钦定四库全书　　　　子部六

　　测量法义　　　　　　天文算法类一(推步之属)

　　测量异同　　　　　　天文算法类一(推步之属)

　　勾股义　　　　　　　天文算法类一(推步之属)

　　提要

　　(臣)等谨案测量法义一卷测量异同一卷勾
股义一卷明徐光启撰首卷演利玛窦所译
以明勾股测量之义首造器器即周髀所谓

矩也次论景景有倒正即周髀所谓仰矩覆
矩卧矩也次设问十五题以明测望高深广
远之法即周髀所谓知高知远知深也次卷
取古法九章勾股测量与新法相较證其异
同所以明古之测量法虽具而义则隐也然
测量仅勾股之一端故于三卷则专言勾股
之义焉序引周髀者所以明立法之所自来
而西术之本于此者亦隐然可见其言李冶

广勾股法为测圆海镜已不知作书之意又
谓欲说其义而未遑则是未解立天元一法
而谬为是饰说也古立天元一法即西洋借
根方法是时西人之来亦有年矣而于冶之
书犹不得其解可以断借方法必出于其后
也三卷之次第大略如此而其意则皆以明
几何原本之用盖古法鲜有言其义者即有
之皆随题讲解欧逻巴之学其先有欧几里

得者按三角方圆推明各类之理作书十三
卷名曰几何原本(按后利玛窦之师丁氏续为二卷共十五卷)自
是之后凡学算者必先熟习其书如释某法
之义遇有与几何原本相同者第注曰见几
何原本某卷某节不复更举其言惟几何原
本所不能及者始解之此西学之条约也光
启既与利玛窦译得几何原本前六卷并欲
用是书者依其条约故作此以设例焉其测

量法义序云法而系之义也自岁丁未始也
曷待乎于时几何原本之六卷始卒业矣至
是而传其义也可以知著书之意矣乾隆四
十六年十二月恭校上

　　总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅

　　总　校　官(臣)陆　费　墀

　　题测量法义

　　西泰子之译测量诸法也十年矣法而系之义也自岁
丁未始也曷待乎于时几何原本之六卷始卒业矣至
是而后能传其义也是法也与周髀九章之句股测望
异乎不异也不异何贵焉亦贵其义也刘徽沈存中之
流皆尝言测望矣能说一表不能说重表也言大小句
股能相求者以小股大句小句大股两容积等不言何
以必等能相求也犹之乎丁未以前之西泰子也曷故乎

无以为之藉也无以为之藉岂惟诸君子不能言之即
𨽻首商高亦不得而言之也周髀不言藉乎非藉也藉
之中又有藉焉不尽说几何原本不止也原本之能为
用如是乎未尽也是鼷之于河而蠡之于海也曷取是
焉先之数易见也小数易解也广其术而以之治水治
田之为利钜为务急也故先之嗣而有述者焉作者焉
用之乎百千万端夫犹是饮于河而勺于海也未尽也
是原本之为义也

　　钦定四库全书

　　测量法义

　　明　徐光启　撰

　　最目

　　先造器

　　次论景

　　本题十五首

　　附三数算法

　　造器

　　测量者以测望知山岳楼台之高并谷之深土田道
里之远近也其法先造一测望之器名曰矩度造矩
度法用坚木版或铜版作甲乙丙丁直角方形以甲

　　角为矩极作甲丙对角线次

　　依乙丙丙丁两边各作相近

　　两平行线次以乙丙丙丁两

　　边各任若干平分之从甲向

　　各分各作虚直线而两边之各外两平行线间则作
实线如上图即外两线间为宗矩极之十二平分度
也其各内两平行线间则于三六九度亦作实线以
便别识若以十二度更细分之或每度分三分五分
六分十二视矩大小作分分愈细即法愈详密矣次
于甲乙边上作两耳相等耳各有通光窍通光者或
取日光相射或取目光透照也或植两小表代耳亦
可其耳窍表末须与甲乙平行末从甲点置一线线

末垂一权其线稍长于甲丙对角线用时任其垂下
审定度分(既设表度十二下方悉依此论　若有成器欲验已如式否亦同上法　其用法如
下方诸题)

　　论景

　　法中俱用直景倒景布算故先正解二景之义次解
其转合于矩度以资后论

　　直景者直立之表及山岳楼台树木诸景之在平地
者也若于向日墙上横立一表表景在墙则为倒景

　　如上图作甲乙丙丁直角方形

　　于乙丙丁丙各从丙任引长之

　　令丁丙为地平面或为地平平

　　行面其乙丙亦向日作面与地

　　平面为直角即甲丁为丁丙平

　　面上直立之表而甲乙为乙丙平面上横立之表也
次以甲为心丙为界作戊巳丙圜次引甲乙甲丁线
各至圜界夫地球比日天既止一点(说见天地仪解)即甲点

为地心丁丙面在地心之下而戊巳丙圜为随地平
上日轮之天顶圜矣即戊乙亦可当地平线而巳丁
线为正过顶圜矣则丁丙面离地平线者甲丁表之
度而乙丙面离过顶圜线者甲乙表之度也故日轮
在庚其光必过地心甲截丁丙面于辛而遇乙丙之
引长面于壬则甲丁表在丁丙面上之丁辛景为直
景而甲乙表在乙丙面上之乙壬景为倒景若日轮
在癸则丁丑为直景而乙子为倒景若日轮在寅则

丁丙为直景而乙丙为倒景是甲乙丙丁直角方形
之内随日所至其直景恒在丁丙边倒景恒在乙丙
边也

　　凡测量十二景得一即可推算

　　但须备晓二景之理何者有直

　　景过丁丙边之外有倒景过乙

　　丙边之外如上图者则直景过

　　丁丙边如丁丑当用倒景代之

　　倒景过乙丙边如乙壬当用直景代之也若日光至
丙即直倒景等可任意用之因两景各与本表等故
欲知目前日景所至在丙耶在丁丙乙丙之内耶又
有一法如日轮离地平四十五度即景当在丙日在
四十五度以上即景在丁丙之内日在四十五度以
下即景在乙丙之内

　　论曰戊甲巳巳甲乙乙甲丁丁甲戊既四皆直角即
等而对直角之各圜界亦等(三卷廿六)是每分为四分圜

之一也而戊巳亦四分圜之一也又甲丙对角线分
乙甲丁角为两平分(一卷三十四注)即丁甲丙丙甲乙两角
等戊甲寅寅甲巳两交角亦等(一卷十五)而戊寅寅巳两
圜界亦等夫戊巳圜界既九十度即戊寅必四十五
度则日在寅景必在丙日在寅之下倒景必在乙丙
之内日在寅之上直景必在丁丙之内(凡云某卷某题者皆引几
何原本为證下同)

