钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第五十六卷目录

历法典第五十六卷

历法总部汇考五十六

新法历书六

月离历指二推太阴之实经度第十三

前论因本轮之自行度，加减立第一均数，以得定朔定望朔周转周。又因两弦之自行差与朔望异，用次轮之自行加减立第二均数。于理为尽从，是可得太阴之视行实经度，今论次如左。
查平行表简，得太阴太阳之相距度分，及月距本轮最高度分，用平面三角形法，可得其实经度。〈用古法解之〉第一法，西古史依巴谷在罗德岛，
地中海岛，北极出地三十六度，

于总积之四千五百八十七年，为汉武帝元朔二年甲寅三月〈建寅之月〉初七日子正后八十四刻一十四分，〈顺天睿时刻〉用浑仪测得月距太阳为四十八度○六分，于时日视行躔鹑首一十○度四十○分，即月视行度必在鹑火二十八度三十七分，此时此地为午正后一十二刻，依正升斜升表，算得月准在黄平象限，无东西差。
今用月离表试之，依表是时太阳之平行为鹑首一十二度○三分，均数为一度二十三分，当时太阳最高在实沈宫初，以减四十八度○六分，得四十六度四十三分，为太阴距太阳之平行度。
此于实距内减均数而得平行。盖太阳在最高，后平大视小，用减法。若在最高冲，平小视大，用加法。

查表于时太阴自行为三百三十三度，又平行距太
图

阳为四十五度　五分，视平两行之较为一度三十八分。更用两小轮图试之，从自行之最高甲左旋过己至乙，得三百三十三度。乙为心，作次轮圈，作乙丙联两心线，割次轮于壬，从壬至戊为日月相距之倍
图

数九十○度一十○分。次作乙戊、戊丁、戊丙三线，成戊乙丙三角形，形有丙乙一一○三，有乙戊二三一，有乙角。
壬戊弧九十度一十分，
求丙戊边，及戊丙乙角。
乙为钝角，宜引长丙乙边，作戊子垂线，成戊乙子直角形。有乙戊边二
图

三一，有戊乙子角一十分。戊乙子角者，戊乙丙过九十之馀也。先求戊子，得二五七弱，次求乙子，得○○一，以并丙乙，得一一○四，戊子、子丙各自之并，而开方得一一二五不尽，为戊丙。又子丙与全数，若戊子与
图

丙角之切线，得一十二度一十○分，为乙辛弧。
次以甲己乙弧并乙辛，得三百四十五度一十一分，其馀弧一十四度四十九分，为甲辛或甲丙辛角。次戊丙丁形，有戊丙一一二五，有戊丙丁角〈戊丙甲角之馀〉一百六十五度一十一分，
图

丙丁为全数，求戊丁丙角，
引长丁丙边，从戊作戊子垂线，戊子丙直角形，有角有边，求戊子为二八七，子丙为一○八五。子戊丁直角形有两边，求第三丁戊，得一○一八五，为月距地心。次求丁角，为子丁边数与全，
图

若戊子边数与丁角之切线，二八四，查表
得一度三十八分，如上所测数为确合。
第二法，太阳经二百六十九度○四分，太阴经二百五十七度四十三分，太阴自行为一百二十二度四十九分，日月相距为一十
图

一度二十一分，倍之为二十二度四十二分。如图，甲乙为太阴自行度，壬戊为倍数，丙乙戊形有丙乙、乙戊两边，有乙角，壬戊弧之角，求丙角，得五度五十二分，为辛乙弧。求丙戊边，得五十六分，以乙辛减乙甲，
自行不过半周，故应减，

