钦定四库全书
　历算全书卷三十七
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　笔算卷四
　　通分法(并减乘除并有子母通分之用故别自为/卷其畸零以十百千万为等者不用此法)
凡整数下有零分而不以十分成整当用通分其法以
一整数剖为若干分是为母数其所𢃄零分在母数中
得几分之几是为子数

　　通分子母列位法
通分列位其法有三曰化整为零曰以整𢃄零曰收零
为整
假如有物一斤四两则以一斤通为十六两加入所𢃄
四两共二十两而列之
　二○(斤以十六两为母其所𢃄四两是子今/化斤为两则可乘除谓之以母从子也)
若欲通为铢则以每两二十四铢为母通二十两为四
百八十铢

　四八○(此以斤通为两两又通/为铢是两次用通分也)
若畸零累析有用通分三次四次以上者准此论之
如皇极经世一元有十二会一会有三十运两次通之
则一元有三百六十运　一运有十二世一世有三十
年两次通之则一运有三百六十年
若以元通为年则用四次(元通为会会又通为运运又/通为世世又通为年是四次)
(用通/分也)通得十二万九千六百为一元年数
假如古历十九年七闰谓之一章其月谓之章月

　二三五(此以每年十二月通十九得二百二十八月加/入闰七月共得二百三十五月为一章之月)
　右化整为零　古通分法曰通以分母纳以分子盖
　言以分母通其整数而以所𢃄零分加入也然亦有
　不纳子而但通其整之时既以分母通之则整数不
　用全化为分故西学谓之化法
　别有变零为整之法与此化整为零之法似同而实
　不同所以为零乘之用盖化整则全化为零而不用
　整变零则全变为整而不用零其数则同(谓自一至/九之数)

其等则异(谓如零升为单/单升为十之类)详见零除条
凡通分化整为零以便乘除不必更书其母若列位本法以整
𢃄零当以母数子数并而书之曰几分之几(若分下𢃄有小分/则曰几分之几又)
(几分分/之几)
假如有整数二十五𢃄有零分为整数十二分之七又仍𢃄零
秒为分数三十分之十四
　　　　　　　(此如历算法一周十二宫一宫三十度今/算得星行二十五周又七宫十四度也)
假如有整数十六又𢃄零数为整数七分之五

　　　　　(此以一整数剖为七分而所𢃄零分/适得其五也七为分母五为分子)
假如有零数为整数三十分之十四又𢃄有小分为分数六之
五
　　　　　　　(此原无整数但有分又有小分其分以三十/为母十四为子是一整数剖为三十而得其)
　　　　　　　(十四也小分以六为母五为子是一大分又/剖为六而得其五也小分母古谓之秒母)
　右以整𢃄零
凡母数必大于子数其常也乘除之后有子数反多者法当以
母数收之为整而𢃄其零

假如有零分十六其分母九(此以子数反大当/以母数收为整)
　(九之/十六)　收得一(九之/七)　(十六分内除九分收为整馀七/分是为整一又九分之七也)
假如方田之法以方五尺为步其积二十五尺今有积七十尺
　　　　　　　(步法二十五尺而积有七/十尺子数反多法当收整)
　　　　　　　(七十尺内除五十尺收为二步剩二十尺不/能成步是为整二步又二十五分步之二十)
假如古历法以十九年为一章四章为一蔀今距𠩵元中积一
百年问在第几蔀第几章
　答曰第二蔀第二章之第六年

　　　　　　　(法先以章法十九收九十五年成五章剩五/年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章)
　　　　　　　(通列之成一蔀一章零五年是为已过之/数今正在交第二蔀第二章之第六年也)
　右收零为整(凡欲乘除必化整为零既乘除矣仍/必收零为整此二者相须为用也)
　此外仍有除零附整之法其法以分母为法分子为实实如
　法而一得零数为整数十分之几或百分千分万分之几所
　谓退除为分秒也见除法命分
　　通分并子法
通分并子其类有三曰母同者曰母不同者曰大分又

