钦定四库全书
　新法算书卷二十一　　　明　徐光启等　撰
　比例规解
论度数者其纲领有二一曰量法一曰算法所量所算其节
　目有四曰点曰线曰面曰体总命之曰几何之学而其法
　不出于比例比例法又不出于句股第句股为正方角而
　别有等角斜角句股不足尽其理故总名之曰三角形此
　规名比例者用比例法也器不越咫尺而量法算法若线
　若面若体若弧矢方圆诸法凡度数所须该括欲尽斯亦

　奇矣所分诸线篇中称引之说特其指要各有本法本论
　未及详焉若所从出与其致用则三角形之比例而已按
　几何原本六卷四题云凡等角三角形其在等角旁之各
　两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似之边六
　题云两三角形之一角等而对等角旁之各两边比例等
　即两形为等角形而对各相似边之角各等作者因此二
　　　　　　　题创为此器今依上图解之如甲乙丙与丁
　　　　　　　乙戊大小两三角形同用乙角即为等角则
　　　　　　　甲乙与乙丙之比例若丁乙与乙戊而对

　等角之边如甲丙与丁戊为相似之边也又显两形为等
　角形而对各相似边之角各等也今此规之枢心即乙角
　两股即乙甲乙丙两腰甲丙为底即与乙丁戊为等角形
　而各相当之各角各边其比例悉等矣任张翕之但取大
　小两腰其两底必相似也或取两底其两腰必相似也或
　取此腰此底其与彼腰彼底必相似也以数明之如甲乙
　大腰一百乙丁小腰六十而设甲丙大底八十以求小底
　丁戊即定尺用规器量取丁戊为度向平分线取数必四
　十八不烦乘除矣又如平方积一万其根一百求作别方

　为大方四之三即以一百为腰分面线之四点为大底次
　以三点为小腰取小底为度向平分线得八十六半强为
　小方根自之约得七千五百为小方积不烦开平方矣又
　如立方积八千其根二十求作大方倍元方即以二十为
　小底分体线之一点为小腰次以二点为大腰取大底为
　度于平分线得二十五半自之再自之约得一万六千为
　大方积不烦开立方矣篇中言某为腰某为底设某数得
　某数皆此类也规凡二面面五线共十线其目如左
　　目

第一平分线
第二分面线
第三更面线
第四分体线
第五更体线
第六分弦线
第七节气线
第八时刻线

第九表心线
第十五金线
　右比例十类之外依几何原本其法甚多因一器难容
　多线故止设十线其不为恒用者姑置之稍广焉更具
　四法如左
　一平面形之边与其积
　二有形五体之边与其积与其面
　三有法五体与球或内或外两相容
　四随地造日晷求其节气

比例规造法(一名度数尺/其式有二)
　
　
　
　
一以薄铜板或厚纸作两长股如图任长一尺上下广如
　长八之一两股等长等广股首上角为枢以枢心为心
　从心出各直线以尺大小定线数今折中作五线两股

　之面共十线可用十种比例之法线行相距之地取足
　书字而止尺首半规馀地以固枢也用时张翕游移
　
　
　
　
一以铜或坚木作两股如图厚一分以上长任意股上两
　用之际以为心规馀地以安枢其一规面与尺面平而

　空其中其一剡规而入于彼尺之空令密无罅也枢欲
　其无偏也两尺并欲其无罅也枢心为心与两尺之合
　线欲其中绳也用则张翕游移之张尽令两首相就成
　一直线可作长尺或以两半直角相就成一直角可作
　矩尺
　比例规之类别有二种一为四锐定心规一为四锐百
　游规不解之其造法颇难为用未广姑置之

　
　
　
　
　
　
　
　

第一平分线
　分法　此线平分为一百或二百乃至一千量尺之大
　小也分法如取一百先平分之为二又平分为四又各
　五分之为二十自此以上不容分矣则用更分法以元
　分四复五分之或以元分六复五分之如上图甲乙线
　　　　分丙丁戊为元分之四今更五分之得己庚辛
　　　　壬元分与次分之较为壬丙为戊己皆甲乙二
　　　　十分之一为元分五之一(每数至十至百/各书字识之)
　论曰甲乙(四/)与甲丙(一/)若甲己(四/)与甲壬(一/)更之甲乙

