钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第五十一卷

历法总部汇考五十一

新法历书一

日躔历指

历象以齐七政，今首日躔者，何也﹖曰：七政运行，各有一道二极，各有三百六十经纬度。其度、分又各有实经纬，视经纬其会合，有实会视会，实望视望。棼然不齐首日躔者，乃所以齐之也。日躔之能齐七政，奈何。曰：凡测量之法，必自其根始。如度树之短长，地其根也。度舟行之远近，水次其根也。度天行之根有二：其一在天行之内，岁首是也。古法以今岁之十一月冬至为来年之天正岁首，冬至者则日轨高度分之极少，日躔，赤道，纬之极南也。其一在天行之外，历元是也。自昔推历元者，必求上古之积年，后来岁实稍密即无数可论。故至授时而废不用矣。授时以至元辛巳为历元，以其气应为根，而求通积以岁实而一得冬至。然此所得者，皆平年之冬至，非定冬至也。今法以崇祯元年戊辰冬至日子正初刻为历元，依恒年表求其根数，为平冬至。因以法加减之为定冬至。定冬至者，岁岁加减，初无通积可求，盖日轨度之真极少，日躔，纬之真极南也。是则天行之两根，舍日躔皆无从取之矣。曰：此两根者，六曜皆有行度，皆可用以为岁首为历元，何独日躔乃可乎﹖曰：此其故有二：其一七曜之中独日躔之行甚顺也，其一以他曜测不若以日躔测甚便也。何谓甚顺。太阳之行与本天之本行相合为一，繇黄道带之最中无出入，岁、月、日、时各平行有恒，度分无永短，如是者，皆终古不易。他曜之行，于本天本行之外，各有小轮，各有纬距度，各有迟疾留逆，时时不等，虽有定法而似无法，何能为他行之法。譬如畸零不齐之布帛，宜以十寸之尺度之。若以畸零度畸零，无乃欲齐而棼之乎。故六曜者，畸零之布帛；日躔者，十寸之尺也。若恒星之东行与日相似，亦可谓顺矣。乃行度最迟必六十馀年，而一度二万五千二百馀年，而一周推步者，欲求其变动之数，卒世而不一得也。且考恒星之经度，必用太阳之经度。自非二分二至为其准，则何从定之。星之古测今测更多不合。或曰顺行，或曰否，人自为说，又何从定之。岂若日躔之岁、月、日、时具可测验，具可推算哉。何谓甚便。日光甚大，用窥筒诸器即分秒可得，诸星体微光，眇测候颇难月体大矣。而去地甚近，其视差甚大，己亦不能为主。古今法考月离经度者，必因其食甚时刻，考太阳之经度，加半天周得太阴之经度。故自昔名历家先测太阳，定其行度经度，次及月五星、恒星之行度经纬度，以为定法。是知日行者，诸行之本也。然历法首步气朔，兹有气而未及朔何也。曰朔望者，日与月比论乃得之也。未论月虽，未可论朔望也。其不及岁差，何也﹖曰岁差者，日与恒星比论乃得之也，未论恒星，未可论岁差也。今以本法诸义著于篇，以资推算焉。
定南北线第一

第一法必待春秋分，第二第三法恒日可用。但论其理，俱未能定卯酉之真线，何故。为太阳本行去离赤道以前以后，终岁终古皆不作周圈而作螺旋圈也。欲得真线别有本法。
图

本法用地平经纬仪，取最近北极一星，测其东西行所至两经度，中分之，即正北方也。用句陈大星西名小熊尾第一夏至，子时在极东，冬至子时在极西。用句陈第五星西名小熊尾第三冬至，酉时在极西，卯时在极东。〈用此即定线一夕可得〉
图

若无本器，用两表之法。两表者，一定表，其体与地平为垂线。一游表，其直边亦与地平为垂线。先以二表与星相望，参直成一线，若星渐移而东，则迁游表随东至，不复东而止移西亦如之。末从定表望匝游表，各以直线联之成三角形，
平分其角，作南北正线。
或以权系垂线可当表，但须权末极锐，与垂线相应，以切地平定点。
已上诸法，必以夜及午正时。若或早或晚，随时求之，则有别法。先定一表景之直线，以此线当地平上之太阳经圈，即于此时用测器取日轨高，得南北正线，如后图。作甲乙丙丁圈，其心戊甲丙为地平，丙上数本地赤道出地之数，如顺天府五十度即至己，从己作径线，径线之或北或南取本日日躔，离赤道距等
图图

度为己壬，作壬癸线，为赤道距等圈。次从丙甲上数日轨高度分，如高三十度得子，作子丑线，即本时地平上之太阳纬圈也。此线交壬癸距圈于卯，从卯向甲丙地平引作酉卯辰垂线，取子丑纬圈上子午半弦为度，从戊心抵酉卯辰线上作斜线，得未戊，引至圈界成未戊申线也。乙戊丁为东西线，未戊申为景线，即或左或右，如本时刻与卯酉远近之数，成未戊乙角，则得申戊丁对角，从景线上依法作角，得角傍东西正线。其本日太阳宫度及北极出地之数，或暮夜用星说。见本论。〈有一百法〉
定北极出地度分第二

凡步日躔、月离、五星、行度等一切测验推算，皆以北极出地之正度分。若仪器未精，测候未确，如春秋分所测午正日轨高差至一分，则以算太阳之经度必差二分半，推太阳之最高必差一度有奇。即日躔行度，不能得其真率也。以此定冬、夏至时刻等，无不忒矣。故此法最宜详密，不容率尔以致谬误。
凡得日躔经度，或某星经度，以午正日轨高，或出入地平之经度等，率可定北极出地度分，见本论，约有五十法，今先具一本法。用象限仪取北极附近一星极高极低之数平分之，为北极出地度分。如用句陈大星，〈西历为小熊尾第一〉冬至日酉时测得极低三十七度强，卯时测之得四十三度强，其差六度，半之三度，与三十七并得四十度强，是顺天府北极出地之数。古法用表景或仪器测冬、夏至，两日轨高之差折半以减夏至高，得赤道高。以减象限，即北极高也。然人目不在地心，在地面，故得数未确。
图

