钦定四库全书

　　同文算指通编卷七

　　明　李之藻　撰

　　积较和相求开平方诸法第十四

　　凡平方长阔不等以长阔相乘为实积以长阔相减为
较以长阔相并为和

　　凡以积和求较者以和自乘以积四因相减开其馀
得较

　　假如直田积八百六十四步长阔和六十步求长
多阔几步者用和自乘(得三千六百)又四因直积(得三千四百五
十六)以少减多馀一百四十四平方开之得差一十二
步

　　右开法见前不重列所以和自乘又四因直积者
盖和自乘有四段直田积一段差方积故以四积
减和乃剩下差方一段以取方面见步(有图在后)
比类如有金八百六十四两数人分之只云人数与

　　各得银数共六十其差几何银数为阔人数为长得
三十六人每人二十四两

　　凡以积较求和者四因实积又以差自乘并入开平方
除之得和

　　假如直田积八百六十四步阔不及长一十二步求长
阔和共几步者以积步四因(得三千四百五十六)以较自乘(一百四十
四)相并(三千六百)开方得长阔和六十步

　　右四因积有四长四阔纵(长三十六步)

横列之于外又较自之一
段居中故开方得和
其用和自乘者得此图全
数外兼四积内兼较自乘
故除积得较

　　比类金八百六十四两只云锭数不及两数十二求
锭与两共若干两数为长锭数为阔得锭与两共六
十

　　若夫积与较求阔者其长之积多于阔若非加法以带
除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二其一
以较为纵方并纵入方谓之带纵开平方其一以较为
减积以方乘减谓之减积开平方

　　积与较求长者其阔之积少于长若非益积以补阔则
当损其法之长也求法有二其一以较为负纵乘上商
以添积谓之负纵益积开平方其一以较为减纵而以
负纵减方法谓之带减纵开平方

　　积与和求阔者以和为纵方一为负隅和并一长一阔
积得一长而少一阔故用一为负隅或益负隅于积或
减负隅于纵皆可以求其阔也其益隅于积者乘负隅
为方法又乘方法以益积是为带纵益隅开平方其减
隅于纵者乘负隅以减纵命馀纵以除实是为带纵负
隅减纵开平方

　　积与和求长者原积有长阔相乘而无长自乘宜损阔
以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以

减其纵用减馀者以除积而积常不足则翻以积减纵
而馀为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以
纵减商而馀积纵三者俱负乃以负纵约馀负积商命
负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方

　　右纵方六术所以通平方之变而翻法一术又所以通
纵方之穷也此外有积与二阔较及长阔较求阔者则
有所谓带纵减积开平方有以大小二方和积求径者
则有所谓减积带纵负隅并纵开平方有以方圆二径

虚设相同及积求其实径者则有所谓隅算开平方至
于匿其积实而虚张长阔和较之数互求长阔者则又
有所谓带纵隅益积开平方带纵负隅减纵开平方减
积带纵隅益积开平方带纵负隅减纵益实开平方带
纵廉开平方带纵廉负隅开平方带纵方廉开平方带
纵廉负隅乘纵减实开平方皆以带纵诸法错综为用
以御开方诸积之变神明变化存乎当机初不可一途
而取今每则略著数例以便初学

　　带纵开平方法(积较求阔)

　　有勾股积若干平方开之第云勾不及股若干用加法
带除其股积馀为开方名带纵开平方法列实点定开
位亦列所不及为纵数于下以首位随首点下须于纵
上空一横行以容商除初商若干纪格右亦以商数并
纵数列首点下(有小数者照常退位排之)次第呼乘以除实数但所
商数须与带纵相照若纵数多则减商数就之不尽之
数再倍作廉法然倍方不倍纵亦并入带纵商之

