钦定四库全书
　新法算书卷九十三　　明　徐光启等　撰
　　测量全义卷七　　球面曲线形
圈内线相当之理
每弧每角有八种线曰正弦曰正切线曰正割线曰正矢
　曰馀弦曰馀切线曰馀割线曰馀矢并全数为九种诸
　线内各有相当之理皆依三边形等角比例法(几何六/卷四题)
　　　　　　　　　如上图丙丁为正弧甲丁为正弦
　　　　　　　　　丙辛为正切线乙辛为正割线甲

　　　　　　　　　丙为正矢戊丁为馀弦己壬为馀
　切线乙壬为馀割线戊己为馀矢乙己乙丁乙丙皆全
　数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直角己
　乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相对两内
　角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边相似
一全数为正弦馀割线两率之中率
　　　　　　　　　如丙丁弧之正弦为甲丁全数为
　　　　　　　　　丁乙馀割线为乙壬则甲丁与丁
　　　　　　　　　乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆

　全数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也
　又全数为馀弦正割线之中率如戊丁与丁乙若丁乙
　(与乙丙/等故)与乙辛
　　　　　　　一系凡四率全数为中率(或二/或三)若第一率
　　　　　　　为正弦即弃正弦而变馀割线为中率全
　　　　　　　数为第一省而一　若第一率为馀弦则
　变正割线为中率　若第一率为正割线则变馀弦
　若第一率为馀割线则变正弦　凡所变者皆以易全
　数而使为第一率

　论曰凡有连比例之三率一率与二(如二/与六)若二率与三
　(如六与/十八)别有二数其比例若连理之一率与二(如八与/二十四)
　即可代用或连理之一率与二(如二/与六)若他数与别数(八/与)
　(二十/四)可也或连理之二率与三(六与/十八)若他数与别数(八/与)
　(二十/四)亦可也为其比例等故也(皆三/之一)今连理之一率为
　甲(正/弦)二率为乙(全/数)三率为丙(馀割/线)次有断理之第三率
　丁第四率戊即可代用谓一甲(正/弦)与二乙(全/数)若三丁与
　四戊可也谓二乙(全/数)与三丙(馀割/线)若三丁与四戊亦可
　也是于连理之三率二比中弃前比而用后比初以全

　数为第二馀割为三今以全数为一馀割为二也
　如三十八度一十七分之正弦六一九五五与全数若
　三十度之正弦与某数常法二三率相乘以一率为法
　而一得第四今法用三十八度一十七分之馀割线一
　六一四○七为二率以易全数而为第一以二三率相
　乘即得第四何者正弦全数馀割线为连比例故也
　二系凡四率中无全数若第一率为正弦则变馀割线
　为第一率若第一率为馀弦则变正割线为第一率法
　用一二率相乘得数以全为法去后五位所存若干位

　与全数等而一又以乘第三率得数如前而一得四率
　(名为而一者再皆以全数为法止减末位不/难也常法一乘一除此用两乘犹是捷法)
　假如一十八度四十○分之正弦三二○○六与二十
　五度三十七分之正弦四三二三一若六十三度三十
　二分之切线二○○八六二与某数其常法二三率相
　乘第一率而一今用捷法取一十八度四十分之馀割
　线三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○
　七○○○○○○为实以全数为法而一得一三五○
　七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二

　二○○○○○以全为法而一得一六七九二二为四率
　　　　　　　二三○七三五　六十四度十九分之正割线
　又假设三率如一二二三四一
　　　　　　　二三四三二
　第一率变取六十四度十九分之馀弦四三三四○以
　乘第二率得数减后五位以所存乘第三率得数又减
　　　　　　　　后五位所存即第四率
　　　　　　　二全数为正馀两切线之中率
　　　　　　　　如上图辛丙与丙乙若乙己与己壬

　何者丙乙乙己皆全数则辛丙丙乙(或乙/己)己壬为三率
　连比例
　系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变馀
　切线为中率以易全为第一若第一为馀切线变正切
　线为中率以易全为第一
三正弦与馀弦若全数与馀切线馀弦与正弦若全数与
　正切线
　如前图甲丁与丁戊(即甲/乙故)若乙己与己壬戊丁(即甲/乙故)与
　甲丁若乙丙与丙辛

　系四率断比例若一二率为正弦与馀弦变为全数与
　馀切线若为馀弦与正弦变为全数与正切线
四凡两弧之正割线与其馀弦为互相视之线两弧之馀
　割线与其正弦为互相视之线
　　　　　　　　如上图丙癸丙丁两弧丙癸弧之正
　　　　　　　　割线为乙寅丙丁弧之正割线为乙
　　　　　　　　辛丙癸弧之馀弦为庚癸丙丁弧之
　　　　　　　　馀弦为戊丁则乙寅与乙辛若戊丁
　与癸庚

　论曰全数在正弧(丙/癸)为其正割线(乙/寅)及其馀弦(癸/庚)之中
　率在他弧(丙/丁)亦为其正割线(乙/辛)及其馀弦(丁/戊)之中率两
　理之各前后矩内形各与全数上方形等(各为其/中率故)即两
　矩内形自相等其边互相视(几何六/卷十四)
五凡两弧之正切线与其馀切线为互相视之线同上论
卷中诸圈皆以曲线当圆球之大圈相交相截人目视球
曲面或近或远或上或下或左或右所见不同有时视曲
线而为直线即同是曲线而形象不一盖平面图球不能
尽球之理宜从论说中领其意义乃得耳

圆球原本内借论题　　古德阿多西阿撰
一大圈皆与球同心　系大圈皆相等若从大圈分球过
　心必为两平分(一卷/六)
二两大圈于球上相交各为两平分
三反之两圈于球上相分为两平分必两皆大圈(一卷十/一十二)
　(如赤道/黄道等)
四大圈过他圈之两极必相交为直角(一卷十五题如子/午圈过赤道极则)
　(两圈交处/皆为直角)
五大圈与本极距一象限九十度

