以高乘阔折半必得三角形之积(一卷/五则)于杂线形内
　减去三角积所馀非弧矢积而何故法以半径乘背
　离径乘弦相减折半得积也(相减而后折半与各折/半而后相减得数同)
　　十八则
弧矢形以积矢弦及离径求背
　设弧矢田积六十一步四分六釐一毫有奇矢五步
　　　　　　　弦一十七步三分二釐有奇离径五
　　　　　　　步求背法曰置积倍之(得一百二十/二步九分二)
　　　　　　　(釐三毫/有奇)另置弦以离径乘之(得八十/六步六)

　　　　　　　(分有/奇)两数并(得二百零九步五/分二釐三毫有奇)以矢

　并离径(共十/步)除之得二十步零九分五釐二毫有奇
　即所求
　解曰即前则求积法反用之
　　十九则
弧矢形以矢弦求馀径(求全径离/径半径附)
　设弧矢田矢五步弦一十七步三分二釐有奇求馀
　径法曰置弦折半(得八步六分/六釐有奇)自乘(得七十/五步)以矢除
　之得一十五步即所求

　解曰甲乙丙弧矢形丙丁为矢丁戊为离径丁己为
　　　　　　　　　　　　　　馀径自圆心戊作
　　　　　　　　　　　　　　戊乙线成丁戊乙
　　　　　　　　　　　　　　勾股形丁乙半弦
　　　　　　　　　　　　　　为股丁戊离径为
　　　　　　　　　　　　　　勾戊乙半径为弦
　　　　　　　　　　　　　　另作辛卯形为丁
　戊勾上方形庚壬形为戊乙弦上方形夫庚壬之大
　于辛卯者为癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于

　乙丁股上方形何也弦上方形与勾股上两方形并

　等故也(六卷/一则)若移子于寅则成癸丑寅直形必以勾
　弦较为阔勾弦和为长今戊乙弦等于戊丙戊丙之
　大于丁戊勾者为丙丁是丙丁矢即勾弦较也故以
　矢除丁乙半弦(弧矢形/之弦)自乘之积即得勾弦和又乙
　戊弦(勾股形/之弦)既半径必与戊己等戊己合丁戊非丁
　己馀径而何○求得馀径加矢即全径减矢折半即
　离径加矢折半即半径
　　二十则

弧矢形以矢径求弦
　设弧矢田矢五步径二十步求弦法曰以矢减径(馀/一)
　(十五/步)以矢乘之(得七十/五步)平方开之(得八步六分/六釐有奇)倍之
　得一十七步三分二釐有奇即所求
　解曰依前解矢与馀径相乘之数即半弦自乘之数
　故平方开之得半弦倍之得全弦也
　　二十一则
弧矢形以离径半径求弦
　设弧矢田半径十步离径五步求弦法曰置半径离

　径各自乘(半径得一百步离/径得二十五步)两数相减(馀七十/五步)平方

　　　　　　　开之(得八步六分/六釐有奇)倍之得一十七步
　　　　　　　三分二釐有奇即所求
　　　　　　　解曰半径乙戊为弦(勾股形/之弦)离径丁
　　　　　　　戊为勾求得乙丁股即半弦也(弧矢/形之)
　(弦/)故倍之得全弦
　　二十二则
弧矢形以弦及馀径求矢
　设弧矢田弦一十七步三分二釐有奇馀径一十五

　步求矢法曰置弦折半(得八步六分/六釐有奇)自乘(得七十/五步)以
　馀径除之得五步即所求
　解曰依十九则解半弦自乘之数即矢偕馀径相乘
　之数故以馀径除之得矢
　　二十三则
弧矢形以弦及全径求矢
　设弧矢田弦一十七步三分二釐有奇全径二十步
　求矢法曰置弦径各自乘(弦得三百步/径得四百步)两数相减(馀/一)
　(百/步)平方开之(得十/步)以减全径(馀十/步)折半得五步即所