　　假如有直田积八百六十四步阔不及长一十二步求
阔几步列实定位以带纵(二一)随首位列之初商二纪格

　　右亦列首点下以并带纵(一)共三乃

　　变壹贰注三　相呼二三除六　三

　　上捌变二二二除四　贰上陆变二

　　完首段馀实二百二十四步次倍二

　　作四为廉法挨退位下亦列带纵以

　　廉四并纵一其下列五次商四纪格

　　右亦注末位点下为隅法以并隅二下注六乃相呼除
先呼五四除二十进抺二又呼四六二十四恰尽得

　　阔二十四步

　　比类给银八百六十四两只云所得银之两比得分
人数多一十二两求总是几人每人各得银几两银
多为长人少为阔得银两数二十四人数三十六

　　假如二十三万○四百为实带纵七百二十初商可用
四数因有带纵七乃减商作二纪格右亦纪首点下为

　　隅以并带纵七共九乃变二七作

　　九是为(二九)与右二叠呼除之　二

　　九一十八　九上参变五进削贰

　　本位下削九　次以右二乘二除

　　四用借法　二上○变六　进位

　　五变四本位下削二次倍二作四

　　为廉法列次点之进位○下另列

　　带纵数于廉下以待商除次商四

　　纪格右亦注次点四下为隅法而以带纵及廉法并入
除之四七并一十一廉下变一　进位亦加一　四二
并得六隅下变六乃以右四呼首一　　一四除四　一
上削四又以右四呼次一　一四除四　一上六变二
又以右四乘次六四六二十四　六上除肆　进位除
二恰尽因尚馀一点于右加一○

　　右平方二百四十带纵共九百六十

　　若实数首位寡而带纵数多不能并累开方者虽点段

在首位亦退一位列商及列带纵而减一商

　　假如列实一万六千一百廿八带纵七十二点段该将

　　左首位商起因带纵是七即减

　　一商置次点下　初商九纪格

　　右亦注次点之下并带纵七共

　　一十六乃改七九作六进位置

　　一为方法与商九相呼　一九

　　除九　一上陆变七进抹一

　　六九五十四　六上壹变七进位七变一　二九一十
八　二上贰变四进位七变五次倍九得一十八为廉
法剐退一位置带纵再商六纪右亦注末点下为隅法
而并廉法带纵呼除如前得阔九十六带纵七十二共
长一百六十八

　　其实首数多带纵数少可以开除者仍照所点段位开
起

　　假如列实三万八千四百带纵二百首位三自为一段

初商一纪右亦纪一于首位下并带纵二
得三乃以贰变三与右一相呼一三如三
径除参次倍一作二为廉法以注初商之
次位以并带纵得四注纵下如前再商二
以纪右亦以注第二点下俱与右二相呼
先呼二四如八径除捌又呼二二如四径
除肆外尚剩一点该于格右加○

　　右开方一百二十纵三百二十

　　若点段开位少而带纵之位反多(如开位三点只该百而带纵乃至千之类)
以初商置首点下而以带纵大数进位列之必首段系
二位者方有此例

　　假如列实一十九万八千带纵一千五百三十只点作
三段其开数止有三位初商只是百数而所带乃踰至
千此其并纵亦须以百随百以千进一位　初商一纪
右亦注首点之下并带纵五得六另改注其下先以右
一与纵一呼之一一除壹次以右一呼并六　一六如

　　六六上玖变三　次以右一呼纵

　　三三上捌变五完首段　乃倍初

　　商之一作二为廉法注初商之次

　　其带纵亦于次位列之(列五百于廉下二五

　　并得七另注七于下一千进位)再商二纪右亦注

　　次点下以并三得五另注五乃以

　　递呼　先呼一二如二　一上三

　　变一　再呼二七一十四　七上

　　五变一　进除一　又呼二五得一十恰尽外尚馀一
点右加○

　　右开方一百二十纵一千六百五十

　　带纵并商数有共一十者进位照式呼除(第一图亦有此)
假如列实七万二千带纵四百八十点在首位初商
一纪右亦注点下并纵四得五注于下以呼一五除
五四上㭍变二　再呼一八除八　八上贰变四
进位二变一乃倍初商之一作二为廉法注次位其

