钦定四库全书
　新法算书卷五十八　　　明　徐光启等　撰
　　恒星历指三
　以恒星之黄道经纬度求其赤道经纬度第一　三章
前论恒星以本行依黄道渐移而东既有平行经度而纬
　度南北移就为数甚少非历岁久远不可得见以此互
　相推较其经度差无时不同纬度相距远近又无从可
　改必至数百年后测验差数乃得依法推变也若论赤
　道经纬度则否星行既依黄道其向赤道时时迁改欲

　从赤道求之无法可得故求赤道经纬必用黄道经纬
　盖星之去离赤道无恒而去离黄道有恒黄道赤道之
　相去离也又有恒以两有恒求一无恒无患不得矣其
　推步则有多法或用曲线三角形依乘除三率推算为
　第一此初法也或用曲线三角形加减推算为第二此
　约法也或用简平仪量度加减推算为第三此简法也
　或造立成表简阅得数并免临时推算之烦为第四此
　因法也第一法前第一卷已备论之今所论者每具二
　则为第二第三法如左方若立成表作者甚难用者甚

　佚但恐徇末忘本则繇而不知者多矣今附载之
　　求恒星赤道纬度前法(即第/二法)
前法用曲线三角形加减推算如图有星在甲甲辛为黄
　　　　　　　道纬度其馀弧甲乙为甲乙丙三角形
　　　　　　　之一边辛戊为黄道经度以加戊己象
　　　　　　　限得甲乙丙角又乙丙为两极距度则
　　　　　　　是甲乙丙角形有甲乙乙丙两边有乙
　角可求甲丙边甲丙之馀弧甲丁则本星距赤道之纬
　度也其法以三角形内之小弧加于大弧之馀弧得总

　弧求其正弦(求纬恒用正弦/求经恒用切线)为先得数其总弧或正得
　九十度或较多或较寡若正得九十度即半先得之弦
　为次得之弦又以大小两弧所包之见角求其倒弦(为/角)
　(之弧过象限故用倒弦倒/弦者对本角过弧之正弦)则后得之弦也今用三率法
　为全数与次得之弦若后得之倒弦与他弦既得他弦
　以减先得之弦所存为三角形内第三弧之馀弦即所
　求赤道纬之正弦也
　假如参宿腰星之西有五等小星其黄道经度于崇祯
　元年推得七十四度二十二分其纬度距黄道南二十

　三度三十二分使黄道在南距赤道二十三度三十二分
　(云使者假设之/数不用实分秒)则三角形内甲乙大弧得六十六度二十
　　　　　　　八分乙丙小弧二十三度三十二分甲乙
　　　　　　　丙角对辛戊经度弧及戊己象限弧共得
　　　　　　　一百六十四度二十二分甲辛为甲乙大
　　　　　　　弧之馀弧得二十三度三十二分依法加
　于乙丙小弧二十三度三十二分得四十七度○四分
　其正弦七三二一五为先得之弦即半之(适足一/象限故)得三
　六六○七为次得之弦次求甲乙丙角之倒弦(即己辛/弧之弦)

　一九六三○一(首一者己/戊全弦也)为后得之弦依三率法以乘
　次得之三六六○七得七一八五九为他弦以减先得
　之七三二一五馀一三五六为甲丙弧之馀弦即甲丁
　弧之正弦为本星距赤道圈纬度四十六分三十五秒
　若三角形内之总弧过一象限即次得之弦非折半可
　得法以大弧之馀弧减小弧所存求其弦以加于先得
　之总弦半之为次得之弦其后得者甲乙丙角之倒弦
　依前用三率法但所求得之他弦若小于先得之弦其
　法同前若等则所求三角形内第三弧之弦正为九十

　度之弦而星必在赤道上无距度若他弦大于先得之
　弦则以小弦减大弦(不论何弦但/以小减大)馀为本星距赤道之
　　　　　　　弦假如毕宿大星于崇祯元年距黄道
　　　　　　　南五度三十一分在甲其黄道经度为
　　　　　　　辛戊六十四度三十五分三十秒即甲
　　　　　　　乙为大弧八十四度二十九分乙丙为
　小弧二十三度三十一分三十秒(两极之/距度)两弧所包甲
　乙丙角一百五十四度三十五分三十秒依法以大弧
　甲乙之馀弧甲戊五度三十一分加于小弧乙丙二十

　三度三十一分三十秒共得二十九度○二分三十秒
　求其弦四八五四四为先得之总弦又以馀弧甲戊减
　小弧乙丙存一十八度○分三十秒其弦三○九一五
　以加先得之总弦四八五四四得七九四五九然后半
　之得三九七二九为次得之弦其后得者甲乙丙角之
　倒弦一九○三二八依三率法以乘次得之三九七二
　九得他弦七五六一四因他弦大于先得之弦故于他
　弦内减先得之四八五四四存二七○七○查得十五
　度四十二分为甲庚弧是本星距赤道之度

　若总弧不及一象限则如前求先得之总弦次以小弧
　减大弧之馀弧所存查其正弦又以减先得之弦所存
　半之为次得之弦其馀同前第一法
　　　　　　　假如崇祯元年大角星距黄道北三十
　　　　　　　一度○二分三十○秒其经度过秋分
　　　　　　　一十九度○二分三十○秒其两弧间
　　　　　　　之角甲乙丙得一百○九度○二分三
　十秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十秒乙丙小
　弧二十三度三十一分三十秒今大弧之馀弧甲己三

　十一度○二分三十秒以加乙丙二十三度三十一分
　三十秒得五十四度三十四分其弦八一四七九为先
　得数又甲己内减乙丙小弧存七度三十一分其弦一
　三○八一以减先得之弦存六八三九八半之得三四
　一九九为次得之弦次依三率法以乘甲乙丙角之倒
　弦一三二六一二得四五三五一为他弦以减先得之
　八一四七九存三六一二八为本星距赤道之弦查得
　甲己弧二十一度一十○分五十四秒
　　求赤道纬度后法(即第/三法)

