钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第六十一卷

历法总部汇考六十一

新法历书十一

交食历指三食限第一〈凡六章〉

食限者，日月行两道，各推其经度，距交若干为有食之始也。而日与月不同，月食则太阴与地景相遇，两周相切，以其两视半径较白道距黄道度，又以距度推交周度定食限。若日食则太阳与太阴相遇，虽两周相切，其两视半径未可定，两道之距度为有视差，必以之相加，而得距度，故特论半径则日食之二径狭，月食之二径广。论日食之限反大于月食之限，以视差也。
太阴食限

表中地景半径最大者先定四十七分，太阴半径最大者一十七分二十○秒，并得一度○四分二十○秒。日月两道之距在此数以内可有月食，〈可食者可不食也〉以此距度推其相值之交常，得一十二度二十八分为月食限。推法最大距度〈四度五十八分半〉与象限九十度若距度与交常之弧也，其最小者地半景定四十三分，月半径一十五分一十五秒，并得五十八分一十五秒，若距度与之等者，依前法推交常度得一十一度一十六分，此限以内月过景必有食也。〈必食者无不食也〉抑此两者皆论实望时之食限耳，若论平望其限尤宽。
如图甲乙为黄道，甲丙当白道，乙为地景心，丙为太阴心，月切景在丁，其最大两半径为乙丙，得一度○
图

四分二十○秒，则相值之甲丙得一十二度二十八分，为定望食限。设平望尚在前为戊，则戊平望距丙定望最远者二度三十八分有奇为丙戊弧，以加甲丙弧，得甲戊一十五度○六分有奇为太阴切景之时，以其心距两交之度西。

古史多禄某定实望之食限一十二度一十二分，中望之食限一十五度一十二分，其所定视半径最小之食限一十○度五十○分。
何谓平望。距定望最远得二度三十八分，曰太阳均度最大者二度○三分一十五秒，太阴均度最大者四度五十八分二十七秒，并得七度○一分四十二秒为两交时。日月以实度相距极远之弧也，从此太阴逐及于日行，讫七度○二分，此时间太阳又自行三十二分二十八秒，太阴又须逐及更行三十二分，
图

此时间太阳又行三分弱，共为三十五分，以加太阳均度得二度三十八分为日月之实会望距。其中望也，如上图甲乙为地心所出过本轮心直线，至黄道乙指中会，太阴实行在丙，太阳实行在丁，总丙丁弧七度○二分，太阴行至丁，

太阳已过丁，而前又逐及之终合于己，故丁己弧三十五分加乙丁共得乙己中实两会相距二度三十八分。
太阳食限

表中太阳之最大半径一十五分三十○秒，太阴之最大半径一十七分二十○秒，并得三十二分五十○秒，所谓二径折半也，以此推相值之交常为六度四十○分，是太阳不论视差，不分南北，正居实会之食限也。第日食不在天顶，即有高庳视差，太阴每偏而在下，交会时以此差，故或就近于太阳，或移远随地，随时各各不同，安得以实度遽定日食之限乎。测太阴交食时最大高庳差得一度○四分，
因距远五十四地半径故。

减太阳之最大高庳差三分，馀一度○一分，
此为太阴偏南之极多者，凡日食时必有一方能见其然，是为大地公共之最大差，

以加二径折半，得总视距度一度三十三分五十○秒，外此即无日食，在其内则可食。依前法求食限，得两交前后各一十八度五十○分，为两大视径折半之限也，若以小半径求食限，与前差度并得一度三十一分有奇，推相值之交周度一十七度四十八分为小视径折半之日食限，若日月会入此限内者，日必食。但非总大地能见，必有地能见耳。若以中会论食限，又须加入实会距中会之度，其最大弧三度，则中会有食之限二十馀度。如图甲乙为黄道，甲戊为白道，太阴以实度在己，以视度在丙。太阳乙与太阴丙视相切于丁，则己丙为高庳差，己戊为东西差，而
图

丙戊为南北差，南北差之最大者一度○一分，以加乙丙为总距度乙戊，若乙丙为大折半，〈二径折半省曰折半〉推得甲戊食限一十八度五十○分，或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分，设中会更在前为辛，得食限甲辛更多于

甲戊。
求北中界日食限

北中界者，地居赤道之北，南不至赤道，北不至北极也。今依南方极出地十八度，北方极出地四十二度，定日食之限，则最广者太阴距南其交常度七度三十一分，太阴距北其交常度一十七度三十五分为可食之限。最狭者太阴距南交常七度，距北交常一十六度五十三分为必食之限。其所繇广狭者，因二径折半有大有小，即相会时所当距度不同，故所限交周度亦异也。太阴分南北而定最大日食之限有二义，其一论地总本界中有一方焉，距北之最大者以十七度为限，又有一方焉，距南之最大者以七度为限。非谓一方所见距北可得十七，距南又可得七也。其一论黄道度为本界中有地，有时太阴或南或北，距天顶最远则其视距度最大。以加于太阴实距度，得其最大限在北可至十七度，在南可得七度，亦非谓诸宫交会皆可得七度十七度之限也。今试于本界中论地，先论其极高四十度者，又于本地论时，先论其不甚远于天顶者，如日月交会在夏至鹑首宫初度，设当时不会于正午，其高庳差变为南北差者必少，而所增视距度亦少，即所得者不为其最大限。必设实会正午，月距黄道北得其高弧七十三度二十八分，以推高庳差一十八分○八秒，全变为太阴南北差。依法加于二径折半得五十○分五十八秒为黄白两道之视距度，则所值交周度得一十○度，为顺天府北极同高地黄道本度。月距北，日食之最大限，可食也。设月距南，则二径折半共三十二分五十○秒，反减太阴南北差一十八分○八秒，得两道视距一十四分四十二秒，所值交周止二度五十○分，为本地本度。月距南，日食之大限，可食也。次论其甚远于天顶者，设日月在冬至星纪宫初度，会亦正午，其高弧二十六度三十○分，推得高庳差即南北差五十六分二十四秒，加二径折半，得黄白两道总距一度二十九分一十四秒。为月实距南所推最大日可食之限一十七度二十四分，所以然者人目所见日月以两心合会，必在太阴所离视道交黄道
图