　　下另列带纵以二并四得六注于

　　下次商二纪右亦注次点之下以

　　相呼除　二六除一十二　六上

　　四变二进削一商二并纵八得一

　　十进位注一本位注○以相呼除

　　一二除二恰尽外馀一点加○于

　　右

　　右开方一百二十纵六百

　　若实数纵数商除数俱多杂糅易淆者务须先将带并
之数逐一归并停当各注其本位之下乃以呼除大抵
只据最下一字为准则不淆乱

　　假如列实一十六万六千四百六十四带纵一千○八
十八先点定该开三位讫其带纵低二行列之以便
填商置初商于第二位点下以带纵之千进一位列
之(初商是百故带纵之千进位与前法同)初商一并入为一千一百八十
八以初商一纪右相呼首位呼一一如一以削壹　次

　　位呼一一如一　一上陆变五

　　三位呼一八如八　八上陆

　　变八　进位五变四　四位呼

　　一八如八　八上肆变六进位

　　八变七毕一段(以上甚简)倍初商之

　　一作二为廉法注次位下另列

　　带纵数(并得一千二百八十八)次商三纪

　　右亦注次点下并入以商(三)并

　　纵(八)得一十一注一于八下又注一于进位廉二之下
以商纵(一)并廉(二)得三另注三于廉(二)之下并毕其并
注数多认定最下字为主以与右相呼首位呼一三如
三一上四变一次位呼三三如九三上七变八进削一
第三位呼一三如三　一上六变三第四位呼三八二
十四　八上陆变二进位三变一毕二段以上除过一
十五万八千三百四十馀实八千一百二十四未尽
又倍前商之一三作二六为廉法空末位之点以待隅

　　法而以六注(二)下(右第二位)以二注

　　(一)下(右第三位)另列

　　带纵数以相并

　　乃以廉六并纵

　　八共一十四系

　　四于八下一进

　　位又以一并廉

　　二共得三系于其下乃商六纪右亦注末位下又以并
纵八共一十四注四于末位下一进位四下改作五并
讫以最下字与右相呼一六除六　一上八变二　三
六一十八　三上一变三进除二　五六三十进除三

　　四六二十四除恰尽

　　右开方一百三十六纵一千二百二十四

　　减积开平方法(积较求阔)

　　勾股积若干勾不及股亦有减积法减积者于实内减

股之积以就其方也列实定位另列不足数为减积以
商乘减积以所乘出之数列原积下对减视馀实若干
以所商依法除之有未尽者倍方为廉约得再商别置
为隅亦乘减积以减馀实乃并廉隅除之

　　假如直田八百六十四步阔不及长一十二步求阔几
何列实点位如前另列不及一十二为减积以初商乘
之初商可用三因有乘数故约用二纪右亦注首位下
以乘减积得二十四随位列之相对减原积二上捌变

　　六　四上陆变二馀实六百二

　　十四乃以方法呼除　二二除

　　四二上六变二馀实二百二十

　　四次倍二作四为廉法注退位

　　再商得四纪右亦纪末位为隅

　　法以乘减积得四十八亦相对

　　减馀实四上二变八进位二变

　　一　八上肆变六进位八变七乃以方廉呼除　四四

除十六　四上七变一进削一又以方隅呼除四四除
一十六恰尽得阔二十四步

　　假如直积一千七百五十阔不及长一十五问阔几何
列实定位剐列不及为减积初商三纪右亦注首点之

　　下为方法以乘减积得(五四)随方

　　法之位列之以减原积四上㭍

　　变三　五上伍变○　乃以方

　　法除之　三三除九　四上三

　　变四进削壹馀实四百次倍三

　　作六为廉法注退位再商五纪

　　右亦注末位为隅法以乘减积

　　得七十五对注以减馀实五上

　　○变五　七上○变二　进位四变三尚馀三百二十
五皆与次商相呼五六进除三　五五二十五恰尽得
广三十五

　　假如直积一十六万七千四十阔不及长一百三十二求

阔几何列实定位另置不及为减积初商三纪格右亦注
首点下以乘减积得三百九十六随首点列位对减　六
上○变四因有借故进位仍七　三上陆变二馀实一十
二万七千四百四十乃以方法开之三三除九　三上二
变三进削壹馀实三七四四○次倍三作六为廉法注退
位商实得四纪右亦注次段点下为隅法亦乘减积得五

