钦定四库全书
　数学九章卷八上　　　　宋　秦九韶　撰
　军旅
　　计立方营
问一军三将将三十三队队一百二十五人遇暮立营
　人占立地方八尺须令队间容队师居中央欲知营
　方几何
　　答曰方营一百七十一丈　队方九丈

　术曰以少广求之置人占方幂乘每队人为队实以
　一为隅开平方所得为队方图(或开不尽/就为全尽)次置队数
　乘将数又四因之增三为寔以二为从隅开平方得
　率以乘队方面为营方面(开不尽/为全数)

　
　
　
　
　
　
　
　

　　　按旧图各队四眼内每人作一小圆为识今去
　　　之总图内各队仍画四眼今只以一小方为一
　　　队旧总图太大难于捡阅今收入半页内
　　　又按总图内系百队算内只有九十九队图中
　　　应虚一队旧本未详
　草曰置人占八尺自乘得六十四尺为人占方幂以
　乘每队一百二十五人得八千尺为寔以一为隅开
　平方步法常超一位今隅超一度至寔之百下约寔

　置啇八十尺以啇八十生隅一得八十为方乃命上
　啇除寔讫实馀一千六百次以啇生隅入方得一百
　六十毕方一退隅再退之复于上啇之次续啇九尺
　乃以续啇九生隅一入方得一百六十九乃命续啇
　除寔讫得八十九尺不尽七十九尺就为九十尺得
　队方面次置三十三队乘三将得九十九又四因得
　三百九十六增三得三百九十九为寔以二为从方
　一为从隅开平方步法以从方进一位至寔之十下隅

　隅超一位至寔之百下乃约寔置啇一十生隅一入
　方得一十二乃命上啇除寔讫馀二百七十九又以
　啇一十生隅入方得二十二毕方一退隅再退之续
　于寔上啇九队以续啇九生隅入方得三十一乃命
　续啇除寔适尽得一十九乘队方面九十得一千七
　百十尺展为营方一百七十一丈合问

　
　
　　方变锐阵
问步兵五军军一万二千五百人作方阵人立地方八
　尺欲变为前后锐阵阵后阔令多原方面半倍阵间
　仍容骑路五丈以上顺锐形出入求方阵面锐阵长
　及前后锐阵各布兵几何
　　答曰方面二百丈　方面布兵二百五十人　锐

　　　　后广二百丈　锐广列共三百六十二人
　　　　锐通正长三百丈　骑路二条各阔五丈三
　　　　尺　内锐阵广一百四十五丈六尺列一百
　　　　八十二人长一百四十五丈六尺计布兵一
　　　　万六千六百五十三人　外锐两广各七十
　　　　二丈列九十人计布兵四万五千八百四十
　　　　七人
　　　按锐阵数惟内锐数合外锐通广丈数及布兵

　　　数皆不合详见草后
　术曰以少广求之置兵开平方得方面人数(开不尽/方为补)
　(队/)以人立尺数乘之为原方面置原方面以欲多数
　加之为锐后阔亦为通长倍马路减之馀为实以人
　立尺约为阔布兵不尽半归马路以四约阔布兵得
　外锐一边人倍一边人并不归为内锐长阔人数副
　置减一馀乘其副得数半之为内锐布兵以减总兵
　馀为外锐布兵

　
　
　
　
　
　
　
　

　计立六万二千五百人锐后广通长各三百丈内锐
　立一万六千六百五十三人外锐立四万五千八百
　四十七人(按旧图式不细且在/题后今改正移于此)
　草曰置一军一万二千五百以五军因之得总兵六
　万二千五百人为寔开平方得二百五十人以人立
　八尺乘之得方面二百丈置二百丈加半倍一百丈
　得三百丈为锐阵后阔亦为锐阵道长先倍骑路五
　丈得一十丈以减后阔二百丈馀二百九十丈为实

　以人立八尺约之得三百六十二为锐后阔布兵不
　尽四尺以半之得二尺辈归骑路作五丈二尺以四
　约锐后阔布兵三百六十二人得九十人为外锐一
　边人倍一边九十得一百八十并不尽二人共得一
　百八十二人为内锐广布兵数亦为长布兵副置加
　一得一百八十三乘副一百八十二得三万三千三
　百六以半之得一万六千六百五十三人为内锐阵
　布兵以减总兵六万二千五百馀四万五千八百四

　十七人为外锐兵
　　　按草中以内锐阵兵数减前方阵兵数馀为外
　　　锐阵兵数非是盖无以知两总数为相等也试
　　　以数明之依束箭法以总阔求得总三角数七
　　　万零五百以锐阔求得内三角数一万六千六
　　　百五十三又以每人八尺除两骑路阔十丈零
　　　四尺得一十三人与内锐阔相加得阔二百求
　　　得内外间三角数二万零一百置总三角数减

