钦定四库全书

　　同文算指通编卷二

　　明　李之藻　撰

　　合数差分法第四上

　　总数一也而分之糅杂不齐者亦以准测齐之大抵以
总数为第一率以总数所得为第二率(如以母得子或以银得年月之类)
分布而各为之宗为第三率若三率不尽者亦用重准
之法测之

　　问四商共贩得子银六千两而各出母银不同甲母六
十乙母一百丙母一百二十丁母二百每人该分子银
若干先以四人共母为第一率以所获共子为第二率
分置四母各一宗为第三率以第二递乘第三以一率
除

　　一　四百八十

　　二　六千

　　三　六十(甲)　　一百(乙)　　一百二十(丙)　二百(丁)

　　四　七百五十　一千二百五十　一千五百　　二千五百

　　问三商置货同舟甲货值三百两乙货值五百两丙货
值一百八十两遭风共弃货值四百两各照原值摊认
法并三人值为第一率以所弃值为第二率分三人货
值为第三率叠以三率法乘除

　　一　九百八十

　　二　四百

　　三　三百(甲)　　　　五百(乙)　　　　一百八十(丙)

　　四　一百二十二两又九百　二百四两又九百　七十三两又九百八

　　八十分两之四百四十　八十分两之八十　十分两之四百六十

　　问三人共买货四千斤值银五百两甲取一千三百斤
乙取一千四百六十斤丙取一千二百四十斤各该认
价若干此以总货为第一率以总价为第二率以各人
所取数分三宗为第三率

　　一　四千斤

　　二　五百两

　　三　一千三百(甲)　　一千四百六十(乙)一千二百四十(丙)

　　四　一百六十二两又二(分两之一)　一百八十二两又二(分两之一)一百五十五两

　　问三商共得子银一千两所出母银多寡不一先后亦
不一甲母二百两满八个月乙母四百五十两满六个
月丙母五百两满十个月此子银一千者每人应分若
干其法以各母乘各月(以八乘二百得一千六百以六乘四百五十得二千七百以一
十乘五百得五千共九千三百)总汇之为第一率以所获总子为第二
率以各母及月分所乘出三宗为第三率

　　一　九千三百

　　二　一千

　　三　一千六百(甲)　　二千七百(乙)　　五千(丙)

　　四　一百七十二两又　　二百九十两又九　　　五百三十七两又九

　　九十三分两之四　　十三分两之三十　　　十三分两之五十九

　　问三商共贩得子银一千两甲母三百两十个月乙母
七百两丙母八百两俱不知月其子银则甲得分五百
两乙得三百两丙得二百两要知丙丁二人出过母银

几月其法先取甲之知母知子知月者为算以所分五
百为第一率以一十月乘三百两为第二率(共三千)已知
甲之五百乃三千中之五百矣次列乙丙所得子各一
宗为第三率二三相乘而以一率除之得第四率即乙
丙母银乘月之数次乃各以其母除之仍得月数此于
四率外加一率兼重准测法云

　　一　五百(甲之子)

　　二　三千(甲月与母乘)

　　三　三百(乙之子以乘三千得九十万以五百除)二百(丙之子以乘三千得六十万以五百除)

　　四　一千八百(此兼乙母　乘乙月之数)一千二百(此兼丙母乘丙月之数)

　　二月又七分月之四(以乙母七百除得乙月)一月又二分月之一(以丙母八百除得丙月)

　　问四商居积二年得利一万两甲原母三千两至满八
月先取出一千两至满十九个月又加一千二百两乙
原母二千四百两至满六个月取出八百两至满十五
个月又加一千四百两丙原母二千两满七月悉收回
至满一十七个月别出母一千六百两丁初不出母六

个月后方出一千八百两又过四个月取出九百两至
满十六个月又增入一千五百两此四人者于所𫉬息
一万两内计母计月各该分若干其法以四母各乘其
月甲作三段乘(三千两乘八个月得二万四千数八月之后取去一千只存二千至十九月满
共十一个月以十一乘二千得二万二千数其十九月之后又加一千二百共三千二百自第二十个月起到
底计五月以五乘三千二百得一万六千共得六万二千)乙作三段乘(二千四百两乘六个月得
一万四千四百两此后除去八百两只存一千六百两至满十五月实九个月以九乘一千六百得一万四千
四百两其十五个月之后又加入一千四百两共本银三千两到底计九个月以九乘三千得二万七千共得

