钦定四库全书
　五经算术卷下
　　　　　　　　　　　　周　甄　鸾　撰
　　　　　　　　　　　　唐　李淳风　注
　　礼记月令黄钟律管法
黄钟术曰置一算以三九遍因之为法置一算以三因
之得三又三因之得九又三因之得二十七又三因之
得八十一又三因之得二百四十三又三因之得七百

二十九又三因之得二千一百八十七又三因之得六
千五百六十一又三因之得一万九千六百八十三为
法即是黄钟一寸之积分重张其位于上以三再因之
为黄钟之实以法除之得黄钟十一月管长九寸
置黄钟一寸积分一万九千六百八十三以三因之得
五万九千四十九又置五万九千四十九以三因之得
十七万七千一百四十七为黄钟之实以寸法一万九
千六百八十三除实得黄钟之管长九寸

律管之法隔八相生子午已东为上生子午已西为下
生上生者三分益一下生者三分损一益者四乘三除
损者二乘三除黄钟下生林钟六月管长六寸置黄钟
管长九寸以二乘之得十八以三除之得林钟管长六
寸
林钟上生太蔟正月管长八寸置林钟管长六寸以四
乘之得二十四以三除之得太蔟管长八寸
太蔟下生南吕八月管长五寸三分寸之一置太蔟之

管八寸以二乘之得十六以三除之得南吕之管长五
寸三分寸之一
南吕上生姑洗三月管长七寸九分寸之一置南吕管
长五寸以分母三乘之内子一得十六以四乘之得六
十四以三乘法三得九为法以除之得姑洗之管长七
寸九分寸之一
姑洗下生应钟十月管长四寸二十七分寸之二十置
姑洗管长七寸以分母九乘之内子一得六十四以二

乘之得一百二十八以分母九乘法三得二十七为法
以除之得应钟之管长四寸二十七分寸之二十
应钟上生蕤宾五月管长六寸八十一分寸之二十六
置应钟管长四寸以分母二十七乘之内子二十得一
百二十八以四乘之得五百一十二以分母二十七乘
法三得八十一为法除之得蕤宾管长六寸八十一分
寸之二十六
蕤宾上生大吕十二月管长八寸二百四十三分寸之

一百四置蕤宾管长六寸以分母八十一乘之内子二
十六得五百一十二以四乘之得二千四十八为实以
分母八十一乘法三得二百四十三为法除之得大吕
之管长八寸二百四十三分寸之一百四
大吕下生夷则七月管长五寸七百二十九分寸之四
百五十一置大吕管长八寸以分母二百四十三乘之
内子一百四得二千四十八以二乘之得四千九十六
为实以分母二百四十三乘法三得七百二十九为法

除之得夷则管长五寸七百二十九分寸之四百五十
一
夷则上生夹钟二月管长七寸二千一百八十七分寸
之一千七十五置夷则管长五寸以分母七百二十九
乘之内子四百五十一得四千九十六以四乘之得一
万六千三百八十四为实以分母七百二十九乘法三
得二千一百八十七为法除之得夹钟管长七寸二千
一百八十七分寸之一千七十五

夹钟下生无射九月管长四寸六千五百六十一分寸
之六千五百二十四置夹钟管长七寸以分母二千一
百八十七乘之内子一千七十五得一万六千三百八
十四以二乘之得三万二千七百六十八为实以分母
二千一百八十七乘法三得六千五百六十一为法除
之得无射管长四寸六千五百六十一分寸之六千五
百二十四
无射上生中吕四月管长六寸一万九千六百八十三

分寸之一万二千九百七十四置无射管长四寸以分
母六千五百六十一乘之内子六千五百二十四得三
万二千七百六十八以四乘之得十三万一千七十二
为实以分母六千五百六十一乘法三得一万九千六
百八十三为法除之得中吕之管长六寸一万九千六
百八十三分寸之一万二千九百七十四
　　礼记礼运注始于黄钟终于南吕法
五行之动迭相竭五行四时十二月还相为本五声六

律十二管还相为宫五味六和十二食还相为滑(案今/礼记)
(正文作质郑注云五味酸苦辛咸甘也和之者春多酸/夏多苦秋多辛冬多咸皆有滑甘是谓六和盖五味加)
(滑而六据内则曰滫瀡以滑之疏云滫瀡之令柔滑也/食味言还相为滑衣色言还相为质质如凡画者丹质)
(之质食味衣色二者语宜有别此所引在/唐以前应是古本作滑仍之以备参考)五色六章十
二衣还相为质注云竭犹负载也言五行运转更相为
始五声宫商角徵羽其管阳曰律阴曰吕布在十二辰
始于黄钟九寸下生者三分去一上生者三分益一终
于南吕更相为宫凡六十律甄鸾按五声六律十二管

