钦定四库全书
　新法算书卷八十四　　明　徐光启等　撰
　　几何要法
　　　总说
圜成于线线有二种为曲为直直线或单或众前卷已
详之众线或三而成三角形或四而成方形或多而成
诸不等形曲线或半或全半线有不等之用全线或成
圜形或成卯形等角形及方形卯形详见后卷今先论
圜形

　界说章第一(十二则/)
　　第一界
圆形于平地居一界之间为圜
　　第二界
外圆线为圜之界
　　第三界
圜之中处为圜心
　　第四界
自圜之界作一直线过中心至他界为圜径如上图甲

　　　　丁乙戊为圜界丙为心甲乙为径
　
　　第五界
　　　　凡直线切圜界过之而不与界交者为切线
　　　　如上图甲乙丙线是也若先切圜界而引之
　　　　入圜内则谓之交线如丁戊是也
　　第六界
　　　　凡两圜相切而不相交者为切圜相切而相
　　　　入者为交圜加上图

　　第七界
　　　　凡直线形居他直线形内而此形之各角切
　　　　他形之各边为形内切形如上图丁戊己为
　　　　甲乙丙形内切形
　　第八界
凡直线形居他直线形外而此形之各边切他形之各
角为形外切形如前图甲乙丙为丁戊己形外切形其
馀各形仿此二例
　　第九界

　　　　直线形之各角切圜之界为圜内切形如上
　　　　图甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于
　　　　丙是也圜之界切直线形之各角为形外切
圜同上图
　　第十界
　　　　直线形之各边切圜之界为圜外切形如上
　　　　甲乙丙形之三边切圜于丁于己于戊是也
　
　　第十一界

一圜之界切直线形之各边为形内切圜如前图
　　第十二界
　　　　一直线之两界各抵圜界为合圜线如上图
　　　　之甲乙线
　造规章第二(法有四/)
圜形以至圆为准至圆必出于规规必欲极准极顺其
用甚活乃堪造历凡造规之法有四详列于后
　　第一法
先以铜或铁范成二股上阔下窄至末而锐近头小半

截作凹凸状令可相合次以钉钉其圆头贵宽𦂳得宜
任意可开收规下半截为规髀一规髀作墨池如首卷
第三章法以适用凡欲造历象必须备规其造式见后
　规图
　
　
　
　　第二法

凡规有三用一画虚线则须铅条当先以铜叶为管虚
其中横开小路上套小铜圜可上下松𦂳以出入铅条
末略奓出以留小圜如下甲图一画墨线则当作墨路
如前章法如下乙图一画铜板线须以纯钢为末如下
丙图右三髀俱另作不相连本规其本规如前法造但
截去一髀临截处长半寸许作一小箱状虚其中亦令
方可受规髀柄如下图丁处箱面作旋螺用时任入一
规髀以铜消息如旋螺者贯定之如下戊图则任意可
画线而一规可具三用矣此为第二法如下图

　
　
　
　　第三法
造历恒用规依比例法分线分圜或以大形移变小形
或以小度移变大度其分法稍难今作一四髀规或铜
或铁略如剪形上下作四规髀上短下长令上准下度
或半或三之一或十之一及种种不等则作线圜时或

欲以大变小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小
变大先以上髀取度次以下髀移度则得所求其或半
或三之一或十之一俱从髀之长短而分下愈长则度
愈大上愈短则度愈促
　
　
　
　　第四法
前三种规长不踰尺止堪小用如欲造玑衡大器则当

更变其式如下图其规以铜范为极方条上下如一任
作几尺于条左末作锥垂下二三寸以纯钢为之更造
一锥与前锥等上方寸许仍凿方孔令透可受方条任
远近可推移方孔旁更凿圆孔仍前法作旋螺贯定方
条使两锥坚定不爽分毫可画大圜如下图
　
　
　有圜求两平分之章第三(一法/)

　　　　如有甲乙丙圜求两平分用尺任以圜一处
　　　　为界正过心画一直线则圜体两平分矣
　
　有圜之分求两平分之章第四(一法/)
　　　　如有甲乙丙圜分求两平分之先于圜分两
　　　　界作甲乙线次两平分之于丁从丁作丙丁
　　　　为甲乙之垂线(一卷第/八章)即丙丁分甲乙圜分
为两平分若有圜不露其心又求两平分之亦如此法
　有圜求四平分之章第五(一法/)