五万五千八百数)丙作二段乘(二千两乘七个月得一万四百两自满十七个月以后出本至
二年止共七个月以七乘一千六百得一万一千二百共得二万五千二百数)丁作三段乘(自六
个月以后出本一千八百两满四个月以四乘一千八百得七千二百此后取去九百实在九百至第十六个
月满计六个月以六乘九百得五千四百此后又出本一千五百共二千四百到底计八个月以八乘二千四
百得一万九千二百共得三万一千八百数)四人共计一十七万四千八百
为第一率以所𫉬息为第二率分各母乘月数为四宗
作第三率

　　一　一十七万四千八百

　　问三商同夥甲母四百两乙三百两八钱六分丙一千
两零七钱九分三商共折银一百两各认若干此皆化
两为分(甲四万乙三万八十六丙十万七十九)并三人总分数为第一率
以所折为第二率分各母数三宗为第三率

　　一　一十七万一百六十五

　　二　一万

　　三　四万(甲)　　　　　三万八十六(乙)　　十万七十九(丙)

　　四　(二千三百五十又　一千七百六十八　五千八百八十一十七万一百六十　又十七万一百六　又十七万一百六)

　　(五之十一万二千　十五之八千二　　十五之四万九千二百五十　　　　百八十　　　　　六百三十五)

　　问三商甲出母银二百两经十二月乙出母银二百四
十两不知月丙出金若干不出银经十个月共得子银
一百三十八两甲分六十乙得四十八丙得三十今问

乙该几个月丙之金值几何此以甲银乘甲月(共二千四百)
而知子银六十出自二千四百也以六十为第一率以
二千四百为第二率以乙丙各子为第三率二三相乘
各以一除之其所得数(乙一千九)兼乙丙之母与月皆在其
中矣乃以乙母除乙之四率而知乙之月八以丙月除
丙之四率而知丙之母金值银一百二十两

　　一　六十

　　二　二千四百(以上俱甲)

　　三　四十八(乙)　　　　　　三十(丙)

　　四　一千九百二十　　　　一千二百

　　八月(以本银除之得此数)一百二十两(以月分除得此数)

　　问三贾共贩一年甲先出母银一千两乙母后二个月
方出丙母后四个月方出俱不知其数几何但所得子
银则均分要知乙丙各母之数此以所已知甲母甲月
相乘为第一率乙丙准此为算而各以其月除之(乙十月丙
八月)即各得其母之数

　　一　一万二千(甲母乘月)

　　二　一千二百(乙母)　　　　一千五百(丙母)

　　右试法合三总数为三万六千作第一率随意立一数
为子数作第二率又以总数分为三宗(各万二千)作第三率
而各以第一率除之甲乙丙所得皆同

　　一　三万六千

　　二　九百　　(随意立此数)

　　三　一万二千

　　四　三百

　　问三商共得子银一百九十两其分息则乙比甲仅三
之一丙比甲仅四之一其母银则甲出八十两十二个
月乙不知几何但知八个月丙亦不知几何但知四个
月要知三人各息若干丙丁各母若干此须再用重准
测法求之先以甲母及月相乘(九百六十)为第一率以其三
之一(乙三百二十)四之一(丙二百四十)兼各母与月者为第二率
既得母月兼数即以乙丙各月除之知各母数然后可

以察其分息之数矣另并三人所乘母数月数为第一
率以总子为第二率分甲乙丙母所乘得为第三率二
三相乘以一除之各得第四率为所分子银数

　　一　九百六十(甲母乘甲月)

　　二　三百二十(乙得甲三之一)二百四十(丙得甲四之一)

　　三　四十两　(乙以八除得此)六十两　(丙以四除得此)

　　右已知乙丙之母银再测如左

　　一　一千五百二十(甲九百六十乙三百二十丙二百四十并此数)

　　二　一百九十

　　三　九百六十(甲)　　三百二十(乙)　　二百四十(丙)

　　四　一百二十　　　四十　　　　　三十

　　问三商共母一千五百二十两得子一百九十两照母
分之甲得一百二十两乙得四十两则丙所得若干又
甲乙丙各母若干法就总子银内减去甲乙所得子剩
三十为丙之子仍以总子为第一率以共母为第二率
以各分子银三宗为第三率二三相乘以一除之得第