　(四/)与甲己(四/)若甲丙(一/)与甲壬(一/)甲己为甲乙五之四
　即甲壬为甲丙五之四壬丙为甲丙五之一又甲丁为
　十甲辛为八辛丁为甲丁十之二或丙丁五之二戊庚
　为丁戊五之三又壬丙为甲丙五之一必为甲壬四之
　一(几何/五卷)
　用法一　凡设一直线任欲作几分假如四分即以设
　线为度数两尺之各一百以为腰张尺以就度令设线
　度为两腰之底置尺数两尺之各二十五以为腰敛规
　取二十五两点间之度以为底向线上简得若干数即

　所求分数　凡言线者皆直线依几何原本大小两三
　角形之比例则二十五与得线若一百与设线也更之
　二十五与一百得线与设线皆若一与四也　若求极
　微分如一百之一如上以一百为腰设线为底置尺次
　以九十九为腰取底比设线其较为百之一　若欲设
　线内取零数如七之三即以七十为腰设线为底置尺
　次以三十为腰敛规取底即设线七之三(置尺者置不/复动下仿此)
　用法二　凡有线求几倍之以十为腰设线为底置尺
　如求七倍以七十为腰取底即元线之七倍若求十四

　倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之
　用法三　有两直线欲定其比例以大线为尺末之数
　(尺百即百/千即千)置尺敛规取小线度于尺上进退就其等数
　如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百
　与三十七可约者约之(约法以两大数约为两小数其/比例不异如一百与三十约为)
　(十与/三)
　用法四　乘法与倍法相通(乘者求设数/之几倍也)如以七乘十
　三于腰线取十三为度七倍之即所求数也
　用法五　设两线或两数(凡言数者腰上取其分或以/数变为线或以线变为数)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　欲求一直
　　　　　　　　　　　　　　　　　　线而与元
　　　　　　　　　　　　　　　　　　设两线为
　　　　　　　　　　　连比例　若设大求小则以
　　　　　　　　　　　大设为两腰中设为底次以
　　　　　　　　　　　中设为两腰得小底即所求
　　　　　　　　　　　如甲乙甲丙尺之两腰所设
　　　　　　　　　　　两数为三十为十八欲求其
　　　　　　　　　　　小比例从心向两腰取三十

　如甲辛甲己识之敛规取十八为度以为底如辛己次
　从心取十八如甲丁甲戊即丁戊为连比例之小率得
　十一有奇　若设小求大则反之以中设为两腰小设
　为底置尺以中设为度进求其等数以为底从底向心
　得数即所求如甲丁甲戊为两腰丁戊为底次以甲丁
　为度引之至辛至己而等从辛从己向心得三十即大
　率论见几何六卷十一题(凡言等数者皆两腰上/纵心取两数等下同)
　用法六　凡有四率连比例既有三率而求第四或以
　前求后则丁戊为第一率辛己甲丁甲戊为第二又为

　第三而得辛甲为第四　若以后求前则甲辛甲己为
　第一辛己甲戊甲丁为第二又为第三而得丁戊为第
　四(甲辛与辛己若甲/丁与丁戊故也)
　用法七　有断比例之三率求第四如一星行九日得
　一十一度今行二十五度日几何即用三率法以元得
　　　　　　一十一度为两腰元行九日为底置尺以
　　　　　　二十五度为两腰取大底腰上数之得二
　　　　　　十日(十一/之五)为所求日(此正三率法九章/中名异乘同除也)
　　　　　　用法八　句股形有二边而求第三法于

　　　　　　一尺取三十为内句一尺取四十为内股
　　　　　　更取五十为底以为内弦即腰间角为直
　　　　　　角置尺若求弦则以各相当之句股进退
　　　　　　取数各作识于所得点两点相望得外弦
　线以弦向尺上取数为外弦数(言内外者以先定之句/股成式为内甲乙丙是)
　(以所设所得之他句/股形为外甲戊己是)　若求句于内股上取外股作识
　以设弦为度从识向句尺取外弦得点作识从次识向
　心数之得句求股亦如之(下有开方术为/勾股本法可用)
　用法九　若杂角形有一角及各傍两腰求馀边先以

