，则一十八度○四分为复圆向东南度。又设方向距高弧过象限三十度，〈角上左旋〉高度时刻俱同前，则与高弧距正东相加得七十八度○四分，即初亏向东南，复圆向西北度。
初亏向东南，复圆必不在西北，此盖指前后两食论也。

或问所测方向距高弧线之度，何以知其宜加与减。于本高弧距正东以得其自距正东之度。曰：日食时，设有大圈径过日月两曜中心左右至地平，此即太阳失光及未失光之面。所向度分，今本圈以直角交高弧，则向位距正东或正西之度与高弧距子午圈之度等。〈地平圈上算〉本圈合于高弧通为一圈，则高弧至地平所指度，亦为本食所向度。若本圈斜交高弧，则以下轮盘外圈因知两距度宜加与否。
两距度者过心圈距高弧高弧距子午圈者，

盖午前过日月两心之线，测得在右上象限，或左下象限宜加，馀象限宜减。午后则反是。〈不拘初亏复圈〉或见日食馀光之上角在高弧及子午圈线中，则过心线之距加于高张子午两线之距，此在午前后共法。设甲
图

乙丙丁为下轮盘之外圈，分四象限，各象限分九十度。甲为天顶，甲丙线当高弧，甲己、甲戊皆子午线，中小圈即太阴掩太阳者。或食甚、或初亏复圆时在其东西南北及中央皆一类。
天上向位在西，图中反在东，诸方皆如此。

设庚为太阳，过两心之线为庚乙，因以直角交甲丙线。其至地平必两相距正九十度，故丙距己、〈地平上算〉乙距正东之度皆等。又设辛为太阳，则过两心线与甲丙同为一线，故甲丙所至地平度亦为太阳辛食所向之度也。又设壬为太阳，则以壬癸过两心线者，得壬癸乙角，加于丙甲己角，减于丙甲戊角。
因太阳壬之上角在丙甲己内，即午前。在丙甲戊外，即午后，故

得总。或馀角以定日食向，盖过两心之圈恒指向位，又恒随高弧。设高弧与子午圈全合为一，必过心圈以直角交者，所指向位在正东、〈食复圆时〉或正西；〈食初亏时〉若斜交，则因角大小不等，食形所向度距东西远近亦不等，其高弧不正与子午圈合而相距在其左右，则过两心圈虽以直角交，犹随高弧距正东西左右。若斜交，则本圈更距东西不等，盖以此两故求其距度，直至与高弧合，则惟高弧定距度也。
以长圆形求日食方位

前论密室测日食分法，以平面之方受景。盖孔小而
图

方又正对太阳，其景必圆。今以斜对之平面亦在密室中受景，孔仍如前。小则所得形必长圆，〈凡地平距黄道内者对太阳宜斜〉其长径线可当高弧法用白纸置地平上。〈任置何处宜与地平等〉令受日景必自为长圆形，次于本形。两端各识数点，又于两光缺角，
图

亦各识一点，以便用规器取食偏距高弧度。设乙丙为长圆形之大径，当高弧线求丁戊景缺偏距乙丙线若干，则平分径于甲。以甲为心，丙为界作圈，次与甲丙作垂线过丁戊两角，至己、至壬。此己壬弧半之于辛，作甲辛直线，则得丙

甲辛角，即日食偏距甲丙高弧之角。设丙辛乙半圈分一百八十度，以规取丙辛弧定度分若干。试依先测之横径，〈若未测以太阳高度求之〉以甲为心，作中小圈从两光缺角引直线与长径平行，至本圈之边，得庚癸弧其出中心至外大圈甲辛直线者，交于小圈之弧为两平分，则知先所取丙辛食方向距高弧之度数，无谬也。
因长圆形之心不正居光角形之枢线，而横径较光角形之正底亦微过焉，故欲求其正，设角形中线至
图

子，以太阳高度之馀推子乙、子丙，则于本高馀度加一十五分〈太阳半径依引数取〉又减一十五分得三不等度。查各度切线以相较，得乙丙长径之正度也。如甲乙丙为光角形至地平乙戊，因斜遇为长圆形，其长径为乙丙，太阳在甲，当高三十

