钦定四库全书
　弧矢算术　　　　　　　明　顾应祥　撰
圆径与截矢求截弦
　术曰半径为弦半径减矢为股各自乘相减馀为勾
　算平方开之得勾即半截弦
　又曰以矢减径以矢乘之即半截弦算
圆径十寸从旁截一弧矢阔一寸问截弦
　答曰六寸

　术曰半径自之得二十五　半径减矢自之得一十
　六寸相减馀九平方开之得三倍之即截弦
　又曰圆径自之得一百为弦算圆径减倍矢自之得
　六十四为股算相减馀三十六为勾算平方开之得
　全弦
圆径十三步截矢阔四步问截弦
　答曰十二步
　术曰半径算四十二步(二五/)减矢半径算六步(二五/)

　相减馀三十六步为勾算
　又曰全径算一百六十九　减倍矢径算二十五相
　减馀一百四十四平方开之得全截弦
圆径九十步截矢九步问截弦
　答曰五十四步
　术同
圆材径二尺五寸锯板欲厚七寸问阔几何
　答曰板阔二尺四寸

　术曰圆径为弦自之得六十二尺五寸　板厚为勾
　自之得四尺九寸相减得五十七尺六寸为股算平
　方开之

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　商得
　一寸　置一于左上为法　置一乘上廉仍得一十
　四寸　置一隅因得五以减下廉馀三十五寸　置
　一自之以乘下廉仍得三十五寸并上廉得四十九
　为下法
圆径九十步从旁截积二百八十三步半问截矢
　答曰矢九步

　术曰倍积自之得三十二万一千四百八十九步为
　正实　四因积得一千一百三十四为上廉　四因
　径得三百六十为下廉　五为负隅　商得九　置
　一于左上为法　置一乘上廉得一万○二百○六
　置一隅因得四十五以减下廉馀三百一十五　置
　一自之以乘馀下廉得二万五千五百一十五并上
　廉共二万五千七百二十一为下法
圆径九十步从旁截积八百一十步问矢

　荅曰矢一十八步
　术曰倍积自之得二百六十二万四千四百为正实
　　四因截积得三千二百四十为从上廉　四因圆
　径得三百六十为从下廉　五为负隅　初商一十
　　置一于左上为法　置一乘上廉得三万二千四
　百　置一以隅因之得五十以减从下廉馀三百一
　十　置一自之以乘馀下廉得三万一千　并上廉
　共六万三千四百为下法与上法相乘除实六十三

　万四千　馀实一百九十九万○四百未尽　倍上
　廉得六万四千八百初商自之三因得三百为下廉
　方法　初商三之得三十为下廉廉法　初商自乘
　再乘隅因得五千为下廉减隅　次商八　置一于
　左上为法　置一乘上廉得二万五千九百二十并
　倍上廉共九万○七百二十　置一并入初商得一
　十八以隅因之得九十以减从下廉馀二百七十
　以方法乘之得八万一千　置一乘廉法得二百四

　十以乘馀下廉得六万四千八百　置一自之得六
　十四以乘馀下廉得一万七千二百八十减去减隅
　五千止存一万二千二百八十　下廉方廉隅共一
　十五万八千○八十并上廉共二十四万八千八百
　为下法与上法相乘除实尽
　又术次商八　置一于左上为法　倍初商加次商
　得二十八以乘上廉得九万○七百二十　置一隅
　因得四十以减馀下廉止存二百七十倍初商加次

　商并初次商因之得五百○四加初商自之一百共
　六百○四以乘二百七十得一十六万三千○八十
　　以初商自乘再乘隅因得五千减之止存一十五
　万八千○八十并上廉共二十四万八千八百为下
　法
又为添积开三乘方法
　术曰倍积自之得二百六十二万四千四百为正实
　　四因截积得三千二百四十为上廉　四因圆径

　得三百六十为下廉　五为负隅
　初商一十　置一于左上为法　置一自之又自之
　得一万为三乘方面以隅因之得五万为益实加入
　正实得二百六十七万四千四百为通实　置一乘
　上廉得三万二千四百　置一自之以乘下廉得三
　万六千并上廉共六万八千四百为下法与上法相
　乘除实六十八万四千　馀实一百九十九万○四
　百未尽为次商正实

　次商八　置一于左上为法　置一加初商自之又
　自之得一十○万四千九百七十六为三乘方面以
　隅法因之得五十二万四千八百八十内减初益实
　五万馀四十七万四千八百八十为益实加入次正
　实共二百四十六万五千二百八十为通实　倍初
　商加次商得二十八以乘上廉得九万○七百二十
　　倍初商加次商得二十八并初次商一十八相因
　加初商自乘共六百○四以乘下廉得二十一万七

　千四百四十　并上廉共三十○万八千一百六十
　与上法相乘除实尽
圆径八十九步从旁截积一千三百一十二步半问截
　矢
　答曰矢二十五步
　不用倍积术曰积自之得一百七十二万二千六百
　五十六步(二五/)　截积一千三百一十二步半为上
　廉径八十九步为下廉以一步二分五釐为负隅

