钦定四库全书
　历算全书卷三十一
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　　筹算二之三
　开平方法
勿庵氏曰自周髀算经特著开平方法其说谓周公受
　于商高矩地规天为用甚大然有实无法故少广之
　在九数别自为章今以筹御之简易直截亦数学之

　一乐也
解曰平方者长阔相等之形也其中所容古谓之幂积
　亦曰面幂西法谓之面面有方有圆此所求者方面
　也其法有方有廉有隅总曰平方也(幂音觅覆/物中也)开亦
　除也以所有散数整齐而布列之为正方形故不曰
　除而曰开平方四边相等今所求者其一边之数西
　法谓之方根
　如后图方者初商也初商不尽则倍初商之根为廉

　　　　　　法除之得两廉又以次商为隅法自乘
　　　　　　得隅隅者以补两廉之空合一方两廉
　　　　　　一隅成一正方形
　　　　　　如图一方两廉一隅除积仍不尽则
　　　　　　合初商次商倍之为廉法除之以得
　　　　　　次两廉又以三商为隅法自乘得隅
　　　　　　合一方四廉两隅成一正方形(商四/次以)
　　　　　　(上仿此/加之)

　解曰上两位者自乘之积也假如方一十则其积一
　百方二十则其积四百以至方九十则其积八千一
　百也下一位者方根也假如积一百则其根一十积
　四百则其根二十乃至积八千一百则其根九十也
　平方筹式列左

　　　　开平方筹只用两位积数何也曰开方难得
　　　　者初商耳平方积数虽多而初商所用者只
　　　　两位次商以后皆廉积也廉积可用小筹除
　　　　之开方大筹专为初商故积止两位
　　　　筹下一位单数也而实有百也万也百万也
　　　　亿也百亿也万亿也百万亿也皆与单同理
　　　　故独商首位者用下位之积数焉(其积自○/一至○九)
　　　　(其方根为/一二三)

　筹上一位十数也而实有千也十万也千万也十亿
　也千亿也十万亿也干万亿也皆与十同理故合商
　两位者用上下两位之积数焉(其积自一六至八一/其方根自四至九)
用法曰先以实列位列至单位止实有空位作圈以存其
　位次乃作点凡作点之法皆从实单位实单位起作
　一点每隔位则点之而视其最上一点以为用
　首位有点者以实首一位独商之(乃补作一圈于原/实之上亦成两位)
　(之/形)

　首位无点点在次位者以实首位合商之
　　皆视平方大筹积数有与相同或差小于实者用
　　之以减原数而得方数即初商也
定位法曰既得初商则约实以定其位知其所得为何
　等(或单或十/或百之类)以求次商
　其法依前隔位所作之点总计之视有若干点
假如只一点者初商所得必单数也(自方一/至方九)则初商已
　尽无次商矣

　有二点者初商所得必十数也(自方一十/至方九十)初商十数
　者有次商
　有三点者初商所得必百数也(自方一百/至方九百)初商百数
　者有次商又有三商
　有四点者初商千也有商四次焉
　有五点者初商万也有商五次焉
次商法曰依前术定位则知其宜有次商与否
　若已开得单数虽减积不尽不必更求次商也

　虽未开得单数而初商减尽亦不必更求次商也
　惟初商未是单数而减积又有不尽是有次商矣
　次商者　倍初商为廉法用小筹以除之(初商一则/用第二筹)
　　(初商七则用第一第/四两筹皆取倍数)视筹积数有小于馀实者用
　　之为廉积视廉积在小筹某行命为次商数
既得次商减去廉积即用次商数为隅法以求隅积
　隅积小平方也即隅法自乘之数也(可借开方/筹取之)
　若隅积大于馀实不及减者转改次商及减而止

以数明之　假如积一百其方根十即除实尽此独用
　方法无廉隅矣若积一百四十四初商十除实百馀
　四十四则倍初商之根得廿为廉法(在初商之两旁/故曰廉廉有二)
　(故倍/之也)次商二以乘廉得四十为廉积又次商二为隅
　法自乘得四为隅积共四十四除实尽开其根得一
　十二也
商三次以上法曰次商所得尚非单数而减积又有不
　尽是有第三次商矣