之处，距其两道实交尚一十一度。又本南北差减二径折半得距度二十三分三十四秒，相当者得四度三十二分，为太阴尚不及实交，未过黄道南而以视差，故人目所见则已过交出日食限之外矣。如图：丙为太阴，丁为太阳，甲为黄
图

白两道之实交。论实距度，则日月至甲宜相掩而食，今冬至南北差甚大，太阴之视行循丙乙，视道尚在己，距甲远，即己切太阳周入日食之限，后太阳丁行黄道至乙，与太阴视道相遇，是为视交，即二曜以两心合会能全食。若更前至

辛，日月亦未及，实交甲，太阴实未过黄道，南而视行则已过太阳之南即丙，不能掩日，亦不能切日，不食矣。可见太阴实距北在己，为顺天府同纬地最大食限得一十七度有奇。至辛遂出食限之外，况过甲而后实距南，其视度距太阳甚远，安得尚有食乎。再于木界中论地，论其极高一十八度者，先设日月在冬至星纪宫初度，实会在正午，得高弧四十八度三十○分，高庳差全变为南北差四十一分五十八秒，加二径折半总得两道相距一度一十四分四十八秒，外此无日食。在其内可食，相值之食限一十四度三十二分，其食甚。亦未至实交也，若行至实交，则太阴以视度过交而南四十一分五十八秒矣，以较二径折半，则视距为大，不已出两食限之外乎。安得有食。设日月会于夏至鹑首宫初度，此在天顶北五度三十○分，得高弧八十四度三十○分，推南北差得六分○八秒，以加二径折半得三十八分五十八秒，为太阴入阳历，两道相距度，二曜至此，即以周相切推得日食限七度三十一分，若月距北，则两半径减南
图

北差馀二十六分五十二秒，仅得五度一十○分，为日食限也，如图：地居夏至之南，目视丙，月则偏北，故太阴之实度在黄道南，为本道上之乙，与太阳之实度丁甚相远，却以南北视差移而就近，及以甲乙为食限，二曜相掩，必未至甲

也。若其过实交甲，至己在黄道北，则因南北差见月更在北，与太阳相距更远，不复能相掩矣。
太阳太阴越六月皆能再食

越六月者，如寅月食申月，得再食也。如左图：甲、丙、乙、丁为太阴离道交黄道于甲、于乙，甲丙乙为其距北半圈，馀乙丁甲为距南半圈，己庚戊辛皆为食限。依多禄某随迤北诸方所定中会时，甲己及乙戊入阴历为日食限二十○度四十一分，〈地愈向北，食限愈大故也〉甲庚及乙辛入阳历得一十一度二十二分，则限外弧己
图

丙戊得一百三十九度，庚丁辛得一百五十七度一十六分，越六月之中积交周一百八十四度有奇，〈先去全周〉则大于己丙戊及庚丁辛两弧，故初月在食限内与正交相近者。六月后则近中交亦在食限内，而日能再食。若月食不论阴阳

历，其限皆一十五度一十二分，则己丙戊弧、庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分，皆小于中积交周度，故初月交周度入己甲庚食限内，后六月又在戊乙辛食限内而月能再食。
太阴越五月能再食越七月不再食

以距月之中积交周度与初月食限外之弧相比，若度赢者，则此食限内能起，彼食限内能止，即两皆有食。若度缩者，则一起一止，或在两食限之外不再食矣。如五平月交周得一百五十三度二十一分，〈去全周己〉月食于高庳中处其实限一十一度三十○分，南北同得限外无食之弧一百五十七度，亦南北同是，皆大于交周弧，则五平月中不可得两食矣。亦有可两食者，则大月也，太阳躔赤道南，在其最庳左右必速行，同时太阴去全周，在其最高迟行，必得定朔策少。月大，交周弧亦大，夫五月之平朔策去太阴全周得一百四十五度三十二分，中分之左右并得太阳均度四度三十八分，又太阴五月自行一百二十九度○五分，中分之以最大加减得其并均度八度四十
图

○分，太阳均度应加，
实度距最庳左右比平度远故。
太阴均度应减。
设月逐日，实未追及，故
得日月以实行相距总弧一十三度一十八分。为月逐日未及之弧。如图：太阳从秋向春行本天小半周，

以当黄道正半周必速行，以甲乙直线中分其平行，左右各得丙丁均度。太阴在本轮自戊过最高辛，至己迟行，以甲辛平分其迟行弧，左右得壬辛及庚辛均度，日月两均度不同类，一加一减并之得一十三度一十八分，为太阳以实行在前，太阴以实行在后之弧，而太阴逐太阳行一十三度，此时间太阳更行一度○六分，以并于太阳均度，总得五度四十四分，为五大月过五平月之度，亦为实交周过平交周之度，以加平交周一百五十三度二十一分，得一百五
图