如上图，甲为地心，丁为地面，人目在丁，用仪器如丁辛戊庚测得冬至日轨高辛戊，然实高乙戊视高辛戊其差为丁戊甲角。夏至日轨高为壬，其差则丁壬甲角，小于丁戊甲角，两视之差不等，其所得之数必非真率。且用表即景末难

定，又有日轮半径之差，〈实表非中景故〉清蒙之差，致差之道多端，岂容略率推步遽定高下之数哉。
问：日躔列宿，渐次西移，古来名为岁差。西历以为列宿东行，度分非日果差西也，是既然矣。又日躔有最高，不惟旋转，东行即两心又无定距，则近星去极亦有时，远近随时变易，安能遽定为一定之法，终古不易﹖曰：恒星及最高皆一二万年，而一周数十年，而一度近星去极虽则游移为动甚微，为时甚缓，数年之间，目力器数固难验其变易矣。既具测候之法，待其积时积数，灼见违离，然后依法更定，未为失也。
论清蒙气之差第三

西历第谷欲究极日躔行度之理，造测器十具，体式各异。宫、度、分、秒，丝毫不错，以定本地北极出地度分讫，次用古法。〈即二至之高折中取之〉测之不合者，四分莫知所繇。乃造大浑仪一具，于黄道上加极细窥筒，夏至午正测之。又时时测诸经纬度分，则二法往往不合。每浑仪所测之纬度，高于所算太阳之纬度，乃知真高在视高之下，因悟差高之缘，盖清蒙之气所为也。清蒙之气者，地中游气，时时上腾，入夜为多，水上更多。其质轻微略，似澄清之水，其于物体不能隔碍人目，使之隐蔽，却能映小为大，升卑为高。故日月出入，人从地平上望之，比于中天则大，星座出入，人从地平上望之，比于中天则广，此映小为大也。定望日时，地在日月之间，人在地平无两见之理，而恒得两见，或日未西没而已见月食于东。日已东出，而尚见月食于西。或高山之上见日月出入，以较历家算定时刻，每先升后坠，此升卑为高也。
试以钱一文寘空盏底，人立稍远，令盏之边掩钱体，人目不见钱则止。更以水注之，水半则钱体半见，水满则全见，升卑为高，其理明矣。

清蒙之气，有厚薄，有高下，气盛则厚而高，气减则薄而下。厚且高则映像愈大，升像愈高。薄且下则映像不甚大，升像亦不甚高。其所繇厚且高者，若海，若江湖，水气多也。或水少而土浮虚，此气能令轻尘上升，亦厚且高也地势不等，气势亦不等。故受蒙者，其势亦不等。欲定日躔、月离、五星、列宿等之纬度，宜先定本地之清蒙差。
万历二十五年丁酉，西洋之迤北人汎海，至诺瓦生八纳之地。北极出地七十六度强，日躔大寒四度。论宗动之法，应日出在冬至后五十二日，却前出十三日，所差二十九度。于时太阳实在地平下五度，因本地在大海中，蒙气甚盛，太阳久躔地平之下，不能消除其湿势，故发见折象尤多，令前出十三日也。又早晚蒙气亦不等，盖昼则太阳能消湿气，至暮而尽。夜则复生，渐生渐盛，及晨而多，故蒙气又有昼夜早晚之差。
清蒙之本性能升物象，令高于实在之所不能，偏左偏右，故其差恒在纬度，不在经度。今先论测纬法，借宗动天本论内一则，曰：凡测高以恒球纬圈量之，盖恒天之内，经纬之度皆相连，有一自有二，若得本地北极出地之数，及或东或西恒球上日躔经度，可得本时恒天内真纬。
如左图，甲乙丙为南北圈，甲戊丙为地平圈之一弧，乙为天顶，乙辛己戊为恒球一经圈，过太阳之视高
图

辛，亦过太阳之实高己。从北极丁作丁己弧，成丁乙己曲线三角形，此形有丁乙边为北极高之馀度，有丁己边为日轨距北极之度，有丁乙戊角为丙乙戊之馀角。
丙乙戊角为乙戊经圈距正午丙之度，其弧为
图

丙戊。
求乙己，即日轨之实高离天顶度，其法：己角，
即恒球经圈乙己偕北极出圈丁己两线所作角，
在本圈恒为锐角，若丁乙己为同类锐角，即如左图，从丁向乙己作丁庚垂弧，
图

分元形为两直角形。若丁乙己为异类，即于乙己边引长之，从丁作丁庚垂弧，必在形外。其前图丁乙庚直角形有丁乙边，乙角，求乙庚则全数与乙角之馀弦，若丁乙弧之切线与庚乙弧之切线。又法全数与丁乙之正弦，若乙角之正

弦与丁庚之正弦，次丁庚己形有丁己边，又有丁庚边，求己庚则全与丁庚之馀弦，若丁己弧之割线与己庚弧之割线末乙庚庚己，并得己乙为日轨之实高离天顶度。其后图，丁庚乙形有丁乙边、乙角，求乙庚，法如前，但庚乙内减庚己馀乙己即所求。
假如太阳躔鹑首初度，地平经度，任置为〈从午正或东或西算〉九十四度，求太阳地平上之正高。〈太阳距极为六十六度二十九分〉丁己为六十六度二十九分，〈见前全图〉丁乙戊角为八十六度，丁乙为五十度，〈北京赤道高〉法全数与丁乙戊角之馀弦。〈六九七六〉若丁乙边之切线〈一一九一七五〉与庚乙边之切线，〈二三率相乘以全除之〉得〈八三一二〉查表得四度四十五分。又全与丁乙边之正弦，〈七六六○四〉若乙角之正弦，〈九九七五六〉与丁庚之正弦算得，〈七六四一○〉查表得四十九度五十分。又全与丁庚之馀弦，〈六四五○一〉若丁己割线，〈二五○六一七〉与己庚之割线算得，〈一六一六五○〉查表得。〈五十一度四十七分〉己庚庚乙并之得。〈五十六度三十二分〉减九十，得。〈三十三度二十八分〉乃太阳地平之纬度也。〈正高也〉此四数，极出地，太阳距极，太阳地平经，太阳地平纬，皆相连相乘。
右系测纬度之正法。若先用器测得经度，以此法推得韩度，而别测得纬度与所推不合，则别测者必高于所推，其差必繇清蒙之气也。若论测器不在地心而在地面，则以地半径之差数减所测纬度，下方详之。
崇祯三四五年，每年测冬至即用元仪元筒规，然所得数非一，前后有差一二分，或是蒙气尘灰等之故耳。
求黄道与赤道之距度，世世不等。第四〈亦名太阳之线〉
法曰：夏至前后一日用测器数，具各依法求午正日
轨高，若俱合，即真率。否则择其相合者用之，第二第三日再测如前，于所得真率内减去地半径之差，又减去赤道高，馀为两道距度。即夏至日躔赤道以上之纬度也。何以不用冬至。以夏至太阳近天顶，蒙气甚微，不入算。冬至，近地平蒙气多，则差多。何以用前后一二日。曰：至前后一日日躔去离赤道止一十三秒，次日止五十五秒，测器之上无从分别，与初日不异也。
若用冬夏两至之较差不为真率，见前论。
古今各测

