钦定四库全书
　新法算书卷十八　　　　明　徐光启等　撰
　　浑天仪说卷三
　　　立象
立象者何任所得时刻应何宫度依之以推定十二舍也
　而各舍所当居之度分并经纬诸曜皆从本度起算则
　此因时之变得天之容乃占验所繇以生第此中𦂳要
　在定每舍之初界(即初/度)举所应得分数绘以方图或圆
　形随点入星曜即浑天之象成矣法依本北极高安球

　以本日躔度与时盘午正较对始转球与盘将先所得
　时刻居子午圈下而本球宛然一当时之天象次于西
　地平识同居之赤道度并得相应之黄道度即第七舍
　初界次起半圈至赤道上距三十度之限所得黄道度
　乃第八舍初界递起递加尽得地平上各舍初界而地
　平下诸舍则以黄道相对处可定如一与七二与八三
　与九四与十五与十一六与十二之类是也假如崇祯
　九年正月十五日辛酉晓望月食顺天府食甚在卯正
　一刻二分日躔在娵訾宫一度五十三分因此时求各

　舍躔度先以日躔对时盘午正依法转仪得西地平交
　赤道一百五十度交黄道鹑火宫一十三度此即七舍
　初界正对东地平得玄枵宫一十三度为第一舍初界
　(即命/宫是)上居天中得析木宫二度为第十舍初界正下得
　实沈宫二度为第四舍初界半圈交赤道一百八十度
　(距前数/三十度)得黄道寿星宫初度为第八舍初界正对之降
　娄初度起第二舍又以半圈交赤道二百一十度得大
　火宫九度为第九舍正对之大梁九度即第三舍后移
　半圈至子午圈之东得析木宫二十度为第十一舍星

　纪一十度为第十二舍而正对处即实沈鹑首相等之
　处为第五及第六舍因而上下左右四角(四角占验/最得力处)定
　矣复求纬星所居之舍或依表预算或径用推定七政
　细行则以本北极高及本时刻取各曜相应度分入其
　舍若星近舍初界有距度或可入前舍中必先以黄经
　纬安球上随以本曜所居之处求于本舍而以前所立
　象定球渐移半圈如法起舍乃星入前后界内者即得
　本舍是也若地平下各舍之星法起南极于架上与北
　极等高移前第一舍之初界至西地平而天容在地平

　下者反居地平上即得诸曜本舍之界如以鹑火十三
　度交西地平至寿星初度总弧内得前月食惟木星与
　太阴略近查丙子年七政细行食甚时木星躔鹑火二
　十九度五十七分而火星则躔大火三度三十分应入
　八舍土星躔星纪一十一度三十分纬北三十四分必
　在十二舍之初界太阳金水二星皆在娵訾宫因同入
　命舍其土星依本经度惟纬北三十四分故得在十二
　舍之初界若距黄道北或一度半或二度试以舍圈限
　之必其已入十一舍因近顶纬多故也求恒星法同此

　盖此象一立则凡各曜性情势力强弱可考而知穷理
　之家借以观变于未然鲜有不验者(其法详天/文卷中)
　　　求两星于立象圈上相合之时
凡两星本各无力一合即增力此实足为所立象损益之
　原也故以初得某星某宫度主人生命等事者安东地
　平(依本地/北极高)即应查其与某星相合否盖转立象圈于球
　面上下得二星在通径上即命星在地平时其星必合
　否则令球与立象圈各自那转后求其当合时法必得
　二星能如此合遂识赤道交子午圈度次移本日躔度

　合子午圈并识其同居赤道度乃以前赤道交度减后
　赤道交度馀度化为时刻即得二星应合之时如极高
　四十度一星在鹑尾宫二度距纬南三度又一星在本
　宫四度距纬北一度本日躔鹑首宫七度试转仪并半
　圈见子午圈西未合必过东近地平方可得合而合时
　赤道则以七十五度交子午圈便移日躔至子午圈下
　得同居赤道九十七度为前度所减(先借全/周后减)馀三百三
　十八度化为时得二十二时二刻四分即二星去午时
　后合圈下之限