后法用简平仪或量度或加减推算(简平仪者以圆平面/当浑仪也圆平面者)
　(以极至交圈为界作过心平面也以面当球与平浑仪/同意论球则半在面前可见今以直线当弧半在面后)
　(不可见其直线当弧与前半同理下文言/某线为某弧或言前弧后弧等俱本此)量度者用规
　器量度所有之见度分即于分度等圈上量取所求之
　隐度分也加减者亦于本仪取数其算法即前法也量
　度则省算然每星当作一图亦不能得细分秒加减则
　一图能算多星可省图可得细分秒特未免乘除之烦
　总之先得各星之黄道经纬度即从星作直线与赤道
　平行至外周从线尾起算至赤道为本星之赤道纬度

　弧可量亦可算也今并具二法用者择焉试先解仪上
　诸线如丙壬寅子大圈为极至交圈壬丑线为赤道大
　圈辛寅线为黄道大圈春秋二分俱在癸若星距黄道
　北则辛为夏至寅为冬至星距黄道南则寅为夏至辛
　为冬至今所测星为乙癸甲线为星之黄道纬度对丙
　　　　　　　　　辛弧甲乙线为星之黄道经度对
　　　　　　　　　辰卯弧丙乙子线为过星之距等
　　　　　　　　　小圈与黄道平行丙卯辰子即过
　　　　　　　　　星距等圈之半在仪上为立面与

　仪面为直角在弧为丙卯辰子在仪面为丙乙甲子自
　人视之卯点即乙点辰点即甲点也卯辰为星之黄道
　经度弧夫卯即乙乙即星若有乙丁线与赤道平行截
　极至交圈于午即从午至赤道壬为所求本星之赤道
　纬度弧矣今用规器量度则先定黄道纬度之丙辛弧
　经度之辰卯弧从经纬线相交之乙星上出乙午线则
　壬午弧必所指赤道距度也以加减推算则用直线三
　角形先从丙出垂线至己半之得己戊从戊作线与丁
　乙平行必至甲(丙甲为丙子之半故/丙戊为丙己之半)又从子出子己底

　线偕丙己垂线作丙己子直角即成三角形者三而求
　丙丁弦以减丙庚正弦存丁庚弦为星之赤道纬度
　假如乙为句陈大星其黄道经于崇祯元年为八十三
　　　　　　　　　度二十五分二十七秒黄道纬六十
　　　　　　　　　六度○二分当用第二图推本星距
　　　　　　　　　赤道之纬度法以星距黄道之丙辛
　　　　　　　　　(六十六度/○二分)加于黄道距赤之壬辛(二/十)
　(三度二十一/分三十○秒)得丙壬弧八十九度二十三分三十秒其正
　弦丙庚九九九九七今欲推己庚线(己庚者子丑弧之正/弦子丑者星距等圈)

　(近赤/之弧)法以黄道距赤之丑寅(二十三度三十/一分三十○秒)减星距黄道
　之子寅(六十六度/○二分)得丑子弧四十二度三十分三十秒其
　正弦己庚六七五六九以减丙庚馀丙己三二四二八半
　之得丙戊弦一六二一四又勾陈黄道经度甲乙八十三
　度二十五分二十七秒以减全数十万(一/率)存乙丙六五八
　(二/率)以乘丙戊弦(三/率)得一○六为丙丁弦(四/率)也次以一○六
　减丙庚正弦得丁庚九九八九一其弧八十七度一十九
　分为勾陈大星距赤道之度其比例甲丙与乙丙若戊
　丙与丙丁也更之甲丙与戊丙若乙丙与丙丁(几何六/卷四)

　算恒星赤道纬度以右法为例若各星缠度不同即加
　　　　　　　　　减法亦异今为六图略率论次如
　　　　　　　　　左
　　　　　　　　　凡星距黄道北其纬在二十三度
　　　　　　　　　三十一分三十○秒以内其黄道
　　　　　　　　　经度自春分起至秋分止用第一
　　　　　　　　　图推算或星距黄道南亦在二十
　　　　　　　　　三度三十一分三十秒以内而经
　　　　　　　　　度过秋分至春分止者同

　　　　　　　　　凡星距黄道北过二十三度三十
　　　　　　　　　一分三十○秒而不过六十六度
　　　　　　　　　二十八分三十○秒(在本象/限之内)其黄
　　　　　　　　　道经度自春分至秋分用第二图
　　　　　　　　　推算若星距黄道南过二十三度
　　　　　　　　　三十一分三十○秒又不过六十
　　　　　　　　　六度二十八分三十○秒而过秋
　　　　　　　　　分至春分者同
　　　　　　　　　凡星在黄道北其纬过六十六度

　　　　　　　　　二十八分三十秒经度自春分至
　　　　　　　　　秋分用第三图推算若在黄道南
　　　　　　　　　纬度同前而经度自秋分至春分
　　　　　　　　　亦用三图为两至距赤度星距黄
　　　　　　　　　度并之(壬丙/弧也)过九十度而丙庚正
　弦亦不在癸辛象限之内故
　凡星距黄道南二十三度三十一分三十○秒以内而
　经度自春分至秋分用第四图若星距黄道北亦二十
　三度三十一分三十○秒以内而经度自秋分至春分

　者同
　凡星距黄道南过二十三度三十一分三十○秒而不
　过六十六度二十八分三十○秒其经度自春分至秋
　分用第五图若星距黄道北纬度同上而经度反过秋
　分至春分亦用五图
　　　　　　　　　凡星距黄道南过六十六度二十
　　　　　　　　　八分三十○秒其经度自春分至
　　　　　　　　　秋分用第六图若星距黄道北纬
　　　　　　　　　度同前而经度自秋分至春分即

