钦定古今图书集成历象汇编历法典

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历法典第三十五卷

历法总部汇考三十五

元一

太宗七年乙未冬十一月，中书省臣请契勘《大明历》，从之。
按《元史·太宗本纪》云云。
世祖至元四年，颁《万寿历》。
按《元史·世祖本纪》不载。　按《历志》：夫明时治历，自黄帝、尧、舜与三代之盛王，莫不重之。其文备见于传记矣。虽去古既远，其法不详，然原其要，不过随时考验，以合于天而已。汉刘歆作《三统历》，始立积年日法，以为推步之准。后世因之，历唐而宋，其更元改法者，凡数十家，岂故相为乖异哉。盖天有不齐之运，而历为一定之法，所以既久而不能不差，既差则不可不改也。元初承用金《大明历》。庚辰岁，太宗西征，五月望，月蚀不效；二月、五月朔，微月见于西南。中书令耶律楚材以《大明历》后天，乃损节气之分，减周天之秒，去交终之率，治月转之馀，课两曜之后先，调五行之出没，以正《大明历》之失。且以中元庚午岁，国兵南伐，而天下略定，推上元庚子岁天正十一月壬戌朔，子正冬至，日月合璧，五星联珠，同会虚宿六度，以应太祖受命之符。又以西域、中原地里殊远，创为里差，以增损之，虽东西万里，不复差忒。遂题其名曰西征庚午元历。表上之，然不果颁用。至元四年，西域札马鲁丁撰进《万年历》，世祖稍颁行之。
至元十三年六月甲戌，以《大明历》浸差，命太子赞善王恂与江南日官置局更造新历，以枢密副使张易董其事。易、恂奏：今之历家，徒知历术，罕明历理，宜得耆儒如许衡者商订。诏衡赴京师。
按《元史·世祖本纪》云云。　按《历志》：十三年，平宋，遂诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、都水少监郭守敬改治新历。衡等以为：金虽改历，止以宋纪元历微加增益，实未尝测验于天。乃与南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等参考累代历法，复测候日月屋辰消息运行之变，参别同异，酌取中数，以为历本。
至元十七年，颁《授时历》。
按《元史·世祖本纪》：十七年冬十一月，颁《授时历》。　按《历志》：十七年冬至，历成，诏赐名曰《授时历》。十八年，颁行天下。　按《王恂传》：帝以国朝承用金之大明历，岁久浸疏，欲釐正之，知恂精于算术，遂以命之。恂荐许衡能明历之理，诏驿召赴阙，命领改历事，官属悉听恂辟置。恂与衡及杨恭懿、郭守敬等，遍考历书四十馀家，昼夜测验，创立新法，参以古制，推算极为精密，详在《守敬传》。十六年，授嘉议大夫、太史令。十七年，历成，赐名授时历，以其年冬颁行天下。　按《许衡传》：国家自得中原，用金大明历，自大定是正后六七十年，气朔加时渐差。帝以海宇混一，宜协时正日。十三年，诏王恂定新历。恂以为历家知历数而不知历理，宜得衡领之，乃以集贤大学士兼国子祭酒，教领太史院事，召至京。衡以为冬至者历之本，而求历本者在验气。今所用宋旧仪，自汴还至京师，已自乖舛，加之岁久，规环不叶。乃与太史令郭守敬等，新制仪象圭表，自丙子之冬日测晷景，得丁丑、戊寅、己卯三年冬至加时，减大明历十九刻二十分，又增损古岁馀岁差法，上考春秋以来冬至，无不尽合。以月食衡及金木二星距验冬至日躔，校旧历退七十六分。以日转迟疾中平行度验月离宿度，加旧历三十刻。以线代管窥测赤道宿度。以四正定气立损益限，以定日之盈缩。分二十八限为三百三十六，以定月之迟疾。以赤道变九道定月行。以迟疾转定度分定朔，而不用平行度。以日月实合时刻定晦，而不用虚进法。以躔离朓朒定交食。其法视古皆密，而又悉去诸历积年月日法之傅会者，一本天道自然之数，可以施之永久而无弊。自馀正讹完阙，盖非一事。十七年，历成，奏上之，赐名曰《授时历》，颁之天下。　按《杨恭懿传》：恭懿归田里。十六年，诏安西王相敦遣赴阙。入见，诏于太史院改历。十七年二月，进奏曰：臣等遍考自汉以来历书四十馀家，精思推算，旧仪难用，而新者未备，故日行盈缩，月行迟疾，五行周天，其详皆未精察。今权以新仪木表，与旧仪所测相较，得今岁冬至晷景及日躔所在，与列舍分度之差，大都北极之高下，昼夜刻长短，参以古制，创立新法，推算成辛巳历。虽或未精，然比之前改历者，附会元历，更日立法，全踵故习，顾亦无愧。然必每岁测验修改，积三十年，庶尽其法。可使如三代日官，世专其职，测验良久，无改岁之事矣。又合朔议曰：日行历四时一周，谓之一岁；月踰一周，复与日合，谓之一月；言一月之始，日月相合，故谓合朔。自秦废历纪，汉太初止用平朔法，大小相间，或有二大者，故日食多在晦日或二日，测验时刻亦鲜中。宋何承天测验四十馀年，进元嘉历，始以月行迟速定小馀以正朔望，使食必在朔，名定朔法，有三大二小，时以异旧法罢之。梁虞𠠎造《大同历》，隋刘焯造《皇极历》，皆用定朔，为时所阻。唐傅仁均造《戊寅历》，定朔始得行。贞观十九年，四月频大，人皆异之，竟改从平朔。李淳风造《麟德历》，虽不用平朔，遇四大则避人言，以平朔间之，又希合当世，马进朔法，使无元日之食。至一行造《大衍历》，谓天事诚密，四大二小何伤。诚为确论，然亦循常不改。臣等更造新历，一依前贤定论，推算皆改从实。今十九年历，自八月后，四月并大，实日月合朔之数也。详见《郭守敬传》。是日，方列跪，未读奏，帝命许衡及恭懿起，曰：卿二老，母自劳也。授集贤学士，兼太史院事。　按《郭守敬传》：初，刘秉忠以大明历自辽、金承用二百馀年，浸以后天，议欲修正而卒。十三年，江左既平，帝思用其言，遂以守敬与王恂率南北日官，分掌测验推步于下，而命文谦与枢密张易为之主领裁奏于上，左丞许衡参预其事。守敬首言：历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。今司天浑仪，宋皇祐中汴京所造，不与此处天度相符，比量南北二极，约差四度；表石年深，亦复欹侧。守敬乃尽考其失而移置之。既又别图高爽地，以木为重棚，创作简仪、高表，用相比覆。又以为天枢附极而动，昔人尝展管望之，未得其的，作候极仪。极辰既位，天体斯正，作浑天象。象虽形似，莫适所用，作玲珑仪。以表之矩方，测天之正圜，莫若以圜求圜，作仰仪。古有经纬，结而不动，守敬易之，作立运仪。日有中道，月有九行，守敬一之，作證理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，察景则难，作窥几。历法之验，在于交会，作日月食仪。天有赤道，轮以当之，两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。又作正方案、九表、悬正仪、座正仪，为四方行测者所用。