　　求经纬星相照度
凡两星相照增力或阻力多以向黄道为准大约有五等
　如会合即同度同分为密而同度不同分者则谓之疏
　六照以六十度为界四照止于一象限三照以四宫相
　距而云然望照则以正相对而得半圈之距乃此数照
　又各有亲或远者盖星体居正照之界即亲而力强若
　体未正居其界而第以光居之即远而力弱至若光之
　前后虽同而各星所定之限有异如土得十度(前十/后十)木
　十二度火八度太阳十七度金水皆七度太阴复十二

　度经星凡第一等有七度三十分二等五度三十分三
　等三度三十分四等一度三十分五六等最微力弱不
　入其数总之除会望二照馀皆以顺十二宫为左照逆
　十二宫为右照试于仪上考之法用规器量黄道上任
　取一照之界(六十九/十等度)以星为心于黄道左右分顺与逆
　照之限假如求大角四照以九十度为限将规一锐居
　本星体一锐指左界九十度必至星纪十七度为顺照
　指右界九十度必至鹑首十七度为逆照若七政必先
　依各经纬度安其本位馀法同前又一法用立象半圈

　先依北极出地安球任取本时升度居地平乃移半圈
　径过其星依之于赤道上作识后转球从前所识赤道
　度相距三四等照界仍移半圈其上所指黄道度即星
　照所至界也假如升度在寿星十六度求轩辕大星六
　照限必移升度于东地平立象圈过星指赤道一百三
　十八度复加六十度应一百九十八度居立象圈即并
　得寿星宫十六度居本圈为轩辕大星六照之左限其
　右限则以反减六十度为法
　　　求岁旋

凡从前所取时刻至太阳复躔元度分其中相去总数谓
　之岁旋盖依后时所立象较前象所得七政等星居舍
　内应增或阻前星之力即效验所繇变也法令球依前
　立象之时定住视赤道交子午圈若干度为前象天中
　升度今越若干年复求后象天中之升度必每去一岁
　加八十八度四十九分满全周则去之馀数即后象赤
　道交子午圈度使之于本圈正合可得天容依岁旋之
　时因以定各舍宫度而各星安舍法亦同前假如崇祯
　元年正月酉正时立前象因太阳躔玄枵一十六度一

　十九分依法转球令时盘酉正交子午圈得赤道交本
　圈之升度为五十度设相去八年复立象为崇祯八年
　十二月二十九日(太阳躔/元度是)则以八乘八十八度四十九
　分去全周馀四十度三十三分为后象之升度移居子
　午圈得本圈指酉初二刻为岁旋之时如用立成表细
　求即后岁中先查太阳躔元度分之日为岁旋终之日
　次以后象升度减太阳是日之升度(不足减借/全周减之)馀数化
　为时刻分即得当日立象之时刻焉假如因十二月二
　十九日太阳躔元度为岁旋终之日其升度三百一十

　八度四十八分后象升度四十度三十三分不足减借
　全周共得四百度三十三分减去前数馀八十一度四
　十五分化为五小时一刻一十二分(从午正/起算)
　　　加升度表
　
　
　
　

　
　　　引照元与增力元相合
凡初得某星某宫居某舍因之以占所效是谓照元设更
　有一星或一宫所居舍能增力或阻前效即谓为增力
　元二元必各依定时著力乃就中求以前者至后之位
　或反以后者至前之位俱依赤道弧相应二元之距为
　限转球查其弧之大小为引则一度应一年度数既定
　应在何时亦可限矣故引后至前以顺宗动为正而引
　前至后则因五纬逆行时用之遂名曰反引皆于球上

　可得正引者何转球先依天象安定令黄道应第一舍
　初界之度正居东地平次查照元移象圈径过其上并
　识赤道合子午圈度又转球右行以增力元至半圈复
　识赤道交子午圈度则先后所识之间弧乃指正引限
　而总数可推年时也欲反引安球令之转同前惟立象
　圈宜先径过增力元复识转球时赤道过子午圈弧因
　以定其中相去之年假如北极高四十度设大梁十度
　在第一舍初界太阴离黄道娵訾二十度距北二度为
　照元火星近东地平躔大梁六度距南三度为增力元