　　百二十八退前积一位

　　列之对减八上肆变六

　　二上四变一五上七

　　变二仍馀三二一六却

　　以廉隅呼除四六二十

　　四六上二变八进削三

　　四四一十六　四上

　　一变五进位八变六尚

　　馀六五六○乃倍三四

　　作六八为廉法挨尾点

　　一位列之再商得八纪

　　右亦注尾下为隅法又

　　乘减积得一千五十六

　　挨尾位列之对减六上

　　○变四　五上六变○

　　一上六变五仍馀五

　　五○四乃以廉隅呼除

　　六八四十八　六上五

　　变七进削五　八八六

　　十四　八上○变六进

　　削七又八八六十四恰尽得阔三百四十八

　　负纵益积开平方法(积较求长)

　　有勾股积若干勾不及股为较以积及较求股而勾少
于股则益积以补勾名负纵益积开平方列实定位另
置所不及数为负纵以商乘负纵虚增其积而后以方
法开除不尽者倍方为廉又以再商乘负纵增积而另

置一算为负隅以再商乘负隅为隅法置于廉次以商
呼廉隅除尽

　　假如直积八百六十四阔不及长一十二求长几何列
实定位剐列不及十二为负纵而初商则约所增负纵
之乘命之如首位捌开法宜用二因有负纵之乘乃商
三纪右亦注首位下为方法而以乘负纵得三十六注
三于首位注六于次位以并原积六上陆变二　三上
捌变二　进位置一益积得数一千二百二十四乃以

　　方法呼除三三除九　三上二变

　　三馀积三二四又倍三作六为廉

　　法另商六纪右以乘负纵得七十

　　二退位列之添积二上肆变六

　　七上二变九共积三九六而另置

　　一算为负隅以次商(六)乘之仍得

　　六为隅法乃并廉隅呼除六六三

　　十六　六上九变三进削三又呼六六三十六恰尽得

长三十六







　　假如直积二十三万四百长阔较七百二十求长几何列

实亦列较为负纵初商九纪右亦注首点下为方法以乘
负纵得六四八以益积　八上○变八　四上参变七
六上贰变八共八七八肆○○以方法除之九九八十一

　　九上七变六进削八馀实六八肆○○乃倍九作(八一)为

　　廉法注八于次隅之进位又

　　注一于进位次商六亦乘负

　　纵得四三二以益馀积二上

　　肆变六　三上八变一　四

　　上六变一　进位置一共得

　　一一一六○○又以次商六

　　乘负隅一仍得六注本段点

　　下为隅法乃以廉隅呼除

　　一六除六　一上一变五进

　　削一　六八四十八　八上

　　一变三进削五　六六三十六恰尽得长九百六十
带减纵开平方(积较求长)

　　凡以较及积求股者股长于勾亦有损股之长以就其
方者名减纵开平方列实定位列较为减纵以减初商
而以所减之馀即乘初商以开之其次商又即以初商
并入为廉法而商之置隅如常

　　假如直积八百六十四阔不及长一十二求长若干列实
剐置不及一十二为负纵初商三十(因有二点故知三十)置右另以
负纵减之馀一十八挨注首位点下为方法以呼所商
三八二十四　八上陆变二　进位捌变六　一三除三

