钦定四库全书
　乾坤体义卷下
　　　　　　　　　　　　明　利玛窦　撰
　　容较图义
万形有全体目视惟一面即面可以推全体也面从界
显界从线结总曰边线边线之最少者为三边形多者
四边五边乃至千万亿边不可数尽也三边形等度者
其容积固大于三边形不等度者四边以上亦然而四

边形容积恒大于三边形多边形容积恒大于少边形
恒以周线相等者验之边之多者莫如浑圜之体浑圜
者多边等边试以周天度剖之则三百六十边等也又
剖度为分则二万一千六百边等也乃至秒忽毫釐不
可胜算万形愈多边则愈大故造物者天也造天者圜
也圜故无不容无不容故为天试论其槩

　
　
　
　
　
　
　
　

凡两形外周等则多边形容积恒大于少边形容积
　假如有甲乙丙三角形其边最少就底线乙丙两平
　分于丁作甲丁线其甲乙甲丙两腰等丁乙丁丙又
　等甲丁丙角甲丁乙角皆等则甲丁线为乙丙之垂
　线(几何原本/一卷八)次作甲戊丙丁直角形而甲戊与丁丙
　平行戊丙与甲丁平行视前形增一角者(一卷四又/三十六)
　既甲丁丙甲丁乙两形等而甲丙戊与甲丁乙亦等
　(一卷三/十四)则甲丁丙戊方形与甲乙丙三角形自相等

　矣以周论之其甲戊戊丙丙丁甲丁四边皆与乙丁
　相等甲丙边为弦其线稍长试引丙戊至己引丁甲
　至庚皆与甲丙甲乙线等而作庚丁己丙形与甲乙
　丙三角形同周则赢一甲庚己戊形故知四边形与
　三边形等周者四边形容积必大于三边形

凡同周四直角形其等边者所容大于不等边者
　假有直角形等边者每边六共二十四其中积三十
　六另有直角形不等边者两边数十两边数二其周
　亦二十四与前形等周而其边不等故中积只二十
　又设直角形其两边各九其两边各三亦与前形同
　周而中积二十七又设一形两边各八两边各四亦
　与前同周而中积三十二或设以两边为七以两边
　为五亦与前同周而中积三十五是知边度渐相等

　则容积固渐多也

　
　
　
　
　
　
　
　

　试作直角长方形令中积三十六同前形之积然周
　得三十与前周二十四者迥异今以此周作四边等
　形则中积必大于前形

凡同周四角形其等边等角者所容大于不等边等角
者
　设甲乙丙丁不等角形从丙丁各作垂线又设引甲
　乙至己作戊丙己丁四角相等形(一卷三/十五)与不等角
　形同底原相等(一卷十九/又三十四)甲乙亦同戊己而乙丁及
　甲丙线则赢于己丁戊丙线是甲乙丙丁之周大于
　戊丙己丁之周试引丁己至辛与乙丁等引丙戊至
　庚与甲丙等而作庚丙辛丁形则多一庚戊辛己形

　因显四等角形大于不等角形
　　以上四则见方形大于长形而多边形更大于少
　　边形则圜形更大于多边形此其大略若详论之
　　则另立五界说及诸形十八论于左
第一界等周形
　谓两形之周大小等
第二界有法形
　谓不拘三边四边及多边但边边相等角角相等即

　为有法其攲邪不就规矩者为无法形
第三界求各形心
　但从心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即
　系圜与形同心
第四界求形面
　谓周线内所容人目所见乃形之一面
第五界求形体
　如立方立圜三乘四乘诸形乃形之全体

　　第一题
凡诸三角形从底线中分作垂线与顶齐高以中分线
及高线作矩内直角方形必与三角形所容等
　解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂线
　至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角题言直角
　与三角形等
先论曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁线次从
　甲作戊己线与乙丙平行又作己丙戊乙二线成直

　角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙
　角形(一卷/四一)故甲乙丙三角形与甲丁丙己形等(一卷/二十)
　(六/)
　次论曰作甲丁垂线而第二图丁非甲乙之平分第
　三图甲在方形之外皆从甲作戊己线引长之与乙
　丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以
　丙乙平分于庚作庚辛垂线视甲丁为平行亦相等
　(一卷三/十四)其戊己丙乙倍大于辛庚丙己即倍大于三