四率为各母

　　一　一百九十

　　二　一千五百二十

　　三　一百二十(甲之子)四十(乙之子)　三十(丙之子)

　　四　九百六十(甲之母)三百二十(乙之母)二百四十(丙之母)

　　问三商总母一千五百二十两总得子一千七百十两
子母共分甲分一千八十两乙分三百六十两丙分二
百七十两则每人各母若干其法并三人子数为第一

率母为第二率以各人所分得三宗为第三率依准测
法得四率为各母数就各以四率之数减其第三率之
数馀者为各子数

　　一　一千七百一十

　　二　一千五百二十

　　三　一千八十(甲)　三百六十(乙)　二百七十(丙)

　　四　九百六十　　三百二十　　二百四十

　　问二商共得子银二百两甲分五十两乙分一百五十

两其母则乙多甲一倍又零八两二人各出母几何其
法置甲五十乙倍之该得一百今分一百五十则知已
赢母八两故于一百数外多获五十也依法列三率知
五十之出于八则知一百五十之出于二十四矣

　　一　五十

　　二　八

　　三　五十(甲)　　　一百五十(乙)

　　四　八　　　　　二十四

　　问二商共贸甲母一百二十两乙母一百八十两共一
牙侩每子银一百两与牙银十两后得子银一千两各
该分几何其法于一千内除去牙银一百两以实在子
银九百两为算乃并甲乙母为第一率实在子银为第
二率分甲乙母二宗为第三率

　　一　三百

　　二　九百

　　三　一百二十(甲母)　　　一百八十(乙母)

　　四　三百六十　　　　　五百四十

　　问三商共得子银一千五百二十两其母银则甲出一
千八十两乙出三百六十两丙不知所出几何只言分
得子银二百四十两今欲知丙母几何甲乙所得子几
何其法先就总子数内减去丙子一千二百八十为甲
乙共得子数乃并甲乙母为第一率以甲乙共子为第
二率分甲乙二母数为第三率法得第四率为甲乙子
数

　　一　一千四百四十(并甲乙母)

　　二　一千二百八十(并甲乙子)

　　三　一千八十　　(甲母)　　三百六十(乙母)

　　四　九百六十　　(甲子)　　三百二十(乙子)

　　已知甲乙子母之数即可因丙子以求丙母乃并甲乙
子为一率并甲乙母为二率丙子为三率

　　一　一千二百八十(并甲乙子)

　　二　一千四百四十(并甲乙母)

　　三　二百四十(丙子)

　　四　二百七十(丙母)

　　问三商母银各等一年内共得子银一千两但甲母阅
七月乙母阅六月丙母则满一年各该分子银若干其
法积甲乙丙总月为第一率以总子为第二率列三人
各月数为第三率

　　一　二十五月(并甲乙丙)

　　二　一千两

　　三　七(甲)　　　　六(乙)　　　　十二(丙)

　　四　二百八十两　二百四十两　四百八十两

　　问织绢每疋用丝一斤工价即与丝四两今有丝四十
三斤一十二两其织丝工丝各若干法当化斤为两然
后归两作斤并工丝绢丝共二十两置首率总丝为七
百两置次率列工丝绢丝置第三率依法乘除

　　一　二十两

　　二　七百两

　　三　四两(工价)　　　　　　　一十六两(织绢)

　　四　一百四十两(归之乃八斤一十二两)五百六十两(归之为三十五斤)

　　问甲乙丙三人以田多寡均应一年差役甲田三百五
十亩乙田二百八十亩丙田一百七十亩各役几时此
并三人田(共八百亩)置首率以一年为三百六十日置次率
列三人田数置第三率

　　一　八百亩

　　二　三百六十日

　　三　三百五十亩(甲)　二百八十亩(乙)　一百七十亩(丙)

　　四　一百五十七日半　一百二十六日　七十六日半
问派粮八百四十石四县照田地多寡纳之甲田三千
六百三十五亩乙田二千四百六十六亩丙田三千五
百七十七亩丁田四千三百二十二亩各纳若干亦并
总亩置首率总粮置次率列四县各田数置第三率

　　一　一万四千亩

　　二　八百四十石

　　三　三千六(百三十五亩甲)　二千四(百六十六亩乙)　三千五(百七十七亩丙)　四千三(百二十二亩丁)