　　　　　弦线法依设角作尺之腰间角次用前法取
　　　　　之(见下二十一/用四法)
　　　　　用法十　有小图欲更画大几倍之图则尺
　上取元图之各线加几倍如前作之
　用法十一　此线上宜定两数其比例若径与周为七
　　　　　　　　　　　　　与二十二或七十一与
　　　　　　　　　　　　　二百二十三即二十八
　　　　　　　　　　　　　数上书径八十六上书
　周　有圈求周径法以元周为腰设周为底次于元两

　径取小底得所求径　反之以径求周径为腰如前
　用法十二　此线上定两数求为理分中末之比例则
　　　　　　　　　　　七十二与四十二又三之一
　　　　　　　　　　　不尽为大分其小分为二十
　　　　　　　　　　　四又三之二弱　有一直线
　欲分中末分则以设线为度依前数取之(几何六卷/三十题)
第二分面线
　今为一百不平分分法有二一以算一以量
　以算分　算法者以枢心为心任定一度为甲乙十平

　　　分之自之得积一百　今求加倍则倍元积得
　　　二百其方根为十四又十四之九即于甲乙十
　　　分线加四分半强而得甲丙为倍面之边求三
　　　倍则开三百之根得十七有半为甲丁求五六
　　　　　七倍以上边法同(用方根表/甚简易)
　　　　　以量分　任取甲乙度为直角方形之一
　　　　　边求倍则于甲乙引至丁截乙丁倍于甲
　　　　　乙次平分甲丁于戊戊心甲界作半圈从
　　　　　乙作乙己垂线截圈于己即己乙线为二

　百容形之一边(六卷二/十六增)求三倍则乙丁三倍于甲乙四
　倍以上法同于尺上从心取甲乙又从心取乙己等线
　成分面线
　试法　元线为一正方(直角方形/省曰正方)之边倍之得四倍容
　方之边否即不合三倍之得九倍容方之边四倍得十
　六五倍二十五又取三倍之边倍之得十二再加倍得
　二十七倍之边再加倍得四十八倍之边再加倍得七
　十五倍之边若五倍容形之边倍之得二十倍容形之
　边再加倍得四十五倍容形之边再加倍得八十倍容

　形之边(本边之论见几/何六卷十三)
　　　　　　　　用法一　有同类之几形(方圆三边/多边等形)
　　　　　　　　(容与容之比例若边与/边其理具几何诸题)　欲并而成
　　　　　　　　一同类之形其容与元几形并之容
　　　　　　　　等如正方大小四形求作一大方其
　　　　　　　　容与四形并等第一形之容为二二
　　　　　　　　形之容为三三形之容为四有半四
　　　　　　　　形之容为六又四之三其法从心至
　　　　　　　　第二点为两腰以第一小形之边为

　　　　　　　　底置尺次并四形之容得十六又四
　　　　　　　　之一以为两腰取其底为大形边其
　　　　　　　　容与四形之容并等　若无容积之
　　　　　　　　比例但设边如甲乙丙丁四方形其
　　　　　　　　法从心至尺之第一点为两腰小形
　　　　　　　　甲边为底置尺次以乙形边为度进
　　　　　　　　退取等数得第二点外又四分之三
　　　　　　　　即书二又四之三次丙形边为度得
　三又五之一丁形边得四又六之五并诸数及甲形一

　得十又二十之十九向元定尺上进退取等数为底即
　所设四形同类等容之一大形边(此加形/之法)
　用法二　设一形求作他形大于元形几倍法曰元形
　　　　　　　边为底从心至第一点为腰引至所求
　　　　　　　倍数点为大腰取大底即大形之边(此/乘)
　　　　　　　(形之/法)
　　　　　　　用法三　若于元形求几分之几以元
　　　　　　　形边为底命分数为腰退至所求数为
　　　　　　　腰取小底即得　如正方一形求别作