　角形何者以辛庚丙己长方形分三角形底线半故
　(一卷三/十六)

　　第二题
凡有法六角等形自中心到其一边之半径线作直角
形线其半径线及以形之半周线舒作直线为矩内直
角长方形亦与有法形所容等
　解曰有甲乙丙丁戊己法形其心庚自庚至甲乙作
　直角线为庚辛另作壬癸线与庚辛等作癸子与甲
　乙丙丁线等即半周线也题言壬癸子丑直角形与
　甲乙丙丁戊己形之所容等

　论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等
　(一卷/八)其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内
　直角形等(以甲辛分甲乙之/半故见本篇一题)若以甲乙丙丁半形之
　周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与
　有法全形等盖此半边三个三角形照甲乙庚形作
　分中垂线其矩线内直角形俱倍本三角形故

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第三题
凡有法直线形与直角三边形并设直角形傍二线一
长一短其短线与有法形半径线等其长线与有法形
周线等则有法形与三边形正等
　解曰甲乙丙有法形其心丁从丁望甲乙作垂线又
　有丁戊己直角形其边丁戊与法形丁戊等其戊己
　线又与甲乙丙之周线等题言丁戊己三角之体与
　甲乙丙全形等

　论曰试作丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线
　与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等
　(本篇/二题)何者戊辛线得甲乙丙之半周而又在丁戊矩
　内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁
　戊壬辛直角形等则丁戊己三角形与甲乙丙全
　形亦等

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第四题
凡圜取半径线及半周线作矩内直角形其体等
　解曰有甲乙丙圜其半径为丁乙又有丁乙戊己直
　角形两丁乙等半圜线与戊乙等题言甲乙丙所容与
　丁乙戊己直角形所容等
　论曰试以乙戊引长到庚令庚戊与乙戊等则乙庚
　与圜周全等次从丁望庚作直线既丁乙庚三角形
　之地与全圜地相等(在圜书/一题)而丁乙戊己又与丁乙

　庚三角形等(本篇四又一/卷四十注)则丁乙戊己自与全圜体
　等

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第五题
凡直角三边形任将一锐角于对边作一直线分之其
对边线之全与近直角之分之比例大于全锐角与所
分内锐角之比例
　解曰有甲乙丙直角三边形丙为直角从甲锐角望
　所对丙乙边任作甲丁线题言丙乙线与丙丁线之
　比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例
　论曰甲丁线大于甲丙而小于甲乙(一卷/十九)若以甲为

　心以丁为界作半规必分甲己线于乙之内而透甲
　戊线于丙之外其甲乙丁三角形与甲己丁三角形
　之比例大于甲丁丙三角形与甲丁戊之比例何者
　一为甲乙丁大形与甲己丁小形比一为甲丁丙小
　形与甲丁戊大形比也则更之乙甲丁形与丁甲丙
　形之比例大于己甲丁形与丁甲戊形之比例(五卷/二十)
　(七/)合之则乙甲丙形与丁甲丙形即是乙丁线与丁
　丙线之比例(形之比例与底线之/比例相等在六卷一)固大于甲己戊形

　与甲丁戊形之比例其甲己戊圜分与甲丁戊圜分
　之比例原若己甲戊角与丁甲戊角之比例(六卷三/十三系)
　则乙丙线与丁丙线之比例大于乙甲丙角与丁甲
　丙角之比例也

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第六题
凡直线有法形数端但周相等者多边形必大于少边
形
　解曰设直线有法形二为甲乙丙为丁戊己其圜周
　等而甲乙丙形之边多于丁戊己(不拘四边六边虽/十边与十一二边)
　(皆同/此论)题言甲乙丙之体大于丁戊己之体
　论曰试于两形外各作一圜而从心望一边作庚壬
　作辛癸两垂线平分乙丙于壬分戊己于癸(三卷/三)其

　甲乙丙形多边者与丁戊己形少边者外周既等而
　以乙丙求周六而遍以戊己求周四而遍则乙丙边
　固小于戊己边而乙壬半线亦小于戊癸半线矣兹
　截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚
　丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即
　匀分各边俱等而全形边所倍于戊己一边数与全
　圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全
　边所倍于乙丙一边与其全圜切分所倍于乙丙切