　商第三次者合初商次商数皆倍之为次廉法　如
　前用筹以除馀实求得第三商以减廉积
　又即以第三商之数为隅法以求隅积皆如次商
商四次五次以上并同第三商
命分法曰但开至单数而有馀实者是不尽也不尽者
　以法命之法以所开得数倍之又加隅一为命分
　不尽之数为得分　凡得分必小于命分
　亦有开未至单宜有续商而其馀实甚少不能除作

　单一者亦如法命之而于其开得平方数下作圈纪
　其位如云平方每面几十○又几十几分之几　或
　平方每面几百○○又几百几十几分之几
　若欲知其小分别有开除分秒法见第七卷
列商数法曰凡初商得数而书之有二法　其法依前
　隔位所作点以最上一点为主凡得数皆书于此点
　之上一位五以上者又进一位故有二法也
　其故何也五以上之廉倍之则十故豫进一位以居

　次商四以下虽倍之犹单数也所以不同凡归除开
　平方须明此理不则皆误矣　大约所商单数必在
　廉法之上一位乃法上得零之理也平方有实无法
　廉法者乃其法也
凡次商列位亦有二法　次商用归除除法者皆书于
　筹之第一位故次商以之
看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空
　即以次商数对而书之对馀实首一位是也

　若第一位是圈即以次商数进位书之以暗对其圈
　馀实上一位是也
　　知此则知空位矣次商有一定之位故空位亦一
　　定也如次商与初商隔位则作圈隔两位作两圈
　　是也
　商三次以上书法并同
隅积定位法曰凡减隅积皆视其隅数为何等(隅数即/次商之)
　(数也或单或/十或百千等)以求其积

　隅数是单其减隅积亦尽于单位
　隅数是十其减隅积必尽于百位
　隅数是百其减隅积必尽于万位
　隅数千其隅积必百万
　隅数万其隅积必亿
　　每隅数进退一位则隅积差两位(隅积小平方也/故皆与初商同)
　　(理/)
还原法曰凡开方还原皆以所开得数为法又为实而

　自相乘之有不尽者以不尽之数加入即得原数
假如有积三百六十平方开之
　列位(单位作圈/)作点(从单位起/)
　　　　　　视首位有点以首位三百独商之
　　　　　　乃视平方筹积数有小于○三者是○
　　　　　　一也○一之方一故商一十(有二点故/初商是十)
　于原实内减去方积一百馀二百六十(初商是十/知有次商)
　　以上一点为主凡得数皆书于此点之上一位此

　　常法也四以下用常法
　次倍初商(一十/)作(二十/)用第二筹为廉法
　　　　　　视筹第九行积一八小于二六次商九
　　　　　　于初商一十之下去廉积一百八十馀
　　　　　　八十(所减数在筹上一位不空故/以商数九对馀实首位书之)
　次以次商九为隅法其隅积八十一大于馀实不及
　减应转改次商为八视筹之第八行积数(一六/)减廉
　积一百六十馀一百(所减第一位下/空故对位书之)

　　　　　　乃以次商八为隅法减隅自乘积(六十/)
　　　　　　(四/)馀(三十六/)不尽
　　　　　　隅数单故减隅积亦尽于单位
　　　　　　初商(一十/)次商(八/)共(一十八/)是已开至
　单位也而有单位也以法命之　以平方(一十八/)倍
　之又加隅(一/)共(三十七/)为命分
　命为平方一十八又三十七分之三十六
　还原法

　　　　　　　以平方一十八用筹为法即以平方
　　　　　　　一十八为实而自相乘之得三百二
　　　　　　　十四加入不尽之数三十六共得三
　百六十如原数
　命分还原论详别卷
假如有积一十二万九千六百平方开之
　列位　作点
　