　初商二十　置一于左上为法　置一乘上廉得二
　万六千二百五十　置一以隅因之得二十五以减
　下廉馀六十四　置一自之以乘馀下廉得二万五
　千六百并上廉得五万一千八百五十为下法与上
　法相乘除实一百○三万七千　馀实六十八万五
　千六百五十六步二五未尽
　次商五　置一于左上为法　置一以隅因之得六
　步二分五釐以减馀下廉馀五十七步七分五釐

　　倍初商加次商得四十五以乘上廉得五万九千
　○六十二半　倍初商加次商并初次商因之得一
　千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十
　五以乘馀下廉得八万八千○六十八步七五　内
　减初商自乘再乘隅因一万　止存七万八千○六
　十八步七五并上廉共一十三万七千一百三十一
　步二五　与上法相乘除实尽
　解曰弧矢状类勾股勾股得直方之半故倍其积以

　股除之即得勾弧背曲倍积则长一弦而又一矢以
　矢乘积倍之恰得一弦一矢之数因未知矢故以积
　自乘为实约矢一度乘积以为上廉两度乘径以为
　下廉并之为法而后可以得矢用三乘者何也积本
　平方以积乘积是两度平方矣故用三乘方法开之
　上廉下廉俱用四因者何也倍积则乘出之数为积
　者四故上下廉俱四以就之减径者何也径乃圆之
　全径矢乃截处之勾矢本减径而得故亦减径以求

　矢五为负隅者何也凡平圆之积得平方四之三在
　内者七五在外者二五不拘圆之大小每方一尺该
　虚隅二寸五分四其矢得四四其虚隅得一合而为
　五亦升实就法之意如不倍积廉不用四因以一二
　五为隅法亦通　或不减径作添积三乘方法亦通

　
　
　
　
　
　
　
　

圆径与截积求截弦
　术曰倍积以矢除之减矢即弦
　又法用矢径求弦术
圆径八十九步从旁截积一千三百一十二步半问截
弦
　答曰弦八十步
　术曰倍积得二千六百二十五步以求出矢二十五
　除之得一百○五步乃一弦一矢减矢即弦

　又曰倍矢减径馀三十九自之得一千五百二十一
　为勾算全径自之得七千九百二十一为弦算相减
　馀六千四百为股算平方开之
　若求弧背以径除矢算即半背弦差
圆径与弧背求矢
　术曰半弧算径算相乘为实径乘径算为从方径算
　为上廉径背相乘为下廉以上廉减从以隅减下廉
　三乘方法开之

平圆径十尺从旁截处弧背八尺八寸问矢
　答曰矢二尺
　术曰半弧背自之得一十九尺三寸六分　径自之
　得一百尺　相乘得一千九百三十六尺为正实
　径乘径算得一千尺为从方　径算一百尺为上廉
　　全背乘径得八十八尺为下廉
　约商二尺　置一于左上为法　置一乘上廉得二
　百尺以减从方馀八百尺　置一自之得四以减下

　廉馀八十四尺　又以二乘馀下廉得一百六十八
　尺　并从方共九百六十八尺为下法
　又术商矢减径存八尺以矢乘之得十六平方开之
　即得半弦
平圆径九十步旁截边弧背五十五步八分问矢
　答曰九步
　术曰半背算七百七十八步四一　径算八千一百
　二算相乘得六百三十○万五千一百二十一为正

　实　径乘径算得七十二万九千为从方　径算八
　千一百为上廉　径背相乘得五千○二十二为下
　廉如前法求之
平圆径九十步旁截弧背七十九步二分问矢
　答曰矢一十八步
　术曰半弧算一千五百六十八步一六　径算八千
　一百　二算相乘得一千二百七十○万二千○九
　十六为正实　径乘径算得七十二万九千为益从

　方　径算八千一百为上廉　径背相乘得七千一
　百二十八为下廉
　初商一十　置一于左上为法　置一乘上廉得八
　万一千以减从方馀六十四万八千　置一自之得
　一百以减下廉馀七千○二十八　置一乘馀下廉
　得七万○二百八十并减馀从方共七十一万八千
　二百八十为下法与上法相乘除实七百一十八万
　二千八百馀实五百五十一万九千二百九十六未

　尽
　次商八　置一于左次为上法　倍初商加次商得
　二十八以乘上廉得二十二万六千八百以减益从
　方馀五十○万二千二百为从方　并初次商得一
　十八自之得三百二十四加初商自之一百为四百
　二十四以减下廉馀六千七百○四　倍初商加次
　商得二十八因之得一十八万七千七百一十二
　并入从方共六十八万九千九百一十二为下法与

　上法相乘除实尽
　解曰径除矢算得半背弦差今以弧背求矢故亦用
　半背算与径算相乘为实以径乘径算为从方而从
　方内多一矢乘径算之数故以径算为上廉以矢乘
　而减之然从方得矢之方而未得矢之廉也故又以
　全背与径相乘为下廉而下廉之中又多一矢自乘
　之数故又约矢以减之而以馀数乘矢为下廉并从
　方以为法

假如周天径一百二十一度七十五分二十五秒(历书/中不)
(用秒故/因之)
　黄赤道内外弧背二十四度　问矢度
　答曰四度八十四分八十二秒
　术曰半弧背自之得五百七十六度为半弧背算
　周天径自之得一万四千八百二十三度○六分二
　十五秒为径算　二算相乘得八百五十三万八千
　○八十四度为正实　径乘径算得一百八十○万

