钦定四库全书
　皇朝文献通考卷二百五十七
　　象纬考(二/)
　　　两仪七政恒星总论
　　　(臣/)等谨按前史志天文者大抵详于七政恒星而
　　　于两仪则纪其变而弗纪其常我
　　朝作明史天文志以常象虽无古今之异而言天者
　　　后胜于前宜标其指要以为纲领爰先两仪次七

　　　政恒星伏惟
圣祖仁皇帝著历象考成一书综前古周髀宣夜浑天诸
　　　家之同异而折衷一是我
　皇上复以近时实测之数剖析源流著为后编盖皆循
　　　蜚疏仡以来三极彝训之所未有也兹敬录总论
　　　诸篇汇为一卷以识推步测验者之所据依焉
御制历象考成上编论天象
　虞书尧典曰钦若昊天历象日月星辰楚词天问曰圜

则九重孰营度之后世历家谓天有十二重非天实有
如许重数盖言日月星辰转运于天各有所行之道即
楚词所谓圜也欲明诸圜之理必详诸圜之动欲考诸
圜之动必以至静不动者准之然后得其盈缩盖天道
静专者也天行动直者也至静者自有一天与地相为
表里故群动者运于其间而不息若无至静者以验至
动则圣人亦无所成其能矣人恒在地面测天而七政
之行无不可得者正为以静验动故也十二重天最外

者为至静不动次为宗动南北极赤道所由分也次为
南北岁差次为东西岁差此二重天其动甚微历家姑
置之而不论焉次为三垣二十八宿经星行焉次为填
星所行次为岁星所行次为荧惑所行次则太阳所行
黄道是也次为太白所行次为星辰所行最内者则太
阴所行白道是也要以去地之远近而为诸天之内外
然所以知去地之远近者则又从诸曜之掩食及行度
之迟疾而得之盖凡为所掩食者必在上而掩之食之

者必在下月体能蔽日光而日为之食是日远月近之
徵也月能掩食五星而月与五星又能掩食恒星是五
星高于月而卑于恒星也五星又能互相掩食是五星
各有远近也又宗动天以浑灏之气挈诸天左旋其行
甚速故近宗动天者左旋速而右移之度迟渐远宗动
天则左旋较迟而右移之度转速今右移之度惟恒星
最迟土木次之火又次之日金水较速而月最速是又
以次而近之證也是故恒星与宗动相较而岁差生焉

太阳与恒星相会而岁实生焉黄道与赤道出入而节
气生焉太阳与太阴循环而朔望盈虚生焉黄道与白
道交错而薄蚀生焉五星与太阳离合而迟疾顺逆生
焉地心与诸圜之心不同而盈缩生焉历代专家多方
测量立法布算积久愈详已得其大体其间或有毫芒
之差诸说不无同异者盖因仪器仰测穹苍失之纤微
年久则著虽有圣人莫能预定惟立穷源竟委之法随
时实测取其精密附近之数折中用之每数十年而一

　修正斯为治历之通术而古圣钦若之道庶可复于今
　日矣
御制历象考成上编论地体
　欲明天道之流行先达地球之圆体日月星辰每日出
　入地平一次而天下大地必非同时出入居东方者先
　见居西方者后见东西相去万八千里则东方人见日
　为午正者西方人见日为卯正也周天三百六十度每
　度当地上二百里是故推验大地经纬度分皆与天应

　测纬度者用午正日晷或测南北二极测经度则必于
　月蚀取之盖月蚀与日蚀异日之食限分数随地不同
　月之食限分数天下皆同但入限有昼夜人有见不见
　耳此处食甚于子者处其东三十度必食甚于丑处其
　西三十度必食甚于亥是故相去九十度则此见食于
　子而彼见食于酉相去百八十度则此见食于子而彼
　当食于午虽食而不可见矣
御制历象考成上编论黄道赤道

　天包地外圜转不息南北两极为运行之枢纽地居天
　中体圆而静人环地面以居随其所至适见天体之半
　中华之地面近北故北极常见南极常隐平分两极之
　中横带天腰者为赤道赤道距天顶之度即北极出地
　之度也赤道以北为内为阴以南为外为阳斜交赤道
　而半出其南半出其北者为黄道乃太阳一岁所躔之
　轨迹也黄赤道相交之两界为春秋分距赤道南二十
　三度半为冬至距赤道北二十三度半为夏至七政所

　行之道纷然不齐惟恃黄赤二道以为推测之本盖太
　阳循黄道东行而出入于赤道之南北太阴与五星各
　循本道东行而又出入于黄道之南北故黄赤二道之
　位定则昼夜永短寒暑进退以及晦朔弦望薄蚀朏朒
　皆从此可稽矣
御制历象考成上编论经纬度
　恒星七政各有经纬度盖天周弧线纵横交加即如布
　帛之经纬然故以东西为经南北为纬然有在天之经

纬有随地之经纬在天则为赤道为黄道随地则为地
平赤道均分三百六十度平分之为半周各一百八十
度四分之为象限各九十度六分之为纪限各六十度
十二分之为宫为时各三十度是为赤经从经度出弧
线与赤道十字相交各引长之会于南北极皆成全圜
亦分为三百六十度两极相距各一百八十度两极距
赤道俱九十度是为赤纬依纬度作圜与赤道平行名
距等圈此圈大小不一距赤道近则大距赤道远则小

其度亦三百六十俱与赤道之度相应也赤道之用有
动有静动者随天左旋与黄道相交日躔之南北于是
乎限静者太虚之位亘古不移昼夜之时刻于是乎纪
焉黄道之宫度并如赤道其与赤道相交之两点为春
秋分相距皆半周平分两交之中为冬夏至距两交各
一象限六分象限为节气各十五度是为黄经从经度
出弧线与黄道十字相交各引长之周于天体即成全
圜其各圜相凑之处不在赤道之南北两极而别有其

枢心是为黄极黄极之距赤极即两道相距之度其距
黄道亦皆九十度是为黄纬而月与五星出入黄道之
南北者悉于是而辨焉故凡南北圈过赤道极者必与
赤道成直角而不能与黄道成直角其过黄道极者亦
必与黄道成直角而不能与赤道成直角惟过黄赤两
极之圈其过黄赤道也必当冬夏二至之度所以并成
直角名为极至交圈又若赤道度为主而以黄道度准
之则互形大小何也浑圆之体当腰之度最宽渐近两

端则渐狭(距等圈/之度也)二至时黄道以腰度当赤道距等圈
之度故黄道一度当赤道一度有馀二分时两道虽皆
腰度然赤道平而黄道斜故黄道一度当赤道一度不
足也此所谓同升之差而七政升降之斜正伏见之先
后皆由是而推焉至于地平经纬则以各人所居之天
顶为极盖人所居之地不同故天顶各异而经纬从而
变也地在天中体圆而小随人所立凡目力所极适得
大圆之一半则地虽圆而与平体无异故谓之地平乃