周显王二十五年丁丑迄崇祯元年戊辰为一千九百七十二年，西古史亚理大各。
秦二世三年甲午迄崇祯元年戊辰为一千八百四十七年，西史阨腊多。
汉景帝中元元年壬辰迄崇祯元年戊辰为一千七百七十七年，西史意罢阁。
汉光武建武十七年辛丑迄崇祯元年为一千四百八十八年，西史多勒某，其书为历家之宗。
已上四家测定黄赤相距为二十三度五十一分二十○秒，于中分为二十三度八十五分。
唐僖宗广明元年庚子迄崇祯元年为七百四十八年，西史亚耳罢德测定二十三度三十五分，于中分为二十三度五十八分三十三秒。
宋神宗熙宁三年庚戌迄崇祯元年为五百五十八年，西史西杂刻测定二十三度三十四分，于中分为二十三度五十六分六十七秒。
宋高宗绍兴十年庚申迄崇祯元年为四百八十八年，西史亚尔满测定二十三度三十三分，于中分为二十三度五十五分。
元成宗大德四年庚子迄崇祯元年为三百二十八年，西史波禄法测定二十三度三十二分，于中分为二十三度五十三分三十三秒。
天顺四年庚辰迄崇祯元年为一百六十八年，西史褒尔罢测定二十三度二十八分，于大统历为二十三度四十六分六十七秒。
正德十年乙亥迄崇祯元年为一百一十三年，西史歌白泥测定二十三度二十八分二十四秒，于大统历为二十三度四十八分一十二秒。
万历二十四年丙申迄崇祯元年为三十二年，西史第谷造铜铁测器十具，甚大甚准，又算地之半径差，及清蒙差，岁岁测候定为二十三度三十一分三十○秒，西土今宗用之。于大统历为二十三度五十二分三十○秒。
第谷覃精四十年察古史测法，知从来未觉有清蒙之气及地之半径两差。又旧用仪器体制小分度粗窥筒孔大，所得馀分不过四分度或六分度之几而已，且古来测北极出地之法未真未确，故相传旧测俱不足依赖以定太阳躔度。
今欲定黄道各经度分之纬度分若干，借宗动一题，曰：凡得两道极相距度分，及黄道其经度分，可推本度分之纬度分。
如左图，甲乙为赤道一象限，甲丙为黄道一象限，两道遇于甲为春秋分，乙丙为过两至两极之经圈，有
图

两道距度，
即二十三度三十一分三十秒之弧，
为甲角之度，而测他距度，其法如日躔立夏节为丁，即从丁向赤道作丁戊垂弧，而成甲丁戊曲线直角形，此形有甲角二十三度半强又，有甲丁弧立夏之

经度四十五，求丁戊弧纬度，则全数十万与甲丁弧之正弦七○七二，若甲角之正弦三九九一五与丁戊弧之正弦二八二二二，查得一十六度二十三分三十九秒为立夏之黄赤距度，与立春、立秋、立冬之距度皆等，盖从两分之交数经度皆四十五也，他各节去离二分或左或右，经度等则距度亦等，以此法推黄道各经度分之纬度分，作表如后。
反之，有太阳之纬求其经，如上图，甲丁戊形有甲角、丁戊弧纬而求甲丁弧。其法全数与甲角之正弦三九九一五，若戊丁弧之馀割线三五四三八一，与甲丁弧之馀割线一四一四二一，查得四十五度，其法见宗动天本书。
凡过极圈截黄赤二道有黄道所截之经度分，求截赤道之经度分，此即约说所名赤道上之黄道升度也。过极圈者，在正球为地平，在欹球为子午圈、时圈等。
如左图。乙甲丙如前，若正球〈赤道过天顶〉则己戊丁弧为地平，己丁庚其子午圈，己为北极，庚为南极，甲戊丁
图

形之丁戊为其地平东西或左或右之一分。若欹球，则丁戊为过极圈。〈子午时圈等〉夫甲戊丁角形，有日躔经度之甲丁〈四十五度〉有甲角而求赤道之弧戊甲，其法全数与甲角〈二十三度半强〉之割线一○九○六四，若甲丁弧之馀切线一○○○○○，

与戊甲弧之馀切线一○九○六七，查得四十二度三十一分强。
春秋两分时太阳之本度第五

历法家古来有公论二端。其一曰：凡动而有法者三，一自上而下，如土石等重物，以地心为界。〈为界者欲至地心而止〉二自下而上，如气火等轻物，以月天为界。此二动自行必成直线，名为直动。三循环行一周，至元界。如天行一周，成全圈，名为周动也。三者而外，皆名无法之动。〈详见本论〉
其二曰：凡天体及七政、恒星等必平行，不平行则推步之术，无从可立，无从可用矣。然而人目所见，各有迟疾，顺逆时时迁革，百千万年无一平行者，又何也。历家因此推求，悟有不同心之圈及诸小轮等，虽有彼此前后，多互异之说。总之，欲得其不平行之故，而又不失其平行之恒，理不得不然耳。〈详见七政性理之论〉太阳之公动，其理不一，其属宗动天而定昼夜之时之类，后篇详之。今略论其本行，曰：太阳既为周动，又必平行，则人目所见经历岁、月、日、时，悉宜平等，则从天正春分至秋分，又从秋分至春分，平分一岁，其日亦宜平等。乃从春分昼夜平至秋分，历一百八十六日有奇，而平从秋分昼夜平至春分历一百七十八日有奇，而平所差八日有奇，安得谓之平行。又人目所见太阳之体，冬至则大，夏至则小，见大去人必近，见小去人必远。又冬至月食小于夏至之食，盖大光之体愈远，其景愈长愈大，月过地景之时愈多。故知时多者景大，景大则光体必远，既两有，冬夏远近又安得谓之周动。且渐迟渐速，渐大渐小，非骤然迁变，
图