𢃄小分者而所以并之之法有七曰径并法曰变分母
法曰互乘法曰连乘法曰维乘法曰截并法曰通母纳
子法
　径并法
凡分母数同者径并其子并满母数收为整(数在三宗以上而/母同者皆可径并)
(其子或大分之下𢃄有小/分而分母同者并用此法)
假如有丝五分斤之四又五分斤之三并之若干
　答曰整一斤(又五分/斤之二)

　　　　　　　　　　　(此因两母同为五故径并其子且/子数七母数五是子满母数而)
　　　　　　　　　　　(有馀也当以母数收之得整一零/五之二)
　
　　以上分母同者径并其子为通分并法之一类
　变分母法
凡分母不同而有比例可求者变而同之可省互乘
假如有数(六之/三)又加(四之/一)共若干
　答曰共四之三

　　　　　　　　(法以六之三母子各损三之一变为四/之二则两母同为四而其子可并矣)
　　　　　　　　(所以然者四与六是倍半比/例故去三分之一即相同也)
　
假如有金(八分两/之五)又(四分两/之三)并之若干
　答曰一两又八分两之三
　　　　　　　　　　(八与四为折半比例然不以八折半/者其子奇数不可半也故以四之三)
　　　　　　　　　　(加倍即母数齐/同可相并矣)
　

　互乘法
凡分母不同而无比例可求者先互乘以同其母再以母互乘
其子而并之(数在三宗以上而母/不同者皆可用此法)
假如有物(四分石/之三)又(七分石/之四)共若干　答曰整一石又(廿八分/石之九)
　　　　　　　　　　　(先以右母四互乘左母七得廿八/又互乘子四得十六变七之四为)
　　　　　　　　　　　(廿八之十六三次以左母七互乘/右母四及子 变四之二为廿八)
　　　　　　　　　　　(之廿一之两母既同遂并其子为/二十八 三十七)
　　　　　　　　　　　(以满共母二十八收为整一仍馀/九)

凡三母内有两母相乘与馀一母同者祇用一互乘即可相并
假如有甲乙丙丁四数乙得甲(七之/六)丙得甲(五之/四)丁得甲(卅五/之二)
(十/三)若合乙丙丁三数得甲数若干　答曰得甲数二(又三十五/之十一)
　　　　　　　　　　　(法以乙丙两母相乘三十五与丁/母同数即用乙母七互乘丙五之)
　　　　　　　　　　　(四得三十五之廿八丙母五互乘/乙七之六得三十五之三十以并)
　　　　　　　　　　　(丁三十五之二十三共得卅五之/八十一以满母卅五成整数合问)
　　　　　　　　　　　　(归/整)得甲数二(又卅五/之十一)
　连乘法

凡数三宗以上者用母连乘为共母又以各母除之得数以乘
其子为子而并之并满共母收为整
假如有数六(之/四)又加三(之/一)又加五(之/四)并之若干
　答曰整一(又九十之/七十二)　　(法以六乘三得一十八又以五/乘之得九十为连乘之共母)
　　　　　　　　　　　　　　　　(即六除共母得数以/乘之四之数)
　　　　　　　　　　　　　　　　(即三乘共母得数以/乘之一之数)
　　　　　　　　　　　　　　　　(即五除共母得数以/乘之四之数)
　　　　　　　　　　　　　　　归整得一又(九十之/七十二)

　解曰(此即互乘也试以五互乘六之四得三十之二十一又/以三互乘之即成九十之六十 以六互乘三之 得)
　(十八之六又以五互乘之即成九十之三十九以六互乘五/之四得三十之二十四又以三互乘之即成 十之七十二)
　维乘法(此古维乘法也与母除共/母以乘子之法所得同)
　
　
　
假如钱粮一次完过(九分/之一)又完(四分/之一)又完(六分/之一)又完(六分/之一)又完
(七分/之一)问共完若干　答曰五百○四之四百零一(约为十分/之八稍弱)

　法(以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘/之得三千○廿四又以四乘之即得一万二千○九十六)
　
　
　
　
　
　
　约为五百○四之四百○一(廿四/约之)