馀一百一十六度五十三分，为甲辛弧。其馀六十三度○七分，即辛丙丁角。次丙戊丁形有丙戊、丙丁两边，有丙角，求丁角，得四度四十二分，为白道上之庚癸弧。因在自行前半周，以减平行，得二百五十三度五十七分，是太阴本时之实经度。〈从春分起算〉篇中屡言黄平象限者，是黄道在地平以上之九十度限也。两道在地平上下，皆半周赤道，恒定不易，其半周上九十度限，恒在午正线，黄道斜迤，时时不一，其九十度限，时东时西，又随地多寡。若极出地四十度，则差多者至距午二十五度。惟南北二至乃与午线同度分耳。其法其表详载交食历，今略举如左。法欲求本地本时之黄平象限，于本月日时简本地本宫之黄平限表，其第一直行，本日之月离宫度也。第二第三四行为其时分秒。第五第六为其月离象限度分，先约得月离经度若干，极四十度表有时之秒，他极减之，而少一行。查表取其横相对时分，〈子正起算〉得某时月在黄平象限。更以本时简月表，求月离经度，得某宫某度分。又对取其时分为月在象限之正时，假如崇祯四年八月十四日，求本日何时月在黄平象限，先约月在娵訾宫六度，本表求时得二十一时○一分五十三秒，以此时查月表，求月经度，查本宫七度一十分，查时得二十一时三分五十三秒，为月在黄平限之时。可测其高，欲密合更以此时求经度，更求时。
系凡月生明或生魄作直线联两角，此线若过天顶为地平上之垂线，即太阴必在黄平限点上，而此直线亦与白道为直角，引长之必过黄道之极。
图

黄白二道在太阴历中每作一道论，其所差甚微故。

此线直过天顶，及黄道极必分地平上之黄道弧为两平分。
此两圈相交有细解，其本论见球圈原本。

月望时无从得角，从月驳定月体之南北两极，如前。直线用之，知其过黄道极及在黄平象限之上。
二十八宿距度第十四

中西古今历法理同数异。大同小异。理大同者，共戴一天，同资七政也。数小异者，如周天有平度、日度，度法有用六、用十之类。会而通之，罔或弗合，亦无害其大同也。独恒星宫次，中历依赤道为二十八宿，北为三垣，南方无垣，则附见于诸宿。西历依黄道为十二象，通计南北为五十二象，此即大不相侔矣。以故回回历翻译并存，今恒星历各注黄赤经纬度分，星名位次，皆按中历更定，免致凌杂。而间考西古太阴历，则亦有二十八舍，译谓月所宿留之处。即又与宿次同义，且二十八距星亦皆吻合。其不合者，独觜宿距星不用觜，用天关耳。竟不知其何繇而同，若疑上古相通，则此法之外又何以毕无一合，亦一奇也。其诸法义图表俱见恒星历指，今欲推太阴宫宿度，仍用本表，先定黄道所离经度，依表求得本时刻太阴所离某宿某度，法曰：表中求月所离之宫度数，内减去近小宿数，所馀者为本宿之度分。
假如月离鹑火二十八度三十七分，本宫近小数为星宿二十二度○九分，相减之得六度二十八分，乃月在星宿六度有奇。宿距星在宫次　　度　分
斗　　　星纪　○五○三
牛　　　　　　二八五四
女　　　元枵　○八○○
虚　　　　　　一八一四
危　　　　　　二八一三
室　　　娵訾　一八二○
壁　　　降娄　○四○一
奎　　　　　　一七一七
娄　　　　　　二八四六
胃　　　大梁　一一四六
昴　　　　　　二四四七
毕　　　实沈　○三一六
觜　　　　　　一八三五
参　　　　　　一七一四
井　　　鹑首　○○○七
鬼　　　鹑火　○○三三
柳　　　　　　○六○三
宿距星在宫次　　度　分
星　　　　　　二二○九
张　　　鹑尾　○○三二
翼　　　　　　一八三六
轸　　　寿星　○五三六
角　　　　　　一八三九
亢　　　　　　二九一四
氏　　　大火　○九五四
房　　　　　　二七四八
心　　　析木　○二三四
尾　　　　　　一○○七
箕　　　　　　二五四三
此表崇祯元年定测，以后每年加五十二秒，七十年一度。
见恒星历指，有细行之表用之。
择月食以定交周第十五