　求

　解曰全径上方形当矢偕馀径矩内形四及矢与馀
　径之较线上方形一(一卷十/三则)全弦上方形当半弦上
　方形四又半弦上方形与矢偕馀径矩内形等(本卷/十九)
　(则/)于全径上方积内减去全弦上方积即减去矢偕
　馀径矩内积四也则所馀必矢与馀径之较线上方
　积平方开之即得矢与馀径之较线故以之减径折
　半得矢也
　　二十四则

弧矢形以半弦半径求矢
　设弧矢田半弦八步六分六釐有奇半径十步求矢
　法曰置半弦半径各自乘(半弦得七十五步/半径得一百步)两数相
　　　　　　　减(馀二十/五步)平方开之(得五/步)以减半径
　　　　　　　得五步即所求
　　　　　　　解曰半弦丁乙为股戊乙半径为弦
　　　　　　　求得丁戊勾即离径也故以之减半
　径得矢
　　二十五则

弧矢形以半弦及离径求矢

　设弧矢田半弦八步六分六釐有奇离径五步求矢
　法曰置半弦离径各自乘(半弦得七十五步/离径得二十五步)两数并
　(得一/百步)平方开之(得十/步)减去离径得五步即所求
　解曰半弦丁乙(图同/前则)为股离径丁戊为勾求得乙戊
　弦即径也故减去离径得矢
　　二十六则
弧矢形以半径半弦较及半弦离径较求矢与弦
　设弧矢田半径多半弦一步三分四釐弱半弦多离

　径三步六分六釐强求矢及弦法曰并两数(共五/步)以
　半径多半弦之数乘之(得六步/七分)倍之(得一十三/步四分)平方
　开之(得三步六/分六釐)以加半径多半弦之数得五步即离
　径再加半弦多离径之数得八步六分六釐即半弦
　再加半径多半弦之数得十步即半径半径减去离
　径馀五步即矢
　解曰戊乙半径(图同二/十四则)多于丁乙半弦之数即股弦
　较丁乙半弦多于丁戊离径之数即勾股较勾股较
　并股弦较即勾弦较此即勾弦较股弦较求勾股弦

　法也(六卷二/十则)

　　二十七则
旧弧矢法以矢弦求积
　设弧矢田矢十步弦二十步求积法曰置矢弦相并
　(共三/十步)折半(得一十/五步)以矢乘之得一百五十步即所求
　解曰旧说圆径一周三甲乙丙丁圆径二十步周六
　　　　　　　十步甲乙丙弧矢形为全圆之半其
　　　　　　　背为全周之半必三十步法以矢弦
　　　　　　　相并即与弧背等折半以矢乘之犹

　　　　　　　圆法以半径乘周折半得积之义也
　(本卷/三则)以旧法论全圆得积三百步而半圆之弧得积
　一百五十步与围三径一之数吻合无差过此以往
　其矢渐短弧形渐细其差渐多甚至百步之积有差
　至二十馀步者即如十七则弧矢田弦一十七步三
　分二釐有奇矢五步依旧法求之止得积五十五步
　八分较前法所求之积则少五步六分六釐有奇前
　法虽密于旧法然必背矢弦皆具方可起算旧法有
　矢有弦即可得积故并存之

　　二十八则

旧弧矢法以积矢求弦
　设弧矢田积五十五步八分矢五步求弦法曰置积
　倍之(得一百分十/一步六)以矢除之(得二十二步/三分二釐)减去矢馀
　　　　　　　一十七步三分二釐即所求
　　　　　　　解曰旧法以矢乘半弦半矢得弧矢
　　　　　　　积若以矢除弧矢积必仍得半弦半
　　　　　　　矢以矢除弧矢积既得半弦半矢以
　矢除弧矢之倍积不得一弦一矢乎一弦一矢内减

　去一矢所馀非弦而何
　　二十九则
旧弧矢法以积弦求矢
　设弧矢田积五十五步八分弦一十七步三分二釐
　求矢法曰置积八因之(得四百四十/六步四分)另置弦自乘(得/二)
　　　　　　　(百九十九步九分/八釐二毫四丝)两数并(共七百四/十六步三)
　　　　　　　(分八釐二/毫四丝)平方开之(得二十七步/三分二釐)减
　　　　　　　去弦(馀十/步)折半得五步即所求
　　　　　　　解曰甲丁方形边与一弦二矢等甲