　　四　二百一十　一百四十七　二百一十四　二百五十九

　　八石一斗　石九斗六升　石六斗二斗　石三斗二升

　　问五县输榖二万石照依人户多少道里远近价值上
下而均输之每车载二十五石行一里僦值一钱甲县
二万零五百二十户榖石价二两乙县一万二千三百
十二户榖石价一两远输二百里丙县七千一百八十
二户榖石价一两二钱远输一百五十里丁县一万三

千三百三十八户榖石价一两七钱远输二百五十里
戊县五千一百三十户榖石价一两三钱远输一百五
十里各该若干先求各衰(惟甲县自输本县无僦里以榖价二两为法除甲户得一
千○二十六衰乙丙丁戊俱有僦价各以僦一钱乘所输里数而以每车二十五石除之得各运价以乘各户
而求各衰乙县行道二百里乘除之得八钱并榖价一两八钱以除乙户得六百八十四衰丙县行一百五十
里乘除得六钱并价共一两八钱除丙户得三百九十九衰丁县行二百五十里乘除得一两并价共二两七
钱除户得四百九十四衰戊县行一百五十里乘除得六钱并价共一两九钱除户得二百七十衰)并五
衰(共二千八百七十三)为首率以总榖为次率列各衰为三率

　　一　二千八百七十三

　　二　二万石

　　三　一千二百六(甲)六百八十四(乙)三百九十九(丙)四百九十四(丁)二百七十(戊)

　　四　(七千一百　四千七百　二千七百　三千四百　一千八百四十二石　六十一石　七十七石　三十八石　七十九石

　　三斗五升　五斗七升　五斗八升　九斗一升　五斗六升九合九勺　三合二勺　四合四勺　四合零勺　八合三勺)

　　　僦价无　二十两　一十五两　二十五两　一十五两

　　问有田一万八千八十八亩三子递分伯比仲多一倍
仲又比季多一倍各该若干此倍增倍减法也以一二

四为衰分(季一仲二伯四)合总为第一率田数为第二率分各
衰为三率

　　一　七

　　二　一万八千八十八亩

　　三　四(伯)　　　　二(仲)　　　　一(季)

　　四　一万三百三十六　五千一百六十八　二千五百八十四

　　问有银九十二两四子挨次递分各几何并各衰(伯四仲三
叔二季一共得一十)为首率银数为二率各衰为三率

　　一　一十

　　二　九十二

　　三　一(季)　　二(叔)　　　三(仲)　　　四(伯)

　　四　九两二钱(季)一十八两四钱(叔)二十七两六钱(仲)三十六两八钱(伯)

　　问官银一千一百零七两令五等户减半出办甲户一
十六乙户二十五丙户三十一丁户四十八戊户六十
二每等每户各若干亦先以各衰乘各等户数并(甲衰乘得
二百五十六乙衰乘得二百丙衰乘得一百四十二丁衰乘得九十六加戊衰并得七百三)为首

率总银为次率列各衰为三率推得各等共数再以各
户除之得各户数

　　一　七百三十八

　　二　一千一百零七两

　　三　二百五十六(十)二百(八)一百四十二(甲)九十六(乙)　六十二(丙)

　　四　三百八十四两　三百两一百八十六两　一百四十四两　九十三两

　　二十四两　一十二两六两　　三两　　一两五钱

　　问用金八十一两造杯一套五个每杯重若干此挨次

衰分并各衰(五四三二一共一十五)为首率总金为次率列各衰
为三率

　　一　一十五

　　二　八十一两

　　三　五　　　四　　　三　　二　　　一

　　四　二十七两　二十一两(六钱)一十六两(二钱)一十两八钱五两四钱

　　问派粮一千一百三十四石令五等户挨次上纳甲户
二十四乙户三十三丙户四十二丁户五十一戊户六

十各等各户各若干法亦以各等户数乘各衰并为首
率粮数为次率分各衰列三率推得各等人户所纳再
以户数乘之得各等共数

　　一　五百四十

　　二　一千一百三十四石

　　三　一(戊)　　二(丁)　　三(丙)　　四(乙)　　五(甲)