　解曰(此即连乘法也但因分子皆为之一故即/以母除共母之数为子相并而省一乘)
试用维乘所得亦同
　
　
　
　
　
　

　　截并法
凡数件中有分母同者先取出并之然后与各件并列
则五件可作四件用(六件以/上仿论)而共母亦简
如前图有八之一四之一为加倍比例可先取并之(用/变)
(分母/法)
　
　
乃重列之(原数五宗今作四/宗入算馀并同前)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(解曰共母原/系一万二千)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(○九十六今/只三千○二)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(十四简四之/三故所得之)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(子皆于前式/为四之一)
　
凡宗数繁多而分母又各不同者可分作几次并之
假如有物四宗甲数(五分斤/之三)乙数(六分斤/之一)丙数(三分斤/之二)丁数(七/分)
(斤之/四)并之若干

　答曰整二斤又六百三十分斤之三
　
　
如上图依法互乘以四宗并作两宗乃重列之
　
　
　
　　以上分母不同者为通分并子之又一类

　大分𢃄小分并法
凡大分之下𢃄有小分而母相同者如法并之自小分起满小
分之母进为大分满大分之母进为整
若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同(馀如/上法)
若大分母不同者即通大分为小分再用互乘以同之
假如西历以一日分二十四小时一时又析为六十分今算得
中会二十九日十七时三十六分实会该加七时四十分
依法并之得三十日零一时一十六分

　原二九　(廿四之/一七)　(六十之/三六)　(时为大分大分之母二十四/时下为小分小分之母六十)
　加　(丨丨廿四之/ ○□)　(六十之/四十)　(先并小分得七十六以满六/十进为一时仍馀十六分)
并得三○日○一时十六分　(次并大分得二十五时以满/二十四进为一日仍馀一时)
假如修筑河堤新修七里○六十六步一尺旧堤原存一十二
里二百九十三步四尺问堤长若干答曰长二十里
　新修○七　○六六　一　　(里法三百六十步法五先并/尺一四共五进一步次并步)
　原存□□　□□□　四　　(共三百六十进一里次并里/二七及所进之一共十里并)
　共长二○里○○○步○尺　(原十里是为堤长二十里合/问)

假如有朱砂八斤十两○九铢又有三斤五两十八铢共若干
　答曰十二斤○三铢
　　　八　一○　○九　　　(铢满二十四进一两/馀三两满十六进一)
　　　□　○□　□八　　　(斤斤共十二是为一/十二斤○三铢合问)
　共一二斤○○两○三铢
　右大小分母俱同故径以子并
假如甲数九(之/四)又小分(五之/四)乙数九(之/八)又小分(八之/三)并之若干
　答曰整一又九之四又小分四十之七

先同其小分之母
　　　　　　　　　　　　(先以小分母相乘得四十/为共母 又互乘其子变)
　　　　　　　　　　　　(五之四为四十之三十二/变八之三为四十之十五)
小分母既同乃重列而并之(馀同/上)
　
　
　(并/之)得九之十二又四十之四十七
　归整一又(九之/四)又小分四十之七　(小分满四卜收为大分/一大分满九收为整一)

　右系大分母同而小分之母不同故互乘之使其同
假如有田二丘甲丘二亩(又四分/亩之三)又小分(五之/一)丙丘一亩(又三/分亩)
(之/二)又小分(四之/三)并之若干
　答曰整四亩(又六十分亩/之四十三)
　先以甲小分母五通大分四之三为小分二十之十五加入
　原𢃄小分一共二十之一十六为甲数
　又以丙小分四通大分三之二为小分十二之八加入原𢃄
　小分三共十二之十一为丙数

　解曰(此即古通分纳子之法也以大分尽通为小/分而纳小分焉实则以小分升为大分也)
　
　
　(并/得)三又　　　　　二百四十之四百一十二
　归整四又(二百四十之/一百七十二)约为六十之四十三
　右系大分母不同故尽通为小分而并之
　　以上大分𢃄小分法为通分并子之又一类
凡通分并法以通分减法还原(互见/后除)

　　通分子母减法
通分减法亦有三类曰母同者曰母不同者曰大分𢃄小分者
而其减之之法有五曰径减法曰变分母法曰互乘法曰子乘
母除法曰通母纳子法(并之与减犹乘之与除可以互相还原/相反而适相成也故所用之法皆同)
　径减法(数在三宗以上而/母同者并用此法)
凡分母同者径以相减不足减者以分母通整数减之
假如有纻丝一疋零(五分疋/之三)用过五分疋之三问仍存若干
　答曰五分疋之四