　　　　　　　　视首位无点点在次位以两位一
　　　　　　　　十二万合商之
　　　　　　　　乃视平方筹积有小于一二者是
　○九其方三也于是商三百(三点故/初商百)减去方积九万
　馀三万九千六百(初商百故/知有次商)
　次倍初商(三百/)作(六百/)用第六筹为廉法
　视筹第六行积数(三六/)小于(三九/)次商六十于初商
　三百之下减去廉积三万六千馀三千六百(所减首/位不空)

　(故对/书之)次以次商(六十/)为隅法减隅积三千六百恰尽
　(隅数十故减隅/积必尽于百位)
　凡开得平方三百六十○　开方虽未至单减积已尽
　是方面无单数也后仿此
　还原法
　　　　　　以所得平方三百六十○为法为实而
　　　　　　自相乘之得一十二万九千六百○○
　　　　　　如原数

假如有积一千平方开之
　列位　作点
　　　　　　视点在次位以首二位一千○百合商
　　　　　　之
　　　　　　乃视平方筹小于(一○/)者(○九/)也(○九/)
　之方三商作三十(二点故/初商十)减方积九百馀一百
　次以初商(三十/)倍作(六十/)用第六筹为廉法
　视第六筹第一行是(○六/)小于(一百/)次商一千初商

　三十之下减廉积六十馀四十(所减是○六首位空/也故书于进位以对)
　(其○今虽对于馀实以所减六十/言之犹进位也列位之理明矣)
　次以次商一为隅法减隅积一馀三十九不尽(隅积/尽单)
　(位/)
　所开已至单位而有不尽以法命之倍所商三十一
　又加隅一共六十三为命分
　命为平方三十一又六十三分之三十九
　　此以上皆初商四以下列位之例　皆以最上之

　　一点为主而书其初商所得数于点之上一位乃
　　常法也
假如有积四千○九十六平方开之
　列位　作点
　　　　　　　视点在次位以四千○百合商之
　　　　　　　乃视平方筹积数有三六小于四○
　　　　　　　其方六也商作六十(二点故/初商十)减方积
　三千六百馀四百九十六(初商十故/知有次商)

　　以最上一点为主而书其得数于点之上两位乃
　　进法五以上用进法
　次倍初商(六十/)作(一百二十/)为廉法(用第一第二两筹/)
　视筹第四行积数(四八/)小于馀实次商四于初商六
　十之下减廉积四百八十馀一十六(所减是○四八/首位空也故次)
　(商四进位书之若初商/不进则次商同位矣)
　次以次商四为隅法减隅积一十六恰尽(隅数单故/隅积尽单)
　(位/)

　凡开得平方六十四
假如有积八千○九十九以平方开之
　列位　作点
　　　　　　　视点在次位以八千○百合商之
　　　　　　　乃视平方筹有(六四/)小于(八○/)　其方
　　　　　　　八也于是商八十(二点故/初商十)除实六千
　　　　　　　四百馀一千六百九十九(初商是十/宜有次商)
　　　　　　　次以初商八十倍作一百六十为廉

　法(用第一第六两筹/)
　合视两筹第一行积(一六/)与馀实同宜商(一十/)因无
　隅积改用第九行(一四四/)次商九于初商八十之下
　减廉积一千四百四十馀二百五十九(所减第一位/不空故对位)
　(书/之)
　次以次商九为隅法减隅积(八十一/)仍馀一百七十
　八不尽(隅数单隅/积尽单位)
　已开至单位而有不尽以法命之　应倍所商八十

　九又加隅一共一百七十九为命分
　命为平方八十九又一百七十九分之一百七十八
　(因少一数故不/能成九十之方)
假如有积二千五百四十八万二千三百○四平方开之
　列位　作点
　　　　　　　　视点在次位以二千五百万合商
　　　　　　　　之
　　　　　　　　乃视平方筹积有(二五/)与实相