　　今从上论解二景之转合于矩度者如日轮高四十

五度而其光过甲乙即矩度上权线在丙日在四十

　　五度以上即权线在乙丙边

　　之内日在四十五度以下即

　　权线在丁丙边之内故矩度

　　上之乙丙边为直景而丁丙

　　为倒景

　　论曰前圜之甲戊巳分圜形既四分之一试两平分
之于庚即日在庚为四十五度在辛为四十五度以

上在壬为四十五度以下设于辛庚壬各出日光下
射为辛甲乙庚甲乙壬甲乙三景线同过甲心而以
矩度承之其甲为地心而甲乙边与日景相直次以
巳甲线引长之至地心下为丙而甲丙为矩度之权
线夫戊庚庚巳圜界既等即戊甲庚庚甲巳两角亦
等(三卷廿七)戊甲巳既直角即戊甲庚庚甲巳皆半直角
(一卷十五)而矩度上之乙甲丙角在庚甲乙景线及甲丙
权线内者亦半直角凡直角方形之对角线必分两

直角为两平分即甲丙为依庚甲乙景线之甲乙丙
丁直角方形之对角线(一卷三十四注)则日在庚为四十五
度权线必在丙又巳甲辛角小于巳甲庚半直角即
辛甲乙景线及甲丙权线内之乙甲癸交角亦小于
半直角(一卷十五)凡直角方形之对角线必分两直角为
两平分(一卷三十四注)则于依辛甲乙景线之甲乙丙丁直
角方形上若作一甲丙对角线其权线必不至丙必
在乙丙之内而分乙丙边于癸是日在四十五度之

　　上其权线必在乙丙边之内

　　也又巳甲壬角大于巳甲庚半

　　直角即壬甲乙景线及甲丙权

　　线内之乙甲癸交角亦大于半

　　直角(一卷十五)凡直角方形之对角

　　线必分两直角为两平分(一卷三十四注)则于依壬甲乙景
线之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙对角线其
权线必过丙必在丁丙之内而分丁丙边于癸是日

在四十五度之下其权线必在丁丙边之内也故矩
度之内其傍通光耳之分度边为直景而对通光耳
之分度边为倒景

　　本题十五首

　　第一题

　　日轮高四十五度直景倒景皆与表等在四十五度以
上则直景小于表而倒景大于表在四十五度以下
则直景大于表而倒景小于表

　　依矩度即可明此题之义盖上已论日
轮在四十五度权线必在丙即显乙丙
直景丁丙倒景皆与甲乙甲丁两表等
何者直角方形之各边俱等故也若日
在四十五度以上权线必在乙丙分度
边上而倒景当在丁丙之引出边上是
直景小于倒景而倒景大于甲丁表若
日在四十五度以下权线必在丁丙分

　　度边上而直景当在乙丙之引出边上是倒景小于
直景而直景大于甲乙表

　　第二题

　　表随日所至皆为直景与倒景连比例之中率

　　先设日轮在四十五度而权线在丙题
言甲乙或甲丁表皆为乙丙直景与丁

　　丙倒景连比例之中率

　　论曰甲乙丙丁直角方形之四边既等即乙丙直景

与甲乙或甲丁表之比例若表与丁丙倒景何者三
线等即为两相同之比例故

　　次设日轮在四十五度以上权线

　　在乙丙直景边内分乙丙于戊而

　　倒景在丁丙之引出边上遇权线于已题言甲乙或
甲丁表为乙戊直景与丁巳倒景连比例之中率
论曰乙与丁两直角等而乙甲戊与已相对之两内
角亦等(一卷廿八)即甲乙戊巳丁甲为等角形(六卷四)则乙

戊直景与甲乙或甲丁表之比例若表与丁巳倒景
是甲乙或甲丁表为两景之中率(六卷八之系)

　　后设日轮在四十五度以下权线

　　在丁丙倒景边内分丁丙于戊而

　　直景在乙丙之引出边上与权线遇于已题言甲乙
或甲丁表为丁戊倒景与乙巳直景连比例之中率
论曰丁与乙两直角等而丁甲戊与巳甲戊丁与乙
甲巳各相对之两内角各等(一卷廿八)即甲丁戊甲乙巳

为等角形(六卷四)则丁戊倒景与甲乙或甲丁表之比
例若表与乙巳直景是甲乙或甲丁表为两景之中
率(六卷八之系)

　　注曰直景表倒景三线既为连比例即直景倒景
两线矩内直角形与表上直角方形等(六卷十七)故表
度十二则其羃为一百四十四若以为实以所设
景数为法除之即得所求景数假如权线所至在
倒景之三度即以三为法除其实一百四十四得

四十八度为直景又如权线所至在所设景之五
度三分度之二即所求景为二十五度十七分度
之七何者以五度三分度之二为法除其实一百
四十四即得二十五度十七分度之七是二景互
变相代法(畸分除法见后附)

　　第三题

　　物之高立于地平以直角其景与物之比例若直景与
表亦若表与倒景

　　解曰物之高以直角立于地平如巳庚其
景在地平上为庚辛题言直景与表之比
例若庚辛与巳庚又言表与倒景之比例
若庚辛与巳庚(凡言地平者皆依直线取平若不平者烦先准平然
后测量后仿此)

　　先论权线在丙者曰权线恒与物之高为
平行线何者两线下至庚辛皆为直角故
(一卷廿八)即辛甲丙角与巳角等(一卷廿九)而乙与

　　庚两直角又等则甲乙丙巳庚辛为等角形(一卷廿二)是
乙丙直景与甲乙表之比例若庚辛景与巳庚高(六卷
四)

　　二论曰若权线在乙丙直景边内而分乙丙于戊依
前论显乙甲戊角与巳角等(一卷廿九)乙角与庚角等则
甲乙戊巳庚辛为等角形(一卷三十二)是乙戊直景与甲
乙表之比例若庚辛景与巳庚高(六卷四)

　　三论第一图之倒景曰权线在丙其巳角丁丙甲角

各与乙甲丙角等(一卷廿九)即自相等丁角与庚角又等
则甲丁丙与巳庚辛亦等角形(一卷三十二)是甲丁表与
丁丙倒景之比例若庚辛景与巳庚高(六卷四)

　　后论曰若权线在丁丙倒景边内而分丁丙于戊依
前论显乙甲戊角与巳角等(一卷廿九)即丁戊甲角与巳
角亦等(一卷廿八)丁角与庚角又等则丁戊甲
巳庚辛为等角形(一卷三十二)是甲丁表与丁
戊倒景之比例若庚辛景与巳庚高(六卷四)

注曰前既论(本篇第一题)日轮在四十五度直
景倒景皆与表等在四十五度以上直景
小于表在四十五度以下表大于倒景即
显日轮在四十五度各物在地平之景与
其物之高等在四十五度以上即景小于

　　物在四十五度以下即景大于物如上三图可见
第四题

　　冇物之景测物之高

　　法曰如前图以矩度向日甲耳在前取日光透耳两
窍以权线与矩度平直相切任其垂下细审所值何
度何分若在十二度之中对角线上则景与物必正
相等(本篇三题注)故量其景长即得其物高若权线在直
景边即景小于物(本篇三题注)则直景与表之比例若物
之景与其高用三数法以直景上所值度分为第一
数以全表度十二为第二数以物景之度为第三数
算之即所得数为其物高(三数算法见后附)