　分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分
　若戊辛己角之与全形四直角(六卷三十/三题之系)则以平理
　推之移戊己边于甲乙丙全边亦若戊辛己角之于
　四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一边犹甲乙丙
　诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙
　丙角也(六卷三十/三之二系)则又以平理推戊己与乙丙即戊
　癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己
　角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也(五卷/六五)夫

　戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角
　之比例(本篇/五)则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛
　戊与癸辛子之比例(五卷/十三)而癸辛子角大于壬庚乙
　角(五卷/十)其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角
　明小于庚乙壬角(一卷三/十二)令移壬乙庚角于癸子上
　而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三
　角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两
　角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬

　线而庚壬实赢于辛癸(一卷二/十六)今以庚壬
　线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线
　及丁戊己半周线所作矩内直角形也(本篇/二)然则多
　边直线形之所容岂不大于等周少边直线形之所
　容乎

　　第七题
有三角形其边不等于一边之上另作两边等三角形
与先形等周
　解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙两边不等
　欲于甲丙上另作三角形与甲乙丙周等两边又等
　其法作丁戊线与甲乙乙丙合线等两平分于己甲
　乙乙丙两边并既大于甲丙边(一卷/十)则丁己己戊两
　边并亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣

　(一卷三/十二)以作甲庚丙得所求盖庚甲庚丙自相等而
　甲丙同边则二形之周等而甲庚丙与甲乙丙为两
　边等之三角形(此庚点必在甲乙线外若在甲乙边/上遇辛则辛丙线小于辛乙乙丙合)
　(线即不/得同周)

　　第八题
有三角形二等周等底其一两边等其一两边不等其
等边所容必多于不等边所容
　解曰有甲乙丙形其甲乙边大于乙丙令于甲丙上
　更作甲丁丙三角形与甲乙丙等周(本篇/七)而丁甲丁
　丙两腰等亦与甲乙乙丙合线等题言甲丁丙角形
　大于甲乙丙
　论曰试引甲丁至戊令丁戊与丁甲等亦与丁丙等

　又作丁乙乙戊线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即
　大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率
　者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形
　之丁戊丁乙两边与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两
　边等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁
　乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半(一卷三/十二)令别作
　戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而
　与甲丙平行(一卷二/十八)又令引长丁己与甲乙相遇而

　作己丙线联之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又
　同底是三角形相等也(六卷/一)因显甲己丙大于甲乙
　丙而甲丁丙两边等三角形必大于等周之甲乙
　丙矣(问戊丁乙角何以踰戊丁丙角之半曰丁甲丙与丁丙甲两/角等而戊丁丙为其外角凡外角必兼两内角故也)

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第九题
相似直角三边形并对直角之两弦线为一直线以作
直角方形又以两相当之直线四并二直线各作直角
方形其容等
　解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊两
　角为直角而甲与丁丙与己角各相等甲丙与丁己
　相当甲乙与丁戊相当题言并甲丙丁己为一直线
　于上作直角方形与并甲乙丁戊作直线及并乙丙

　戊己作直线各于其上作直形方形两并等
　论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度次从庚作
　线与戊己平行又引丁己长之令相遇于辛从己作
　己壬线与戊庚平行(一卷二/十九)则己壬辛之角形与丁戊
　己相似而丁戊己与甲乙丙相似矣(一卷三/十二)何者己
　壬辛角与庚角等庚角与丁戊己角等己角又与乙
　角等而辛角与丁己戊角及丙角俱等壬己辛角与
　甲角亦等(一卷三/十四)又己壬边与戊庚相等则亦与

　甲乙相等而壬辛与乙丙己辛与甲丙俱相等(一卷/二十)
　(六/)故丁辛线兼丁己甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙
　之度而庚辛亦兼戊己乙丙之度庚壬即戊己也(一/卷)
　(三十/四)然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直
　角方形并自相等矣

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第十题
有三角形二其底不等而腰等求于两底上另作相似
三角形二而等周其两腰各自相等
　解曰甲乙丙丁不等两底上有甲戊乙及丙己丁三
　角形二其戊甲戊乙腰与己丙己丁腰俱相等若甲
　乙大于丙丁者则戊角大于己角(一卷二/十五)而两三角
　形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各
　相等其周亦等