　诸曜出没之界昼夜晦明之交也地平亦分三百六十
　度四分之为四方(子午/卯酉)各相距九十度二十四分之为
　二十四向各十五度是为地平经从经度出弧线上会
　于天顶并皆九十度(从地平下至天顶/之冲亦九十度)是为地平纬又
　名高弧高弧从地平正午上会天顶者其全圈必过赤
　道南北两极名为子午圈乃诸曜出入地平适中之界
　而北极之高下晷影之长短中星之推移皆由是而测
　焉是故经纬相求黄赤互变因黄赤而求地平或因地

　平而求黄赤乃历象之要务推测之所取准也
御制历象考成上编论七政宿度
　日月五星皆有宿度古以十二宫定于二十八宿故宿
　度逐岁不同者经度亦因而不同今以二十八宿历于
　十二宫故宿度逐岁有差而经度终古不变其法以岁
　差五十一秒按岁积之与各宿第一星黄道经度相加
　为本年黄道宿钤乃于七政黄道经度内减去相当黄
　道宿度馀即七政黄道宿度盖七政恒星皆宗黄道故

　宿度亦以黄道推也至于日月交食则并用赤道宿因
　其关于天行最著故于推算独详然各宿赤道经纬度
　逐岁不同须按推恒星赤道经度法求得本年各宿第
　一星赤道经度为本年赤道宿钤乃于太阳太阴赤道
　经度内减去相当赤道宿度馀即太阳太阴赤道宿度
御制历象考成上编论北极高度
　北极为天之枢纽居其所而不移其出地有高下者因
　人所居之地南北之不同也是故寒暑之进退昼夜之

　永短因之而各异焉盖历法以日躔出入赤道之度定
　诸节气而北极出地之度即赤道距天顶之度倘推测
　不精高度差至一分则春秋分必差一时而冬夏至必
　差一二日日躔既差则月离五星之经纬无不谬矣故
　测北极出地之高下最宜精密不容或略也
御制历象考成上编论地半径差
　凡求七曜出地之高度必用测量乃测量所得之数与
　推步所得之数往往不合盖推步所得者七曜距地心

　之高度而测量所得者七曜距地面之高度也距地心
　之高度为真高距地面之高度为视高人在地面不在
　地心故视高必小于真高以有地半径之差也(或有大/于真高)
　(者则濆蒙/气所为也)盖七曜恒星虽皆丽于天而其高下又各不
　等惟恒星天为最高其距地最远地半径甚微故无视
　高真高之差若夫七曜诸天则皆有地半径差
御制历象考成上编论地影半径
　太阳照地而生地影太阴遇影而生薄蚀凡食分之浅

　深食时之久暂皆视地影半径之大小其所系固非轻
　也但地影半径之大小随时变易其故有二一缘太阳
　距地有远近距地远者影巨而长距地近者影细而短
　此由太阳而变易者也一缘地影为尖圆体近地粗而
　远地细太阴行最卑距地近则过影之粗处其径大行
　最高距地远则过影之细处其径小此由太阴而变易
　者也
御制历象考成上编论日月实径与地径

　日最大地次之月最小新法历书载日径为地径之五
　倍有馀月径为地径之百分之二十七强今依其法用
　日月高卑两限各数推之所得实径之数日径为地径
　之五倍又百分之七月径为地径之百分之二十七弱
　皆与旧数大制相符足徵其说之有据而非诬也
御制历象考成上编论清蒙气差
　清蒙气差从古未闻明万历间西人第谷始发之其言
　曰清蒙气者地中游气时时上腾其质轻微不能隔碍

　人目却能映小为大升卑为高故日月在地平上比于
　中天则大星座在地平上比于中天则广此映小为大
　也定望时地在日月之间人在地面无两见之理而恒
　得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚
　见月食于西此升卑为高也又曰清蒙之气有厚薄有
　高下气盛则厚而高气微则薄而下而升像之高下亦
　因之而殊其所以有厚薄有高下者地势殊也若海或
　江湖水气多则清蒙气必厚且高也故欲定七政之纬

　宜先定本地之清蒙差第谷言其国北极出地五十五
　度有奇测得地平上最大之差三十四分自地平以上
　其差渐少至四十五度其差五秒更高则无差矣此即
　新法历书所用之表也近日西人又言于北极出地四
　十八度之地测得太阳高四十五度时蒙气差尚有一
　分馀自地平至天顶皆有蒙气差即此观之益见蒙气
　差之随地不同而第谷之言为不妄矣
御制历象考成上编论曚影刻分

　曚影者古所谓晨昏分也太阳未出之先已入之后距
　地平一十八度皆有光故以一十八度为曚影限然北
　极出地有高下太阳距赤道有南北故曚影刻分随时
　随地不同其随时不同者二分之刻分少二至之刻分
　多也随地不同者愈北则刻分愈多愈南则刻分愈少
　也若夫北极出地五十度则夏至之夜半犹有光愈高
　则渐不夜矣南至赤道下则二分之刻分极少而二至
　之刻分相等赤道以南反是

御制历象考成上编论时差
　时差者平时与用时相较之时分也推步所得者为平
　时测量所得者为用时(用时即/视时也)二者常不相合其故有
　二一因太阳之实行而时刻为之进退盖以高卑为加
　减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长盖以分
　至为加减之限也新法历书合二者以立表名曰日差
　然高卑每年有行分则宫度引数必不能相同若合立
　一表岁久即不可用今仍分作二表加减两次庶于法

　为密也
御制历象考成上编论岁差
　岁差者太阳每岁与恒星相距之分也如今年冬至太
　阳躔某宿度至明年冬至时不能复躔原宿度而有不
　及之分但其差甚微古人初未之觉至晋虞喜始知之
　因立岁差法历代治历者宗焉而所定之数各家不同
　喜以五十年差一度刘宋何承天以百年差一度祖冲
　之以四十五年差一度隋刘焯以七十五年差一度唐

　傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一
　度惟宋杨忠辅以六十七年差一度以周天三百六十
　度每度六十分每分六十秒约之得每年差五十二秒
　半元郭守敬因之较诸家为密今新法实测晷影验之
　中星得七十年有馀而差一度每年差五十一秒此所
　差之数在古法为冬至西移之度新法为恒星东行之
　度徵之天象恒星原有动移则新法之理长也
御制历象考成上编论历元

　治历者必有起算之端是谓历元其法有二一则远溯
　古初冬至七曜齐元之日为元自汉太初以来诸历所
　用之积年是也一则截算为元若元授时历以至元辛
　巳天正冬至为元今时宪历以崇祯元年戊辰天正冬
　至为元是也二者虽同为起算之端然积年实不如截
　算之简易也夫所谓七曜齐元者乃溯上古冬至之时
　岁月日时皆会甲子日月如合璧五星如联珠是以为
　造历之元使果有此虽万世遵用可矣而廿一史所载