七度，馀五十三度角形枢线甲子，则戊子为五十三度之切线，减一十五分，馀五十二度四十五分；其切线戊丙反加一十五分，得五十三度一十五分，切线为戊乙。今戊乙减戊丙馀二四○九为丙乙，即形中长径也。求横小径，则全数与太阳距天顶之割线，若太阳半径之切线，与横小径算得一四八六，
两径自较得一十与一十七之比例。欲各较于全数，设全数为十万，

因此依前图算。设乙丙为大圈之径，则以本比例得小圈作长圆形，引丁己及戊壬垂线如法，半之终得辛甲丙角为二十二度三十分，宜加或减于高弧距子午圈，以求其自距子午圈，与前法同。
测月食方位

冶铜为一扁圈，约宽二三寸许，周分三百六十度，其圈内俱开空，止留四线如十字交罗中心。交罗处安量尺、方尺，其尺径较圈径略长，皆能旋动，与前测食分器同。将测时从初度取上下正对太阴，以垂线取准地平转，其方尺令对两馀光角，则量尺低边所指度分即本食向方距高弧度也。盖密室月景不显，必室外测乃可。若用地平经纬仪上置前圈，以象限载之转，中线对高弧须准，与地平合，可免算高弧距正午度。
又简法，以界尺对两角，令其或取恒星、或五星同居一直线上，加太阴高差，〈以高度于本表取〉得其向恒星若干。免以高弧复求别距度，何也。因切两角之线其过景边交月边处，必俱以直角交过月景两心之线，故得角与星居一直线，则从此相距九十度，远者必为本食所向之方矣。
太阳初亏能向东，复圆能向西否。太阴初亏能向西，复圆亦能向东否。

从来论日食者，俱以初亏向正西、或西南、或西北；复圆即向正东、或东南、或东北。月食初亏向东，复圆即向西，或偏东偏西，此定法也。今细考之，殊多不然。盖初亏复圆，两向相反者，此非一食可有之事，必两食而日月体不全食，或有之先以月食，论如图。以甲为心，即地景之中心，以其半径为界作圈，从上至下引
图

乙丙直线可当高弧，横作丁戊，当黄道斜入西地平。下得乙甲丁为其两圈之交角，又作己辛直线与黄道线以直角交于甲心。设太阴本心在己，或在辛，此为定望。故甲己、甲辛各为月景，各半径并与距度等。又己为阴历渐小，必己庚
图

〈白道〉距黄道渐近；辛为阳历渐大，必辛壬〈白道〉距黄道渐远。此太阴未及辛先与甲近，彼太阴过己后渐与甲近，两者未免微有食，〈距度比甲己甲辛两半径并较少故〉其所食大，则从甲心出直线至白道，以直角所交之点，下为癸，上为子，是也。试以甲癸或甲

子当五十八分，较甲辛、甲己略少。〈两半径并共六十分〉则五度〈最大距度〉之割线与。全数若五十八分，与两心之距〈月心地景心〉得五十七分四十七秒，馀二分一十三秒，变为食分，即四十四秒。故依图，一食之初亏在己，他食之复圆在辛，而复圆向东，初亏向西者，此耳可遂守为一，定不易之成说哉。
若东地平黄道斜升其上，亦同。前设癸子为黄道，乙甲子为黄道交高弧之角，则丁戊线以直角交黄道者，上有丁为阴历渐小，而壬丁白道与黄道渐近；下
图

有戊为阳历渐大，而戊庚白道距黄道渐远。必辛一食之初亏向西，丙他食之复圆向东。万历四十一年癸卯十月十六夜，大统历官报月食四分四十八秒初亏，子正三刻复圆，丑正三刻西土。第谷门人测三分强总时，得八刻弱，与大