又作仰规覆矩图、异方浑盖图、日出入永短图，与上诸仪互相参考。十六年，改局为太史院，以恂为太史令，守敬为同知太史院事，给印章，立官府。及奏进仪表式，守敬当帝前指陈理致，至于日晏，帝不为倦。守敬因奏：唐一行开元间令南宫说天下测景，书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大，若不远方测验，日月交食分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰去天高下不同，既目测验人少，可先南北立表，取直测景。帝可其奏。遂设监候官一十四员，分道而出，东至高丽，西极滇池，南踰朱崖，北尽铁勒，四海测验，凡二十七所。十七年，新历告成，守敬与诸臣同上奏曰：臣等窃闻帝王之事，莫重于历。自黄帝迎日推策，帝尧以闰月定四时成岁，舜在璇玑玉衡，以齐七政。爰及三代，历无定法。周、秦之间，闰馀乖次。西汉造三统历，百二十年而后是非始定。东汉造四分历，七十馀年而仪式方备。又百二十一年，刘洪造乾象历，始悟月行有迟速。又百八十年，姜岌造三纪甲子历，始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年，何承天造元嘉历，始悟以朔望及弦皆定大小馀。又六十五年，祖冲之造大明历，始悟太阳有岁差之数，极星去不动处一度馀。又五十二年，张子信始悟日月交道有表里，五星有迟疾留逆。又三十三年，刘焯造黄极历，始悟日行有盈缩。又三十五年，傅仁均造戊寅元历，颇采旧仪，始用定制。又四十六年，李淳风造麟德历，以古历章蔀元首分度不齐，始为总法，用进朔以避晦晨月见。又六十三年，一行造大衍历，始以朔有四大三小，定九服交食之异。又九十四年，徐昂造宣明历，始悟日食有气、刻、时三差。又百三十六年，姚舜辅造纪元历，始悟食甚泛馀差数。以上计千一百八十二年，历经七十改，其创法者十有三家。自是又百七十四年，圣朝专命臣等改治新历，臣等用创造简仪、高表，凭其测实数，所考正者凡七事：一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日测到晷景，逐日取对，冬至前后日差同者为准。得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半，又定丁丑夏至在庚子日夜半后七十刻；又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻；己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻；庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻。各减大明历十八刻，远近相符，前后应准。二曰岁馀。自大明历以来，凡测景、验气，得冬至时刻真数者有六，用以相距，各得其时合用岁馀。今考验四年，相符不差，仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，其二十五分为今历岁馀合用之数。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道箕九度有奇。仍凭每日测到太阳躔度，或凭星测月，或凭月测日，或径凭星度测日，立术推算。起自丁丑正月至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，与日食相符。四曰月离。自丁丑以来至今，凭每日测到逐时太阴行度推算，变从黄道求入转极迟、疾并平行处，前后凡十三转，计五十一事。内除去不真的外，有三十事，得大明历入转后天。又因考验交食，加大明历三十刻，与黄道合。五日入交。自丁丑五月以来，凭每日测到太阳去极度数，比拟黄道去极度，得月道交于黄道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分，得入交时刻，与大明历所差不多。六曰二十八宿距度。自汉太初历以来，距度不同，互有损益。大明历则于度下馀分，附以太半少，皆私意牵就，未尝实测其数。今新仪皆细刻周天度分，每度为三十六分，以距线代管窥，宿度馀分并依实测，不以私意牵就。七曰日出入昼夜刻。大明历日出入昼夜刻，皆据汴京为准，其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下，黄道出入内外度，立术推求每日日出入昼夜刻，得夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻。冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻。永为定式。所创法凡五事：一曰太阳盈缩。用四正定气立为升降限，依立招差求得每日行分初末极差积度，比古为密。二曰月行迟疾。古历皆用二十八限，今以万分日之八百二十分为一限，凡析为三百三十六限，依垛叠招差求得转分进退，其迟疾度数逐时不同，盖前所未有。三曰黄赤道差。旧法以一百一度相减相乘，今依算术句股弧矢方圜斜直所容，求到度率积差，差率与天道实吻合。四曰黄赤道内外度。据累年实测，内外极度二十三度九十分，以圜容方直矢接句股为法，求每日去极，与所测相符。五曰白道交周。旧法黄道变推白道以斜求斜，今用立浑比量，得月与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分，拟以为法。推逐月每交二十八宿度分，于理为尽。
至元二十年，诏太子谕德李谦为历议。
按《元史·世祖本纪》不载。　按《历志》：二十年，诏太子谕德李谦为历议，发明新历顺天求合之微，考證前代人为附会之失，诚可以贻之永久，自古及今，其推验之精，盖未有出于此者也。今衡、恂、守敬等所撰历经及谦历议故存，皆可考据，是用具著于篇。惟万年历不复传，而庚午元历虽未尝颁用，其为书犹在，因附著于后，使来者有考焉。作《历志》。
至元二十三年春二月，太史院上授时历，经历议敕藏于翰林国史院。
按《元史·世祖本纪》云云。　按《郭守敬传》：十九年，恂卒。时历虽颁，然其推步之式与立成之数，尚皆未有定槁。守敬于是比次篇类，整齐分秒，裁为推步七卷，立成二卷，历议拟槁三卷，转神选择二卷，上中下三历注式十二卷。二十三年，继为太史令，遂上表奏进。又有时候笺注二卷，修改源流一卷。其测验书，有仪象法式二卷，二至晷景考二十卷，五星细行考五十卷，古今交食考一卷，新测二十八舍杂坐诸星入宿去极一卷，新测无名诸星一卷，月离考一卷，并藏之官。
授时历议上验气