即又日日刻刻皆非平行也。今欲明迟速之故而又不失为平行，欲明大小之故而又不失为周动，将何说以处于此。
如图，甲为地心，乙丙丁为宗动天，庚己辛戊为日轮。本天庚辛为春秋两分，戊己为冬夏两至，若两圈为
图

同心者，即庚戊辛半周辛己庚半周所得圈分必等，今不等必缘不同心。〈其差数详〉〈见下方〉故人目不在太阳本天之心壬，而在宗动天之心甲，则日行本轮天恒平行，而人目所见者，庚戊辛所经之日多于辛己庚，所以冬缩而夏羸也。日在戊，

去甲远，在己，去甲近，故冬大而夏小也。但在本天既平行，则推算者必先得平行数为根，而后可论其迟疾多寡。故须先作平行表，其术以岁周为法，天周为实，平分之。见下文。
其求天正春、秋分日躔本度之法有二；其一或春分或秋分前后三四日内，于午正初刻测得日轨高，与本地赤道离地平度数，两数相减，得数为本日日躔纬度，以纬度求经度
法，见本篇四。若赤道度多于日轨高，即太阳在南六宫，若少于日轨高，即在北六宫。

既得经度，可步日躔经度得若干时刻而入于交点，
交点即春秋分也。交者，黄赤道之交点者，无分。

其法以岁周三百六十五日二十三刻○四分为法，以天周三百六十度为实，而一得每日太阳平行五十九分○八秒一十九微为第一率，以日法九十六刻为第二率，以所得日躔经度为第三率，依法求得若干时刻为第四率，次用此时刻于本日午正初刻，或加或减，得太阳入交点时刻。
春分赤道多于日轨高为未及交，以所得时刻加于本日午正时刻，若少于日轨高为过交，以所得时刻减于本日午正时刻，

秋分则加减相反。
赤道多于日轨高为过交，减之少于日轨高。为未及交，加之。

次法，测得日轨高与赤道之差以相减，每差一分为四刻。〈春秋加减如前法〉何者。太阳日平行约一度，而春秋分前后第一经度其纬为二十三分五十六秒，约为二
图

十四日九十六刻，则太阳每四刻行纬一分，故赤道日轨之差一分当得四刻也。
此法可用于分前后一二日，若过此，纬度渐缩矣。故第一则为公法，
如上图，两道两弧遇于甲，人在乙测赤道乙丁乙戊，
图

日日不异，太阳则渐向交渐近赤道。如春分，太阳在己，少于乙戊，则未过甲交。己戊为太阳之纬，己甲为太阳之经，若己未及甲一度，则后一日而入于交点。若太阳在丙，多于乙丁，是己过甲交，丙丁为纬，丙甲为经，若丙过甲一度，则前

一日已入交点。秋分反是，是为加减之元本。
假如崇祯三年二月初八日，在局午正时测得日轨高五十度一十三分，加入地平半径差一分五十二秒，若有清蒙差，即应减率。今在午，日轨之高度多，故蒙差极微，即不减，实得地心以上日轨之真高五十度一十四分五十二秒。
若本地极出地三十九度五十○分。
顺天府北极出地之度有三说，未知孰是，尚须测候归一，今试一一推之。

即赤道高五十度一十○分以与日真高相减，馀四分五十二秒，为本地本日赤道以上太阳之纬度，次简黄赤距度表，求其经度，得去离降娄初一十二分二十二秒，次以太阳日平行五十九分○八秒为一率，日法九十六刻为二率，今行一十二分二十二秒为三率，而求四率得二十○刻弱，而日真高多于赤道高，则入交点在本日午正前二十○刻，为辰初初刻。
若北极出地三十九度五十三分，即赤道高五十度○七分，与日真高相减，馀七分五十二秒，为太阳纬。依法得经度二十○分，用三率法求得三十二刻○七分，则入交点在本日寅初初刻○八分。〈每刻十五分〉若北极出地四十度，即赤道高五十度，减差为一十四分五十二秒，求经得三十七分一十五秒，用三率法求得五十九刻○七分，则入交点在初七日戌初三刻○八分。
若北极出地四十度○一分，则入交点在初八日午正前六十四刻○七分为是：初七日酉正三刻○八分。
前此诸说未就遽得真率，今用西术成数立一较法，缘此展转推求，庶几近之。欲得真确，须铜铸仪象，亦大亦精，累年测候，以立万年不易之法。
按远西之国，有历学名家于万历十二年甲申在大尼亚国，其地居顺天府西，以法推其地经度，得东西相去一百○四度，因推其东西时差，得二十七刻一十一分，彼国北极出地五十五度五十四分四十五秒，连测五年，而得太阳入春秋两分之真率，今以时差加率，为顺天府各年之真率。如左：
万历十二年甲申二月初九日，西春分在午正后八十六刻正，加时差二十七时一十一分，得次日子正后六十五刻一十一分为中春分。
午正后八十六刻者，中历日法以子正起算，西历以午正起算，八十六并二十七得一一三，减日周九十六刻，存一十七刻，又以子正起加四十八刻，得六十五刻，为次日数，后仿此。

本年距元测一百八十七日，西秋分在午正后六十四刻正，加时差得次日子正后四十三刻一十一分为中秋分。
十三年乙酉，距元测三百六十六日，西春分在午正后一十三刻○四分，加时差得本日子正后八十九刻正为中春分。
本年距元测一百五十二日，西秋分在午正后八十七刻四分，加时差得次日子正后六十六刻一十四分为中秋分。
十四年丙戌，距元测七百三十○日，西春分在午正后三十六刻○八分，加时差得次日子正后一十六刻○四分为中春分。
本年距元测九百一十七日，西秋分在午正后一十四刻○八分，加时差得本日子正后九十○刻○四分为中秋分。
十五年丁亥，距元测一千○九十五日，西春分在午正后五十九刻一十一分，加时差得次日子正后三十九刻○七分为中春分。
本年距元测一千二百八十二日，西秋分在午正后三十七刻一十一分，加时差得次日子正后一十七刻○七分为中秋分。
十六年戊子，距元测一千四百六十一日，西春分在午正后八十三刻正，加时差得次日子正后六十二刻一十一分为中春分。
本年距元测一千六百四十七日，西秋分在午正后六十一刻，加时差得次日子正后四十刻十一分为中秋分。
方法用之可得岁周率，及冬至夏至等时刻。
上论详测春秋两分、太阳躔度，然须以日躔表所算太阳经度考之，若测相合则准，不合则不准也。
随日午正测太阳所躔经度宫分，