统略合。但先后两处不能无异，盖此中土太阴初亏略过子午圈，彼西土出东地平，高未及二十度，因行阳历而距正东去北。其初亏向正西，复圆偏西南。论日食其方向之变，不但以黄道斜升故，即视差亦有之。盖降娄东出，必黄道交地平角渐大，至鹑首出则愈大。故太阴在地平上，不论何宫度，其随宗动往北甚多，以本行去南反少，气差亦少。而太阳本食距赤道南，午后其初亏可向东；距赤道北，午前复圆可向西。又寿星出，则至降娄为半周，本角渐小，太阴去南，较其本行回北已多，必气差更大。而太阳距赤道北，午前初亏可向东；距赤道南，复圆反可向西。今试以黄道斜升之故，设太阳在降娄一十五度，出东地平，高一十○度，北极高四十度，当此有食，则太阴在阳历距南二十○分，〈视距度分〉虽不全食，约有三分之一。如图，丁壬为地平，丁庚为黄道，两圈斜交于丁，则戊为正东，壬为正午，庚癸过九十度限之弧，高有三十度。太阳在甲，高一十○度，太阴在乙，初亏距黄道二十分，得甲乙丙直角三角形，甲乙两心之距当三十
图

一分，〈日月各半径并〉求甲角，以定甲乙过两心之线。至地平何度，即本食之向位。盖甲乙线与乙丙线，若全数与甲角之正弦，得甲角为四十一度四十八分，馀对角乙甲丁一百三十八度一十一分。今甲戊丁三角形内戊为直角，庚丁癸因三
十度，必馀丁甲戊角六十度，而戊甲乙七十八度一
十二分，故甲戊己三角形内求戊己地平限定本食向何度，则全数与甲戊高弧之正弦。若甲角之切线与戊己弧之切线，〈图中设为直线天上实为弧〉得戊己为三十九度四十四分，因高弧于此，至正东，则戊壬为九十度减戊己弧，馀五十度一十六分，即所向偏东南，过子午圈东之度。若设阴历太阳复圆皆同度，则太阴在辛，而己辛弧又北过子午圈向西北，亦距北之西五十馀度。
若气差变向之故，则如万历二十七年己亥七月朔，第谷测太阳东北出地平，〈日躔鹑火初度故〉其本体之顶有缺，则必西南为所食方向。又太阴虽行中交，因黄道交地平角甚大，本行已近北，必得气差少。则复圆尚居太阳西，而本食方位巳不可转而东矣。又万历十六年戊子正月朔，太阳躔娵訾七度，有食初亏在午后六刻。第谷测其过日月两心之圈距，高弧偏西七十二度有奇，复圆在未正三刻半，又测得本交角尚有一十二度〈两弧相距〉可徵，尚未向东，而初亏食甚复圆
图

皆以西为方向矣。如图，甲乙当高弧，丙丁为黄道，太阳在己，太阴在戊，过两心之弧己戊，求其距甲己若干。以太阳食时躔度及北极高度，〈五十五度五十五分〉先定甲己丙高弧交黄道角为五十四度二十四分，则馀对角一百二十五度。因太阳
图

半径一十五分二十秒，太阴半径一十五分五十八秒，并得三十一分一十八秒为己戊线。太阴距北一度○八分，减气差四十三分○五秒，馀二十四分五十五秒为丁戊线，因而丁为直角。故丁己戊三角形内求己角，得五十二度四
图

十五分，与甲己丁角相减馀七十二度五十一分，为初亏距高弧向西北度。论复圆，则甲己丙交角有四十四度四十四分，太阴距度一度○五分，减气差三十八分四十四秒，馀二十六分一十六秒为丁戊线，其己戊同前，推得丁己戊

角五十七度○三分，减甲己丁角馀一十二度一十九分，为戊己距甲己高弧，即复圆向西之度。当时太阳初亏鹑火宫二度，复圆本宫一十五度，出东地平。故黄道高，太阳近北，气差渐少，令太阴距太阳不能复过东矣。假使北极更低，必得黄道愈高，太阴往北减气差愈多，因知复圆距东更远。万历二十三年乙未八月朔，第谷门人在东西两处测验，或得食二分半，或得食三分。盖在西者，测太阳初亏微过正午，故高弧与子午圈略同。而向位距本圈偏东，尚有九度在东者，测太阳后一刻有奇，得其初亏正向天顶，则地平北子午圈之东，是其向位也。从是知初亏向西，即复圆向东，非定论也。且初亏不尽向西，复圆不尽向东。又已彰明较著有如是也。成法误人可胜浩叹。
以方位算太阴视经纬