　必先依各经纬度带二曜于球上然后令象圈过太阴
　处所交赤道点约为三百五十二度(用本圈与用/子午圈同)次定
　住象圈移火星与本圈正对约得赤道交圈点为二十
　八度以所得前后度相减馀中弧为三十六度即正引
　之限求反引法亦同但引限在地平下必先起南极依
　北极出地度令黄道第一舍初界之度正居西地平馀
　法同前(见前第/二卷)
　　　求引二元应止黄道何度
因照元渐离初得之象圈乃更有黄道相应故任至某年

　亦可求其相应度法先安球依本象令象圈与照元合
　随查赤道交子午圈度因之顺或逆取本度与年数所
　止限移至子午圈必此时交象圈黄道度即其年所引
　照元止限也如北极高四十度设寿星十六度东出太
　阳躔玄枵六度为照元依去四十二年之数复求躔度
　因安寿星十六度于本地平安象圈于鹑火六度(与玄/枵对)
　(度因后在/地平下故)得子午圈交赤道一百一十度以加四十二
　度依之应一百五十二度交子午圈得象圈交鹑尾一
　十六度即娵訾一十六度(正对宫/度是)为照元去四十二年

　所至限若照元自居四角不必用象圈依所取年数转
　球复居本角黄道度即照元所止度设寿星十六度为
　照元而出地平者亦即此度则得地平交赤道二百零
　一度令球右转以赤道四十三度至地平则所并居之
　大火十九度即为照元任取之年后止限又设增力元
　亦居地平等角即以同居赤道度减年数之度所止限
　复移至地平等角亦即得黄道交地平等角为其当年
　所至之限或增力元不正居角仍用象圈与之交并识
　其所过赤道度减总年数馀度限移至本象圈复得并

　交黄道度为增力元当年之限也
　　　依浑仪解圆线三角形
圆线三角形者何乃过球心大圈相交三弧之形而各弧
　不及圈之半周所成也盖形内每两弧共抱一角在间
　者谓之腰弧而与角相对之弧即底弧或又谓直角三
　角形内以所抱直角弧为底弧及垂弧即与勾股不异
　而以所正对直角者为弦弧论角其大小以对弧之大
　小为则盖用规器以本角为心以九十度为界则两腰
　间之弧(腰先/引长)必量其角得本弧为一象限即对角为直

　角过象限为钝角不及象限乃为锐角凡弧或角不及
　满象限之度名之为馀又凡两腰引长至合一点则得
　抱角之对三角形以底弧为公底以对角为等角而馀
　弧馀角皆前三角形所不及满一百八十度之馀弧馀
　角者也因止一直角三角形得馀皆钝角者则与直角
　正对之形内腰间角必直馀反皆锐也如止一直角三
　角形得馀一钝一锐者则与锐角正对之形内惟前形
　直角相连之角为直角馀皆锐角也如图乙戊丙形内
　设戊为直角乙丙皆钝角即其对形乙甲丙内得甲为

　　　　　直角乙丙皆锐角也又丁丙戊形内设丙为
　　　　　锐角戊直角丁钝角即其对形为丁巳戊而
　　　　　戊角独直丁巳皆锐角论斜角形如三角总
　　　　　为锐角必对形独存一锐角馀皆钝角也设
　　　　　乙甲丙形内甲为锐角即得对形乙戊丙内
　戊亦为锐角乙丙皆钝角如三角总为钝角乃对形反
　存一钝角馀皆锐角也设乙戊丙形内戊为钝角即乙
　甲丙内甲亦钝角今解三角形法多论不及一象限之
　弧即锐角之底是也因以斜钝角形先变为锐角形以