　　四　二石一斗　四石二斗　六石三斗　八石四斗十一石五斗

　　一百(二十六石)二百(一十四石二斗)二百(六十四石六斗)　二百(七十七石二斗)二百五十二石

　　问𣲖粮三百八十五石五斗二升甲乙二等户四六办
纳甲二十六户乙四十户各等若干每户若干凡求四
六衰者就身六乘四除(首位四以六乘得二十四即以四除得六后多数仿此)此
先以六乘甲户四乘乙户(六乘二十六得一百五十六数四乘四十得一百六十数)
并为首率总粮为次率列各衰(十六下四)为三率推得每户
应纳之数再以甲乙各户数乘之得各共数(若先以总衰除总粮
得一石二斗二升乃以甲乙衰各乘亦同)

　　一　三百一十六

　　二　三百八十五石五斗二升

　　三　六(上)　　　　　　　　四(下)

　　四　七石三斗二升(甲一户)　四石八斗八升(乙一户)

　　　一百九十石三斗二升　一百九十五石二斗

　　问徵银一千七百一十六两以四等人作四六派出各
该若干法并各衰(丁四丙六乙九甲一十三零二之一)为首
率银数为次率列各衰为三率求得各衰数(此四六衰是一倍有半加之若先以总衰除总
银得五十二两八钱后以各衰乘之亦同)

　　一　三十二又二之一

　　二　一千七百一十六两

　　三　四(丁)　　　六(丙)　　　九(乙)　　　一十三又二之一(甲)

　　四　二百一十(一两二钱)三百一十(六两八钱)四百七十(五两二钱)七百一十(二两八钱)

　　问徵粮一千二百六十六石令五等人作四六纳之各
该若干法并各衰(戊四丁六丙九　乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六)
为首率(其甲与乙须用奇零并子母法并之增至多等皆然)总粮数为次率列各
衰为三率测得各衰数(若先以总衰除总粮得二十四石后以各衰数乘之亦同)

　　一　五十二又八之六

　　二　一千二百六十六石

　　三　四(戊)　　六(丁)　　九(丙)　　一十三(又二之一　乙)二十(又四之一　甲)

　　四　九十六石　一百(四十四石)二百(一十六石)三百(二十四石)四百(八十六石)

　　问派粮二百六十一石令三等户三七出办甲户二十
一乙户三十二丙户四十三各等几何每户几何凡求
三七衰分者用三除七乘递求若零分多者就首衰之
数以三因之法消息之如二位者只用三七如三位者

首位三就以三因得九为首衰四位者首位三以三因
得九又三因得二十七为首衰如五位者又以二十七
三因得八十一为首衰凡此皆以省零分也此问法以
各等乘各衰并之(甲二十一户乘甲衰四十九得一千二十九乙三十二户乘乙衰二十一
得六百七十二丙四十三户乘丙衰九得三百八十七共二千零八十)为首率以总粮为
次率列各衰为三衰推得第四率是各户应出之数再
以数乘之得各等共数

　　一　二千○八十八

　　二　二百六十一石

　　三　四十九(甲)　　二十一(乙)　　　九(丙)

　　四　六石一斗二升五合二石六斗二升五合

　　　一石一斗二升五合一石二十八石(六斗二升五合)　八十四石　　　四十(八石三斗七升五合)

　　问制钱三万八千二百八十文四人作三七分之各若
干法先并各衰(丁二十七丙六十三乙一百四十七甲三百四十三共五百八十)为首
率以总银为次率列各衰为三率推得四率

　　一　五百八十

　　二　三万八千二百八十文

　　三　二十七(丁)　六十三(丙)　　一百四十七(乙)　三百四十三(甲)

　　四　一千(七百八十二文)四千(一百五十八文)九千七百二文　二万(二千六百三十八文)

　　问派银八百二十八两二钱令五人三七纳之每人应
若干先并各衰(戊八十一丁一百八十九丙四百四十一乙一千零二十九甲二千四百零一
共四千一百四十一)为首率以总银为次率列各衰为三率

　　一　四千一百四十一

　　二　八百二十八两二钱

　　三　二千四(百○一甲)一千○(二十　九　乙)四百(四十　一　丙)一百(八十　九　丁)八十一(戊)

　　四　四百八(十两二钱)二百○(五两八钱)八十(八两二钱)三十(七两八钱)一十(六两二钱)