　同其方五也商五千(四点故/初商千)除方积二千五百
　万馀四十八万二千三百○四(初商千/有次商)
　　(又法既以四点知所得为五千倍之则为一万即/廉法也法上一位便是单逆上三倍则五千位矣)
　次倍初商(五千/)作(一万/)为廉法(用第一筹/)
　视筹第四行积四与馀实同次商四十于初商五千
　之隔位减廉积四十万馀八万二千三百○四(所减/是○)
　(四故进位书之以对其○然与初商五千犹隔/一位故知所得为四十此定位之法之妙也)
　次以次商四十为隅法减隅积一千六百馀八万○

　七百○四(隅数十故减隅积尽于/百位 商至十有末商)
　次合初商次商倍之得(一万○○八十/)为廉(用第一/)
　(第八并二空位共四筹/)
　(大凡商五数以上则其廉法视所商方数必进一位/不论初商次商皆然若四以下则其廉法视方数必)
　(同位亦初/次商尽然)
　合视筹内第八行积数(八○六四/)小于馀实又次商
　八于先商五千○四十之下减廉积八万○六百四
　十馀六十四(此所减第一位亦是○故商/数八亦进位书之以对其○)

　次以末商八为隅法用减隅积六十四恰尽(隅数是/单故减)
　(隅积亦必/尽于单位)
　凡开得平方五千○四十八
　　以上皆商五以上进书例也
　　常法中有初商得二或四者进法中有初商得七
　　或九者并杂见开方分秒法并开方捷法中

　开立方法(筹算三/)
勿庵氏曰物可以长短度者泰西家谓之线线之原度
　一横一缩而自相乘之以得其羃积者平方也西法
　谓之方面方面与线再相乘而得其容积则立方也
　西法谓之体
解曰平方长阔相等形如棋局立方长阔高皆相等形
　如骰子细分之有方有平廉有长廉有小隅总曰立
　方

　立方亦有实无法以所有散数整齐之成一立方形
　故亦曰开
　立方长阔高皆等今所求者其一边之数故西法亦
　曰立方根
　　　　　　　　　　如图方者初商也初商不尽
　　　　　　　　　　则再商之于是有三平廉三
　　　　　　　　　　长廉一小隅共七并初商方
　　　　　　　　　　形而八合之成一立方形

　　　　　　　如图方形者长阔高皆如初商之数
　　　　　　　方形只一
　　　　　　如图平廉形者长阔相同皆如初商数
　　　　　　其厚则如次商数　(平廉形凡三以辅/于方形之三面)
　　　　　　长廉者长如初商数其两头高与阔等
　　　　　　皆如次商数　(长廉形亦三以/补三平廉之隙)
　　　　　　小隅者长阔高皆等皆如次商数　(其/形)
　　　　　　(只一以补三/长廉之隙)

商三位图
　　　　　　　　　　如后图一方三平廉三长廉
　　　　　　　　　　一小隅除实仍不尽则更商
　　　　　　　　　　又得次平廉次长廉各三
　　　　　　　　　　次小隅一合之共十五形凑
　　　　　　　　　　成一大立方形　次平廉之
　　　　　　　　　　长阔相等皆如初商并次商
　　　　　　　　　　之数厚如三商数其形三以

　辅初商并次商合形之外　次长廉之长如初商并
　次商之数其阔与厚相等皆如三商数其形亦三以
　补次平廉之隙次小隅之长阔高皆等皆如三商数
　其形只一以补次长廉之隙
立方筹式(列后/)
解曰上三位者自乘再乘之积也假如根一十则其积
　一千根二十则其积八千乃至根九十则其积七十
　二万九千也　次两位者自乘之积即平方也置于立方

　　　　　　　　筹者以为廉法之用假如初商一百则
　　　　　　　　其平廉亦方一百其积一万乃至商九
　　　　　　　　百则其平廉方九百而积八十一万也
　　　　　　　　又如次商一十则其长廉之两头亦必
　　　　　　　　方一十而积一百乃至次商九十则其
　　　　　　　　长廉之两头必方九十而积八千一百
　　　　　　　　也　下一位者方根也假如立积一千
　　　　　　　　则其根一十立积八千则其根二十乃