六大圈交两大圈若作直角则元圈之极在两圈之交
　如赤道与极至交圈极分交圈为直角则两圈之交在
　赤道极
七大圈三百六十平分之小圈亦然但小圈去离大圈一
　分其小圈之各分必小于大圈之各分
八两大圈相交其交角必等或上或下两角并必等两直
　角与直线相交同理
九球上大圈不能相偕为平行弧一心止一圈故也若同
　心而能为多圈则是距等小圈非大圈矣

分球上三角形之各类
球上圈相交成三角形若三皆大圈之弧此形为大测之
　本(若有小圈之一弧即未能定圈大小之数/安能定其弧数明大测不用小圈之弧也)
球上角形或三边等其角必等边之度若四之一(九十/度)则
　角为直角过四之一则钝角不及则锐角(如正球之赤/道地平子午)
　(圈皆相交为直角/则各边俱九十度)
　或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为锐
　角或各边不等各角亦不等
球上角形或三直角其边皆四之一或两为直角其两对

　边皆四之一此二类自明勿论所论者一为直角馀或
　钝或锐各有本法如左
　一图外大圈内两大圈分皆相交为直角则各圈之极
　　　　　　在他两圈之交(用号作十者指直角作○/者指钝角作丨者指锐角)
　　　　　　(边云多者谓过四之一/云少者谓不及四之一)
　　　　　　二图两直角形第三角或锐或钝(己上二/图俱不)
　　　　　　(论/)
　　　　　　三图甲乙丙形甲为直角馀皆锐其边少
　　　　　　甲丙戊形甲直角丙钝戊锐钝角之对边

　　　　　　大即甲已戊弧锐角之对边小即甲丙弧
　　　　　　或一直角两钝角如乙丙丁形乙丙两钝
　　　　　　角其对边过四之一即乙壬丁弧
　凡两角或锐或钝若同𩔖其间所容弧不及四之一
　直线三角形与球上曲线三角形异理
一直线形之三角并与两直角等曲线形之三角并其数
　不定但不能及四直角(四直角者三/百六十度也)
二直线形得两角即得其三曲线形否
三直线直角形有两边以句股开方法求其三曲线形否

四直线形有三角不能求三边若干但得其比例耳曲形
　设三角可推三边若干
五直线形各边能当全数曲线之各边否
六两直线形等角即两形之边有比例曲线等角形之边
　必等
七直线形但有一易法以垂线分元形是也曲形有六易
　法
八直线形不过二种一直角二或钝或锐角其边虽有长
　短不变其𩔖曲形边有大小其法不同

球上斜三角形因各角各边不等分为九种(或恒用或否/俱见下文)
　　　　　第一三角皆锐其边皆小于四之一(如第/一图)
　　　　　(甲/形)
　　　　　第二三角皆钝其一边适足四之一其二
　　　　　边大于四之一(后凡四之一皆言足小于/四之一者皆言少大于四)
　　　　　(之一者皆言多/如第二图乙形)
　　　　　第三三角皆钝其两边多一边少(如三图/丙形)
　　　　　第四三角皆钝其三边皆多(如四图/丁形)

　　　　　第五一角钝两锐其三边皆少(如三图/戊形)
　　　　　第六一角钝两锐其两锐间之一边多钝
　　　　　角之两旁少(如四图/己形)
　　　　　第七一角钝两锐一锐角之对边少馀皆
　多(如三图/庚形)
　第八一角钝两锐钝角之对边足馀皆少(如二图/壬形)
　第九一角钝两锐其边皆不等一多一少一足(如二图/辛形)

球上三角形相易其法有五
　　　　　　第一甲乙丙直角形甲为直角于乙甲乙
　　　　　　丙各引长之满象限为乙丁乙戊又甲丙
　　　　　　边引长之作甲丙己象限次联丁戊引至
　　　　　　己亦作象限(乙丁乙戊俱象限则丁戊己/弧心为乙又丙甲乙为直角)
　　　　　　(乙丁戊亦直角则甲己丁己/遇于己而己为乙丁弧之心)得丙戊己直
　　　　　　角形若甲乙丙形设甲乙乙丙两边若干
　即有甲丁丙戊两馀弧次丙戊己形有戊直角有丙戊
　边即有己角(其弧/甲丁)

　　　　　　若元形有直角之对边及直角旁一边即
　　　　　　次形有直角旁一边及其对角(一图/)
　　　　　　若元形有二角即次形有一角一边(二图/)
　若元形有一角及直角之对边即次形有直角旁两边
　　　　　　(三/图)
　　　　　　第二甲乙丙直角形于甲乙引长作乙丁
　　　　　　象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆满象
　　　　　　限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊
　　　　　　引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作

　庚辛癸弧成辛己癸形此形与元形甲乙丙相当何者
　元形有乙丙两角即次形有两边(有乙角之弧戊丁即/有其馀弧戊己有戊)
　(己弧即有己癸边与乙角之数等有丙角即/辛庚丙形之丙角弧为庚辛其馀弧为辛癸)
　元形之乙丙易为癸角(乙丙边馀为丙戊丙戊之/馀为戊庚是癸角之度)
　元形之甲乙边易为辛己癸角(甲乙弧之馀为甲丁其/对角为丁己甲或辛己)
　(癸皆甲乙/之馀弧角)
　元形之丙甲边易为辛己边(甲丙弧之馀为己丙己丙/弧之馀为辛己则辛己与)
　(甲丙/等)
　第三斜角形(两腰等角/或锐或钝)两腰引长至半周必相遇成他

　　　　　　形与元形相当如图甲乙甲丙两腰引至
　　　　　　丁成丁乙丙他形从乙丙作乙丙己成全
　　　　　　圈引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他
　　　　　　形此两他形者皆与元形相当何者有甲
　　　　　　乙边自有其半周内之馀乙丁亦有其半
　周内之馀甲已即乙丙与戊己等(丙乙戊乙戊/己皆半周故)又丁角
　与甲角等(凡两大圈相交为两角必等如/黄赤二道相交于春秋分是也)丁乙丙为甲
　乙丙之馀角乙丙丁为甲丙乙之馀角甲戊己为乙丙
　甲之馀角甲己戊为丙乙甲之馀角则元形变易而生