还相为宫终于南吕
黄钟为宫林钟为徵太蔟为商南吕为羽姑洗为角
林钟为宫太蔟为徵南吕为商姑洗为羽应钟为角
太蔟为宫南吕为徵姑洗为商应钟为羽蕤宾为角
南吕为宫姑洗为徵应钟为商蕤宾为羽大吕为角
姑洗为宫应钟为徵蕤宾为商大吕为羽夷则为角
应钟为宫蕤宾为徵大吕为商夷则为羽夹钟为角
蕤宾为宫大吕为徵夷则为商夹钟为羽无射为角

大吕为宫夷则为徵夹钟为商无射为羽中吕为角
夷则为宫夹钟为徵无射为商中吕为羽黄钟为角
夹钟为宫无射为徵中吕为商黄钟为羽林钟为角
无射为宫中吕为徵黄钟为商林钟为羽太蔟为角
中吕为宫黄钟为徵林钟为商太蔟为羽南吕为角
甄鸾按礼记注一本乃有云始于黄钟终于南事者更
显之于后
　　礼运一本注始于黄钟终于南事法

甄鸾按司马彪律历志黄钟下生林钟林钟上生太蔟
太蔟下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应钟应钟上
生蕤宾蕤宾上生大吕大吕下生夷则夷则上生夹钟
夹钟下生无射无射上生中吕中吕上生执始执始下
生去灭去灭上生时息时息下生结躬结躬上生变虞
变虞下生迟内迟内上生盛变盛变上生分否分否下
生解形解形上生开时开时下生闭掩闭掩上生南中
南中上生丙盛丙盛下生安度安度上生屈齐屈齐下

生归期归期上生路时路时下生未育未育上生离宫
离宫上生凌阴凌阴下生去南去南上生族嘉族嘉下
生邻齐邻齐上生内负(案原本讹作内员下/同今据后汉书改正)内负上生
分动分动下生归嘉归嘉上生随期随期下生未卯未
卯上生形始形始下生迟时迟时上生制时制时上生
少出少出下生分积分积上生争南争南下生期保期
保上生物应物应上生质末质末下生否与否与上生
形晋(案原本讹作下生形/晋今据后汉书改正)形晋下生夷汗夷汗上生依

行依行上生色育色育下生谦待谦待上生未知未知
下生白吕白吕上生南授南授下生分乌分乌上生南
事南事不生
　　汉书终于南事算之法
甄鸾按司马彪志序云汉兴北平侯张苍首治律历孝
武正乐置协律之官至元始中博徵通知钟律者考其
意义刘歆典领条奏前史班固取以为志而元帝时郎
中京房知五声之音六律之数上使太子太傅元成谏

议大夫章杂试问房于乐府房对受学故小黄令焦延
寿六十律相生之法以上生下皆三生二以下生上皆
三生四阳下生阴阴上生阳始于黄钟(案后汉书今本/及见于礼记疏)
(者皆无始于黄钟四字此所/引乃全文可补二书脱误)终于中吕而十二律毕矣
中吕上生执始执始下生去灭上下相生终于南事六
十律毕矣夫十二律之变至于六十犹八卦之变至于
六十四也宓羲作易纪阳气之初以为律法建日冬至
之声以黄钟为宫太蔟为商姑洗为角林钟为徵南吕

为羽应钟为变宫蕤宾为变徵此声气之元五音之正
也故各统一月(案后汉书今本讹作各终一日下当月/者讹作当日者考律法十二律分十二)
(月各自为宫而商徵以类从是一律统一月也礼记疏/引作各统一日下仍作当月者惟此所引无舛误可据)
(以订正/二书)其馀以次运行当月者各自为宫而商徵以类
从焉礼运篇曰五声六律十二管还相为宫此之谓也
以六十律分期之日黄钟自冬至始及冬至而复阴阳
寒燠风雨之占生焉所以检摄群音考其高下苟非革
木之声(案革木后汉书今本讹作/草木当以此所引为正)则无不有所合作声

