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卷一 第 1a 页 WYG0802-0596c.png
钦定四库全书
句股引蒙卷一
海宁 陈吁 撰
笔算
(古用珠算今资毫颖凡写法俱左为大右/为小其法不外加减乘除其用视筹格)
加
如先有几百几十尺(举尺以/例其馀)又几百几十几尺又几
十几尺俱平写写完用横画为界并之从末小位起
句股引蒙卷一
海宁 陈吁 撰
笔算
(古用珠算今资毫颖凡写法俱左为大右/为小其法不外加减乘除其用视筹格)
加
如先有几百几十尺(举尺以/例其馀)又几百几十几尺又几
十几尺俱平写写完用横画为界并之从末小位起
卷一 第 1b 页 WYG0802-0596d.png
每留零数写于本位每满十数即于前位加一点其
前位仝先所写数又所加一点直下并之留零数进
十数如前法一路并向左去凡满十者不论或百或
千或万总之左位比本位多十倍俱称为十也
假如一百三十四尺 又九十六尺 又一百
七十八尺
四六八八 (从末位并起如四六八为一十八进/一点于前左位留八零数写本位)
三九七○ (此三九七同所进一点并之得二十/进两点于前左位而本位无零置○)
前位仝先所写数又所加一点直下并之留零数进
十数如前法一路并向左去凡满十者不论或百或
千或万总之左位比本位多十倍俱称为十也
假如一百三十四尺 又九十六尺 又一百
七十八尺
四六八八 (从末位并起如四六八为一十八进/一点于前左位留八零数写本位)
三九七○ (此三九七同所进一点并之得二十/进两点于前左位而本位无零置○)
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一 一四 (此首位有一一又连两点并之得四/竟写四字于下)
右共四百○八尺(从左首位至末小位/)
减
先从左大位减至右末小位
假如四百○八尺先减一百七十八尺(存二百/)
(三十尺/)
八 四
○ 三四三
右共四百○八尺(从左首位至末小位/)
减
先从左大位减至右末小位
假如四百○八尺先减一百七十八尺(存二百/)
(三十尺/)
八 四
○ 三四三
卷一 第 2b 页 WYG0802-0597b.png
四三二一
又减九十六尺(存一百三十四尺如右/)
如再减若干亦同此法
乘
有自乘如以一百七十八乘一百七十八有相乘如
以一百七十八乘九十六之类依位数画或方或长
格各管所乘之位为纵横式俱左为大右为小又每
格斜界从末小位界起为斜式亦左为大右为小斜
又减九十六尺(存一百三十四尺如右/)
如再减若干亦同此法
乘
有自乘如以一百七十八乘一百七十八有相乘如
以一百七十八乘九十六之类依位数画或方或长
格各管所乘之位为纵横式俱左为大右为小又每
格斜界从末小位界起为斜式亦左为大右为小斜
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界之末格为最小之位无可并进其馀斜界一路并
去留零数于本位而以满一十者进一点于前满二
十者进二点如前加法倒并至左写完看末位应是
尺是寸逆推而上即得所乘之万千百十
假如自乘以一百七十八乘一百七十八
先写一七八于上(平写/)再写一七八于侧(直写/)
依平位侧位画纵横格(或平位多画长方格或/侧位多画直方格)
再画斜格(末小/位起)
去留零数于本位而以满一十者进一点于前满二
十者进二点如前加法倒并至左写完看末位应是
尺是寸逆推而上即得所乘之万千百十
假如自乘以一百七十八乘一百七十八
先写一七八于上(平写/)再写一七八于侧(直写/)
依平位侧位画纵横格(或平位多画长方格或/侧位多画直方格)
再画斜格(末小/位起)
卷一 第 3b 页 WYG0802-0597d.png
先从右边末位乘起以末位之八乘平写之末
位八得六十四写六字于末位斜格之左写四
字于右
再以右边之八乘平写中位之七得五十六写
五字于下格斜界之左写六字于右
再以右边之八乘平写首位之一得八写八字
于下格斜界之右(以上右边之八乘完/)
次以右边中位之七乘平写末位之八得五十
位八得六十四写六字于末位斜格之左写四
字于右
再以右边之八乘平写中位之七得五十六写
五字于下格斜界之左写六字于右
再以右边之八乘平写首位之一得八写八字
于下格斜界之右(以上右边之八乘完/)
次以右边中位之七乘平写末位之八得五十
卷一 第 4a 页 WYG0802-0598a.png
六写五字于中位斜格之左写六字于右次以
右边之七乘平写中位之七得四十九写四字