　　一上六变三　馀积三百二十肆乃

　　于右三加○以并方法一十八共四十
八为廉法注退位再商六纪右亦注隅
而并入廉法共五十四而六八并改四

　　进位四改五以呼次商五六三十

　　五上进位削三　四六二十四恰尽得

　　长三十六　其次商若不以隅相并亦同前法

　　六　　　次商六并前(八一)为四十八退位注之以

　　呼四六二十四　四上二变八　进位

　　削三　六八四十八　八上肆变六

　　进位八变三　又置隅法于尾位六六

　　三十六恰尽

　　只就本段积

　　比类以金换绢八百六十四匹

　　不知金一两换绢几匹但云原

　　金总两多于绢数十二今求原

　　金几何如长绢匹如阔得金三

　　十六两其所换匹数即直积也

　　假如直积三千四百五十六阔不及长二十四求长几何
列实定位另置较二十四为负纵初商七十(因有二点故知七十)纪
右以负纵减之馀四十六挨注首位为方法(四多于三照例退位)与
商相呼　四七二十八　四上肆变六进削参　六七四

　　十二　六上伍变三进位六变二　馀

　　实二百三十陆乃于右七加○以并四

　　十六共一百一十六为廉法列于下续

　　商得二改右○为二亦注尾位为隅法

　　并入廉法呼除一二为二　一上削二

　　又一二为二　一上三变一　二八

　　一十六恰尽得长七十二

　　又有两方共积若干第云以小方之一面乘大方之一
面共若干问大小方面各几何者倍乘积以减共积以
所馀积为实开方得较再置二方乘数为实以较为减

纵开平方除之得大方面以较减之得小方面

　　假如大小方田二段共积六千五百二十九步以小方
大方各一边相乘得三千一百二十步求大小方面几
何者倍二方乘积(得六千二百四十步)以减共积馀二百八十九
为实以开平方法除之得较一十七步再置二方乘数
三千一百二十步为实以较为负纵初商六十纪右以
负纵减之馀四十三注下为方法以呼所商四六二十
四　四上壹变七进削参三六一十八　三上贰变四

　　进位七变五馀实五百四十乃于

　　六右加○以并方法共得一百零

　　三为廉法列下续商五纪右亦注

　　尾位为隅法并入廉法共一百零

　　八以相呼　一五除五五八四十

　　恰尽得大方面六十五步以较一

　　十七减之得小方面四十八步

　　带纵益隅开平方法(积和求阔)

　　凡积和求阔者用其和为带纵则已兼长阔而积有长
无阔故虚置一积为负隅而以负隅益积即以带纵开
之得阔数名带纵益隅开平方列实定位另置带纵数
以初商纪右用自乘以益原积是为负隅而以所商呼
纵方除之不尽者倍商为廉注退位又再商纪右亦注
廉次为隅法廉隅并数以乘所商益积乃用商呼纵方
若不尽须再商者则以后廉并前廉馀如前法除尽得
阔数

　　假如直积八百六十四长阔和六十求阔几何置积为实

　　以和为带纵初商二纪右亦注首

　　位下自乘得四以益积共一千二

　　百六十四乃以初商乘带纵二六

　　一十二　二上削二进削一馀实

　　六十四倍方为廉得四注次位次

　　商四纪右亦注尾位为隅法以乘

　　廉法得一十六并入馀实四上陆

　　变二进加二亦以乘隅法尾位肆

　　变○进位二变四共二百四十而

　　以次商呼带纵恰尽得阔二十四

　　二积共一千

　　四百四十步

　　以带纵六十

　　除之得阔二

　　十四步

　　假如直积二万一千六百四十八长阔和二百九十六
求阔几何列实定位置和为带纵初商一列右为方法
亦注首位下自乘仍得一以益积首位贰变三乃以方
法与带纵相呼除实首位三变一　次位壹变二进削
一退位陆变○馀实二千○四十八倍方为廉得二注
退位次商三纪右为方法亦注廉次为隅法共(三二)以乘
方法得六十九益入本段馀积三上○变九　二上二
变八共得八九四八乃以方法呼带纵除之二三除六