如上论，定朔望转周实经度讫，次当定交周度分。其法亦用两月食，两食者，须太阳之距最高等，须太阴自行度等，须食分等，须食在阳历或在阴历亦等。乃可推月行交道满若干周而复还于故处，第旧史不载食分，亦不载阴阳历，无凭推步。即西古多禄某〈汉顺帝时〉亦未觉太阳之最高随天运行，
顺七政右旋，每百年约行一度。

故所择两月食见黄道上之经度等，即谓太阳之距最高亦等，而实则不等，其法亦不可用。至近世歌白泥〈正德间〉择用两食，于法为合。但所用两食，一在阳历，一在阴历，虽内外不等而度分之对待相等，如日月
图

之在朔望，皆名交会，不害为可用也。
第一食总积之四千五百四十年，为汉文帝六年，日躔大梁宫六度四分，五月
酉月也，实建申之月，
初二日子正后三十一刻，
顺天府时刻不见食甚。
月食十二分之七，在阳历
图

中交，即月在南，初亏东北，于时月自行为一百六十三度三十三分。
多禄某、歌白泥两算同
均数为一度二十三分，
未满半周一百八十度，故用减法。
第二食〈歌白泥所记〉六千二百二十二年，为正德四年己

巳，日躔实沈宫二十一度，六月〈实建酉之月〉初二日子正后二十四刻一分。
顺天府时刻不见食甚。

月食十二分之八，在阴历正交，即月在北，初亏东南，于时月自行为一百五十九度五十五分。
两食时月自行差止三度半，可勿论，其日躔前后相距不等。然多禄某所测太阳最高为实沈六度，所用食时日躔在最高前三十度弱。歌白泥时最高在鹑首五度，所用食时日躔在最高前十四度。两距之较虽十六度，以最高旁近度距地心之数为差微，即地景大小无二，亦可勿论。
今论两食时之月自行略等，太阴距地心之度分略等，则所差者在食分也，为十二分之一。
计两食之中积为平年〈三百六十五日〉一千六百八十三年八十八日九十刻○五分，或六十一万四千三百八十三日九十刻○五分，得交会〈即朔望〉二万○八百○五，会交终则二万二千五百七十七周外，馀一百七十九度二十四分。
后食大于前食，为十二分之一，月体之径于天度略为三十分，则食差为二分三十秒，交前后之纬距二分三十秒，其经度为三十分。次食既大于前食，即近交其较半度，则未满半周之较为三十分，查表求两食之两均数，一加一减，其较二十一分以减三十分，得九分，为不及半周之数，实馀一百七十九度五十一分。

上文推定。
依巴谷及多禄某先后推定见本篇第四。

月交会五千四百五十八，则交终五千九百二十三。依此用三率法，以交会率〈二千九百有奇〉为法，中积日为实而一，得二万○八百○五会，再用三率法，以交终为法而一，得二万二千五百七十七交半。
置交数〈二二五七七半〉以三百六十乘之，以会数〈二○八○五〉而一，得一会时〈二十九日有奇〉交行之度分。
又以会数〈五四五八〉为一率，交数〈五九二三〉为二率，一日之太阴平行
一十二度一十一分二十七秒，

为三率，求得一十三度一十三分四十六秒，为一日交行之度，以日求月求年，准此法。
论交行第十六

交行有二：一顺经度行，一逆经度行。顺行者，月平行一日一十三度一十三分四十六秒，是为月行距交之度。则以交为界，又如前定月平行一日一十三度一十分三十五秒○五微，是为月行距宫次或节气之度。则以宫次或节气为界，两数之较得三分一十一秒，是则两交一日逆行之数，所谓罗计行度也。顺行者，如七政右旋，自西而东，逆行者，如宗动左旋，自东而西。右旋者，先降娄，次大梁，左旋者，先元枵，次星纪，故月行两界：一为定界，一为不定界。定者，宫次如娵訾等，节气如冬至等。不定者，谓正中二交也。两界则两数，其较则为不定界之行分，不定界之数大于定界之数，故累积其较，则与月行相背矣。
交有平行，又有自行，与日月相似。自行有迟有疾，黄白二道之相距亦时多时少，古来未觉有此。第谷累年密测，得交行惟朔望时无加减。
图