　壬丙总弧过九十度亦用六图总之星距黄道之弧任
　在南在北其与黄赤距弧于图右推算即相加于图左
　推算即相减为恒法也
　凡星黄距度大于黄赤距度则以其较弧之正弦减先
　得总弧之正弦若小则以较弧之弦加先得总弧之正
　弦如第三图子寅(星黄/距)大于丑寅(黄赤/距)则以其较弧(子/丑)
　之正弦(子未或/己庚)减丙壬总弧之正弦丙庚而得丙己若
　小如第一图子丑(星赤/距)为寅丑(黄赤/距)之较弧则以较弧
　之正弦庚己加丙壬总弧之正弦丙庚而得丙己

　凡星黄距黄赤距之总弧大于一象限用其通馀弧之
　正弦如第三图壬丙过九十度壬丙丑为通弧丙丑为
　通馀弧则用其正弦丙庚
　凡星之经度弧少不及二至圈则取其正弦加减于全
　数以得其馀矢若大而过二至之圈则取其通馀弧之
　正弦求其馀矢求法在前三图用减在后三图用加如
　各图从甲辰分节起算至卯乙辰卯为经度弧其正弦
　甲乙(俱在前/半圈)若过至节之界或子或丙至卯乙则卯辰
　为经度之加弧(在后/半圈)又前三图内甲乙减甲丙得乙丙

　后三图内加之得乙丙皆为馀矢也(以正弦减半径为/馀矢大弧过九十)
　(度其限外弧为加弧/并九十度为过弧)
　各图皆以丙丁弦减丙庚正弦惟星在两道间如第四
　图丙丁大于丙庚则以丙庚减丙丁而得丁庚(赤道/纬)其
　馀法简各图自明
　　求恒星赤道经度前法(第二/法)
前法求纬度用曲线三角形并两腰分盈缩适足三等加
　减得之此为黄经纬求赤经纬以二求二故也既得赤
　纬则以三求一故不拘大小皆归一法止用两纬度之

　馀弧及见角之馀角以推他角所对赤道经度之馀弧
　如图甲丙为星赤道纬之馀弧甲乙为黄道纬之馀弧
　　　　　　　甲乙丙为对黄经度之见角丁乙庚其
　　　　　　　馀角是甲乙丙三角形内有三边有乙
　　　　　　　角今求甲丙乙他角以推戊己是为赤
　　　　　　　道经度之馀弧
　假如甲为大角星其赤道纬于崇祯元年得二十一度
　一十分五十一秒为甲戊其馀弧甲丙六十八度四十
　九分得正弦九三二四四为第一率黄道纬三十一度

　○二分三十秒为庚甲其馀弧甲乙五十八度五十七
　分三十秒得正弦八五六七九为第二率其黄道经度
　过秋分辛一十九度○二分三十秒为辛庚即甲乙丙
　角之馀弧庚丁必七十度五十七分三十秒得正弦九
　四五二八为第三率求得八六八五六为戊己弧之正
　弦查得戊己弧六十度一十七分三十○秒以减象限
　存二十九度四十二分三十○秒为大角星秋分后之
　赤道经度
　　求赤道经度后法(第三/法)

用简平仪与前求纬法同今所求者为辰卯弧而先得者
　赤黄二纬度故三角形之底线与黄道平行星纬弧与
　两道距弧在图之左即相加在图之右即相减
　　　　　　　　　如图乙为勾陈大星其黄道纬六
　　　　　　　　　十六度○二分其先得之赤道纬
　　　　　　　　　甲癸八十七度一十九分辛壬为
　　　　　　　　　黄赤距弧(二十三度三十/一分三十秒)以加赤
　道纬度弧壬丙(八十七度/一十九分)得辛丙(一百一十度五/十分三十秒)总弧
　其通馀弧丙寅之正弦(九三四/五七)为丙庚也又因星在图

　之右应以星纬弧两道距弧相减得(六十三度四十/七分三十秒)为
　寅子弧其正弦(八九七/二○)为子未或己庚以减丙庚正弦
　馀(三七/三七)为丙己半之存(一八/六八)为丙戊今本星黄道纬弧
　(六十六度/○二分)为辛午其弦(九一三/七八)为丁庚以减丙庚正弦
　得丙丁(二○/七九)因以丙戊为第一率丙甲全数为第二丙
　丁为第三得丙乙弦(一一一/二九六)去其首位(丙甲/全数)存(一一二/九六)
　为甲乙弦所对辰卯弧(六度二十九/分一十秒)即本星之赤道经度
　　并求恒星赤道经纬度(第四/法)
依前法用立成表可并求经纬度且省算如图星在甲其

　黄道纬甲丁经丁庚而求赤道纬甲乙经乙庚即用此
　　　　　　　两曲线三角形取之其法于甲乙丙三
　　　　　　　角形内因三表可得甲乙弧为赤纬及
　　　　　　　丙乙弧以得乙庚赤经先用赤道升度
　　　　　　　表查取相当之黄道经度如图戊庚为
　赤道弧辛庚为黄道弧今反之以辛庚为赤道即原黄
　道之丁庚升度今以当赤道之弧即可得相当之庚丙
　上度也次以黄赤距度表用其经弧查其纬弧既得经
　弧之度丙庚即知两道相距之纬度丙丁也更用过极

　圈截黄交角表因辛庚当赤道即星上过极之壬丙弧
　截见当黄道之戊庚弧于丙则得甲丙乙交角次以黄
　纬甲丁加两道距丁丙得甲丙为第一三角形之弧夫
　甲乙丙既为直角又有后得之甲丙乙角即先推甲乙
　　　　　　　弧为星之赤道纬后得乙丙以减先得
　　　　　　　之丙庚存乙庚为星距分节之经弧
　　　　　　　假如娄宿东星于崇祯元年距黄道北
　　　　　　　(九度五/十七分)距春分节(三十二度二十/九分四十八秒)为见
　当赤道上之黄道升度丁庚也而在大梁宫查升度表