天道运行，如环无端，治历者必就阴消阳息之际，以为立法之始。阴阳消息之机，何从而见之。惟候其日晷进退，则其机将无所遁。候之之法，不过植表测景，以究其气至之始。智作能述，前代诸人为法略备，苟能精思密索，心与理会，则前人述作之外，未必无所增益。旧法择地平衍，设水准绳墨，植表其中，以度其中晷。然表短促，尺寸之下所为分秒太、半、少之数，未易分别。表长，则分寸稍长，所不便者，景虚而淡，难得实景。前人欲就虚景之中考求真实，或设望筒，或置小表，或以木为规，皆取表端日光下彻圭面。今以铜为表，高三十六尺，端挟以二龙，举一横梁，下至圭面，共四十尺，是为八尺之表五。圭表刻为尺寸，旧寸一，今申而为五，釐毫差易分。别创为景符，以取实景。其制以铜叶，博二寸，长加博之二，中穿一窍，若针芥然，以方为趺，一端设为机轴，令可开阖，榰其一端，使其势斜倚，北高南下，往来迁就于虚景之中，窍达日光，仅如米许，隐然见横梁于其中。旧法以表端测晷，所得者日体上边之景，今以横梁取之，实得中景，不容有毫末之差。地中八尺表景，冬至长一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。今京师长表，冬至之景七丈九尺八寸有奇，在八尺表则一丈五尺九寸六分；夏至之景一丈一尺七寸有奇，在八尺表则二尺三寸四分。虽晷景长短所在不同，而其景长为冬至，景短为夏至，则一也。惟是气至时刻考求不易，盖至日气正，则一岁气节从而正矣。刘宋祖冲之尝取至前后二十三四日间晷景，折取其中，定为冬至，且以日差比课，推定时刻。宋皇祐间，周琮则取立冬、立夏二日之景，以为去至既远，日差颇多，易为推考。纪元以后诸历，为法加详，大抵不出冲之之法。新历积日累月，实测中晷，自远日以及近日，取前后日率相埒者，参考同异，初非偏取一二日之景，以取数多者为定，实减大明历一十九刻二十分。仍以累岁实测中晷日差分寸，定拟二至时刻于后。
推至元十四年丁丑岁冬至

其年十一月十四日己亥，景长七丈九尺四寸八分五釐五毫；至二十一日丙午，景长七丈九尺五寸四分一釐；二十二日丁未，景长七丈九尺四寸五分五釐。以己亥、丁未二日之景相校，馀三分五釐为晷差，进二位；以丙午、丁未二日之景相校，馀八分六釐为法；除之，得三十五刻；用减相距日八百刻，馀七百六十五刻；折取其中，加半日刻，共为四百三十二刻半；百约为日，得四日；馀以十二乘之，百约为时，得三时，满五十又作一时，共得四时；馀以十二收之，得三刻；命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。此取至前后四日景。
十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五釐五毫；至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三釐五毫；二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相减，复以辛亥、壬子景相减，准前法求之，亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸丑，景七丈八尺三寸四釐五毫，用壬子、癸丑二日之景与甲午景，准前法求之，亦合。此取至前后八九日景。
十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六釐五毫；二日丁亥，景七丈六尺三寸七分七釐；至十二月初六日庚申，景七丈五尺八寸五分一釐。准前法求之，亦在辰初三刻。此取至前后一十七日景。十一月二十一日丙子，景七丈九寸七分一釐；至十二月十六日庚午，景七丈七寸六分；十七日辛未，景七丈一寸五分六釐五毫。准前法求之，亦得辰初三刻。此取至前后二十七日景。
六月初五日癸亥，景一丈三尺八分；距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八釐五毫；初二日甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。准前法求之，亦合。此取至前后一百六十日景。
推十五年戊寅岁夏至

五月十九日辛丑，景一丈一尺七寸七分七釐五毫；距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，景一丈一尺八寸五釐五毫。用辛丑、庚戌二日之景相减，馀二釐五毫，进二位为实；复用庚戌、辛亥景相减，馀二分五釐五毫为法；除之，得九刻，用减相距日九百刻，馀八百九十一刻；半之，加半日刻，百约，得四日；馀以十二乘之，百约，得十一时；馀以十二收为刻，得三刻；命初起距日辛丑算外，得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前后四日景。
十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分三釐；距十五年十一月初二日辛巳，景七丈七寸五分九釐五毫；初三日壬午，景七丈一尺四寸六釐。用己巳、壬午景相减，以辛巳、壬午景相减除之，亦合。此用至前后一百五十六日景。
十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分二釐五毫；十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四釐五毫；十四日戊辰，景七丈一尺九寸九釐；距十五年十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七釐五毫；初五日甲申，景七丈二尺五寸五釐；初六日乙酉，景七丈三尺三分三釐五毫。前后互取，所得时刻皆合。此取至前后一百五十八九日景。
十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分七釐；初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九釐五毫；初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六釐；距十五年十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫；初十日己丑，景七丈五尺三釐五毫；十一日庚寅，景七丈五尺四寸四分九釐五毫。以壬戌、己丑景相减为实，以辛酉、壬戌景相减为法，除之；或以壬戌、癸亥景相减，或以戊子、己丑景相减，若己丑、庚寅景相减，推前法求之，皆合。此取至前后一百六十三四日景。
推十五年戊寅岁冬至