十九度○五分，较食限外之弧赢二度○五分。则月食于甲乙限内，为壬距乙甚近，而限外交周度壬庚越五月复可食于庚。然食之分数少矣。又證太阴越七月不能复食者，则小月也，月大或平，即交周弧大于食限外之弧，不可得食。
图

今太阳在其最高，左右迟行，太阴在其本轮最庳，左右速行，因而成小月。夫七月之平朔策得二百○三度四十五分，同时太阴自行一百八十○度四十三分。如图：甲乙分日月平行，甲辛分太阴自行，太阳左右各得最大均度丙丁，并

为四度四十二分，应减，
实度距最高左右比平度近故。

太阴均度壬辛及庚辛并为九度五十八分，应加。〈设月以实行过太阳故〉一加一减并两均度得一十四度四十○分为太阴过太阳之弧，此时间太阳亦行一度一十分，以加其均度得五度五十五分，是为七小月间实行不及其平行之度。又为七月间交周平行之弧所减，以成七小月实行之度。今以平行二百一十四度四十二分，去减五度五十五分得二百○八度四十
图

七分，以加于食限外之弧，
此第论太阴在其高庳中处。甲丙左右四食限
为戊乙壬或己庚丁，仅得二百○三度，小于七小月之实交周二百○八度有奇，则月初食在戊丁限内，后七月不能于己壬限内再食也。
图

太阳越五月或七月，皆能再食
此越五月能再食者必大月也，其间交周实行可得一百五十九度○五分，设日月在高庳中处得二径折半三十二分二十○秒，设太阴距度亦正得三十二分二十○秒，则以前法

求得距交六度一十二分，当在乙或在丁，而乙丙丁弧乃得一百六十七度三十六分，若太阴绝无视差者，即食限外之弧乙丙丁大于实交周弧八度三十一分，日月合会，先在甲乙弧内有食，越五大月复会，必不能及丁戊为再食矣。然太阴既有南北视差，则以交周度不及食限内之弧八度三十一分，平分之两加于食限，得甲己及戊辛各一十○度二十八分，而太阴在己或在辛皆距黄道五十四分三十○秒，减二径折半馀视差二十二分三十○秒，倍之，得己及辛两视差共四十五分，则诸方能得南北差及此分者，所见太阴必偏南下掩太阳得有食也。今所论五大月，太阳速行先于太阴一十三度一十八分，又于太阴逐及时间行一度○六分，总得一十四度二十四分，太阴行尽此度乃及日，须一日○九刻，是为五大月过五平月时刻，则五大月得一百四十八日一十八小时，故先定朔在酉正，后必在午正，若先在午，则后在卯，又太阳五大月行一百五十一度以最庳，平分左右得先定朔在寿星宫二十一度，次定朔
图

在娵訾宫二十一度，诸方地面得极高二十馀度，见太阴离是二壤，值是二时。南北视差并得四十五分，则越五月得再食。此外极出地愈高，南北差愈大，食限愈宽。凡交周在黄道北，入甲己食限，越五大月必入辛戊食限，人居赤道北
图

者，可见两食或；交周在黄道南，入戊壬食限，越五大月必入庚甲食限，人居赤道南者，可见两食。
谓太阳越七月而再食，则小月也，否则交周度大于正交及中交之总食限，而先在内后必在外，不食矣。若七小月间交周行依前，

得二百○八度四十七分，而设无南北差者，则以日月两半径为食限，得甲乙及戊丁各六度一十二分，而总乙己丁弧一百九十二度二十四分，小于交周一十六度二十三分，即太阳先食于丁戊限内。越七月后必己出甲乙限外，亦不食也。既常有南北视差，则以较馀交周弧一十六度二十三分，平分之以加于甲乙及戊丁，得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分，而壬己癸与交周弧相等，又甲壬及戊癸一十四度二十三分，得相值之距度一度一十三分三十八秒，减二径折半得四十一分一十八秒，为各视差倍之得一度二十三分，则诸方有此视差者得有食也。今所论七小月，太阳迟行后于太阴共一十四度四十○分，为太阴一日五小时所行之弧，是一日五小时者，七小月不及七平月之时刻也。总七小月得二百○五日一十二小时，故越七月得再会。先会在卯，后会必在酉。又太阳行七小月，实得一百九十八度。〈前已證〉从最高平分之得，先会太阴在娵訾宫二十七度，后会在寿星宫一十五度，则凡离是二壤值，是二时所见。太阴南北视差并得一度二十三分者，必越七月得再见日食也。此为极出地三十四度以上，盖距赤道愈远，视差愈大，所见食分愈多矣。
食分第二〈凡四章〉

欲知此月内有无交食，则以食限求之。〈见上文〉欲知此食食分几何，则以距度求之。距度者，在月食为太阴心实距地景之心，两心愈相近，月食分愈多；在日食为日月两心以视度相距，其近其远皆以目视为准，不依实推，盖定朔为实交，会天下所同。而人见日食，东西南北各异，所以然者，皆视度所为也。日食详说见后篇，此先解月食分，则论定望实，会人所见者，东西九服各异，南北天下不殊也。如左。
太阴食甚分数

太阴在食限内过地景，其两心最相近时为食甚，而食分必多，欲知食甚之处，用距度求之。盖距度与地半景及月半径相减得月入景之分。
此言分者，天周度数之分，非平分月径之分也。称分有二类，见下二文。

如两半径得一度，距度四十○分，相减馀二十分为所求月入景之分也。但距度与半景或等或不等，若过不及之分小于月半径，则月不全入景而止，食其半或太半或少半而已。若距度小于半景者，为太阴之正半径，则虽全食，随复生光，其食分即太阴之全径。以月自行推之，若绝无距度，即太阴遇景正在两交，则并其两半径可推月食之分也。
假如甲乙为地景，
定望时月入此则失光，亦名闇虚
图