　于大梁宫得其度分其相当者为见当黄道上之度(三/十)
　(四度四/十八分)庚丙也又用两道距度表以庚丙弧四度四十
　八分于大梁宫查其相当之距纬得(一十三度/一十○分)为黄赤
　距度丙丁又以庚丙弧之度分于交角表查大梁宫之
　四度四十八分得(七十度二十○/分二十四秒)为甲丙乙角今以甲
　丁(九度五/十七分)加于丁丙(十三度/一十分)得(二十三度/○七分)为三角形之
　弧甲丙其正弦(三九二/六○)为第二率甲丙乙角之正弦(九/四)
　(一六/七)为第三率甲乙丙直角全数为第一率求得(三六/九九)
　(九/)为四率即甲乙弧之正弦查得(二十一度四十/二分五十三秒)为本

　星距赤道之纬弧又以甲乙丙角全数为一率甲丙乙
　馀角(一十九度三十/九分三十六秒)之弦(三三六/四四)为二率甲丙弧之切
　线(四二六/八八)为三率而求乙丙底弧之切线得(一四三/六四)为
　四率查得(八度一十分/二十六秒)以减庚丙弧(三十四度/四十八分)存(二十/六度)
　　　　　　　(三十七分/三十四秒)为本星赤道之经弧乙庚
　　　　　　　若经少纬多星越赤道极之轴线戊丁
　　　　　　　而近黄道极法当先用升度表次用黄
　　　　　　　赤距表又次用交角表以三率求乙丙
　则甲丙乙角之馀弦与甲丙弧之切线相乘得数为乙

　丙弧之切线内减先升度表所取之丙丁弧馀丁乙以
　减三百六十度所馀环周之大丁乙即赤道经也再以
　丙角甲丙正弦相乘得数即赤道纬甲乙
　若黄纬过九十度之外诸法同前但去九十度而用零
　数法以零数之馀弧取其正弦乘丙角之正弦得甲乙
　纬又以零馀弧之切线乘两角之馀弦得丙乙之馀切
　线又以所去九十度加丙乙内减升度丙丁所存以减
　全周所存通弧为本星之赤道经度
　假如紫微垣新增少弼外南星其黄经五十○度○九

　　　　　　　分黄纬八十○度三十八分查升度表
　　　　　　　得五十二度三十五分为丙丁查距度
　　　　　　　表得一十八度二十九分为丙己查交
　　　　　　　角表得七十五度一十二分为丙角今
　以距度丙己加黄纬甲己得甲丙九十九度○七分为
　过象限则去九十度独用其零数九度○七分以其馀
　弧八十○度五十三分查八线表得九八七三七为正
　弦以乘丙角之正弦九六六八二得九五四五○一为
　赤纬甲乙之正弦查得七十二度三十九分又查零馀

　弧八十○度五十三分其切线六二三一六○以乘丙
　角之馀弦二五五四五得一五九一○六为丙乙之馀
　切线查得三十二度○九分以加前所去九十度得一
　百二十二度○九分内减升度丙丁五十二度三十五
　　　　　　　分存六十九度三十四分以减全周三
　　　　　　　百六十存二百九十○度二十六分为
　　　　　　　本星之赤道经度
　　　　　　　若星在黄赤道之间法以黄纬减黄赤
　距度其馀同前用相乘之数减丙丁所得数为赤经数

　若星在两道南丙丁为赤经法当以乘出之乙丙数加
　乙丁为赤道经度是黄经短赤经长也
　　　　　　　前所求在降娄大梁实沈三宫则可若
　　　　　　　在鹑首鹑火鹑尾其法异是何也此星
　　　　　　　方位出象限之外经度已转过至节故
　　　　　　　前减者此宜加前加者此宜减又前黄
　纬过九十度即越北极轴线故减于三百六十度内方
　得所求今从春分转至秋分虽过九十度而无轴线可
　越(不得至黄/南极故也)故不必减于全周自秋分以往对待六宫

　如寿星至娵訾俱同前法但星在南左用北右法星在
　南右用北左法此为异耳
　以度数图星象第二　三章
　平浑仪义
古之作者造浑天仪以准天体以拟天行其来尚矣后世
　增修递进乃有平面作图为平浑仪者形体不甚合而
　理数甚合为其地平圈地平距等圈及过天顶横截之
　弧与天夫黄赤二道黄赤距等圈及过两极横截之弧
　皆确应天象故以此言天特为著明能毕显诸星之经

　纬度数也历家称为至公至便超绝众器今详其应用
　多端不后于浑仪其要约简易则胜浑仪且浑仪所用
　大环欲其纤毫不爽势不可得未若平面之直线当一
　环圆界当一环直者必直圆者必圆无可疑也然论其
　本原即又从浑仪出何者凡于平面图物体若依体之
　一面绘之定不合于全体必依视学以物影图物体或
　圆或方或长短各用其远近明暗斜直之比例则像在
　平面俨然物之元体矣但光体变迁出光之处无数则
　所作影亦无数而受影之半面有正有偏则影之变态

　又无数故视学家分为二品一为有法物像一为无法
　物像(以可用为有/法不则无法)今论浑仪之影能生平仪仪本于此
　必求平面之上能为实用可显诸曜之度数以资推算
　者则为有法而于诸无法像中择其有法者特有三一
　设光于最远处照浑仪正对春分或秋分则极至交圈
　为平面之圈界以面受影即显赤道及其距等圈皆如
　直线而各过极经圈皆为曲线之弧此有法之第一仪
　也次设光切南极则赤道为平面之圈界诸赤道距等
　皆作平面上圆形而极至交圈又如直线此为有法之