与日在最高最高冲同理。
恒得五度弱，过此渐加，至两弦而极，而此自行恒半月满一周。
与太阴次轮行度同理，
如图，甲为月天球上之黄道一极，人目在他极外斜看黄道面，戊庚己为黄道
图

圈，去甲五度○八分，得乙。乙为心，作戊癸己球上大圈，为平白道，两圈相遇，各平分于己于戊，为两交庚癸相距之限，五度○八分是为两交相距之中数。
两相距之小数为四度五十八分三十秒，大数为五度一十七分三十
秒，相减得较，半之以并小数，得五度○八分，相距之中数也。

而己戊为两交平行之度。
次乙为心，作丁丙小圈，其径为大小两数之较一十九分，小圈之周恒负正白道之心。
如黄极绕赤极作一圈，名极圈。又白极绕黄极作一圈，名白极圈。此小圈与之同理，正白道之心，如丙丑丁寅皆是也。

半月，
图

十四日有奇，半朔策也。
行一周，
若正白道之心在丑，
最近黄道极，惟朔望则然。
以丑为心，作球上大圈，如辰辛子辛为正白道。
若球上作大圈过白黄两极，宜为乙丑庚弧，今
图

依视法作直线。
其距黄道为辛庚，〈本大圈之一弧〉辛癸为中白道，正白道之差，而正白道两交黄道于辰于子，则辰子为两道〈朔望〉〈时〉之正交，是交食所用之两交也。
若正白道之心在寅，〈两弦时〉以寅为心作卯壬未大圈，
图

定癸壬为中白道，正白道之差，而庚壬得五度一十七分三十○秒，是为黄白二道相距之极远。
寅心距甲心为极远故，
则卯未为两远交距，戊己两平交为戊卯、未己距，卯未两近交为卯辰、未子。
远交者，两弦之交。近交
者，朔望之交。平交者，半弦策之交。

凡正白道心在寅之上〈两弦前后〉丑之下〈朔望前后〉若干度分，则中正两白道之大距，〈相距之最远〉在壬之上辛之下亦若干度分，而两交在卯未之上辰子之下，亦若干度分。
若正白道心或在丙或在丁，则正中两道之大距相合于癸弧之上，而丁甲癸或丙甲癸为两象限，两交则在辰卯子未之间，戊己之左右。
本历表中有正交之加减，有正白道与黄道相距之度分，其原盖出于此。如图，正白道为辰辛子，即有辛辰庚角可推正白道之各度分，距黄道若干，〈与黄赤二道距〉〈度同法〉若在癸在壬俱仿此。
若正白道在辛癸壬之外，
在辛壬限内而不在三点之上，

则先求丁之上下距甲若干，以得癸之上下距庚若干，盖丁甲癸为一象限，甲癸庚亦一象限，甲丁大癸庚亦大，若小亦小，其加减率及用法见本历表。
定交行之历元第十七

上文言择两月食以定交周，因其经时若干而满周，以知交终及岁月日时交行之数。然止用两食相对较勘多寡，不知其距交几何度分，今欲审某时距交若干，以定交应，亦须两月食，其距太阳之远近等，两食分等，两食之在阴历、阳历正交、中交等，既诸率各等，则距交必等，因而折取中数，则得本时正交所躔度分。〈此歌白泥法〉
第一食：
多禄某所记即前第六章定本轮所用，第二食

总积之四千八百四十七年，为汉顺帝阳嘉三年甲戌十月〈建戊之月〉二十四日子正后一十七刻〈顺天府时刻〉一十分，月食十二分之十，在黄道南，初亏东北，于时太阳躔寿星宫二十五度一十分，月自行为六十四度三十○分，用减法得均数为四度二十○分。
第二食〈歌白泥所测〉总期之六千二百一十三年，为弘治十三年庚申十一月某日子正后三十一刻正，〈顺天府时〉〈刻〉月食十二分之十，在黄道南，初亏东北，日躔大火宫二十三度一十一分，
两食之中积时为一千三百六十六年，其间太阳行最高一十六度有奇，以减日躔两度差二十八度，得一十二度，为前后日距最高之差，日在最高旁近，其距地之差甚微，地景无二，与无差同。