　　二上八变二　三

　　九二十七　三上九

　　变二进削二　三六

　　一十八退位四变六

　　进削二馀实六十八

　　又倍方法之三为六

　　作廉法注退位并入

　　前廉(二)共二百六十(所以并入前廉者盖一方外必具两廉故)为方法再商

二纪右亦注尾位为隅法并入方法共　以乘所商(二)
得五百二十四以并馀积尾位八变二进位六变九进
位加五乃以所商(二)与带纵呼除恰尽得阔一百三十
二步

　　假如直积三千四百五十六步长阔和一百二十步求
阔几何列实以和为带纵初商四纪右为方法亦注首
点下自乘得一十六益积四上肆变○进位参变五乃
以方法呼带纵一四除四首位五变一二四除八退位

　　○变二进削一尚剩二百五

　　十六次倍方四得八为廉注

　　次位续商得八为方法纪右

　　亦注尾位为隅并入廉法得

　　(八八)而与方法(八)相乘共七百

　　四以益馀实尾位陆变○进位伍变六　进位二变九
乃以所商(八)呼带纵恰尽得阔四十八步

　　带纵负隅减纵开平方(积和求阔)

　　积阔求和若难以益隅开之者即用减隅法而减负隅
于纵名带纵负隅减纵开平方列实定位列和为带纵
置一为负隅初商纪右乘负隅以减带纵列减馀于实
下而乘所商以开之不尽者倍方为廉以廉减纵次再
商纪右亦减馀纵而以其减馀乘商除尽得阔数

　　假如直积八百六十四长阔和六十求阔列实定位另
列和为纵方初商二纪右亦纪首点下以乘负隅一仍
得二为方法以减纵数陆剩四随首位注之以呼初商

　　二四为八二上削捌馀实二十四倍

　　方法之二作四为廉法注初商之次

　　位亦乘负隅得四以减纵剩二十注

　　退位次商四纪右亦注末位为隅以

　　减馀纵之二十馀一十六附注乃与

　　右四相呼先呼一四除四　一上陆变二再呼四六二
十四恰尽得阔二十四亦有初商除实讫即以初商再
减剩纵以所馀为纵方而即以再商再减为下法者(前法

倍初商为廉以减原纵此即以初商减剩纵不立廉数然已将原纵再减以应两廉之数与倍商同)



　　初商除实八百讫即将初商之二十

　　再减馀纵(四十)剩二十退位列之

　　次商四以减馀纵(二十)尚剩一十六呼

　　除如前

　　右得广二十四以除实积得纵三十

　　六若欲还原以广纵相乘

　　长阔和变作通

　　长六十

　　阔二十四共负

　　四百八十

　　假如列实三万三千六百长阔和四百列实亦列和

　　为减纵初商一乘负隅仍得一以减

　　纵(四)馀三百随首位列注以呼所商

　　一三除参讫　次倍初商一作二为

　　廉法以减纵四仍馀二注退位再商

　　二亦以减纵变二○为一八而以次

　　商呼之　一二除二一上参变一

　　又呼二八一十六恰尽　格右加○

　　以结末位得阔一百二十

　　右法同前但减纵有借法进位故录

　　为式

　　假如列实六万九千三百六十长阔和七百八十二列

　　如前初商一以乘负隅仍得一减纵

　　(七)馀六相呼　一六除陆　一八除

　　八玖变一　一二除二参变一讫

　　次倍一作二为廉法以减纵仍剩五

　　附列而纵数多于原数无可商除则

　　纪○于右并初次商得一十另倍一

　　十作二十为廉法挨注退位以二减

　　纵七是为　挨尾段列之续商二以相呼　二五除一

十　进削一　二八一十六除尽得阔一百二(初商除讫即以
先减纵数亦然)