　直角形有一或二钝角者亦先改为对形则就中推求
　之法与解原形不异即馀弧馀角之理所繇出也今用
　浑天仪解之亦仿此但先解直角形尽之于三比法有
　以先得一锐角并与各弧者又馀锐角复并与各弧者
　又以其底同各腰或并得二腰者各列法如左
　　　任取一弧一锐角求馀弧及馀角
设甲乙丙三角形内甲为直角其底乙丙馀弧即腰则乙
　与丙皆锐角也先设得乙丙直角之底弧及乙角欲求
　馀尽解本三角形法架内北起子午圈令赤道前高依

　　　　　本角之度然后或东或西自赤道交地平处
　　　　　与本地平查底多寡之度以为限移过极圈
　　　　　至此限上即三角形仪上定矣如乙角为二
　十三度半以前子午圈弧为则使赤道依之其左右交
　地平角即得对弧以定大小今甲为直角必于赤道交
　过极圈处求之则地平上得底若设乙丙底弧为六十
　度而移过极圈至本度(从乙角/算起)因大腰在赤道弧约为
　五十八度小腰在过极圈弧为二十度有半自过极圈
　交地平查各圈满一象限即以其限安高弧得二圈间

　之弧为丙锐角之对弧约七十八度又设以小腰及本
　角求馀弧及馀角即先定角等法同前而以所先得甲
　丙弧(如二十/度半)与过极圈上为点移之至交地平必自得
　腰与底弧合前度即丙角亦在高弧同矣或以大腰查
　求其馀亦先定乙角而转仪以渐进赤道弧入地平令
　自其二圈相交之处独馀五十八度至过极圈交赤道
　之角必馀法馀度亦合前也今试以三弧各与丙角为
　先得如底为六十度求馀弧馀角法移过极圈至地平
　距子午东或西三十度(六十度/馀是)定住球使高弧距二圈

　相交之处各满一象限得间弧为七十八度即所设之
　形准否则宜前或后起子午圈必令高弧对丙角如其
　度为止即子午圈自地平以上得对乙角之弧而直角
　两腰皆明矣或设先得大腰与丙角必进或退赤道圈
　定其腰之大小(如五十/八度)即安高弧而起子午圈依前法
　求馀弧及馀角也或以小腰及丙角求馀即先于过极
　圈查腰弧大小之度使之交地平以试高弧得全形盖
　对角弧不及其度即球宜北起过极圈宜南下若对弧
　已过其度则球反宜南起随移过极圈东西得正然后

　馀角馀弧皆依前法准得矣任取一腰一底或二腰求
　馀弧及诸角先设得小腰与底弧皆依前度法令球转
　东或西以过极圈限底弧之度(如六/十度)视本过极圈自赤
　道至交地平弧若正合其度(如二十/度半)即三角形已定否
　则前后起仪求小腰务合于地平乃所对大腰亦复得
　五十八度而查乙角丙角必同前又设得大腰与底弧
　亦先定底弧度渐起球或下令之左右转以并对大腰
　度即小腰亦自合而求角必依前法也或复设得二腰
　求底与角即先定大腰令球下或起即得馀腰与底而

　求角亦不异前也
　　　解斜角三角形总为六题
其一曰以二腰及间角求底弧及馀角如甲乙丙三角形
　内丙为钝角甲乙皆锐角设先知甲角(即间/角)则乙丙为
　　　　　底馀弧皆腰也如甲角为三十度大腰六十
　　　　　度小腰止五十度法于子午圈查距极(南北/不拘)
　　　　　六十度之弧移其限于天顶次用过极圈令
　距子午圈左或右而以赤道三十度为限末安高弧东
　西必依极圈所居方位令之交极圈距极限五十度即

　三角全形定矣大都子午圈为大腰极圈为小腰高弧
　为底因而如前图得乙丙底为二十六度有半乙角以
　地平为对弧在子午圈及高弧之间得五十九度有半
　所馀丙钝角欲求其对弧未免再移球故先依高弧于
　球面上界线后转极圈令交高弧之点正居子午圈下
　而并其子午圈起之以当天顶乃复依先界之线安高
　弧而以至地平为限则此限及子午圈之中弧即丙馀
　角之对弧为一百八十度所减存得丙角一百零三度
　若用浑仪求之线宜界于黄道上或高弧本位不与黄