月自行为二百九十一度三十五分，用加法得均数为四度二十八分。
两食时月本轮最高前后等距。
前过最高六十四度，后未至最高六十九度，其较五度，距地之差甚微，与无差同。

食分大小等，初亏方位等，则两食之月距交等，度
中积为一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分。

此时自行满交周外，其距交为一百五十九度五十五分。
如图，甲乙丙丁为白道，乙丁为正中二交，甲为北，为内，为上，为阴历。丙为南，为外，为下，为阳历。乙戊己丁为距交等之两弧，是两食时月体一过交，一不及交之度戊在乙，交之前己在丁，交之后前食用减法得
图

均数四度二十○分。
减者，月在自行之前半周，依表平交行为甲乙庚减庚戊，得甲乙戊戊为月所至之实处。
取戊庚，后食用加法，得均数四度二十八分。
加者，月在自行之后半周，依表平交行为甲丙
图

辛加辛己，得甲丙己己为月所至之实处，
取己辛、庚辛为两食中积，月距交之平行一百五十九度，并戊庚、辛巳，得戊丙己两距之实行一百六十八度四十三分，其馀一十一度一十七分为乙戊丁己两弧，并半之，得五度三
十九分，为两食时月距交之度。乙庚得九度五十九
分，若半交甲为界，则甲乙庚得九十九度五十九分，是第一食时之交行根，所谓交应也。若他时他处，求交应，依此加减之。
今拟崇祯元年戊辰天正冬至为历元，顺天府为历元本所，如日躔表推算本曜恒年表。〈如后卷〉
交行两界任用，但月体行度多端，差数繁曲，既成加减均齐，则或用定界从宫次节气起算，或用不定界从罗计起算，所得正等。
测黄道白道相距度分第十八

西史多禄某〈汉光武时〉其地为北极高三十○度五十八分，用三直仪〈测高仪皆可用〉测得月轨极北距天顶二度○七分，以减北极出地度，得二十八度五十一分，为月距赤道度分，于时黄赤距度为二十三度五十一分。
黄赤距古远今近说，见日躔历指。

以减太阴距赤度，馀五度，正为黄白相距之度。此测因月近天顶，地半径差极微，可以勿论。又轨度最高在清蒙限外，亦无差分。若在近浊测月轨高，不先定地半径差，清蒙差，以为加减，即所得者，非实度分。西古史多言黄白距五度正，上古则云四度五十八分，回回历则五度○二分，皆不远近世。第谷〈万历间〉密测详推，功倍古人。其言曰：朔望时古测仅少一分半，若上下两弦则五度一十七分。本书有测法，有算数，今略举如左。
总积四千八百○○年，为汉章帝章和元年丁亥八月〈建未之月〉十八日〈本地〉午正后二十九刻一十分，月在正午时为上弦，依本表算得距交八十六度一十七分，于时测得月距黄道，
地半径、蒙气二差，俱加减讫外，

为五度一十三分。
右二则所言度分通为日度，则五度一分半者，当为五度九分八十二秒，五度一十七分者，当为五度三十六分，五度一十三分者，当为五度二十九分。

大统以前诸历黄白相距俱六度，正通为平度，则是五度五十五分，距度恒大于西术，以推算月食，往往小于天验，殆缘于此。
西术定黄白距度求月轨极高，得距赤度分，去减黄赤距度，馀为黄白距度。此古今通法，但多禄某当汉光武时去今一千四百馀年，于时黄赤距二十三度五十一分，所减大，所馀必小，今时则二十三度三十一分半，所减小，所馀必大，故今之黄白距较古为大。
是黄赤渐近而黄白不移，其所以然难可窥度。

又恒星历言近至之恒星，古今纬度不一。在冬至则南纬度小北纬度大，夏至反是，亦黄赤渐近之徵也。今推黄白距度列表，略同黄赤距度法。〈见日躔历指及测量八卷〉其用法见月离表。
论月视差第十九

