钦定四库全书
　革象新书卷五　　　　　元　赵友钦　撰
　　小罅光景　　　　　句股测天
　　乾象周髀
小罅光景
室有小罅虽不皆圆而罅景所射未有不圆及至日食
则罅景亦如所食分数罅虽宽窄不同景郤周径相等
但宽者浓而窄者淡若以物障其所射之处迎夺此景

于所障物上则此景较狭而加浓予始未悟其理因熟
思之凡大罅有景必随其罅之方圆长短尖斜而不别
乃因罅大而可容日月之体也若罅小则不足容日月
之体是以随日月之形而皆圆及其缺则皆缺罅渐窄
则景渐淡景渐远则周径渐广而愈加淡大罅之景渐
远亦渐广然不减其浓此则浓淡之别也假于两间楼
下各穿圆阱于当中径皆四尺馀右阱深四尺左阱深
八尺置卓案于左阱内案高四尺如此则虽深八尺只

如右阱之浅作两圆板径广四尺俱以蜡烛千馀枝密
插于上放置阱内而燃之比其形于日月更作两圆板
径广五尺覆于阱口地上板心各开方窍所以方其窍
者表其窍小而景必圆也左窍方广寸许右窍方广寸
半许所以一宽一窄者表其宽者浓而窄者淡也于是
观其楼板之下有二圆景周径所较甚不多郤有一浓
一淡之殊详察其理千烛自有千景其景皆随小窍点
点而方烛在阱心者方景直射在楼板之中烛在南边

者方景斜射在楼板之北烛在北边者方景斜射在楼
板之南至若东西亦然其四旁之景斜射而不直者缘
四旁直上之光障碍而不得出从旁达中之光惟有斜
穿出窍而已阱内既已斜穿窍外止得偏射偏中之景
千数交错周遍叠砌则总成一景而圆所以有浓淡之
殊者盖两处皆千景叠砌圆径若无广狭之分但见其
窍宽者所容之光较多乃千景皆广而叠砌稠厚所以
浓窍窄者所容之光较少乃千景皆狭而叠砌稀薄所

以淡于是向右阱东边减郤五百烛观其右间楼板之
景缺其半于西乃小景随日月亏食之理也又灭左阱
之烛但明二三十枝迹密得所观其楼板之景虽是周
圆布置各自点点为方不相黏附而愈淡矣又皆灭而
但明一烛则只有一景而方缘为窍小而光形尤小窍
内可以尽容其光郤为大景随空罅之象矣若依旧皆
燃左阱之烛则左景复圆别将广大之板二片各悬于
楼板之下较低数尺以障楼板而迎夺其景此景较于

楼板者敛狭而加浓所以迎夺其景者表其景近则狭
而浓远则广而淡也烛光斜射愈远则所至愈偏则距
中之数愈多围旁皆斜射所以愈偏则周径愈广景之
周径虽广烛之光焰不增如是则千景展开而重叠者
薄所以愈广则愈淡亦如水多则味减也然其板不可
侧高偏低否则景不正圆而长于是去其所悬之板举
其左阱连板之烛彻去阱内卓案复燃连板之烛置于
阱㡳而掩之窍既远于烛景则敛而狭所以敛狭者盖

是窍与烛相远则斜射之光敛而稍直光皆敛直则景
不得不狭景狭则色当浓烛远则光必薄是以难于加
浓也先论景距窍之远近此复论烛距窍之远近景之
远近在窍外烛之远近在窍内凡景近窍者狭景远窍
者广烛远窍者景亦狭烛近窍者景亦广景广则淡景
狭则浓烛虽近而光衰者景亦淡烛虽远而光盛者景
亦浓由是察之烛也光也窍也景也四者消长胜负皆
所当论者也于是彻去所覆两阱之板别作圆板二片

径广尺馀右片开方窍方广四寸左片开尖窍三曲皆
广五寸馀各以索悬于楼板之下令其可以渐高渐低
所以渐高渐低者表其景之远广而近狭也仰观楼板
之景左尖右方俯视烛光之形左全右半此则大景随
空之象各自方尖不随烛光而圆缺也然阱大而板窍
仍小今喻以为大罅者盖阱于板窍较远远则虽大犹
小窍于楼板较近近则虽小犹大方尖窍内可以尽容
烛光之形也原尖小窍之千景似乎鱼鳞相依周遍布