　至积七十二万九千则其根九十也
　立方筹三位何也自乘再乘之数止于三位也且以
　为初商之用故只须三位其馀实虽多位皆廉积耳
　
　
　
用法曰先以积列位至单位止无单者作圈以存其位
　次作点从单位点起每隔两位作一点(即满三位去/之之法也)

　点讫视最上一点以为用
　点在首位者独商之以首位为初商之实
　　单数商法也　若千若百万若十亿若万亿若千
　　万亿凡以三位去之馀一位者皆与单法同
　点在次位者合首两位为初商之实
　　十数商法也　若万若千万若百亿若十万亿若
　　兆凡以三位去之馀二位者皆与十同法
　点在第三位者合首三位为初商之实

　　百数商法也　若十万若亿若千亿若百万亿若
　　十兆凡以三位去之馀三位者皆与百同法
　又法视其点在首位则于原实之上加两圈点在次
　　位者上加一圈皆合三位而商之
　次以初商之实与立方筹相比勘视立方筹积数有
　与实相同或差小于实者用之以减原实而得其立
　方之数即初商也
定位法曰既得初商则约实以定位知所得立方为何

　等(或单或/十百等)以知有续商与否　皆以前所作点而合
　计之视有若干点之命之
　假如只有一点则商数是单　初商已得单数无次
　商
　　有二点者商数十　初商十数者有商两次焉
　　有三点者商数百　初商百数者有三三次焉
　　四点商千　五点商万　每多一点则得数进一
　　位而其商数亦多一次皆以商得单数乃尽也

减积法曰凡初商减积皆止于最上点之位
次商法曰依前定位若初商末是单而减积未尽是有
　次商也次商者有平廉法有长廉法有隅法(解曰平/廉古曰)
　(方法长廉法古曰廉法以后或曰平廉长/长廉从质也或省曰方法廉法从古也)
　先以所得初商数三之为廉法
　又以初商数自乘而三之为三法　以方法用筹除
　　积以得次商(以列位之法定/之其法见后)
　既得次商用其数以乘方法为三平廉积

　又以次商自乘以乘廉法为三长廉积
　其次商即为隅法　以隅法自乘再乘得小立方积
　为隅积
　乃并三平廉三长廉一小隅积为次商廉隅共积
　　若此廉隅共积与馀积适等或小于馀积则减而
　　去之视其仍馀若干以为用(或续商或/以法命之)
　　若共积反大于馀实不及减转改次商及减而止
　　(若次商单一而/无减以法命之)

商三次法曰次商尚未是单而减积未尽是有第三次商
　也
　第三次商者合初商次商得数而三之为廉法
　又合初商次商得数自乘而三之为方法　如前以
　　方法用筹除馀实求得第三商(亦以列位法/详其所得)
　既得第三商如前求得三平廉三长廉一小隅积以
　　减馀实其法并同次商
　四次以上皆同法

命分法曰但商得单数而有不尽则以法命之　未商
　得单数而馀实甚少不能商单一者亦以法命之
　其法以所商立方数自乘而三之(如平/廉)又以立方数
　三之(如长/廉)又加单一(如小/隅)并三数为命分不尽之数
　为得分　其命分必大于得分
列商数法曰依前隔位作点以最上一点为主而论之
　有三法凡商得立方一数者于此点之上一位书之
　　(或单一或一十或/一百或一千并同)此常法也

　若商得立方二三四五者于此点之上两位书之(单/十)
　　(百千其/法并同)乃进法也
　若商得立方六七八九者于此点之上三位书之(单/十)
　　(百千其/法并同)乃超进法也
　平方只有进法而立方有三法何也平方以廉法为
　　法而平方只二廉故其廉法之积数只有进一位
　　故止立进法与常法为二也立方以方法为法而
　　立方有三平廉故其方法之积数有进一位进两位

　　故立进法超进法而与常法为三也其预为续商
　　之地使所得单数居于法之上一位则同
　假如立方单一其方法单三　若立方单二则方法
　　一十二变为十数进一位矣故单一用常法而单
　　二即用进法也
　又如立方单五其方法七十五　若立方单六则方
　　法一百○八又变百数进两位矣故单五只用进
　　法而单六以上必用超进之法也