日躔历指论地球半径与月天半径为比例，若本天视地为远为高，则比例为小。若为近为庳，则比例为大。
两数相近，其比例名为大，相远名为小。

凡视差有三：〈清蒙不与〉一曰地平纬差，二曰黄道经差，三曰去极纬差。其根则一，地球之半径是也。盖推算之地平纬恒与地心为对，人目所见之地平纬恒与地面为对，故因地之半径而生视差，若日月星在天顶，即实行与视行为一线，即测验与推算为一率。自此而外，七政皆有视差。但以去地远近，出地高庳，分别大小耳。今所论者，地平纬差也，〈馀二差详见交食历指〉前史谓之南北差，因曜实在北，所见在南，故立此名，今通称之。
求月视差法，依表算得月在极南，
即冬至。但此论经度非时也，故称南至以别之。

近冬至十度以内，又在两交之中。
正半交、中半交，黄白相距极远之际。

又在黄平象限之上测其地平以上之高，是为视高。次用赤道出地度，南至距赤纬度，太阴距黄纬度，推得月在地平以上之高，是为实高。次以视高减实高，其较为地半径之视差，若不用南至，任以恒日，依表推月过子午线或黄平象限上，求其黄道上经度，及其距交经度，距黄纬度，得地平以上之实高。亦测其视高两数之较，为地半径之视差。此法古今累测所得数无异，略举如左。
总积四千八百四十八年，为汉顺帝阳嘉四年乙亥十月〈建酉之月〉初三日，西史多禄某在本地极高三十度五十八分，太阳躔寿星宫五度二十八分，月在子午线亦为黄平象限。
凡两至在黄平象限与子午线同度。

推其经度为星纪宫三度○九分，月距交为七十四度四十○分，其距黄纬度为四度五十九分，计本地赤道高五十九度○二分，星纪三度九分之距赤纬。
图

于时为二十三度四十八分，以减赤道高，得纬度高为三十五度一十四分，〈黄道某度地平上高〉加月距黄纬度〈在黄道北故加〉得四十○度一十三分，为太阴之实高。次测得三十九度○五分为视高，一推一测，其较一度八分，为地半径视差。

又总积六千二百三十五年，为嘉靖元年壬午九月〈建申之月〉二十七日午正后二十二刻一十分，西史歌白泥测得月轨视高七度一十分，于时日躔寿星一十三度二十九分，月自行得三百五十八度，为本轮之最高。推黄道经为在星纪一十二度三十三分，距交七十二度五十二分，距黄纬为四度四十七分，因推得月距赤道二十七度四十一分，本地赤道高三十五度三十八分，去减月距赤道度，馀七度五十七分，为月在地平上之实高。一测一推之较为四十四分，即月在最高地半径视差。
右两术所推太阴之地半径差，各依本法论定太阴出入地平时，若在本轮之最高则多禄某为○度五十三分，歌白泥为五十分。若在最高冲则多禄某为一度一十九分，歌白泥为六十六分，异同若此，将何适从。所以然者，缘两史测月时未悟月近地平，有清蒙一差故也。〈说见日躔历指〉清蒙映物，能升卑为高。凡测月之地平高所得数，乃所见之视高，〈与人目平行〉非月行之实高，〈与地心平行〉以地半径差减实高，则为视高。又以清蒙差加视高，则为真视高。近世第谷依此法推得太阴出入地平时在最高为五十六分二十一秒，在最庳为六十六分○六秒，其各远近之差在多禄某为二十六分，歌白泥为一十六分，第谷为一十分，三家皆有地半径差表，今以第谷新术为正。
以地半径大差求月距地心第二十

如左图，甲为地心，乙丙为视地平，乙甲为地半径，丙角为视差〈用第谷之大数〉六十六分○六秒，乙为直角，乙甲半径为度。
图

为度者，恒呼为一，以上累加之。
求月距地心之甲丙。法为全数〈内〉与乙甲，〈外〉若丙角之馀割线〈内〉与甲丙，得五十二又十万之二万一千○二十五，是月极近地为五十二地半径有奇，若用小数五十六分二十一秒，