　四千七百○七度八十五分九十三秒七五为益从
　方　以径算为上廉　倍半弧背得四十八度以乘
　周径得五千八百四十四度为下廉
　初商四度　置一于左上为法　置一乘上廉得五
　万九千二百九十二度二十五分以减益从方馀一
　百七十四万五千四百一十五度六十○分九十三
　秒七五置一自之得一十六度以减下廉馀五千八
　百二十八度又以四度因之得二万三千三百一十

　二度为从廉并从方共一百七十六万八千七百二
　十七度六十○分九十三秒七五为下法与上法相
　乘除实七百○七万四千九百一十○度四十三分
　七十五秒
　馀实一百四十六万三千一百七十三度五十六分
　二十五秒
　次商八十分　置一于左上为法　置一倍初商共
　八度八十分以乘上廉得一十三万○四百四十三

　度九十五分以减益从方馀一百六十七万四千二
　百六十四度九十○分九十三秒七五为从方　置
　一并初商自之得二十三度○四分加初商自之一
　十六度共三十九度○四分以减下廉馀五千八百
　○四度九十六又以八度八十分因之得五万一千
　○八十三度六十四分八十秒为从廉　并从方共
　一百七十二万五千三百四十八度五十五分七十
　三秒七五为下法与上(阙/)

　
　　　　　　　　　　度九十九分一十八秒五二
　七六又以九度六十九分六十二秒乘之得五万六
　千二百○八度七十九分二十四秒○二七三一五
　一二为从廉　并从方共一百七十一万七千一百
　八十九度二十七分三十一秒六五二三一五一二
　为下法与上法相乘除实三百四十三度四十三分
　七十八秒五四六三三○四六三○二四

　馀实一百○五度○九分五十五秒五三○○一七
　六九六九七六不勾一秒之数
圆径与弧背求截弦
　术曰求得矢用矢求弦术
圆径与弧背求截积
　术曰求得矢用矢径求积
截积与截矢求截弦
　术曰倍积减矢算馀如矢而一即弦

　又曰倍积以矢除之减矢
圆不知径从旁截积二百八十三步二分步之一矢阔
　九步问截弦
　答曰截弦五十四步
　术曰倍积得五百六十七步减矢算八十一馀四百
　八十六以矢除之得五十四为弦
圆不知径从旁截积八百一十步矢阔一十八步问截
　弦

　答曰截弦长七十二步
　术同
截积与截弦求截矢
　术曰倍积以弦为从方平方开之
圆不知径从旁截积二百八十三步二分步之一截弦
　长五十四步问矢
　答曰九步
　术曰倍积得五百六十七为实　以五十四为从方

　约商九　置一于左上为法　置一带从得六十三
　为下法与上法相乘除实尽
圆不知径从旁截积八百一十步弦长七十二步问矢
　答曰矢一十八步
　术曰倍积得一千六百二十为实　以七十二为从
　方
　初商一十　置一于左上为法　置一带从方共八
　十二为下法与上法相乘除实八百二十　馀实八

　百　倍初商得二十带从方共九十二为方法
　次商八　置一于左上为法　置一带方法共一百
　为下法与上法相乘除实尽
截积与截矢求圆径
　术曰先求出弦半之为算如矢而一即矢径差
　又曰积自乘减矢自乘乘积馀为实矢自乘再乘为
　法除之加虚隅即径
圆不知径从旁截积六十二步半矢五步问径

　术曰积自之得三千九百○六步二五　矢自之乘
　积得一千五百六十二步五相减馀二千三百四十
　三步七五为实矢自乘再乘得一百二十五为法除
　之得一十八步七五矢乘虚隅一步二分五釐得六
　步二分五釐加入即圆径二十五
截积与截弦求圆径
　术曰先求得矢矢除半弦算加矢即径
圆不知径从旁截积一千三百一十二步半截弦长八

　十步问圆径几何
　答曰圆径八十九步
　术曰先倍积以弦为从方平方开之得矢二十五步
　后用半弦自之得一千六百步以矢除之得六十四
　为矢径差加矢即圆径
截积与截矢求截弧背(弦求弧背同/)
　术曰先求得径以除矢算得半背弦差
截矢与弦求圆径

　术曰半弦自之如矢而一为矢径差
圆不知径从旁截一弧矢阔九步弦长五十四步问圆
　径
　答曰圆径九十步
　术曰半弦自之得七百二十九以矢除之得八十一
　为矢径差加矢即径
截矢与弦求截弧背
　术曰先求得径以除矢算为半背弦差

截矢与截弦求截积
　术曰以矢加弦以乘矢得二积
截弦与外周求截矢(外周乃割残之周也/)
　术曰弦算半弦算相乘四而三之为实并弦及残周
　乘半弦算为益方倍半弦算加弦算为从上廉并弦
　及残周为下廉以隅并上廉减从以馀从并下廉为
　法三乘方法开之
平圆旁割一弧截处弦五十四步外残周二百一十四