其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八釐五毫；距闰十一月初九日戊午，景七丈八尺二寸六分三釐五毫；初十日己未，景七丈八尺八分二釐五毫。用戊戌、戊午二日景相减，馀四分五釐为晷差，进二位，以戊午、己未景相减，馀二寸八分一釐为法，除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻，百约，得十日；馀以十二乘之，百约为时，满五十又进一时，共得七时；馀以十二收为刻；命初起距日己亥算外，得戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。此取至前后十日景。
十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一釐五毫；十三日壬辰，景七丈六尺三寸一釐五毫；闰十一月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六釐五毫；十六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三釐；十七日丙寅，景七丈五尺五寸四釐五毫。用壬辰、甲子景相减为实，以辛卯、壬辰景相减为法，除之，亦得戊申日未初三刻。或用甲子、乙丑景相减，推之，亦合。若用辛卯、乙丑景相减为实，用乙丑、丙寅景相减，除之，并同，此取至前后十六七日景。
十一月初八日丁亥，景七丈四尺三分七釐五毫；闰十一月二十日己巳，景七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，景七丈三尺六寸一分四釐五毫。用丁亥、己巳景相减为实，以己巳、庚午景相减，除之，亦同。此取至前后二十一日景。
六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二釐五毫；二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八釐；至十六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一釐。以二戊寅景相减，用后戊寅、己卯景相减，推之，亦同。此取至前后一百五十日景。
五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；至十六年四月二十九日乙巳，景一丈一尺八寸六分三釐；三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三釐。用庚戌、丙午景相减，以乙巳、丙午景相减，推之，亦同。此取至前后一百七十八日景。
推十六年己卯岁夏至

四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九釐五毫；二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三釐五毫；至五月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四釐。以丙申、乙丑景相减，馀二分九釐五毫为晷差，进二位；以乙未、丙申景相减，得七分六釐为法；除之，得三十八刻；加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百约，得十五日；馀以十二乘之，百约，得二时；馀以十二收之，得二刻；命初起距日丙申算外，得辛亥日寅正二刻为夏至。此取至前后十五日景。
三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，景一丈六尺九分九釐五毫；十七日癸巳，景一丈六尺三寸一分一釐。用戊辰、癸巳景相减，以壬辰、癸巳景相减，准前法推之，亦合。此取至前后四十二日景。
三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五釐；至七月初七日壬子，景二丈一尺一寸九分五釐五毫；初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六釐五毫。用己酉、壬子景相减，以壬子、癸丑景相减，如前法推之，亦合。此取至前后六十一二日景。
三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一釐；至七月初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六釐五毫；初九日甲寅，景二丈一尺九寸一分五釐五毫。用戊申、癸丑景相减，以癸丑、甲寅景相减，准前法推之，亦同。此取至前后六十二三日景。
二月十八日乙未，景二丈六尺三分四釐五毫；至七月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九釐；二十二日丁卯，景二丈六尺二寸五分九釐。用乙未、丙寅景相减，以丙寅、丁卯景相减，如前法推之，亦同。此取至前后七十五六日景。
二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五釐五毫；至八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六釐五毫；初六日辛巳，景三丈二尺二分六釐五毫。用前庚辰与辛巳景相减，以后庚辰、辛巳景相减，如前推之，亦同。此取至前后九十日景。
正月十九日丁卯，景三丈八尺五寸一釐五毫；至八月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三釐；十九日甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相减，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。此取至前后一百三四日景。
推十六年己卯岁冬至

十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，景七丈六尺一寸四分二釐五毫。用戊戌、己巳景相减，馀一寸六分为晷差，进二位；以己巳、庚午景相减，馀四寸三分七釐五毫为法；除之，得三十六刻；以相减距日三千一百刻，馀三千六十四刻；半之，加五十刻，百约，得一十五日；馀以十二乘之，百约为时，满五十，又进一时，共得十时；馀以十二收之为刻，得二刻；命初起距日戊戌算外，得癸丑日戌初一刻冬至。此取至前后十五六日景。
十月十八日壬辰，景七丈四尺五分二釐五毫；十九日癸巳，景七丈四尺五寸四分五釐；二十日甲午，景七丈五尺二分五釐；至十一月二十八日壬申，景七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，景七丈四尺八寸五分二釐五毫；十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五釐；初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一釐五毫。用甲午、癸酉景相减，癸巳、甲午景相减，如前推之，亦同。若以壬申、癸酉景相减为法，推之亦同。此取至前后十八九日景。　若用癸巳与甲戌景相减，以壬辰、癸巳景相减，推之，或癸巳、甲午景相减，推之，或用甲戌、癸酉景相减，推之，或甲戌、乙亥景相减，推之，或以壬辰、乙亥景相减，用壬辰、癸巳景相减，推之并同。此取至前后二十日景。
十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五釐；十二月初三日丙子，景七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，景七丈二尺八寸四分二釐五毫。用庚寅、丁丑景相减，以丙子、丁丑景相减，推之亦同。此取至前后廿三日景。十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二釐五毫；十五日己丑，景七丈二尺四寸六分九釐；十二月初五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二釐五毫。用己丑、戊寅景相减，以戊子、己丑景相减，推之，或用己丑、庚寅景相减，推之亦同。此取至前后二十四日景。十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五釐；初八日壬午，景六丈八尺三寸七分二釐五毫；初九日癸未，景六丈八尺九寸七分七釐五毫；十二月十二日乙丑，景六丈八尺一寸四分五釐。用壬午、乙丑景相减，以辛巳、壬午景相减，推之，壬午、癸未景相减，推之亦同。此取至前后三十一二日景。
十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，景六丈四尺二寸九分七釐五毫；十九日壬辰，景六丈三尺六寸二分五釐。用乙亥、壬辰景相减，以辛卯、壬辰景相减，推之亦同。此取至前后三十八日景。
九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五釐；十二月二十八日辛丑，景五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五釐。用丙寅、辛丑景相减，以辛丑、壬寅景相减，推之亦同。此取至前后四十七八日景。
九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二釐五毫；至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五釐；至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯景相减，壬寅、癸卯景相减，推之亦同。此取至前后五十日景。
右以累年推测到冬夏二至时刻为准，定拟至元十八年辛巳岁前冬至，当在己未日夜半后六刻，即丑初一刻。
岁馀岁差