　　　　　　　戊乙己丁庚丙辛各与矢等其戊己

　等四直形即矢偕一弦一矢矩内形壬子即弦上方
　形也又弧矢形以矢乘半弦半矢得积(本卷二/十七则)而当
　一直形之半则四直形必当八弧矢积矣是一弦二
　矢上方形与弦上方积一及弧矢积八并等反之则
　弦上方积一及弧矢积八并为一方其边必一弦二
　矢也法并两数以平方开之所得即一弦二矢之度
　故减弦折半得矢也○旧弧矢法弦背积及径辗转
　相求共三百二十六法实亦不出十七则以下十法

　之外其不能该者止以上三法耳故存之
　　三十则
增弧矢法以矢弦求积
　设甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙弦一十七步三
　分二釐有奇求积法曰有矢与弦可得丁壬馀径馀
　径加矢可得丙壬全径(本卷十/九则)甲己与丙壬等即以
　　　　　　　甲己为弦甲乙为股求乙巳勾得十
　　　　　　　步(六卷/三则)为乙巳庚馀弧之弦又将乙
　　　　　　　己折半得巳辛复为勾戊巳半径为

　　　　　　　弦求戊辛股以减半径(戊庚与/戊巳等)馀庚

　辛一步三分四釐为乙己庚馀弧之矢另求甲己径
　上半圆积(得一百五十七步一分四/釐二毫八丝○本卷三则)次求甲乙己勾
　股积(得八十六步六/分○一卷四则)与半圆积相减(馀七十步零五/分四釐二毫八)
　(丝/)为甲乙丙与乙己庚两弧之共积置为实两弧各
　以三弦一矢相并以矢乘之(甲乙丙弧得二百八十/四步八分乙己庚弧得)
　(四十一步九分/九釐五毫六丝)以甲乙丙弧数乘实(得二万零九十/步零五分八釐)
　(九毫四/丝四忽)并两弧数(共三百二十六步七/分九釐五毫六丝)除之得六十
　一步四分七釐七毫五丝有奇即所求

　解曰此借两弧三弦一矢以矢乘之之数为比例以
　分共积也此法较旧法为密然大弧既盈则小弧必
　朒较十七则未免有千一之差如必欲得弧积真数
　密量弧背从十七则可也
　　三十一则
圆截圆
　　　　　　　设圆田径二十一步依外周截积三
　　　　　　　百三十六步八分七釐五毫求馀圆
　　　　　　　径法曰置径自乘(得四百四/十一步)另置截

　　　　　　　积以十四乘之(得四千七百一十/六步二分五釐)十

　一除之(得四百二十八/步七分五釐)两数相减(馀一十二步/二分五釐)平方
　开之得三步五分即所求
　解曰此与方环截积同(一卷五/十六则)
　　三十二则
圆截弧矢(旧/法)
　　　　　　　设圆田径一十三步截弧矢积三十
　　　　　　　二步求矢法曰置截积自乘(得一千/零二十)
　　　　　　　(四/步)为实用商法商矢四步即以所商

　　　　　　　之矢乘截积(得一百二/十八步)为上廉另以
　矢每步加负隅二分五釐(得五/步)与径相减馀八步为
　馀径又以所商之矢自乘(得一十/六步)以乘馀径(得一百/二十八)
　(步/)为下廉并两廉(共二百五/十六步)为法除实得四步即所
　求
　解曰弧矢之积元以矢乘半弦半矢而得(本卷二/十七则)若
　以半弦半矢相并除积必得矢法置截积自乘是倍
　截积为三十二若以三十二半弦与三十二半矢并
　除倍积必亦得矢法以矢乘截积得三十二全矢是

　多三十二半矢少三十二半弦若以半弦大于半矢

　　　　　　　之数三十二倍之与三十二全矢并
　　　　　　　即与三十二半弦三十二半矢相并
　　　　　　　之数同今无半弦数须以矢乘馀径
　　　　　　　以为半弦自乘之方(本卷十/九则)如甲乙
　方形甲己为半弦甲丁为半矢丁己为半矢弦较(即/半)
　(弦大于半/矢之度)则丁己乙戊直形必半矢弦较以半弦为
　倍数者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁则庚丙戊
　辛直形必半矢弦较以半矢为倍数者也两直形并