推得六十一又十万之二千七百八十二。
系既定甲乙、乙丙之比例，若有月距天顶之戊丁弧，或称戊乙丁角，或称丁乙甲之馀角，任高任下，皆用甲乙丁形，有乙甲、甲丁，有丁乙甲角，求乙丁甲角，恒为地半径之角。
如前论月本天本轮、次轮各半径之比例，为十万，为一一○二，为二二一，并之得地心至太阴极远〈最高〉之线一一三三三。次用变率法，一一三三三得六十一地半径又十万之二千七百八十二。则本轮之半径
图

一一○二得若干，次轮之半径二三一得若干，依此推之。
系如图，得丁戊，
月距地心十万分之几
若干数，亦可得月距地心若干地半径数，有表。〈图说见前〉二系地半径差，月距地心恒互推。

三系若定地半径若干里，亦可得月近远若干里。〈有本解〉
论太阴清蒙气第二十一

日躔历指有论有法以测清蒙差度分，因之列表。凡测太阴得其视高，则求地半径差加之，得数又以清蒙气差减之，为其实高。凡推太阴得其实高，则以地半径差减之，得数又以清蒙气差加之，为其视高。但清蒙之差因地因时所在各异，今表其折衷通用之率也。必求本地本时之确数，宜随处所积岁月累测以定之。
测月径地景径第二十二

测日月径度，西古史有本用仪器，今以月食立法，则历家之正术也。
总积四千○九十三年，为周襄王三十一年庚子月日子正后〈顺天府时刻下同〉四十一刻○五分，月食十二分之三，约为四之一，于时日躔降娄宫二十七度○五分，月离寿星二十七度○五分，月自行为三百四十○度○五分，月距交九度二十分，距黄道北四十八分半。〈依表算〉
又总积四千一百九十一年，为周景王二十二年戊寅月日子正后一十四刻五分，月食十二分之六，约为半径。于时日躔星纪一十八度一十二分，月离鹑首一十八度一十二分，月自行二十八度五十四分。
前食月距本轮最高二十度弱，两食之较八度有奇。俱在本轮上弧，不能变远近之数。

月距交七度四十八分，距黄道南四十分四十秒。如图，日光照地面即地背生景形如角体，渐小以趋
图

尽，月过交入地景〈一名图虚〉有高庳，食分为之大小。今两食时同在最高之左右，其距地等，食分一为半径，一为四之一，其较为四之一，距黄道一为四十分四十秒，一为四十八分三十秒，其较七分五十秒，依法算月径四之一，得七分五十

秒，依法四之，得三十一分二十秒，是月距最高二十度之似径也。
测月径度法详见三圆比例说

系凡食分为月之半径，即月距黄道为景之半径，因上数，当食时，地影半径为四十分四十秒。
二系若食时，能测定食分，又推算得躔离、自行、距交、距黄等诸率，可得月径及景径，不必用古两食法。
日月距地率、日月实径率、地景长率、总论第二十三
图乙图乙

如右图，乙甲丙为日，己丁戊为地，日光照地以两光线，从乙过己，从丙过戊，而遇于丑。是生己戊丑角体之景，次从乙从丙至地心，作乙丁、丙丁二线，又作甲丁丑线过日地两心，次从地心丁上下取月距地心之数。
地半径为度如上文所定。

为丁庚为丁寅两距等，作庚辛、壬己、戊寅子线，皆平行，其太阳似径之度为三十一分二十○秒。
欲解土义，先定太阳之似径，此在三图说有各种
图

法。今用者，古多禄某所定也。又太阳行最高最庳不等，似径亦不等。本章所用者，日在最高之似径也。论月亦在小轮之最高，如下文。

庚辛丁直角形有庚丁〈月距地〉六十四又六之一，有丁角〈甲丙度〉一十五分四十　秒，求庚辛。法为全〈内〉与丁庚六十四又六之一，〈外〉若丁角之切线四五五〈内〉与某数，〈外〉得地半径十万分之二万九千一百九十六，次求寅子。
庚壬丑三角形内有庚壬、丁戊、寅子三线，相距等。
图