于中格斜界之左写九字于右
次以右边中位之七乘平写之一得一七如七
写七字于中格斜界之右(以上右边之七乘完/)
又以右边之一乘平写末位之八得八写八字
于上位斜格之右
次以右边之一乘平写中位之七得七写七字
右边之七乘平写中位之七得四十九写四字
于中格斜界之左写九字于右
次以右边中位之七乘平写之一得一七如七
写七字于中格斜界之右(以上右边之七乘完/)
又以右边之一乘平写末位之八得八写八字
于上位斜格之右
次以右边之一乘平写中位之七得七写七字
卷一 第 4b 页 WYG0802-0598b.png
于上位斜格之右
次以右边之一乘平写首位之一得一写一字
于上位斜格之右(以上右边之一乘完/)
次以右边之一乘平写首位之一得一写一字
于上位斜格之右(以上右边之一乘完/)
卷一 第 5a 页 WYG0802-0598c.png
各位俱乘毕将斜界各数并之图具右方
右末位是尺乘尺即知四字是尺从尺逆推而
上至三字是万位得三万一千六百八十四尺
(若以尺乘寸则末位之四是/四寸凡两钱斤之类俱同此)
假如相乘图算俱同自乘
除
除与减相似而不同犹加与乘亦相似而不同盖加
减止用小九数如二与三为五而乘与除则两字合
右末位是尺乘尺即知四字是尺从尺逆推而
上至三字是万位得三万一千六百八十四尺
(若以尺乘寸则末位之四是/四寸凡两钱斤之类俱同此)
假如相乘图算俱同自乘
除
除与减相似而不同犹加与乘亦相似而不同盖加
减止用小九数如二与三为五而乘与除则两字合
卷一 第 5b 页 WYG0802-0598d.png
呼如二三得六也除即九归法列筹除实西法始创
先列筹式如左
筹算(附筹式/)
(筹每副九根每根九格左为大数右为小数以/第一格右边字为某号筹如一字即为一号筹)
(二字即为二号筹算时照为法之数列筹从左/而右看列实数近少除之其每筹之背俱合九)
(数面一背必八面二背必七第九号筹之背则/虚界斜格无字为法数之○用其除法用法另)
(详/)
先列筹式如左
筹算(附筹式/)
(筹每副九根每根九格左为大数右为小数以/第一格右边字为某号筹如一字即为一号筹)
(二字即为二号筹算时照为法之数列筹从左/而右看列实数近少除之其每筹之背俱合九)
(数面一背必八面二背必七第九号筹之背则/虚界斜格无字为法数之○用其除法用法另)
(详/)
卷一 第 6a 页 WYG0802-0599a.png
右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一
卷一 第 6b 页 WYG0802-0599b.png
一如一 一二如二如第二号筹则第一格即一
二如二第二格即二二如四第三格即二三如
六第四格即二四如八第五格即二五得一十
此一十之一字写在斜格之左为大数第六格
即二六得一十二以一字写斜格之左二字写
斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列
筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号
筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格
二如二第二格即二二如四第三格即二三如
六第四格即二四如八第五格即二五得一十
此一十之一字写在斜格之左为大数第六格
即二六得一十二以一字写斜格之左二字写
斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列
筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号
筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格
卷一 第 7a 页 WYG0802-0599c.png
右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一
卷一 第 7b 页 WYG0802-0599d.png
一如一 一二如二如第二号筹则第一格即一
二如二第二格即二二如四第三格即二三如
六第四格即二四如八第五格即二五得一十
此一十之一字写在斜格之左为大数第六格
即二六得一十二以一字写斜格之左二字写
斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列
筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号
筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格
二如二第二格即二二如四第三格即二三如
六第四格即二四如八第五格即二五得一十
此一十之一字写在斜格之左为大数第六格
即二六得一十二以一字写斜格之左二字写
斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列
筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号
筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格
卷一 第 8a 页 WYG0802-0600a.png
其斜方格内之数须合并算满十即进于左位
而留零数于本位其在斜方外者不可合也
除取近少
除即珠算之归法如以物求价物为法照物之数列
筹价为实共若干价横写数目(亦左边起/写至右边)视列筹某
格近少除之(如在第一格除即写一字如在第/二格除即写二字为商除之数)所以
取近少者盖以法除实必非一除可尽故留馀实以
便再除
而留零数于本位其在斜方外者不可合也
除取近少
除即珠算之归法如以物求价物为法照物之数列
筹价为实共若干价横写数目(亦左边起/写至右边)视列筹某
格近少除之(如在第一格除即写一字如在第/二格除即写二字为商除之数)所以
取近少者盖以法除实必非一除可尽故留馀实以
便再除
卷一 第 8b 页 WYG0802-0600b.png
假如做工三百八十四丈用银三千五百七十
一两二钱求每丈该银若干以做工为法列三
八四筹以银为实横写三五七一二取格之近
少除之
一两二钱求每丈该银若干以做工为法列三
八四筹以银为实横写三五七一二取格之近
少除之
卷一 第 9a 页 WYG0802-0600c.png
右列三八四号筹除实视每格自一格至八格
俱少惟九格之 三四
五六与实近少除之因在第九格为初商九
馀实一一五二视列筹第三格之
(为十一进一/点于前)一一五二除实尽为次商三
按初商之九写于实首位者因在三号筹左
边之字除起(左边是大数/即是十位)遇十在本身故第
一次除写实之第一位所谓在本身也
俱少惟九格之 三四
五六与实近少除之因在第九格为初商九
馀实一一五二视列筹第三格之
(为十一进一/点于前)一一五二除实尽为次商三
按初商之九写于实首位者因在三号筹左
边之字除起(左边是大数/即是十位)遇十在本身故第
一次除写实之第一位所谓在本身也
卷一 第 9b 页 WYG0802-0600d.png
右工每丈该银九两三钱
按定位(详后/)凡法小实大者从实首顺寻法
首而法前得令如工三百较之银三千是为
法小实大应实上顺寻法首今实之第二位
是百即为法之首位而法前得令则实之第
一位是法前而第一位上之初商九乃是九
两盖令者两斤尺石之所由起也九既为两
则三为钱无疑故贵定位也详后法
按定位(详后/)凡法小实大者从实首顺寻法
首而法前得令如工三百较之银三千是为
法小实大应实上顺寻法首今实之第二位
是百即为法之首位而法前得令则实之第
一位是法前而第一位上之初商九乃是九
两盖令者两斤尺石之所由起也九既为两
则三为钱无疑故贵定位也详后法
卷一 第 10a 页 WYG0802-0601a.png
置○(开方置○不用此法/)
逢单须进位 遇十在本身
退位单仍十 两一位还升
各筹俱右为单位左为十位其左边无字而两筹斜
格相并如五与六并为一十一之类则进于十位亦
谓之十也此进位之位与本身之身俱指所商之数
应写实数上之第几位如初商在第一位次商在二
位之类为一定之位而进位则从本位而进于左位
逢单须进位 遇十在本身
退位单仍十 两一位还升
各筹俱右为单位左为十位其左边无字而两筹斜
格相并如五与六并为一十一之类则进于十位亦
谓之十也此进位之位与本身之身俱指所商之数
应写实数上之第几位如初商在第一位次商在二
位之类为一定之位而进位则从本位而进于左位
卷一 第 10b 页 WYG0802-0601b.png
也依此写法有不相连接中间空一位者是商数大
小相悬应置○也
退位单仍十句即补首句逢单须进位之所未尽盖
如同是筹上之单位除实而所除之实位或有用退
位除者则虽在筹右格之单位除仍作遇十在本身
其所写商数初商在首位次商在次位也
假如实一十一两七钱二分 法二十三石(列/筹)