　第二仪也又次设光切春分或秋分在极分圈与赤道
　之交则亦以极至交圈为平面之圆界以面受影即赤
　道与极分交圈为直线而其馀皆为曲线之弧此有法
　之第三仪也今绘星图惟用第二仪次则第三以其正
　对恒星之度其第一仪不用也为是平浑所须并论之
　　总星图义
设浑仪以北极抵立平面其轴线为平面之垂线有光或
　目切南极正照之仪上设点其影或像必径射于平面
　即北极居中设点之影去北极渐远者其在平面之两

　　　　　　　距亦渐远乃至南极则为无穷影终不及
　　　　　　　于平面矣又平面之上北极所居点为过
　　　　　　　两极轴线之影为浑仪众圈之心平面上
　　　　　　　诸赤道距等圈离此愈远即其影愈宽大
　　　　　　　至近南极者则平面无可容之地也假有
　　　　　　　浑仪为甲丙乙丁甲为南极乙为北极以
　　　　　　　乙极抵丑乙子平面有光或目在甲极先
　　　　　　　照近北极之圈辰己即其影自己迄辰为
　　　　　　　本圈之全径因以乙为心己辰为界即平

　面作圈准浑仪之实环也又照夏至圈癸壬之圆界其
　影至卯寅即以卯寅为径次照赤道圈丙丁之圆界影
　至己戊以己戊为径各如前作圈各得准其本环次有
　冬至圈辛庚虽近甲南极小于赤道之丙丁圈而影在
　平面为丑子反大于赤道影己戊盖乙甲丑角大于乙
　甲己角故也若至午未南极圈其影在平面更远而终
　竟可至惟甲南极为左右直影与子丑平行终不至于
　平面也今作星图不用两至两极圈独用赤道之左右
　度分度分近乙北极即平面上影相距亦愈近远亦愈

　　　　　远经度既尔纬度亦然盖经度从心向外出线
　　　　　其左右各侣线愈远心相距亦愈广纬度从心
　　　　　向外作圈其内外各侣圈愈远心相距亦愈宽
　　　　　也问经度远心即愈广易见矣何以知星之纬
　　　　　度在平仪之上愈远心相距愈宽乎曰以几何
　　　　　徵之设有甲乙丙丁圈以全径甲丙抵戊己平
　　　　　面为垂线若平分圈界如一十二从甲出直线
　　　　　各过所分圈界至戊己庚辛平面上各点得戊
　　　　　庚宽于庚辛面庚辛又宽于辛壬馀线尽然盖

　从甲出各侣线至平面以各㡳线连之其各腰与各底为
　比例则甲庚与庚辛若甲壬与壬辛也今甲庚大于甲壬
　则庚辛必大于辛壬(见几何第六/卷第三题)试以丙为心作壬辛庚
　三侣圈其在仪各所分圈界则为距等而壬辛之相距与
　辛庚之相距广狭大异矣依此作图则去心远者各所限
　经纬度渐展渐大与近心者不等而经纬度之比例恒
　等即所绘星之体势与天象恒等不然者经度渐展纬
　度平分依经纬即失体势依体势即失经纬乖违甚也
　　斜圈图圆义

浑仪诸圈有正有斜正者如赤道圈赤道距等圈及诸过
　极经圈也斜者如黄道圈地平圈及其各距等圈也以
　视法作为平面图设照本(或光或/人目)在南极则正受照之
　圈影至平面必成圈形或直线如前说矣若斜受照之
　圈其影在平面当作何形像乎此当用角体之理明之
　按量体法(测量全/义六卷)中论角体有正角有斜角两者皆以
　平圆面为底皆以从顶至底心之直线为轴线其为正
　与斜则以垂线分之若自角下垂线至底与轴线为一
　如第一图甲乙垂线即甲丙丁戊角形之轴线则甲丙

　　　　　　　　丁戊为正角体若两线相离如第二
　　　　　　　　图甲己为轴线甲乙为垂线则甲丙
　　　　　　　　戊庚丁为斜角体也更以斜角体上
　　　　　　　　下反截之为甲辛壬小角体(既斜截/为上下)
　　　　　　　　(两体更若从轴线自上而下纵截之/为两平分其截面三角形大小比例)
　(相似则名反截之角体/若不合比例则为无法)依斜角体之本理则小体之底
　与大体之底相似不得不成圆形今欲推黄道等斜圈
　不能正受照本之光则于平仪面所显何像法依第二
　斜角图以甲当南极照本之点壬辛为浑仪上斜圈丙

　　　　　　　戊庚为平面上斜圈之影次用三图徵
　　　　　　　为圆影焉
　　　　　　　假如甲乙丙为极至交圈甲当南极为
　　　　　　　照本之点斜受光之圈为乙丁从甲照
　　　　　　　之过乙丁边直射至己戊平面为甲己
　　　　　　　甲戊两线即得甲己戊及甲乙丁皆直
　　　　　　　线三角形此为浑仪平面形影之体势
　　　　　　　以角体法论之己戊为乙丁圆圈之影
　即甲己戊为全角体而甲乙丁其反截之小角体矣又

　甲丙垂线非甲庚枢线即甲己戊为斜角体而己戊其
　底自与甲乙丁小角体其底乙丁各相似也
　　　　　　问反截之角体与平面所得三角形何云
　　　　　　两相似乎凡相似两三角形必三角各等
　　　　　　三边之比例各等此有诸乎曰有之甲为
　　　　　　共角从乙作直线至辛与己戊为平行即
　　　　　　甲丙之垂线而甲乙辛角与甲己戊角俱
　　　　　　在平行线上必等又甲乙辛甲丁乙俱在
　　　　　　界乘圈之角而所乘之甲乙甲辛两弧等