　一正方其容为元形四之三以大形边为底第四点为
　腰(即命/分数)次以第三点为腰(即得/分数)得小底即小形边(此除/形之)
　(法若设一形之积大而求其若干倍小而求/其若干分则以原积当单数用第一线求之)
　用法四　有同类两形求其较或求其多寡或求其比
　例若干法曰小形边为底为一点为腰置尺以大形之
　边为度进退就两等数以为腰得两形比例之数次于
　得数减一所馀为同类他形之一边此他形为两元形
　之较　如前图小形边为一大形边为六其比例为一
　与六则从一至六为较形边(此减形/之法)

　用法五　有一形求作同类之他形但云两形之容积
　若所设之比例法曰设形边为底比例之相当率为腰
　次他率为腰取其底为他形之边
　　　　　　　用法六　有两数求其中比例之数法
　　　　　　　曰先以大数变为线变线者于分度线
　　　　　　　上取其分与数等为度也以为底以本
　　　　　　　线上之本数为腰置尺次于小数上取
　　　　　　　其底线变为数变数者于分度线上查
　　　　　　　得若干分也此数为两元数中比例之

　数　如前图二与八为两元数先变八为线以为底以
　本线之第八点为腰置尺次于第二点上取其底线变
　为四数则二与四若四与八也　若设两线不知其分
　先于分度数线上查几分法如前
　用法七　有长方求作正方其积于元形等法曰长方
　　　　　　　两边变两数求其中比例之数变作线
　　　　　　　即正方之一边与元形等积
　　　　　　　用法八　有数求其方根设数或大或
　小若大如一千三百二十五先于度数上取十分为度

　以为底以本线一点为腰即一正方之边其积一百次
　求一百与设数之比例得十三倍又四之一以本线十
　三点强为腰取其底于度线上查分得三十五强为设
　数之根
第三更面线
　分法　如有正方形欲作圆形与元形之积等置公类
　之容积四三二九六四以开方得六五八正方边也以
　开三边形之根得一千为三边等形之一边开五边之
　根得五○二六边形之根为四○八七边形之根为三

　　　　　　　　　　　　　　四五八边形之根为
　　　　　　　　　　　　　　二九九九边形之根
　　　　　　　　　　　　　　为二六○十边形之
　　　　　　　　　　　　　　根为二三七十一边
　形之根为二一四十二边形之根为一九七圆形之径
　为七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末
　取各数加本类之号(言平形者冇法之/形各边各角俱等)
　用法一　有异类之形欲相并先以本线各形之边为
　度以为底以本类之号为腰置尺取正方号之底线别

　书之末以各正方之边于分面线上取数合之而得总
　　　　　　　　　边　假如甲乙丙三异类形欲相
　　　　　　　　　并先以三边号为腰甲一边为底
　　　　　　　　　置尺取正方号四点内之底向分
　　　　　　　　　面线上用十数为腰正方底为底
　　　　　　　　　于甲形内作方底线书十次五边
　　　　　　　　　号为腰乙一边为底如前取正方
　　　　　　　　　底向分面线得二十一半即于乙
　　　　　　　　　形内作方底线书之次圆号为腰

　径为底如前得十六弱并得四十七半弱　若欲相减
　则先通类如前法次于分面线上相减(用上/图)
　用法二　有一类之形求变为他类之形同积以元形
　边为度以为底从心至本号点为腰置尺次以所求变
　形之号为腰得底即变形边
　用法三　凡设数求开各类之根先于分面线求正方
　之根次以方根度为底本线正方号为腰置尺则所求
　形之号之底线即元数某类之根(有法之平形其边可/名为根与方根相似)
　用法四　若异类形欲得其比例与其较则先变成正

　方依分面线求之
第四分体线
　线不平分分法有二一以算一以量
　以算分　从尺心任定一度为甲乙十平分自之又自
　　　　　　　　　　　　　　　　之得积一千即
　　　　　　　　　　　　　　　　定其线为一千
　　　　　　　　　　　　　　　　即体之根今求
　　　　　　　　　　　　　　　　加一倍积体之
　根倍元积得二千开立方根得十二又三之一即于甲