　步二分问截矢几何
　答曰矢九步
　术曰弦自之得二千九百一十六为弦算　半弦自
　之得七百二十九为半弦算　二算相乘得二百一
　十二万五千七百六十四四而三之得一百五十九
　万四千三百二十三为正实　弦并残周共二百六
　十八步二分以半弦算乘之得一十九万五千五百
　一十七步八分为益方　倍半弦算加全弦算得四

　千三百七十四为从上廉　弦并残周得二百六十
　八步二分为下廉一为隅法
　商得九　置一于左上为法　置一乘上廉得三万
　九千三百六十六为减廉　置一自之为八十一以
　乘下廉得二万一千七百二十四步二分为益廉
　置一自乘再乘得七百二十九为隅法并入减廉共
　四万○○九十五　以减从方馀一十五万五千四
　百二十二步八分并入下廉共一十七万七千一百

　四十七步为下法
圆田一段西边被水浸入一弧弦长二十步外残周五
　十三步问矢阔田径田积
　答曰截矢阔五步圆径二十五步　弧背二十二步
　术曰如积求之得三万为正实　七千三百为益方
　六百为从上廉七十三为益下廉　一为正隅　三
　乘方开之得矢阔　矢除半弦算加矢得径　倍矢
　算以径除之得背弦差加弦即弧背　径自之四而

　三之得田积
圆田水浸一弧弦长七十二步外有残周一百九十○
　步八分问矢阔
　答曰矢阔一十八步　弧背七十九步二分
　圆径九十步　原田二十五亩三分一釐二毫五丝
　术曰先求矢阔　弦算五千一百八十四　半弦算
　一千二百九十六相乘得六百七十一万八千四百
　六十四步四归三因得五百○三万八千八百四十

　八为正实　并弦及残周共二百六十二步八分以
　半弦算乘之得三十四万○五百八十八步八分为
　益从方　倍半弦算加全弦算得七千七百七十六
　为减上廉　弦并残周二百六十二步八分为益下
　廉
　初商一十　置一于左上为法　置一乘减上廉得
　七万七千七百六十为减廉　置一自之以乘益下
　廉得二万六千二百八十为益廉　置一自乘再乘

　得一千为减隅并入减廉共七万八千七百六十为
　减从之算以减益方馀二十六万一千八百二十八
　步八分为从方并益廉共二十八万八千一百○八
　步八分为下法　与上法相乘除实二百八十八万
　一千○八十八　馀实二百一十五万七千七百六
　十未尽
　二因减上廉得一十五万五千五百二十
　三因益下廉得七万八千八百四十为益廉之方

　四因隅法得四千为方法
　又以初商三之以乘益下廉得七千八百八十四为
　益廉之廉　初商自之六因得六百为隅上廉
　初商四之得四十为隅下廉
　次商八　置一于左上为法　置一乘初减上廉得
　六万二千二百○八加入前二因上廉得二十一万
　七千七百二十八为减廉　置一乘益廉之廉得六
　万三千○七十二步并益廉之方共一十四万一千

　九百一十二为益廉之算　置一自之以乘初益下
　廉得一万六千八百一十九步二分并入益廉之算
　共一十五万八千七百三十一步二分为益廉　置
　一乘隅上廉得四千八百　置一自之以乘隅下廉
　得二千五百六十　置一自乘再乘得五百一十二
　为隅法并方法上下廉隅法共一万一千八百七十
　二为减隅　并减廉共二十二万九千六百为减从
　之算以减原从馀一十一万○九百八十八步八分

　加益廉共二十六万九千七百二十为下法与上法
　相乘除实尽
　矢除半弦算得七十二为矢径差加矢即圆径
　倍矢算以圆径除之得七步二分为弦背差加弦即
　弧背　圆径自之四而三得六千○七十五步以亩
　约之为亩
　解曰求矢者起于弦与径今不知径而有残周故以
　弦自乘半弦自乘相乘为实方中取圆故四而三之

　为三乘方实以弦并残周与半弦算相乘为从方而
　从方之中又多一弦算两半弦算及矢自乘再乘之
　数故以全弦算与倍半弦算为上廉并求出矢自乘
　再乘之数以减之却以弦并残周为益下廉以求出
　矢两度乘之并馀从以为法盖隅与上廉专主于减
　从而下廉所以益从也
　弦算为平方以弦乘之为立方又以半弦算乘是为
　三乘方

　正实五百○三万八千八百四十八乃三乘方数内
　下廉该除一百五十三万二千六百四十九步六分
　从方该除三百五十○万六千一百九十八步四分
　从方三十四万○五百八十八步八分乃立方之数
　内上廉减一十三万九千九百六十八隅减五千八
　百三十二止存一十九万四千七百八十八步八分
　以矢十八因之以除实
　上廉减从除实用减从开平方法

　从方带上廉一度矢乘之数共三十三万四千七百
　五十六步八分以十八因之该正实六百○二万五
　千六百二十二步四分欠二百五十一万九千四百
　二十四乃上廉减去之数
　初商一十　置一为上法　置一乘上廉得七万七
　千七百六十以减从方馀二十五万六千九百九
　十六步八分与上法相乘除实二百五十六万九
　千九百六十八馀实九十三万六千二百三十○