　假如立方一十其方法三百　若立方二十则方
　　法一千二百变千数进一位矣故一十只用常法
　　而二十即用进法也
　又如立方五十其方法七千五百　若立方六十则
　　方法一万○八百又变万数进两位矣故五十仍
　　用进法而六十以上必用超进之法也
　若宜进而不进宜超进而不超进则初商次商同位
　　矣不宜进而进则初商次商理不相接矣此归除

　　开立方之大法也
其次商列位理本归除以所减积数首一位是空不是
　空定其进退皆同平方　商三次以上并同
隅积法曰隅法单隅积尽单位　隅法是十隅积尽于
　千位
　隅法百隅积尽百万之位　以上仿求　大约隅法
　大一位则隅积大三位
还原法曰置开得立方数为实以立方数为法乘之得

　数再以立方数乘之有不尽者加入不尽之数即得
　原实
假如有积一千三百三十一立方开之
　列位　作点(从单位起/)
　　　　　　　　视首位有点以○○一千为初商
　　　　　　　　之实
　　　　　　　　乃视立方筹有○○一其立方一
　于是商一十(有二点/故商十)减去立方积一千馀三百三十

　一(初商十者/有次商也)
　以最上点为主商一数者书于点之上一位常法也
　次以初商一十而三之得三十为廉法
　又以初商一十自乘而三之得三百为方法(用第三/)
　
　　　　　　　　　　视筹第一行积数○三与馀
　　　　　　　　　　实同次商一于初商一十之
　　　　　　　　　　下(减积首位是○故进位书/于一十之下以暗对其○)

　于是以次商一乘方法仍得三百为平廉积　又以
　次商一自乘仍得一用乘廉法仍得三十为长廉积
　　又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积　并三
　积共三百三十一除馀实恰尽
　凡开得立方一十一(还法以立方一十一自乘得一/百二十一又以一十一再乘合)
　(原/积)
假如有积一十二亿五千九百七十一万二千立方开之
　列位　作点

　　　　　　　　　　　视首位有点以○○一十
　　　　　　　　　　　亿为初商之实
　乃视立方筹有○○一其方亦一于是商一千减立
　方积一十亿馀二亿五千九百七十一万二千
　次以初商一千而三因之得三千为廉法
　又以初商一千自乘得一百万而三之得三百万为
　方法(用第三筹/)
　视第三筹之第八行积数二四小于馀实次商八十

　于初商一千之下一位(所减首位不空故次商八书/本位而上一位作○因与次)
　(商隔位故/知其是十)
　就以次商八十乘方法三百万得二亿四千万为平
　廉积
　又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得
　二千九百二十万为长廉积　又次商八十自乘再
　乘得五十一万二千为隅积　并三积共二亿五千
　九百七十一万二千除实尽

　凡开得立方一千○八十○(初商千次商○八是十/而除实已尽是所商单)
　(位亦○也此/列位之妙)
　　以上皆商得一数例也　皆以最上一点为主而
　　以初商得数书于点之上一位乃常法也惟商得
　　一数者可用常法一十一百一千一万并同
假如有积九千二百六十一立方开之
　列位　作点
　视点在首位以○○九千命为初商之实

　　　　　　　　乃视立方筹积有小于○○九者
　　　　　　　　○○八也其立方二于是商二十
　　　　　　　　(二点故/初商十)减立方积八千馀一千二
　百六十一
　　以最上一点为主而以得数书于点之上两位乃
　　进法也商二至五之法也
　次以初商二十用三因之得六十为廉法
　又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百

　为方法(用第一第二两筹/)
　合两筹第一行积一二与馀实相同次商单一于初
　商二十之下(所减首位空宜进书也若初商不先用/进法则无以处次商矣故进法自商二)
　(始/)
　就以次商一乘方法仍得一千二百为三平廉积
　又以次商一自乘得一用乘廉法仍得六十为三长
　廉积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积　并
　三积共一千二百六十一除实尽凡开得立方二十一