　原一　五之二　　(此以之三减之二则减数反/大于原数不足减以借法作)
　减　　五之三　　(点于疋位借原数一疋通作/五分并之二共成五之七内)
　存○　五之四　　(减去五之三仍存五之四合/问)
　　以上分母同者径以对减为通分减法之一类
　变分母法
凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘
假如有数六之三又有数四之三其较若干
　答曰四之一

　
　
　较　　　　四　之一
假如有整数一零八之三减去四之三该存若干
　答曰八之五
　整数一　八　(之/三)　(通/为)八　之(十/一)
　减数　　四　(之/三)　变八　之六
　存数　　　　　　八　之五

　互乘法
凡分母不同者先互乘以同其母冉以母互乘其子而减之
假如有两数甲五之三乙七之四不知谁多
　　　　　　　　　　　　　　(法以两分母五七相乘得/三十五为共母又互乘其)
　　　　　　　　　　　　　　(子变甲数为三十五之二/十一变乙数为三十五之)
　　　　　　　　　　　　　　(二十以相减则乙不及甲/者其较为三十五分之一)
　甲多　　三十五之　　一
凡分母同者视其子为大小(子数大者即/大小者即小)若子同而母不同者

反是(母数大者/子数反小)亦以互乘见之如后图
　(甲六之四/乙五之四)互得三十(之二十/之廿四)　(丙四之三/丁五之三)互得二十之(十五/十二)
　乙多　　　三十分之四　丙多　　　　二十分之三
　右二则以分相较而辨其多寡即古课分之法也
凡三母内有两母相乘与馀一母同者只用一互乘即可相减
假如有甲数二又(三十五/之十一)乙得甲(七之/六)丙得甲(五之/四)馀为丁数
该若干
　答曰丁得甲三十五之二十三

　　　　　　　　　　　　　　　　(先以分母通整数/为分而纳入分子)
　　　　　　　　　　　　　　　　(次以减数分母相/乘为共母又互乘)
　　　　　　　　　　　　　　　　(其子而并之是为/三十五之五十八)
　丁存　　　　　　三十五之廿三　(以减甲数仍馀三/十五之廿三合问)
　子乘母除法
凡分母有可以相除者以分母除其分母得数转以乘
子而减之其馀数仍以分母除之即得约分之数若原
系两分母互乘而并者用此法可知原母(数在三宗以/上而母不同)

(者并用此法/可代维乘)
假如有沉香一石零(二十八分/石之九)用去七分石之四该馀
若干
　
　
　
　存　　廿八　之　　二十一　约为四之三
　(法以分母通共数一为二十八并子之九共三十七变共数/为二十八之三十七 又以减分母七除共数之分母二十)

　(八得存数原母四以乘减分子四得十六变减数为二十八/之十六两相减得所存数为二十一于是仍以减分母七除)
　(之得存数原子三/变存数为四之三)
　(论曰此亦变分母法也其数与互乘所得无异但用互乘则/数益烦故用子乘母除之法变七之四为二十八之十六母)
　(既相同即可以相减矣若互用异/乘同除则成三率之比例如后图)
　　一率(分母/七)　法以子之四乘所变分母二十八得一百
　　二率(分子/四)　十二为实分母七为法除之得所变分子
　　三率(分母/廿八)　为十六其比例为七与四若二十八与十
　　四率(分子/十六)　六也

　又论曰存数不用约分法而竟以分母七除何也曰约分之
　法以对减而得纽数今分母七既可以除其母二十八又可
　以除其子二十一即纽数也又何事于对减之烦乎况用之
　互乘还原尤为亲切盖互乘之共母既以原母相乘而得即
　无不可以原母除之而尽也
假如有整数一又(九十之/七十二)甲得六(之/四)乙得三(之/一)馀为丙数该若
干
　答曰丙得五之四