　乙加二又三之一为甲丙乃倍体之边求三倍开三千
　数之立方根以上同
　又捷法取甲乙元体之边四分之一加于甲乙元边得
　甲丙即倍体边又取甲丙七分之一加于甲丙得甲丁
　乃三倍体之边取甲丁十分之一加于甲丁得甲戊乃
　四倍体之边再分再加如图
　
　
　试置元体之边二十八四之一得七以加之得三十五

　法曰两根之实数即用再自之数为一与二不远盖二
　十八之立实为二一九五二倍之为四三九○四比于
　三十五倍体边之实四二八七五其差才○一○二九
　约之为一千四百五十二分之一不足为差若用三十
　六之四六六五六其差为远　又加倍体七之一得再
　倍体之边三十五又七之一七之一者五也以加之得
　四十其实为六四○○○元积再倍之数为六五八五
　六较差才○一八五六或三十五之一可不入算也若
　用四十一根之实六八九二一其差为远

　又试倍边上之体为体之八倍即依图计零数至第八
　位为五之四八之七十一之十十四之十三十七之十
　六二十之十九二十三之二十二用合分法合之得一
　二○四二八○之六○八六○八约之为一○七五○
　之五四三四与二之一不远则法亦不远　右两则皆
　用开立方之法不尽数难为定法
　以量分　先如图求四率连比例线之第二盖元体之
　边与倍体之边为三加之比例也今求第二几何法曰
　第二线上之体与第一线上之体若四率连比例线之

　第四与第一假如丙乙元体之边求倍体之边则倍丙
　　　　　　　乙得甲丁以甲丁乙丙作壬己辛庚矩
　　　　　　　形于壬角之两腰引长之以形心为心
　　　　　　　如戊作圈分截引长线于子于午渐试
　　　　　　　之必令子午直线切矩形之辛角乃止
　即乙丙(即辛/庚)午庚子己甲丁(即壬/庚)为四率连比例线用
　第二率午庚为次体之一边其体倍大于元体(详双中/率论)
　若甲丁为乙丙之三倍四倍即午庚边上之体大于元
　体亦三四倍以上仿此　用前法则元体之边倍之得

　八倍体之边若三之得二十七倍体之边四之得六十
　四倍体之边五之得一百二十五倍体之边
　又取二倍体边倍之得十六再倍得一二八倍体之边
　本线上量体任用其边其根其面其对角线其轴皆可
　用法一　设一体求作同类体大于元体几倍法以元
　体边为底从心至第一点为腰置尺次以所求倍数
　为腰得大底即所求大体边　若设零数如元体设三
　求作七以三点为初腰七点为次腰如上法(此乘体/之法)
　用法二　有体求作小体得元体之几分如四分之一

　四分之三等法以元体之边为底命分数之点为腰置
　尺退至得分数为小腰得小底是所求分体边(此分体/之法)
　用法三　有两体求其比例以小体边为底第一点为
　腰置尺次以大体边为底就等数得比例之数也不尽
　则引小体边于二点以下以大边就等数两得数乃上
　可得比例之全数而省零数
　　　　　　　　　　　　　用法四　有几同类之
　　　　　　　　　　　　　体求并作一总体　若
　　　　　　　　　　　　　有各体之比例则以比

　　　　　　　　例之数合为总数以小体边为底一
　　　　　　　　点以上为腰置尺于总数点内得大
　　　　　　　　底即总体边　若不知其比例先求
　　　　　　　　之次用前法(此加体/之法)
　　　　　　　　如图甲乙丙三立方体求并作一大
　　　　　　　　立方体其甲根一乙三又四之三丙
　六并得十又四之三以甲边为底本线一点以上为腰
　置尺向外求十又四之三为腰取底为度即所求总体
　之根

　用法五　大内咸小所存求成一同类之体　先求其
　比例次以小体边为底比例之小率点以上为腰置尺
　次以比例两率较数点上为腰得较底即较体之边(此/减)
　(体之/法)
　用法六　有同质同类之两体得一体之重知他体之
　重盖重与重若容与容先求两体之比例次用三率法
　某容得某重若千求某容得某重若干(同质者金铅银/铜等同体者方)
　(圆长/立等)
　用法七　有积数欲开立方之根　置积与一千数求