之半径。乙丙为太阴半径，总得甲丙为月食限限者，乙点为二周相切之处，食从乙点起渐入渐大，若两周相分于乙点，则不食也。食有三等：一曰不全食、二曰全食、三曰正食。不全食者，如一图：甲丁为黄道，丁辛当白道，月心在辛，即入
图

景者半，是为半食；或月心在庚，则如二图，入景者大半，是为大半食；或在戊，则入景者少半，为少半食，皆不全食也。求食分法，以距度减二径折半，如图：甲己与甲丙等，为二径折半，甲戊为距度，以甲戊减甲己，馀戊己，戊己与辛庚恒相
图

等，故于二半径减距度即得其入景，辛庚为此食之分也。全食者，如三图：月心在戊，距度甲戊两道如前，而距度入于半景者为太阴之半径戊己。则己庚入景之分为全径，但全入以后，太阴或向交行欲至丁，或离交行欲至辛，其周旋出景外，则无既内分矣。
图

以上二者皆有距度，则皆不食于交点，皆偏食也。若第四图：太阴食甚时绝无距度，则月心与景心皆会于甲，甲乙为半景径，甲戊为半月径，两半径并为甲丙，设甲乙丙为黄道，甲丁为白道，太阴从丁行，以戊

边至甲己，全入于丁甲半景之内矣。又行至边及戊乃食甚，故更得甲戊为既内分，总得丁戊两半径并为此食之分，此月食之最大食于交点者也，正食也。
食分二类

求食分之大几何有二类。其一为天周度数之分，如上文所论者皆是也。月食之最大者，可得一度○四分有奇。其一为太阴本径之分，则惟历家所命。如命月体之全径为十二平分，则最大食得二十二分五十四秒也。如命为十平分，则最大食得一十九分○五秒也。又此二类者，皆系太阴及地景之视径，虽距度同分，而大小多寡，犹多变易，设距度恒为二十五分，因太阴自行在最高，得月食度数之分为三十三分一十五秒，太阴在最庳，得食度数分为三十九分二十○秒，其自行在一宫或在一十一宫，〈俱近最高〉得三十三分三十八秒；在二或十宫，得三十四分三十六秒；在三或九宫，得三十六分；在四或八宫，得三十七分三十○秒；在五或七宫，〈俱近最庳〉得三十八分四十五秒。如前法，以太阴半径半景并每去减二十五分即得此食分之数。他距度依此推之，其所繇渐渐有差者，则因太阴距其最高愈远，即视径愈大故也。又平分本径亦有多寡、有大小，盖太阴在最庳，其全体之天度分为三十四分四十○秒，得平径一十○分。设食甚正在交点无距度，则二径折半得天度一度○四分二十○秒，推总食之平径分，得一十八分三十四秒，而一平径分当天度三分二十八秒。又设太阴在高庳之中食甚，距度如前，其平径亦一十○分，以两半径推总食得一十八分四十四秒，而一平径分当天度三分一十五秒，与前不同，则以视径故，更设太阴在最高，其视径更小，仅得天度三十○分三十○秒。食甚在交，皆如前，亦得平径一十○分，而所推总食分更多于前，为一十九分○五秒，则一平径分当天度三分○三秒，可见距度同平分，径同而食分不同者，月自行有高庳，其去地之远近异，视径亦异故也。
求月食径分

太阴入景，以本径分明暗之限，为人目所见之分。若
图

全食，更加入景之馀分，〈即既内分〉推得总食分，则距度能翕张，其二径为食分多寡之缘也。今或依第三卷所定太阴及地景视径表，用引数求之，并而去减其距度，则太阴视径与十平分；若其二半径减距度之馀分与食分；或依第二卷前
图

所设求太阴均度之图，用甲乙丁三角形求之，盖乙甲丁太阴均度角之正弦与乙丁直线，若甲乙丁总自行馀弧角之正弦与甲丁直线，既得甲丁为太阴，距地远次求太阴视径，则其距地远，甲丙与太阴实径之正弦，丁乙若全数与

丁丙乙角之切线，次以太阴半径与地半景大小之比例，为一五○与四○三，推地景视半径盖一五○与四○三，若太阴视半径之正弦与景视半径之正弦也。既得视半径用三率法。如前推算，食分欲用表则于引数查视半径，而以月视径及两半径减距度之馀数，查食分然表中列数。从引数出其理一也。
求月食面积分

前论月食分皆目可见，器可测之，视径分也。若求其不全食之面，入景之分则有别法。设甲为地景之心，
图

乙为太阴之心，以距度得其两心相距为甲乙直线。又先得甲丙为地景视半径，得乙丙为太阴视半径。则甲乙丙三角形内有其三直线，可求三角。又甲乙丁三角形与甲乙丙三角形等，则以丙甲丁总角得丙戊丁弧。亦以丙乙丁总
图

角得丙己丁弧。今欲以径与圈之比例，推丙戊丁及丙己丁两弧，与其本圈半径同类之分若干。
弧曲线与直线异类，以周径法变曲线分为直线分，故曰同类。
其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁两半径弧形。
两半径弧形者，两半径为两腰，弧为底，求得其容积也。说见《测量全义》第三卷

亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁两半径弧形，又丙丁直线为等腰，两三角形之公底线求其半，得丙辛以乘甲辛，得甲丙丁三角形之积，以乘乙辛得乙丙丁三角形之积，次以两三角形之积各减其两半径弧形之积，所馀丙，戊丁己长圆形，为太阴入景之面。可得其馀，不入景之面也。
假如崇祯五年壬申九月十四日夜，望月食四分四
图