不可以度调故作准以定数准之状如瑟长丈而十三
弦隐间九尺以应黄钟之律九寸中央一弦下有画分
寸以为六十律清浊之节律术曰阳以圆为形其性动
阴以方为节其性静动者数三静者数二以阳生阴倍
之以阴生阳四之皆三而一阳生阴曰下生阴生阳曰
上生上生不得过黄钟之浊下生不得不及黄钟之清
(案后复引此二语下云是则上生不得过九寸下生不/得减四寸五分考蔡邕月令章句云黄钟之宫谓黄钟)
(少宫也半黄钟九寸之数管长四寸五分盖九寸者黄/钟全律四寸五分者黄钟半律后汉书今本作上生不)

(得过黄钟之清浊下生不得及黄钟之数实讹谬不可/通当是传写致舛校书者因有所窜改此所引犹善本)
(未讹/者也)皆参天两地圆盖方覆六耦承奇之道也黄钟律
吕之首而生十二律者也其相生也皆三分而损益之
是故十二律之得十七万七千一百四十七是为黄钟
之实如前置一算以三九遍因之得一万九千六百八
十三为黄钟一寸之积分即为一寸之法即以三再因
之得一十七万七千一百四十七为黄钟之实以寸法
除之得黄钟之管长九寸又以二乘而三约之是谓下

生林钟之实置黄钟之实一十七万七千一百四十七
以二因之得三十五万四千二百九十四以三除之得
一十一万八千九十八为林钟之实以寸法一万九千
六百八十三除之得林钟之管长六寸又以四乘而三
约之是谓上生太蔟之实置林钟之实十一万八千九
十八以四因之得四十七万二千三百九十二以三除
之得十五万七千四百六十四为太蔟之实以寸法一
万九千六百八十三除之得太蔟之管长八寸自馀诸

管上下相生皆仿此推此上下以定六十律之实以九
三之数(案数原本讹作得/今据后汉书改正)万九千六百八十三为法实
如法于律为寸于准为尺(案尺字原本讹作寸/今据后汉书改正)于律为
分于准为寸(案后汉书今本无此二语考下云不盈者/十之所得为分正承于准为寸句谓不盈)
(寸也当是后汉书脱/落此所引乃全文)不盈者十之所得为分又不盈十
之所得为小分以其馀正其强弱
子黄钟实十七万七千一百四十七律九寸下生林钟
　臣淳风等谨案此六十律上下相生之法空有都术

　而无问目今于此下附一都问自馀诸律问皆准此
　其问宜云黄钟实一十七万七千一百四十七律长
　九寸下生林钟实律各几何曰实一十一万八千九
　十八律长六寸
色育实十七万六千七百七十六律八寸九分(小分八/微强)
下生谦待
执始实十七万四千七百六十二律八寸八分(小分七/太强)
下生去灭

丙盛实十七万二千四百一十律八寸七分(小分六/微弱)下
生安度
分动实十七万八十九律八寸六分(小分四/微强)下生归嘉
质末实十六万七千八百律八寸五分(小分二/半强)下生否
与
丑大吕实十六万五千八百八十八律八寸四分(小分/三弱)
下生夷则
分否实十六万三千六百五十四律八寸三分(小分/一强)下

生解形
凌阴实十六万一千四百五十二律八寸二分(小分/一弱)下
生去南(案此句之上原本脱小分/一弱四字今据后汉书补)
少出实十五万九千二百八十律八寸(小分九/少强)下生分
积
寅太蔟实十五万七千四百六十四律八寸下生南吕
未知实十五万七千一百三十四律七寸九分(小分/八强)下
生白吕

时息实十五万五千三百四十四律七寸八分(小分九/少强)
下生结躬
屈齐实十五万三千二百五十三律七寸七分(小分/九弱)下
生归期
随期实十五万一千一百九十律七寸六分(小分八/微强)下
生未卯
形晋实十四万九千一百五十六(案六后汉书作五据/否与上生形晋所得)
(数末位为六今本后汉书盖/流传之讹当以此所引为正)律七寸五分(小分/八弱)下生夷

汗
卯夹钟实十四万七千四百五十六律七寸四分(小分/九微)
(强/)下生无射
开时实十四万五千四百七十律七寸三分(小分九/微强)下
生闭掩
族嘉实十四万三千五百一十三律七寸二分(小分九/微强)
下生邻齐
争南实十四万一千五百八十二律七寸一分(小分/九强)下