凡立天象多用四分圜为周天四象限故造法不可不
　　　　准如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲
　　　　乙线过戊心两平分之次依作垂线法于戊
　　　　心上自丙至丁作垂线得所求
　有圜求六平分之章第六(一法/)
　　　　凡历家分周天度多用六数或十二或二十
　　　　四今详其法如有一圜求作六分不用他法
　　　　惟以画圜之元规周圜界六步则自然分为
甲乙丙丁戊己六平分矣

　有圜求十二平分之章第七(一法/)
　　　　先以本卷五章法四平分于甲乙丙丁次以
　　　　画圜元规从甲从乙上下各指一点又从丙
　　　　从丁左右各指一点则得所求若欲二十四
　　　　分每分为两则得所求矣
　有圜求三百六十平分之章第八(一法/)
凡历家所用细分周天度以三百六十为率今详其
法
如有甲乙丙圜先依前法四平分之为四象限次以规

　　　　　　　　元度依前法十二平分为十二宫
　　　　　　　　就以所分十二宫各三分之各包
　　　　　　　　十度次每十两平分之各包五次
　　　　　　　　每宫又五平分之各包六今用六
　　　　　　　　度之规至终不改从子宫初一度步
　　　　　　　　起完一周又次从初五度初十度
十五度二十度二十五度各步完一周则平分三百六
十分矣
　有圜之分任截几度章第九(一法/)

　　　　　　如有甲乙圜之一分欲取三十五度如
　　　　　　用常法必须先求圜分之心依后十一
　　　　　　章法成圜后均分三百六十乃取三百
　　　　　　六十之三十五分其法颇繁今有简妙
　　　　　　法先备一铜板分一子丑寅象限为九
　　　　　　十分合极准设有甲乙圜之界自甲起
　　　　　　欲取三十五度之分先从甲至圜心作
　　　　　　甲丙半径线如与子丑寅象限半径合
则移彼度子卯至甲乙线上至庚即得所求如大小不

合则以规取子丑寅半径以丙为心或甲乙内或外作
一圜分若丁戊圜在外则当引长甲丙线至丁取子丑
寅限三十五度以丁为始移于丁戊圜上至己从丙心
过己作一直线截甲乙于庚则甲庚为甲乙圜上三百
六十分之三十五也若所范铜板欲其用广当从寅心
重重作圜与子丑平行又自子丑外圜逐度引直线至
寅心后所欲取圜分之度若其半径与子寅不等或同
于他子丑内圜之半径则可径移其度于所分圜上不
尔仍用前法

　有圜求寻其心章第十(一法/)
　　　　如有甲乙丙丁圜欲求其心先于圜之两界
　　　　任作一戊己直线次以平分线法作丙丁垂
　　　　线两平分之于庚则庚为圜心
　有圜之分求成圜章第十一(一法/)
如有甲乙丙圜分求成圜先于圜分任取三点于甲于
　　　　乙于丙从甲至丙丙至乙各作一直线各两
　　　　平分于丁于戊次于丁戊上各作垂线相交
　　　　处为己末以己为心以圜为界旋转即得所

求
　任设三点不在一直线求作一过三点之圜章第十
　　二(法有二/)
　　第一法
如有甲乙丙三点求作一圜贯之先以甲为心任取一
　　　　度向乙上下各作小圜分又以乙为心向甲
　　　　仍用元度上下各作小圜分相交处为丁为
　　　　戊次又以甲为心向丙上下作小圜分如前
次以丙为心亦如之相交处为己为庚次从丁至戊从

己至庚各作直线相交处为辛末以辛为心任取一点
为界旋规成圜即得所求
　　第二法
先以三点作三直线相联成甲乙丙三角形次平分两
　　　　线于丁于戊次于丁戊上各作垂线合相遇
　　　　于己末以己为心甲为界作圜即得所求
　
　有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之
　　径线章第十三(一法/)

如有甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大
　　　　于圜之径线径为圜内之最大线更大不可
　　　　合先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与丁等者
　　　　即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取
乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙
圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等
则与丁等
　三角形求作形外切圜章第十四(一法/)
甲乙丙角形求作形外切圜先平分两边于丁于戊次

　　　　于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于
　　　　己末以己为心甲为界作圜必切甲乙丙而
　　　　为三角形之形外切圜
　三角形求作形内切圜章第十五(一法/)
甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角
　　　　各两平分之作乙丁丙丁两直线相遇于丁
　　　　次自丁至角形之三边各作垂线为丁己丁
　　　　庚丁戊末以丁为心戊为界作圜即过庚己
为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三边于戊于

己于庚此为形内切圜
　有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角章第
　　十六
甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己
　　　　形之三角各等先作庚辛线切圜于甲次作
　　　　庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角
　　　　与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角
　　　　切形与所设丁戊己形等角
　