　道遇即于未转极圈之先移高弧于正对地平度所遇
　多寡度界线其上馀法同前而所得弧即正丙钝角之
　对弧也其二曰以二弧及先所得一弧之对角求馀弧
　馀角如前图设先得甲乙弧六十度乙丙二十六度半
　　　　　及丙角一百零三度法起子午圈以二十六
　　　　　度半为距极之限令之居天顶则自极至顶
　　　　　得乙丙弧将秋分经圈西距子午圈十三度
　(依赤道/为则)或将春分经圈东距十三度则自二至经圈至
　子午圈其中得赤道弧为一百零三度乃丙角之对弧

　也又安高弧使之以六十度(自顶/下数)交过至经圈即以高
　弧得甲乙以经圈得甲丙而甲乙丙形全矣今查甲丙
　必为五十度乙角则自高弧至子午圈在地平上必五
　十九度半所馀甲角因依高弧于黄道上界线然后移
　经圈交高弧之点以正居天顶而依界线复安高弧得
　交地平至子午圈之中弧为三十度或不移球止安高
　弧于地平正对之处用规器于前交经圈及高弧一象
　限之界量二圈所距亦必得三十度为甲角之度也设
　反得甲丙五十度乙丙二十六度半及甲角三十度以

　求馀弧馀角法起子午圈令距极五十度之限在天顶
　次转仪使过极圈距子午圈之东或西依赤道上三十
　度为则即于高弧自顶而下数至二十六度半以之交
　经圈即得馀弧于本圈为六十度而高弧在地平上其
　距子午圈一百零三度乃为丙角之对弧仍依高弧在
　黄道上作线令前交之经圈六十度居顶用高弧顺线
　下至地平必得五十九度半即形内乙角也其三曰以
　二角及先所得一角之对弧求馀角馀弧设甲乙丙形
　先得乙角为十度半丙角为一百五十四度半又得甲

　丙弧对乙角为二十三度半宜求甲角与甲乙及乙丙
　　　　　弧但既先得甲丙对乙角之弧亦应知甲乙
　　　　　对丙角之弧过象限否今使过象限法查经
　　　　　圈左右赤道上之十度半令之正居子午圈
　随于地平上从北去南查一百五十四度半以之安高
　弧因而起或下子午圈必视其所交经圈之点距北极
　出象限外乃并视经圈所交高弧之点必距天顶二十
　三度半一得距度准即本形定矣盖乙角在极中经圈
　及子午圈之间与正对赤道得其若干(十度/半)丙角于地

　平(一百五十/四度半)甲乙弧于经圈上约得一百零六度乙丙
　于子午圈上得八十四度半止馀甲角必起高弧与经
　圈所交之点至顶而求其角于地平依前法得其为二
　十七度其四曰以二角及角间之弧求馀角馀弧如前
　形内设甲角为三十度丙角一百零三度甲丙弧为五
　十度法自极中查子午圈上五十度令之居天顶为甲
　丙弧查地平去子午圈北一百零三度以安高弧为丙
　角末以赤道上距经圈三十度之限移居子午圈乃得
　甲角而馀弧自明矣因而高弧上得乙丙为三十六度

　半经圈上得甲乙为六十度若求馀角必起高弧所交
　经圈之点至天顶依前法查之乃得其五曰以三弧求
　诸角设甲乙弧为六十度乙丙为五十度甲丙为二十
　　　　　六度半法使甲乙弧在子午圈出极中至天
　　　　　顶即以之安高弧令以二十六度半(从顶/算)交
　　　　　经圈距极五十度之限必得乙角于赤道圈
　甲角于地平而丙角则起经圈五十度至顶依前法求
　也或使乙丙五十度在子午圈而以高弧安经圈之六
　十度即乙角可在赤道上得丙角则反在地平甲角则

　起球求之法同前其六曰以三角求诸弧设甲角为五
　十九度半乙角为三十度丙角为一百零三度法转经
　圈于子午圈之东或西任取相距三十度或五十九度
　半或一百零三度皆以赤道弧为则必得相应之角在
　经圈过极之处安高弧亦同法盖其交地平距北或三
　十度或五十九度半或一百零三度必皆在地平上算而
　相应之角则在天顶但安高弧必先于地平取准乃于
　天顶未定之时渐起或下仪试二弧远近相交之处以
　对馀角其法或识高弧交经圈之点于顶而地平上试