用递加法，三率之第一第三并为第二率之倍数，

庚辛为月最高半径度，依多禄某说，约与日半径度等。又寅子为地景之半径四十分四十秒，即两数之比例。
庚辛十五分四十秒，寅子四十分四十秒。

为若五与十三，先得庚辛二九一九六。用三率法，得寅子为地半径十万分之七万五千九百○九，以并庚辛，得一十○万五千一百○五，以满丁戊之倍数二十万，为不足地半径十万分之九万四千八百九
图图

十五，为辛壬。
丁戊倍之为二十万，与庚壬寅子并等，于倍数内减庚辛、寅子，并所馀为辛壬。

次丙戊、戊丁两线所作戊角，拟为直角，
实非直角，其差极微，非算所及。

丙戊甲丁两线亦拟为平行，
实非平行，以差微故。

用几何法，〈第六卷第二题〉为戊丙与壬丙，若丁丙与辛丙，又丁甲与庚甲若戊丁〈地半径十万〉与壬辛，〈九四八九五〉既丁甲
图图

与庚甲若戊丁与壬辛，则甲丁为十万，〈若戊丁〉庚甲为九四八九五，〈若壬辛〉所馀之庚丁必为○○五千一百○五。先定庚丁为六十四地半径又六之一，依变率法，求甲丁得一二一○，是日距地心如地之半径者一千二百一十也。
以上系古法，后世累代密推，有亚巴德于总积五千六百○四年，为唐昭宗大顺二年辛亥，推得一千一百四十六倍。歌白泥于正德间，推得一千一百七十九倍。第谷于万历间推得一千一百八十二倍。此差列数至微，推算极难，或月径月径加减以分计，则其差以数百倍计，故名历家于此殚思竭虑焉。今时所用，大都歌白泥之率也。
一系依上论，丁戊地半径为一万分，庚辛月半径为一万分之二千九百二十六，是为地月之两实径，用此比例可推两体之比例。
二系甲丙丁庚辛丁两形相似，则庚丁与庚辛若丁甲与甲丙，推得日实径与月实径之比例。
三系可得甲丙与丁戊日地两实径之比例。
以上三系详见三图说。

四系置日距地度及日与地之比例，又距月行本轮距地度。〈于上图为丁寅〉可得月所过地景之径，列表。其引数为月本轮自行之数，然图说所设者，日在最高。若去最高，即复异此。故表有本行名地景差，其引数为太阳之引数，以所得之分与引数相减，即得。〈无加法〉盖日在高景大，在庳景小故也。
月距地视差、视径三家异率第二十四

汉章帝时西史多禄某术：
月距诸率为地半径　　地半径视差　　　月视差
十单又十分　度十分〈天度〉十分十秒

极远〈二轮并远〉六四　○九　○五四　二九本轮最高五三　五○　一五八　　　　　三二○八本轮心　四八　五一　一○一　　　　　三八四二本轮最庳四三　五一　一○四　　　　　三八○八极近〈二轮并近〉三三　三三　一二四　五五远近限差三○　三七　○三○　　　　　二六正德间西史歌白泥术：
月距诸率为地半径　　地半径视差　　　月视径
十单又十分　十分十秒　　　　十分十秒

极远　　六八　二一　五○一九　　　　二七四○本轮最高六五　三○　五二二四　　　　三○一○本轮心　六○　一九　五八二五　　　　三二四四本轮最庳五五　○八　六二二一　　　　五五四○极近　　五二　一七　六五四四　　　　三六○八远近限差一六　　　　一五二五　　　　○八三○万历间西史第谷术：
十单又十分　十分十秒　　　　十分十秒

极远　　六○　三六　五七四四
本轮最高五八　○八　五九○九　　　　三○三○本轮心　五六　五○　六○五一　　　　三二三四本轮最庳五四　五○　六二三九　　　　三四四○极近　　五二　一四　六五三六
远近限差　八　　　　八五三
第谷及其门人刻尔白改之法，今所用。又测太阳视径为冬至三十一分半，夏至三十分。〈以上原本历指卷六〉

〈月离之二〉