周天之度，周岁之日，皆三百六十有五。全策之外，又有奇分，大率皆四分之一。自今岁冬至距来岁冬至，历三百六十五日，而日行一周，凡四周，历千四百六十，则馀一日，析而四之，则四分之一也。然天之分常有馀，岁之分常不足，其数有不能齐者，惟其所差至微，前人初未觉知。迨汉末刘洪，始觉冬至后天，谓岁周馀分太强，乃作乾象历，减岁馀分二千五百为二千四百六十二。至晋虞喜，宋何承天、祖冲之，谓岁当有差，因立岁差之法。其法损岁馀，益天周，使岁馀浸弱，天周浸强，强弱相减，因得日躔岁退之差。岁馀、天周，二者实相为用，岁差由斯而立，日躔由斯而得，一或损益失当，讵能与天叶哉。今自刘宋大明壬寅以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，取相距积日时刻，以相距之年除之，各得其时所用岁馀。复自大明壬寅距至元戊寅积日时刻，以相距之年除之，得每岁三百六十五日二十四分二十五秒，比大明历减去一十一秒，定为方今所用岁馀。馀七十五秒，用益所谓四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定为天周。馀分强弱相减，馀一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，日却一度，以六十六年除全度，适得一分五十秒，定为岁差。复以尧典中星考之，其时冬至日在女、虚之交。及考之前史，汉元和二年，冬至日在斗二十一度；晋太元九年，退在斗十七度；宋元嘉十年，在斗十四度末；梁大同十年，在斗十二度；隋开皇十八年，犹在斗十二度；唐开元十二年，在斗九度半；今退在箕十度。取其距今之年、距今之度较之，多者七十馀年，少者不下五十年，辄差一度。宋庆元间，改统天历，取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，为日却行一度之差。施之今日，质诸天道，实为密近。然古今历法，合于今必不能通于古，密于古必不能验于今。今授时历，以之考古，则增岁馀而损岁差；以之推来，则增岁差而损岁馀；上推春秋以来冬至，往往皆合；下求方来，可以永久而无弊；非止密于今日而已。仍以大衍等六历，考验春秋以来冬至疏密，凡四十九事，具列如后。
冬至刻
大衍　　宣明　　纪元　　统天
大明　　授时
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。丙辰〈二十二〉乙卯〈八十八〉丁巳〈三十三〉乙卯〈二〉丁巳〈三十五〉甲寅〈九十九〉

僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥〈九十四〉辛亥〈六十六〉壬子〈七十四〉辛亥〈二十七〉壬子〈八十九〉辛亥〈十四〉

昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
己丑〈四十五〉己丑〈二十〉　庚寅〈二十五〉戊子〈九十二〉庚寅〈二十九〉戊子〈八十三〉

宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。
戊辰〈三十五〉戊辰〈三十二〉戊辰〈三十九〉戊辰〈五十一〉戊辰〈四十一〉戊辰〈四十七〉

元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。
癸酉〈五十九〉癸酉〈五十七〉癸酉〈六十三〉癸酉〈七十五〉癸酉〈六十五〉癸酉〈七十一〉

元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申景长。
甲申〈八〉　　甲申〈六〉　　甲申〈十二〉　甲申〈二十四〉甲申〈十四〉　甲申〈十九〉

元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑景长。
己丑〈三十三〉己丑〈三十〉　己丑〈三十七〉己丑〈四十八〉己丑〈三十七〉己丑〈四十四〉

元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午景长。
甲午〈五十七〉甲午〈五十五〉甲午〈六十一〉甲午〈七十二〉甲午〈六十三〉甲午〈六十八〉

元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥景长。
己亥〈八十二〉己亥〈七十九〉己亥〈八十五〉己亥〈九十七〉己亥〈八十七〉己亥〈九十三〉

元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳景长。
乙巳〈六〉　　乙巳〈四〉　　乙巳〈十〉　　乙巳〈二十一〉乙巳〈一十一〉乙巳〈一十七〉

大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至。
甲申〈七十〉　甲申〈六十八〉甲申〈七十二〉甲申〈八十九〉甲申〈七十四〉甲申〈七十九〉

陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅景长。
庚寅〈十二〉　庚寅〈十三〉　庚寅〈五〉　　庚寅〈二十四〉庚寅〈八〉　　庚寅〈十七〉

光大二年戊子岁，十一月乙巳景长。
乙巳〈八十〉　乙巳〈八十六〉乙巳〈七十九〉乙巳〈九十七〉乙巳〈八十一〉乙巳〈九十〉

太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯景长。
丙寅〈八十三〉丙寅〈七十八〉丙寅〈七十七〉丙寅〈九十五〉丙寅〈九十八〉丙寅〈八十七〉

太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑景长。
丁丑〈三十二〉丁丑〈三十三〉丁丑〈二十五〉丁丑〈四十三〉丁丑〈二十七〉丁丑〈三十六〉

太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰景长。
癸巳〈四〉　　癸巳〈六〉　　壬辰〈九十九〉癸巳〈十六〉癸巳〈空〉　　癸巳〈八〉

太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌景长。
戊戌〈三十〉　戊戌〈三十〉　戊戌〈二十三〉戊戌〈四十〉戊戌〈二十四〉戊戌〈三十三〉

开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳景长。
己巳〈七十七〉己巳〈七十八〉己巳〈六十九〉己巳〈八十六〉己巳〈七十一〉己巳〈八十六〉

开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥景长。
乙亥〈一〉　　乙亥〈二〉　　甲戌〈九十二〉乙亥〈十一〉甲戌〈五十五〉乙亥〈一十〉

开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰景长。
庚辰〈二十五〉庚辰〈二十六〉庚辰〈十八〉　庚辰〈三十四〉庚辰〈十九〉　庚辰〈三十四〉

开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉景长。
乙酉〈五十〉　乙酉〈五十〉　乙酉〈四十二〉乙酉〈五十九〉乙酉〈四十四〉乙酉〈五十九〉

开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午景长。
丙午〈四十八〉丙午〈四十九〉丙午〈四十三〉丙午〈五十七〉丙午〈四十一〉丙午〈五十六〉

开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。
壬戌〈二十一〉壬戌〈二十二〉壬戌〈十二〉　壬戌〈二十〉壬戌〈十四〉　壬戌〈二十九〉

唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉景长。
甲申〈四十三〉甲申〈四十五〉甲申〈三十一〉甲申〈五十〉甲申〈三十二〉甲申〈四十四〉

贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥景长。
庚戌〈六十五〉庚戌〈六十八〉庚戌〈五十三〉庚戌〈七十二〉庚戌〈五十四〉庚戌〈六十六〉

龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未至戊午景长。
戊午〈八十三〉戊午〈八十六〉戊午〈六十九〉戊午〈八十五〉戊午〈七十一〉戊午〈八十二〉