　诸家历元无一同者是其所用积年之久近皆非有所
　承受但以巧算取之而已当其立法之初亦必有所验
　于近测遂援之以立术于是溯而上之至于数千万年
　之远庶几各曜之躔次可以齐同然既欲其上合历元
　又欲其不违近测奇零分秒之数决不能齐势不能不
　稍为迁就以求其巧合其始也据近测以求积年其既
　也且将因积年而改近测矣杜预云治历者当顺天以
　求合不当为合以验天积年之法是为合以验天也安

　得为立法之尽善乎若夫截算之法不用积年虚率而
　一以实测为凭诚为顺天求合之道治历者所当取法
　也
御制历象考成上编论太阳行度
　太阳行天每岁一周万古不忒宜其每日平行而无有
　盈缩乃徵之实测则春分至秋分行天半周而历日多
　秋分至春分行天半周而历日少其在本天所行之度
　原均而人居地上所见时日不同今即其不平行之数

求其所以然之故则惟有本天高卑之说能尽之本天
高卑之法有二一为不同心天盖天包地外以地为心
太阳本天亦包乎地外而不以地为心因其有两心之
差而高卑判焉自春分历夏至以至秋分太阳行本天
之大半周故历日多而自地心立算止行黄道之半周
故为行缩自秋分历冬至以至春分太阳行本天之小
半周故历日少而自地心立算亦行黄道之半周故为
行盈夫日在本天原自平行因自地心立算而不以太

阳本天心立算遂有高卑盈缩之异故高卑为盈缩之
原而两心之差又高卑之所由生也一为本轮盖本天
与地同心而本天之周又有一本轮本轮心循本天周
向东而行日在本轮之周向西而行两行之度相等太
阳在本轮之下半周去地近为卑则顺轮心行故见其
速于平行在本轮之上半周去地远为高则背轮心行
故见其迟于半行在本轮之左右去地不远不近为高
卑适中故名中距其行与半行等本轮循本天东行为

平行度太阳循本轮西行由下而左而上而右而复于
下为自行度如太阳在本轮之下去地心最近是为最
卑太阳在本轮之上去地心最远是为最高最高最卑
之点皆对本轮心与地心成一直线其平行实行同度
故为盈缩起算之端如太阳由本轮下向左顺轮心行
能益东行之度故较平行度为盈至半象限后所益渐
少迨轮心行一象限太阳亦行轮周一象限即无所益
而复于平行是为中距然而积盈之多正在中距盖从

地心立算为盈差之极大也从中距而后太阳行本轮
之上半周背轮心行故实行渐缩然因有积盈之度方
以次渐消其实行仍在平行前迨行满一象限至最高
为极缩而积盈之度始消尽无馀其实行与平行乃合
为一线故自最卑至最高半周俱为盈也如太阳由本
轮上向右背轮心行能损东行之度故较平行度为缩
至半象限后所损渐少迨轮心行一象限太阳亦行轮
周一象限即无所损而复于平行是为中距然而积缩

　之多亦在中距盖从地心立算为缩差之极大也从中
　距而后太阳行本轮之下半周顺轮心行故实行渐盈
　然因有积缩之度方以次相补其实行仍在平行后迨
　行满一象限至最卑为极盈而积缩之度始补足无缺
　其实行与平行乃合为一线故自最高至最卑半周俱
　为缩也求得两心之差而本轮之径自见明于本轮之
　故而盈缩之理益彰其理相通其用相辅可以参稽而
　互證也

御制历象考成上编论太阴行度
　太阴行度有九而随天西转之行不与焉一曰平行盖
　太阴之本天带一本轮本轮心循本天自西而东每日
　平行一十三度有奇二十七日有馀而行天一周即白
　道经度也二曰自行盖本轮心循白道行自西而东(即/平)
　(行经/度)太阴复依本轮周行自东而西每日亦行一十三
　度有奇微不及本轮心行而与本轮心之行顺逆参错
　人目视之遂生迟疾故名自行以别之授时历名为转

周满一周为转终其所生之迟疾差名为初均数也三
曰均轮行西人第谷言用一本轮以齐太阴之行往往
与实测未合因将本轮半径三分之存其二分为本轮
半径用其一分为均轮半径均轮循本轮周行自东而
西(即自行/转周度)太阴复依均轮周行自西而东每日行二十
六度有奇为轮心行之倍度(均轮心行一度月/行均轮周二度也)其所生
之迟疾差即今所用之初均数也四曰次轮行盖用本
轮均轮推得迟疾之最大差为四度有奇于朔望时测

之其数恰合而于上下弦时测之则不合其大差至七
度有奇故又于均轮之周复设一轮循均轮周行命为
次轮次轮心自西而东太阴复依次轮周亦自西而东
每日行二十四度有奇为本轮心距太阳行之倍度(本/轮)
(心距太阳行一度/月行次轮周二度)名为倍离倍离所生之迟疾差名为
次均数也五曰次均轮行盖有初均次均以步朔望以
定两弦则既合矣而于两弦前后测之又多不合爰思
次轮之上必更有一轮以消息乎次均之数今命之曰

次均轮其心循次轮周自西而东行倍离之度而太阴
则循此轮之周自东而西亦行倍离之度用其所生之
差以加减次均数即与太阴两弦前后所行恰合也六
曰交行盖太阴行白道出入于黄道之内外大距五度
有奇其自黄道南过黄道北之点名曰正交(即如春分/自赤道南)
(过赤/道北)自黄道北过黄道南之点名曰中交(即如秋分自/赤道北过赤)
(道/南)每交之中不能复依原次而不及一度有馀逐日计
之退行三分有馀命为两交左旋之度(自东而/西也)亦名罗

计行度也(正交曰罗㬋/中交曰计都)七曰最高行最高者本轮之上
半最远地心之处而最高行者平行与自行相较之分
也均轮心从最高左旋微不及于平行每日六分有奇
即命为最高左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行
于每日平行度内减去太阳之行为每日太阴距太阳
行二十九日有奇而复与日会是为朔策九曰距交行
以每日平行度与每日交行相加得每日太阴距交度
二十七日有奇而行交一周名为交周也

太阴行度用四轮推之而四轮之法皆系实测而得非
意设也西人第谷以前步月离惟用本轮次轮盖因朔
望之行有迟疾故知其有本轮而两弦之行不同于朔
望故知其有次轮其法次轮与本轮两周相切太阴行
于次轮之上朔望时太阴正当两周相切之点故云朔
望时太阴循本轮周行而两弦时太阴则从两周相切
之点行次轮半周距本轮心最远故次轮全径为两弦
时大于朔望时平行实行之极大差第谷遵其法用之