生期保
辰姑洗实十三万九千九百六十八律七寸一分(小分/一微)
(强/)下生应钟
南授实十三万九千六百七十四(案后汉书无四字据/白吕上生南授所得)
(数末二位为七十四今本后汉书/盖脱去四字当以此所引为正)律七寸(小分九/太强)下生
分乌
变虞实十三万八千八十四律七寸(小分一/半强)下生迟内
路时实十三万六千二百二十五律六寸九分(小分二/微强)

下生未育
形始实十三万四千三百九十二律六寸八分(小分/三弱)下
生迟时
依行实十三万二千五百八十二律六寸七分(小分三/半强)
上生色育
巳中吕实十三万一千七十二律六寸六分(小分六/微弱)上
生执始
南中实十二万九千三百八律六寸五分(小分七/微弱)上生

丙盛
内负实十二万七千五百六十七律六寸四分(小分八/微强)
上生分动
物应实十二万五千八百五十律六寸三分(小分/九强)上生
质末
午蕤宾实十二万四千四百一十六律六寸三分(小分/二微)
(强/)上生大吕
南事实十二万四千一百五十四律六寸三分(小分/一弱)不

生(案不今本后汉书讹作下据六十律终于南事故下/文云南事穷无商徵不为宫所以明其不生也又甄)
(鸾按以下复两引后汉志注云不生而/辨论之足證今本后汉书流传之误)
盛变实十二万二千七百四十一律六寸二分(小分三/半强)
上生分否
离宫实十二万一千八百一十九(案原本讹作一千八/十九脱百一二字今)
(据后汉/书补)律六寸一分(小分五/微强)上生凌阴
制时实十一万九千四百六十律六寸(小分七/微弱)上生少
出

未林钟实十一万八千九十八律六寸上生太蔟
谦待实十一万七千八百五十一律五寸九分(小分/九弱)上
生未知
去灭实十一万六千五百八律五寸九分(小分四/微弱)上生
时息
安度实十一万四千九百四十律五寸八分(小分四/微弱)上
生屈齐
归嘉实十一万三千三百九十三律五寸七分(小分六/微强)

上生随期
否与实十一万一千八百六十七律五寸六分(小分/八强)上
上形晋(案原本脱此四字/今据后汉书补)
申夷则实十一万五百九十二律五寸六分(小分/二弱)上生
夹钟
解形实十万九千一百三(案十万后汉书作十一万据/分否下生解形所得数首位)
(为十万次位空今本后汉书误衍一字耳若十一/万九千一百三则律六寸矣当以此所引为正)律五
寸五分(小分/四强)上生开时

去南实十万七千六百三十五律五寸四分(小分六/太强)上
生族嘉
分积实十万六千一百八十七(案七后汉书作八据少/出下生分积所得数末)
(位六六六不尽故约之为七不得有八/也今本后汉书讹舛当以此所引为正)律五寸三分(小/分)
(九/强)上生争南
酉南吕实十万四千九百七十六律五寸三分(小分/三强)上
生姑洗
白吕实十万四千七百五十六律五寸三分(小分二/少强)上

生南授
结躬实十万三千五百六十三律五寸二分(小分六/微强)上
生变虞
归期实十万二千一百六十九律五寸一分(小分九/微强)上
生路时
未卯实十万七百九十四律五寸一分(小分二/微强)上生形
始
夷汗实九万九千四百三十七律五寸(小分五/微强)上生依

行
戌无射实九万八千三百四律四寸九分(小分/九强)上生中
吕
闭掩实九万六千九百八十律四寸九分(小分/三弱)上生南
中
邻齐实九万五千六百七十五律四寸八分(小分六/微强)上
生内负
期保实九万四千三百八十八律四寸七分(小分九/半强)上

生物应
亥应钟实九万三千三百一十二律四寸七分(小分四/微强)
上生蕤宾
分乌实九万三千一百一十六(案六后汉书作七据南/授下生分乌所得数末)
(为六今本后汉书讹/舛当以此所引为正)律四寸七分(小分三/微强)上生南事
迟内实九万二千五十六律四寸六分(小分/八强)上生盛变
未育实九万八百一十七律四寸六分(小分/一强)上生离宫
迟时实八万九千五百九十五律四寸五分(小分五/微强)上