　法曰作庚辛线与甲戊戊乙丙己己丁四线等而分
　之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁(六卷/十)
　甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬
　于癸平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁
　则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁
　矣(五/卷)夫庚辛并既大于甲乙丙丁并(两边必大于一/边在一卷二十)
　则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙也(五卷/十四)甲乙庚
　癸癸壬三线每二线必大于一线而丙丁壬子子辛

　亦然令于甲乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形
　为两腰等而其周在甲戊乙形之外(以戊甲戊乙得/庚辛之半而庚)
　(壬之度/过之故)于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形
　亦两腰等而其周在丙己丁之内(己丙己丁亦得庚/壬之半而壬辛之)
　(度不及故俱/一卷二十二)
　论曰并甲戊戊乙丙己己丁四线之度既与并甲丑
　丑乙丙己己丁四线之度相等则甲丑乙丙寅丁两
　形自与甲戊乙丙己丁两形同周而其两腰亦自相

　同至于两形相似何也甲乙与丙丁若庚壬与辛壬
　而减半之庚壬与壬子(五卷/十五)又若丑甲与寅丙丑乙
　与寅丁也则更之而甲乙与甲丑若丙丁与丙寅而
　甲丑与丑乙若丙寅与寅丁是两形为同边之比
　例自相似(六卷/五)

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第十一题
有大小两底令作相似平腰三角形相并其所容必大
于不相似之两三角形相并其底同其周同又四腰俱
同而不相似形并必小于相似形并
　解曰甲丙丙戊两底上设有甲乙丙及丙丁戊两三
　角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令于两底上
　依前题别作甲己丙及丙庚戊两形相似而与前两
　三角形相并者等周题言甲己丙丙庚戊并大于甲

　乙丙丙丁戊并
　论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底
　乃从巳过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚
　作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己
　己乙两边与乙己丙三角形之己丙己乙两边等而
　甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等
　(一卷/八)又甲己壬三角形之甲己己壬两边与丙己壬
　三角形之丙己己壬两边等则甲己壬角与丙己壬

　角等而甲壬壬丙之两底亦等(一卷/四)壬之左右皆直
　角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次
　引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸
　丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两边与辛癸
　丙三角形之辛癸辛丙两边等而辛之上下角亦等
　为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角
　俱等(一卷/四)丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角
　相似与己丙壬角即相等(一卷/五)而丁丙辛即癸丙辛

　总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬(一/卷)
　(十/五)是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在于丙
　己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试
　作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大
　于癸乙线(一卷/二十)则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也
　此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四
　线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半
　之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也

　并己丙丙庚二线为一直线就线上作直角方形必
　大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角
　方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之
　直角方形并相等(九/题)而癸乙上之直角方形与乙壬
　并辛丁(即辛/癸)上之直角方形及壬子子辛上直角方
　形并又自相等(九题辛从子上分两对角其角等而/壬与 俱为直角相似之形令移置)
　(辛癸与乙壬之下移置壬辛为癸垂线则/乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为弦矣)此己壬庚
　辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并

　明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之
　直角方形并也此两率者每减一壬辛上直角方形
　则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共
　线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁
　辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己
　乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛(以甲丙原大/于丙戊故)
　则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内
　直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形

　之半何者令从壬丙作垂线与乙己平行而以乙己
　为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中
　积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙
　壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛
　丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚
　丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者
　亦大于丙庚戊丁形为丁庚丙三角之倍者矣此两
　率者又每加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙

　及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁
　戊之两三角形并哉

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第十二题
同周形其边数相等而等角等边者大于不等角等边
者
　先解曰有甲乙丙丁戊己多边形与他形同周同角
　者较必边边相等乃为最大之形
　论曰若谓不然先设甲乙乙丙不等边如第一图又
　作甲丙线于上作等边三角为甲庚丙形与甲乙丙
　等周(本篇/七)则甲庚丙丁戊己形亦与甲乙丙丁戊己

　形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形(本/篇)
　(八/)令每加丙丁戊己角形则甲庚丙丁戊己形亦大
　于甲乙丙丁戊己形故知不等边者不为最大其他
　如丙丁边之类或不等者亦如此推
　次解曰又设甲乙丙丁戊己等边形与他形同周同
　边者较必角角相等乃为最大之形
　论曰依上论各边俱等则甲乙丙丙丁戊为等边三
　角形(边角/俱等)而甲乙乙丙与丙丁丁戊相等若谓不然

