钦定四库全书　　　　　子部六
　弧矢算术　　　　　　　天文算法类二(算书之/属)
　　提要
　　　　(臣/)等谨案弧矢算术一卷明顾应祥撰应祥
　　　　有人代纪要巳著录弧矢之法始于元郭守
　　　　敬授时历草其有弧背求矢草立天元一为
　　　　矢云云反覆求之至得三乘方积数及廉隅
　　　　纵数而止不载开方算式大抵开诸乘方法

　　　　尚为当时畴人所习抑或别有专书皆不可
　　　　知其弦矢相求及弧容直阔诸法皆以勾股
　　　　法御之明唐顺之谓为步日躔月离源头作
　　　　弧矢论以示顾应祥应祥遂演为是书名其
　　　　编曰弧矢算术应祥未明立天元一法故置
　　　　之不论惟补其开带纵三乘之式并详各弦
　　　　矢相求之法与测圆海镜分类释术之作相
　　　　同亦专备其数使学者可考而已乾隆四十

　　　　六年二月恭校上
　　　　　　　总纂官(臣/)纪昀(臣/)陆锡熊(臣/)孙士毅
　　　　　　　总　校　官　(臣/)　陆　费　墀

弧矢算术序
弧矢一术古今算法所载者绝少钱唐吴信民九章
法止载一条四元玉鉴所载数条皆不言其所以然之
故沈存中梦溪笔谈有割圆之法虽自谓造微然止于
径矢求弦而于弧背求矢截积求矢诸法俱未备予每
病之南曹讼牒颇暇乃取诸家算书间附己意各立一
法名曰弧矢算术藏诸箧笥俟高明之士取正焉未敢
谓尽得其阃奥也嘉靖壬子春三月吉吴兴顾应祥识

　　弧矢论说
弧矢者割圆之法也割平圆之旁状若弧矢故谓之弧
矢其背曲曰弧背其弦直曰弧弦其中衡曰矢而皆取
法于径径也者平圆中心之径也背有曲直弦有脩短
系于圆之大小圆大则径长圆小则径短非径无以定
之故曰取则于径而其法不出于勾股开方之术以矢
求弦则以半径为弦半径减矢为股股弦各自乘相减
馀为实平方开之得勾勾即半截弦也以弦求矢亦以

半径为弦半截弦为勾勾弦各自乘相减馀为实平方
开之得股股乃半径减矢之馀也以减半径即矢或以
矢减全径为勾股和以矢为勾股较乘之亦得勾算即
半截弦算也矢自乘圆径除之得半背弦差倍以加弦
即弧背以半背弦差除矢算亦得圆径半截弦自乘为
实以矢除之得矢径差加矢即圆径以矢加弦以矢乘
而半之即所截之积也倍截积以矢除之减矢即弦倍
截积以弦为从方开之即矢惟弧背与径求矢截积与

径求矢开方不能尽用三乘方法开之弧背求矢以半
弧背算与径算相乘为实径乘径算为从方径算为上
廉全背与径相乘为下廉约矢乘上廉以减从方以矢
自乘以减下廉又以矢乘馀下廉与减馀从方为法除
实得矢曷为以矢乘上廉减从方也盖从方乃径与径
算相乘其中多一矢乘径算之数故减之曷为又以矢
自乘以减下廉也下廉乃背径相乘其中多一矢自乘
之数故亦减之减之则法与实相合矣以截积求矢则

倍积自乘为实四因积为上廉四因径为下廉五为负
隅约矢以隅因之以减下廉又以矢一度乘上廉两度
乘下廉并而为法矢减下廉者何也矢本减径而得故
减径以求之五为负隅者何也凡以方为圆每一寸得
虚隅二分五釐四其虚隅与四其矢合而为五也四其
廉者何也倍积则乘出之数为积者四故亦四其廉以
就之升法以就实也若以截弦与截馀外周求矢则以
弦算半弦算相乘四而三之为实并弦及馀周为益方

半弦乘弦加弦算为从上廉并廉及馀周为下廉以约
出之矢乘上廉又以矢自乘再乘为隅法并上廉以减
益方矢自之以乘下廉并减馀从方为法除实得矢

　　方圆论说(附/)
世之习算者咸以方五斜七围三径一为准殊不知方
五则斜七有奇径一则围三有奇故古人立法有勾三
股四弦五之论而不能使方斜为一定之法有割圆矢
弦之论而不能使方圆为一定之法试以勾股法求之
勾股各自乘并为弦实平方开之此施之于长直方则
可若一整方勾五股五各自乘并得五十平方开之得
七而又多一算矣割圆之法求矢求弦固是至于求弧

背则恐未尽也何以知之试以平圆径十寸者例之中
心剖开矢阔五寸自乘得二十五寸以径除之得二寸
五分为半背弦差倍之得五寸以加弦得一十五寸与
围三径一之论正合然径一则围三有奇奇数则不能
尽矣以是知弧背之说犹未尽也不特是也凡平圆一
十二立圆三十六皆不过取其大较耳或曰密率径七
则围二十二徽率径五十则围一百五十七何不取二
术酌之以立一定之法曰二术以圆为方以方为圆非

不可但其还原与原数不合数多则散漫难收故算历
者止用径一围三亦势之不得已也曰历家以径一围
三立法则其数似犹未精然郭守敬之历至今行之无
弊何也曰历家以万分为度秒以下皆不录纵有小差
不出于一度之中况所谓黄赤道弧背度乃测验而得
止以径一围三定其平差立差耳虽然行之日久安保
其不差也窃尝思之天地之道阴阳而已方圆天地也
方象法地静而有质故可以象数求之圆象法天动而

无形故不可以象数求之方体本静而中斜者乃动而
生阳者也圆体本动而中心之径乃静而根阴者也天
外阳而内阴地外阴而内阳阴阳交错而万物化生其
机正在于奇零不齐之处上智不能测巧历不能尽者
也向使天地之道俱可以限量求之则化机有尽而不
能生万物矣余因论方圆之法而并著其理如此