　　注曰欲测巳庚之高以矩度承日审权线
如在直景乙戊得八度正庚辛景三十步
即以表度十二庚辛三十步相乘得三百
六十为实以乙戊八度为法除之得四十
五即巳庚之高四十五步

　　若权线在倒景边即景大于物(本篇三题注)则
表与倒景之比例若物之景与其高用三
数法以表为第一数以倒景上所值度分

　　为第二数以物景之度为第三数算之即所得数为
其物高

　　注曰欲测巳庚之高以矩承日审权线如在倒景
于戊得七度五分度之一庚辛景六十步即以丁
戊七度五分度之一庚辛六十步相乘得二千一
百六十为实以表度六十分为法除之得三十六
即巳庚之高三十六度(因权值有畸分五分度之一故以分母五通七度通
作三十五分以分子一从之为三十六分其表度十二亦通作六十分说见算家六分法)

　　第五题

　　有物之高测物之景

　　法曰如前图以矩度承日审值度分若权线在丙则
景与物等(本篇三题注)

　　若权线在直景边即物大于景(夲篇三题注)即直景与表
之比例若景与物反之则表与直景若物
之高与其景(五卷四之系)用三数法以表为第
一数直景度分为第二数物高度为第三

数算之即所得数为景度

　　若权线在倒景边即物小于景(本篇三题注)则
表与倒景之比例若景与物反之则倒景
与表若物之高与其景(五卷四)用三数法以
倒景度分为第一数表为第一数物高度

　　为第三数算之即所得数为景度

　　第六题

　　以目测高

　　法曰欲于辛目测巳庚之高先用一有
度分之表与地平为直角以审目至足
之高次以矩度向物顶甲耳在前目切
乙后而乙辛为目至足之高以权线与
矩度平直相切任其垂下目切于乙不
动而以甲角稍移就物顶令目光穿两
耳窍至物顶作一直线(如不能以目透通光耳中只取
两耳角或两小表相对亦可)细审权线值何度分依

前题论直景与表之比例表与倒景之
比例皆若庚辛或等庚辛之乙壬(若自乙至
壬作直线即与庚辛平行相等见一卷三十四)与巳壬(壬庚与乙辛等
见一卷三十八)观上论(本篇三题)及本图自明盖三
图之甲乙丙甲乙戊甲丁戊各与其巳
壬乙为等角形则量辛庚之度而作直
景与表之比例或作表与倒景之比例
皆若辛庚与三数法所求得之他数即

　　得巳壬之高次加目至足乙辛之高即得巳庚之高
注曰如欲测巳庚高权线在直景即以直景乙戊
为第一数表为第二数庚辛为第三数若在倒景
即以表为第一数以丁戊倒景为第二数庚辛为
第三数各算定各加自目至足乙辛数即得

　　若权线不在丙而有平地可前可却即任意前却至
权线值丙而止即不必推算可知其高

　　若辛不欲至庚或不能(或为山水林木屋舍所隔或地非平面)则用两

直景较算其法依前用矩度向物顶审
权线在直景否如在倒景即以所值度
分变作直景(本篇二题注)次从辛依地平直
线或前或却任意远近至癸仍用矩度
向物顶审权线在直景否如在倒景亦
以所值度分变作直景(本篇二题注)次以两
直景度分相减之较为第一数以表为
第二数以辛癸大小两相距之较为第

三数依法算之即得巳壬之高加自目
至足乙癸即得巳庚之高何者两景较
与其表之比例若两相距之较与物之
高故下论详之

　　论曰以两直景之小乙戊线减其大乙
戊线存子戊线为景较以两相距之小
庚辛线减其大庚癸线存癸辛线为距
较则子戊较线与甲乙表之比例若癸

　　辛较线与巳壬线何者依上论(本篇三题)大乙戊直景与
甲乙表之比例若乙壬或等乙壬之庚癸大相距之
远与巳壬之高更之即大乙戊直景与大相距癸庚
之比例若甲乙表与巳壬之高(五卷十六)依显小乙戊直
景或等小乙戊之乙子与小相距之庚辛之比例若
甲乙表与巳壬之高则大乙戊直景与大相距庚癸
之比例亦若乙子小直景与小相距之庚辛也夫大
乙戊与大相距庚癸两全线之比例既若两所减之

乙子与庚辛(五卷十九)转之即大乙戊与庚癸两全线之
比例亦若两减馀之子戊与辛癸(五卷十九)而前巳论乙
戊全与庚癸全之比例若甲乙表与巳壬之高则两
减馀之子戊与辛癸之比例亦若甲乙表与巳壬之
高(五卷卜一)更之则景较子戊与甲乙表之比例若距较

　　癸辛与巳壬之高(五卷十六)

　　注曰如前图欲测巳庚之高先于辛得
直景小乙戊为五度次却立于癸得直

景大乙戊为十度景较五度以为第一
数以表度为第二数次量距较癸辛十
步以为第三数依法算得二十四步加
自目至足乙辛或一步即如巳庚高二
十五步如后图先于辛得直景小乙戊

　　为十一度次却立于癸得倒景九度即如前法变
作大乙戊直景十六度景较五度以为第一数以
表度为第二数次量距较癸辛二十步以为第三数

依法算得四十八步加自目至足乙辛或一步即
知巳庚高四十九步

　　若山上有一楼台欲测其楼台之高先于平地总测
楼台顶至地平之高次测山高减之即得有楼台高
数层欲测各层之高仿此

　　第七题

　　地平测远

　　法曰欲于巳测巳庚地平之远先用一有度分之表

与地平为直角以审目至足之高为甲
巳若量极远者则立楼台或山岳之上
以目下至地平为甲巳(欲知山岳楼台之高巳具前测
高法)次以矩极甲角切于目以乙向远际
庚如前法稍移就之令甲乙庚为一直
线细审权线值何度分如权线在丙则
高与远等若在乙丙直景边即高大于远
而矩度上截取甲乙戊与甲己庚为等

　　角形何者两形之乙与己各为直角庚甲己与乙甲
戊为同角即其馀角必等故(一卷三十二)则甲乙表与乙
戊直景之比例若甲巳高与巳庚远也(六卷四)若权线
在丁丙倒景边即高小于远而矩度上截取甲丁戊
与甲己庚为等角形何者两形之丁与己各为直角
巳甲庚与甲戊丁相对之两内角等(一卷廿九)即其馀角
亦等故(一卷三十二)则丁戊倒景与甲丁表之比例若甲
巳高与巳庚远也(六卷四)次以表为第一数直景为第

二数以倒景为第一数表为第二数各以甲巳为第
三数依法算之各得巳庚之远

　　第八题

　　测井之深

　　法曰己壬辛庚井其口之边或径为己庚欲测己壬

　　之深用矩极甲角切目以乙从己向

　　对边或径之水际辛如前法稍移就

　　之令甲乙己辛为一直线即权线垂

　　下截取矩度之甲乙戊与己壬辛为等角形何者两
形之乙与壬各为直角壬巳辛与乙甲戊两角为巳
壬甲癸两平行线(井甃必用垂线故与权线平行)之同方内外角等
(一卷二十九)即其馀角亦等故则乙戊直景与甲乙表之
比例若等巳庚口之壬辛底与巳壬深也(六卷四)次以
直景为第一数表为第二数巳庚为第三数依法算
之即得巳壬之深