仪凤元年丙子岁，十一月壬申景长。
壬申〈二十五〉壬申〈二十八〉壬申〈二十〉　壬申〈二十八〉壬申〈十二〉　壬申〈二十二〉
永淳元年壬午岁，十一月癸卯景长。癸卯〈七十二〉癸卯〈七十五〉癸卯〈五十七〉癸卯〈七十六〉癸卯〈五十八〉癸卯〈六十八〉

开元十年壬戌岁：十一月癸酉景长。
癸酉〈四十九〉癸酉〈五十四〉癸酉〈三十一〉癸酉〈五十〉癸酉〈三十二〉癸酉〈四十六〉

开元十一年癸亥岁，十一月戊寅景长。
戊寅〈七十四〉戊寅〈七十八〉戊寅〈五十五〉戊寅〈七十四〉戊寅〈五十六〉戊寅〈七十〉

开元十二年甲子岁，十一月癸未冬至。
癸未〈九十八〉甲申〈三〉　　癸未〈八十〉　癸未〈九十九〉癸未〈八十一〉癸未〈九十五〉

宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日南至。
戊辰〈十五〉　戊辰〈二十六〉丁卯〈七十四〉丁卯〈八十二〉丁卯〈七十四〉丁卯〈八十〉

皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑景长。
癸丑〈六十五〉癸丑〈七十九〉癸丑〈二十二〉癸丑〈二十五〉癸丑〈二十二〉癸丑〈二十三〉

元丰六年癸亥岁，十一月丙午景长。
丙午〈七十三〉丙午〈八十五〉丙午〈二十六〉丙午〈二十七〉丙午〈二十六〉丙午〈二十六〉

元丰七年甲子岁，十一月辛亥景长。
辛亥〈九十七〉壬子〈一十〉　辛亥〈五十〉　辛亥〈五十一〉辛亥〈五十〉　辛亥〈五十一〉

元祐三年戊辰岁，十一月壬申景长。
壬申〈九十四〉癸酉〈八〉　　壬申〈四十八〉壬申〈四十八〉壬申〈四十八〉壬申〈四十八〉

元祐四年己巳岁，十一月丁丑景长。
戊寅〈十九〉　戊寅〈三十二〉丁丑〈七十二〉丁丑〈七十二〉丁丑〈七十二〉丁丑〈七十二〉

元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。
癸未〈四十四〉癸未〈五十六〉壬午〈九十六〉壬午〈九十七〉壬午〈九十六〉壬午〈九十六〉

元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。
癸巳〈九十二〉甲午〈五〉　　癸巳〈四十五〉癸巳〈四十五〉癸巳〈四十五〉癸巳〈四十五〉

元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。
乙丑〈三十九〉乙丑〈五十二〉甲子〈九十一〉甲子〈九十一〉甲子〈九十一〉甲子〈九十一〉

崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。
丙申〈八十六〉丙申〈九十九〉丙申〈三十七〉丙申〈三十六〉丙申〈三十七〉丙申〈三十七〉

绍熙二年辛亥岁，十一月壬申冬至。
癸酉〈十二〉　癸酉〈二十七〉壬申〈五十七〉壬申〈四十七〉壬申〈五十七〉壬申〈四十六〉

庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日南至。
甲辰〈五十九〉甲辰〈七十四〉甲辰〈三〉　　癸卯〈九十二〉甲辰〈三〉　　癸卯〈九十二〉

嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日南至。
丙子〈五〉　　丙子〈二十一〉乙亥〈四十九〉乙亥〈三十七〉乙亥〈四十九〉乙亥〈三十七〉

嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日南至。
癸亥〈二十五〉癸亥〈四十一〉壬戌〈六十九〉壬戌〈五十六〉壬戌〈六十八〉壬戌〈五十六〉

绍定三年庚寅岁，十一月丙申日南至。
丁酉〈六十五〉丁酉〈八十三〉丁酉〈七〉　　丙申〈六十三〉丁酉〈七〉　　丙申〈九十二〉

淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日南至。
壬午〈九十四〉壬午〈七十一〉辛巳〈九十六〉辛巳〈七十七〉辛巳〈九十四〉辛巳〈七十八〉

元朝至元十七年庚辰岁，十一月己未夜半后六刻冬至。
己未〈八十七〉庚申〈五〉　　己未〈二十五〉己未〈四〉己未〈二十四〉己未〈六〉

右自春秋献公以来，凡二千一百六十馀年，用大衍、宣明、纪元、统天、大明、授时六历推算冬至，凡四十九事。大衍历合者三十二，不合者十七；宣明历合者二十六，不合者二十三；纪元历合者三十五，不合者十四；统天历合者三十八，不合者十一；大明历合者三十四，不合者十五；授时历合者三十九，不合者十事。今按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，授时历得甲寅，统天历得乙卯，后天一日；至僖公五年正月辛亥朔旦冬至，授时、统天皆得辛亥，与天合；下至昭公二十年己卯岁正月己丑朔旦冬至，授时、统天皆得戊子，并先一日，若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知春秋所书昭公冬至，乃日度失行之验。一也。大衍历考古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，大衍与皇极、麟德三历皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三历之差。今以授时历考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸历皆得甲申，殆亦日度之差。三也。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯景长，大衍、授时皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉岁十一月壬辰景长，大衍、授时皆得癸巳，是后一日；一失之先，一失之后，若合于壬辰，则差于丁酉，合于丁酉，则差于壬辰，亦日度失行之验。五也。开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长，大衍、统天、授时皆得丙午，与天合；至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而大衍、统天、授时皆得壬戌，若合于辛亥，则失于甲寅，合于甲寅，则失于辛亥，其开皇十四年甲寅岁冬至，亦日度失行。六也。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长，诸历得甲申，贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长，诸历皆得庚戌，大衍历议以永淳、开元冬至推之，知前二冬至乃史官依时历以书，必非候景所得，所以不合，今以授时历考之亦然。八也。自前宋以来，测景验气者凡十七事，其景德丁未岁戊辰日南至，统天、授时皆得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥岁甲戌日南至，统天、授时皆得乙亥，是后一日；一失之先，一失之后，若曲变其数以从景德，则其馀十六事多后天，从嘉泰，则其馀十六事多先天，亦日度失行之验。十也。前十事皆授时历所不合，以此理推之，非不合矣，盖类其同则知其中，辨其异则知其变。今于冬至略其日度失行及史官依时历书之者凡十事，则授时历三十九事皆中，统天历与今历不合者仅有献公一事，大衍历推献公冬至后天二日，大明后天三日，授时历与天合。下推至元庚辰冬至，大衍后天八十一刻，大明后天一十九刻，统天历先天一刻，授时历与天合。以前代诸历校之，授时为密，庶几千岁之日至，可坐而致云。
古今历参校疏密