　两形各相似相当　问本用曰元形边大(多于/象限)角钝易
　为次形边小角锐三角形六问中所用也(六问详/见后篇)
　第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作甲辰戊全圈次甲
　　　　　　　　　角为心作丁壬辰大圈分乙角为
　　　　　　　　　心作戊癸寅大圈分丙角为心作
　　　　　　　　　己丑卯大圈分三圈分必相交成
　　　　　　　　　癸寅丑形此形与元形相当而元
　　　　　　　　　形之边易为角角易为边何者甲
　壬弧满一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬与丙

　　　　　　　　　甲等壬午弧限壬丑午角之度其
　　　　　　　　　馀角为癸丑寅又甲丁乙戊皆象
　　　　　　　　　弧减同用之乙丁即甲乙与丁戊
　　　　　　　　　等丁戊为寅癸丑交角之度又乙
　　　　　　　　　辛丙子皆象弧减同用之丙辛即
　辛子与乙丙等辛子弧即辛寅子角之度则元形甲乙
　边易为次形之癸角甲丙边易为癸丑寅馀角乙丙边
　易为寅角元形之三边易为次形之三角(边易/为角)
　又元形乙角之馀易为癸寅边甲角易为癸丑边丙角

　易为寅丑边(角易/为边)
　第五凡斜角形设一角二边法从他角作垂弧至其对
　　　　　　弧为直角如一图(若不能则引长其对/弧令受垂弧如二图)若
　　　　　　设二角一边法从他边之对角作垂弧
　　　　　　如图乙丁丙形有丙角丙乙丙丁两边即
　　　　　　作乙甲垂弧分为两直角形其甲丙乙形
　　　　　　有一角一边可求其馀甲丁乙直角形先
　　　　　　得甲乙甲丁两边可求其馀

　凡底边两旁角为同类垂弧在形内若异类垂弧在形
　　　　　　外
　　　　　　凡曲线三角形如得实球即指画易明
　　　　　　直角形直角之对边名底斜角形大角之
　对边名底
　凡言直角其边小于象限则用之大于象限则依前法
　变为小而用之

球上直角形各边角正弦等线之比例
　第一题
直角形人数数(即直角/之本数)与某角之正弦若底弧之正弦与某
　角对边之正弦
　欲明此论宜以浑体解之今权设浑象以坚厚楮作一
　圆形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半
　立者其弧如极分交圈之半周也又作一半周形合于
　全形之直角两径相切共为半圈面三一平一立一中
　居中者其弧如黄道之半周也中圈面上下游移任作

　若干度角如黄赤道之相距又作九十度之两弧上合
　下分一置三半周之中如极至交圈为定弧一以下端
　游移平弧上恒与平弧为直角上割中弧而遇定弧于
　极点之上谓之游弧游弧之上容中平二弧之距度而
　此一定一游两弧者皆如过极之经圈也恒偕平弧为
　三弧两边等直角形
　今于平面作图拟彼圆象用意推测聊足可明其诸名
　义亦借浑天以便识别也如上图乙丁寅圈为赤道乙
　丙癸为黄道乙寅为春秋分癸为夏至午辰为南北极

　午癸丁辰为极至交圈午丙甲为过极经圈以限黄道
　　　　　　　　　　　之经度容赤黄二道之距度
　　　　　　　　　　　平置乙丁寅赤道圈从黄癸
　　　　　　　　　　　下垂线为极至圈上癸丁相
　　　　　　　　　　　距弧之正弦从赤丁上立垂
　　　　　　　　　　　线遇卯癸半径之引长线于
　　　　　　　　　　　戊得戊丁与癸己平行为癸
　丁弧之切线卯戊其割线也己卯则癸丁弧之馀弦也
　又从黄道若干度之点如丙作两线一丙辛垂线为过

　极经圈上丙甲斜弧之正弦辛壬(乙寅径/之垂线)其馀弦一丙
　壬为寅乙极线之垂线即丙乙黄弧之正弦次从赤道
　过极两圈之交甲立甲子直线又于寅乙(黄赤交之/对截线)上
　作甲丑垂线次于乙丙癸圈黄平面上从丑作丑子为
　乙寅之垂线过甲子于子子甲者过极圈上丙甲弧之
　切线也而甲丑为甲乙赤弧之正弦丑卯其馀弦则图
　中有直线直角形四一癸己卯二戊丁卯三丙辛壬四
　子甲丑因卯壬丑三角等故三形俱相似
　题言癸卯(全/数)与癸己(癸乙丁角/之正弦)若丙壬(丙乙底弧/之正弦)与丙

　辛(丙甲为乙角之对/边丙辛其正弦)
　　　　　　如上图甲乙丙形(凡称甲者/恒为直角)全数(一/率)与乙
　　　　　　角之正弦(二/率)若丙乙边之正弦(三/率)与丙甲
　　　　　　边之正弦(四/率)此比例用几何五卷之六理
　云更之则一与三若二与四又反之二与一若四与三
　又反而更之三与一若四与二
　　系若以大圈割本形作戊丁直角弧则丁戊与甲丙
　　若乙戊与乙丙(俱用/正弦)
　第二题

全数与某边(如甲/丙)之馀弦(即丙戊弧/之正弦)若他边(甲/乙)之馀弦(即/戊)
　(角之/正弦)与底(直角之对/弧如丙乙)之馀弦(即丁丙弧/之正弦)
　　　　　　若直角形内有一钝角或二钝角其理同
　　　　　　本题
　
　第三题
直角形全数与某角(丙/)之正弦(即丁丙戊/角之正弦)若设角(丙/)旁边
　(甲/丙)之馀弦(即戊丙底/之正弦)与其边对角(乙/)之馀弦(即丁戊边/之正弦)
　此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙皆有底有一角其

　　　　　　理同也
　　　　　　一系依相当第四法及此第一题显全数
　　　　　　与乙角(乙丙角/互用)之正弦若角对边(甲/丙)之馀
　割线与底弧(乙/丙)之馀割线(三四率各有正弦可/用其馀割线当之)
　二系依相当第四法及第一题显全数与底(乙/丙)之正弦
　若某边(甲/丙)之馀割线与对角(乙/)之馀割线(三四率有正/弦互易为馀)
　(割/线)
　　　　　　三系依相当第一法及此第一题显全数
　　　　　　与某角(乙/)之馀割线若对边(甲/丙)之正弦与