　　问官银二千六百三十五两令四等人二八出之各若
干凡求二八衰分者用四乘之递求次衰比问法先并
各衰(丁二丙八乙三十二甲一百二十八共一百七十)为首率总银为次率列
各衰为三率得各银数(此二八衰分是四倍加之若先以总衰除总银得一十五两五
钱后以各衰乘之亦同)

　　一　一百七十

　　二　二千六百三十五两

　　三　二(丁)　　　八(丙)　　　三十二(乙)　一百二十八(甲)

　　四　三十一两(丁)一百二十四两(丙)四百九十六两(乙)一千(九百八十四两　甲)

　　问𣲖粮二千六百五十五石九斗令五等户二八办纳
甲户三十乙户四十丙户五十丁户六十戊户七十各
等每户该若干法置五等衰以各户数乘之并(甲三十户乘衰
五百一十二得一万五千三百六十乙四十户乘衰一百二十八得五千一百二十丙五十户乘衰三十二得
一千六百丁六十户乘衰八得四百八十戊七十户乘衰二得一百四十并共二万二千七百)为首率

总粮为次率列各衰为三率推得四率是各等每户纳
数再以各等户数乘之得各等共粮数(若先以并衰除总粮得一斗一
升七合为最下衰然后以各衰乘之亦同)

　　一　二万二千七百

　　二　二千五百六十五石

　　三　五百一十二(甲)一百二十八(乙)三十二(丙)八(丁)　　二(戊)

　　四　(五十九石九斗一十四石九　三石七斗　九斗三　二斗三○四合　　　斗七升六合　四升四合　升六合　升四合)

　　以上四六三七二八俱增衰法

　　问官绢四百七十丈零一尺八寸四分令三等人户办
纳以一十分之六递减其上等计二十五户中等三十
户下等四十八户每等每户若干法先置各衰以各等
户乘并之(上等户数乘一百衰得二千五百中等户数乘六十衰得一千八百下等户数乘三十六
衰得一千七百二十八共六千零二十八)为首率以总绢为次率列各衰为
三率推得第四率为各等一户所出数再以各户数乘
之得各等数

　　一　六千零二十八

　　二　四百七十丈一尺八寸四分

　　三　一百　　　　　　六十　　　　　　　三十六

　　四　七丈八尺(上等户)四丈六尺八寸(中等户)二丈八尺八分(下等户)

　　一百九十五丈　一百四十丈四寸　　(一百三十四丈七尺八寸四分)

　　问官粮一百六十八石四斗八升八合令四等户办纳
递减十分之七甲户二十二乙户三十六丙户四十二
丁户四十八每等每户各几何立各衰以各户数乘并
(甲户数乘一千衰得二万二千乙户数乘七百衰得二万五千二百丙户数乘四百九十衰得二万五百八十

丁户数乘三百四十三得一万六千四百六十四通共八万四千二百四十四)为首率总粮为
次率列各衰为三率推得第四率各等一户所出数再
以户数乘之得各等数

　　一　八万四千二百四十四

　　二　一百六十八石四斗八升四合

　　三　一千　　七百　　　四百九十　三百四十三

　　四　二石(甲)　一石四斗(乙)九斗八升(丙)六斗八升六合(丁)

　　四十四石　五十(石零　四十一石　三十二石九四斗　一斗六升　斗二升八合)

　　右并衰系减衰法凡十之五十之九之类仿此

　　问榖二百四十石作五等分之甲乙二人数与丙丁戊
三人数等各几何此递差偏多偏寡法先并各衰为二
宗较之用馀数增入各衰并甲乙二衰(甲五乙四)得九又并
丙丁戊三衰(丙三丁二戊一)得六以减九馀三却于五等衰各
增三数(甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四共三十)并之为首率总米为次
率推得第四率递差八石其甲乙二人所分得数与丙
丁戊三人正相当(此是以八递加)

　　一　三十

　　二　二百四十石

　　三　四(戊)　　五(丁)　　六(丙)　　七(乙)　　八(甲)

　　四　三十二石　四十石　四十八石　五十六石　六十四石

　　右增衰凡增衰偏多偏寡者仿此如三人分要甲数
与乙丙数同者七人分要甲乙丙数与戊己庚辛数
同之类

　　问四商共得子银三百四十两其母以四递加(如乙五则丙九

丙七则丁十一丁九则甲十三是也系衰分递加)但知甲原母二百八十六两
馀递减各该若干须知十三之于九与二百八十六之
于某数相同按衰母递测之由甲母以推丁母由丁推
丙由丙推乙法以甲衰十三为第一率甲母二百八十
六为第二率以丁衰九为第三率依准测法得丁母数
馀仿此