　即两角必等而甲丁乙与甲己戊两角亦等其馀角甲
　乙丁及甲戊己亦等则乙丁小角体之底与其所照平
　面上之己戊必相似也凡斜圈之弧近于照本其影必
　长距远则短如从南极照黄道斜圈其半弧乙在赤道
　南近甲即甲己必长于甲戊然分较之虽南影长于北
　影合较之则平面上圆影不失黄道之圆影矣
　问以视法图黄道既为圆形从何知其心乎曰从照本
　之点出直线为斜圈径之垂线引至平面则黄道之心
　也盖本图大小三角形既相似而甲丙与甲庚两线又

　　　　　　相离即各分为两三角形各相似其甲丙
　　　　　　戊与甲丙己一偶也甲辛乙与甲辛丁一
　　　　　　偶也是以甲己庚角与己甲庚角等而甲
　　　　　　庚线与庚己线亦等又甲戊庚角与戊甲
　　　　　　庚角等何者因前图得己角与丁角等此
　图得丁角与乙甲辛角等即己角与乙甲辛角亦等因
　得乙戊两角等又得乙角与庚甲戊角等即戊角与庚
　甲戊角亦等而戊庚与甲庚两线亦等因得戊庚与庚
　己两线等而庚为己戊径之心

　　绘总星图第三
古法绘星图以恒见圈为紫微垣以恒隐圈界为总图之
　界过此南偏之星不复有图矣西历因恒见圈南北随
　地不同又渐次不同故以两极为心以赤道为界平分
　为南北二图以全括浑天可见之星此两法所繇异也
　　赤道平分南北二总星图
以规器作赤道圈即本图之外界也纵横作十字二径平
　分为四象限限各九十又三分之分各三十又五分之
　分各六又六分之分各一此为全周三百六十度矣次

　从心至界上依度数引直线为各经度其作纬度有二
　法一用几何则依界上经度于横径之左定尺于横径
　之右上下游移之每得一界限度(界限度者或一度二/度为一限或五度十)
　(度为一限/以至九十)即于直径上作识则直径上下所得度与界
　　　　　　　　　限度各相应而疏密不等经纬相
　　　　　　　　　称矣用数则依切线表求界限度
　　　　　　　　　之相当数以规器取之(用比例规/甚便无规)
　　　　　　　　　(先作半径百平/分之用以取数)若表中求一十度
　　　　　　　　　即径上下得二十度表中求二十

　径上下得四十所得比所求恒多一倍也
　假如欲依界限度以分径如第一图甲乙丙丁为赤道
　　　　　　所分径为甲丙于乙上定尺从右径末丁
　　　　　　向上移尺至一十二十等限于甲丙径上
　　　　　　作戊己等一十二十诸识各识愈离心其
　　　　　　侣距愈远矣若以数分之依第二图如求
　　　　　　四十度癸庚则表中查二十度之切线相
　　　　　　当数为三十六用规器向庚辛直线取庚
　　　　　　子三十六移至甲乙径上自中心乙至己

　为三十六即得四十度矣盖以丁为心作乙丙象弧其
　半弧乙壬之切线为平面之半径甲乙即乙己为二十
　度弧乙戊之切线若引丁戊割线至庚则癸庚得四十
　度与前法合也
　　见界总星图
见界总星图者以北极为心以恒隐圈为界此巫咸甘石
　以来相传旧法也然两极出入地平随地各异而旧图
　恒见恒隐各三十六度三十六者嵩高之北极出地度
　耳自是而南江淮间可见之星本图无有也更南闽粤

　黔滇可见之星本图更无有也则此为嵩高之见界总
　图而非各省直之见界总图也又赤道为天之大圈其
　左右距等侣圈以渐加小至两极各一点耳于平面作
　图而平分纬度自极至于赤道纬度恒平分而经度渐
　广广袤不合即与天象不合向所谓得之经纬失之形
　势得之形势失之经纬者也况过赤道以南其距等纬
　圈宜小而愈大其经度宜翕而愈张若复平分纬度即
　不称愈甚其相失亦愈甚矣今依此作图宜用滇南北
　极出地二十度为恒隐圈之半径以其圈为隐见之界

　则各省直所得见之星无不备载可名为总星图矣又
　依前法为不等纬距度向外渐宽则经纬度广袤相称
　而星形度数两不相失矣但前以赤道为界设照本在
　南极所求者止九十纬度则所用切线半之止四十五
　度至赤道止矣用为平图之半径经纬度犹未甚广足
　可相配若此图则否其半径过赤道而外尚七十度并
　得一百六十度半之为八十度从南极点出直线必割
　圆八十度乃合于百六十度之切线也此其长比赤道
　内之半径不啻五倍经纬皆愈出愈宽以比近北极之

　度分大小殊绝矣如图甲为平图之心乙为南极甲丙
　　　　　　　　　　　　　　　　为半径亦即为
　　　　　　　　　　　　　　　　四十五度甲戊
　　　　　　　　　　　　　　　　弧之切线若从
　乙出直线割八十度之弧甲丁然后与甲丙引长百六
　十度之线遇于己其长于甲丙几及六倍也如是而依
　本法作图若图幅少狭即北度难分若北度加宽即图
　广难用矣今改立一法设照本稍出南极之外去极二
　十度起一直线以代乙己其与甲丙之引线不交于己

　而稍近丙以敛所求之度定平图之半径则广狭大小
　皆适中矣但照本所居宜有定处去极远则切线太促
　不能分七十度之限太近则半径过长略同前说也今
　法如上图甲为平图之心欲其外界出丙己壬赤道之
　　　　　　　　　　　　　　外远至七十度先
　　　　　　　　　　　　　　求照本随所照光
　　　　　　　　　　　　　　图之作甲丙直线
　　　　　　　　　　　　　　去赤道径甲癸七
　　　　　　　　　　　　　　十度正次作乙丙