　底(乙/丙)之正弦(第一题之比例为角之正弦与全若角对/边之正弦与底之正弦相当法则以正弦)
　(当馀割/线也)
　四系依相当第一法及此第一题显全数与底(乙/丙)之馀
　割线若边(甲/丙)之正弦与对角(乙/)之正弦(一题内底之正/弦与全若边之)
　(正弦与角之正弦今易底之正弦/为馀割而居第二以全为第一)
　五系依相当法第四及第二题显全数与某边(甲/丙)之馀
　弦若底(乙/丙)之割线与他边之割线(二题云全与边之馀/弦若他边之馀弦与)
　(底之馀弦此云底之割线与边之割/线盖以割线当馀弦而为三四率也)
　六系依相当第一法及第二题显全与某边(甲/乙)之割线

　若底(乙/丙)之馀弦与他边(甲/丙)之馀弦(第二题之四率反用/之为二与一若四与)
　(三则第一率为馀弦第二率为全数/也今依相当一法易之为全与割线)
　七系依第四相当法及三题显全数与角(乙/)之正弦若
　他角(丙/)之割线与他角对边(甲/乙)之割线(三题言全与角/之正弦若设角)
　　　　　　(旁边之馀弦与他角之馀弦今用相当第/四法反四率为三三率为四易馀弦为割)
　　　　　　(线盖两弧之馀弦与其/正割线为互相视之线)
　八系依三题第四相当法显全与边(甲/丙)之馀弦若边对
　角(乙/)之割线与他角(丙/)之馀割线(三题三四率边旁角/之正弦与他角之馀)
　(弦今互变边对角之割/线与他角之馀割线)

　九系依相当第一法及第三题之四率前后易之显全
　数与角之馀割线若他角之馀弦与其对边之馀弦
　十系三题之四率前后相易用第一相当法显全与边
　之割线若边对角之馀弦与他角之正弦
　十一系因一系反理及相当一法显全与角之割线若
　底之馀割线与角对边之馀割线
　十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边(甲/丙)
　之割线若他边之割线与底之割线
　十三系因九系反用其率及相当一法显全与角之馀

　　　　　　割线若边之割线与其对角之割线
　
　第四题
曲线直角形其全数与角(乙/)之切线若角旁边(甲/乙)之正弦
　与角对边(甲/丙)之切线(如前/图)
　　　　　　　　　　解用一题平面全图之甲乙丙
　　　　　　　　　　形甲为直角戊丁为甲乙丙角
　　　　　　　　　　之切线甲丑为甲乙边之正弦
　　　　　　　　　　子甲为丙甲边之切线可见卯

　丁与乙角之切线丁戊若乙角旁边甲乙之正弦甲丑
　与乙角对边甲丙之切线甲子(三角形皆相/似故见一题)
　系用相易第一法则全与边(甲/乙)之馀切线(或丁甲弧之/正切线或戊)
　(己丙角之/正切线)若边旁角乙之馀弦(即戊己弧/之正弦)与底之馀切
　　　　　　线(即丙戊之/正切线)　按本题第二率为乙角之
　　　　　　切线系易为丁戊之馀弧或己戊边三率
　　　　　　为角旁边(甲/乙)之正弦系易为边(戊/己)旁角(己/)
　或丁甲弧之馀弦(即甲乙/正弦)四率为角对边(甲/丙)之切线系
　易为底之馀切线或甲丙弧之正切线

　二系全与底之馀弦(或甲丙边/之正弦)若角(丙/)之切线(两形为/交角)
　与他角(已/)之馀切线(即甲乙边/之正切线)
　三系依相当五法馀切线能当正切线(二三率/可互易)为全数
　与边之正弦若他边之馀切线与其对角之馀切线
　四系若一二三四率反用为二与一若四与三即变第
　一率切线为馀切线则为全数与角之馀切线若角对
　边之切线与他边之正弦
　向下诸系皆用相当法及反理省文不解
　五全数与边之馀切线若他边之切线与其对角之切

　线
　六全与角之馀弦若底之切线与角旁边之切线
　七全与边之切线若底之馀切线与角旁边之馀弦
　八全与角之割线若底之馀切线与角旁边之馀切线
　九全与底之割线若角之馀割线与他角之切线
　十全与角之馀切线若他角之馀切线与底之正弦
　十一全与边之馀割线若边旁角之馀切线与他边之
　馀切线
　十二全与边之馀切线若边对角之切线与他边之馀

　割线
　十三全与角之割线若角旁边之切线与底之切线
　十四全与底之切线若边之馀切线与边旁角之割线
　十五全与角之切线若他角之切线与底之割线
　因上四题即每一设形有十二算法　今设甲乙丙一
　形有乙丙底(三十/度)及甲丙边(十一度三/十一分)求乙角
　　　　　　一为乙丙边之正弦(五○○/○○)与全(十万/分)若
　　　　　　甲丙之正弦(一九九/六五)与乙角之正弦(三九/九一)
　(三/)查得二十三度三十一分三十○抄

　二为全(十/万)与丙乙之正弦(五○○/○○)若甲丙之馀割线(五/○)
　(○八/六九)与乙角之馀割线(二二○/六一七)
　三为甲丙之馀割线(五○○/八六九)与全(十/万)若丙乙之馀割线
　(二○○/○○○)与乙角之正弦(三九九/一三)
　四为全(十/万)与甲丙之正弦(一九九/六五)若乙丙之馀割线(二/○)
　(○○/○○)与乙角之正弦(三九九/一三)
　五为乙丙之馀割线(二○○/○○○)与全(十/万)若甲丙之馀割线
　(五○○/八六九)与乙角之馀割线(三二○/六一七)
　六为甲丙之正弦(一九九/六五)与全(十/万)若乙丙之正弦(五○/○○)