假如有立方积三万二千七百六十八立方开之问得
　若干
　列位　作点
　　　　　　　　视点在次位以○三万二千为初
　　　　　　　　商之实乃视立方筹积小于○三
　　　　　　　　二者是○二七其立方三也于是
　商三十(二点故/初商十)减商三十(二点故/初商十)减立方积二万七
　千馀五千七百六十八

　次以初商三十用三因得九十为廉法
　又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为
　方法(用第二第七两筹/)
　合视两筹第二行积○五四小于馀实次商单二于
　初商三十之下(所减首位○宜/进书以对其○)
　就以次商单二乘方法得五千四百为平廉积　又
　以次商自乘得四用乘廉法得三百六十为长廉积
　　又以次商自乘再乘得八为隅积　并三积共五

　千七百六十八除实尽凡开得立方三十二
假如有立方积一十一万七千六百四十九立方开得
　若干
　列位　作点
　视点在第三位以一十一万七千为初商之实
　　　　　　　　乃视立方筹积有小于一一七者
　　　　　　　　○六四也其立方四于是商四十
　　　　　　　　(二点故/初商十)减立方积六万四千馀五

　万三千六百四十九　次以初商四十用三因之得
　一百二十为廉法
　又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八
　百为方法(用第四第八两筹/)
　合视两筹第九行积数四三二小于馀实次商九于
　初商四十之下(所减首位不空/故本位书之)
　就以次商九乘方法得四万三千二百为平廉积
　又以次商九自乘得八十一用乘廉法得九千七百

　二十为长廉积　又以次商九自乘再乘得七百二
　十九为隅积　合计廉隅三积共五万三千六百四
　十九除实尽
　凡开得立方四十九
假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方开得
　若干
　列位　作点
　视点在第三位以一千六百六十亿为初商之实

　　　　　　　　　　　乃视立方筹有小于一六
　　　　　　　　　　　六者是一二五其立方五
　　　　　　　　　　　也商作五千(四点/商千)除立方
　积一千二百五十亿馀四百一十三亿七千五百万
　次以初商五千用三因之得一万五千为廉法
　又以初商五千自乘得二千五百万三因之得七千
　五百万为方法(用第七第五两筹/)
　合视两筹第五行积三七五小于馀实次商五百于

　初商五千之下(所减首位不/空故书本位)
　就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平廉积
　　又以次商五百自乘得二十五万用乘廉法得三
　十七亿五千万为长廉积　又以次商五百自乘再
　乘得一亿二千五百万为隅积　并三积共四百一
　十三亿七千五百万除实尽　凡开得立方五千五
　百○○
　　以上乃商得二三四五之例也　皆以最上一点

　　为主而以初商所得进书点之上两位进法也初
　　商得二三四五者用进法单十百千并同
假如有积二十六万二千一百四十四立方开之
　列位　作点
　　　　　　　　　视点在第三位以二十六万二
　　　　　　　　　千为初商之实
　　　　　　　　　乃视立方筹有小于二六二者
　二一六也其立方是六商六十(二点/商十)减立方积二十

　一万六千馀四万六千一百四十四
　　以最上一点为主而以得数书于点之上三位超
　　进法也乃商六至九之法也
　次以初商六十用三因之得一百八十为廉法
　又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一万
　○八百为方法(用第一空位第八三筹/)
　合视筹第四行积四三二小于馀实次商四于初商
　六十之下(所减首位是○故进/位书之以对其○)

　就以次商四乘方法得四万三千二百为平廉积
　又以次商四自乘得一十六用乘廉法得二千八百
　八十为长廉积　又以四自乘再乘得六十四为隅
　积　并三积共四万六千一百四十四除实尽
　凡开得立方六十四
假如有积三十七万三千二百四十八立方开之
　列位　作点
　视点在第三位以三十七万三千为初商之实