　
　
　
　丙存　　五　之四　　　九十　之七十二
　法曰(先以分母通整一为九十并分子七十二是为九十之/一百六十二 次以甲分母六除原母九十得十五以)
　(甲分子四乘之得六十为甲数三又以乙分母三除原母九/十得三十以乙分子一乘之仍 十为乙数)
　(合甲乙两数得九十以减原数一百六十二仍馀七/十二为丙数以法约之为五之四 约分法详后条)
　约分捷法　置丙存数(九十之/七十二)为实以甲乙分母(六/三)相乘得

数(十/八)为法除之得五之四为丙存数(以十八除九十得五/十八除七十二得四)
　(约分本法用子数七十二减母数九十得十八以转减子数/得五十四再递减之亦馀十八是为纽数乃用为法以除子)
　(母数得约分五之四今改用甲乙两母相乘亦得十八为法/何也以原数九十可以六除亦可以三除知其为三数维乘)
　(而得者也故/于还原最切)
　论曰此有分母三宜用维乘然其数益繁故改用子
　乘母除之法则三母齐同可用相减而法与数俱简
　矣
试先减乙丙数则所存者即甲数(法同/上)

　
　
　
　甲存　(约/为)六　之四　　即九十　之六十
　若先减甲丙数则所存者必乙数其法并同兹不悉具
　按如此互求即知无误可无假他法还原矣
假如有数五百○四之四百○一甲得(八之/一)乙得(六之/一)丙得(七/之)
(一/)丁得(九之/一)馀者为戊数该若干　答曰戊得四之一

　原数　五百○四　　　　　　　　　　之四百○　一
　甲减　八　之一　　　　　　　　　　　　　六十三
　乙减　六　之一　以各减母除原母得　　　　八十四
　丙减　七　之一　　　　　　　　　　　　　七十二
　丁减　九　之一　　　　　　　　　　　　　五十六
　共减　　　　　　　　　　　　　　　　二百七十五
　戊存　五百○四　　　　　　　　　　之一百二十六
　约为　四　之一(以所存之数/除原母即得)

　解曰此因分子俱系之一故即以除数为得数也
　　以上分母不同者为通分减法之又一类
　大分𢃄小分减法
凡大小分母并同者(谓原数之大小分母与减/数之大小分母也下仿此)竟以对减不足减
者借整数以分母通为分(小分不足减亦以小分之母通大分/为小分 其借上位皆作点志之)
若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之馀如上法
若大小分母俱不同者用通分法尽通大分为小分而纳小分
焉馀如上法

假如西历算得某月平朔三十日○一时一十六分其实距时
七时四十分为减号问实朔在某甲子某时刻
　答曰壬辰日酉初二刻○六分(以二十九日命为壬辰日以/十七时命为酉初其小馀三)
　(十六分以三十分收为二刻尚馀六/分命为壬辰日酉初二刻○六分)
　　　　日　时　分(时为大分大分以二十四为母/时下为小分小分之母六十)
　平朔三□○□一□(先减小分四十原数只十六不足减/作直号于大分位借一分通为小分)
　(实距/时)　　七四□　(六十并原小分共七十六减四十馀/三十六 次减大分七原数一已借)
　实朔二□一□三□(去亦借整一通为二十四减七馀十/七 原数三十因借减一馀二十九)

　凡大小分母不同者(谓大分之母与小/分之母不同也)须作点以别之故借
　整化零之点改为直号
　右系大小分母并同故竟以对减
假如有整数一又(九之/四)又小分(四十/之七)甲得九(之/四)又小分五(之/四)馀
为乙数该若干
　答曰乙得九之八又八之三

乃重列之(小分既同/即可相减)
　
　
　乙存　　九　之八　二百之七十五　约为八之三
　法曰(先减小分减数大原数小不足减乃作直号于/大分位借一分通为小分纳原数共二百三十)
　(五减一百六十馀七十五为次减大分原数四因借/减一变三亦借整数一通 九共十二减四馀八)
　(整数借/减尽)
试先减乙(用变分母法以代/互乘馀并同上)