　　若权线在倒景即表与倒景之比例若井之巳庚口

与巳壬深观甲癸丁角形可推何者癸与乙甲戊相
对两内角等(一卷廿九)即与壬巳辛角等故以表为第一
数倒景为等二数巳庚口为第三数依法算之亦得
巳壬之深

　　注曰乙戊直景三度巳庚井口十二尺依法算得
四十八尺即巳壬之深丁癸倒景四十八度依法
算同

　　第九题

　　以平镜测高

　　法曰欲测甲乙之高以平镜依地平线置
丙人依地平线立于丁目在戊向物顶甲

　　稍移就之令目见甲在镜中心是甲之景从镜心反
射于目成甲丙戊角即目光至镜心偕足至镜心两
线作戊丙丁角与甲丙乙角等(此论见欧几里得镜
书第一题)即甲乙丙戊丁丙为等角形(乙丁两皆直角
故)则足至镜心丁丙与目至足之高丁戊

　　之比例若物之底至镜心乙丙与其高甲乙也(六卷四)
今量丁丙为第一数丁戊为第二数乙丙为第三数
依法算之即得甲乙之高

　　注曰可以㿻水当镜若测极远可以水泽当镜

　　第十题

　　以表测高

　　法曰欲测甲乙之高依地平线任立一表于丙为丁
丙与地平为直角(凡立表以线垂下三面附表即与地平为直角)次依地平

线退立于戊使目在巳视表末丁与物
顶甲为一直线若表仅与身等或小于
身则俛首移就之可也(或别立一小表为巳戊亦可)

　　次量目至足之数次想从巳目至甲乙上之庚点作
直线与乙戊平行而分丁丙表于辛即巳辛丁巳庚
甲为等角形(六卷四)则等丙戊之辛巳与辛丁之比例
若等乙戊之庚巳与庚甲也次量丙戊为第一数辛
丁为第二数乙戊为第三数依法算之即得甲庚之

高加目至足之数巳戊即得甲乙之高

　　若戊不欲至乙或不能则用两表较算如前图立于
戊目在己巳得辛巳等丙戊之度次依地平线或前
或却又立一表(或即用前表或两表等)为癸壬依前法令丑子
与巳戊目至足之度等而使丑癸甲为
一直线即又得寅丑等壬子之度其壬
子若移前所得必小于丙戊何者巳辛
与辛丁之比例若巳庚与庚甲丑寅与

寅癸若丑庚与庚甲(六卷四)而巳庚与庚
甲大于丑庚与庚甲(五卷八)即巳辛与辛
丁亦大于丑寅与寅癸也又辛丁与寅
癸既等(癸壬丁丙元等所减寅壬辛丙等即所存亦等)即巳辛

　　必大于丑寅也(五卷十)次以两测所得之巳辛与丑寅
相减得卯辛较以为第一数以表目相减之较丁辛
或癸寅为第二数以两相距之较戊子或巳丑为第
三数依法算之即得甲庚之高加目至足之数即得

甲乙之高

　　论曰两测较外辛与表目较辛丁或癸寅其比例若
距较戊子或巳丑与庚甲何者巳辛与辛丁既若巳
庚与庚甲(五卷四)更之即巳辛与巳庚若辛丁与庚甲
也(五卷十一)依显丑寅与丑庚若寅癸与庚甲也则丑寅
与丑庚亦若辛丁与庚甲也(辛丁与寅癸等故)
而巳辛全线与巳庚全线若巳辛所截
取之巳卯(巳印与丑寅等故)与巳庚所截取之

丑庚也则巳辛全与巳庚全亦若巳辛
分馀之卯辛与巳庚分馀之巳丑也(五卷
十九)前巳论巳辛与巳庚若辛丁与庚甲
即卯辛与巳丑亦若辛丁与庚甲也更

　　之即两测较卯辛与表目较辛丁若距较等子戊之
巳丑与甲庚也若却后而得壬子则反上论之

　　第十一题

　　以表测地平远

　　法曰欲于甲测甲乙地平远先依地平线立一表为
丙甲与地平为直角其表稍小于身之长次
却立于戊目在丁视表末丙与远际乙为一
直线次想巳丙作直线与甲乙平行而分丁
戊于巳即丙巳丁丙甲乙为等角形(六卷四)何
者甲与巳两为直角丙丁巳乙丙甲为平行

　　线同方内外角等(一卷廿九)即其馀角必等故(一卷三十二)则
表目较丁巳与表目相距之度巳丙之比例若丙甲

表与甲乙也次以丁巳为第一数丙巳为第二数丙
甲为第三数依法算之即得甲乙之远

　　第十二题

　　以矩尺测地平远(今木工为方所用)

　　法曰欲于甲测甲乙地平远先立一表为丁
甲与地平为直角次以矩尺之内直角置表
末丁以丁戊尺向远际乙稍移就之令丁戊
乙为一直线次从丁丙尺上依一直线视地

　　平得巳次量巳甲为第一数丁甲为第二数又为第
三数依法算之即得甲乙之远

　　论曰巳丁乙既直角若从丁作丁甲为巳乙之垂线
即丁甲为甲巳甲乙之中率(六卷八之系)次以丁甲表自
乘为实以甲巳之度为法除之即得甲乙之远(六卷十七)

　　第十三题

　　移测地平远及水广

　　法曰欲于乙测乙戊地平远及江河溪壑之广凡近

而不能至者于此际立一表为甲乙与地
平为直角次以一小尺或竹木等为丙丁
邪加表上稍移就彼际戊作一直线次以
表带尺旋转向地平视丙丁尺端所直得

　　巳次自乙量至巳即得乙戊之数

　　论曰甲乙戊与甲乙巳两直角形等即相当之乙戊
与乙巳两边亦等则量乙巳得乙戊(一卷廿六)

　　又论曰若以乙为心巳戊为界作圜即乙巳戊为同

圜之各半径等

　　注曰如不用表以身代作甲乙表不用尺或以笠
覆至目代作丙丁如上测之尤便

　　第十四题

　　以四表测远(前题测远诸法不依极高不得极远此法于平地可测极远)

　　法曰欲于乙测甲远(或城或山凡可

　　望见者皆是不论平否)择于平旷处(前云

　　依地平线者必依直线取平此不必拘)立一表

　　于乙次任却后若干大尺更立一表为丁令两表与
甲(甲者是所测处指定一物或人或木或山及楼台之顶皆是)为一直线次从乙
依乙丁之垂线任横行若干丈尺更立一表为丙次
从丁与乙丙平行任若干丈尺稍远于乙丙又立一
表为戊(四表俱任意长短)从戊过丙望甲亦作一直线次以
丁戊乙丙相减之较为第一数乙丁为第二数乙丙
为第三数依法算之即得甲乙之远