生制时(案以上小分以强弱少强微强微弱半强太强/七等约言之未育之小分一强尾数一三有奇)
(今本后汉书讹作一少强分积之小分九强尾数九三/有奇今本后汉书讹作九半强少出之小分九少强尾)
(数九二有奇白吕之小分二少强尾数二二有奇今本/后汉书并脱少字分动之小分四微强尾数四一有奇)
(随期内负之小分八微强尾数八一有奇夹钟之小分/九微强尾数九一有奇夷汗迟时之小分五微强尾数)
(五一有奇今本后汉书并脱微字结躬之小分六微强/尾数六一有奇今本后汉书讹作六少强中吕之小分)
(六微弱尾数五九有奇增而为六制时之小分七微弱/尾数六九有奇增而为七安度之小分四微弱尾数三)
(九有奇增而为四今本后汉书并脱微字开时之小分/九微强九之外尚奇零不尽今本后汉书讹作九微弱)
(质末之小分二半强尾数二五有奇今本后汉书脱半/字依行盛变之小分三半强尾数三五有奇今本后汉)

(书并讹作太强期保之小分九半强尾数九五有奇今/本后汉书讹作九微强皆当以此书所引为正惟去灭)
(之小分二微弱尾数一九有奇今本后汉书/脱微字此所引二讹作四可以互相补正)
甄鸾按刚柔殊节清浊异伦五音六律理无相夺隔八
相生又如合契按司马彪志序云上生不得过黄钟之
浊下生不得不及黄钟之清是则上生不得过九寸下
生不得减四寸五分且依行者辰上之管也长六寸七
分上生色育然则色育者亥上之管也长四寸四分减
黄钟之清其名仍就下生之名其算变取上生之实乃

越亥就子编于黄钟之下律长八寸九分非直名与实
乖抑亦违例隔凡志又云始于黄钟终于南事注云不
生且南事午上管也计南事之律次得上生八寸四分
之管便是上生不过黄钟之浊乃注云不生此乃苟欲
充六十之数其于义理未之前闻
　　礼记投壶法
壶颈脩七寸腹脩五寸口径二寸半容斗五升注云脩
长也腹容斗五升三分益一则为二斗得圆囷之象积

三百二十四寸以腹脩五寸约之所得求其圆周圆周
二尺七寸有奇(案此句原本脱圆周/二字今据礼记注补)是为腹径九寸有
馀甄鸾按斛法一尺六寸二分上十之得一千六百二
十寸为一斛积寸下退一等得一百六十二寸为一斗
积寸倍之得三百二十四寸为二斗积寸以腹脩五寸
约之得六十四寸八分乃以十二乘之得积七百七十
七寸六分又以开方除之得圆周二十七寸馀四十八
寸六分倍二十七从方法得五十四下法一亦从方法

得五十五以三除二十七寸得九寸又以三除不尽四
十八寸六分得一十六寸二分与法俱上十之是为壶
腹径九寸五百五十分寸之一百六十二母与子亦可
俱半之为二百七十五分寸之八十一
　臣淳风等谨按其问宜云今有壶腹脩五寸容斗五
　升三分益一则为二斗得圆囷之象问积寸之与周
　径各几何曰积三百二十四寸周二尺七寸二百七
　十五分寸之二百四十三径九寸二百七十五分寸

　之八十一术宜云置二斗以斗法乘之得积寸以腹
　脩五寸除之所得以十二乘之开方除之得周数三
　约之即得径数
　　推春秋鲁僖公五年正月辛亥朔法
经云僖公五年春王正月辛亥朔日南至(案此乃左氏/传文后文公)
(六年又襄公二十七年两条皆/称传与经别此作经云误也)南至冬至也冬至之日
南极至(案此三字似有舛误周髀算经云日夏至在东/井极内衡日冬至在牵牛极外衡也一岁一内)
(极一/外极)故谓之日南至也日中之时景最长以是表之(案/此)

(句有舛误当/作以景度之)知其南至周官以土圭度日景以求地中
夏至之日景尺有五寸冬至之日立八尺之木以为表
度而知之公既视朔遂登观台以望云气而书礼也凡
分至启闭必书云物为备故也(案此下或援经而不列/算或仅有题题之下即)
(淳风注似唐时/正文已残缺矣)
　臣淳风等谨按此经皆有术无问今并准其术意而
　加问焉其问宜云从周历上元丁巳至僖公五年丙
　寅积二百七十五万九千七百六十九算(案原本脱/算字今补)

　元法四千五百六十章岁十九章月二百三十五岁
　中十二闰馀七周天分二万七千七百五十九日法
　九百四十问僖公五年正月朔闰馀及大小馀各几
　何并二月复是何朔曰闰馀尽大馀四十七小馀二
　百三十五正月辛亥朔二月庚辰朔术曰置周历上
　元丁巳至僖公五年岁在丙寅积二百七十五万九
　千七百六十九算以元法四千五百六十除之得六
　百五弃之取不尽九百六十九以章月二百三十五