　步四分　倍上廉得一十五万五千五百二十为
　廉法
　次商八　置一为上法　置一乘上廉得六万二
　千二百○八并廉法共二十一万七千七百二十
　八以减原从馀一十一万七千○二十八步八分
　为下法与上法相乘除实尽
　从方假作平方形长一十九万四千七百八十八步
　八分阔一十八步带十八因上廉共长三十三万四

　千七百五十六步八分　初商十步十因上廉止除
　七万七千七百六十少减六万二千二百○八步计
　多除正实六十二万二千○八十　次商阔八步如
　从方原长该除实一百五十五万八千三百一十○
　步八分今止馀实九十三万六千二百三十○步
　四分欠六十二万二千○八十正合初商多除之
　数　次商倍廉法多减七万七千七百六十以
　八因之其数适合此自然之妙凡用减从者俱如

　此
　隅减从用减从开三乘方法
　隅立方并从共二十○万○六百二十○步八分以
　十八因该正实三百六十一万一千一百七十四步
　四分欠一十○万四千九百七十六乃隅减之数
　初商一十　置一为上法　置一自乘再乘得一千
　为方法以减从方馀一十九万九千六百二十○步
　八分为下法与上法相乘除实一百九十九万六

　千二百○八步馀实一百五十○万九千九百九
　十○步四分　四因方法得四千为方法　初商自
　之六因得六百为上廉初商四之得四十为下廉
　　次商八　置一为上法　置一乘上廉得四千
　八百　置一自之以乘下廉得二千五百六十
　置一自乘再乘得五百一十二为隅法并方廉
　隅共一万一千八百七十二为减从以减原从馀
　一十八万八千七百四十八步八分为下法与上法

　相乘除实尽
　初商多存长四千八百三十二阔十步共四万八
　千三百二十次商多减六千○四十以八因之相合
　下廉除实
　下廉二百六十二步八分十八因之得四千七百三
　十○步四分为平方积又十八因得八万五千一
　百四十七步二分为立方积又十八因得一百五十
　三万二千六百四十九步六分为三乘方积

　初商一十　置一为上法　置一自之以乘下廉得
　二万六千二百八十为下法与上法相乘除实二十
　六万二千八百馀实一百二十六万九千八百四十
　九步六分　三因下法得七万八千八百四十为方
　法　三因初商以乘下廉得七千八百八十四为
　廉法　次商八置一为上法　置一乘廉法得六
　万三千○七十二步置一自之以乘下廉得一万
　六千八百一十九步二分并方廉共一十五万八

　千七百三十一步二分为下法除尽
　方圆术(附/)
圆求容方
　术曰方径即圆径若求圆积四而三之不必立法惟
　以圆求方其法不一姑录于此盖径一则围不止于
　三所谓围三径一者举其大较耳
圆周五尺中容一斗斗方面几何
　答曰斗面一尺一寸六分六釐(三分釐之二/)

　术曰七因周得三尺五寸以三归之
　此术载吴信民算法以周为弦以方为股然七因五
　尺为三十五未是
圆材径二尺一寸为方面几何
　答曰方径一尺四寸五十八分寸之四十九
　术曰径为股自之得四百四十一寸折半平方开之
　又曰三因径得六尺三寸七分因之三归得方面一
　尺四寸一十分寸之七

圆径十尺问容方面几何
　答曰容方面七尺
　术曰三其径得三十尺以七寸因之得二十一尺三
　归得七尺方圆之术径一则围三有奇方五则斜七
　有奇难以一定之法例之(径自之折半平方开之多/一算)
圆径折变
圆周求径
　古法围三径一　徽术周一百五十七径五十

　密术周二十二径七
周八十四问径
　古术答曰二十八
　术用三归
　徽答曰二十六步(一百五十七分步之一百一十八/)
　术曰周五十因如一百五十七而一
　密答曰二十六步(一十一分步之八/)
　术曰周七因如二十二而一

周八十七(二十五分步之二十三/)问径
　古术答曰二十九步(七十五分步之二十三/)
　术曰分母通其全分子从之得二千一百九十八为
　实三因分母得七十五为法
　徽答曰二十八步
　术曰分母通其全分子从之以五十因之得一十○
　万九千九百为实　一百五十七因分母得三千九
　百二十五为法

　密答曰二十七步(二百七十五分步之二百六十八/)
　术曰分母乘其全分子从之七因得一万五千三百
　八十六置分母以二十二因得五百五十为法不尽
　者法实俱半约之
假如历法周天三百六十五度二十五分七十五秒问
　周天径几何
　答曰一百二十一度七十五分二十五秒
　此以围三径一求之

以徽术求之为径几何
　答曰径一百一十六度三十二分四十秒(一百五十/七分秒之)
　(七/)
　术曰五十因周得一万八千二百六十二度八十七
　分五十秒以一百五十七除之
以密术求之为径几何
　答曰一百一十六度二十一分八十二秒(二十二分/秒之二十)
　(一/)

　术曰七因周得二千五百五十六度八十○分二十
　五秒以二十二除之
圆径求周
圆径二十八问周
　古法答曰八十四
　术用三因
　徽答曰八十七步(二十五分步之二十三/)
　术曰径一百五十七因得四千三百九十六如五十