　原数一　九　之□又　　　　　四十　之七
　减乙　　九　之八又八　之三变四十　之一十五
　存甲　　九　之四又五　之四即四十　之三十二
　解曰(四十与八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五/倍之即变为四十之一十五则两母齐同可以对减矣)
　右系大分母同而小分母不同故用互乘以同之
假如甲丙两丘田共四亩又六十分亩之四十三甲丘二亩又
四分亩之三又小分五之一馀为丙丘该若干
　答曰一亩又十二分亩之十一(即六十之五十五母子各/五约之为十二之十一)

　法先以甲小分母五通大分四之三为二十之十五加入原
　𢃄小分一共二十之十六乃列而减之(如此则大分小分合/而为一与原数无小)
　(分者/类矣)
　
　
　存丙一又　　　　　　　　六十　之五十五
　用变分母法以甲子母各加三倍变二十之十六为六十之
　四十八以减原数四十三不及减乃作直号于整数位借一

　数通为六十分纳原数共一百○三减甲数四十八馀五十
　五次减整数整数四因借减一成三减甲二仍馀一是为整
　数一又六十之五十五即丙存数也
　右系大分母不同故通为小分而减之
　　以上大分𢃄小分法为通分减法之又一类
　　通分子母乘法
假如有田三十六亩六分每亩徵银三分钱之二问该银若干
　答曰二两四钱四分

　　　　　　　　法以分子之二乘田三十六亩六分得
　　　　　　　　七十三分二以分母三收之得二两四
　　　　　　　　钱四分合问
　　　　　　　　何以知其为七十三分也曰原问每亩
　　　　　　　　徵银三分钱之二分故于右行实数内
　　　　　　　　寻每亩之位为定位之根以横对左行
　　　　　　　　得数即命为分则上下俱定矣
假如有银六十四两每两买铜八斤十二两该铜若干

　答曰五百六十斤
　　　　　　　　　先以斤法(十/六)收十二两为斤下之七分
　　　　　　　　　五釐加八斤共八七五为法以乘银六
　　　　　　　　　十四两得五六○○○即于右行实数
　　　　　　　　　内寻每两位以横对左行得数命法尾
　　　　　　　　　釐推而上之定为五百六十斤
　
假如有米五石(又三分/石之二)每石价银九分两之八该银若干

　答曰五两又二十七分两之一
　　　　　　　　　法以分母三通五石为十五分纳子二
　　　　　　　　　共十七分以价之八乘之得一百三十
　　　　　　　　　六又以两分母(三/九)相乘得二十七收之
　　　　　　　　　合问
　通分子母除法
假如每田一亩徵银三分钱之二今完编银二两四钱四分该
田若干

　答曰三十六亩六分
　　　　　　　　　法以分母(三/)通二两四钱四分为七十
　　　　　　　　　三分二为实以分子之二为法除之即
　　　　　　　　　得三十六亩六分合问(原所设三分之/二以钱为主故)
　　　　　　　　　(四分所通/为小分)
假如有米五石又三分石之二共价银五两又二十七分两之
一问每石该价若干
　答曰九分两之八

　　　　　　法先以米分母(三/)通五石为十五分纳子二共
　　　　　　十七分为法又以价分母(廿/七)通五两为一百三
　　　　　　十五纳子一共一百三十六分为实法除实得
　　　　　　八为每石三分一之价以分母三乘之得二十
　　　　　　四分为每石价命为二十七分两之二十四约
　　　　　　为九之八
　又捷法(以米分母三除银分母二十七得九为每/石价之母即以除出之数为子即九之八)
假如有丝一斤又六分斤之四共价一两又四十二分两之二

十问每斤价若干　答曰七分两之六又十之二
　法先通丝一斤为六分纳子四共一十为法又通银一两为
　四十二分纳子二十共六十二退一位(即一十/除也)命为单六又
　小分二即每斤六分一之丝价也于是以分母六乘之得三
　十六又小分十二为每斤价是为四十二分两之三十六又
　小分十二也子母并六约之为七分两之六又小分十之二
　捷法(以丝分母六除价分母四十二得七为每斤/丝价之母即命为七分两之六又十之七)
　　通分子母三率法(即异乘/同除)

假如西历太阳每日平行(五十九分零/八秒二十微)今有二刻半该行若干分
　答曰一分三十二秒廿四微(又九十六分/微之廿六)
　
　
　
　
　
　