因不能密合太阴之行故于本轮上复加一均轮且因
两弦前后之行又不同于两弦故又加一次均轮盖用
本轮推朔望时平行实行之极大差为本轮半径得四
度五十八分有馀而徵之实测惟自行三宫九宫初度
之一点为合在最高前后两象限则失之小在最卑前
后两象限则失之大故第谷将本轮半径三分之存其
二分为本轮半径取其一分为均轮半径用求平行实
行之差为初均数乃密合于天至于两弦时平行实行

　之极大差七度二十五分有馀虽为新本轮半径并均
　轮半径仍加次轮全径之数然即旧本轮半径与次轮
　全径相并之数也其次均轮行于次轮即如初均轮之
　行于本轮但所行之度不同耳(初均轮行为引数之度/次均轮行为倍离之度)
　要之本轮者推本天之高卑均轮者所以消息本轮之
　行度次轮者定朔望两弦之远近次均轮者又所以分
　别朔望两弦前后之加减故本轮行度合初均轮之倍
　引而生初均数分高卑左右而为朔望之加减差也次

　轮行度合次均轮之倍离而生二三均数分远近上下
　而为两弦及两弦前后之加减差也是故非验诸实测
　无以知四轮之妙而明于四轮之用则于太阴迟疾之
　故思过半矣
御制历象考成上编论朔望有平实之殊
　日月相会为朔相对为望而朔望又有平实之殊平朔
　望者日月之平行度相会相对也实朔望者日月之实
　行度相会相对也故平朔望与实朔望相距之时刻以

　两实行相距之度为准盖两实行相距之度以两均数
　相加减而得而两朔望相距之时刻则以两实行相距
　之度变为时刻以加减平朔望而得实朔望故两实行
　相距无定度则两朔望相距亦无定时也
御制历象考成上编论晦朔弦望
　太阴之晦朔弦望虽无关于自行之迟疾而自行之迟
　疾实由于朔望两弦而得知其二十七日有奇而一周
　者太阴之自行也其二十九日半强而与太阳相会者

　朔策也其间犹有望与上下两弦之分焉盖太阴之体
　赖太阳而生光其向太阳之面恒明背太阳之面恒晦
　而其行则甚速于太阳当其与太阳相会之时人在地
　上正见其背故谓之朔朔后渐远太阳人可渐见其面
　其光渐长至距朔七日有奇其距太阳九十度人可见
　其半面太阳在后太阴在前其光向西其魄向东故名
　上弦上弦以后距太阳愈远其光渐满至一百八十度
　正与太阳相望人居其间正见其面故谓之望自望以

　后又渐近太阳人不能正见其面其光渐亏其魄渐生
　至距望七日有奇其距太阳亦九十度则又止见其半
　面太阳在前太阴在后其光向东其魄向西故名下弦
　下弦以后距太阳愈近其光渐消至复与太阳相会其
　光全晦复为朔矣
御制历象考成上编论太阴隐见迟疾
　合朔之后恒以三日月见于西方故尚书注月之三日
　为哉生明然有朔后二日即见者更有晦日之晨月见

　东方朔日之夕月见西方者唐历家遂为进朔之法致
　日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故盖月之隐
　见迟疾固有一定之理可按数而推殆因乎天行由于
　地度无庸转移迁就也至于汉魏历家未明盈缩迟疾
　之差以平朔著历故有晦而月见西方朔而月见东方
　者此则推步之疏不可以隐见迟疾论也隐见之迟疾
　一因黄赤道之升降有斜正也盖春分前后各三宫(由/星)
　(纪至实/沈六宫)黄道斜升而正降月离此六宫则朔后疾见秋

分前后各三宫(由鹑首至/析木六宫)黄道正升而斜降月离此六
宫则朔后迟见如日躔降娄初度月离降娄一十五度
为正降日入时月在地平上高一十四度馀即可见盖
入地迟而见早也日躔寿星初度月离寿星一十五度
为斜降日入时月在地平上高六度馀即不可见盖入
地疾而见迟也若晦前月离正升六宫则隐迟斜升六
宫则隐早其理亦同一因月距黄纬有南北也盖月距
黄道北则朔后见早距黄道南则朔后见迟如日躔降

娄初度月离降娄一十五度而月距黄道北则月距地
平之度多入地迟而见早月距黄道南则月距地平之
度少入地疾而见迟也若晦前距黄道北则隐迟距黄
道南则隐早其理亦同一因月自行度有迟疾也盖月
自行迟则朔后见迟晦前隐迟自行疾则朔后见早晦
前隐早也夫月离正降宫度距日一十五度即可见以
每日平行一十二度有奇计之则朔后一日有馀即见
生明于西是故合朔如在甲日亥子之间月离正升宫

　度距黄道北而又行迟历则甲日太阳未出亦见东方
　月离正降宫度距黄道北而又行疾历则乙日太阳已
　入亦见西方矣
御制历象考成上编论恒星东行
　恒星行即古岁差也古谓恒星不动而黄道西移今谓
　黄道不动而恒星东行盖使恒星不动而黄道西移则
　恒星之黄道经纬度宜每岁不同赤道经纬度宜终古
　不变今测恒星之黄道经度每岁东行而纬度不变至

　于赤道经度则逐岁不同而纬度尤甚自星纪至鹑首
　六宫星在赤道南者纬度古多而今渐少在赤道北者
　纬度古少而今渐多自鹑首至星纪六宫星在赤道南
　者纬度古少而今渐多在赤道北者纬度古多而今渐
　少凡距赤道二十三度半以内之星在赤道北者皆可
　以过赤道南在赤道南者亦可以过赤道北则恒星循
　黄道东行而非黄道之西移明矣新法历书载西人第
　谷以前恒星东行之数或云百岁而行一度或云七十

　馀年而行一度或云六十馀年而行一度随时修改与
　古累改岁差之意同迨第谷定恒星每岁东行五十一
　秒约七十年有馀而行一度而元郭守敬所定亦为近
　之至今一百四十馀年验之于天虽无差忒但星行微
　渺必历多年其差乃见然则第谷所定之数亦未可泥
　为定准惟随时测验依天行以推其数可也
御制历象考成上编论测恒星
　恒星东行既依黄道则测定一年之黄道经纬度而逐

　年之黄道经纬度皆视此矣然欲测诸恒星必以一星
　作距而欲测黄道经纬度必以赤道经纬度为宗盖诸
　曜随天左旋惟赤极不动其经纬既与黄道相当又与
　地平相应时刻之早晚于是乎纪太阳之躔次于是乎
　辨非赤道则黄道无从而稽也其法择恒星之大者测
　其方中时刻及正午高弧乃以本时太阳赤道经度与
　太阳距午正赤道经度相加即星之赤道经度又以正
　午高弧与赤道高度相减即星之赤道纬度既得赤道