置赤道高若干，又置午正太阳正高。
所测日地平高数，内减蒙气差，又加地半径差得正高。

两数相减，其较为太阳距纬度，〈距赤道数〉以此数查黄赤距度，表中横行内求度分，上或下得宫度分，乃太阳本日午正所躔度分。〈若表中无元数即用中比例法〉凡赤道数大，测数小，宜用冬至傍半周宫度分。若赤道数小，测数大，用夏至傍半周宫度分。宫在上用上度，在下用下度。如测日高得六十度四十三分，〈因高过蒙气不用差〉加地半径差一分十三秒，得六十度四十四分强，减赤道高五十度○五分，馀十度三十九分，查黄赤距度表，得降娄宫二十七度三十五分，〈因测大赤小用上行宫度〉乃日躔度分或鹑尾二度二十五分。
又测午正高得三十七度十三分，减蒙气半分，加地半径差二分二十五秒，得三十七度十五分，赤道高内减之，得较为十二度五十一分，乃太阳距度也。查表得大梁三度五十二分或鹑火二十六度○八分。
太阳平行及实行第六

岁实者，太阳行天一周之月、日、时、刻也。太阳之岁有二：其一从某节某点〈二分二至之类皆名节亦皆名点〉行天一周，而复于元节元点，是名太阳之节气岁。若太阳会于某星，行天一周而复与元星会，是名太阳之恒星岁。恒星有本行，自西而东，假如今年春分太阳会某恒星，至来年春分，此星已行过春分若干分矣。太阳至春分则巳满节气岁之实，而尚未及元星若干分，即又须若干时刻逐及于元星而与之会，乃满恒星岁之实。故恒星岁实，必多于节气岁实。
此外又有太阴之岁，以日月十二会，定为十二月。此岁为三百五十四日有奇，少于太阳之岁实十一日有奇也。但太阴之视行绝不平。
视行者，月周天本平行而其小轮有自行度，即入转也。自行有顺逆，因其行速，故人目视之不见顺逆而但见迟疾。既有迟疾，故晦朔弦望绝不能为平等。

故用此纪年者，又以太阳之岁实为本。
如前篇，万历甲申春分在午正后一十七刻一十一分，越三百六十五日为乙酉，在午正后四十一刻，相减得小馀二十三刻○四分，〈每刻十五分〉则岁实为三百六十五日二十三刻○四分。又用前世实测，前后相较，如弘治元年戊申，西国历家白耳那瓦测得春分为西历三月二十四日子正后六十四刻○六分，越一百年为万历十六年戊子，名历第谷测得春分为西历三月十九日子正后四十三刻六分，西法岁三百六十五日四分日之一，每四岁之小馀成一日，因而置闰，则百年中为整年七十五，闰年二十五，共为三万六千五百二十五日，用两测中积数
戊申三月二十四日子后六十四刻○六分，戊子三月十九日午后四十三刻○六分，

相减其较七十五刻○五分百而一，得每一年少○刻一十一分一十五秒，以减整年实三百六十五日二十四刻，得三百六十五日二十三刻○三分四十五秒，为今定用岁实。
此法与甲申乙酉实测所得不合，其差为二十七秒。若用前古数，百数千年所传实测之数，其差更多，何者。太阳之岁行不等，其原有三：其一，太阳不同心圈之心。
不同心之天，太阳所丽名日轮本天，其心非地心也，故又名不同心天，亦名最高天，此岁差所因也，亦可名岁差天。

顺节气自西而东，每岁有自行度，故取一点今岁与节点合，百年后便觉去离若干。其二，太阳不同圈之心，去离地心，其远近又复不等。其三，恒星亦不平行。此三差为数甚微，故百年之内难于计算，数百千年以上乃可得之。〈因大统历故百年岁实减一分〉
算每日太阳平行分法

置先算定岁实为三百六十五日二十三刻○三分四十五秒，乃太阳行天一周三百六十度也。今欲定一日之行，而成表法以周天为实，以岁实为法，除之
欲得细数，故以前两数因本类化之如左。
置周天三百六十度，以六十因七次，得一○○七七
六九六○○○○○○○○为实。
置岁实三百六十五日二十三刻〈大刻〉○三分四十五秒，先将三百六十五日以二十四时乘之，俱化为时，得八七六○时，再以二十三刻化为时，得五时，〈每时四刻二十刻故得五时〉加于先得数，共为八七六五时，尚馀三刻，再化为分得四十五分，〈每刻十五分〉加小馀○三分，共为四十八分，仍置八七六五时以六十乘之，化为分，末加四十八分，共得五二五九四八分，再以六十乘之，化为秒，末加小馀四十五秒，共得三一五五六九二五秒，为法与前周天实数而一，得三一九三四九七四尘，因先所置实数俱化为尘，〈周天度七次化之得第七位数为尘〉法数为时之一秒，〈先化时为分化分为秒〉则时之一秒得周天三一九三四九七四尘。若取时之一分因进一位，周天数亦进一位为末。若取一时，则周天数亦宜上二位为芒，则一时太阳行周天三一九三九七四芒，以二十四时乘之，得一日行为七六六四三九二七六芒。依约法以六十除之，得一二七七三九八九，俱为纤。尚馀三十六芒，再以六十除之，为微，得二一二八九九，馀四十九纤，又再以六十除之，为秒，得三五四八秒。馀十九微，再以六十除之，为分，得五十九分，馀八秒将先各类所馀数并之，得太阳一日平行为五十九分○八秒一十九微四十九纤三十六芒。
前法既得一日之行，今再求一时以及各时之行，法以前推，得一日或二十四小时行五十九分○八秒二十微。〈前数四十九数巳过大半宜进作二十微〉各半之，得十二时之行为二十九分三十四秒一十○微。再半之，得六时之行为一十四分四十七秒○五微。又半之，得三时之行为七分二十三秒三十二微。以三除之，得一时之行二分二十七秒五十一微。仍以一时之行递加至二十四时，为一日所行也。再递加至六十分为表，次用加法二日至十日又至百日、二百日、三百日乃至一岁作表。
求太阳最高之处及两心相距之差第七