　法(先通五十九分为三千五百四十秒加原带八秒共三千/五百四十八秒又通为二十一万二千八百八十微加原)
　(𢃄二十微共二十一万二千九百微在位以二刻半乘之得/五十三万二千二百五十微为实以一日化九十六刻为法)
　(除之得五千五百四十四微不尽除满三千六百微收为一/分又一千九百二十微收为三十二秒仍馀二十四微 不)
　(尽者以法命之是为一分三十二秒/二十四微又九十六分微之二十六)
　论曰此小数法也何则二十一万二千九百者是每日九十
　六刻之数今以二刻半乘之于刻下多一位故截去得数尾
　一位命为百
假如以粟易布每粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一

　石又三分石之二该布若干　答曰三疋
一　粟六分石之二(母子各/减一倍)变为三之一
　
　
四　布五分疋之(十/五)　　　收为整三疋(两粟母同为三省不/用只以布分母收之)
　用变分母法变一率六之二为三之一则两粟母相同可省
　互乘而子变为之一又可省除只以三率一石用分母通为
　三纳子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母

　五收之即得三疋合问
假如以银换金每银二两又三分两之二换金九分两之二今
有银六分两之四该金若干
　答曰十八分两之一
　
　
　
四　金(十/八)分两之一

　法以一率分母(三/)互乘三率六之四为十八之十
　二与二率之二相乘得二十四为实又用一率分
　母三通二两为六分纳子二共八是为三之八复
　以三率分母(六/)互乘之为十八之四十八以乘金母
　(九/)得四百三十二为法法大实小以法命之为四
　百三十二之二十四母子各二十四约之即十八
　分两之一合问
若用变分母法则如后式

一　银二两(又三/之二)　　通为三之八乘得(七十/二)为法(以金母九/乘之八也)
　
　
四　金(七十/二分)两之四　约为(十/八)之一(子母各/四约之)
　　解曰十八分两之一即五分五氂五五不尽
　　畸零𢃄分子母乘法
假如以八之五乘四之三该若干
　答曰三十二之十五

　　　　　　　法以母乘母得三十二子乘子得十五即三
　　　　　　　十二之十五为乘得数也
又法以除代乘则倒位互除之
　　　　　　　法以五除四得八为母数以八除三得三七
　　　　　　　五为子数是为八之三七五与乘得之数同
　　解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得
　　三十二四因三七五亦得十五
　用法

假如谷一石价二十七分两之十六今有谷四分石之三价若
干
　答曰九分两之四
一　谷一石
　
　
四　价九分两之四(因首率是一故省除/即以九之四为得数)
　解曰二十七分两之十六即五钱九分二氂六毫弱也谷四

　分石之三即七斗五升也价九分两之四即四钱四分四四
　不尽也
若用倒位除以代乘则径得九之四
　　　　　　　　法用母四除十六得四为子用子三除二
　　　　　　　　十七得九为母是为九之四也
　　畸零𢃄分子母除法
假如以五之四除四之三该若干
　答曰八之七五

　　　　　　　法以母除母得八子除子得七五是为八之
　　　　　　　七半即除得数也
又法以乘代除则倒位互乘之
　　　　　　　法以母五乘子三得(十/五)为子以子四乘母四
　　　　　　　得(十/六)为母是十六之十五与除得之数同
　解曰十六即八之倍数十五即七五之倍数故其数同
　　用法
假如以绢易鞋绢五分丈之四换鞋七分丈之四问绢每丈该

　鞋若干
　答曰该换鞋七分丈之五
一　绢五分丈之四　法以母除母得一四子除子得一○是
二　鞋七分丈之四　为一十四之一十子母各半之为七分
三　绢一丈　　　　之五(三率是一省乘即/用鞋七之四为实)
四　鞋七分丈之五
　解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分
　强也七分丈之五者七尺一寸四分强也

若用倒位乘以代除所得亦同
　　　　　　　法用子四乘母七得廿八为母用母互乘子
　　　　　　　四得廿为子子母各取四之一即七之五也
论曰同文算指有畸零乘除之法甚为简妙然莫适所用今以
三率列之则实数可稽而用法亦明矣
　　畸零乘除定位
凡乘法得数必大于原问之数若畸零乘则其数反降凡除法
得数必降若畸零除则其数反升盖即异乘同除之理诸家算