　所求角正对之弧或用规器从高弧与经圈相交之各
　点距一象限量其二弧所距(必先转高弧于/地平正对度)得合馀角
　即初起之球必准否即更移之总以试定三角后而其
　弧自明矣
　　　依比例原法复解圆线三角形
圆线三角形中之比例总归四原因生四公论以尽解或
　直或斜三角形之理一论曰凡多直角三角形得锐角
　同近底线者以较其弦及垂线之正弦必皆互得比例
　设后图于仪上甲乙丙丁为地平戊为天顶从戊过甲

　　　　　　　　　　　戊丙与庚戊巳皆以直角交
　　　　　　　　　　　地平彼为子午圈此为高弧
　　　　　　　　　　　乙辛丁当赤道圈以直角交
　　　　　　　　　　　子午于辛以斜角交地平于
　　　　　　　　　　　乙于丁盖多三角形中取二
　　　　　　　　　　　形即丁辛丙及丁壬巳乃二
　形中有丁辛与丁壬为弦线辛丙与壬巳为垂线丁丙
　丁巳皆底线锐角在丁依常法以辛癸及壬寅两弦线
　之正弦与辛子及壬丑两垂线之正弦互相较先得三

　线其馀线俱可得矣今用浑仪显之试以二弦线及大
　形中之垂线求小形中之垂线因而设丁辛得九十度
　为赤道一象限丁壬为赤道四十二度之弧辛丙则其
　地平高得四十八度二十五分法移高弧在壬下至地
　平得壬巳弧为三十度二分或安高弧以三十馀度交
　赤道圈即自限小形之弦可并得两弦线欲求大形中
　之垂线则辛丙必为子午圈上之弧自地平至赤道高
　四十八度二十分或以二垂线及大形中之弦线求小
　形中之弦线各依前所定度则自壬高弧交赤道处至

　本赤道交地平丁必得四十二度二论曰凡多直角三
　角形得锐角同近底线者以较其底线之正弦与弦弧
　之切线必皆互得比例如前图三角形同而大形底弧
　之正弦癸丙其切线即卯丙小形底弧之正弦己巳其
　切线为辰巳皆可反复相解或求垂线或底线必以算
　　　　　　　　　　乃得今于浑仪上查之设赤道
　　　　　　　　　　高同前高弧交处亦同前度必
　　　　　　　　　　所得垂线亦不异前若求丁巳
　　　　　　　　　　底线即自赤道交地平至高弧

　切地平之处得其弧为三十度五十馀分因依常法凡
　弦弧之正弦与垂线之正弦得比例可互求而底线之
　正弦较垂线之正弦则否何也盖垂底两弧之正弦各
　圆线形内不能合成一直线三角形故(见前第/一图)用浑仪
　可免直线形止须以圈相交处即得各弧之长短大小
　焉三论曰凡圆线三角形其线之正弦必与对角之正
　弦得正比例如后图设甲乙丙为直角三角形直角在
　丙馀皆锐角各边引长为一象限至壬至戊至丁自丁
　复引象限至子至庚因得乙丁巳斜角三角形今依常

　　　　　　　　法直角形内求甲丙边即因先比之
　　　　　　　　丙角与甲乙或甲角与乙丙推乙角
　　　　　　　　与甲丙之比例求乙角即因甲乙反
　　　　　　　　比之丙角或乙丙与甲角亦算得甲
　丙与乙角又求乙丙应以甲角较推如丙比甲乙同而
　反求甲角应以乙丙边推如甲乙比丙同此反复用八
　线表推求法也若用浑仪即本图内子甲壬自当地平
　必得天顶在丁而子丁壬为子午圈设辛乙戊为赤道
　丁乙丙为黄道或当高弧则直角形中之三边各显于