　经纬度则用弧三角法推得黄道经纬度既得一星之
　黄赤经纬度即以此一星作距或用黄道赤道诸仪测
　其相距之经纬或用地平象限诸仪测其偏度及高弧
　而诸星之黄赤经纬度皆可得矣要之测恒星之法先
　测一星为准而此星经度必取定于太阳倘于时刻差
　四分则于天行差一度故须参互考验方得密合或用
　太阴及太白比测者然皆有视差不如用太阳之确准
　也

御制历象考成上编论恒星出入地平
　恒星随宗动天东出西入旋转有常因节气有冬夏昼
　夜有永短人居有南北故所见恒星出入地平之时刻
　因时各异随地不同也夫逐时皆有出入地平之恒星
　逐星皆有出入地平之时刻可以测候而得亦可以推
　步而知其法用本地北极高度及本星赤道经纬度求
　得本星与赤道同出入地平之度乃与本时太阳赤道
　经度相减即得本星出入地平之时刻也

御制历象考成上编论弧三角形
　弧三角形者球面弧线所成也古历家有黄赤相准之
　率大约就浑仪度之仅得大概未能形诸算术惟元郭
　守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率视古为密但其
　法用三乘方取数甚难自西人利玛窦汤若望等翻译
　历书始有曲线三角形之法三弧度相交成三角形其
　三弧三角各有相应之八线弧与弧相交即线与线相
　遇而勾股比例生焉于是乎有黄道可以知赤道有赤

　道可以知黄道有经可以知纬有纬可以知经历象之
　法至此而备勾股之用至此而极矣
　正弧三角形必有一直角者盖因南北二极为赤道之
　　纽皆距赤道九十度故凡过南北二极经圈与赤道
　　交所成之角俱为直角其相当之弧皆九十度又凡
　有一圈即有两极其过两极经圈与本圈相交亦必为
　直角其所成三角形必皆为正弧三角形夫正弧三角
　形所知之三件弧角相对者用弧角之八线所成勾股

为比例而弧角不相对者则用次形盖以弧角之八线
所成勾股比例不生于本形而生于次形而次形者乃
以本形与象限相减之馀度所成故用本形之馀弦馀
切即用次形之正弦正切也其法可易弧为角易角为
弧(若斜弧三角形可易大形为小形/易大边为小边易钝角成锐角)边与角虽不相对
可易为相对且知三角即可以求边其理实一以贯之
也
弧三角之有斜弧形犹直线三角之有锐钝形也但直

线三角之锐钝形惟二种一种三角俱锐一种一钝两
锐而斜弧形则不然或三角俱锐或三角俱钝或两锐
一钝或两钝一锐其三边或俱大过于九十度或俱小
不及九十度或两大一小或两小一大参错成形为类
甚多而新法历书所载推算之法益复繁杂难稽盖三
角三边各有八线但线与线之比例相当即可相求是
故或同步一星或同推一数而所用之法彼此互异遂
使学者莫知所从兹约以三法求之无论角之锐钝边

之大小并视先所知之三件为断其一先知之三件有
相对之边角又有对所求之边角则用边角比例法其
一先知之三件有相对之边角而无对所求之边角(或/求)
(角而无对角之边或/求边而无对边之角)则用垂弧法其一先知之三件无
相对之边角(或三边求角或有两边一角而角在所知/两边之间或三角求边或有两角一边而)
(边在所知/两角之间)则用总较法明此三法则斜弧之用已备而
七政之升降出没经纬之纵横交加无不可推测而知
矣

　　(臣/)等谨按考成上编首论仪象次即详弧三角形
　　备列纲领条目图说及相求比例总较之法诚以
　　日躔月离日食月食五星恒星皆藉是以推步焉
　　兹录总论及分论正斜形各一篇其神明简易之
　　妙用可概见云
御制历象考成后编论岁实
　日行天一周为岁周岁之日分为岁实古法日行一
　度故周天为三百六十五度四分度之一岁实为三

　百六十五日四分日之一尧典曰期三百有六旬有
　六日杜预谓举全数而言则有六日其实五日四分
　日之一是也汉末刘洪始觉冬至后天以为岁实太
　强减岁馀分二千五百为二千四百六十二晋虞喜
　宋何承天祖冲之谓岁当有差乃损岁馀以益天周
　岁差之法由斯而立元郭守敬取刘宋大明戊寅以
　来相距之积日时刻求得岁实为三百六十五日二
　千四百二十五分比四分日之一减七十五分而天

　周即为三百六十五度二千五百七十五分矣西法
　周天三百六十度第谷定岁实为三百六十五日五
　时三刻三分四十五秒以周日一万分通之得三百
　六十五日二四二一八七五较之郭守敬又减万分
　之三有奇以除周天三百六十度得每日平行五十
　九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九
　芒(即十分度之九分八/五六四七三六五八)岁差则谓恒星每年东行五
　十一秒不特天自为天岁自为岁而星又自为星其

　理甚明后西人柰端等屡测岁实又谓第谷所减太
　过酌定岁实为三百六十五日五时三刻三分五十
　七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘
　以周日一万分通之得三百六十五日二四二三三
　四四二○一四一五比第谷所定多万分之一有奇
　以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八
　秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘
　(即十分度之九分八五六四六/九六九三五一二八二二五)比第谷所定少五纤

　有奇每年少三十微有奇盖岁实之分数增则日行
　之分数减据今表推雍正元年癸卯天正冬至比第
　谷旧表迟二刻日躔平行根比旧表少一分一十四
　秒而第谷去今一百四十馀年以数计之其差恰合
　是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之非
　意为增损也
御制历象考成后编论黄赤距纬
　黄赤距纬古今所测不同自汉以来皆谓黄道出入

　　赤道南北二十四度元郭守敬所测为二十三度九
　　十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之
　　得二十三度三十三分三十二秒第谷所测为二十
　　三度三十一分三十秒康熙五十二年
皇祖圣祖仁皇帝命和硕庄亲王等率同儒臣于畅春园
　　蒙养斋开局测太阳高度得黄赤大距为二十三度
　　二十九分三十秒今监臣戴进贤等历考西史第谷
　　所测盖在明隆万时而汉时多禄亩所测为二十三

　　度五十一分三十秒较第谷为多我朝顺治年间刻
　　白尔改为二十三度三十分后利酌理噶西尼又改
　　为二十三度二十九分俱较第谷为少其前后多少
　　之故或谓诸家所用蒙气差地半径差之数各有不
　　同故所定距纬亦异然合中西考之第谷以前未知
　　有蒙气差而多禄亩与古为近至郭守敬则与第谷
　　相若而去多禄亩则有十数分之多康熙年间所用
　　蒙气差地半径差俱仍第谷之旧与刻白尔噶西尼