　而一
　密答曰八十八步
　术曰径二十二因如七而一
圆径二十六步(一百五十七分步之一百一十八/)问周
　古法答曰八十步(一百五十七分步之四十/)
　术曰分母通其全分子从之三因得一万二千六百
　为实如分母而一
　徽答曰八十四步

　术曰分母通其全分子从之又一百五十七因得六
　十五万九千四百为实　分母五十因得七千八百
　五十为法
　又曰分母通其全分子从之得四千二百如五十而
　一
　密答曰八十四步(一百五十七分步之一十二/)
　术曰分母通其全分子从之又二十二因得九万二
　千四百为实　七因分母得一千○九十九为法

圆径二十六步(一十一分步之八/)问周
　古法答曰八十步(一十一分步之二/)
　术曰分母通其全分子从之得二百九十四又三因
　得八百八十二为实如分母而一
　徽答曰八十三步(二百七十五分步之二百五十四/)
　术曰分母通其全分子从之又一百五十七因得四
　万六千一百五十八为实　五十因分母得五百五
　十为法

　密答曰八十四步
　术曰分母通其全分子从之又二十二因得六千四
　百六十八为实　七因分母得七十七为法
　又曰分母通其全分子从之倍之得五百八十八如
　七而一
圆周求积
周八十四问积
　古术答曰五百八十八步

　术曰周自之得七千○五十六如圆法十二而一
　徽答曰五百六十一步(一百五十七分步之一百二/十三)
　术曰周自之又二十五因得一十七万六千四百为
　实如三百一十四而一
　密答曰五百六十一步(一十一分步之三/)
　术曰周自之七因得四万九千三百九十二为实如
　八十八而一
圆周八十七步(二十五分步之二十三/)问积

　古法答曰六百四十四步(一千八百七十五分步之/三百○一)
　术曰分母通其全分子从之得二千一百九十八自
　之得四百八十三万一千二百○四为实　分母自
　之得六百二十五又十二因得七千五百为法
　徽答曰六百一十五步(二十五分步之一十一/)
　术曰分母通其全分子从之自乘又以二十五乘之
　得一亿二千○七十八万○一百为实　分母自乘
　又以三百一十四乘之得一十九万六千二百五十

　为法除之不尽八万六千三百五十法实皆七千八
　百五十约之
　密答曰六百一十四步(一万三千七百五十分步之/一万二千一百○七)
　术曰分母通其全分子从之自乘又七因得三千三
　百八十一万八千四百二十八为实　分母自乘又
　八十八因得五万五千为法除之不尽四万八千四
　百二十八法实皆四约之
周八十八步问积

　古法答曰六百四十五步(三分步之一/)
　术曰周自之得七千七百四十四如十二而一
　徽答曰六百一十六步(一百五十七分步之八十八/)
　术曰周自乘二十五因得一十九万三千六百为实
　如三百一十四而一
　密答曰六百一十六步
　术曰周自之七因得五万四千二百○八为实如八
　十八而一

圆径求积
圆径二十八步问积
　古术答曰五百八十八步
　术曰径自乘四归三因
　徽答曰六百一十五步(二十五分步之一十一/)
　术曰径自乘以七十八步半因之得六万一千五百
　四十四如百而一
　密答曰六百一十六步

　术曰径自乘一十一因得八千六百二十四如一十
　四而一
圆径二十六步(一百五十七分步之一百一十八/)问积
　古法答曰五百三十六步(二万四千六百四十九分六/步之一万八千一百三十)
　术曰分母通其全分子从之自乘四归三因得一千
　三百二十三万为实分母自之得二万四千六百四
　十九为法
　徽答曰五百六十一步(二万四千六百四十九分步/之一万九千三百一十一)

　术曰分母通其全加分子自乘又以七十八步半乘
　之得一十三亿八千四百七十四万为实　分母自
　乘百因得二百四十六万四千九百为法
　密答曰五百六十二步(二万四千六百四十九分步/之七千二百六十二)
　术曰分母通其全加分子自乘得数又以一十一因
　之得一亿九千四百○四万为实
　分母相乘又十四因之得三十四万五千○八十六
　为法除之未尽一十○万一千六百六十八法实皆

　一十四约之
圆径二十六步(一十一分步之八/)问积
　古法答曰五百三十五步(一百二十一分步之九十/二)
　术曰分母通其全加分子自乘得数四而三之得六
　万四千八百二十七为实
　分母相乘为法
　徽答曰五百六十步(六千○五十分步之四千六百/一十三)
　术曰分母乘其全加分子自乘又以一百五十七乘

　之得一千三百五十七万○四百五十二为实　分
　母自乘二百因之得二万四千二百为法
　密答曰五百六十一步(一十一分步之三/)
　术曰分母通其全加分子自乘又一十一因之得九
　十五万○七百九十六为实　分母自之又十四因
　之得一千六百九十四为法
圆积求周
圆积五百八十八步问周

　古法答曰周八十四步
　术曰十二因积平方开之
　徽答曰八十五步(一万七千一百分步之一万六千/五百二十八)
　术曰积三百一十四因得一十八万四千六百三十
　二以二十五除之得七千三百八十五步二八平方
　开之
　密答曰八十五步(一百七十一分步之一百六十七/)
　术曰积八十八因得五万一千七百四十四七除之