　　以甲知丁　　　　以丁知丙　　　以丙知乙

　　一　十三(甲衰)　　　　十一(丁衰)　　　九(丙衰)

　　二　二百八十六(甲母)一百九十八(丁母)一百二十六(丙母)

　　三　九(丁衰)　　　　七(丙衰)　　　　五(乙衰)

　　四　一百九十八(丁之母)一百二十六(丙之母)七十(乙母)

　　右法已知各母再欲知其应分子银以四递加之数则
并甲乙丙丁母为第一率总子为第二率分四母为第
三率

　　一　六百八十(并母)

　　二　三百四十(总子)

　　三　二百八十六(甲)七十(乙)　一百二十六(丙)一百九十八(丁)

　　四　一百四十三　　三十五　　六十三　　九十九

　　问三商共银七百六十两分之则甲得十分乙得七分
丙得二分各若干其法并甲乙丙衰为第一率以银数
为第三率

　　一　一十九(甲一十乙七丙二共此数)

　　二　七百六十

　　三　一十(甲)　　　　　七(乙)　　　　　二(丙)

　　四　四百　　　　　　二百八十　　　八十

　　问应徵粮七十三石二斗派令三等人户照分摊出上
等二十五户每户作五分办中等四十户每户三分办
下等六十户每户一分办各户若干各等共若干法以
各分各户相乘并之(以五乘二十五得一百二十五以三乘四十得一百二十下等六十
无乘共三百零五)为一率以总粮为二率以各衰(五三一)为三率
推得三等户所应出分数再以各户数乘之得各等共
数

　　一　三百零五

　　二　七十三石二斗

　　三　五　　　　　　　三　　　　　　一

　　四　一石二斗　　　　七斗二升　　　二斗四升

　　三十石(上)　　　二十八石八斗(中)一十四石四斗(下)

　　问朱砂每斤三两六钱石青每斤二两四钱今有银一
千二百两议买朱青二色朱数比青增一倍各斤数与
价若干法因朱砂加倍即倍其价(三两六钱)为七两二钱并

青价(二两四钱)共九两六钱为一率以总银为二率以各价
为三率推得斤数为四率再各以价乘之

　　一　九两六钱

　　二　一千二百两

　　三　三两六钱　　　　　　　二两四钱

　　四　二百五十斤价九百两　　一百二十五斤价三百两
问绫每尺价银九分二釐罗每尺八分五釐绢每尺三
分六釐今有银一百二十一两一钱七分五釐买绫一

停罗二停绢三停各实数与价若干法用二乘罗价(一钱
七分)三乘绢价(一钱八釐)并绫价共三钱七分为一率总银为
二率各价为三率得四率为各实数各以原价乘之

　　一　三钱七分

　　二　一百二十一两一钱七分五釐

　　三　九分二釐　　　　八分五釐　　　　三分六釐

　　四　三十二丈七(尺五寸绫)六十五丈五尺(罗)九十八丈二(尺五寸绢)

　　三十两一钱三分　五十五两六钱(七分五釐)三十五两(三钱七分)

　　问芝麻每三斗换米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝
麻四百五十石换米豆共九百一十石各用芝麻若干
所换米豆各若干法用重准先并米五豆七共一十二
为首率以芝麻总数为二率分列米五豆七为三率求
得芝麻合换米　各数以为重准之第三率以米　共
数为二率芝麻总数为首率求得米　各数

　　一　一十二　　　　　　　　　四百五十石

　　二　四百五十石　　　　　　　五　　　　　　七

　　三　五　　　　七　　　一百　(八十七石五斗)二百　(六十二石五斗)

　　四　一百八十七(石五斗以换米)二百六十二(石五斗以换豆)二百九十(七石五斗)六百一十(二石五斗)

　　问银一千零八两买丝三停绵二停线一停共三百六
十两其价线一两抵绵一两六钱抵丝二两欲知三色
并价各若干者并各衰(丝三绵二线一共六)置第一数以总银为
第二率分各衰列第三率推得第四率是各色数乃照
前价取丝(一百八十两)以二十除之得九十衰取绵(一百二十两)
以一十六除之得七十五衰并线六十衰共二百二十