　本图各有定度可取盖论角则丙角自显为直角以丁
　子弧可徵馀角皆以对弧得则甲角以戊壬乙角以辛
　癸是也试于斜角三角形内先求乙巳边必以丁对角
　推之用乙与丁巳或巳与丁乙之比例求乙巳等角亦
　以对边求之法必同前但查表或疑其所求角应锐与
　否(如查正弦九二七一八应六/十八度并应一百一十二度)必以取准图形为正或
　用天球尤易明盖设丁庚为高弧得丁角于丙庚地平
　弧乙角在两道相交之处必对则在过二至之圈弧巳
　角既为钝角乃左右之边无以定其象限必球上自顶

　顺高弧界线而线交乙巳弧之点移至顶则球一面依
　先界线安高弧必尽于地平一面赤道亦自至地平彼
　此间地平弧即能量定巳角矣四论曰凡圆线三角形
　两边各小于象限先以两边弧自并后又以小边并大
　边之馀弧而即以此后总弧之正弦或减先并总弧之
　馀弦或加其过象限弧之正弦所得线半而用之乃以
　求第三边即前两边间角之矢与他线如全数与前半
　线所复得线为后并弧之正弦所减必馀第三边之馀
　弦或为后并弧之正弦所加亦馀第三边过象限弧之

　正弦若反求角则他线与角之矢如前半线与全数而
　他线亦为后并弧之正弦以内减第三边之馀弦或加
　其过象限弧之正弦所生因此三角形中之两边并较
　象限或等或小或大而各依之以推第三边设角时直
　时斜皆同但推角设边反异盖两边并较象限相等或
　小则设第三边必小于象限独两边并大于象限所设
　第三边亦能大于象限故法虽同临推种种略异此等
　三角形历家无所不用虽加减法若省然亦未免于烦
　欲查浑仪则捷若指掌何也以二边及间角求馀边先

　设两边并与象限等其一为四十七度其一为四十三
　度间角为五十度试于仪上极高四十度即安高弧令
　地平上依间角自南去东距子午圈五十度自顶于高
　弧上查四十三度亦自顶于子午圈馀四十七度得其
　中黄道弧从娵訾宫一十四度至降娄宫一十七度共
　为三十三度即形内馀边也复设两边并小于象限如
　各为三十五度间角与极高同前得三边在中黄道弧
　则自降娄宫九度至大梁宫六度共为二十七度又设
　两边并大于象限如各为六十度馀皆同前得第三边

　在黄道弧自玄枵宫二度至娵訾宫十五度共为四十
　三度若求角即以先所得三边反查高弧及子午圈之
　间角则所得三弧必生五十度之角第原法凡得三边
　小于象限者用其馀弦与后并弧之正弦相减大即以
　其大弧之正弦相加乃仪上亦无二法如黄道自玄枵
　宫一十八度至实沈宫初度共一百零二度为第三边
　其对角当在高弧及子午圈相距之地平上得一百一
　十度此则抱角之二弧并必大于象限也今试以公论
　用仪解日食内所算三角形则凡直角形归一种斜角

　形又归一种其列二等如左
　　　求时圈与地平交角
时圈与赤道经圈及过赤极圈皆一而独以其所用有分
　别焉设太阳居正午其过时圈至地平正交必为直角
　若午前后因斜交地平得角亦斜且大小不一复设太
　阳在正东距正子午圈共六小时则过时圈至北极得
　九十度其交角大小与极高度同使交角在正午及正
　东西间即以高弧求其大小法从交点各圈上正去九
　十度安高弧(地平/上算)必本弧上从地平至交时圈间度为

　时圈交地平角也假如太阳躔降娄宫初度设时为辰
　正二刻先将午正与本躔度并居子午圈下后转仪令
　辰正二刻正切子午圈乃本时圈交地平从正东起南
　去四十度以之安高弧又距本度满一象限则又在正
　北之四十度以此度复安高弧从地平上数起得交时
　圈五十三度为时圈交地平角也
　　　求地平与黄道交角
法用高弧过黄平象限下至地平即因高弧为大圈以所
　正对交角之弧能量其大小则必自地平至其交黄道