　其比例次于平分线上取十分为底本线一点以上为
　腰置尺次比例之大率以上为腰得大底于平分线上
　取其分为所设数之立方根如设四万则四万与一千
　之比例为四十与一如法于四十点内得大底线变为
　分得三十四强　若所设积小不及千则以一分为底
　一点或半点或四之一等数为腰置尺设数内求底而
　定其分若用半点用所设数之一半用四之一亦用设
　数四之一盖算法通变或倍或分不变比例之理
　用法八　有两线求其双中率(线数/同理)如三为第一率二

　十四为第四率求其比例之中两率　法求两率之约
　数得一与八以小线为底一点以上为腰置尺次八点
　以上为腰取大底即第二率有第二第四依平分线求
　第三
第五变体线
　变体者如有一球体求别作立方其容与之等
　分法　置公积百万依算法开各类之根则立方之根
　为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一
　二八半十二等面体之根为五十二十等面体之根为

　　　　　　　　　　　　　　七六　圆球之径为
　　　　　　　　　　　　　　一二六　因诸体中
　　　　　　　　　　　　　　独四等面体之变最
　大故本线用二百○四分平分之从心数各类之根至
　本数加字(开根法见测/量全义六卷)
　用法一　有异类之体求相加以各体之边为度以为
　底本线本类之点以上为腰置尺次从立方点内取底
　别书之各书讫依分体线法合之
　用法二　有异类之几体求其容之比例先以各体变

　而求同容之立方边次于分体线求其比例乃所设体
　之比例若知一体之容数因三率法求他体之容数
第六分弦线
　亦曰分圈线　分法有二
　一法　别作象限圈分令半径与本线等长分弧为九
　　　　　　　　　　　　　　　　　十度名作识
　　　　　　　　　　　　　　　　　从一角向各
　　　　　　　　　　　　　　　　　识取度移入
　　　　　　　　　　　　　　　　　尺线从尺心

　起度各依所取度作识加字　若尺身大加半度之点
　可作一百八十○度若身小可六十度或九十度止
　乂法　用正弦数表取度分数半之求其正弦倍之本
　线上从心数之识之(如求三十度弦即其半十五度之/正弦为二五九倍之得千分之五)
　(一九为三十度/之弦从心识之)
　用法一　有圈径设若干之弧求其弦以半径为底六
　十度为腰置尺次以设度为腰取底即其弦移试元圈
　上合其弧　反之有定度之弦求元圈径以设弧之弦为
　底设度为腰置尺次取六十度为腰取底即圈之半径

　用法二　有全圈求作若干分法以半径为底六十度
　(其弦即/半径也)为腰置尺命分数为法全圈为实而一得数为
　腰取底试元圈上合所求分(此分圈/之法)　约法本线上先
　定各分之点如百二十为三之一九十为四之一七十
　二为五之一六十为六之一五十一又七之三为七之
　一四十五为八之一四十为九之一三十六为十之一
　三十二又十一之八为十一之一三十为十二之一各
　加字
　用法三　凡作有法之平形先作圈以半径为底六十

　度为腰置尺次本形之号为腰取底移圈上得分
　用法四　有直线角求其度以角为心任作圈两腰间
　之弧度即其对角之度(有半径有弧/求度如左)
　用法五　有半径设弧不知其度法以半径为底六十
　度为腰置尺次以弧为度就等数作底其等数即弧度
　反之设角度不知其径及弧求作图其法先作直线一
　　　　　　　　　　　　　界为心任作圈分以截
　　　　　　　　　　　　　线为底六十度之弦线
　　　　　　　　　　　　　为腰置尺次于本线取

　设度之弦线为腰得底以为度从截圈点取圈分即设
　度之弧再作线到心即半径成直线角如所求
　因此有两法可解三角形省布数详测量全义首卷
第七节气线
　一名正弦线
　分法　全数为一百平分尺大可作一千用正弦表从
　　　　　　　　　　　　心数各度之数每十度加
　　　　　　　　　　　　字　如三十度之正弦五
　　　　　　　　　　　　十则五十数傍书三十二