授时历与古历相校，疏密自见，盖上能合于数百载之前，则下可行之永久，此前人定说。古称善治历者，若宋何承天，隋刘焯，唐傅仁均、僧一行之流，最为杰出。今以其历与至元庚辰冬至气应相校，未有不舛戾者，而以新历上推往古，无不吻合，则其疏密从可知已。
宋文帝元嘉十九年壬午岁十一月乙巳日十一刻冬至，距元朝至元十七年庚辰岁，计八百三十八年。其年十一月，气应己未六刻冬至，元嘉历推之，得辛酉，后授时二日，授时上考元嘉壬午岁冬至，得乙巳，与元嘉合。
隋大业三年丁卯岁十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百七十三年。皇极历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时上考大业丁卯岁冬至，得庚午，与皇极合。
唐武德元年戊寅岁十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百六十二年。戊寅历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时历上考武德戊寅岁，得戊辰冬至，与戊寅历合。
开元十五年丁卯岁十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计五百五十三年。大衍历推之，得己未冬至，后授时八十一刻；授时历上考开元丁卯岁，得己亥冬至，与大衍历合，先四刻。
长庆元年辛丑岁十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计四百五十九年。宣明历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时历上考长庆辛丑岁，得壬子冬至，与宣明历合。
宋太平兴国五年庚辰岁十一月丙午日六十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计三百年。乾元历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时历上考太平兴国庚辰岁，得丙午冬至，与乾元合。
咸平三年庚子岁十一月辛卯日五十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计二百八十年。仪天历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时上考咸平庚子岁，得辛卯冬至，与仪天合。
崇宁四年乙酉岁十一月辛丑日六十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百七十五年。纪元历推之，得己未日冬至，后授时十九刻；授时历上考崇宁乙酉岁，得辛丑日冬至，与纪元历合，先二刻。
金大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百一年。大明历推之，得己未冬至，后授时一十九刻；授时历上考大定己亥岁，己巳冬至，与大明历合，先九刻〈大明冬至盖测验未密故也〉。庆元四年戊午岁十一月己酉日一十七刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计八十二年。统天历推之，得己未冬至，先授时一刻；授时历上考庆元戊午岁，得己酉日冬至，与统天历合。
周天列宿度

列宿著于天，为舍二十有八，为度三百六十五有奇。非日躔无以校其度，非列舍无以纪其度，周天之度，因二者以得之。天体浑圆，当二极南北之中，络以赤道，日月五星之行，常出入于此。天左旋，日月五星愬而右转，昔人历象日月星辰，谓此也。然列舍相距度数，历代所测不同，非微有动移，则前人所测或有未密。古用窥管，今新制浑仪，测用二线，所测度数分秒与前代不同者，今列于左。
汉洛下闳所测　　　唐一行所测
角十二度
亢九度
氐十五度
房五度
心五度
尾十八度
箕十一度
东方七十五度
斗二十六度及分　　二十六度
牛八度
女十二度
虚十度　　　　　　十度少强
危十七度
室十六度　　　　　十六度
壁九度
北方九十八度及分　九十八度二十五分
奎十六度
娄十二度
胃十四度
昴十一度
毕十六度　　　　　十七度
觜二度　　　　　　一度
参九度　　　　　　十度
西方八十度　　　　八十一度
井三十三度
鬼四度　　　　　　三度
柳十五度
星七度
张十八度
翼十八度
轸十七度
南方一百一十二度　一百一十一度
宋皇祐所测　　　　　　元丰所测
角
亢
氐十六度
房　　　　　　　　　　六度
心六度
尾十九度
箕十度　　　　　　　　十一度
东方七十七度　　　　　七十九度
斗二十五度
牛七度
女十一度
虚　　　　　　　　　　九度少强
危十六度
室十七度
壁
北方九十五度二十五分　九十四度二十五分奎
娄
胃十五度
昴
毕十八度　　　　　　　十七度
觜
参
西方八十三度　　　　　八十二度
井
鬼二度
柳十四度
星
张　　　　　　　　　　十七度
翼　　　　　　　　　　十九度
轸
南方一百一十度　　　　一百一十度
宋崇宁所测　　　　　　元至元所测
角　　　　　　　　　　十二度一十分
亢九度少　　　　　　　九度二十分
氐　　　　　　　　　　十六度三十分
房五度太　　　　　　　五度六十分
心六度少　　　　　　　六度五十分
尾十九度少　　　　　　十九度一十分
箕十度半　　　　　　　十度四十分
东方七十八度　　　　　七十九度二十分斗　　　　　　　　　　二十五度二十分牛七度少　　　　　　　七度二十分女十一度少　　　　　　十一度三十五分虚　　　　　　　　　　八度九十五分
危十五度半　　　　　　十五度四十分
室　　　　　　　　　　十七度一十分
壁八度太　　　　　　　八度六十分
北方九十四度七十五分　九十三度八十分太奎十六度半　　　　　　十六度六十分
娄　　　　　　　　　　十一度八十分
胃　　　　　　　　　　十五度六十分
昴十一度少　　　　　　十一度三十分
毕十七度少　　　　　　十七度四十分
觜半度　　　　　　　　五分
参十度半　　　　　　　十一度一十分
西方八十三度　　　　　八十三度八十五分井三十三度少　　　　　三十三度三十分鬼二度半　　　　　　　二度二十分
柳十三度太　　　　　　十三度三十分
星六度太　　　　　　　六度三十分
张十七度少　　　　　　十七度二十五分翼十八度太　　　　　　十八度七十五分轸　　　　　　　　　　十七度三十分
南方一百九度二十五分　一百八度四十分
日躔

日之丽天，县象最著，大明一生，列宿俱熄。古人欲测躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距，从考其所当；然昏旦夜半时刻未易得真，时刻一差，则所距、所当，不容无舛。晋姜岌首以月食冲检，知日度所在；纪元历复以太白志其相距远近，于昏后明前验定星度，因得日躔。今用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道九度有奇。仍自其年正月至己卯岁终，三年之间，日测太阴所离宿次及岁星、太白相距度，定验参考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，适与月食所冲允合。以金赵知微所修大明历法推之，冬至犹躔斗初度三十六分六十四秒，比新测实差七十六分六十四秒。
日行盈缩