　　　　　　　　　乃视立方筹积有小于三七三
　　　　　　　　　者是三四三其立方七也商七
　　　　　　　　　十(二点/商十)减立方积三十四万三
　千馀三万○二百四十八次以初商七十用三因之
　得二百一十为廉法
　又以初商七十自乘得四千九百三之得一万四千
　七百为方法(用第一第四第七三筹/)
　合视筹第二行积二九四小于馀实次商二于初商

　七十之下(所减首位空故进/位书之以对其○)
　就以次商二乘方法得二万九千四百为平廉积
　又以二自之得四用乘廉法得八百四十为长廉积
　　又以二自乘再乘得八为隅积　并三积共三万
　○二百四十八除实尽凡开得立方七十二
假如有积五十三万一千四百四十一立方开之
　列位　作点
　视点在第三位以五十三万一千为初商之实

　　　　　　　　　乃视立方筹积有五一二小于
　　　　　　　　　五三一其方八也商八十(二点/商十)
　　　　　　　　　减立方积五十一万二千馀一
　万九千四百四十一
　次以初商八十用三因之得二百四十为廉法
　又以八十自乘得六千四百三之得一万九千二百
　为方法(用第一第九第二三筹/)
　合视筹第一行是一九二小于实次商一于初商之

　下　就以次商一乘方法为平廉积　又以一自乘
　用乘廉法为长廉积　又以一自乘再乘为隅积
　并三积共一万九千四百四十一除实尽
　凡开得立方八十一
假如有积九十七万○二百九十九立方开之
　列位　作点
　视点在第三位以九十七万○为初商之实
　乃视立方筹有七二九小于九七○其方九也商九

　　　　　　　　　十(二点/商十)减积七十二万九千馀
　　　　　　　　　二十四万一千二百九十九
　
　次以初商九十三之得二百七十为廉法
　又以九十自之得八千一百而三之得二万四千三
　百为方法(用第二第四第三三筹/)
　合视筹第九行是二一八七小于馀实次商九于初
　商九十之下(所减首位不空/故本位书之)

　就以次商九乘方法得二十一万八千七百为平廉
　积　又以九自乘得八十一以乘廉法得二万一千
　八百七十为长廉积　又以九自乘再乘得七百二十九为
　隅积　并三积共二十四万一千二百九十九除实尽
　凡开得立方九十九
　　此以上皆初商六七八九之例也　皆以最上一
　　点为主而以得数书于点之上三位乃超进法也
　　初商六七八九用超进之法单十百千并同

命分例
假如有立方八百一十尺问立方每面各若干
　列位　作点
　　　　　　　　点在第三位以八百一十○尺为
　　　　　　　　初商之实
　　　　　　　　视立方筹有小于实者为七二九
　其立方九商九尺减积(七百二/十九尺)馀(八十/一尺)
　此商数已至单尺而有不尽当以法命之

　法以商数九自乘(八十/一)而三之得(二百四/十三)如平廉
　又置商数九而三之得(二十/七)如长廉　加小隅一
　共(二百七/十一)为命分
　命为立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一
　此商得单数而有不尽以法命之例也
又如有立方积一亿二千五百七十五万尺问立方若
　干
　列位　作点

　　　　　　　　点在第三位以一亿二千五百万
　　　　　　　　尺为初商实
　视立方筹有(一二/五)恰与实合商(五百/尺)减实(一亿二千/五百万尺)
　馀(七十五万○/○○○尺)
　有三点故知所商是(五百/尺)宜有第二商第三商也
　乃以初商(五百/尺)自乘(二十五/万尺)而三之得(七十五/万尺)为平
　廉法又以初商(五百/尺)三之得(一千五/百尺)为长廉法
　视馀实(七十五/万尺)仅足平廉之数而无长廉知第二商

　第三商皆空也补作两圈而以法命之
　法以平廉法长廉法合数加小隅一共(七十五万一/千五百○一)
　(尺/)为命分
　命为立方每面五百尺又七十五万一千五百○一
　分尺之七十五万○○○○
　此商数虽未至单而馀实甚少不能成一整数亦以
　　法命之例也
　历算全书卷三十一