　而乙角可大于丁角则甲丙线必大于丙戊线(一卷四/二十)
　试于甲丙丙戊两底上别作三角形为甲庚丙为丙
　辛戊如第十题相似形令与甲乙丙丙丁戊并者等
　周则甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊(本/篇)
　(十/一)而每加丙戊己角形则甲庚丙辛戊己必大于甲
　乙丙丁戊己也何得以等周等边而不等角者为最
　大乎

　　第十三题
凡同周形惟圜形者大于众直线形有法者
　解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多边有法形其周
　等题言甲乙丙大于丁戊己
　论曰庚为甲乙丙之心辛为丁戊己之心甲乙丙外
　另作壬乙丙癸多边形与丁戊己相似(四卷十/六注)而从
　壬癸切圜于甲者作半径线于庚则庚甲为壬癸垂
　线而分壬癸之半(三卷/十八)又从辛作子丑垂线则辛丁

　亦分子丑之半(三卷三此设于两多边形外作切形/圜而以壬癸子丑为切圜线向心作)
　(垂线则垂线必分切线/之中故说在四卷十二)两形相似其壬全角与子全
　角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚
　直角与子丁辛直角亦等(一卷三/十二)然乙壬癸丙之周
　大于圜周而圜周与丁戊己形相同则是乙壬癸丙
　周原大于丁戊己周矣夫两形相似而壬癸边大于
　子丑边则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚
　若子丁与丁辛之比例(六卷/四)而壬甲大于子丁则甲

　庚亦大于丁辛(五卷/十四)是故取甲庚线与半圜周线以
　作矩内直角形其与圜地等也大于取丁辛线与丁
　戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也(本篇/四)
　系曰推此见圜形大于各等周直线形(第五题证有/法形同周者)
　(多边为大又十二题证等周及边数之等者有法为/大又本题证等周之有法形惟圜为大则圜为凡形)
　(等周者/之最大)

　　第十四题
锐觚全形所容与锐顶至边垂线及三分底之一矩内
直角立形等
　解曰有觚形不拘几面如甲乙丙丁戊底其顶巳又
　有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁
　戊底三之一其高庚子与觚等高题言此寅庚形与
　觚形所容等
　论曰从立形底诸角与相对一角如子角者皆作线

　以成庚辛壬癸子觚形此形与寅庚形同底同高又
　同己甲锐觚之高既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三
　(十二卷六注言两觚形同高者其所容/之比例如其底底等亦等底倍亦倍)寅庚全形亦
　兼庚辛壬癸子觚之三(以同底同高故/在十二卷七系)则寅庚全方
　与己甲觚等

　
　
　
　
　
　
　
　

　　第十五题
平面不拘几边其全体可容浑圜切形者设直角立形
其底得本形三之一其高得圜半径即相等(可容浑圜/切形者必)
(圜形与诸面相切若长广/不切诸面者不在此论)
　解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外
　线甲乙切圜于戊(十一卷/三题)试从戊壬割圜之半作戊
　己庚辛圜(圜形书一/卷一题)从壬心望各切圜之点作壬戊
　为甲乙垂线(三卷/十八)壬己为乙丙垂线壬庚为丙丁垂

　线壬辛为甲丁垂线别一直角立方形午子其底子
　丑寅癸得甲乙丙丁体三之一而其高辰子与圜半
　径等题言此直角立方形与甲乙丙丁全体等
　论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为
　数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚锐顶此各
　觚皆以其三分底之一及至锐高之数为直角立方
　形皆与觚所容等(本篇/十四)又并为一形即与甲乙丙丁
　体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一

　而其高分圜半径也

　　第十六题
圜半径及圜面三之一作直角立方形以较圜之所容
等
　解曰有甲乙丙浑圜其心为丁又有直角立形之戊
　在甲丁径及甲乙丁浑圜三之一矩内题言戊形所
　容与甲乙丙浑圜等
　论曰若言不等谓戊大于浑圜形其较有巳者合以
　丁为心外作庚辛壬浑圜大于甲乙丙而勿令大于

　戊第令或等或小以验之而于庚辛壬内试作有法
　形勿切甲乙丙圜(十二卷/十七)自丁心至形边各作垂线
　则垂线必长于甲丁又自丁心至形各角作直线以
　分此形为几觚其庚辛壬法形诸直线为觚底而垂
　线至丁心为觚锐顶试取各觚底三之一及丁垂线
　之高以作直角立形与觚等(本篇/十四)则并为大直角立
　形亦与庚辛壬内之法形等(本篇/十五)如云以甲乙为高
　而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小