日月之行，有冬有夏，言日月行度，冬夏各不同也。人徒知日行一度，一岁一周天，曾不知盈缩损益，四序有不同者。北齐张子信积候合蚀加时，觉日行有入气差，然损益未得其正。赵道严复准晷景长短，定日行进退，更造盈缩以求亏食。至刘焯立躔度，与四序升降，虽损益不同，后代祖述用之。夫阴阳往来，驯积而变，冬至日行一度强，出赤道二十四度弱，自此日轨渐北，积八十八日九十一分，当春分前三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而适平。自后其盈日损，复行九十三日七十一分，当夏至之日，入赤道内二十四度弱，实行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分尽损而无馀。自此日轨渐南，积九十三日七十一分，当秋分后三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而复平。自后其缩日损，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，实行九十一度三十一分，复当冬至，向之缩分尽损而无馀。盈缩均有损益，初为益，末为损。自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陆转而西，西而南，于盈为益，益极而损，损至于无馀而缩。自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔自南陆转而东，东而北，于缩为益，益极而损，损至于无馀而复盈。盈初缩末，俱八十八日九十一分而行一象；缩初盈末，俱九十三日七十一分而行一象；盈缩极差，皆二度四十分。由实测晷景而得，仍以算术推考，与所测允合。
月行迟疾

古历谓月平行十三度十九分度之七。汉耿寿昌以为日月行至牵牛、东井，日过度，月行十五度，至娄、角，始平行，赤道使然。贾逵以为今合朔、弦、望、月食加时，所以不中者，盖不知月行迟疾意。李梵、苏统皆以月行当有迟疾，不必在牵牛、东井、娄、角之间，乃由行道有远近出入所生。刘洪作乾象历，精思二十馀年，始悟其理，列为差率，以囿进退损益之数。后之作历者，咸因之。至唐一行，考九道委蛇曲折之数，得月行疾徐之理。先儒谓月与五星，皆近日而疾，远日而迟。历家立法，以入转一周之日，为迟疾二历，各立初末二限，初为益，末为损。在疾初迟末，其行度率过于平行；迟初疾末，率不及于平行。自入转初日行十四度半强，从是渐杀，历七日，适及平行度，谓之疾初限，其积度比平行馀五度四十二分。自是其疾日损，又历七日，行十二度微强，向之益者尽损而无馀，谓之疾末限。自是复行迟度，又历七日，适及平行度，谓之迟初限，其积度比平行不及五度四十二分。自此其迟日损，行度渐增，又历七日，复行十四度半强，向之益者亦损而无馀，谓之迟末限。入转一周，实二十七日五十五刻四十六分，迟疾极差皆五度四十二分。旧历日为一限，皆用二十八限。今定验得转分进退时各不同，今分日为十二，共三百三十六限，半之为半周限，析而四之为象限。
白道交周

当二极南北之中，横络天体以纪宿度者，赤道也。出入赤道，为日行之轨者，黄道也。所谓白道，虚黄道交贯，月行之所由也。古人随方立名，分为八行，与黄道而九，究而言之，其实一也。惟其随交迁徙，变动不居，故强以方色名之。月道出入日道，两相交值，当朔则日为月所掩，当望则月为日所冲，故皆有食。然涉交有远近，食分有深浅，皆可以数推之。所谓交周者，月道出入日道一周之日也。日道距赤道之远，为度二十有四。月道出入日道，不踰六度；其距赤道也，远不过三十度，近不下十八度。出黄道外为阳，入黄道内为阴，阴阳一周，分为四象。月当黄道为正交，出黄道外六度为半交，复当黄道为中交，入黄道内六度为半交，是为四象。象别七日，各行九十一度，四象周历，是谓一交之终，以日计之，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每一交，退天一度二百分度之九十三，凡二百四十九交，退天一周有奇，终而复始。正交在春正，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。正交在秋正，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。中交在春正，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。中交在秋正，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。月道与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交宿度，东西不及十四度三分度之二。夏至在阴历内，冬至在阳历外，月道与赤道所差者多；夏至在阳历外，冬至在阴历内，月道与赤道所差者少。盖白道二交，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直者密而狭，斜者疏而阔，其差亦从而异。今立象置法求之，差数多者不过三度五十分，少者不下一度三十分，是为月道与赤道多少之差。
昼夜刻

日出为昼，日入为夜，昼夜一周，共为百刻。以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。无间南北，所在皆同。昼短则夜长，夜短则昼长，此自然之理也。春秋二分，日当赤道出入，昼夜正等，各五十刻。自春分以及夏至，日入赤道内，去极浸近，夜短而昼长。自秋分以及冬至，日出赤道外，去极浸远，昼短而夜长。以地中揆之，长不过六十刻，短不过四十刻。地中以南，夏至去日出入之所为远，其长有不及六十刻者；冬至去日出入之所为近，其短有不止四十刻者。地中以北，夏至去日出入之所为近，其长有不止六十刻者；冬至去日出入之所为远，其短有不及四十刻者。今京师冬至日出辰初二刻，日入申正二刻，故昼刻三十八，夜刻六十二；夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故昼刻六十二，夜刻三十八。盖地有南北，极有高下，日出入有早晏，所有不同耳。今授时历昼夜刻，一以京师为正，其各所实测北极高下，具见天文志。
交食

历法疏密，验在交食，然推步之术难得其密，加时有早晚，食分有浅深，取其密合，不容偶然。推演加时，必本于躔离朓朒；考求食分，必本于距交远近；苟入气盈缩、入转迟疾未得其正，则合朔不失之先，必失之后。合朔失之先后，则亏食时刻，其能密乎。日月俱东行，而日迟月疾，月追及日，是为一会。交值之道，有阳历阴历；交会之期，有中前中后；加以地形南北东西之不同，人目高下邪直之各异，此食分多寡，理不得一者也。今合朔既正，则加时无早晚之差；气刻适中，则食分无强弱之失；推而上之，自诗、书、春秋及三国以来所载亏食，无不合焉者。合于既往，则行之悠久，自可无弊矣。