　　与乙角之馀割线(二二○/六一七)
　　　　　　七为乙丙之馀弦(八六六/○三)与乙丙之馀切
　　　　　　线(一七三/二○五)若甲丙之正弦(一九九/六五)与乙角
　之正弦(三九九/一三)
　八为乙丙之馀切线(一七三/二○五)与乙丙之馀弦(八六六/○三)若
　甲丙之馀割线(五○○/八六九)与乙角之馀割线(二二○/六一七)
　九为乙丙之正弦(五○○/○○)与甲丙之切线(二○三/七六)若甲
　丙之馀弦(九七九/八七)与乙角之正弦(三九九/一三)

　十为甲丙之切线(二○三/七六)与乙丙之正弦(五○○/○○)若甲
　丙之正割线(一○二/○五五)与乙角之馀割线(二二○/六一七)
　十一为甲丙之割线(一○二/○五五)与乙丙之馀割线(二○○/○○○)
　若甲丙之切线(二○三/七六)与乙角之正弦(三九九/一三)
　十二为甲丙之正弦(一九九/六五)与乙丙之切线(五七七/三五)若
　乙丙之馀弦(八六六/○三)与乙角之馀割线(二五○/六一七)
　以上十二法俱可得乙角因除法为繁故约用乘法如
　下方

球上直角形相求约法
　球上直角三边形有三角三边此六者有三可推其馀
　交互为三十求各以乘法得之
　第一设乙丙两角(凡甲皆直角乙/丙或锐或钝)一求甲乙边为全数
　　　　　　与乙角之正弦若丙角之割线与甲乙边
　　　　　　之割线或全与乙角之馀割线若丙角之
　馀弦与甲乙边之馀弦　丙角定数
　解曰同类者或皆过九十度或皆不及若丙角过九十
　度则所求之边亦过九十若丙角不及九十度所求之

　弧亦不及下仿此
　二求甲丙(甲丙甲乙两边互用/乙丙两角亦互用)为全数与丙角之正弦
　若乙角之割线与甲丙边之割线　或全与丙角之馀
　割线若乙角之馀弦与甲丙边之馀弦　乙角定类
　　　　　　三求丙乙(对直角/之底)为全与乙角之切线若
　　　　　　丙角之切线与乙丙边之割线　或全与
　乙角之馀切线若丙角之馀切线与乙丙边之馀弦
　或乙或丙两角定类
　凡定类有二号者若二号为同类所得为不足九十度

　若两号为异类所得为过九十度
　第二设乙角及乙甲边　四求丙角为全与乙角之馀
　割线若乙甲边之割线与丙角之割线　或全与乙甲
　边之馀弦若乙角之正弦与丙角之馀弦(直线直角形/设一得二取)
　(其较也此与异者曲/直两线为异类故也)　甲乙弧定类
　五求甲丙边为全与甲乙之正弦若乙角之切线与甲
　　　　　丙边之切线　或全与乙甲边之馀割线
　　　　　若乙角之馀切线与甲丙边之馀切线
　乙角定类

　六求乙丙边为全数与乙角之割线若甲乙边之切线
　与乙丙边之切线　或全数与乙角之馀弦若甲乙边
　之馀切线与乙丙边之馀切线　乙角或甲乙边定类
　第三设乙角及甲丙边　七求丙角为全数与甲丙边
　　　　　　之割线若乙角之馀弦与丙角之正弦
　　　　　　或全数与甲丙边之馀弦若乙角之割线
　与丙角之馀割线　乙角或甲乙边定类
　八求甲乙为全数与甲丙边之切线若乙角之馀切线
　与甲乙边之正弦　或全数与甲丙边之馀切线若乙

　角之切线与甲乙边之馀割线　乙角或甲丙边定类
　九求丙乙为全数与乙角之馀割线若丙甲边之正弦
　与丙乙边之正弦　或全数与乙角之正弦若丙甲边
　之馀割线与丙乙边之馀割线　乙角定类
　第四设乙角及乙丙边　十求丙角为全数与乙丙之
　割线若乙角之馀切线与丙角之切线　或全数与乙
　　　　　　丙边之馀弦若乙角之切线与丙角之馀
　　　　　　切线　乙角及乙丙定类
　十一求甲乙为全数与乙角之馀弦若丙乙边之切线

　与甲乙边之切线　或全数与乙角之割线若乙丙边
　之馀切线与甲乙边之馀切线　乙角及乙丙定类
　十二求甲丙为全数与丙乙边之正弦若乙角之正弦
　与甲丙边之正弦　或全数与丙乙边之馀割线若乙
　角之馀割线与甲丙边之馀割线　乙角定类
　第五设丙角及甲乙边　十三求乙角为全数与甲乙
　边之割线若丙角之馀弦与乙角之正弦　或全数与
　　　　　　甲乙边之馀弦若丙角之割线与乙角之
　　　　　　馀割线　丙角定类

　十四求甲丙边为全数与甲乙边之切线若丙角之馀
　切线与甲丙边之正弦　或全数与甲乙边之馀切线
　若丙角之切线与甲丙边之馀割线　甲乙边定类
　十五求乙丙为全数与丙角之馀割线若甲乙之正弦
　与乙丙边之正弦　或全数与丙角之正弦若甲乙边
　之馀割线与乙丙边之馀割线　丙角定类
　第六设丙角及甲丙边　十六求乙角为全数与丙角
　之馀割线若甲丙边之割线与乙角之割线　或全数
　与甲丙边之馀弦若丙角之正弦与乙角之馀弦　甲

　　　　　　丙边定类
　　　　　　十七求甲乙边为全数与甲丙边之正弦
　若丙角之切线与甲乙边之切线　或全数与甲丙边
　之馀割线若丙角之馀切线与甲乙边之馀切线　丙
　角定类
　十八求乙丙边为全数与丙角之割线若甲丙边之切
　线与乙丙边之切线　或全数与丙角之馀弦若甲丙
　边之馀切线与乙丙边之馀切线　丙角及甲丙边定
　类

　第七设丙角及丙乙边　十九求乙角为全数与丙乙
　边之割线若丙角之馀切线与乙角之切线　或全数
　　　　　　与丙乙边之馀弦若丙角之切线与乙角
　　　　　　之馀切线　丙角及丙乙边定类
　二十求甲乙边为全数与丙乙边之正弦若丙角之正
　弦与甲乙边之正弦　或全数与乙丙边之馀割线若
　丙角之馀割线与甲乙边之馀割线　丙角定类
　二十一求甲丙边为全数与丙角之馀弦若丙乙边之
　切线与甲丙边之切线　或全数与丙角之割线若丙