　　　内外间三角数加内三角数得六万七千零五
　　　十三与前方阵兵数相较多四千五百五十三
　　　安得谓之等乎今另设步法于后
　　　法设骑路之阔当二十人先以总三角数与前
　　　方阵数相减得今多八千人乃倍骑路阔人数
　　　得四十人为截骑路上小三角之阔求得小三
　　　角数八百二十以减今多数馀七千一百八十
　　　为寔以四十为法除之得一百七十九人为内

　　　锐阔馀二十人依术内不尽者为补队兵次置
　　　总阔减去内阔馀一百九十六人再减并骑阔
　　　四十人馀一百五十六人半之得七十八人为
　　　外后阔是内锐阔长皆为一百七十九人外锐
　　　长为三百七十五人后两阔共一百五十六人
　　　骑路阔二十人乃以内锐阔求得内三角数一
　　　万六千一百一十人以内阔并两骑阔得二百
　　　一十九人为阔求得内外间三角数二万四千

　　　零九十人未置总三角数内减去内外间三角
　　　数馀四万六千四百一十人加内三角数得六
　　　万二千五百二十人再减补队兵二十人得六
　　　万二千五百人与方阵总兵原数吻合

　
　
　　圆营敷布
问周制一军欲布圆营九重每卒立圆边六尺重间相
　去比立尺数倍之于内摘差兵四分之一出奇不可
　缩营示弱须令仍用原营布满馀兵欲知原营内外
　周及立人数并出奇后每卒数立尺数外周人数各
　几何

　　　答曰周制一军一万二千五百人出奇三千一
　　　　百二十五人　原内周八百四丈立一千三
　　　　百四十人原外周八百六十一丈六尺立一
　　　　千四百三十六人　出奇后原外周立一千
　　　　八十九人原内周立一千一十六人内外周
　　　　人立七尺九寸一分
　术曰以啇功求之置重数减一馀为段以段乘圆差
　为衰以衰乘重数为率求圆周以率减兵馀如重数

　而一得内周人数不满为馀兵以人立圆边乘内周
　人得内周尺倍衰乘圆边为泛以泛并内周尺得外
　周尺为实如圆边而一得外周人求出奇后以率加
　存兵如重数而一得外周人不满为馀兵以外周人
　约原外周尺得后立尺以后立尺约原内周得内周
　人

　　　按求圆阵草中用圆束法圆束实六等边形非
　　　图形也盖圆形重数相距等则弧边上相距不
　　　等弧边上相距等则重数相距不等惟圆束可
　　　并取相等故用其法至次阵减人数不减营周
　　　尺数则各重周上相距不能相等故草中又以
　　　尺数求内周人数然未免与圆束逐层相差数
　　　不合亦仅取其大略也又旧用二图各点为圆
　　　周九重今用一图点为六等边形三重惟取易

　　　见则二图九重其理一也
　草曰置九重减一馀八为段以乘圆束差六得四十
　八为衰(按圆束每层差不今内外重数相距倍于人/立相距则每层差一十二为倍差常法重数)
　(减一与半差相乘为衰今倍/差故即与差数相乘为衰也)九重得四百三十二为
　率

　求原周以率四百三十二减周制一军一万二千五
　百馀一万二千六十八为实如重数九而一得一千
　三百四十人为内周人数不满八人为馀兵
　
　
　
　
　次以人立圆边六尺乘内周人一千三百四十得八

　千四十尺收作八百四丈为内周尺数
　
　
　倍衰四十八得九十六乘圆边六尺得五百七十六
　尺为泛
　
　
　以泛五百七十六尺并内周八千四十尺得八千六

　百一十六尺为外周尺
　
　
　以外周尺八千六百一十六为实如圆边六尺而一
　得一千四百三十六人为外周人数
　
　
　求出奇后以奇母四约一万二千五百得三千一百

　二十五为奇兵以减总军馀九千三百七十五为存
　兵次以率四百三十二加之得九千八百七十为实
　加重数九而一得一千八十九为外周人不尽六

　
　
　次以原外周八千六百一十六尺为实以外周人一
　千八十九约之得七尺九寸一分不尽二尺一分与
　法求等得三俱约之为分下三百六十三分之六十
　七
　
　

　
　
　
　置原内周八千四十尺为实以后立尺七尺九寸一
　分约之得一千一十六为内周人数不尽三尺四寸
　四分为宽地

　
　
　本术所求内外周之人数既定不拘奇出奇入皆以
　六人为重差或累差加减各得诸重围数或并九重
　人课总军存兵
　　计布圆阵
问步率二千六百人为图阵人立圆九尺形如车辐无
　丽布阵阵重间倍人立圆边尺数须合内径七十二