万历二十六年戊戌二月朔，西土巳正二十七分，初亏后测食约有一分，〈十五分一刻十二分一径〉太阳径线三十○分三十五秒，太阴三十二分四十四秒，各依本引数所定其本食所向，过两心线交高弧者，测得九十度
图

正为直角。如图，甲乙丙为子午圈，丁为赤极高。依本地四十七度○二分，丙为天顶，太阳在己，以丙己为高弧，丁己定距度弧；太阴在壬，因日月合半径并得三十一分四十○秒，减二分三十三秒，〈即所食一分化为度数分〉馀二十九分○七秒，为己

壬日月两心相距之分。又丙己壬角测九十度，因推壬辛即太阴距甲辛黄道视纬度，辛己即太阴距太阳视经度。先求九十度限距天顶，即甲丙庚三角形内丙庚边也。盖太阳躔娵訾宫一十六度四十三分，得升度三百四十七度四十七分，减测时距午所应升二十三度一十五分，馀升度三百二十四度三十二分。应黄道居天之中元枵宫二十二度一十○分，乃距赤道一十四度一十一分为甲乙弧，加乙丙赤道距天顶与北极。依本地出地平高等，得甲丙为六
图

十一度一十三分。此时出地平黄道度为实沈宫二十二度三十一分，则娵訾宫二十二度三十一分，当九十度限为庚。而甲庚弧三十○度二十一分，因而甲庚丙角恒为直角。则本三角形内以甲庚及甲丙两边，求庚丙第三边
图

于甲丙弧割线。加五空位以甲庚弧割线，除之，
得五十六度○四分，即九十度限距顶之弧。欲免算，则以太阳躔度及测时刻。依法查本表，即得九十度距顶也。以己庚丙直角三角形因得庚丙边、〈五十六度○四分〉庚己边，
太阳在己，即娵訾宫一十六度四十三分，九十度限在庚，即本宫二十二度三十一分，相减，馀五度四十八分，为庚己也。

于庚丙弧切线加五空位，以庚己正弦除之，馀庚己丙交角为八十六度○七分，对甲己丙角，必为九十三度五十三分。
此太阴初亏在太阳之西，比子午圈略近所居。

第测壬己丙角正为九十度，馀壬己辛角止三度五十三分，因求太阴视经纬度，则于壬己辛小三角形内，〈因小可当直线三角形〉以壬己边〈日月两心之距〉及先所得诸角。
辛为直角因算己角，得三度五十三分；壬即馀角，

算得壬辛视纬度距北一分五十七秒，己辛视经度距太阳前二十九分○三秒，即此可见测食方位之用有如此。
测交食变形之时第二〈凡二章〉

交食形者，乃日月食起复之间，光为景所损而变迁其态，以相示者也。但受损之光初少渐多，多而复少。今欲逐时逐刻以密求之，其形无数。且可不必大都初亏、食甚、复圆为太阴太阳所共，而食既生，光则太阴所独，此五限测法须先求时对食分及食所向方位与距恒星度分，乃可一一得矣。
测太阴食之时