　等所用之数不同而所测大距又相去不远由此观
　之则黄赤距度古今实有不同而非由于所用差数
　之异所当随时考测以合天也
御制历象考成后编论地半径差
　噶西尼等谓日天半径甚远无地半径差而测量所
　系只在秒微又有蒙气杂乎其内最为难定因思日
　月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相
　较可得其准而日星不能两见是测日不如测五星

　也土木二星在日上去地尤远地半径差愈微金水
　二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难
　测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火
　星正当子午线于南北两处测之同与一恒星相较
　其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即
　为有地半径差其不等之数即两处地半径差之较
　且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半
　径差必更小于火星地半径差也噶西尼用此法推

　得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例
　得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒
　验之交食果为吻合近日西法并宗其说今用所定
　地半径差求地半径与日天半径之比例中距为一
　与二万零六百二十六最高为一与二万零九百七
　十五最卑为一与二万零二百七十七以求地平上
　最大之地半径差最高为九秒五十微最卑为一十
　秒一十微

御制历象考成后编论日月实径
　从来算家谓日月之在天其实径原为一定之数而
　视径之大小则因距地有远近而时时不同然所谓
　实径者仍以视径之大小距地之远近比例而得今
　日月本天心之距地心数皆与旧不同则日月距地
　之远近亦因之而各异且视径之大小古今所测相
　差惟在分秒之间在器只争毫釐而在数已差千百
　则实径究亦未有一定之数也西法以日实径为地

　径之五倍有馀中距日天半径与地半径之比例为
　一与一千一百四十二月实径为地径百分之二十
　七强中距朔望时月天半径与地半径之比例为一
　与五十六又百分之七十二上编仍之以推最高日
　天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二
　最卑日天半径与地半径之比例为一与一千一百
　二十一最高朔望时月天半径与地半径之比例为
　一与五十八又百分之一十六最卑朔望时月天半

　径与地半径之比例为一与五十四又百分之八十
　四今监臣戴进贤等据西人近年所测日天半径与
　地半径之比例最高为一与二万零九百七十五中
　距为一与二万零六百二十六最卑为一与二万零
　二百七十七月天半径与地半径之比例最高为一
　与六十三又百分之七十七中距为一与五十九又
　百分之七十八最卑为一与五十五又百分之七十
　九又用远镜仪(西人默爵所制以/远镜加衡为窥管)测得日视径最高

　为三十一分四十秒中距为三十二分一十二秒最
　卑为三十二分四十五秒月视径最高为二十九分
　二十三秒中距为三十一分二十一秒最卑为三十
　三分三十六秒用此数推算日实径为地径之九十
　六倍又十分之六月实径为地径百分之二十七小
　馀二六强夫月实径与旧大致相符而日实径差至
　十九倍者盖今所测日距地数比旧原大十八倍馀
　则日实径比旧大十九倍止为大十八分之一故今

　之日视径亦比旧大十八分之一是则视径之大小
　固各得之实测要亦合诸推算以成一家之言至于
　日体纯阳其光恒溢于常径之外新法算书谓周围
　皆大一分今说谓大一十五秒故推日食之法必于
　并径内减去太阳光分一十五秒馀与视纬相较方
　为受食之分而日之本径则仍带光分算其理固应
　尔也
御制历象考成后编论日月影半径及影差

　日月两地半径差相并即与日半径影半径相并之
　数等而日月地半径差及日半径皆推交食所必用
　之数且又皆由距地之高卑远近而生故近日西法
　皆不用另求影半差惟以日月两地半径差相加内
　减去日半径馀即为实影半径以影差已在其中也
　此外又有视影之说盖以地上有蒙气差能映小为
　大则太阳实径必小于视径实径小则影大矣又月
　食时日在地下蒙气转蔽日光则地影视径必尤大

　于实径计其所大之分约为太阴地平径差六十九
　分之一故又以此为影差与实影半径相加为视影
　半径则所谓影差者名虽同而义实异也总之算家
　立说古今不必相同然测验皆期于合天而推步必
　归于有据旧说谓太阳有光分能侵地影使小今说
　谓地周有蒙气能障地影使大此亦极不同之致矣
　然最大影半径旧为四十六分四十八秒今为四十
　六分五十一秒相差不过三秒最小影半径旧为四

　十二分三十八秒今为三十八分二十八秒相差四
　分有馀盖地影之大小固由于太阳距地之远近及
　太阴距地之高卑而太阴所关为尤重最卑太阴距
　地今昔相差不过百分地半径之九十五最高太阴
　距地则相差至百分地半径之五百六十一夫月之
　距地既因两心差而不同则月径与影径遂亦因之
　而各异要皆据一时之所测设法推步以求合而非
　为臆说也

御制历象考成后编论清蒙气差
　监臣戴进贤等历考西史第谷所定地平上蒙气差
　其门人刻白尔即谓失之稍大而犹未定有确数至
　噶西尼始从而改正焉其说谓蒙气绕乎地球之周
　日月星照乎蒙气之外人在地面为蒙气所映必能
　视之使高而日月星之光线入乎蒙气之中必反折
　之使下故光线与视线在蒙气之内则合而为一蒙
　气之外则岐而为二此二线所交之角即为蒙气差

　角第谷已悟其理然犹未有算术噶西尼反覆精求
　谓视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自
　地心过所合处作线抵圜周则此线即为蒙气之割
　线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角
　相减即得蒙气差角爰在北极出地高四十四度处
　屡加精测得地平上最大差为三十二分一十九秒
　蒙气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线
　角与光线角正弦之比例常如一千万与一千万零

　二千八百四十一用是以推逐度之蒙气差至八十
　九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并
　宗之
御制历象考成后编论太阳行度
　钦若授时以日躔为首务盖日出而为昼入而为夜
　与月会而为朔行天一周而为岁岁月日皆于是乎
　纪故尧典以宾饯永短定治历之大经万世莫能易
　也其推步之法三代以上不可考汉晋诸家皆以日

　行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北
　齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯
　立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬
　乃分盈缩初末四限较前代为密西法自多禄亩以
　至第谷则立为本天高卑本轮均轮诸说用三角形
　推算近世西人刻白尔噶西尼等更相推考又以本
　天为撱圆均分其面积为平行度与旧法迥殊然以
　求盈缩之数则界乎本轮均轮所得数之间盖其法

　之巧合虽若与第谷不同而其理则犹是本天高卑
　之说也至若岁实之转增距纬与两心差之渐近地
　半径差蒙气差之互为大小则亦由于积候损益旧
　数以成一家之言今用其法
　太阳之行有盈缩由于本天有高卑春分至秋分行
　最高半周故行缩而历日多秋分至春分行最卑半
　周故行盈而历日少其说一为不同心天一为本轮
　而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽

　异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与
　实测合最高前后则失之小最卑前后则失之大又
　最高之高于本天半径最卑之卑于本天半径者非
　两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎
　其间而后高卑之数盈缩之行与当时实测相合然
　天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度
　四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得
　二度二十二分第谷所定之最大差为二度零三分

　一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止
　有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差
　最高前后本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前
　后本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱
　圆均分撱圆面积为逐日平行之度则高卑之理既
　与旧说无异而高卑前后盈缩之行乃俱与今测相
　符凡平圆面积自中心分之其所分面积之度即其
　心角之度以圜界为心角之规而半径俱相等也若

　撱圆有大小径角与积已不相应矣况实行之角平
　行之积皆不以本天心为心而以地心为心太阳距
　地心线自最卑以渐而长逐度俱不等又何以知积
　之为度而与角相较乎然以大小径之中率作平圆
　其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之则度分
　秒皆可按积而稽撱圆之全积既与平圆全积等则
　其递析之面积亦必相等故分撱圆面积虽非度亦
　可以度命之而度分秒亦可按积而稽也

御制历象考成后编论太阴行度
　上编言太阴行度有九其实均轮行自行度次轮次
　均轮皆行月距日倍度则行度止六而已自西人刻
　白尔创为撱圆之法专主不同心天而不同心天之
　两心差及太阴诸行又皆以日行与日天为消息计
　其行度一平均用日引度二平均最高均用日距月
　最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度初
　均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用

　月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距
　日度皆实测之数而要不离乎本天高卑中距四限
　与朔望两弦前后参互比较而得之
　太阴之行有迟疾由于本天有高卑其说一为不同
　心天一为本轮与太阳同自刻白尔创为撱圆之法
　专主不同心天而不同心天之两心差及最高行又
　随时不同惟日当月天中距时最大迟疾差为四度
　五十七分五十七秒两心差为四三三一九○倍差

　即为八十六万有奇与旧数相去不远若日当月天
　最高或当月天最卑则最大迟疾差为七度三十九
　分三十三秒两心差为六六七八二○日历月天高
　卑而后两心差渐小中距而后两心差渐大日距月
　天高卑前后四十五度两心差适中又日当月天高
　卑时最高之行常速至高卑后四十五度而止日当
　月天中距时最高之行常迟至中距后四十五度而
　止与日月之盈缩迟疾相似而周转之数倍之是则

　太阴本天之心必更有一均轮以消息乎两心差及
　最高行之数因以地心为心以两心差最大最小两
　数相加折半得五五○五○五为最高本轮半径相
　减折半得一一七三一五为最高均轮半径均轮心
　循本轮周右旋行最高平行度本天心循均轮周右
　旋行日距月最高之倍度用切线分外角法求得地
　心之角为最高均数即最高行之差求得两心相距
　之边为本天心距地数即本时之两心差也而其测

　量诸均数则必在高卑中距或高卑中距之间其数
　乃整齐而易辨要之测得高卑中距之差则两心差
　之数已见而求得两心差之数则高卑中距之差悉
　合矣
　太阴初均数生于两心差两心差不等则均数亦不
　等然于平行无与也自刻白尔以本天为撱圆以平
　行为面积则两心差不等而撱圆之面积与太阴之
　平行亦因之不等盖两心差大者小径之数小而面

　积亦小两心差小者小径之数大而面积亦大故分
　撱圆之度数虽同而度之面积各异非先求其面积
　无以求度数也今取两心差之大中小三数求其小
　径及面积以定平行而后均数可得而推也
　旧法用本轮均轮推初均数日躔月离数虽不同而
　其法则一也自刻白尔以平行为撱圆面积求实行
　噶西尼等立借角求角之法亦极补凑之妙矣然日
　天两心差为本天半径千万分之一十六万馀所差

　之最大者不过百分秒之六十六月天两心差最大
　者为本天半径千万分之六十六万馀若仍用日躔
　之法则其差之最大者即至四十秒虽于数不为疏
　而于法则犹未密故又立用两三角形之法先以半
　径为一边两心差为一边太阴平引与半周相减(不/及)
　(半周者与半周相减/过半周者减半周)为所夹之角求得对两心差之
　小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍用半径
　与两心差为两边求得对半径之大角为半圆引数

　次以大半径为一率小半径为二率平圆引数之正
　切线为三率求得四率为正切线得实引与平引相
　减馀为初均数依日躔借积求积法细推之其差之
　最大者不过一十秒较借角求角之法为密云
　旧法推步朔望惟用初均数刻白尔以来奈端等屡
　加测验谓日在最卑后则太阴平行常迟最高平行
　正交平行常速日在最高后太阴平行常速最高平
　行正交平行常迟因定日在中距太阴平行差一十

　一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交
　平行差九分三十秒其间逐度之差皆以太阳中距
　之均数与太阳逐度之均数为比例名曰一平均盖
　太阳平行自子正随天左旋复至子正是为一日月
　距日一日顺行一十二度馀最高一日顺行六分馀
　正交一日退行三分馀皆随太阳平行为行度故为
　平行而太阴二均生于月距日之倍度最高均生于
　日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度

　皆以太阳实行立算太阳实行有盈缩则诸行亦随
　之有进退此因太阳右旋之盈缩而差者也又太阳
　右旋加多一度则左旋之时刻差早一度诸行亦随
　之而差早一度之行太阳右旋减少一度则左旋之
　时刻差迟一度诸行亦随之而差迟一度之行此因
　太阳随天左旋之迟早而差者也由是二者故有一
　平均之法然太阴一平均则惟因左旋时差之故最
　高平均与正交正均则兼左旋右旋两差之故焉以

　太阴一平均言之太阴二均生于月距日之倍度而
　月距日之度乃置太阴实行减太阳实行而得之太
　阳右旋之度差而多则月距日之度反差而少太阳
　右旋之度差而少则月距日之度反差而多是月距
　日之行不随太阳右旋之盈缩为进退也惟是太阳
　左旋时刻差一度倍月距日已差二度太阴又随之
　差二度则平行即差四度时差行差早者应减差迟
　者应加然差早一度者太阳未至子正一度应加一

　度时差行差迟一度者太阳已过子正一度应减一
　度时差行是差三倍时差行也故以一小时六十分
　为一率一小时月距日平行一千八百二十八秒六
　二为二率太阳中距均数一度五十六分一十三秒
　变时(每度变为四分十五分变/为一分十五秒变为一秒)得七分四十五秒为
　三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七
　百零八秒六○收为一十一分四十九秒为太阴一
　平均太阳均数加者为减减者为加是为太阳实行