十二秒食，甚太阴距度四十四分其视半径一十六分二十五秒，地半景四十三分二十三秒，设甲乙为距度，乙丙为月半径，甲丙为景半径，则最大线甲乙与馀两腰线甲丙丙乙，若两腰线相减之馀，线甲丁与大线之分也。即算得大
图

线之分甲戊，以其馀平分之为戊辛辛乙，次从丙作丙辛，必为甲乙之垂线矣。既得各线如图皆通为秒。以求甲角及乙角，则甲辛与全数十万若，甲丙与丙甲辛角之割线，算得甲角二十一度四十○分倍之，得四十三度二十○分为

丙戊丁地景之弧。又辛乙与全数若乙丙与辛乙丙角之割线，算得乙角七十七度○六分。倍之得一百。五十四度一十二分，为丁己丙太阴周之弧。次求其各与本圈半径同类之分，则月径及地景径各与其本周若七分与二十二分也，推得地景周一六三六一月，周六一九一，因此用丙戊丁及丙己丁两弧各求其本圈径，同类之分，则全周一六三六一与所截丙戊丁弧之分，若全周三百六十度与本截弧四十三度二十○分，算得一九六九为丙戊丁弧，其半九
图

八四为丙戊半弧也。又太阴全周之分六一九一与丙己丁弧之分，亦若三百六十度与本截弧一百五十四度一十二分，算得二六五一为丁己丙弧，半之，得一三二五为丙己半弧也。次以甲戊乘丙戊，得丙甲丁地景两半径弧形之
图

积二五六一三五二。以乙己乘丙巳得丙乙丁太阴两半径弧形之积。又丙甲辛角之切线。〈乙丙也〉与丙辛若全数。〈甲丙也〉与甲辛得丙辛九六○，则彼此求两等边起线三角形之积，与求两半径弧形之积通为一法。得甲丙丁三角形之积

二三二二二四○。乙丙丁三角形之积二一一二○○。各减其两半径弧形之积，得丙辛丁戊分圈形之积二三九一一二。丙己丁辛一○九三九二五并之，得总数一三三三○三七。即丙己丁戊全形之积也。又以太阴半径九八五乘其半周三○九，得三○四八五七五，与总数比，得太阴入景之面，与其未食之面，若一十三分与三十○分也。
食甚前后时刻第三〈凡三章〉

食甚前，初亏也。食甚后，复圆也。两限间之，时刻多寡，其缘有三：一在太阴本时距度。因距度或多、或寡，每食不同，即太阴入景浅深不同，浅则时刻必少，深则时刻必多；其二在月及景两视半径。半径小，太阴过之所须时刻少，半径大太阴过之所须时刻多；其三在太阴自行。自行有时速，有时迟虽则距度同、视径同，而自行迟疾不同，即所须时刻不同矣。推距度及视径皆依前所设法，此专求太阴实行以定食时刻分。
月食起复行度
图

太阴入景，自初亏至食甚之弧，与其出景自食甚至复圆之弧，两者略相等。故求其一，倍之，得在景之总弧。如图甲为景心躔，甲乙黄道，乙丙为白道。太阴心至丁为初亏，在丙为食甚。复圆在戊丁。戊者，天周之弧也。而所截弧极小，故作
图

直线用之，又甲乙丙三角形也，而乙角极小，乙丙与乙甲略等，故作平行线用之。因而甲丙可为垂线，因而丁丙与丙戊亦可为等。今自甲出两直线为甲丁、为甲戊。皆当太阴地景之两半径，而甲丙为太阴距度，故甲丁戌三角形以甲
丁方减甲丙方，得甲丁方其根为太阴初亏至食甚
行过太阳之弧。若不用开方，则有别法以角求对边线。如甲丁线与丙直角，若甲丙线与甲丁丙角既得，丁角馀为丁甲丙角，则丙直角与甲丁线，若甲角与月行景之半线，丙丁也。虽食分不同，或半月入景，或全体在景，求初亏至食甚之弧恒仿此。次求食既至食甚亦仿此，倍之，得太阴全入景至生光及复圆之总弧。如左图，甲乙为黄道，乙丙为白道，太阴心行至丁则全入景，既至戊即生光，得丙丁及丙戊略相等，
图

故先得丙丁，倍之，即丁戊也。此则以甲丙为距度，甲丁为地，半景减月半径之馀于甲丙丁三角形，用此两线及甲丙丁直角，推丙丁线，与前同法。若欲精求之，不听甲乙、乙丙为平行，仍作两线斜交于乙，太阴初亏在丁，食甚在丙，复圆
图

在戊，丙丁是太阴在景之半。为距交一十二分之一。即作丁庚线与甲乙平行，取丙庚亦丙甲距度一十二分之一，以减甲丙得甲庚，是太阴初亏之距度。以加甲丙得甲己，是太阴复圆之距度。次以甲丁、甲庚两线及庚直角求得庚丁

线，以庚丁、庚丙两线及庚直角求得丙丁线，为初亏至食甚行度。后以甲己甲戊两线及己直角求得戊己线，以戊己、己丙两线及己直角求得丙戊线，为食甚至复圆行度也。
食甚距度线与白道当为垂线

求食时刻。设太阴食甚前行度与食甚后行度等。即距度线必当为白道之垂线。不然者，必行度前后不等，而时刻亦不等。如左图，甲乙为白道，甲丙为黄道，太阴在丁，自庚黄极出线，过丁月为庚丁弧，至戊黄
图