　再以矢乘之必半矢弦较以截积三十二为倍数者
　也何也弧矢之积元以矢乘半弦半矢而得故也甲
　乙大方形减去丁己乙戊与庚丙戊辛两直形馀甲
　丙小方形为甲丁半矢之幂法所谓负隅也负隅既
　为半矢之幂必为全矢幂四分之一故法以二分五
　釐为负隅也法用矢自乘以乘馀径与用矢乘馀径
　再以矢乘之得数同也○按元注云所得之矢过于
　所商之矢为约矢太短不及所商之矢为约矢太长
　宜更商之商约之法既无一定惟以意斟酌之若整

　齐之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商

　不能得者古人于此条实无善法姑以此考验所商
　之合否耳若止欲考验所商之合否又何如以所商
　之矢求半弦(本卷二/十则)再加半矢以矢乘之(本卷二/十七则)合
　积为准过积为约矢太长不及积为约矢太短不较
　捷乎
　　三十三则
弧矢截杂线三角形
　设半圆弧矢田弦二十步自心截杂线三角形背长

　一十步零四分七釐六毫一丝六忽求截积法曰置
　　　　　　　截背以弦折半(得十/步)乘之(得一百零/四步七分)
　　　　　　　(六釐一/毫六丝)折半得五十二步三分八釐
　　　　　　　零八丝即所求
　　　　　　　解曰杂线三角形为圆之分形故求
　积之法同圆(本卷/三则)
　　三十四则
方内减圆以馀积求圆积
　设方田减去内切圆田四隅馀积一百六十八步求

　圆积法曰置积为实以圆法十一乘之(得一千八百/四十八步)

　　　　　　　以圆法十一与方法十四相减馀三
　　　　　　　为法除之得六百一十六步即所求
　　　　　　　解曰圆既为方十四分之十一则方
　　　　　　　内减圆之馀积必为方十四分之三
　圆十一分之三矣故十一乘三归得圆积也
　　三十五则
方内减圆以馀积求方积(求方边/圆径附)
　设方田减去内切圆田四隅馀积一百六十八步求

　方积法曰置积为实以十四乘之(得二千三百/五十二步)以圆
　法十一与方法十四相减馀三为法归之得七百八
　十四步即所求
　解同前○置方积平方开之即方边亦即圆径
　　三十六则
圆内减方以馀积求方积(求方边/圆径附)
　　　　　　　设圆田减去内切方田馀积二百二
　　　　　　　十四步求方积法曰置积为实以七
　　　　　　　乘之(得一千五百/六十八步)以七与圆法十一

　　　　　　　相减馀四为法归之得三百九十二

　步即所求
　解曰内切方形之弦与外切方形之边等则内切方
　形必倍小于外切方形而若七之与十四夫圆既为
　外方十四分之十一而内方不为圆十一分之七乎
　圆内减方之馀积为圆十一分之四即为内方七分
　之四故七乘四除得内切方积也○置方积平方开
　之即得方边倍方积平方开之即得圆径
　　三十七则

圆内减方以馀积求圆积
　设圆田减去内切方田馀积二百二十四步求圆积
　法曰置积为实以圆法十一乘之(得二千四百/六十四步)以圆
　法十一与七相减馀四为法归之得六百一十六步
　即所求
　解同前
　　三十八则
方内减不相切之圆以馀积求方边及圆径
　设方田内减圆田方边至圆周五步馀积一千七百

　二十五步求方边及圆径法曰置五步自乘(得二十/五步)

　以三因之(得七十/五步)与馀积并(共一千/八百步)另置五步以六
　因之(得三/十步)为纵方以平方带纵开之(得九十步则/一卷十三)减
　　　　　　　　　　去纵方馀六十步即方边再
　　　　　　　　　　减两边各五步(共十/步)馀五十
　　　　　　　　　　步即圆径
　　　　　　　　　　解曰依图分之成甲乙等方
　　　　　　　　　　形四子丑等直形八乾坎等
　杂线三角形四其甲乙等四形即方边至圆周五步