最高与夏至异，古多罗某〈在今一千四百年前〉测得最高去离降娄初为经度六十五度三十五分。两心〈地心与日轮本天心〉之差为十万分〈半径全数〉之四千一百五十一。今在经九十五度四十分，两心之差为十万分之三千五百六十七，〈差五百八十四〉系曰太阳公动，〈一随宗动西行一随列宿东行〉及本行之外别有二种行度：一从最高恒自西而东，岁行若干。一地心与太阳本轮〈即不同心之圈〉之心相距分，岁岁减少，意数千年后当相合为一点，
想当然耳，或别有行动不可知也。亦有为之说者，未能定其然否。

问：最高何物﹖何繇能知有此﹖曰：若不同心，最高之点
图

恒在夏至。如甲则太阳从春分辛至戊，行四十五经度之弧，与从己至秋分壬，亦行四十五经度之弧，其时日必等。盖两心在甲乙线内，与丁丙为直角，而丁甲丙与辛甲壬两弧俱两平分于甲。〈几何三卷三十题〉则所分各两弧〈丙甲与甲丁辛甲与甲壬〉之

行度等，其所须时日必等，乃春分后行四十五度，至立夏立秋前四十五度。至秋分，其行度等而时日恒不等，则丙庚、丑丁两弧度必不等，而不同圈之心必不在甲乙线之上。
其推步最高法于春分后四十馀日，即每日测午正日轨高，求其四十五度以定天正立夏。
春分至立夏，当行四十五经度，其纬当得十六度二十三分三十九秒，加赤道高约五十度，得六十六度二十三分三十九秒。若日轨高适满，其数即正得四十五度，为立夏。若过或不及，用前篇求春分法得本时刻。

溯春分迄立夏，总计中间积日、时、刻，以日率五十九分○八秒一十九微五十○纤，而一，得太阳平行之总度分，乃非四十五度而得馀分，如后论。
如左图。甲为地心，作丙戊丁圈，任取甲乙小线，〈欲求此数故任作之〉乙为心，作未己庚辛为太阳平行之本圈，次作己甲辛为春秋分线，过甲，地心次于戊上，取戊壬为四十五度，从壬过甲作直线至未，而截己卯弧于庚，
图

得己甲庚为四十五度之角。次从小圈心乙，向庚作直线，次作未己线，次从未向己辛作子未垂线，末从乙向庚未作乙午垂线，即庚未线，必两平分于午。
庚未为本圈之弦，从心出垂线至其上，必平分，
则丙甲庚角为从戊壬四
十五度以上至最高点之角。
春分后，日行戊壬弧为天元经度四十五，其视行四十六日一十○刻一十○分，以日率准之，得平行四十五度二十七分三十四秒，则庚己弧也。己未庚乘圈角，半之，得二十二度四十三分四十七秒。庚甲己角既四十五度即己甲未角，得一百三十五度，以加庚未己角共一百五十七度四十三分四十七秒。未甲己三角形内得甲未己角，即得己角为二十二度一十六分一十五秒，倍之为辛未弧，四十四度三十
图

二分三十○秒。又日行己卯辛弧，为春分至秋分时刻，得一百八十六日七十四刻，其平行为一百八十四度○五分二十四秒，即辛未己弧，当得一百七十五度五十四分三十六秒。辛未己弧内减己角之倍数〈即辛未弧〉四十四度三十二

分三十○秒，馀未己弧，得一百三十一度二十二分一十○秒，求得未己弦一八二二五八六八，又于未己弧加己庚，共得一百七十六度四十九分四十四秒，求得未甲庚弦一九九九二三四二。
既戊壬为经度四十五，今欲求壬至丙太阳最高之点，〈或卯甲庚角〉及乙甲两心之差各几何，依下文论之。己子未三边直角形，既得己角及己未边，求未子线。其法全数，〈万万内〉与己角〈二十二度有奇内〉之正弦，〈一三八九○○○〉若未己弦〈一八二二五八六八外〉与未子边，得六九○七一六
图

八。〈外〉
甲子未直角形既有子甲未角，
四十五度，为庚甲己之交角故。
及未子边求未甲，其法全数〈内〉与未子，〈外〉若子未甲角。
四十五度，为未甲两角
平分子直角故。

之割线〈一四一四二一○○内〉与未甲边〈外〉得九七六八二一○。
庚未弦〈一九九九二三四二〉平分之，得九九九六一七一，午未也。内减未甲，馀二二七九六一，午甲也。
又庚己未弧与半圈，其较三度一十○分一十六秒，平分之得一度三十五分○八秒，乙庚午角也。
若庚乙引之至癸癸未弧，为较，半之为癸庚未角，

求正弦得二七六四五○，乙午线也。
乙午甲直角形，既得甲午午乙两边，求甲乙。用勾股法得三五八四一六，即两心之差。其全数乙卯为太阳本圈之半径，约之得百分之三分半有奇。
又求乙甲午角，其法午甲边〈外〉与全数，〈内〉若午乙边〈外〉与甲角之切线，得一二一三四一三八。〈内〉其弧五十○度三十分，为壬丙，即日躔。从立夏〈天元经度四十五〉至最高丙得五十○度三十分，以加四十五得最高之处为经度九十五度三十○分，在夏至后五度三十○分。其最高冲在冬至后五度三十分。
图

若用秋分前愬立秋四十五度，即用前法，但依前图，更右为左论之。
立秋后至秋分日，行戊壬弧，为天元经度四十五。其视行得四十六日三十八刻一十○分，其平行四十五度四十四分一十三秒，己庚弧也。己未庚乘圈角，