　　论曰试作丙巳直线即得丙巳戊与甲乙丙为等角

形(六卷四)何者甲乙丙丙巳戊两为直角丙戊巳甲丙
乙为平行线同方内外角等(一卷廿九)即馀角必等故则
戊巳与等丙巳之乙丁之比例若丙乙与乙甲

　　注曰如丁戊为三十六乙丙为三十乙丁为四十
即以三十与三十六之较六为第一数以四十为
第二数以三十为第三数依法算之得二百四十
为甲乙之远

　　第十五题

　　测高深广远不用推算而得其度分

　　不诸布算难用前法其有畸分者更难今求不用布

　　算而全数畸分俱可推得与布算同

　　功其法曰凡测高深广远必先得三

　　率而推第四率三率者其一直景或

　　倒景其二所立处至所测之底若不

　　能至者则景较或两测较其三表或

　　距较也设如测一高景较八距较十

　　步其景较八与表十二之比例若距较十步与所求
之高(此不论目至足之高)则于平面作甲乙甲丙两直线任相
联为甲角从甲向乙规取八平分任意长短以当景
较为甲丁次用元度从丁向乙规取十二平分以当
表度次从甲向丙规取十平分其用度依前度任等
不等以当距较为甲戊次从戊至丁作一直线次从
乙作一直线与戊丁平行而截甲丙线于丙次规取
自甲至戊诸分内之一分为度从戊向丙规得若干

　　分即所求之高

　　论曰甲乙丙角形内之戊丁

　　与乙丙两线平行即甲丁与

　　丁乙之比例若甲戊与戊丙

　　(六卷二)则戊丙当为十五分与

　　三数法合加目至足之高即

　　得全高

　　又法曰若景较七度有半距较八步三分步之一即

物高度十三步三分步之一如后图加目至足之高
即得全高

　　若恒以甲丁为第一数丁乙为第二数甲戊为第三
数即恒得戊丙为第四数

　　三数算法(附)

　　三数算法即九章中异乘同除法也先定某为第一
数某为第二第三数次以第二第三两数相乘为实
以第一数为法除之即得所求第四数

　　如月行三日得三十七度问九日行几何度即以三
十七度为第二数九为第三数相乘得三百三十三
数为实次以三为第一数为法除之得一百一十一
数即所求第四月行九日度数

　　如有畸分即用通分约分法依上算如一星行八日
三时得十二度二分度之一问十四日六时行几何
度即以八日三时通作九十九为第一数以十二度
二分度之一通作二十五为第二数以十四日六时

通作一百七十四为第三数次以二十五与一百七
十四相乘得四千三百五十为实以九十九为法除
之得四十三分九十三次以二分为一度约得二十
一度三十三分度之三十二即所求第四本星行十
四日六时度分之数

　　测量法义

　　钦定四库全书

　　测量异同

　　明　徐光启　撰

　　九章算法勾股篇中故有用表用矩尺测量数条与今
译测量法义相较其法略同其义全阙学者不能识其
所繇既具新论以考旧文如视掌矣今悉存诸法对题
胪列推求同异以俟讨论其旧篇所有今译所无者仍
补论一则共为测量异同六首如左

　　第一题(与前篇第四题同)

　　以景测高

　　欲测甲乙之高其全景乙丙长五丈立表于戊为丁
戊高一丈表景戊丙长一丈二尺五寸
以表与全景相乘得五万寸为实以表
景百二十五寸为法除之得甲乙高四

　　丈

　　此旧法与今译同

　　第二题(与前篇第十题同)

　　以表测高

　　欲测甲乙之高去乙二十五尺立表

　　于丙为丁丙高一丈却后五尺立于

　　戊使目在巳戊至巳高四尺视表末

　　丁与甲为一直线次以丁丙表高十尺减目至足丁
辛四尺得表目之较辛丙六尺以乘乙丙二十五尺
得百五十尺为实以丙戊五尺为法除之得三十尺

加表十尺得甲乙高四十尺

　　此旧法以甲壬丁为大三角形以丁辛巳为小三角
形今译以甲庚巳为大三角形丁辛巳为小三角形
其实同法同论何者甲壬与壬丁若甲庚与庚巳也
(六卷四)

　　第三题(与前篇第八题同)

　　以表测深

　　甲乙丙丁井欲测深其径甲乙五尺立一表于井口

　　为戊甲高五尺从戊视丙截甲乙径

　　于巳甲至巳得四寸次以井径五尺

　　减甲巳四寸存巳乙四尺六寸以乘戊甲五尺得二
千二百寸为实以甲巳四寸为法除之得井深五丈
七尺五寸

　　此旧法以戊甲巳为小三角形巳乙丙为大三角形
今译当以戊甲巳为小三角形戊丁丙为大三角形
其实同法同论何者戊丁与丁丙若丙乙与乙巳也

(一卷三十四可推)

　　第四题(与前篇第十题后法同)

　　以重表兼测无远之高无高之远

　　欲于戊测甲乙之高乙丙之远或不欲至或不能至
则用重表法先于丙立丁丙表高十尺
却后五尺立于戊目在巳巳戊高四尺
视表末丁与甲为一直线次从前表却
后十五尺立一癸壬表于壬亦高十尺

　　却后八尺立于子去壬八尺其目在丑丑子亦高四
尺从丑视癸甲亦一直线次以表高十尺减足至目
四尺得表目较癸辛或丁寅六尺与表间度癸丁或
壬丙十五尺相乘得九十尺为实以两测所得巳寅
丑辛相减之较卯辛三尺(此较旧名景差今名两测较)为法除之
得三十尺加表高十尺得甲乙高四十尺若以两测
所得之小率丙戊五尺与表间度癸丁或壬丙十五
尺相乘得七十五尺为实以卯辛三尺为法除之即

得乙丙远二十五尺

　　此旧法测高以癸辛或丁寅与辛卯偕甲辰与壬等
丙之丁癸为同理之比例今译以癸辛或丁寅与辛
卯偕甲庚与等戊子之巳丑为同理之
比例(旧用壬丙表间也今用戊子距较也)其实同法同论
何者甲辰与辰丁若甲庚与庚巳也辰
丁与丁癸若庚巳与己丑也(六卷四)平之

　　则甲辰与丁癸若甲庚与己丑也

　　补论曰旧法以重表测远则卯辛与等丙戊之巳寅
之比例若等壬丙之癸丁与等乙丙之丁辰何者甲
辰癸癸辛丑为等角形(六卷三十二)即丑辛癸辰为相似
边(六卷四)甲辰丁丁寅巳为等角形即巳寅丁辰为相
似边是丑辛与癸辰若巳寅与丁辰也(六卷四)更之则
丑辛与巳寅若癸辰与丁辰也今于丑辛减巳寅之
度存卯辛于癸辰减丁辰存癸丁则卯辛与巳寅若
癸丁与丁辰也(所减之比例等所存之比例亦等)

　　第五题(与前篇第十四题同)

　　以四表测远

　　欲测甲乙之远于乙上立一表次于丙巳丁上各立
一表成乙丙巳丁直角方形每表相去一丈令丁乙

　　二表与甲为一直线次于已

　　表之右戊上视丙表与甲为

　　一直线戊巳相去三寸次以

　　乙丙乙丁相乘得一万寸为实以戊巳三寸为法除

之得甲乙高三十三丈三分丈之一

　　此旧法与今译同

　　第六题(与前篇第十题后法同理)

　　以重矩兼测无广之深无深之广(稍改旧法以从今论)