　垂线为二十度之正弦次作丙丁线为二十度之切线
　令丁点在南极之外为照本则甲丙与乙丙若丙丁与
　乙丁何者甲乙丙乙丙丁两三角形相似故也次引丁
　丙切线与甲癸之引长线遇于辛则辛点定百六十度
　之限为平图之半径矣次以纬度分甲辛线恒令丁戊
　与戊己若丁甲与甲庚则赤道内庚分向北之纬度赤
　道外庚分向南之纬度也欲得各丁戊线以加减取之
　向南距度之正弦以减甲丁割线得小丁戊因得大甲
　庚向北距度之正弦以加甲丁割线得大丁戊因得小

　甲庚也盖正弦虽在癸己左右因甲戊其平行线即与
　正弦等故(左边为北/右边为南)
　　　　　　　　　　　　　　问赤道纬度其内
　　　　　　　　　　　　　　外广狭既尔不齐
　　　　　　　　　　　　　　则欲作黄道圈用
　　　　　　　　　　　　　　何法乎曰此因照
　　　　　　　　　　　　　　本不切南极以照
　黄道斜圈之边不能为直角即不能为轴边之心而有
　二心故其影不能为正圆而微成撱圆与前南北平分

　总图稍异法也当于甲辛径上从赤道向内数黄赤距
　二十三度三十一分三十○秒若所得为子午即作午
　壬直线平分之于未从未出垂线向甲辛径上得黄道
　向北半圈之心为下庚而其边依纬度之狭则小次于
　赤道外自癸至辛数得二道距度如前求得黄道向南
　半圈之心为上庚其边因纬度之宽则大也
　　极至交圈平分左右二总星图
前分有法物象三仪其第一照本在最远者星图所不用
　其用者第二第三也第二法照本在南极以赤道圈为

　平面界则前说赤道平分二图是己第三法照本在二
　分以极至交圈为平面界今解之设照本切春分即用
　所照平面之心以准秋分以极至交圈为界赤道圈极
　分交圈则为直线诸赤道距等圈诸过极经圈则为曲
　　　　　　　　　线之弧以此定经纬度及半天恒
　　　　　　　　　星之方位也又设照本切秋分则
　　　　　　　　　以春分为心其馀圈影皆同上可
　　　　　　　　　定馀半天恒星之方位矣图法先
　　　　　　　　　作极至交圈为图界假设甲乙丙

　丁圈为赤道(本极至交圈假为/赤道借用第一图)平分三百六十度借丙
　点为赤道与极分圈之交从丙向己庚等边界引直线
　过乙丁径作辛壬等识即各过极圈之经度限也次即
　用甲乙丙丁圈为极至交圈(即第/一图)则甲辛丙甲壬丙等
　　　　　　　　　过极经圈之弧可定恒星之赤道
　　　　　　　　　经度矣次欲作赤道距等圈先假
　　　　　　　　　设甲乙丙丁为极分交圈(本极至/交圈假)
　　　　　　　　　(为极分借/用第二图)借乙点为赤道与极分
　　　　　　　　　圈之交从乙向己庚等边界引直

　线过甲丙径上作辛壬等识即各赤道距等圈之纬度
　限也次即用甲乙丙丁为极至交圈(即第/二图)则己辛庚壬
　等皆赤道距等之弧而丁戊乙为赤道可定恒星之赤
　道纬度也若欲以黄道为心作图则以乙丁线当黄道
　甲丙为黄道之两极而乙丁上下距等之弧皆可定恒
　星之黄道纬度平面界圈亦为过黄道极之经度圈如
　前所作赤道平分二图皆改赤道极为黄道极赤道面
　为黄道面皆可定恒星之黄道经纬度也
　恒星有等无数第四　三章

恒星以芒色分气势以大小分等第所载者有数不能载
　者无数可尽也今略论其体等及其大数别定黄赤二
　道之经纬度作图作表如后卷
　　恒星分六等
古多禄某推太阳太阴本体之容积先测其视径及月食
　时之地影及地球之径容展转相较乃能得之(详见三/大论)
　后巴德倪借用其法以考五星及恒星离地之远又测
　诸大星之视径如图甲辛为太阳离地之远其视径甲
　乙为太阳居最高及最高冲折中之半径也今设丙为

　镇星其离地为辛丙即太阳之半径至此见如丙戊而
　　　　　　　　　　　　　镇星居此所见大仅得
　　　　　　　　　　　　　太阳视半径一十八分
　　　　　　　　　　　　　之一为丙丁用三率法
　辛丙与丙戊若辛甲与甲乙次以地径推得丙戊总线
　数即可得丙丁分线数古法推七政及恒星之体大略
　如此盖因其视径及距地之远可得浑体之容积也但
　恒星已知离地最远而无视差可考止依其视径以较
　五星即其体之大小十得七八矣第谷则以镇星较之

　因测镇星得其视径一分五十秒亦微有视差为一十
　五秒弱推其离地以地半径为度得一万○五百五十
　因得其全径大于地之全径二倍又一十一分之九是
　镇星之浑体容地之浑体二十有二矣此测为镇星居
　最高最高冲折中之数也若在最高测其距地为地半
　径一万二千九百(后论五星/更详此理)而恒星更远居其上设加
　一千即约为一万四千因以所测之视径分其等差○
　先测明星如心宿中星大角参宿右肩等其视径二分
　即得大地四径有奇何也因设星离地一万四千依圈