　度之正弦五则五数傍书三
　简法　第一平分线可当此线为各有百平分则一线
　两旁一书分数字一书度数字
　用法一　半径内有设弧求其正弦以半径为底百为
　腰置尺次以设度为腰取底即其正弦
　用法二　凡造简平仪平浑日晷等器用此线甚简易
　如简平仪之干盘周天圈其赤道线左右求作各节气
　线先定赤道线为春秋分次于弧上取赤道左右各二
　十三度半之弧两弧相向作弦以其半弦为底本线百

　数为腰置尺次数各节气离春秋分两节之数寻本线
　之相等数为腰取底为度移赤道线左右两旁作直线
　与相对之节气相连为各节气线(或于赤道线上及二/至线上定时刻线之)
　(相距若/干亦可)　如欲定立春立冬立夏立秋(因四节离赤道/之度等故为公)
　(度/)法曰立春至春分四十五度则取本线四十五度内
　之㡳线移于仪上春分线左右　若欲定小暑小寒之
　线离秋分春分各七十五度则取七十五度内之底线
　为度移二分线左右得小暑小寒之线
第八时刻线

　一名切线线
　分法　切线之数无限为九十度之切割两线皆平行
　无界故今止用八十度于本线立成表上查八十度得
　　　　　　　　　　　　五六七即本线作五六七
　　　　　　　　　　　　平分次因各度数加字(一/度)
　　　　　　　　　　　　(至十五切线正弦微差/尺上不显可即用正弦)
第九表心线
　一名割线线
　分法　此线亦止八十度依表查得五七五平分之其

　初点与四十五度之切线等(初点即全/数故等)次依本表加之
　用法一　有正弧或角欲求其切线或割线法以元圈
　之半径为底切线线四十五度之本数为腰割线线则
　以○度○分为腰置尺次以设度为腰取底为某度之
　切线割线　反之有直线又有本弧之径欲求设线之
　弧若干度以半径为度以为底设弧之度数为腰置尺
　又设线为底求本线上等数即设线之弧
　用法二　表度说以表景长短求日轨高度分今作简
　法用切线线凡地平上立物皆可当表以表长为底本

　　　　　线四十五度上数为腰置尺次取景长为底
　　　　　求两腰之等数即日轨高度分　若用横表
　　　　　法如前但所得度分乃日离天顶之度分也
　　　　　安表法见本说
　　　　　　　　用法三　地平面上作日晷法先作
　　　　　　　　子午直线卯酉横线令直角相交从
　　　　　　　　交至横线端为底就切线线上之八
　　　　　　　　十二度半为腰置尺次于本线七度
　　　　　　　　半点内取底为度向卯酉线交处左

　左各作识为第一时分次递加七度半取底为度如前
　递作识为各时分(每七度半者加七度半十五度二十/二度半三十度三十七度半四十五)
　(度五十二度半六十度六十七/度半七十五度八十二度半)若求刻线则递隔三度
　四十五分而取底为度也次于元切线上取四十五度
　线(四十五度之/切线即全数)为底割线初点为腰置尺次以本地北
　极高度数为腰于本线上取底为表长于子午卯酉两
　线之交正立之又取北极高之馀度线为度于子午线
　上从交点起向南得日晷心从心向卯酉线上各时分
　点作线为时线在子午线西者加午前字如己辰卯在

　　　　　　　　子午线东者加午后字如未申酉
　　　　　　　　日晷图说　子午卯酉两线相交于
　　　　　　　　甲甲酉为度以为底以切线之八十
　　　　　　　　二度半为腰置尺递取七度半之底
　　　　　　　　向甲左右作识如甲乙甲丙次取十
　五度线之底作第二识如甲丁甲戊每识递加七度半
　每识得二刻则丁点为午初戊为未初馀点如图　次
　取甲己线上四十五度之切线为底割线之初点为腰
　置尺取北极高馀度(顺天府/约五十)之割线为度从甲向南取