　丈圆法用周三径一之率欲知阵重几数及内外周
　通径并所立人数各几何
　　答曰内周二百一十六丈立二百四十人　外周
　　　　三百二丈四尺立三百三十六人　通径一
　　　　百丈八尺阵计九重(不尽/八人)
　术曰以啇功求之以圆率因内径为内周以人立尺
　约之为内周人数乃以圆求差率为隅次置内周人
　减隅馀约从方列兵数为宽开平方得重数不尽为

　馀兵置重数减一馀四因又乘圆边尺数并内径共
　为通径以圆率因通径得外周
　　　按旧本有图前题同今删去

　
　草曰以圆率三因内径七十二丈得二千一百六十
　尺为内周以圆边九尺约内周得二百四十为内周
　人数乃以圆束差六为从隅次置内周二百四十人
　减隅馀二百三十四为从方列兵二千六百为寔开
　平方步法从方进一位隅法超一位今方隅皆不可
　超进乃于寔约啇置九重以啇生隅六得五十四增
　入从方内共得二百八十八乃命上啇九重除寔讫

　寔馀八人为馀兵副置九重减一馀八以四因之(按/九)
　(重八间径两端应二因之间倍于/立步又应二因之今合为四因)得三十二又乘图
　边九尺得二百八十八尺并内径七百二十尺得一
　千八尺为通径又以圆率三因通径得三千二十四
　尺为外周次以圆边九尺为法除外周尺数得三百
　三十六人为外周人数合问
　　　按圆束环积有内周求重数法置积为寔圆束差
　　　半之为从隅又以半差减内周馀为从方开平

　　　方得重数此圆束环积每层为倍差故即以圆
　　　束差为从隅减内周为从方也又按周三径一
　　　正与六边形相合故人数尺俱无奇零也
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　数学九章卷八上

钦定四库全书
　数学九章卷八下　　　　宋　秦九韶　撰
　军旅
　　军器功程
问今欲造弓刀各一万副箭一百万只据工程七人九
　日造弓八张八人六日造刀五副三人二日造箭一
　百五十只作院见管弓作二百人刀作五百四十人
　箭作二百七十六人欲知毕日几何

　　答曰造弓一万张三百九十三日四分日之三
　　　　造刀一万副一百七十七日九分日之七
　　　　造箭一百万只一百四十四日二百七分日
　　　　之一百八十二(按六十九分之六十四讹/二百七分之一百八十二)
　术曰以粟米求之互换入之置各功程原人率于右
　行置原日数于中行置欲求数为左行以三行对之
　为各实列右行置原物数于中行置见𬋩人为左行
　以左行乘中行各为法以对除右行各得日数

　草曰置原造弓七人造刀八人造箭三人于右行次
　置造弓九日造刀六日造箭二日列中行又置于造
　弓一万欲造刀一万欲造箭一百万列左行以三行
　对乘
　
　
　
　

　
　
　
　
　次列原造弓八张刀五副箭一百五十只放中又列
　见管弓作二百人刀作五百四十人箭作二百七十
　六人于左行

　
　
　
　以两行对乘之上得一千六百中得二千七百下得
　四万一千四百各为法
　
　
　

　先以上法一千六百除寄右行弓日实六十三万日
　得三百九十三日为造弓一万张日数
　
　
　
　
　不尽一千二百与法求等得四百俱约之为四分日
　之三

　
　
　次以中得二千七百除寄右行刀日实四十八万日
　得一百七十七日为造刀一万副日数
　
　
　
　

　不尽二千一百与法求等得三百俱约之为九分日
　之七
　
　
　次以下法四万　　百除寄右行箭日实六百万日
　得一百四十四日为造箭一百万只日数

　
　
　不尽三万六千四百日与法四万一千四百求等得二百
　俱以约之得二百七分日之一百八十二为造箭日分
　合问(按不尽数三万八千四百误为三万六千四百分母六/十九讹二百零七分子六十四讹一百八十二)
　
　
　　计造军衣

问库有布绵絮三色计料欲制军衣其布六人八疋少
　一百六十疋七人九疋剩五百六十疋其绵八人一
　百五两剩一万六千五百两九人一百七十两剩一
　万四千四百两其絮四人一十三斤少六千八百四
　斤五人一十四斤适足欲知军士及布绵絮各几何
　　答曰兵士一万五千一百二十人　布二万疋
　　　　绵三十万两　絮四万二十三百二十六斤

　术曰以盈拙求之置人数于左右之中置所给物各
　于其上置盈拙各于其下令维乘之先以人数互数
　乘其所给率相减馀为法次以人数相乘为寄后以
　盈拙互乘其上未减者是谓未乘验其下系一盈一
　拙以上下皆并之为物其上并之实其下并之乘
　寄为兵寔如法而一各得验其系两盈或两拙者
　以上下皆相减之其上减之馀为物寔其下减之馀乘
　寄为兵寔二寔皆如法而一各得验其或一盈一足或