　点乃得黄道交地平角也假如北极高四十度设实沈
　宫初度居地平东出得平象限偏子午圈之东以高弧
　从此点过至地平约得三十四度一十分为地平及黄
　道二圈之交角盖黄道因半周恒在地平上而平分左
　右各得九十度独冬夏二至此限正合子午圈外此则
　限每偏东或西所以查交角用高弧不能用子午圈也
　　　求黄平象限距子午圈为三形之弧
黄道随宗动左旋其交子午圈也时高时庳因而两象限
　之中点距天顶亦时近时远且以斜升斜入故则九十

　度限大半偏东或西乃从冬至迄夏至限常在东从夏
　至迄冬至限常在西即从而得限及子午圈中之弧也
　今依法加高弧使之过其限必以直角相交其角左右
　之弧一在高弧一在黄道而相对之底弧在子午圈则
　三弧共为直角三角形也明矣本形内各弧亦能自显
　度分乃限距天顶又距子午圈等度皆见于弧若更求
　高弧距子午圈中黄道之对角必应查于地平即以高
　弧距子午圈之中弧量之乃得且本弧大小正与黄道
　出没之广弧等如北极高四十度设大梁宫初度为平

　象限因偏东十四度以安高弧得其至地平切子午圈
　东二十七度即象限偏子午圈对角之弧与黄道自正
　东去北之出正西去南之人等而高弧自顶至交限点
　则三十度也
　　　求子午圈及黄道交角
凡黄道以冬夏二至交子午圈成角者必为四直角因子
　午圈当过黄极并二至圈此间必正相交故也使以春
　秋二分交即为斜角得对弧正与两道最相距之馀弧
　等从此距分渐远交角亦渐易必自冬至至夏至交得

　锐角向东北或西南自夏至至冬至亦交得锐角向西
　北或东南法以黄道度正合子午圈定住移交点至天
　顶从此至地平两圈各成象限则其间地平弧能量交
　角之度如大梁宫初度交合子午圈七十九度(从北/极算)必
　移其七十九度在顶与本宫初度相交其二弧至地平
　间必抱七十度东北与西南皆等又设鹑火宫以十五
　度相交因在子午圈七十四度移本度居顶得二圈至
　地平中弧必为七十二度西北与东南皆等
　　　求高弧与黄道各度之交角

先依黄道距午正前后度以赤经圈交黄道角或加或减
　于高弧交经圈之角乃得高弧与黄道或正或馀(形内/外是)
　之交角此原法也今用浑仪可免加减径安高弧交黄
　道于其距正午度即依前法界线随移本度至顶复依
　线安高弧必得角于对地平弧矣如北极高四十度设
　大梁宫初度距午正六十四度(东西/无异)使高弧交其躔度
　因得界线后起大梁初度居顶依线复安高弧即得所
　指地平五十八度为高弧交黄道角也或不必转仪而
　独移高弧于地平对度用规器于高弧及黄道弧距前

　交点九十度之界量其二弧相距则地平上亦得五十
　八度如后图甲为天顶丙戊黄道弧甲丁为子午圈平
　象限距其东设在乙日食在戊或丙依前第三及第四
　题公论以二曜躔度丙及定朔时先得丙丁黄道弧必
　　　　　　　　　使丁居正午以高弧过丙为甲丙
　　　　　　　　　丁斜角三角形内求甲丙弧(二曜/地平)
　　　　　　　　　(高之/馀弧)及丙交角盖以甲丙查得太
　　　　　　　　　阴高庳差(丙巳/是)丙角与小形内交
　角等因并得所馀巳角(壬自为/直角)而以之推丙壬时差及

　壬已气差故也或依第一及第二题公论以先得黄道
　交子午圈丁点于仪上并得平象限相距之乙丁弧即
　安高弧过乙限先得甲丁乙直角三角形内查甲乙本
　限距顶之弧而更使高弧过丙躔度乃复得甲乙丙直
　角三角形内求甲丙弧及丙角皆依前法因解丙巳壬
　小形以求视差其法尤省
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　新法算书卷十八