半其弧，得角为二十二度五十二分○六秒。其己卯辛弧一百八十四度○五分二十四秒，即辛未己弧一百七十五度五十四分三十六秒，二率俱如前。次求未己弦。甲未己三角形，既得未角，以减庚甲己角四十五度，得己角二十二度○七分五十四秒。
庚甲己角为甲己未形之外角，必与未己两角并等，故减未角得己角。几何一卷三十二题。

倍之为辛未弧，得四十四度一十五分四十八秒。以减辛未己弧，馀一百三十一度，为未己孤。求得未己
图

弦一八二四五七三六，又于未己弧加己庚，共得一百七十七度二十三分○一秒，求得未甲庚弦一九九九四七八四。
又己子未形求未子线，其法全数〈内〉与己未弦，〈外〉若己角〈内〉之正弦与未子边，〈外〉得六八七三八三三。
又甲子未形求未甲边，其法全数〈内〉与子未边，〈外〉若
未角之割线〈内〉与未甲边，〈外〉得九七二一○六八。庚未弦〈一九九九四七八四〉平分之，得九九九七三九二，午未也。内减未甲，馀二七六三二四，午甲也。
庚己未弧与半圈之较二度三十六分五十九秒，癸未也。平分之，得一度一十六分二十九秒，乙庚午角也。求正弦得二二八二四四，乙午线也。
乙午甲形求甲乙，用勾股法，得三五八三八八，即两心之相距。
图

又求乙甲午角，其法午甲边〈外〉与全数，〈内〉若午乙边〈外〉与午乙之切线，〈内〉得八二六○三七四，其弧三十九度三十三分，为壬丙。以加壬戊四十五，得八十四度三十三分，以减天正象限九十度，馀五度二十七分，为最高过夏至之数。

此秋分前数与春分后数，较差三分，然可不论。盖测午正太阳之高，或多或寡，所差一分即此算内当差一度。今算内差三分，则两测中有差三秒者，三秒居一度中为三千六百分之三，安从觉之。若两心之差，因此三分之差亦复不合，然其较为一千万分中之二十八，至微矣。
右二法皆用天元四十五经度，若用天元六十经度，则一经度之纬度十二分五十六秒，每纬度一分当八刻，若用七十经度，则纬度一分当十四刻。若春分前四十五度，秋分后四十五度亦可用，但蒙气多，难定其确数耳。
古今测候最高所得，前后各异，今录取三家，以备参考。
意罢阁于汉景帝七年壬辰迄崇祯元年戊辰，为一千七百七十七年，多禄某于晋永和七年庚辰迄崇祯元年为一千五百八十八年，所测太阳最高，其法先求夏至之日。
从天正春分迄夏至，其视行得九十四日四十八刻。
图

〈日九十六刻〉夏至迄秋分得九十二日四十八刻，共一百八十七日，以日率求平行，则九十四日四十八刻，行九十三度○九分九十二日，四十八刻行九十一度一十一分。
如上图，甲为太阳本圈心，乙为地心，丙为春分，丁为
图

秋分，戊为夏至，己为冬至，两至线与两分线遇于乙，为直角。次作乙甲辛，遇两心线，辛为最高之点。其戊丙、戊丁两弧并之，多于半周天，则最高在丙戊丁弧内，又丙戊弧大于戊丁，则最高心在丙乙、乙戊两线以内，亦在春分后夏至前。

如甲，次从甲作庚甲壬、癸甲午两直线，相遇于甲为直角，与丙乙、乙戊各平行。夫丙戊弧九十三度○九分，戊丁弧九十一度一十一分，并得一百八十四度二十○分，平分之，各得九十二度○十分，为丙庚丁、庚丁庚，内减丁戊平行一象限，馀○度五十九分，为戊庚弧。其正弦一七一六，为乙子句丁庚，内减癸庚天正一象限，馀二度○十分，为癸丙弧。其正弦三七八○，为甲子股，用句股法得四一五一，为甲乙弦，即两心之相距。
又求甲乙子角，其法子乙边〈外〉与子甲边，〈外〉若全数〈内〉与甲乙子角之切线，〈内〉得二二○二七，其弧六十五度三十五分，日躔春分后至最高之点，为实沈五度三十五分。
两心相距为十万之四千一百五十一，约之为百分之四，以较前第一法所得之数，下无互异，其较为十万之五百八十一，两得数不等，其元测必不等。然此古法，以日躔天正夏至之时刻为根，夏至之定时最为难得，何者。夏至后，天元一经度得纬仅一十三秒，若北极出地四十度之处，用一丈之表测午正日轨高，得二十六度半彊，其景为千万之四百九十八万五千八百一十六，若加十三秒之景，应加千万之六十五分，约之为十万之六分彊，通之为六微，虽复巧手明目，何从觉之。又本地本时蒙气之映高亦得二分四十○秒，又天正夏至未确，若先后一日，即最高之处及两心相距必前后若干度分，以此论之，纤芥参差，谅无足怪，乃愈见斯人之不为牵合，斯术之最为密亲矣。亚耳罢德后多禄某七百四十年，于唐僖宗广明元年庚子迄崇祯元年七百四十八年，测算得最高在实沈二十二度一十七分。〈即夏至前七度四十三分〉不同心之差得十万之三千四百六十五。
白耳那瓦于弘治元年戊申迄崇祯元年一百四十年，测得日躔从春分迄秋分，行一百八十六日九十○刻○十分；从春分至立夏，行四十六日一十四刻○五分，从立秋至秋分，行四十六日三十五刻○五分，因而推算庚己弧，此为四十五度二十九分一十
图

三秒。
前法为四十五度二十七分三十四秒，
行四十六日一十四刻○五分。
前法为四十六日一十○刻一十○分
己卯辛弧，此为一百八十四度○三分二十一秒。
图

前法为一百八十四度○五分二十四秒，
行一百八十六日九十○刻一十○分。
前法为一百八十六日七十二刻三十○分
己未辛弧，此为一百七十五度五十六分三十九秒。
前法为一百七十五度
五十四分三十六秒，

己甲庚为四十五度角，其馀己甲未角一百三十五度，同前，未甲庚线为一九九九二七六八。
己甲未形有己未边，有角，求甲未边，得九七六四八○三。
未午为未甲庚之半，得九九九六三八四，内减甲未，得甲午二三一五八一。
癸未弧三度○四分五十四秒，乙庚午角一度三十二分二十七秒，其正弦午乙二六九七。
乙午甲直角形有两边，求甲角甲乙边，得午甲乙角四度一十五分一十○秒，为立夏离最高之度分。甲乙边三五四八○七，为两心之差，其全数则太阳本圈之半径乙卯。
最高在夏至后四度一十五分一十○秒。
前法为五度三十○分，差○度一十四分五十○秒。