　得七千三百九十二平方开之
　平方还原方自乘以分母乘之得一百二十三万五
　千四百七十五　分母子相乘得二万八千五百五
　十七为益实并得一百二十六万四千○三十二为
　实分母为法除之还原
圆积六百一十六步问周
　古法答曰周八十五步(一百七十一分步之一百六/十七)
　术曰十二因积得七千三百九十二为实平方开之

　徽答曰八十七步(一万七千五百分步之一万六千/七百九十六)
　术曰积三百一十四因得一十九万三千四百二十
　四以二十五除之得七千七百三十六步九六平方
　开之不尽者以百因约之
　密答曰八十八步
　术曰积八十八因得五万四千二百○八以七除之
　得七千七百四十四平方开之
圆积五百六十一步(一百五十七分步/之一百二十三)问周几何

　古法答曰周八十二步(二万五千九百○五分步之/二千七百三十二)
　术曰分母乘其全加分子得八万八千二百以圆法
　十二因之得一百○五万八千四百为实　以一百
　五十七为隅法作𢃄从隅开平方法除之
　初商八十　置一于左上为法　置一乘从隅得一
　万二千五百六十为隅法与上法相乘除实一百○
　○万四千八百馀五万三千六百未尽　倍隅法得
　二万五千一百二十为廉法　约次商二　置一于

　左次为上法　置一乘从隅得三百一十四并入廉
　法共二万五千四百三十四为下法与上法相乘除
　实五万○八百六十八　尚馀二千七百三十二
　倍八十二加一算以分母乘之为母约之
　又术分母通其全加分子十二因之得一百○五万
　八千四百又以母乘之得一亿六千六百一十六万
　八千八百平方开之得一万二千八百九十　馀实
　一万六千七百未尽另寄　将开出之数以分母约

　之得八十二　仍未尽一十六以分母乘之得二千
　五百一十二加入寄位共一万九千二百一十二为
　不尽之数　倍八十二加一算得一百六十五以分
　母乘之得二万五千九百○五
　徽答曰八十四步
　术曰分母通其全加分子得八万八千二百以三百
　一十四因得二千七百六十九万四千八百以二十
　五因分母得三千九百二十五为法除之得七千○

　五十六平方开之
　密答曰八十四步(二千○四十一分步之一百○八/)
　术曰分母通其全加分子得八万八千二百又八十
　八因得七百七十六万一千六百　七因分母作一
　千○九十九除之得七千○六十二　馀实四百六
　十二未尽
　置七千○六十二平方开之得八十四　馀六未尽
　以分母通之得九百四十二加前未尽共一千四百

　○四倍八十四加一算得一百六十九以分母乘之
　得二万六千五百三十三是谓二万六千五百三十
　三分步之一千四百○四　法实皆十三约之得二
　千○四十一分步之一百○八
积四十五步(一十一分步之九/)为密圆周几何
　答曰二十四步
　术曰分母乘其全加分子得五百○四以八十八因
　之得四万四千三百五十二以七因分母为七十七

　除得五百七十六平方开之
　右四元玉鉴所载不用从隅
圆积求径
圆积五百八十八步问径
　古法答曰二十八步
　积三归四因平方开之
　徽答曰二十七步(八千六百三十五分步之三千一/百四十七)
　术曰积百因得五万八千八百以七十八步半为从

　隅平方开之　初商二十置一于左上为法置一乘
　从隅得一千五百七十为隅法与上法相乘除实三
　万一千四百馀实二万七千四百未尽　倍隅法得
　三千一百四十为廉法　约次商七　置一于左次
　为上法　置一乘从隅得五百四十九步半并廉法
　共三千六百八十九步半为下法与上法相乘除实
　二万五千八百二十六步半　馀实一千五百七十
　三步半　倍二十七加一算得五十五以七十八步

　半因之得四千三百一十七步半法实皆倍命之
　密答曰二十七步(六百○五分步之二百一十三/)
　术曰积一十四因得八千二百三十二以一十一为
　从隅平方开之　初商二十　置一于左上为法
　置一乘从隅得二百二十为隅法与上法相乘除实
　四千四百馀实三千八百三十二　倍隅法得四百
　四十为廉法　约次商七　置一于左次为上法
　置一乘从隅得七十七为隅法　并廉隅共五百一

　十七为下法与上法相乘除实三千六百一十九馀
　实二百一十三未尽如前法约之
积六百一十五步(二十五分步之一十一/)问径
　古法答曰二十八步(四千二百七十五分步之二千/七百四十四)
　术曰分母乘其全加分子得一万五千三百八十六
　以四因之得六万一千五百四十四分母三之为七
　十五为从隅平方开之馀实二千七百四十四倍开
　出之数加一算得五十七以从隅因之得四千二百

　七十五为母约之
　徽答曰二十八步
　术曰以积分母除分子得四分四釐加全步得六百
　一十五步四分四釐百之得六万一千五百四十四
　为正实以七十八步五分为从隅平方开之
　密答曰二十七步(一万五千一百二十五分步之一/万四千九百二十九)
　术曰置积以分母通之加分子得一万五千三百八
　十六以一十四因之得二十一万五千四百○四为