常法测恒星高度，若未见星，先测太阴自高度乃以升度求时。〈见高弧用法〉第谷用自鸣钟或刻漏，将浑天纪限等仪，屡测太阴馀光边距恒星若干，或太阴恒星至正午，俱以刻漏识之。若太阴正在黄道九十度限，则从恒星之近者，起算为易，得其本心及地景心升度，可知恒星距太阳度。因以取准时刻，有用界尺测太阴两角，或对地平圈平行、或对恒星居一直线上，或尺线过两角之中对月景，两心皆以求太阴视处。定其经纬以推时刻。万历三十一年癸卯四月西土月食，第谷门人测之。预备刻漏取其能细指时至分秒者，试以数日令迟速，吻与天合于太阴。未食之前，测大角星在正午，考时得亥初三刻八分三十秒，刻漏指亥初一十二分三十秒，亥正一十○分。〈即亥正三刻四分〉分木星居正午，高二十四度三十二分，〈极高五十度〉亥正一十八分，〈亥正三刻一十三分〉初亏向位在东南，距高弧自径线下起算四十五度三十分。亥正二十三分，〈子初○四分〉向位距四十二度前。此太阴未食约四刻时，与心宿大星同高弧，此已离去，距西盖因视差故。亥正二十九分半，〈子初一十○分〉向位距三十九度三十分，从土星对月景，两心得一直线过亥正四十二分，〈子初一刻九分〉周星〈天韨垣者〉至正午，向位三十三度三十分，食四分一十○秒，先所过土星，今反距其下矣。亥正五十一分，〈子初二刻二分〉向位距二十八度，稍迟得食五分，子初二分半，〈子初二刻○七分〉土星在正午，高二十一度四十七分；子初九分，〈子初三刻○四分〉缺太阴圈之，半周子初一十九分，〈子正○一分〉太阴心至午正，其馀光边高一十九度○七分。子初二十四分，〈子正○六分〉向位距一十五度，子初四十三分，〈子正一刻一十分〉馀光两角正垂下，距地平等食六分三十秒，子正二分，〈子正二刻一十四分〉两角与木星皆居一直线。其一角略高向西，因知食甚已过子正二十三分，〈丑初○五分〉向位偏西距高弧下一十八度三十分。子正四十七分，〈丑初二刻〉向位距三十度。丑初三分，〈丑初三刻〉距西三十二度。丑初一十四分，〈丑初三刻一十一分〉尚距三十二度。将复圆其边有次，景因用土星测向位，然必定土星之经纬乃无遗漏。当测时其本星距氐宿北星一十七度二十二分，距天江北第六星一十三度二十○分。因是知其过子午高，得躔析木宫初度四十五分三十秒，距北二度一十○分三十秒。
万历四十四年丙辰八月，去顺天西一百○度四十五分，亲测〈西逻玛京都测〉月食。以星高度及自鸣钟，推得时刻，初亏河鼓中星过西，高二十一度，得一十三时四十四分三十秒。
时为小时，从午正起算，即丑初三刻十五分，作一刻。后仿此。

左肩在东，高一十一度，得一十三时四十四分二十秒。毕宿大星高三十一度，得一十三时四十一分一十二秒。当时钟有一时○九分，〈从子正起算后同此〉盖钟所指时分每后太阳三十四分，先后两日试验，俱如一，即一十三时四十三分。食既，织女大星距子午圈西，高一十五度，得时一十五时○三分一十二秒。右肩二十六度，推得一十五时○五分，乃钟指二时三十七分，即一十五时一十一分生光。织女高一十一度，得一十五时三十一分四十五秒。右肩高三十一度，推得一十五时三十三分四十五秒，钟得三时三十五分复圆。测天津第四星西，高一十九度，得一十七时○四分一十二秒，乃钟有四时二十二分，即一十六时五十六分。又同都，一人另居一地，测有四十六次，所得时刻初亏复圆与前测同。惟食既少，得五分生，尤少二分耳。今以新法推算，复圆全与此合，其馀限虽微有参差，然亦不远三四分矣。
测太阳食之时

太阳出东地平，左旋渐高至午正，则最高过午，复渐低至西则没，此太阳自行一昼之时刻也。故得其高度，即可求时。其初亏、食甚、复圆等限，惟以此为常测法第。非密室中不可，故又仍用前器，架上之衡及矩架俱如前。而方架之式、之用，见月离三卷。各细分度数，下方为地平，从正东正西至子午圈诸弧之切线，衡为太阳距天顶之割线，矩架之股又为太阳距顶之切线。此三度，所以全本器之用也。测时将方架置几上，以中线对南北，一手转矩架随太阳行，并动其衡使之上下以受光；一手对轮盘上之尺，才一对景即于衡矩架下方架各识以号，〈号宜同如一二等数是〉而以号所对各器之度加轮盘所测之景。因推太阳食时及向位食分诸用。万历庚子岁六月朔，刻白尔距顺天府西九十九度一十五分，用本器在审室中测本食共测一十五次，作号一二等；如左。
图图