　自乘之方形也子丑等八形亦各以五步为阔其长
　　　　　　　　　　则圆之半径也乾坎等四形
　　　　　　　　　　为方减内切圆形之馀积以
　　　　　　　　　　方四圆三推之(旧法谓方内/容圆圆居方)
　　　　　　　　　　(四分/之三)四形并必当方四分之
　　　　　　　　　　一乾坎艮三形并必足以补
　　　　　　　　　　癸形之阙而与一小方二直
　　　　　　　　　　形一杂形并共凑成一坤震
　　　　　　　　　　方形矣次移甲于丁移乙于

　戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移卯于

　酉移辰于戌移巳于亥尚阙庚辛壬三形故法取方
　边至圆周之五步自乘以三因之加入积内也自壬
　至丁凡六形每形阔五步共计三十步故法取方边
　至圆周之五步以六因之为纵方也带纵开方法置
　积四因之纵方自乘两数并平方开之得长阔相和
　之度(即兑巽与/巽震并)减去纵方(即兑/坤)馀两阔(即坤巽与/巽震并)即
　方边方边之大于圆径者为两边之各五步故减之
　得圆径(本则及下则皆/用周三径一法)

　　三十九则
圆内减不相切之方以馀积求圆径及方弦
　设圆田内减方田圆周至方角一步馀积四十三步
　　　　　　　　　　求圆径及方弦法曰置一步
　　　　　　　　　　自乘(仍得/一步)以二因之(得二/步)与
　　　　　　　　　　馀积并(并四十/五步)另置一步以
　　　　　　　　　　四因之(得四/步)为纵方以平方
　　　　　　　　　　带纵开之(得一十/四步)减去纵方
　即圆径再减圆周至方角各一步(共二/步)馀八步即方

　弦

　解曰依内方角作一圆线此圆线偕外圆周必成一
　圆环形次依环阔改作方环圆环当方环四分之三
　　　　　　　　　　故止作方环之三隅即与圆
　　　　　　　　　　环等依图分之成甲乙丙三
　　　　　　　　　　方形丁戊己庚辛壬六直形
　　　　　　　　　　尚馀癸子丑寅四弧矢形为
　　　　　　　　　　圆减内切方形之馀积以圆
　　　　　　　　　　三方二推之(旧法谓圆内容/方方居圆三分)

　　　　　　　　　　(之/二)四弧矢形并当圆三分之
　一必当内方二分之一而卯癸辰方形亦当内方二
　分之一则四弧矢形必能补卯癸辰方形之阙而与
　辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣次移甲于巳
　移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于乾
　尚阙未申二形故法取圆周至方角一步自乘二因
　之补入积内也自巳至申凡四形每形阔一步共四
　步故取圆周至方角之一步四因之为纵方也以平
　方带纵开之得巽艮艮坎长阔相和之度减去纵方

　巽震馀震艮艮坎两阔即圆径圆径之大于方弦者

　为两边之各一步故减之得方弦
　　四十则
诸杂线形求积
　第一图可作一弧矢形而减一弧矢形第二图可作
　半弧矢形而减半弧矢形第三图可作两弧矢形第
　四图移甲丙实形补乙丁虚形成戊三角形又移己
　实形补庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑
　自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第

　五图甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移
　　　　　　　　　　　　　　　　　戊实形补
　　　　　　　　　　　　　　　　　己虚形庚
　　　　　　　　　　　　　　　　　亦成三角
　　　　　　　　　　　　　　　　　形癸借壬
　　　　　　　　　　　　　　　　　虚形亦成
　　　　　　　　　　　　　　　　　三角形(得/积)
　　　　　　　　　　　　　　　　　(减去壬/圆形)此
　　　　　　　　　　　　　　　　　一大形内

　成弧矢形二三角形五而减一圆形凡属杂线形者

　皆依五形例裁之
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　数学钥卷二