　乙边之馀切线与甲丙边之馀切线　丙角及丙乙边
　定类
　第八设甲乙甲丙两边　二十二求乙角为全数与甲
　　　　　　乙边之馀割线若甲丙边之切线与乙角
　　　　　　之切线　或全数与甲乙边之正弦若甲
　丙边之馀切线与乙角之馀切线　甲丙边定类
　二十三求丙角为全数与甲丙边之馀割线若甲乙边
　之切线与丙角之切线　或全数与甲丙边之正弦若
　甲乙边之馀切线与丙角之馀切线　甲乙边定类

　二十四求乙丙边为全数与甲乙边之割线若甲丙边
　之割线与乙丙边之割线　或全数与甲乙之馀弦若
　甲丙之馀弦与乙丙之馀弦　甲乙甲丙定类
　第九设甲乙乙丙两边　二十五求乙角为全数与丙
　　　　　　乙边之切线若甲乙边之馀切线与乙角
　　　　　　之割线　或全数与乙丙边之馀切线若
　甲乙边之切线与乙角之馀弦　甲乙及乙丙定类
　二十六求丙角为全数与乙丙边之馀割线若甲乙边
　之正弦与丙角之正弦　或全数与丙乙边之正弦若

　甲乙边之馀割线与丙角之馀割线　乙角定类
　二十七求甲丙边为全数与甲乙边之馀弦若乙丙边
　之割线与甲丙边之割线　或全数与甲乙之割线若
　乙丙之馀弦与甲丙之馀弦　甲乙及乙丙定类
　第十设甲丙乙丙两边　二十八求乙角为全数与丙
　乙边之馀割线若甲丙边之正弦与乙角之正弦　或
　全数与乙丙边之正弦若甲丙边之馀割线与乙角之
　馀割线　甲丙边定类
　二十九求丙角为全数与乙丙边之切线若甲丙边之

　　　　　　馀切线与丙角之割线　或全数与乙丙
　　　　　　边之馀切线若甲丙边之切线与丙角之
　馀弦　甲丙及丙乙定类
　三十求甲乙边为全数与甲丙边之馀弦若乙丙边之
　割线与甲乙边之割线　或全数与甲丙边之割线若
　丙乙边之馀弦与甲乙边之馀弦　甲丙及丙乙定类

球上斜角形各边角正弦等线之比例
　第一题
各角之正弦与其对边之正弦皆为同比例
　　　　　　若形是直角则借彼第一题为全数(甲/)与
　　　　　　某角(乙/)之正弦若底弧(乙/丙)之正弦与某角
　(乙/)对边(甲/丙)之正弦则用更理为甲角全数与其对边乙
　丙若乙角与甲丙或若丙角与甲乙用反理亦然(凡不/言某)
　(线者皆正弦/也下仿此)
　若斜角形借相易第五法如丙丁乙形从乙从丁从丙

　　　　　　作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其对边为直
　　　　　　角因前论甲乙丙角与甲丙边甲乙丁角
　与甲丁边为同比例合之丙乙丁角之正弦与丙丁边
　之正弦若乙丁丙角之正弦与乙丙边之正弦(若戊为/直角则)
　(戊丁丙角与戊丙边若戊乙丁角与戊乙边合之乙丁/丙角与丙乙边若某角与某边或用壬直角其理不异)
　若甲直角在形外其理亦同　如乙丙甲乙甲丁两角
　　　　　　对乙甲乙丁两边乙丁甲乙甲丙两角对
　　　　　　甲乙乙丙两边各减共用之甲直角即丙
　对甲乙乙丁两边丁对甲乙乙丙两边又各减共用之

　甲乙则丁角之正弦与乙丙边之正弦若丙角之正弦
　与乙丁边之正弦乙角与丁丙边同理
　第二题
四率断比例若第一率为全数则全数上方与二三率之
　矩内形若第一率与第四率
　　　　　　解曰甲乙全数线上方(数与线两类/相当互解)丙丁
　　　　　　丙戊为二三率之矩内方己方形之容与
　　　　　　丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四线为
　　　　　　断比例题言甲乙上方与丁戊矩方若甲

　乙线(一/率)与壬线(四/率)
　论曰因几何(六卷/十)甲乙壬两率矩内形与丁戊两中率
　矩内形等或与已方形等即甲乙己壬三线为连比例
　第一率上方与第二率上方若第一率与三率等(六卷/十七)
　则全数(甲/乙)上方与二三率之矩内方(丁丙丙戊矩/丙形或已形)若甲
　乙线(一/率)与壬线(四/率)
　系若二三率为切线或割线或正弦即相乘以全数除
　之得第四率
　第三题

球上斜角形全数上方形与两腰之正弦矩内形若两腰
　间角之矢与两矢之较两矢者其一为底弧(即角/对边)之之
　矢其一为两腰较弧之矢
　图说乙丙丁斜角形于乙丙乙丁引长之各满半周遇
　于戊其极线为戊己乙己为心戊丙乙己为平面上半
　　　　　　　　　　　　　圈戊丁乙为斜面半
　　　　　　　　　　　　　圈两半圈各平分于
　　　　　　　　　　　　　辛于寅作己辛己寅
　　　　　　　　　　　　　已丙皆半径又作寅

　辛弧即乙角之弧也其正弦为寅庚其矢为庚辛又取
　乙壬弧与乙丁腰等作丁壬小圈之弧次从丁作丁甲
　从壬作壬甲各为戊乙之垂线则小圈之半径亦为乙
　丁腰之正弦(即丁戊弧/之正弦)次从丁作丁酉即丁壬小圈弧
　之正弦其矢为酉壬又取丙癸弧与底弧丁丙等又从
　乙从壬从癸向丙己半径作乙辰壬卯癸午各垂线末
　从酉向壬卯作酉子垂线
　解曰乙辰为乙丙小腰之正弦其矢辰丙寅庚为乙角
　(亦寅/辛弧)之正弦其矢庚辛午卯为两腰较弧(壬/丙)之正弦其