　一拙一足者其适足乃以空互乘其上未减者去之
　只以所用盈拙数互乘其上为物寔以盈或拙一数
　乘寄为兵寔皆如法而一各得
　求布草曰置布于六人左中八疋于左朏上一百六
　十四疋于左下置七人于右中九疋于右上盈百五
　六十于布下先以左右之中六七互乘左右之上讫
　左上得五十五右上得五十四以相减之馀二为法
　次以左右中六七相乘得四十二为寄于中次以左

　下亏一百六十乘右上未减五十四得八十六百四
　十又以右下盈五百六十乘左上未减五十六得三
　万一千三百六十验得左右之下系一盈一朏当并
　之以三万一千三百六十并右上八千六百四十得
　四万为布实次以左下朏一百六十并左下盈五百
　六十得七百二十乘寄四十二得三万二百四十为
　兵实二实皆如法二而一得二万疋为布得一万五
　千一百二十为兵

　　求布图

　求绵草曰置八人于左中绵一百五十两于左上馀
　一万六千五百两于左下次置九人于右中一百七
　十两于右上馀一万四千四百两于右下以左右中
　八九五乘各上讫左上得一千三百五十右上得一
　千三百六十相减馀一十为法次以中八九相乘得
　七万二为寄于中次以左下一万六千五百乘右上
　一千三百六万得二千二百四十四万却以右下一
　万四千四百乘左上一千三百五十得一千九百四

　十四万验其下系两盈当相减之其右上馀三百万
　为绵实其左右之下亦相减之馀二千一百乘寄七
　十二得二十五万一千二百为兵实二实皆如法一
　十而一绵得三十万两兵得一万五千一百二十人
　　　求绵图

　
　
　
　
　求絮草曰置四人于左中一十三觔于左上少六千
　八百四觔于左下又置五人于右中一十四觔于右
　上适足为空于右下以左右之中四五互乘其上讫
　左上得六十五右上得五□六利减馀九为法以中

　四五相乘得二十为寄于中先以左下六千八百四
　互乘右上五十六得三十八万一千四百二十却以
　右适足之空乘左上六十五亦为空乃去之只以右
　上三十八万一千二十四觔为絮实只以左下六千
　八百四乘寄二千人得一十三万六千八十为兵实
　二实皆如法九而一具絮得四万二千三百三十六
　觔其兵得一万五千一百二十人合问
　　　求絮图

　已上布绵絮三项求人兵数皆同今仍于各图立算
　求之以合本术
　　先计军程
问一军三将三十队队七十五人每将分左右傔作九
　行爬头拽行每日六十里明日路狭以军拽行至晚
　欲知先宿程里数几何
　　答曰六里二百四十步
　术曰以均输求之置行数为法以单数一行乘日

　程为寔寔如法两一得宿程里步
　草曰置行数九为法以单傔数一行用乘六十里为
　寔寔如法而一得六十不尽六里以里法三百六十
　步通之得二千一百六十步又为寔仍如法九而一
　得二百四十步为六里二百四十步宿程
　　　按此草易见旧有算式今删
　　移运均劳(分郡县/乡科均)
问今起夫移运县饷于某郡交纳合起一万二千夫甲

　州有三县上县力五十七万三千二百五十九贯五
　百文至输所九百二十五里中县力五十万四千九
　百八十三贯七百八十文至输所六百五十二里下
　县力四十九万八千七百六十贯九百五十文至输
　所四百六十五里乙军倚郭一县五乡仁乡力一百
　二万八千三百七十一贯九百八十文至输所七百
　六里义乡力一　　　　　　　　　　　六百文
　至输所七百九十五里礼乡力一十万八千四百六

　十三贯五十文至输所七百九十里智乡力八万四
　千千二百三十六贯二百八十五文至输所七百十
　九里信乡力九千三百四十五贯一百六十六文至
　输所八百四里欲知以物力多寡道里远近均运之
　令费劳等各合科夫几何
　　答曰甲州上县差二千四百三十夫中县差三千
　　　　三十七夫下县差四千二百六夫　乙军郭
　　　　县仁乡七百一十三夫义乡五百八十九夫

　　　礼乡五百三十八夫智乡四百四十一夫信乡
　　　四十六夫
　术曰以均输求之置各县及乡力皆如里而一不尽
　者约之复通分内子互乘之或就母迁退之各得变
　力可约约之为定力副并为法以合起夫遍乘未并
　定力各得为实并如前法而一各得夫其馀分辈之
　草曰置甲州三县及乙军五乡物力里数作八行列
　之具图于后