五为法除总银得线价以一十六除线价得绵价以二
十除线价得丝价

　　一　六

　　二　三百六十两

　　三　三(丝)　　　　　二(绵)　　　　　一(线)

　　四　一百八十两　　一百二十两　　六十两

　　二两二钱四分(丝价)二两八钱(绵价)　四两四钱八分(线价)

　　问冰片每两价二两七钱五分沉香每两价银三钱五

分奇南每两价银八钱有人以沉香一十七斤三两又
有人以奇南一十三斤十二两各欲换冰片若干法置
冰片价为首率化沉香奇南斤数为两置次率各价为
三率

　　一　二两七钱五分

　　二　二百七十五两　　　　二百二十两

　　三　三钱五分　　　　　　八钱

　　四　三十五两(沉香所换)　　六十四两(奇南所换)

　　问养军二万五千二百名月粮米麦豆兼支米每四名
支三石麦每九名支五石豆每七名支八石各几何即
以七九四各列第一率以军总数为二率以八五三列
三率

　　一　七　　　　　　九　　　　　四

　　二　二万五千二百名

　　三　八(豆)　　　　　五(麦)　　　　三(米)

　　四　二万八千八百石　一万四千石　一万八千八百石

　　问刻漏一壶贮水令漏开三孔其一孔最大漏水二时
而尽一孔次之三时而尽一孔最细六时而尽假如三
孔俱泄则几刻水尽其法先以三孔与时刻相较以各
时为第一率以一壶为二率以最小时为第三率要见
大孔二时漏尽一壶则六时漏尽三壶其馀仿此而推

　　一　二时(大)　　　　三时(次)　　　　六时(小)

　　二　一壶

　　三　六时

　　四　三壶　　　　　二壶　　　　　一壶

　　又法总而计之凡六时漏尽六壶知三孔俱开则其水
一时漏尽只以分数算之

　　一　二时　　　　　三时　　　　　六时

　　二　一壶

　　三　一时

　　四　二分水之一　　三之一　　六之一(积之共一壶即是一时尽一壶也)

　　右三数偶满一时其法易算若并有奇零者另法求

之假如累台一座甲六年完工乙九年完工丙十八
年方完今三人同累须几时可完此先知每人每年
所为之工得若干而总算之六年者每年得六分之
一其九年者每年得九分之一其十八年者每年得
十八分之一依并法每年共得三分之一约计三年
通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成
六分之一共足十分之数

　　问漏壶一座上有渴乌注水下有天池泄水今塞其下

窍注水于壶四时而水满开其下窍泄水壶外六时而
泄尽若使上注下泄相并则此壶须几时可满法以四
时为一率以一壶为二率以一时为三率测之而得一
时之所注(四分壶之一)又以六时为一率一壶为二率一时
为三率亦得一时之注(六分壶之一)乃以四之一减六之一
得十二之一于是又以十二之一为第一率以一时为
第二率以一壶为第三率得四率(以十二时注满)凡用准测法
者三

　　一　四时　　　　六时　　　　十二分壶之一

　　二　一壶　　　　一壶　　　　一时

　　三　一时　　　　一时　　　　一壶

　　四　四分壶之一　六分壶之一　十二时

　　问塞下窍四时水满通下窍六时水尽今上注下泄
则四个时满几分曰六时尽者四时泄三分之二以
除全壶馀三分之一为水满数又问如此则几时可
满一壶曰依前法当以十二时满又问假如塞下窍

注上窍三时而满塞上窍开下窍八时而尽若上注
下泄须几时可满曰以三时满者一时之率三之一
以八时尽者一时之率八之一就三之一减八之一
馀二十四之五为一时之率则全壶得四时零五分
时之四也又问一壶既以三时而满假如四时又五
分时之三可满几壶曰满一壶又十五分壶之八又
问八时尽一壶若四时又五分时之四该几何曰此
五分壶之三即于前数一时满一壶者除之便得问

八时尽一壶三时得几何曰三时泄得八分之三以
除前壶馀八分之五是三时满八分之五又问三时
满八分之五则全壶几时满曰四时零五分时之四





　　同文算指通编卷二