道，指太阴实度在戊，因太阴在丁，得交常分甲丁，而庚丁与庚乙，若甲丁与甲戊，〈皆用正弦算〉若得甲丁四十五度，与甲戊最差之限得六分。
甲戊少于甲丁，在图为己丁。
若甲丁在食限内其与甲

戊差又不及三分矣，因两道之最大距不过五度，故也设甲丁弧得二十○度，而以甲乙与乙丙之比例，推甲丁与丁戊，得丁戊距度一度四十二分。今作戊己与甲乙为垂线，又以甲丙与丙乙之比例，推甲戊与戊己亦得戊己相距一度四十二分。可见丁与己见有差。戊己与戊丁有微差不足见也。今不用戊丁开方而用戊己，又以戊己平分，太阴入景与出景之弧，其不得有差甚明矣。
太阴食在景时刻

前第二卷论月食以食甚时为主，于食甚前之初亏至食甚后之复圆，总推定时刻分秒，其法以太阴在景中行度变为时刻。如先得食甚前行度，求所当初亏至食甚时刻，倍之，得其馀行度。亦变时刻，皆依先所定行度，用比例法推算也。如崇祯五年壬申三月望太阴初亏至食甚行四十○分一十六秒。欲变时用三率法，太阴行三十三分一十一秒得一小时今四十○分一十六秒，应得一时一十二分四十三秒。但太阴自行恒异，平行食时间恒，不居本轮之一处。故所用一小时之行分，以定食间行之时，不得用平行必须考将食之实行，查太阴实行时表法，恒以自行宫度得一小时之实行，每度所值，各各不同，如太阴平行一时得三十○分二十九秒，以本时自行求均度，或加、或减，于平行得实行，若加减度表对，自行初宫三十二分四十○秒，得均度二分四十六秒，以减三十○分二十九秒，得二十七分四十三秒，为表中相当引数，初宫初度之率也。加减度表对自行一宫三十二分四十○秒，得均度二分二十五秒。以减一小时之平行，馀二十八分○四秒。为相当引数，一宫及一十一宫之率也。其馀皆仿此第，自行在本轮最高，左右必减，均度得一时之实，行在最庳，左右必加，均度得一时之实行耳。
既以实行推定总时刻，则以食既至食甚之时减先定食甚时刻分秒，得食既时刻分秒，以相加得生光时刻分秒，又以减食甚前总时，得初亏，以相加得复圆。又以初亏减复圆，得总食之时刻分秒。若初亏在子时前，复圆在子时后，则即以丑初为十三时，{{Annotation|午正起算〈用小时〉丑正为十四时，如是接续减之。
交食图义第四〈凡三章〉

求日月失光之面向何方位，则有两缘：其一从太阴距黄道度作大圈，令过太阴、太阳两心。〈此日食也〉或太阴与地景两心，〈此月食也〉下至地平周遭，移指交食所向之方也；其二黄道斜交于地平，日月随之行，遇食必有时向东、南、西、北，有时向东、北、西、南也。欲绘交食图，必先察日月所向、起复方位，第旧法祗以阴阳二历分别南北殊粗率，今法必可得其度，分颇为繁细耳。
图

距度变日月食所向方位
太阴食起复之间，以本行屡迁其度分，即作过两心。〈月心地景心也〉大圈至地平时刻各异，所向方位亦时刻各异，欲尽推之其多无数，故当求其初亏、食既、食甚、生光、复圆五向而止。如图，甲
图

为地景心，甲乙为黄道，戊丙为白道，两道之大距不远，故作平行线论初亏，太阴在丙，食既在丁，食甚在戊，即甲丙、甲丁、甲戊皆过月地景两心之弧，因太阴渐近于地景心，甲其距度远近，渐次不同，而乙甲丙角、乙甲丁角、乙甲戊角之

小大亦不同，则太阴所向地平之方位度分亦不同。故恒以本距度推本角，如甲丙初亏之距为半景月半径并之，甲丁食既之距为半景减半月径之，甲戊食甚则为太阴之正距度也。甲戊丁角可当直角，不论其甲戊线与甲丙戊对角，若甲丙线与丁戊甲直角，得甲丙戊角与乙甲丙角相等。〈乙甲丙为所求〉又甲丁戊三角形，依此法推甲丁戊角与乙甲丁角〈此为所求〉相等。而食甚乙甲戊为直角，故在甲诸角，其线不等。即所向方位不等，论日食则甲丙为日月两半径，甲戊为
图

太阴距太阳食甚之视度，以求甲丙戊角向下，皆同前法，今更作图，甲为景心，乙丙为黄道，若太阴初亏在乙，其入景之面必正向东，若复圆在丙。
初亏在乙，复圆必不在丙，故曰若指他食也。
其出景之面必正向西，皆

无距度，故若其距北在丁，或在戊，即入景之面向东南、或西南，若其距南或在己、或在庚，即入景之面向东北、或西北也。论日食设甲为太阳心，其理同此，但出入之面所向与月食所向正相反，此为异耳。
黄道出没变日月食所向方位

黄赤两道之两交切地平，若一在正卯，一在正酉，不偏南北，即诸方俱无阔度矣。外此或黄道距南、或距北，其距渐多，其出没之阔度去离卯酉亦渐多。又南北极愈高，其相离更远，如北极出地三十六度，黄道度去离春秋分、或南、或北一宫，其阔度左右各一十四度一十五分。若去离二宫，则更远，其阔度各二十五度一十三分，最远者得二十九度二十九分。若北极出地四十度，即一宫得阔度一十五度○四分，二宫得二十六度四十五分，最远则三十一度一十九分也。太阴既随黄道行其食也。亦必依其阔度，则起复之所向方位，太阴亦必依阔度之左右也。今欲定其多寡，如左图，南、西、北、东为地平圈，丁甲戊为黄道，食时得阔度戊距正东，若干太阴心在丙，景心在甲，
图