其下方架东西边所分，各当二千分，自后至中，左右各当一千二百分，先安置与子午圈，对
以太阳距正午左右相等之高度，或先一日，或测后。考对得架偏，必差度或加或减于推测之度，得地平正弧。

然后测得地平弧，以推时刻。今依一十五号列所测分及相应之地平弧，如左：
号一二三四五六七八九十一一一一一
一二三四五

测七一一一一一一
一八六三○○八八七六六五四四

分五七三一七七○七二四七三二七三
一一○三四五三四八五八七四四一

度二三三三四四五五五五六六六六七
○○三六一八○三五八○二六八○

分三二一三○○○五二一三○二二一
五一五九八九七六四○二二五七五

首一及二号，所对测分在方架北。自中起数至东，馀转东北角往南，其度分则架上平分，所推即自正午渐去西太阳所对地平弧也。以测分推度分法，二千
图缺与测分，若全数与地平弧之切线。假如甲乙丙丁为下方，甲丁乙丙每边分二千，戊丁、戊丙各一千二百分，戊壬正对子午圈亦二千，当测得戊己即七五一平分，求戊辛弧。则壬戊与戊己线，若壬辛全数与戊辛弧之切线，算得三七五

五○，查表得二十○度三十五分。若景过丁角，在甲丁边上遇庚，则甲庚为戊庚弧之馀切线。故壬甲与甲庚线若全数与戊庚弧之馀切线，〈壬甲与戊丁等〉刻白尔转矩架时下架，误随之动，使地平弧略有差。故以矩架求高弧，以高弧考正地平弧，因推时刻如左。
图图

矩架之立柱当句，其数宜作五○四○。今则少异，欲依之算亦无谬。而矩架之底为股，上衡为弦，其长短随太阳高低时时不等，故数亦不等。此求太阳距天顶，或以股，或以弦，皆同法。而句与弦与股若全数与太阳距顶之切线，次以高度〈日距顶之馀〉求地平弧，则全数与极出地高之割线。若太阳高度之割线与先得之，数〈为待用之数〉次北极太阳两高差度之馀弦与太阳距赤道度之正弦相减，馀次得数则两数〈先得与次得〉为实全数，又为法算得地平馀弧之矢。依测本食之地极，高四十七度○二分，其割线一四六七一九，太阳距顶之馀六十四度○四分。其割线二二八六六三，算得三三五四九一为先得数，两高度差一十七度○二分，查馀弦九五六一三，为减太阳当时距度〈二十二度一十六分〉之正弦三七八九二，馀五七七二一，即次得数。算得一九三六四八为矢。故减首位以所馀，查八线表，得六十九度二十八分，即从正西起地平弧，馀二十度三十二分，即对太阳过正午地平之弧。以此求时，则乙丙丁斜角三角形内得乙丁为极高之馀，得乙丙为太阳距赤道之馀，得乙丁丙角为对地平〈此二十度一十八分〉至半周馀弧之角。求丁乙丙，即对赤道弧之角，以定相应之时。欲依直角三角形，必丙丁引至甲，得甲直角，则先求甲乙丁角。
图缺可用十设算，见测量全义七卷，本角得七十四度五十一分一十八秒，
次求甲乙线甲乙丙三角形内，因得甲乙、乙丙两线。以甲直角推甲乙丙角，〈此八十四度一十九分一十八秒〉则乙总角减甲乙丁角，馀丁乙丙角，为所求。
此馀九度二十七分四十六秒，化为时得三十七分五十○秒，过正午。

测本食之复圆，上衡微有阻碍，不及受太阳全景。故以高弧推时，较地平所推差四分，宜半之，借此补彼，则得二时五十七分三十○秒，为正时。〈以上原本历指卷十五交
食之七
〉