　乘之得二十二万七千七百一十五以章岁十九除
　之得一万一千九百八十五为积月不尽为闰馀闰
　馀十二以上其岁有闰今闰馀尽则知五年无闰
　　推积日法
置积月一万一千九百八十五以周天分二万七千七
百五十九乘之得三亿三千二百六十九万一千六百
一十五为朔积分以日法九百四十除之得三十五万
三千九百二十七为积日不尽二百三十五为小馀以

六十除积日得五千八百九十八弃之取不尽四十七
为大馀命以甲子算外即正月辛亥朔
　　求次月朔法
置正月朔大小馀加朔大馀二十九小馀四百九十九
若小馀满日法九百四十除之从大馀一满六十除之
命以甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小馀
满四百四十一以上其月大减者小也
　　推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法

经云僖公五年春王正月辛亥朔日南至
　臣淳风等谨按术意其问宜云一年二十四气气有
　大馀十五三十二分之七从周历上元至僖公五年
　元馀有九百六十九算度馀五日四分度之一欲求
　此年朔旦冬至及算此气之法其术如何曰辛亥朔
　术曰置前推月朔积年九百六十九算以馀数二十
　一乘之得二万三百四十九为实以度分母四除之
　得五千八十七为积日不尽一为小馀以六十除积

　日得八十四弃之取不尽四十七为大馀命以甲子
　算外辛亥冬至与正月朔同故曰朔旦冬至
　臣淳风等谨按术期三百六十五日四分日之一以
　六十除之馀五日四分日之一通之得二十一故名
　馀数即与四为度法也
　　求次气法
加大馀十五小分二十一小分满气法二十四从小馀
一小馀满四从大馀一大馀满六十去之命以甲子算

外次气日如是一加得一气
　臣淳风等谨按一年之中有二十四气欲求一气度
　者以二十四气除周天之分即得也然周天分母有
　四须以四乘之二十四气得九十六为法以除之得
　一气十五日九十六分日之二十一等数约之得三
　十二分之七也术曰小分二十一满气法从小馀小
　馀满四从大馀者乃是不约其分不出分母虽合其
　数无所由来若求次气者宜云加大馀十五小分七

　小分满三十二(案原本此句/脱小字今补)从大馀一如是一加得
　一气
　　推文公元年岁在乙未闰当在十月下而失在三
　　月法
经云文公元年于是闰三月非礼也先王之正时也履
端于始举正于中归馀于终履端于始序则不愆举正
于中民则不惑归馀于终事则不悖(案此亦左氏传/文作经云者误)
　臣淳风等谨按术意其问宜云从周历上元丁巳至

　鲁文公元年岁在乙未积二百七十五万九千七百
　九十八算岁中十二闰馀七问其年有闰与不若有
　闰复在何月下曰其年有闰在十月下术曰置周历
　上元丁巳至鲁文公元年岁在乙未积二百七十五
　万九千七百九十八算以元法四千五百六十除之
　得六百五弃之取不尽九百九十八以章月二百三
　十五乘之得二十三万四千五百三十以章岁十九
　除之得一万二千三百四十三为积月不尽十三为

　闰馀经云闰馀十二已上其岁有闰今有十三即知
　文公元年有闰也
　　推闰馀十三在何月法
置章岁十九以闰馀十三减之不尽六以岁中十二乘
之得七十二以章闰七除之得十命从正月起算外闰
十月下而尽闰三月者非也
　　推文公六年岁在庚子是岁无闰而置闰法
经云文公六年闰月不告朔犹朝于庙传曰闰月不告

朔非礼也闰以正时时以作事事以厚生生民之道于
是乎在矣不告闰朔弃时正也何以为民
　臣淳风等谨按术意问宜云从周历上元至文公元
　年元馀九百九十八算问文公六年合有闰不曰无
　闰术曰置文公元年算九百九十八更加五得一千
　三算以章月二百三十五乘之得二十三万五千七
　百五以章岁十九除之得一万二千四百五为积月
　不尽十为闰馀经云闰馀十二已上其岁有闰今止