列三号三号筹视五格至九格俱浮于实惟退
小相悬应置○也
退位单仍十句即补首句逢单须进位之所未尽盖
如同是筹上之单位除实而所除之实位或有用退
位除者则虽在筹右格之单位除仍作遇十在本身
其所写商数初商在首位次商在次位也
假如实一十一两七钱二分 法二十三石(列/筹)
列三号三号筹视五格至九格俱浮于实惟退
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位除则第四格 之九二是零数与一之大数
相近故从实首除筹之一十为九除十而于次
位还一则所除乃在第二位而书商数于实首
位是为单仍十耳然次位除起而实首书商数
则依然逢单进位也
两一位还升句承上退位句以申明逢单须进位也
谓惟退位除者虽单亦同十耳若实首是一法首亦
是一而恰用第一格除实则逢单应书商数于实首
相近故从实首除筹之一十为九除十而于次
位还一则所除乃在第二位而书商数于实首
位是为单仍十耳然次位除起而实首书商数
则依然逢单进位也
两一位还升句承上退位句以申明逢单须进位也
谓惟退位除者虽单亦同十耳若实首是一法首亦
是一而恰用第一格除实则逢单应书商数于实首
卷一 第 11b 页 WYG0802-0601d.png
一之前位上盖总以筹之左大右小为逢单遇十故
前句是退位除者虽在单格亦作十论而在本身置
商此句两一是虽或一十一百而在筹格之单位除
者亦作单论而在本身前一位置商也
假如实一百五十七两 法一百二十六石
列一二六筹在第一格右小位除实则应置商
于实本位之前一位
若法实俱是一在左大格除者不宜进位置商
前句是退位除者虽在单格亦作十论而在本身置
商此句两一是虽或一十一百而在筹格之单位除
者亦作单论而在本身前一位置商也
假如实一百五十七两 法一百二十六石
列一二六筹在第一格右小位除实则应置商
于实本位之前一位
若法实俱是一在左大格除者不宜进位置商
卷一 第 12a 页 WYG0802-0602a.png
假如实一七八二 法一八
列一八筹初次商俱在九格除实俱筹上并进
左大位是十位是遇十在本身其商数不宜进
位也
右依前法写商数而中间空缺不接连者即○位
也
定位
法小实大顺寻法首而于法前得令
列一八筹初次商俱在九格除实俱筹上并进
左大位是十位是遇十在本身其商数不宜进
位也
右依前法写商数而中间空缺不接连者即○位
也
定位
法小实大顺寻法首而于法前得令
卷一 第 12b 页 WYG0802-0602b.png
假如人参三十五两用价共二百二十七两五
钱
求每参一两价若干(以银为实/) (以参为法/)
五 列三号五号筹(此即参/为法)除实
七 筹第六格除二十一是遇十在本身写
五 二 六字于实之第一位上馀实一七五除第
六 二 五格亦遇十在本身写五字于实之第
二位上(除/尽)
钱
求每参一两价若干(以银为实/) (以参为法/)
五 列三号五号筹(此即参/为法)除实
七 筹第六格除二十一是遇十在本身写
五 二 六字于实之第一位上馀实一七五除第
六 二 五格亦遇十在本身写五字于实之第
二位上(除/尽)
卷一 第 13a 页 WYG0802-0602c.png
顺寻法首者如上所列实二百二十七
两五钱人参为法是三十五两则十为
法首而实之第二位是十为法首位直
上所写商数之五即法首位而法前得
令令者两也实首直上之六为法前法
前得令为六两六既为两则五为钱矣
答曰每参一两价银六两五钱
法大实小逆寻法首而于法前得令
两五钱人参为法是三十五两则十为
法首而实之第二位是十为法首位直
上所写商数之五即法首位而法前得
令令者两也实首直上之六为法前法
前得令为六两六既为两则五为钱矣
答曰每参一两价银六两五钱
法大实小逆寻法首而于法前得令
卷一 第 13b 页 WYG0802-0602d.png
假如堤工三百五十用银二十二两七钱五分
求每一工该银若干(以银为实以工为法/)
列三号五号筹除实同前
法之首是百实之首乃是十是为法大
实小当实首十逆推法首百则实之前
位即法首位而实前第二位是法前位
以之得令为两而顺递推下则初商之
六乃是分位次商之五乃是釐矣
求每一工该银若干(以银为实以工为法/)
列三号五号筹除实同前
法之首是百实之首乃是十是为法大
实小当实首十逆推法首百则实之前
位即法首位而实前第二位是法前位
以之得令为两而顺递推下则初商之
六乃是分位次商之五乃是釐矣
卷一 第 14a 页 WYG0802-0603a.png
答曰每人一工该银六分五釐
又如法愈大实愈小则实前逆寻法首或二○三