　　　　　　　　　　　　　矢卯丙癸午为底(丁丙/亦丙)
　　　　　　　　　　　　　(癸/)之正弦其矢午丙午
　　　　　　　　　　　　　卯(酉子/同)为两腰较弧(壬/丙)
　　　　　　　　　　　　　之矢(卯/丙)与底弧(丁丙或/丙癸)
　之矢(午/丙)之较矢丁甲(壬甲/同)为乙丁大腰之正弦题合全
　数(乙己丙/己之类)上方形与乙辰偕壬甲两正弦矩内形若辛
　庚(乙角/之矢)与两矢之较午卯
　论曰丁甲酉寅己庚两形相似(酉与庚皆直角甲己两/角之腰平行又同在两)
　(面内/即等)则寅己全数(辛己/同)与庚己若乙丁弧之正弦丁甲

　(壬甲/同)与酉甲或辛己(寅己/同)与庚己若壬甲(丁甲/同)与酉甲
　依几何(五卷/十九)之论辛己与辛庚若壬甲与壬酉(全与全/两所截)
　(取之分比例等则两/截取之馀分必等)或辛己(全/数)与壬甲(乙丁大腰/之正弦)若辛
　庚(乙角之矢亦/寅辛弧之矢)与壬酉(丁壬弧/之矢)
　又乙己辰壬子酉两直角形相似(壬卯乙辰两线平行/即壬甲乙三角并为)
　(一形之角而甲壬卯为辰乙己角之馀又辰/己乙角为乙角之馀则与卯壬甲角必等)则乙己(全/数)
　与乙辰(乙丙小腰/之正弦)若壬酉(丁壬弧/之矢)与子酉(两矢之较/也午卯同)
　同乘理之法两理(前两/比例)之第一率(一辛巳/一乙己)相乘得全数
　上方形两理之第二率(一乙丁大腰之正弦壬甲/一乙丙小腰之正弦乙辰)相乘

　得两弧之正弦矩内形依合理(几何/五卷)为若乙角之矢辛
　庚(一理之/第三率)与两矢之较子酉(二理之/第四率)
　系斜角形全数与所得之第四率(第四率者如上题全/数为一率两腰之正)
　(弦为二三率用三率法/乘除所得则第四率也)若两腰间角之矢与某矢(某矢/者两)
　(矢之较两矢者一为底弧/之矢一为两腰较弧之矢)
　二系斜角形全数上方形与两角之两正弦矩内形(或/全)
　　　　　　(数与第/四率)若两角内边之矢与某矢(某矢者/两矢之)
　　　　　　(较两矢者一为边对角之/矢一为两角较角之矢)
　　　　　　解用第四相易法设角易为边即两弧之

　正弦矩内形与两角之正弦矩内形必等或两腰内角
　之矢与两角内边之矢必等
　第四题
全数上方形为两腰(或两/角)两正弦矩内形及两腰两馀割
　线矩内形之中率
　　　　　解曰乙(正/弦)与丙(全/数)若丙与丁(馀割/线)如有两
　　　　　正弦两全数两馀割线各以类相乘其形
　　　　　依合理为比例等反之或用馀弦矩内形
　及正割线矩内形亦同

　系若两正弦两馀割线各以类相乘(或用馀弦/及正割线)以全数
　除之所得两数亦全数为中率
　假如乙丙丁形(乙丁边五十四度五十/分丁丙边五十八度)求其正弦其馀
　　　　　　割线相乘以全数除之从尾截去若干位
　　　　　　所存如全数之位则(五十四度五十分之/正弦八一七四八五)
　(十八度之正弦/八四八○五)相乘得六九三二六三九一四○(五十/四度)
　(五十分之馀割线一二二三二七五/十八度之馀割线一一七九一八)相乘得一四四二
　四五五五一八六全数为两数之中率试之一全数上
　方积为实所得第一率为法除之或用减九数法亦可

　二系两弧之正弦馀割线互乘所得两数亦全数上方
　形为中率(或用馀弦正/割线理同)
　如前系一弧之正弦全数与其馀割线作三率连比例
　为第一理一弧之馀割线全数与其正弦作三率连比
　例为第二理用合理以两理之第一率相乘得数二三
　亦如之所得三数之比例与前同理则一弧之正弦他
　弧之馀割线矩内形全数上方形一弧之馀割线他弧
　之正弦矩内形为三率连比例形(如前法/试之)若三率形皆
　以全数除之比例如前则一弧之正弦他弧之馀割线

　相乘以全除之所得为一率全数为二率一弧之馀割
　线他弧之正弦相乘以全除之所得为三率
　三系两弧之正切线矩内形两弧之两馀切线矩内形
　　　　　　亦全数上方形为中率(如图戊正切与己/全若丙全与丁馀)
　　　　　　(切用合/理如前)若三率形皆以全数除之所得三
　　　　　　数之比例如前系
　四系若一弧之正切线乘他弧之馀切线或一弧之馀
　切线乘他弧之正切线亦全数上方形为中率若三率
　形皆以全数除之比例亦然

　五系一弧之正切线他弧之正弦矩内形又一弧之馀
　切线他弧之馀割线矩内形亦全数上方形为中率(如/上)
　(系戊正切全数丁馀切为连比例反/之则丁与丙丙与戊用合理如前)若三率形以全数
　除之比例亦然
　六系一弧之馀切线他弧之正弦矩内形一弧之正切
　线他弧之馀割线矩内形亦全数上方为中率
　七系一弧之正切线他弧之馀弦矩内形一弧之馀切
　线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率
　八系一弧之馀切线他弧之馀弦矩内形一弧之正切

　线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率若各三
　率形各以全数除之比例皆同
　第五题
无直角形从一角向其对边为垂弧分元形为二直角形
　各直角对边之馀弦若底弧(受垂弧/者为底)两分之馀弦
　　　　　　解乙丙丁形从丙作丙甲垂弧甲为直角
　　　　　　则丙丁弧之馀弦与丙乙弧之馀弦若丁
　　　　　　甲之馀弦与甲乙弧之馀弦又两边之割
　线若两分之割线