　至子正时之太阴平行度也以最高平均与正交平
　均言之最高均生于日距月最高之倍度正交均生
　于日距正交之倍度而日距月最高与日距正交之
　度乃置太阳实行减月最高与正交而得之太阳右
　旋之度加而多则相距之度亦多太阳右旋之度减
　而少则相距之度亦少是最高与正交之行固随太
　阳右旋之盈缩为进退也又太阳左旋之时刻差一
　度日距月最高与日距正交之倍度已差二度最高

　与正交又随之差二度则最高与正交即差四度时
　差行差早者应加差迟者应减且最高均与正交均
　皆随太阳行相距之倍度太阳实行差一度则最高
　与正交亦随之差一度之行大阳又加倍差一度则
　最高与正交又随之差半度之行是右旋左旋之差
　皆为一倍有半而未至子正应加已过子正应减之
　时差行又其在外者也太阴在本天高卑虽无初均
　数而太阳在本天高卑前后犹有一平均若太阳亦

　在本天高卑则并无一平均矣奈端以来又屡加精
　测谓日天最高与月天最高同度或相距一百八十
　度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无
　诸均数太阳虽在最高卑而在月天高卑前后则平
　行常迟至高卑后四十五度而止在月天中距前后
　则平行常速至中距后四十五度而止然积迟积速
　之多正在四十五度而太阳在最高与在最卑其差
　又有不同因定太阳在最高距月天高卑中距后四

　十五度之最大差为三分三十四秒太阳在最卑距
　月天高卑中距后四十五度之最大差为三分五十
　六秒高卑后为减中距后为加其间日距月最高逐
　度之差皆以半径与日距月最高倍度之正弦为比
　例其太阳距地逐度之差又以太阳高卑距地之立
　方较与本日太阳距地之立方较为比例名曰二平
　均盖太阴本天心循最高均轮周行日距月最高之
　倍度日在月天高卑则两心差大而撱圆之面积小

　故平行迟也日在月天中距则两心差小而撱圆之
　面积大故平行速也日距月天高卑中距四十五度
　则两心差与撱圆之面积皆为适中太阴平行原以
　适中之数立算故其平行无迟速也
　太阳在两交后平行稍迟在大距后平行稍速其最
　大差为四十七秒名曰三平均盖白极在正交均轮
　周旧法谓行月距日之倍度奈端以来谓行日距正
　交之倍度故惟太阳在两交与大距则白极与均轮

　心参直其平行无加减太阳在两交后则白极在均
　轮心之东而白道经圈之过黄道者亦差而东其黄
　道旧点所当白道度即差而西故平行应减而迟也
　太阳在大距后则白极在均轮心之西而白道经圈
　之过黄道者亦差而西其黄道旧点所当白道度即
　差而东故平行应加而速也此其所差止在数十秒
　之间虽不易得之仰观而实可稽之仪象
　旧法推太阴两弦行度止有初均二均两弦前后始

　有三均初均之最大者四度五十八分馀二均之最
　大者二度二十七分馀三均之最大者四十二分馀
　计两弦前后最大差共八度弱噶西尼以来屡加测
　验谓两弦太阴行度止有初均三均而三均又不尽
　关乎两弦之故二均之最大者不在两弦而在朔弦
　弦望之间其初均之最大者七度三十九分三十四
　秒二均之最大者三十七分一十一秒计两弦前后
　最大差共八度强则是今之二均固兼旧法二均三

　均之义而其数则又不同盖太阴去地甚近其行最
　著又二十七日有奇而一周天一月之中备日行四
　时之轨至为参错不齐古人惟重交食故朔望而外
　置之弗论西人第谷始创二三均之法其门人精测
　不已又数十年然后改定则其数必实有所据而非
　为臆说也其法定日在最高朔望前后四十五度最
　大差为三十三分一十四秒日在最卑朔望前后四
　十五度最大差为三十七分一十一秒朔望后为加

　两弦后为减其间月距日逐度之二均则以半径与
　月距日倍度之正弦为比例其太阳距最高逐度二
　均之差又以日天高卑距地之立方较与本日太阳
　距地之立方较为比例与二平均同
　旧法推步朔望两弦皆无三均数而三均之最大者
　每在朔弦弦望之间故知三均之差生于月距日之
　倍度自噶西尼以来以朔弦弦望间之最大差属之
　二均而月距日九十度与月高距日高九十度其差

　正等月距日四十五度与月高距日高四十五度其
　差又等则是三均之差不专系乎月距日之故也于
　是取月距日与月高距日高之共为九十度时测之
　其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等
　又取月距日与月高距日高之共为四十五度时测
　之其差与月距日或月高距日高之独为四十五度
　者等乃知三均之差生于月距日与月高距日高之
　总度半周内为加半周外为减其九十度与二百七

　十度之最大差为二分二十五秒其间逐度之差以
　半径与总度之正弦为比例则三均之法定矣然必
　日月最高同度或日月同度两者止有一相距之差
　则止有三均若月天最高与日天最高有距度日月
　又有距度则三均之外朔后又差而迟望后又差而
　速及至月高距日高九十度月距日亦九十度时无
　三均而其差反最大故知三均之外又有末均乃将
　月高距日高九十度分为九限各于月距日九十度

　时测之两高相距九十度其差三分渐近则渐小其
　间月距日逐度末均之差皆以半径与月距日之正
　弦为比例朔后为减望后为加而后推太阴经度之
　法纤悉具备今考其所测其数之小者只在秒微之
　间其时又数十年而不一遇然其用意细密学者苟
　通乎此何患推测之无术欤
御制历象考成后编论交均及黄白大距
　正交之行有迟疾由于黄白大距有大小旧法定朔

　望时交角最小为四度五十八分三十秒两弦时交
　角最大为五度一十七分三十秒两距度之较为一
　十九分交均之最大者为一度四十六分零八秒自
　奈端噶西尼以来谓日在两交时交角最大为五度
　一十七分二十秒日距交九十度时交角最小为四
　度五十九分三十五秒两距度之较为一十七分四
　十五秒朔望而后交角又有加分因日距交与月距
　日之渐远以渐而大至日距交九十度月距日亦九

　十度时加二分四十三秒交均之最大者为一度二
　十九分四十二秒皆与旧法不同然历家测黄白二
　距必于月距交九十度时夫月距交九十度而值朔
　望则日距交亦九十度是今之谓日距交九十度交
　角小犹与朔望交角小之义同也月距交九十度而
　值两弦则日必在两交是今之谓日在两交交角大
　犹与两弦交角大之义同也惟日在两交而又值朔
　望则交角关乎食分之浅深日距交九十度而又值

　两弦则加分关乎距纬之远近是必验诸实测古今
　确有不同之处参稽经纬以成一家之言而非轻为
　改定也至其推算之法以五十九为边总五十六为
　边较求得黄极之角为交均以日距交月距日之馀
　弦比例得加分与最小之交角相加为大距亦与旧
　法不同取其易于入算故近日西士皆从之
　
皇朝文献通考卷二百五十七