　有十即知六年无闰也
　　推襄公二十七年岁在乙卯再失闰法
襄公二十七年岁在乙卯九月乙亥朔是建申之月也
鲁史书十二月乙亥朔日有食之(案左传注疏明监本/及别本经文皆讹作)
(乙卯朔惟此/所引不误)传曰冬十一月乙亥朔日有食之于是辰
在申司历过也再失闰矣言时实以为十一月也不察
其建不考之于天也
　臣淳风等谨按术意问宜云从文公十一年至襄公

　二十七年合七十一年以何术推求得知再失闰术
　曰置文公十一年岁在乙巳会于承匡之岁至襄公
　二十七年岁在乙卯合七十一年闰馀七即以七乘
　七十一年得四百九十七以章岁十九除之得二十
　六闰以长历校之正二十四闰故云再失闰
　　推绛县老人生经四百四十五甲子法
襄公三十年岁在戊午二月癸未注二月一日丁卯朔
癸未十七日也晋悼夫人食舆人之城杞者绛县人年

长矣无子而往与于食有与疑年使之年曰臣小人也
不知纪年臣生之岁正月甲子朔四百有四十五甲子
矣其季于今三之一也吏走问诸朝师旷曰鲁叔仲惠
伯会却成子于承匡之岁也七十三年矣史赵曰亥有
二首六身下如二身是其日数也士文伯曰然则二万
六千六百有六旬也甄鸾按四百四十五甲子其季于
今三之一者计四百四十五甲子有二万六千七百日
其季三之一者谓不满四百四十五甲子于未满一甲

子六十日之中三分取一谓去四十日止留二十日也
是以注云三分六甲之一得甲子甲戌尽癸未谓止有
四百四十四甲子奇二十日合二万六千六百六十日
以应史赵亥有二首六身之数也术曰置积日二万六
千六百六十日以四乘之得十万六千六百四十日为
实又置周天三百六十五日四分日之一以四乘之内
子一得一千四百六十一为一岁之日法以除实得七
十二岁一千四百四十八少十三分不满法计四分为

一日更少三日不终季年算法半法以上收成一为七
十三年据多而言也
　　推文公十一年岁在乙巳夏正月甲子朔绛县老
　　人生月法
襄公三十年绛县人曰臣小人不知纪年臣生之岁正
月甲子朔四百四十五甲子矣其季于今三之一也
　臣淳风等谨按术意问宜云(案原本脱宜云二字今/据注内前后体例增补)
　从周历上元至绛县老人生年元馀有一千八算正

　月既甲子朔问正月以前十二月十一月大小又各
　是何朔及大馀小馀之数当月各有几何曰夏之十
　一月小乙丑朔大馀一小馀一百一十三十二月大
　甲午朔大馀三十小馀六百一十二正月小甲子朔
　大馀尽小馀一百七十一术曰置文公元年九百九
　十八算更加十得一千八算以章月二百三十五乘
　之得二十三万六千八百八十以章岁十九除之得
　一万二千四百六十七为积月不尽七为闰馀

　　推积日法
置积月一万二千四百六十七以周天分二万七千七
百五十九乘之得三亿四千六百七万一千四百五十
三为朔积分以日法九百四十除之得三十六万八千
一百六十一为积日不尽一百一十三为小馀以六十
馀积日不尽一为大馀命以甲子算外乙丑推次月朔
法如前僖公五年中术
　臣淳风等谨按此术所推得乙丑朔者是夏之十一

　月朔也欲求十二月朔者置前月小馀一百一十三
　加朔小馀四百九十九又置前月大馀一加朔大馀
　二十九命以甲子算外十二月大甲午朔次求正月
　朔者置前月小馀六百一十二加朔小馀四百九十
　九又置前月大馀三十加大馀二十九小馀满日法
　从大馀满六旬除之适得尽命以甲子算外正月小
　甲子朔(案原本脱/朔字今补)是老人所生之岁也
　　推昭公十九年闰十二月后而以闰月为正月故

　　以正月为二月法
　臣淳风等谨按术意问宜云从周历上元至昭公十
　九年岁在戊寅积二百七十五万九千九百一算问
　此年合有闰以不并正月复是何朔曰有闰正月乙
　丑朔术曰置周历上元丁巳至昭公十九年岁在戊
　寅积二百七十五万九千九百一算以元法四千五
　百六十除之得六百五弃之取不尽一千一百一以
　章月二百三十五乘之得二十五万八千七百三十