　辛辛为心从心过乙丁等点为线为时刻线又割线上
　取北极高度之线(顺天府/约四十)为表长即甲庚也表与面为
　垂线(立表法以表位甲为心任作一圈次立表表末/为心又作圈若两圈相合或平行则表直矣)
　用法四　先有表度求作日晷则以表长为底割线上
　之北极高度为腰置尺次以极高馀度为腰取底为度
　定日晷之心次用元尺于切线上取每七半度之线如
　前(凡言表长以垂/表为主或垂线)
　用法五　有立面向正南作日晷法如前但以北极高
　度求晷心以北极高之馀度为表长(又平晷之子午线/为此之垂线书时)

　(创以平晷之卯为/此之酉各反之)
　用法六　若立面向正东正西先用权线作垂线定表
　处即晷心从心作横线与垂线为直角　若面正东于
　横线下向北作象限弧若面正西于横线下向南作弧
　弧上从下数北极高之馀度为界从心过界作线为赤
　　　　　　　　道线又以表长为底切线线上之四
　　　　　　　　十五度为腰置尺递取七度半之线
　　　　　　　　从心向外于赤道上各作识从各识
　　　　　　　　作线与赤道为直角则时刻线也其

　过心之线向东晷为卯正线向西晷为酉正线　若欲
　加入节气线法以表长为度从表位甲上取乙点为表
　心从心取赤道上各时刻点为度以为底以切线线之
　四十五度为腰置尺又以二十三度半为小腰取小底
　　　　　　　　　　　为度于各时刻线上从赤道
　　　　　　　　　　　向左向右各作识为冬夏至
　　　　　　　　　　　日景所至之界　如上图甲
　　　　　　　　　　　乙为卯酉正线以表长为度
　　　　　　　　　　　从甲取乙为表心以切线上

　之四十五度为腰甲乙为底置尺又以二十三度半为
　小腰取小底于本线上从赤道甲向左向右各作识即
　卯酉正时冬夏至之景界　次从表心向卯酉初刻线
　取赤道之交丙点为底切线之四十五度为腰置尺以
　二十三度半为小腰取小底于丙左右各作识为本时
　冬夏至之景界次于各时线如上法各作二至景界讫
　联之为本晷上冬夏二至之景线　次作二至前后各
　节气线以节气线之两至点为腰(即鹑首之次西/历为巨蟹宫)以各
　时线上赤道至两至界为底置尺次以各节气为小腰

　取小底为度从各线之赤道左右作识如前法
第十五金线
　分法用下文各分率及分体线
　置金一度(下方所列者先造诸色体大小同/度权之得其轻重之差以为比例)
　　水银一度又七十五分度之三十八
　　铅一度又二十三分度之一十五
　　银一度又三十一分度之二十六
　　铜二度又九分度之一
　　铁二度又八分度之三

　　锡二度又三十七分度之一
　先定金之立方体其重一觔为一度本线上从心向外
　任取一点为一度即是金度次以分体线第十点为腰
　此度为底置尺依各色之本率于分体线上取若干度
　分之线为底从心取两等腰合于次底作点即某色之
　度点
　又法　取各率之分子用通分法乘之
　得金四五九五九二五
　　水银六九二四五二七

　　铅八六二七四○○
　　银八四三一二一二一七
　　铜九○○一四○○
　　铁一○九一四○七五
　　钖一一七九九○○○
　次以各率开(立/方)求各色之根
　得金一六六弱
　　水银一九一弱
　　铅二○二

　　银二○四
　　铜二一三
　　铁二二二
　　锡二二八
　若金立方重一斤其根一百六十六弱用各色之根率
　为边成立方即与金为同类(皆为/立方)同重(皆为/一斤)之体
　今本线用此以二二八为末点如各率分各色之根数
　加号(石体轻重不等/故不记其比例)
　用法一　有某色某体之重欲以他色作同类之体而

　等重求其大小法以所设某色某体之一边为度以为
　底以本线本色点为腰置尺次以他色号点为腰取底
　即所求他体之边
　用法二　若等体等大求其重法以所设体之相似一
　边为度以为底置尺于他色号点取其底两底并识之
　次于分体线上先以设体之重数为腰以先设体之底
　为底置尺以次得他体之底为底进退求相等数为腰
　即他体之重
　用法三　有异类之体求其比例先依更体线通为同

　类次如前法
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　新法算书卷二十一