　　假如列实九万六千长阔和六百四十

　　初商二以乘负隅一仍得二纪右亦

　　注首位以减六　馀四以相呼　二

　　四除八　四上玖变一又呼二四除

　　八　四上陆变八　进削一讫

　　乃倍二作四为廉法以减纵六剩二

　　亦随退位注之　次商四纪右亦注

　　退位为隅以减纵(只剩二)乃以四变○

　　以商相呼　二四除八恰尽　因有

　　馀位　右加○得阔二百四十

　　右法已见因纵有重位故录备例

　　若以积与虚长阔共若干而欲求其阔者及欲求其长
者皆以共若干为带纵方而求阔则以阔为负隅以长
乘积为实求长则以长为负隅以阔乘积为实列例如

左

　　假如直积八百六十四步三长五阔共二百二十八步
求阔几何以三乘积步得二千五百九十二为实(三长原有

　　三积故以三乘)五为负隅(已用三长尚少五阔故用为负隅暗

　　添五段阔方之积)以共步为带纵列实定位

　　初商二纪右以乘负隅(五)得(○一)以一

　　减纵首　贰变一　馀纵一百二十

　　八挨注首位与商相呼一二除二二

　　二除四退位伍变一　二八一十六退位玖变三进削
一馀实三十二再以所商(二)乘负隅得(○一)以(一)减馀纵
剩二十八(即前倍方为廉之法)续商(四)以乘负隅得(○二)再减馀纵
二十剩八以呼所商四八三十二恰尽得阔二十四步

　　假如直积八百六十四步三长五阔共二百二十八步求

　　长几何以五乘积步得四千三百二

　　十为实(五阔原有五积故五乘之)以三为负隅(于原

　　纵减去二长故)以共步为带纵初商三以乘

　　负隅三得九减纵注其退位九上贰

　　变三　进位贰变一馀纵一三八挨

　　注首位以呼初商一三除三　一上

　　肆变一　三三除九退位参变四

　　进削一　三八二十四　八上贰变八　进位四变一馀
积一百八十复以初商三乘负隅(三)得九以减纵九上三
变四进削一剩四十八次商六又乘负隅(三)得十八亦以
减纵剩三十与商相呼恰尽得长三十六步

　　又有以积与虚长阔和较共若干求阔者及求长者约和
得长阔几何并阔与较得长几何而视其所求为长为阔
如前法以别实积及负隅而皆以共数为带纵

　　假如直积八百六十四步一长二阔三和四较共三百一

　　十二步求阔几何约三和自具三

　　长三阔以并一长二阔共四长五

　　阔又以四较益阔为四长共得八

　　长而馀一阔应八乘积步得数六

　　千九百一十二为实以馀一为负

　　隅以共步为带纵初商二以乘负

　　隅(一)仍得二(因点为二段此为二十)以置纵

　　次位减之二上壹变九　进位参

　　变二馀纵二百九十二列原积之下以呼所商二二除四
　二上陆变二　二九一十八次位玖变一　进位二变
一　二二除四　二上壹变七　进位一变○　馀实一
○七贰复以初商二又乘负隅以减纵二上九变七　剩
纵二七贰续商四又乘隅减纵四上贰变八　进位七变
六是为二六八以乘所商(四)除尽得阔二十四步
又有以虚长虚阔约其子母共若干与积若干求长阔
若干者法以长母乘阔子为阔率以阔母乘长子为长

率又两母相乘以乘共数为带纵而约带纵为几长几
阔以一乘原积为实以一为负隅如前法为减纵开平
方除之

　　假如直积二千三百五十二步只云长取八之五阔取三
之二并得六十三步求阔者两母(三八)互乘得二十四以乘
相并(六十三)共一千五百一十二为带纵而以长母(八)乘阔
子(二)得一十六为阔率以阔母(三)乘长子(五)得一十五为
长率则知此带纵数内具有长十五阔十六也以长十五

乘直积得三万五千二百八十为实以阔一十六为负隅
初商四纪右(有二点即作四十)以乘负隅得六百四十以减纵
四上壹变七六上伍变八　进削壹　馀纵八百七十
二以注实下与商呼除四八三十二　八上伍变三进