　论曰依前直角形第二题为全(一/)与某边之馀弦(二/)若
　他边之馀弦(三/)与底之馀弦今用更理二率与一若四
　率与三以论甲丙丁形则甲丁边之馀弦(一/)与全(二/)若
　丙丁(直角形之底即/直角之对边)之馀弦(三/)与丙甲之馀弦(四/)以论
　　　　　　甲丙乙形则甲乙(一/)与全(二/)若丙乙(三/)与
　　　　　　甲丙(四/)此二理平之则甲丁与甲乙(两理/之两)
　　　　　　(一/率)若丙丁与丙乙(两理之/第三率)各弧之馀弦成
　割线其理皆同(为丙丁边之割线与全若甲丁边之割/线与甲丙边之馀弦又丙乙割线与全)
　(若甲乙割线与甲丙边之馀弦今用两理平之则一/丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线)

　第六题
垂弧旁两角之正弦若他两角之馀弦
　　　　　　解甲丙丁甲丙乙两角之正弦若丁乙两
　　　　　　角之馀弦又丙上两分角之馀割线若丁
　　　　　　乙两角之正割线
　解依直角第三题甲丙丁角之正弦(一/)与全(二/)若丁角
　之馀弦(三/)与丙甲边(四/)又曰全(一/)与甲丙乙角之正弦
　(二/)若丙甲边之馀弦与乙角之馀弦今以第二理更之
　为二与一若四与三又以二理平之一与一若三与三

　则甲丙丁角(一/)与甲丙乙角(一/)若丁角(三/)与乙角(三/)
　又用三题十三系可算割线之比例
　第七题
垂弧旁两弧之馀切线若垂弧旁两角之馀
　　　　　　解丙甲垂弧遇丙丁丙乙两边于丙即丁
　　　　　　丙甲角之馀切线与甲丙乙角之馀切线
　　　　　　若丙丁边之馀弦与丙乙边之馀弦
　用直角第四题依前论试之
　又两弧之正切线若两角之正割线　亦用四题之系

　及十三系试之
　第八题
垂弧旁两弧之馀割线若垂弧相对两角之正弦又两弧
　之正弦若两角之馀割线
　　　　　　解丙甲垂弧旁两弧为丙丁丙乙又丙甲
　　　　　　垂弧之对角为丁为乙　用直角三题试
　　　　　　之
　第九题

垂弧分底为二两分之正弦若垂弧相对两角之切线又
　两分之馀割线若两角之正切线又两分之正割线若
　两对边之正切线又两分之馀切线若两对角之馀切
　线
　右各题之理皆从直角形之理出前解已明今不赘

斜角形相求约法
凡所设为异类(或边与角/或角与边)用第五易分两直角形法见前
凡形之弧或角过九十度用三四易得相似形其弧不及
　一象限
设三边若二边等即用垂弧分为两直角等形各形有元
　形之一边有元底之半求其角
　　　　　　解丙乙丙丁两弧等丙甲垂弧分乙丁底
　　　　　　及乙丙丁角各两平分依圆球原本第一
　　　　　　卷二十一题知两形必等

若三边各不等求某角有三法
　其一以本角旁两腰之正弦相乘以全除之得数名初
　得数又以两腰之正矢相乘以全除之得数名次得数
　以次得数与角对边之弦或相加或相减(解见/下文)得数以
　全乘之以初得数除之得某角之馀弦
　解凡角之对边大以象限而角之两腰同类(同类者或/皆大于象)
　　　　　　(限或/皆小)则两数相加(所求之/角为钝)角若异类则两
　　　　　　数相减其次得数为实(大而受减/者为实)则角锐
　　　　　　次得数为法(小而以减/者为法)则角钝　凡角之

　对边小于象限而两腰同类则两数相减其次得数为
　实即角钝次得数为法即角锐若异类则两数相加角
　为锐角
　其二角两腰之(馀/割)线相乘以全除之得初数又两腰之
　(馀/弦)相乘以全除之得次数以次数与角对边之(馀/弦)或加
　或减如前法以所得数乘第一得数以全除之(得角之/馀弦)
　三法用前斜角三题全图解为全数与一腰之正弦若
　他腰之正弦与初得数又初得数与两矢之较(两矢者/两腰较)
　(弧之矢及底弧之/矢此名次得数)若全数与角之矢

球上三角形比类法见宗动天诸问向上诸篇皆先言其
　理(诸问见本/篇八卷)
上法之外尚多别法或用实球从球面界画诸圈测之或
　用平立环浑仪测之或用平浑仪测之或用比例规或
　用宗动天之象限或用规于平面画图以缀术算之或
　先算成各度分之数而列为立成表俱有本书本论本
　捷法然方之前法则疏而不密故近来历家舍置不用
　也
古法用弦数以推步七政必须句股开平立三乘方等术

　至繁而易紊用力多而见功少今悉置不用独用乘除
　简矣此卷中并除法不用而独用乘法更简也又有加
　减术并乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本
　卷之法此法既明用之既熟然后用加减取径捷焉
　三角形有三边求角三法假如丙丁边十九度三十分
　　　　丙戊边十五度五十八分戊丁边十二度九分
　　　　求戊角　第一法两腰(戊丙/戊丁)正弦(丙戊为二七/五○八戊丁)
　(为二一/○四七)相乘以全除之初得五七八九又馀弦相乘以
　全除之(丙戊为九六一四二/丙丁为九七七六○)次得九三九八八丙丁边

　馀弦为九四二六四比次得数为大(因两腰同类/其三为小)即戊
　角为锐其较为二七六加五○以初得数除之得四七
　六七为角之馀弦查表得八十七度十六分　二法两
　腰馀割线(丙戊三六三五三三/丙丁四七五一二三)相乘以全除之初得一
　七一七二二九其馀弦如上法次得九三九八八与第
　三边馀弦相减得较以较乘初得数以全除之得如前
　此法更便可免除法　三法两腰正弦如上两矢较如
　前解求两腰之较度得三度四十八分其矢为二二一
　又对边之矢为五七三六两数相减得五五一五为实

　加五○以初数除之得角之矢为九五二三一其度如
　上
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　新法算书卷九十三