　正实以二百七十五为从隅平方开之　馀实一
　万四千九百二十九　倍径加一算以从隅乘之为
　分母约之
平圆积四十五步(一十一分步之九/)问密圆径几何
　答曰七步(一十一分步之七/)
　术曰分母乘其全加分子以一十四乘之得七千○
　五十六平方开之得八十四以一十一除之不尽七
　还原法曰分母乘七加分子自之又一十一因得

　七万七千六百一十六为实　分母自之又一
　十四因得一千六百九十四为法　除之得四十
　五馀一千三百八十六法实皆一百五十四约之
　还原数
　黄钟算附
假如黄钟之管空容九分问围圆几何
　答曰围圆一十○分三釐(二百○七分釐之一百九/十一)
　此以围三径一求之十二因积得一百○八平方

　开之以徽术推之得几
　答曰围一十○分七釐(二百一十五分釐之五十五/)
　术曰积三百一十四因得二千八百二十六以二十
　五除之得一百一十三○四平方开之
　以密术推之得几
　答曰围一十○分(一百四十七分分之九十二/)
　术曰积八十八因得七百九十二如七而一得一百
　一十三(七分之一/)平方开之不尽一十三以七因加

　一为子倍十分加一七因为母命之
黄钟之管空容九分问径
　答曰径三分四釐六毫(六百九十三分毫之二百八/十四)
　此用三归四因平方开之
　以徽术求之
　答曰径三分三釐八毫(五十三万一千四百四十五分/毫之三万一千八百四十六)
　术曰百因积得九百分以七十八分半为从隅平
　方法开之　初商三分　置一于左上为法　置一乘

　从隅得二百三十五分五釐为下法与上法相乘除
　实七百○六分半馀实一百九十三分半倍隅法得
　六分为廉法　次商三釐　置一于左上为法　置
　一并廉法共六十三釐以乘从隅得四千九百四十
　五釐五毫与上法相乘除实一百四十八分三釐六
　毫五丝馀实四十五分一釐三毫五丝　倍初次商
　得六分六釐为廉法三商八毫　置一于左上为法
　　置一并廉法共六分六釐八毫以乘从隅得五百

　二十四分三釐八毫与上法相乘除实四十一分九
　釐五毫○四忽馀实三分一釐八毫四丝六忽　倍
　商加一算以从隅乘之为分母命之
　以密术求之得径几
　答曰径三分三釐(七百三十七分釐之六百二十一/)
　术曰一十四因积得一百二十六以一十一为从隅
　平方开之　初商三分　置一于左上为法　置一
　乘从隅得三十三分与上法相乘除实九十九分馀

　实二十七分　倍下法得六分为廉法　次商三釐
　　置一为上法　置一并廉法乘从隅得六百九十
　三釐与上法相乘除实二十○分七釐九毫馀实六
　分二釐一毫　倍商加一算以从隅因之得七百三
　十七为分母命之
　还原曰径相乘得一十○分八釐九毫以一十一因
　得一百一十九分七釐九毫加不尽四分二釐一毫
　得原数

　黄钟之大小不系于此但假此以明数之微妙耳尝
　观儒者之论律管往往泥于数而不察夫理假如黄
　钟之实乃十一度三因以起十一律之数律管以三
　分为损益故十一度三之非实有数也实乃算法中
　之实耳虽蔡九峰亦谓仲吕之实数不可三其数不
　行此律之所以止于十二也殊不知五音六律乃天
　地阴阳自然之理圣人因之制管以宣其声而又三
　分损益以定其管之长短使其无相夺伦顾乃以数

　为造律之本岂不谬哉
律管算附律管以三分损益故止立二三四乘除之法
　二一如二　　二二如四　　二三如六
　二四如八　　二五作一一　二六作一三
　二七作一五　二八作一七　二九作二
　三一如三　　三二如六　　三三作一
　三四作一三　三五作一六　三六作二
　三七作二三　三八作二六　三九作三

　四一如四　　四二如八　　四三作一三
　四四作一七　四五作二二　四六作二六
　四七作三一　四八作三五　四九作四　右因
　二归逢一作四一逢二进一
　三归逢一作三　逢二作六　　逢三进一
　四归逢一作二一逢二作四二　逢三作六三
　　　逢四进一　　　　　　　　　　　右归
黄钟管长九寸　　　　　　　　　　　三归二因

林钟管长六寸　　　　　　　　　　　三归四因
太簇管长八寸　　　　　　　　　　　三归二因
南吕管长五寸三分　　　　　　　　　三归四因
姑洗管长七寸一分　　　　　　　　　三归二因
应钟管长四寸六分六釐　　　　　　　三归四因
蕤宾管长六寸二分八釐　　　　　　　三归四因
大吕管长八寸三分七釐六毫　　　　　三归二因
夷则管长五寸五分五釐一毫　　　　　三归四因

夹钟管长七寸四分三釐七毫三丝　　　三归二因
无射管长四寸八分八釐四毫八丝　　　三归四因
仲吕管长六寸五分八釐三毫四丝六忽
　右术止用九寸损益以定十一律管不必用十一度
　三因若求变黄钟就以仲吕之管三归四因即是不
　必更用七百二十九乘之数
　
　弧矢算术