　于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而
　戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体
　而谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬之内形尚大
　于戊形也
　又论曰戊形小于甲乙丙浑圜体者其较为己试从
　丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或
　大或等者以验之于甲乙丙圜内作有法形不令切
　癸子丑(十二卷/十七)而从丁至甲乙丙各面为垂线此垂

　线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以
　分此形为数觚以形之各面为觚底庚辛为觚锐顶
　而取觚底三之一及底至丁之垂线以作直角立形
　与觚等若使以甲丁为高而以各觚三之一为底以
　作直角立形则其形必高于前形既甲乙丙圜之面
　大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之
　一而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一固
　即戊体矣愈大于甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜

　或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大
　于全欤则戊体不小于甲乙丙矣从后论不可为小
　从前论不可为大故曰等也

　　第十七题
圜形与平面他形之容圜者其周同其容积圜为大
　解曰有甲圜其心甲其半径甲乙又丙形与甲等周
　其周内可作诸切边圜形而从心至边为丙丁题言
　甲圜大于丙形
　论曰甲圜外试作与丙相似形(十二卷/)而从甲心至
　各边切处作半径垂线皆等(本篇十/五有解)其一为甲乙甲
　圜外形大于甲圜其周面亦大于丙面而甲乙垂线

　亦大于丁丙垂线以甲半径为高乃以三分圜体之
　一作直角立方形即与甲圜形等(本篇/十六)以丙丁线为高
　而以三分丙形之一作直角立方形亦与丙形等而
　甲之立方固大于丙之立方(本篇/十五)则甲圜与丙形虽
　同周而甲圜所容为大矣

　　第十八题
凡浑圜形与圜外圜角形等周者浑圜形必大于圜角
形
　解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四
　数相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二
　十八之类等边等角近于圜形者又作戊壬过心线
　为枢以转甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋为
　立圜之体则其形为圜外圜角之形而角与边周遭

　皆等(圜书一卷二十/二及二十七)又有浑圜形寅与圜角形等周
　题言寅圜大于圜角形
　论曰圜角外形既大于内之甲乙丙圜形则寅圜亦
　大于甲乙丙圜寅圜之半径亦大于甲乙丙圜之半
　径也夫浑圜中剖是为过心最大之圜此过心大圜
　之面恒得浑体四分之一(圜书一卷/三十一题)令倍寅径以作
　卯辰径其圜面四倍大于寅之圜面(此专以圜面相/较也卯辰径既)
　(倍寅径则卯辰圜固四倍于寅圜以圜与圜为/径与径再加之比例故也在六卷附一增题)则卯

　辰圜与寅浑圜等(此卯辰圜为欲见角故/画作扁圜实正圜也)次作未申圜
　与卯辰等作未酉申圜角形而取寅半径为酉戌之
　高又于卯辰上亦作卯巳辰圜角形而取甲乙丙圜
　半径为巳午之高两圜体等而未酉申圜角形高于
　卯巳辰圜角形则亦大于卯巳辰圜角形(圜角形同/底之比例)
　(若其高之比例在/十二卷十四题)夫割寅浑圜之中半以为底(即过/心大)
　(圜/也)而以其半径之高为圜角形恒得寅浑圜四分之
　一(此旋转所成尖顶半圜形非只论/其一面也在圜书一卷三十二十)则是一寅圜恒

　兼四圜角之形而未申圜原四倍大于寅圜则未酉
　申圜角形固与寅之浑圜形等矣(圜角形同高之比/例若其底之比例)
　(故也在十二/卷十一题)其卯巳辰圜角形底原等戊己庚形之
　面(戊己庚之面与/寅圜之面等故)而巳午之高亦等于甲圜半径即
　戊己庚辛角形自与卯巳辰圜角形等(圜书一卷二/十九题论凡)
　(圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜体/过心大圜为底而以圜半径为高旋作圜角形即与)
　(圜外诸/圜各等)卯巳辰圜角形既小于未酉申圜角形而戊
　己庚辛壬癸子丑形宁大于同周之寅乎

　
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　乾坤体义卷下