　五以章岁十九除之得一万三千六百一十七为积
　月不尽十二为闰馀经云闰馀十二已上其岁有闰
　今闰馀有一十二则知十九年有闰也
　　推积日法
置积月一万三千六百一十七以周天分二万七千七
百五十九乘之得三亿七千七百九十九万四千三百
三为朔积分以日法九百四十除之得四十万二千一
百二十一为积日不尽五百六十三为小馀以六十除

积日得六千七百二弃之不尽一为大馀命以甲子算
外正月乙丑朔
　　推昭公十九年岁在戊寅闰在十二月下法
　臣淳风等谨按术意问宜云昭公十九年闰馀十二
　既有闰当在何月下曰在十二月下术曰置章岁十
　九以闰馀十二减之不尽七以十二乘之得八十四
　以章闰七除之得十二命从正月起算外即闰在十
　二月下也

　　推昭公十九年岁在戊寅月朔法
　臣淳风等谨按昭公十九年依前求之正月大乙丑
　朔大馀一小馀五百六十三问其年十二月及闰月
　大小馀月朔甲子并当月大小馀各几何曰正月大
　乙丑朔大馀一小馀五百六十三二月小乙未朔大
　馀三十一小馀一百二十二三月大甲子朔大馀尽
　小馀六百二十一四月小甲午朔大馀三十小馀一
　百八十五月大癸亥朔大馀五十九小馀六百七十

　九六月小癸巳朔大馀二十九小馀二百三十八七
　月大壬戌朔大馀五十八小馀七百三十七八月小
　壬辰朔大馀二十八小馀二百九十六九月大辛酉
　朔大馀五十七小馀七百九十五十月小辛卯朔大
　馀二十七小馀三百五十四十一月大庚申朔大馀
　五十六小馀八百五十三十二月小庚寅朔大馀二
　十六小馀四百一十二闰月大己未朔大馀五十五
　小馀九百一十一淳风等推求朔甲乙及月大小并

　当月大小馀之法术曰置前月大小馀各加朔大小
　馀满日法从大馀一大馀满六十去之馀命起甲子
　算外即次月朔如是一加得一月朔若小馀满四百
　四十一以上其月大不满者小其昭公二十年推月
　朔法亦准此
　　推昭公二十年岁在己卯月朔法
正月大己丑朔大馀二十五小馀四百七十二月小己
未朔大馀五十五小馀二十九三月大戊子朔大馀二

十四小馀五百二十八
　　推昭公二十年岁在己卯正月己丑朔旦冬至而
　　失云闰二月己丑冬至法
　臣淳风等谨按术意问宜云从周历上元丁巳至昭
　公二十年己卯积二百七十五万九千九百二十算
　欲求此正月朔旦冬至及大小馀各几何曰大馀二
　十五小馀二术曰置周历上元丁巳至昭公二十年
　岁在己卯积二百七十五万九千九百二算以元法

　四千五百六十除之得六百五弃之取不尽一千一
　百二以二十一乘之得二万三千一百四十二以度
　分母除之得五千七百八十五不尽二为小馀以六
　十除积日得九十六弃之不尽二十五为大馀命以
　甲子算外己丑冬至与正月朔旦同
甄鸾按周历昭公十九年岁在戊寅其年闰十二月其
月大己未朔二十年岁在己卯正月大己丑朔即以己
丑朔旦为冬至而昭公十九年不置闰乃以闰十二月

为正月故以为二月也
　　推哀公十二年岁在戊午应置闰而不置故书十
　　二月有螽法
经云哀公十二年冬十有二月螽季孙问诸仲尼仲尼
曰丘闻之火伏而后蛰者毕今火犹西流司邱过也
　臣淳风等谨按术意问宜云从周历上元丁巳至哀
　公十二年岁在戊午积二百七十五万九千九百四
　十二算有闰与不若有闰复在何月之下曰有闰在

　八月之下术曰置周历上元丁巳至哀公十二年岁
　在戊午积二百七十五万九千九百四十二算以元
　法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽一千
　一百四十二以章月二百三十五乘之得二十六万
　八千三百七十以章岁十九除之得一万四千一百
　二十四为积月不尽十四为闰馀经云闰馀十二已
　上有闰其岁有馀十四则知十二年有闰也
　　求十二年闰月法

置章岁十九以闰馀十四减之不尽五以岁中十二乘
之得六十以章闰七除之得八命从正月起算外即闰
在八月下甄鸾按周十二月夏之十月也哀公十二年
闰在夏八月下当时实是夏之九月而失以闰月为九
月以九月为十月故书冬十有二月螽也
　
　
　五经算术卷下