　界与圈径之比例(径七围/二十二)即星所居之圈界得八万八
　千三百六十分之每度得二百四十四○九分之四又
　六十分之每分得四视径二分得八有奇是恒星之全
　径二分当浑地之八半径也即四全径也又以立圆法
　推之即此星浑体之容大于浑地之容六十有八倍此
　为第一等星也此一等内尚有狼星织女等又见大一
　十五秒其体更加二十馀倍若见小一十五秒如角宿
　距星等即反之其体减二十馀倍
　次测北斗上相北河等其视径一分三十秒设其距地

　与前等推其实径大于地径三倍有奇而其浑体大于
　地之浑体二十八倍有奇此为第二等
　又次测娄箕尾三宿等星其视径一分○五秒依前距
　地之远其实径大于地径二倍又五分之一其体大于
　地体近一十一倍为第三等
　又次测参旗柳宿玉井等星其视径四十五秒其实径
　与地径若三与二其体大于地体四倍有半为第四等
　又次测内平东咸从官等小星得视径三十秒其实径
　与地径若五十与四十九其体比于地体得一又一十

　八分之一为第五等
　又次测最小星如昴宿左更等得视径二十秒其实径
　与地径若一十五与二十二即其体比于地体得三分
　之一为第六等
　右恒星相比约分六等若各等之中更有微过或不及
　其差无尽则匪目能测匪数可算矣
　问前言恒星居镇星之上离地皆等故依其视径以推
　其体之大小则不等若设其远近不等即其实径不随
　其视径从何推知其体乎曰假令诸恒星之体实等因

　其中更有远近不等故见有大小不等即以六等星比
　第一等所见小大乃尔必更远于前率十馀倍矣盖测
　此大小星比其视径如天田西星与大角星差一分五
　十五秒即其远近距当得一十四万一千大地之半径
　与镇星最高及大角之距地略等此中空界安所用之
　且小大彬彬杂以成文物之理也若何舍此而强言等
　体乎七政恒星远近大小皆从视径视差展转推测理
　数实然无庸不信然而宏阔已甚犹有未经测算难于
　遽信者焉况此远近等体之说非理非数则是虚想戏

　论而已又谁信之哉
　　恒星无数
自古掌天星者大都以可见可测之星求其形似联合而
　为象因象而命之名以为识别是有三垣二十八宿三
　百座一千四百六十一有名之星焉世所传巫咸石申
　甘德之书是也西历依黄道分十二宫其南北又三十
　七像亦以能见能测之星联合成之共得一千七百二
　十五其第一等大星一十七次二等五十七次三等一
　百八十五次四等三百八十九次五等三百二十三次

　六等二百九十五盖有名者一千二百六十六馀皆无
　名矣然而可图者止此若依法仰观所见实无数也何
　谓依法今使未谙星历者漫视之漫数之樊然淆乱未
　足实證其无数也更使谙晓者按图索象则依法矣如
　是令图以内之星悉皆习熟若数一二然而各座之外
　各座之中所不能图不能测者尚多有之可见恒星实
　无数也更于晴明之夜比蒙昧之夜又多矣于晦朔之
　夜比弦望之夜又多矣以秋冬比春夏又多矣以利眼
　比钝眼又多矣至若用远镜以窥众星较多于平时不

　啻数十倍而且光耀粲然界限井然也即如昴宿传云
　　　　　　　　　　七星或云止见六星而实则三
　　　　　　　　　　十七星鬼宿四星其中积尸气
　　　　　　　　　　相传为白气如云耳今如图甲
　　　　　　　　　　为距星乙为本宿东北大星其
　　　　　　　间小星三十六瞭然分明可数也他如
　　　　　　　牛宿中南星尾宿东鱼星传说星觜宿
　　　　　　　南星皆在六等之外所称微茫难见者
　用镜则各见多星列次甚远假如觜宿南一星数得二

　十一星相距如图大小不等可徵周天诸星实无数也
　　天汉
浑天众圈有大有小如黄赤二道过极经圈极至极分交
　圈地平圈等凡与地同心者皆大圈也如冬夏二至圈
　常见常隐圈各距等圈凡与地不同心者皆小圈也若
　天汉者论其界不可谓圈凡圈以圆线为界此以广面
　为界故也论其心实与黄赤二道相等不可谓非大圈
　盖其心必同地心且两交黄道两交赤道旁过二极皆
　一一相对正与黄道相反斜络天体平分为二故也欲

　测其广无定数大约两至之外广于两至之中从天津
　又分为二至尾宿复合为一过夏至圈以井宿距星为
　限正切鹑首初度过北极西距二十三度半前过冬至
　圈则星纪初度约居其中又转至南极东距亦二十三
　度半而复就夏至总为过两至与黄道相反之斜圈也
　古多禄某测其两涯所过星宿与近世不异在赤道北
　则从四渎始南三星当其中北一星不与焉次水府次
　井西四星切其左边天关一星五车口切其右更前积
　水在左大陵从北第二星在右王良所居在其中若洲

　渚然次天津横截之两端平出其左右河鼓中星在右
　其对边为天市垣齐星此赤道北两涯所经诸星也在
　赤道南者以天弁东星为界次斗第三星次箕南二星
　其对边则天市垣宋星尾宿第一星而入于常隐之界
　迨过南极以来复起于天稷过弧矢天狼以至赤道此
　为赤道南所经诸星也
　问天汉何物也曰古人以天汉非星不置诸列宿天之
　上也意其光与映日之轻云相类谓在空中月天之下

　为恒清气而已今则不然远镜既出用以仰窥明见为
　无数小星盖因天体通明映彻受诸星之光并合为一
　直似清白之气与鬼宿同理不藉此器其谁知之然后
　思天汉果为气类与星天异体者安能亘古恒存且所
　当星宿又安得古今寰宇觏若画一哉甚矣天载之玄
　而人智之浅也温故知新可为惕然矣
　
　
　

　新法算书卷五十八