两心差三五四八○七。
前法为三五八四一六，其较三四一一，则一千万分中之三千四百一十一分一万分中之三分有奇也。
推太阳之视差，及日地去离远近，加减之算第八。

按《天问略》等书，皆言地体居天中止一点是也，然各重天高下、大小不等，各天与地球比例之大小亦不等，惟恒星一重天比于向下诸天甚远甚大，以地球较之极微，无数可论。故测候之家，以恒星为求视差之本。
图

如上图，甲为地心，甲乙为地半径，丁辛为日躔最高圈，丙篇高冲圈，日行在最高丁，人在乙，见日躔于外天。〈恒星宗动常静皆是〉己壬己弧为其地平上之视高，然从地心测之，则壬戊为其地平上之实高，两高之差为戊丁己角，或乙丁甲角。若日

行高冲，丙从地心测其实高，仍在戊，与在最高丁等，则从地面乙视之，见日躔于外天庚。从乙丙庚线，定视高为壬庚，较前视高壬己为小，故太阳之实高等，随时所见视高不等，其视差之数亦不等也。
凡有日轨高若干度，欲定其视差若干，先求本时太阳去地远近之数，其法借三大论。〈论日月地相去远近及大小之比例〉中一则曰：以日月食推地径与日轮本天径之比例。歌白泥定地半径与日天半径之比例若一与一千一百四十二。
图

如上前图，甲戊丁为太阳本圈，甲为最高，乙为其心，丙为地心，乙丙为两心之差。日在戊甲戊，为日距最高度之弧，乙戊为本圈之半径，今欲求自地相离之线，曰：戊乙丙直线。三角形有乙戊半径全数，又有两心之差乙丙数。〈三五八四一六〉又
图

有甲乙戊角之馀角为戊乙丙形，而求丙戊边。其法如增图全数〈乙丙内〉与乙丙边，〈外〉若戊乙丙角馀角之正弦，〈丁丙内〉与某数〈增图之丁丙边〉〈外〉又全数〈乙丙内〉与乙丙边，〈外〉若戊乙丙角、馀角之馀弦。
若戊乙丙为钝角，其馀
图

角为丁乙丙，此角之正弦为丁丙，馀弦为乙丁，
与某数，〈增图之乙丁边外〉以所得第二数，加乙戊半径，〈增图之戊〉〈丁全边〉为股第一数，为句各数，自之并而开方，得丙戊。既得丙戊，次以半径乙戊全数为第一率，以所倍于地半径之一千一百四十
图

二为第二率，以丙戊若干为第三率，而求得四率为丙戊所倍于地半径之数。〈见本表〉
若戊乙丙为锐角，其法全数〈即乙丙内〉与乙丙边，〈外〉若乙角之正弦〈即丙丁外〉与丙丁，〈外〉亦若乙角之馀正弦〈内〉与丁乙边。〈外〉次于乙戊内减

乙丁，馀丁戊，用句股法丙丁、丁戊，各自之并而开方得丙戊。
加减差者，太阳本圈中平行与视行之差也。如上论，从天正春分至立夏，日行经度四十五。其在本圈行四十五度二十七分三十四秒，此两行之较为加减差也。太阳从最高下行至最高冲，此半周内应减算。从最高冲上行至最高，此半周内应加算。
如左图，外圈为宗动天之黄道，与地同心，为丙内圈，为太阳之本天，其心丁有最高，最高冲之线过丁心。
图

若太阳在元枵、娵訾、降娄、大梁、实沈，春分前后半周，平行在实沈初度，而视行已至甲，即平行算外应加实至甲之弧或丁乙丙角，得太阳实躔。若在鹑尾、寿星、大火、析木，秋分前后半周平行在鹑尾初度，而视行才至戊，即平行算内减
图

尾至戊之弧或丁乙丙角，得实躔。凡最高左右距弧等，其加减之算亦等，求一即得二。
丙乙丁角形，有丁丙两心差，有丙乙日地相离数，有乙丁丙角，〈上图为钝角〉而求丁乙丙角，为减差。其法全数〈内〉与丁丙边，〈外〉若丙丁乙

角馀角〈即丙丁午〉之正弦〈即丙午内〉与某数，〈外〉又丙乙边〈外〉与全数，〈内〉若某数〈即丙午外〉与乙角之正弦，〈即丙午内〉若丁为锐角。
最高前后九十度必钝，最高冲前后九十度必锐。

其法全数〈丁丙内〉与丁丙边，〈外〉若丁角之正弦〈丙子内〉与某数，〈丙子外〉又丙乙边〈外〉与全数，〈内〉若某数〈丙子外〉与乙角之正弦。〈丙子内〉
用前法推各度分之差，列表如后。
求地半径差法同如上。丁丙边为地半径，丙乙为太
图

阳距地心之数，乙甲为日躔距天顶之数，丁乙丙为视差角，而求乙角为视差之数。其法全数〈内〉与丁丙边，〈外〉若甲丁乙角之正弦〈内〉与某数又丙乙边，〈外〉与全数，〈内〉若某数〈外〉与乙角之正弦，〈内〉简表得其度分，以加所测之数，加者视高

小于日高也。
论日差第九

称日者，日行一昼夜，循宗动一周而复于元界也。其界为子午圈，或地平圈。用子午者，以子正或午正时起算；用地平者，以卯正或酉正时起算也。日分十二时九十六刻，然其实行度、分，日日不等，如太阳甲日午正在天正春分一点，乙日午正春分点。行天一周，满经度三百六十，而太阳尚不及者一度，既至，则春分点巳去离一度，太阳更东行一度，而后成为一日。此一度者，有赢有缩，日日不等，绝非平行。故步日躔、月离、经纬、诸星，凡称日者，皆不用赢缩之日，而用平日。平日者，行赤道一周，并太阳一日之平行，为三百六十度五十九分○八秒一十九微也。〈见本表　据以上原本无
卷数，通阅前后，当以此卷为原本历指卷一
〉