术皆未经说破故定位多讹兹以三率明之如左
假如换珠每珠一两值银二十四两今有珠三分五釐该若干
　答曰八钱四分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　此首率是单两
　　　　　　　　　　　　　　　　　　而三率有分釐
　　　　　　　　　　　　　　　　　　是单下有三位
　　　　　　　　　　　　　　　　　　零也故截去得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　数尾三位命法

　尾两两位空定所得为八钱四分
　论曰此即以乘出之数为四率者以首率是单一两故
　省除耳试即以三率实尾位釐为单而定所得为八
　百四十两为实亦升首率单两为千釐为法除实(即/以)
　(实数降/三位)亦仍得八钱四分合问(此条已详二卷乘法/中兹以三率列之于)
　(定位之/理益明)
　又论曰乘除之难在于定位而畸零为尤难所以者
　何凡定位以单数为根而畸零无单位可言故也前

　于乘法中立本数大数小数三法以寻每位可以御
　畸零矣于除法犹未有以处也今皆归之三率惟视
　三率中所有之数即命为单数(如金银之类本以两/为单今视三率中有)
　(分即以分为单而两则为其百数又如米谷之类本/以石为单今三率中有斗即以斗为单而石则为其)
　(十数他/仿此)则虽畸零皆可作整数算无论乘除一以贯
　之矣(是为以零变整而乘除之后得数无异/此所以别于通分化整为零之法也)
假如有珠三分五釐价银八钱四分问每两珠价若干
　答曰二十四两

　　　　　　　　　　　　　　　　(此一率首位是分即/以分为单数以二率)
　　　　　　　　　　　　　　　　(升两位作八十四两/为实以法三分五釐)
　　　　　　　　　　　　　　　　(对实分位列之位命/除毕于法上一)
　　　　　　　　　　　　　　　　(为单分推而上之定/得数为二十四两合)
　　　　　　　　　　　　　　　　(问/)
　解曰二率升二位为实者即百分乘也分原在单两下二位
　今既升为单则单两亦升二位成百分也
假如银二钱四分买稻九十六斤每两该若干

　答曰四百斤
　　　　　　　　　　　　　　(此以钱为单数则三率单/两成十钱而二率亦升一)
　　　　　　　　　　　　　　(位成九百六十○斤为实/于是以法二钱对实○位)
　　　　　　　　　　　　　　(列之以单钱对单斤也单/除毕于法上一位命为)
　　　　　　　　　　　　　　(斤即得数为四百斤合问/)
　
假如以豆换油豆四斗八升换油十二斤今豆十石该油若干
　答曰二百五十斤

　　　　　　　　　　　　　　　　(此以斗为单数则三/)
　　　　　　　　　　　　　　　　(率十石成百斗故二/率亦升两位作一千)
　　　　　　　　　　　　　　　　(二百斤为实以法四/斗对实○斤位列之)
　　　　　　　　　　　　　　　　(亦以单斗对单斤也/馀亦同)
　
假如芝麻六斗四升四合换豆一石今芝麻四石八斗三升该
豆若干
　　答曰七石五斗

　
　
　
　
　
　若以斗为单则命实为四十八石三斗(以二率十/斗乘之也)而以法首
　六斗对实三斗列之除毕于法上位定为斗亦得七石五斗
　或以升为单以合为单得数亦无不同也(以升为单法上即/命为升以合为单)

　(法上即/命为合)
假如钱六百五十文价四钱八分七釐半每千该价若干
　
　　　　　　　　　　　　　　　(此问每千钱价是以千/为单也今法首只有百)
　　　　　　　　　　　　　　　(即以百为单而升单千/为十百则二率亦升一)
　　　　　　　　　　　　　　　(位作四两八钱七分五/釐为实四两列之以单)
　　　　　　　　　　　　　　　(百对单两也除毕于法/上位命为单两两位空)
　　　　　　　　　　　　　　　(定得数为七钱五分/)

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷三十七