　　有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之广欲测乙丙之
深则用重矩法先于甲岸上依垂线立戊甲巳句股
矩尺甲巳句长六尺从股尺上视句末巳与谷底丙
为一直线而遇戊甲股于庚庚甲高五尺次于甲上

依垂线取壬壬去甲一丈五尺于壬上
依垂线更立一辛壬癸句股矩尺壬癸
句亦长六尺从股尺上视句末癸与谷
底丙为一直线而遇辛壬股于辛辛壬

　　高八尺次以前股所得庚甲五尺与两句间壬甲十
五尺相乘得七十五尺为实以两股所得庚甲辛壬
相减之较辛子三尺为法除之即得乙丙深二十五
尺若以句六尺与两句间十五尺相乘得九十尺为

实以辛子三尺为法除之即得甲乙之广三十尺
测深论作癸巳丑直线与本篇第四题重表测远
补论同测远论与前篇第十题重表测高论同

　　测量异同

　　钦定四库全书

　　句股义

　　明　徐光启　撰

　　句股即三边直角形也底线为句底上之垂线为股对
直角边为弦句股上两直角方形并与弦上直角方形
等故句三股四则弦必五(一卷四七注)从此可以句股求弦
句弦求股股弦求句(一卷四七注)可以求句股中容方容圆
可以各较求句求股求弦可以各和求句求股求弦可

以大小两句股互相求可以立表求高深广远以通句
股之穷可以二表四表求极高深极广远以通立表之
穷其大小相求及立表诸法测量法义所论著略备矣
句股自相求以至容方容圆各和各较相求者旧九章
中亦有之第能言其法不能言其义也所立诸法芜陋
不堪读门人孙初阳氏删为正法十五条稍简明矣余
因各为论撰其义使夫精于数学者览图诵说庶或为
之解颐

　　第一题

　　句股求弦

　　法曰甲乙股四乙丙句三求弦以股自之
得十六句自之得九并得二十五为实开
方得甲丙弦五

　　第二题

　　句弦求股

　　法曰如前图乙丙句三自之得九甲丙弦五自之得

二十五相减得较十六开方得甲乙股四

　　第三题

　　股弦求句

　　法曰如前图甲乙股四自之得十六甲丙弦五自之
得二十五相减得较九开方得乙丙句三

　　巳上三论俱见一卷四十七题(凡言某卷某题者皆引几何原本为證下
同)

　　第四题

　　句股求容方

　　法曰甲乙股三十六乙丙句二十

　　七求容方以句股相乘为实并句

　　股得甲戊六十三为法除之得容

　　方辛乙乙癸各边俱一十五四二八

　　论曰甲乙三十六乙丙二十七相乘得九百七十二
以为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙并得
六十三为法即成甲戊线除实得戊巳边十五四二

八即成甲戊巳庚直角形与甲乙丙丁形等(六卷十六)而
巳庚边截乙丙句于癸甲丙弦于壬即成乙辛壬癸
满句股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两
形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙(六卷十五)分之
即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若
乙癸与癸丙也(乙丙乙戊元等)又甲辛与辛壬若壬癸与癸
丙(六卷四)更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛
乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸

与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛
与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛
与辛乙而乙辛壬癸为满句股之直角方形(六卷十五增题)
又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得
甲庚戊巳各与方形边等今以等甲乙
戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙
戊巳亦各与方形边等则辛乙癸壬为
直角方形

　　第五题

　　馀句馀股求容方求句求股

　　法曰甲丁馀股七百五十戊丙馀句

　　三十求丁乙戊巳容方边以丙戊甲

　　丁相乘得二万二千五百为实开方

　　得容方乙丁丁巳各边俱一百五十

　　加馀股得股九百加馀句得句一百八十

　　论曰甲丁戊丙相乘为实即成巳壬辛庚直角形与

丁乙戊巳为甲丙角线形内之两馀方形等(一卷四三)而
壬巳与巳戊偕丁巳与巳庚为互相视之边(六卷十四)故
巳壬辛庚之实即丁乙戊巳之实开方得丁乙戊巳
直角方形边

　　又论曰甲丁与丁巳既若巳戊与戊丙(六卷四之系)即方
形边当为甲丁戊丙之中率(六卷三十三之十五增题)今列甲丁
七百五十戊丙三十而求其中率之数其法以前率
比后率为二十五倍大之比例二十五开方得五则

中率当为五倍之比例甲丁七百五十反五倍得一
百五十一百五十反五倍得丙戊三十则方形边一
百五十为甲丁丙戊之中率(六卷界说五)

　　第六题

　　容方与馀句求馀股与馀股求馀句

　　法曰容方乙丁丁巳各边俱一百五

　　十戊丙馀句三十求甲丁馀股以容

　　方边自之为实以馀句为法除之得

　　甲丁馀股七百五十以容方与馀股求馀句法同

　　论曰如上论两馀方形等实故以等己庚之丙戊除
之得等壬巳之甲丁

　　又论曰方形边既为甲丁戊丙之中率(六卷三十三之十五增题)
即方形边自乘为实以戊丙除之得甲丁以甲丁除
之得戊丙(六卷十七)

　　第七题

　　句股求容圆

　　法曰甲乙股六百乙丙句三百二十求容圆以句股
相乘得一万九千二百倍之得三万八千四百为实

　　别以句股求

　　弦得甲丙弦

　　六百八十(本篇

　　一)并句股弦

　　为法除实得

　　容圆径乙子

　　二百四十

　　论曰甲乙股乙丙句相乘即甲乙丙丁直角形倍之
为实即丙丁戊己直角形求得甲丙弦并句股得一
千六百于甲乙线引长之截乙庚与句等庚辛与弦
等得甲辛为弦和和线以为法除实得辛壬边二百
四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊巳形等(六卷十六)
而壬癸边截乙丙句于子次从子作子丑寅乙直角
方形即此形之各边皆为容圆径曷名为容圆径也

谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙弦截子
丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙
诸边皆为切圜线也则何以显此五边之皆为切圜
线乎试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形
交加其上其丙午与乙丙等未午与甲乙等未丙与
甲丙等即两形必等(一卷二十二可推)次依丙午未直角作
午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于
戌酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为

同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戌为容圆
径次于亥戌寅丑两线引之遇于乾又成乾寅亥直

　　角三边形以

　　亥为同角交

　　加于甲乙丙

　　形之上亦以

　　乙子丑寅为

　　容圆径次作

　　丙兑线遇诸形之交加线于离于兑次作甲震线遇
诸形之交加线于巽于震次作亥辰线遇诸形之交
加线于坎于辰次作未乾线遇诸形之交加线于艮
于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而
减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线
丙戌离丙子离又等为直角戌离丙子离丙又俱小
于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之
各边各角俱等(六卷七)则丙兑线必分甲丙未角为两

平分矣(一卷九)又子离与戌离两边既等(本论)子离震戌
离卯两交角又等(一卷十五)卯戌离震子离又等为直角
即卯离戌离震子之各边各角俱等而两形亦等(一卷
廿六)又子离与离戌两边既等离卯与离震两边又等
(本论)即子卯与戊震两边亦等子丑与戌酉各为相等
之直角方形边必等而各减相等之子卯戌震其所
存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离卯
戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等