四○法前得令仝前
假如堤三千四百工共银一十五两三钱
求每工该银若干(以银为实以工为法/)
实 列三号四号筹除实
三 初商四次商五俱筹上左边除实商数
各依遇十在本身写法数千银数十为
又如法愈大实愈小则实前逆寻法首或二○三
四○法前得令仝前
假如堤三千四百工共银一十五两三钱
求每工该银若干(以银为实以工为法/)
实 列三号四号筹除实
三 初商四次商五俱筹上左边除实商数
各依遇十在本身写法数千银数十为
卷一 第 14b 页 WYG0802-0603b.png
法大实小从实首十数逆寻法首则实
前二位为法首而又于法前得令起两
退右挨数则实首上之四为四釐挨右
之五为五毫矣
答曰每工四釐五毫
法实等者实首即为法首而于法前得令
法实相等如同是千同是百之类
命分
前二位为法首而又于法前得令起两
退右挨数则实首上之四为四釐挨右
之五为五毫矣
答曰每工四釐五毫
法实等者实首即为法首而于法前得令
法实相等如同是千同是百之类
命分
卷一 第 15a 页 WYG0802-0603c.png
凡除至单位而止故曰实如法而一所谓一者即单
也其除之至单位仍有不尽之馀实则以分命之
其一除之至尽如钱分釐毫丝忽以次求之
其一以法数为分母不尽者为分子命为几分之
几
假如十九人分银二百五十四两依商除法已
各该一十七两矣不尽七两命之曰十九分两
之七(盖以不尽之七剖为七个十九分得一并/百三十三分以十九人分之各得七分)
也其除之至单位仍有不尽之馀实则以分命之
其一除之至尽如钱分釐毫丝忽以次求之
其一以法数为分母不尽者为分子命为几分之
几
假如十九人分银二百五十四两依商除法已
各该一十七两矣不尽七两命之曰十九分两
之七(盖以不尽之七剖为七个十九分得一并/百三十三分以十九人分之各得七分)
卷一 第 15b 页 WYG0802-0603d.png
(整数零数为每人分得十七两○十九分两之/七)
附约法(历法用之便于积算馀可不必/)
凡命分可约者约之古法曰可半者半之不可
半者以少减多更相减损求其有等者以等约
之西法谓之纽数以等数约母子数则皆除尽
(如八十一人分银二十七两不能各得一两并/不能各得五钱依命分法命为八十一分两之)
(二十七今以法约之为三之一盖八十一是三/个二十七若剖两为八十一分即各得二十七)
(分是三/之一也)
附约法(历法用之便于积算馀可不必/)
凡命分可约者约之古法曰可半者半之不可
半者以少减多更相减损求其有等者以等约
之西法谓之纽数以等数约母子数则皆除尽
(如八十一人分银二十七两不能各得一两并/不能各得五钱依命分法命为八十一分两之)
(二十七今以法约之为三之一盖八十一是三/个二十七若剖两为八十一分即各得二十七)
(分是三/之一也)
卷一 第 16a 页 WYG0802-0604a.png
(均分法曰置分母八十一用递减法以分子二/十七减之馀五十四复以二十七减之馀仍二)
(十七两数相同是有等也即用此二十七转除/分母得三除分子得一如此不用细分但以每)
(两均剖为三而各得其/一分即三人共一两也)
(若分子是五十四则用转减法以子五十四转/减母八十一馀二十七又以母馀二十七转减)
(子五十四亦馀二十七是相等也即以此等数二/为法除母得三除子五四得二是为约得三之)
(又捷法八十一乃九九相乘之数二十七乃三/九相乘之数皆九也即可为纽数约之为九分)
(两之/三)
当位
(十七两数相同是有等也即用此二十七转除/分母得三除分子得一如此不用细分但以每)
(两均剖为三而各得其/一分即三人共一两也)
(若分子是五十四则用转减法以子五十四转/减母八十一馀二十七又以母馀二十七转减)
(子五十四亦馀二十七是相等也即以此等数二/为法除母得三除子五四得二是为约得三之)
(又捷法八十一乃九九相乘之数二十七乃三/九相乘之数皆九也即可为纽数约之为九分)
(两之/三)
当位
卷一 第 16b 页 WYG0802-0604b.png
筹算求两斤尺石之类竟除近少或即除尽不用当
位法惟开方每商后应取两廉约数故如馀实一百
先取长廉时虽或筹之第一格是一百宁可取第九
格除九十以便取长廉也今开方依西法用筹故先
附此
右各法俱筹算入门之始从此开方句股三角
握算推步无虑紊误矣(惟开方置○与此不同/)
句股引蒙卷一
位法惟开方每商后应取两廉约数故如馀实一百
先取长廉时虽或筹之第一格是一百宁可取第九
格除九十以便取长廉也今开方依西法用筹故先
附此
右各法俱筹算入门之始从此开方句股三角
握算推步无虑紊误矣(惟开方置○与此不同/)
句股引蒙卷一