　　削三四七二十八七上贰变四

　　进削三二四除八　尾位变○

　　馀实四百再以初商所乘隅算

　　(六百四十)减馀纵四上七变三　六

　　上八变二馀纵二百三十二续

　　商二纪右以乘负隅得三十二

　　亦以减纵尾位除贰进位三变

　　○剩纵二百与续商二相呼恰

　　尽得阔四十二以除直积得长

　　五十六

　　带纵负隅减纵翻法开平方法(积和求长)

　　凡积与勾股和求股者原积但有长乘阔数而负长自

乘之数法须损阔益长求之先立一为负隅以和为纵
方而以负隅减纵方初商令稍浮常法以乘负隅减纵
次呼馀纵开积而原积不及翻以原积减商除之积而
以馀负积为实复以初商乘隅以减馀纵如馀纵不及
即以馀纵翻减以为负纵而隅积纵三者俱负乃以负
纵约馀负积以得次商命负隅以除负积为带纵负隅
减纵翻法开平方

　　假如直积八百六十四长阔和六十求长几何列实以和

为纵方一为负隅初商三(有二段即系三十正得长阔之平损阔益长)纪右以
乘负隅(一)仍得三以减纵剩三十与商相呼三三得九(即九
百)而原积不及乃翻列九百于原积之上而以原积减之
尾位○变六进位○变三　首位削九得
馀负积三十六为实再以初商(三)命负隅
(一)以减馀纵(三十)减尽乃约馀实得次商六
纪右以乘负隅(一)仍得六注尾位呼除负
实六六三十六恰尽得长三十六

　　假如直积三千四百五十六长阔和一百二十求长几
何列实定位列和为纵方立一为负隅初商七(有二段即七十)
乘负隅(一)仍得七纪右以减纵方馀纵(五即五十)以呼初商

合除三千五百而原积不足乃翻以原积
除之列三五于原积之上反以原积除之
尾位○变四进位○变四　进位削五又
进位削三　剩负积四十四为实仍以初
商七十乘负隅减馀纵(五十)而馀纵不足乃
以馀纵(五十)反减初商(七十)馀二十为廉法挨
注次位而纵又为负次商二纪右亦注二

　　于尾位为隅法共二十二皆与所商之二呼除恰尽得

长七十二

　　亦有虚立长阔和较求长者假如直积八百六十四步一
长二阔三和四较共三百一十二步求长若干依前法演

　　得八长一阔以一阔为实

　　八长为负隅共步为纵方

　　列实初商三纪右(即三十)以

　　乘隅(八)得二百四十以减

　　纵一变七进削三馀纵七

　　十二以呼所商(三)除积合除二千一百六十而积反不足
乃翻以积除之列二一六○于上　肆上○变六　进位
六变九　进位一变二　进位二变一　尚馀负积一二

　　九六复以初商(三)乘负隅

　　(八)合减纵二百四十而馀

　　纵(七十二)不足翻以馀纵减

　　之剩负纵一百六十八是

　　馀纵积算俱负

　　次约负积商六纪右以乘负隅八又并负纵共二百
一十六挨注尾位以呼所商二六一十二　二上削二
进削一　一六除六　一上九变三　六六三十六恰
尽得长三十六

　　假如直积三千四百五十六步一长二阔三和四较共
六百二十四步求长几何仍前八长一阔以一为实八
为负隅共步为纵方初商七纪右以乘负隅(八)得五百
六十以减纵方剩六十四注首位合除四千四百八○

　　列原积上以视原积不

　　足翻以原积减之尾位

　　○变四　四上八变二

　　六上四变○　进位

　　四变一　馀负一千二

　　十四为实再以初商(七十)乘负隅(八)得五百六十者减馀
纵而纵又不足则翻以纵减之馀纵四百九十六而隅
法纵法积法俱负续商二纪右以乘隅(八)得一十六并

入负纵共五百一十二挨尾注之与所商二相呼恰尽
得长七十二步






　　同文算指通编卷七