　　为直角即卯

　　丑辰震酉坎

　　之各边各角

　　俱等而两形

　　亦等(一卷廿六)依

　　显午巽辰与

　　坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等巽寅兑与兑
艮申之各边各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之

数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之
则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震
各一百○二(算见测圆海镜之句股步率)则减丑卯之卯子必一
百五十也卯子股一百五十丙子句八十以求卯丙
弦则一百七十也(本篇一)次减丙戌八十即卯戌亦九
十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戌卯既
等为直角丑卯辰戌卯离两交角又等丑卯与戌卯
复等即两形必等而其各边各角俱等(一卷廿六)依显子

离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相
等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌

　　皆四十八也

　　则酉坎坎乙

　　亦皆四十八也

　　亥酉亥乙皆八

　　十也子乙与

　　戌酉等子丙

　　与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙
丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各
角俱等而两形亦等(一卷廿六)甲亥与甲丙既等各减相
等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲
午必等夫甲巽午甲巽寅两形之甲寅甲午既等甲
巽同线甲午巽甲寅巽又等为直角即两形必等而
各边各角俱等(六卷七)是甲震线必分丙甲亥角为两
平分也(一卷九)甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙

角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而
相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子
丑丑寅寅乙卯辰五边而为甲乙丙直角三边形之
内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径(四卷四)展
转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角
为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即
两直角方形边为各句股形内之容圆径

　　又法曰甲乙股六百乙丙句三百二十并得九百二

十与甲丙弦六百八十相减亦得乙子二百四十
论曰如前论诸大句股形之分馀句俱八十诸句股
和与诸弦相减之较亦俱八十则初分句二百四十
为诸形之容圆径

　　第八题

　　句股较求股求句

　　法曰甲丙弦四十五甲乙股甲丙句之较为甲丁九
求股求句以弦自之得二千○二十五倍之得四千

　　○五十较自之得八十一以减两

　　弦羃存三千九百六十九为实开

　　方得句股和六十三加较九得七

　　十二半之得三十六为甲乙股减

　　较得二十七为乙丙句

　　论曰弦幂为甲戊直角方形倍之为己丙直角形较
幂为甲庚直角方形与甲辛等相减即得减甲辛形
之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而

得句股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上
两直角方形并等(一卷四七)即甲戊一弦幂内有一甲乙
股幂一乙丙句幂也己丙两弦幂内有两甲乙幂两
乙丙幂也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形

　　其丑寅与卯辰两形两股幂也丙

　　壬与癸子两形两句幂也而丑寅

　　卯辰之间则重一等甲辛之卯寅

　　形减之即丑辰直角方形与己辛

　　丙磬折形等矣乙丙为句丙丑与甲乙等故乙丑边
即句股和也若于乙丙句加甲丁较即与甲乙股等
故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲
乙股为乙丙句

　　第九题

　　句弦较求句求弦

　　法曰甲乙股三十六乙丙句甲丙弦之较为甲丁十
八求句求弦以股自之得一千二百九十六较自之

　　得三百二十四相减存九百七十二

　　为实倍较为法除之得二十七为乙

　　丙句加较得四十五为甲丙弦

　　论曰股幂为甲戊直角方形较幂为

　　丁庚直角方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折形为
实次倍甲丁较线为乙寅线以为法除实即得乙子
直角形与甲壬戊磬折形等何者乙子直角形加一
等较幂之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即与股

幂之甲戊直角方形等也又何者甲丙弦幂之甲辰
直角方形内当函一句幂一股幂(一卷四七)试于甲辰形

　　内截取丁庚较幂之外分作庚未未

　　午午丁三直角形其甲庚申未酉戌

　　三线各与甲丁较线等庚申未戌未

　　辰午酉四线各与等乙丙句之丁丙

　　线等夫未酉酉戌并与句等即申未未酉并亦与句
等而庚申未辰各与句等即庚未未午两形并为句

幂而丁庚午丁两形并为股幂矣丁戌戌酉两较也
乙卯卯寅亦两较也而丁丙与乙丙元等即丁午乙
子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与
子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形与股幂之甲戌
形等此两率者各减一等较幂之辛癸乙丑形即乙
子直角形与甲壬戊磬折形等

　　又法曰股自之得一千二百九十六为实以句弦较
十八为法除之得句弦和七十二加较得九十半之

得弦四十五减较得句二十七

　　论曰股幂为甲己直角方形以较而

　　一为甲辛直角形即得甲壬边与乙

　　丙丙甲句弦和等何者甲丙弦幂之

　　甲丑直角方形内当函一股幂一句

　　幂(一卷四七)试于甲丑形内截取子卯丑辰边各与甲丁
较线等即卯丑辰丙俱与等乙丙句之丁丙线等而
作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与

　　句等句幂也即甲卯卯辰两形当与

　　股幂等亦当与甲辛形等而甲庚卯

　　寅皆较也甲子弦也卯丑句也则甲

　　辛形之甲壬边与句弦和等

　　第十题

　　股弦较求股求弦

　　法曰乙丙句二十七甲乙股甲丙弦之较为丙丁九
求股求弦以句自之得七百二十九较自之得八十

　　一相减得六百四十八为实倍较为

　　法除之得甲乙股三十六加较得甲

　　丙弦四十五

　　论曰句幂为乙己直角方形较幂为

　　丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚己磬折形为
实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬
直角形与乙庚己磬折形等而乙壬边与甲乙股等
何者甲丙弦幂之甲癸直角方形内当函一句幂一

股幂(一卷四七)试于甲癸形内截取丙丑较幂之外分作
甲丑丑癸丑子三直角形即丑子与股幂等而丙丑
甲丑丑癸三形并当与句幂等次各减一相等之丙

　　丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚己磬

　　折形等亦与辛壬直角形等辛乙与

　　寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅

　　癸等亦与甲乙等

　　又法曰句自之得七百二十九为实以较为法除之

　　得股弦和八十一加较得九十

　　半之得弦四十五减较得股三

　　十六

　　论曰句幂为丙戊直角方形以较而一为丙己直角
形即得丙庚边与甲乙甲丙股弦和等何者甲丙弦
幂之甲辛直角方形内当函一股幂一句幂(一卷四七)试
于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角
形即癸壬形与股幂等而丁辛丁癸两形并当与句

幂等亦与丙己直角形等夫壬辛甲癸己庚皆较也
而甲丁与股等丙辛与弦等即丙庚与股弦和等

　　第十一题

　　句股和求股求句

　　法曰甲丙弦四十五甲乙乙丙句股和六十三求句

　　求股以弦自之得二千○二十五句

　　股和自之得三千九百六十九相减

　　得一千九百四十四复与弦幂相减

　　得八十一开方得句股较甲卯九加

　　和得七十二半之得甲乙股三十六

　　减较得乙丙句二十七

　　论曰以句股和作甲丁一直线自之为甲己直角方
形此形内函甲辛癸己两股幂乙寅庚壬两句幂而
甲辛癸己之间重一癸辛直角方形夫甲丙弦之幂
既与句股两幂并等(一卷四七)以减甲己形内之甲辛乙
寅两形即所存戊辛寅磬折形少于弦幂者为癸辛