过两心之庚甲己，大圈指己，因戊黄道度距正东远，己随之距正东亦远，而丙月之初入景所向为己也。今求东己弧。先设辛为天顶出高庳弧，过甲至壬为顶极圈，又作一癸午弧与甲庚为直角，次甲乙丙小三角刑有乙丙距度、有甲

丙两半径、有甲乙丙直角，依比例推得甲角，次以食时及甲景所躔黄道度得戊甲辛角。即得其馀辛甲乙角，又得辛甲乙所分之辛甲午角。〈减乙甲丙小角〉次甲辛午三角形有甲角，有午直角，又以北极高及黄道，距赤度得甲辛弧，可推得辛午线，以加辛癸象限，得午癸总弧，为午己癸角，其馀角为甲己壬也。而己甲壬为辛甲午之对角，甲壬为辛甲之馀弧，因可推壬己弧。又戊甲壬三角形有原推之甲戊，有甲壬戊直角，有乙甲辛相对之壬甲戊角，因可推壬戊弧，去减先得之壬己，馀己戊为所求太阴初入景所向东南维之地平经度。以加初所得东戊弧，则得东己总弧。
月食图

西历恒推日月食所向方位，以其所亏及复圆距度作图，求距度。食甚前与食甚后为一法，以太阴自初亏至食甚之实行加入太阳同时所行分秒，得太阴初亏至食甚在景之总分。以加前所定食甚交常度，得复圆交常度，以减得初亏交常度，次求初亏距度，则全数与其交常度。若黄白之大距度与其距度，求复圆距度仿此。
假如崇祯五年壬申三月望太阴初亏至食甚景中行过太阳四十○分一十六秒，为时四刻一十二分四十三秒，同时太阳行二分五十七秒，以加前行得四十三分一十三秒为太阴在景之总行，其食甚交常度为过中交八度三十五分五十八秒，以加太阴总行四十三分一十三秒，得复圆交常度一十○度一十九分一十一秒，其正弦一七九一四，以减得初亏交常度七度五十二分四十五秒。其正弦一三七
图

一○，算得太阴初亏距度四十一分，复圆四十九分三十○秒。若用表以时分查太阳本行以交常度，查太阴距度更易得矣。欲依本食作图，其外大圈之半径为月半径、地半景，并得一度○四分三十二秒。
图

量用比例规或先平分一直线
内取食时，所得地半景，
此为四十六分三十五
秒。
作内圈以当景，次查距度，此食在南，初亏四十一分。复圆四十九分，得太阴初在乙，后在丁，食甚亦依其

距度在丙为食之定，分图上、下、左、右书四方，其起复所向方位，必与天合也。〈以上原本历指卷十二交食之四〉
视差以人目为主第一〈凡四章〉

前言实会中会视时食限等，皆日月食之公法也。是皆准于地心。今再论月食生于地景，景生于日，故天上之实食，即人所见之视食，无二食也。日食不然。有天上之实食，有人所见之视食，其食分之有无、多寡，加时之早晚、先后，各各不同。推步日食难于太阴者，以此其推算视食，则依人目与地面为准。
视会

凡交会者必参相直，不参直不相掩也。日之有实食也，地心与月与日参居一线之上也。其有视食也，人目与月与日参居一线之上也。人目居地面之上，与地心相距之差为大地之半径，则所见日食与实食恒偏左、偏右分为两直线，各至于宗动天其所指不得同，度分是生视差而人目所参对之线，不得为实会，而特为视会。
如左图，甲为地心，乙为地面，丙为天顶，若丁为日，戊
图

为月，即在甲丙一直线上。则实会，即为视会。因地心与人目无分线，故也若日在辛，必月至壬，方与地面乙作一线为视会矣。若月至己，与地心甲作一线则实会也。今言交食惟以目见为凭，故日食全论视会若所居地面不同，即食分
图

多寡，加时早晏，亦随之异也。又视会实会在日月，本天皆无度分可指，而全依宗动天之黄道圈度分，则此实会线所指，谓之实度，视会线所指谓之视度，如图甲辛线所指为黄道之庚，则庚为太阳之实度，若乙目视辛日至黄道，癸视

己月至黄道，午则癸为太阳之视度，午为太阴之视度也。
日月目见之度非实度

譬之画图者作平圆形，则一举手一运规即得矣。若欲为螺旋线，先须依法作识，又依法作线，乃成形焉。测天之法亦犹是耳。今欲知日月躔离东、西、南、北，亦转仪窥表一览可知，若欲定其本行所在，则非聊一寓目遽能得之。必先后累测度分展转较勘乃可定也。假令目居地之中心，〈地之心即宗动天之心〉极目所见，则有恒星以当彼界。两界中间有日月、五星，是名七曜，七曜相视，有远有近，无有同者，即论一曜亦各，时远时近，无时同者，是则目所能见也。然因目所见得其视度于彼界，因以视度测其与某恒星相距若干度分，因以是度推其实与地相距若干远近，则可，谓即目所见，遂得其实，行能分别其去地远近，则不可，何者七政。诸本天虽居恒星，天之内乃不见火木土等内天之星，以本体能掩最外之恒星，则何从辨其内外远近乎。又目所见者太阴、太阳二体相若，何从知其内外之相，距绝远二体之小大，绝不相等乎。内天之两星参对于外天之两经，星目见之能知外者之两相距甚远，内者之两相距不甚远乎。是三者皆目力难凭之效也。或曰：是则然矣。测量之法皆凭目所见也。则可废乎。曰：何可废也。惟测内天之星得彼界所指之点，以为即在恒星之天，聊可得之矣。何者凡用在界之弧以测其辏心之角，无弗真者。目测恒星之天，其在地面与其在地心也，无以异。
地居恒星天中止当一点