　有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角章第
　　十七
甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己
形之三角各等先于戊己边各引长之为庚辛次于圜
　　　　界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚
　　　　等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙
　　　　上作癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜
　　　　于甲于乙于丙而相遇于子于丑于癸(若作/甲丙)
　　　　(线即癸甲丙癸丙甲两角小于两直/角而子癸丑癸两线必相遇馀仿此)此癸子

丑三角与所设丁戊己三角各等
　有圜求作内切圜直角方形章第十八
有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁
　　　　两径线以直角相交于戊次作甲乙乙丙丙
　　　　丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方
　　　　形
　有圜求作外切圜直角方形章第十九(法有二/)
　　第一法
甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙

　　　　丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁
　　　　作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径末界之
　　　　垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬
辛为外形
　　第二法
以戊甲为度依平行线法作己庚辛壬上下两线与乙
丁平行次用元度作己辛庚壬左右两线与甲丙平行
即得所求同前图
　有直角方形求作形内切圜章第二十

甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四边各两平
　　　　分于戊于己于庚于辛而作辛己戊庚两线
　　　　相交于壬末以壬为心戊为界作圜必过戊
　　　　己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四边是为
形内切圜
　有直角方形求作形外切圜章第二十一
　　　　甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角
　　　　两线为甲丙乙丁而交于戊末以戊为心甲
　　　　为界作圜必过乙丙丁甲而为形外切圜

　有圜求作圜内五边切形其形等边等角章第二十
　　二
　　　　如有甲乙丙丁戊圜求作五边内切圜形等
　　　　边等角先作己庚辛两边等角形而庚辛两
　　　　角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形
　　　　与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙
　　　　两角各两平分作丙戊丁乙两线末作甲乙
乙丙丙丁丁戊戊甲五线相联即甲乙丙丁戊为五边
内切圜形而五边五角俱自相等

　有一圜求作内切圜五边及十边形章二十三
如有甲乙丙圜心为丁先作甲丙过心线次作乙丁垂
　　　　线次平分丁丙线于戊作乙戊线次取戊乙
　　　　度移于径线为戊己次作乙己直线盖乙己
　　　　为甲乙丙圜五分之一以此为度可作内切
圜五边形丁己度可作内切圜十边形
　有圜求作圜外五边切形其形等边等角章第二十
　　四
甲乙丙丁戊圜求作五边外切圜形等边等角先依前

　　　　章法作圜内甲乙丙丁戊五边等边等角切
　　　　形次乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊
　　　　五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子
庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子五垂线既切
圜即成外切圜五边形而等边等角
　五边等边等角形求作形内切圜章第二十五
　　　　甲乙丙丁戊五边等边等角形求作内切圜
　　　　先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为
　　　　己甲己乙而相遇于己自己作己丙己丁己

戊三线次从己向各边作己庚己辛己壬己癸己子五
垂线末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子庚而为
甲乙丙丁戊五边形之内切圜
　五边等边等角形求作形外切圜章第二十六
甲乙丙丁戊五边等边等角形求作外切圜先分乙甲
　　　　戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙
　　　　而相遇于己次从己作己丙己丁己戊三线
　　　　与己甲己乙俱等末以己为心甲为界作圜
必过乙丙丁戊甲即得所求

　求作圜内六边切形其形等边等角章二十七
如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六边内切圜形等
　　　　边等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界
　　　　作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚
　　　　戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙
乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相联即得所求
　求作圜内十五边切形其形等边等角章第二十
　　八
如有甲乙丙圜求作十五边内切圜形等边等角先作

　　　　甲乙丙内切圜平边三角形即各边当圜十
　　　　五分之五次从甲作甲戊己庚辛内切圜五
　　　　边形等角各边当圜十五分之三而戊乙得
十五分之二次以戊乙圜分取乙己度两平分于壬则
壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合
圜线即得所求(以此为例推用递/分可作无量数形)
　圜内有同心圜求作一多边形切大圜不至小圜其
　　多边为偶数而等章第二十九

如有甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜
　　　　内作多边切形不至戊丁小圜其多边为偶
　　　　数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于
　　　　戊也次从戊作庚辛为甲戊之垂线即庚辛
　　　　线切丁戊圜于戊也次以甲丙两平分于乙
乙丙两平分于壬以壬丙两平分于癸则丙癸圜分必
小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之
一边也次以癸丙为度递分一圜各作合圜线得所求
形

　新法算书卷八十四