形矣乙辛股也乙丑句也则丑辛较也

　　第十二题

　　句弦和求句求弦

　　法曰甲乙股三十六乙丙甲丙句

　　弦和七十二求句求弦以股自之

　　得一千二百九十六句弦和自之

　　得五千一百八十四相减得三千

　　八百八十八半之得一千九百四十四为实以和为

法除之得乙丙句二十七以减和得甲丙弦四十五
论曰以句弦和作乙丁一直线自之为乙戊直角方
形次用句弦度相减取丙庚两点从丙从庚作庚辛

　　丙壬二平行线依此法作癸子丑

　　寅二平行线即乙戊一形中截成

　　丙子丑辛丁卯午己句幂四庚未

　　辰壬癸辰未寅较句矩内直角形

　　四卯午较幂一也今欲于乙戊全形中减一甲乙股

之幂则于卯己弦幂内(一句一幂并为弦)存午己句幂而减
子午辛磬折形即股幂矣何者卯己弦幂内当函一
句幂一股幂也(一卷四七)又庚未与未寅等即庚壬形亦

　　股幂也以庚壬形代磬折形即

　　丁辛丙己两形为和幂与股幂

　　之减存形也半之即丙己形以等

　　句弦和之乙己除之得乙丙句

　　又法曰股自之得一千二百九

　　十六以句弦和七十二为法除之得十八为句弦较
加句弦和得九十半之得四十五为弦减较得二十
七为句

　　此法与本篇第九题又法同论

　　第十三题

　　股弦和求股求弦

　　法曰乙丙句二十七甲乙乙丙股弦和八十一求股
求弦以句自之得七百二十九股弦和自之得六千

　　五百六十一相减得五千八百三十

　　二半之得二千九百一十六为实以

　　和为法除之得甲乙股三十六以减

　　和得甲丙弦四十五

　　论曰乙丁和幂内之戊己句幂也馀论同本篇十三

　　题

　　又法曰句自之得七百二十九以

　　股弦和八十一为法除之得九为

　　股弦较加股弦和得九十半之得四十五为弦减较
得三十六为股

　　此法与本篇第十题又法同论

　　第十四题

　　股弦较句弦较求句求股求弦

　　法曰甲乙股甲丙弦较二乙丙句甲丙弦较九求句
求股求弦以二较相乘得十八倍之得三十六为实
平方开之得六为弦和较加句弦较九得甲乙股十

　　五加股弦较二得乙丙句八以

　　句弦较加句或股弦较加股得

　　十七为甲丙弦

　　论曰股弦较甲丁二自之得四

　　为己庚直角方形句弦较乙戊

　　九自之得八十一为辛壬直角

　　方形两幂并得八十五以二减

　　九得七即句股较自之得四十

　　九为乾兑直角方形元设两较

　　互乘为癸戊子丑两直角形并

　　得三十六以三十六减八十五

　　亦得四十九何以知癸戊子丑

　　三十六为实开方得六之寅卯

　　直角方形边则弦和较也凡直

　　角三边形之弦幂必与句股两幂

　　并等(一卷四七)甲乙丙既直角形则

　　甲乙乙丙两幂并必与甲丙幂

　　等今于甲乙股加甲辰弦丙乙

　　句加乙午弦甲丙弦加丙未句

　　未申股各作一直线以此三和

　　线作一三边形(一卷廿二)即甲申上

　　之甲酉直角方形必不等于丙

　　午上之丙戌直角方形乙辰上

　　之乙亥直角方形并而此不相

　　等之较必句股较幂之四十九

　　也何者若于甲酉丙戌乙亥三

　　直角方形各以元设句股弦分

　　之即甲酉形内有弦幂一股幂

　　一句幂一股弦矩内形二句弦

　　矩内形二句股矩内形二而乙

　　亥形内有弦幂一股幂一股弦

　　矩内形二丙戌形内有弦幂一

　　句幂一句弦矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙
戌内诸形相当相抵则甲酉内存句股矩内形二丙
戌或乙亥内存弦幂一次以此两存形相当相抵则
一弦幂之大于两句股矩内形必句股较幂之四十
九也何者一弦幂内函一句幂一股幂今试如上图
任作一甲乙弦幂其乙丙为句幂则丁
丙戊磬折形必与股幂等乙己为股幂
则丁己戊磬折形必与句幂等次以乙

　　庚辛壬两句股矩内形辏乙角依角傍两边纵横交
加于弦幂之上即得句股之较幂丙己而乙丙上重
一句幂次以所重之句幂补其等句幂之丁己戊磬
折形则甲乙弦幂之大于乙庚辛壬两句股矩内形
必丙己句股较幂矣故知向者乙亥或丙戌内与甲
酉内两存形之较必句股较幂之四十九也则乙亥
丙戌两形并其大于甲酉形亦句股较幂之四十九
也今于辛壬较幂内减句股较幂四十九之乾兑直

　　角方形其所存乾离震兑两馀

　　方形及离震己庚两直角方形

　　并必与癸戊子丑两形并等次

　　以癸戊子丑两形开方为寅卯

　　形则减寅卯之甲酉形与减辛

　　壬之丙戌形减己庚之乙亥形

　　并必等而减寅卯之甲酉形内

　　元有弦幂如甲寅者四有弦偕

　　寅卯形边矩内形如寅巽者四减辛壬之丙戌形内
元有句幂如丙辛者四有句偕句弦较矩内形如辛
坎者四减己庚之乙亥形内元有句幂如己辰者四
有股偕股弦较矩内形如甲己者四今以四弦幂当
四句幂四股幂(一卷四七)则甲己辛坎两形并必与寅巽
形等甲丙与巽申等弦也丙申句股和也则两弦间
等寅卯形边之丙巽不得不为弦和较矣既得丙巽
六为弦和较即以元设两较相加可得句股弦各数

也何者巽申弦也巽艮句弦较也艮申句也丙申句
股和也于丙申句股和减艮申句则丙巽加巽艮之
丙艮股也丙甲弦也丙坤股弦较也坤甲股也巽甲
句股和也于巽甲句股和减坤甲股则巽丙加丙坤
之巽坤句也次以巽艮加艮申或丙坤加坤甲则弦
也

　　第十五题

　　句弦和股弦和求句求股求弦

　　法曰甲丙乙丙句弦和七

　　十二甲乙甲丙股弦和八

　　十一求句求股求弦以两

　　和相乘得五千八百三十

　　二倍之得一万一千六百

　　六十四为实平方开之得弦和和一百○八以股弦
和减之得乙丙句二十七以句弦和减之得甲乙句
三十六以句股和减之得甲丙弦四十五

　　论曰两和相乘为乙己直角形倍之为丁戊直角形
以为实平方开之得己庚直角方形与丁戊等即其
边为弦和和者何也丁戊全形内有弦幂二股弦矩
内形句弦矩内形句股矩内形各二与己庚全形内
诸形比各等独丁戊形内馀一弦幂己庚形内馀一
句幂一股幂并二较一亦等(一卷四七)即己庚方形之各
边皆弦和和

　　句股义