若测内天诸曜目，虽不在地心，相距亦不甚远。故测日月五星于彼界上得点，即与实度相近。
曰：聊可得之。曰：距不甚远。曰：近其实度，皆因有地半径视差故。

但恒星有时不见，或与内天诸曜不相值，故历家以地平代恒星，更用远视之器以助目力，得日月五星之视度分，依法推步，乃正得其实度分矣。
人视差

两目存不惟相助以为明，相代以备患，亦能彼此互用，以察物之远近，盖各以其心〈目睛最中之一点为心〉受外物之象，其过心之两直线，至物体则相遇为两腰，两睛心自相距为底，成三角形。因以其比例之大小，别物距目之远近，是谓目差。缘此，可推天上之视差以小喻大，其理一也。若物大，远于人，目则底线极小，两腰极长，是过睛心之两径线与平行无异。正如地球比恒星天之高，特以一点为底，视差无所繇生矣。如左图，两目之心为甲、为乙，目所视之物为丙，若甲乙线可比于甲丙线，〈可比者不甚远则有比例〉则两戊己径线渐
图

相就如己，而相遇于丙，若物更相近为丁，则两径速相就为辛庚。
甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边，又同一底线，则丁角大于丙角，而丁甲乙角必小于丙甲乙角。
而两目之光线皆从己敛

向于庚，自觉所视之物变远为近矣。若物与目相去甚远，则无比例者，因两径绝难相就、绝难相遇，故也。今借此理明视差之公理。如本图，设丁物之前有横堵为壬癸，令甲目独视丁物，则所见若在壬令，乙目独视丁则所见反在癸，而丁前、丁后两交角形必相似，即丁物亦不远于壬，不远于癸，盖视之目分两线为交角，即能分本物之远近也。若不能分两线，即不能分远近。
地半径差

目视星欲辨六曜，〈月五星也〉恒星之内势不能也，则当借地体之大，补目力之不及。法用地半径为底，以推测量所指之界，即可得七政远近、上下，各居本天之实处。如左图，甲乙两目相距为底则二寸耳，今以两地相距数千里或数里，当之以为底，如甲为顺天府，乙为广州府，丁为太阴。两人同测之，一在甲，一在乙，因此大底之远近比于各距太阴之两腰，得大小之比例，则甲丁及乙丁两直线必觉彼此相就以趋于丁矣。再使壬、癸为列宿天之两恒星，
图

或壬癸为太阳之全体，壬当其南周，癸当其北周。
测者一从甲见太阴，丁若在壬以本体合于一星之体。
或太阴之南周，齐太阳之南周。
一从乙测太阴反在癸，转
图

就北以合于他星。〈或太阳之北周〉若甲乙两测之距愈相远，即所见丁月两指之极高，亦愈相远。
一偏南，一偏北，东西亦同。
而人在甲能见太阴掩日，为日食。人在乙即不可得见矣。以此壬癸当宗动天
上之弧，正所谓视差与前言目见之小视差，其理一
也。第两人相距千里、万里，同时并测太阴其势甚难，故立别法代之。
详见本书第六卷下文略言之。

假令人正居地心，推其所得太阴距天顶应若干度分。又同时居地面者，实测太阴距天顶得若干度分，两度之差即所谓视差也。如图，甲乙丙为地球，丁为天顶，甲戊丁直线所至也。若太阴在此线左，右为己，从甲地心测月，见之当在庚。自地面乙测之，乃在辛。
图

则先推定丁甲庚角或所当之丁庚弧，后推丁乙辛角或所当之丁辛弧。
乙距甲与乙距丁无比例，甲乙至小故。
以两角或两弧相减，得视差之弧庚辛。
问一星距天顶，测其宗动天上所指度分，在地心测
图

之则距近，在地面测之则距远。若论角则地面之乙角大于地心之甲角。何以證之。其故何也。曰：因其一远一近。如图，太阴在本天，其距顶之弧为己戊，己戊之距，地心甲与其距地面乙远近之差，则目所能识也，所能分也。
图

因地之半径与月本天之半径有比例故。
则目之在甲与在乙所受己戊弧之象实不能无大小为己戊弧等，而两角之大小不等。
目受物象皆以角形，见交食第一卷。
相近者必大，远者必小也。

角既有大有小，所相当之弧不得不有大小，则辛之距天顶视庚之距天顶不得不远矣。又论辛庚视差实为辛甲庚角，所定何用辛巳庚或甲己乙角乎。曰甲乙线与甲庚线无比例。〈小大绝远故〉而甲乙与甲己则有比例，即甲己与甲庚亦无比例也。既甲乙与甲己同为微末，不以入算，则用辛巳庚角代辛甲庚角无以异矣。若论角，则丁乙辛角与丁辛弧相当。〈因甲乙与乙丁无大小之比例〉又丁乙巳角与乙甲己及甲己乙两角并等。〈见几何第一卷十六题〉则两角并亦与丁辛弧相当矣。今丁庚弧既与丁甲庚角相当，则馀弧庚辛必与馀角甲己乙或辛巳庚相当也。