置大罅之景千数比于沓纸重叠不散张张无参差由
此观之大则总是一阱之景似无千烛之分小则不睹
一阱之全碎砌千烛之景是故小景随光之形大景随
空之象断乎无可疑者
句股测天
句股之术可以测天然高深广远难于推步筹策今
姑以浅近喻之塔高十丈未知其数于塔之正东立一
木表于表东席地而卧以眼西望塔顶望见塔顶虽高

只与表末相齐于是自塔心量至表根为数五丈又自
表根量至测望之眼为数一丈二尺五寸再立后表于
前表正东从后表正东如前望之见塔顶亦与后表之
末相齐量得两表相远三丈自后表之根东至测望之
眼为数二丈先量得两表皆高二丈有馀从表首下至
与眼平只高二丈亦可以算术求其塔高两表相远三
丈名曰表间前目距前表一丈二尺五寸名曰前景后
目距后表二丈名曰后景前后两景相多七尺五寸名

曰景差所以名为景者盖是将灯置于塔顶假若两表
有景长短必齐于眼望之处故以名其数也先以心度
云移表三丈而景差七尺五寸即是其表每移一丈景
差二尺五寸若移前表过西一丈景必减作一丈且移
过西四丈景必减尽无馀是犹表直于戴日之下则无
景也如此则知塔心与前表相远五丈以后表名为小
股后景名为小句句者矩之短处也股即木匠之曲尺
以塔心距前表之五丈通并表间三丈则知塔心距后

表八丈更加后景二丈共计十丈名为大句塔顶高数
名为大股以小勾股作大勾股之则例既然小句二丈
而小股二丈则知大句十丈大股必十丈矣若不用后
表后景为小勾股而求塔高前表前景亦可用也以前
表二丈为小股前景一丈二尺五寸为小句前景一丈
二尺五寸通前表距塔心之数五丈共六丈二尺五寸
为大勾塔高之数为大股以小句股为大句股之则例
计小句之数每一丈为小股一丈六尺今大句六丈二

尺五寸大股必十丈矣若或显言塔远之数五丈止立
一表以测塔高者如前名作小句股郤以大句求大股
而为塔高此一表之术乃先知塔远而止求塔高若前
两表之术则皆未知所以先求塔远而郤凭塔远以求
塔高也既可将远求高亦可将高求远今以画图言之
画一棋枰纵横各十寸每眼比一丈总为百眼如此则
纵横各有十一画边西第一直画涂红喻为塔高十丈
边东第三直画偏低涂青喻为后表二丈当中直画偏

低涂黄喻为前表二丈于后表之东横底涂青喻为后
景二丈景末作一圈喻为后目于前表之东横底涂黄
喻为前景一丈二尺五寸景末作一圈喻为前目从前
目斜画一线向西而高至塔顶名为前大弦后目亦如
前画为后大弦此两条弦非实有物乃眼绳也谓之弦
者盖矩曲略似乎弓两端斜距之数则似弓弰安弦两
表之末必与斜弦相凑可比两表之末俱与塔顶相齐
以图视之眼绳两条合尖于塔顶渐低则渐开至地平

而开广三丈七尺五寸表末只开广三丈如此则是敛窄
七尺五寸计高一表之数二丈以心度云眼绳于地平
开广三丈七尺五寸若将敛窄尽绝则至塔顶而高五
表之数每表高二丈则知塔高十丈矣十丈为股用之
求大句者则亦以小句股为则例而求之后表小股二
丈而小句亦二丈如此则大股十丈可知大句必十丈
矣大句即是塔远后目之数前表小股二丈而小句一
丈二尺五寸乃是每股一丈句至六尺二寸五分今大

股十丈可知大句必六丈二尺五寸矣此大句即是塔
远前目之数先已知大股而止求大句者不须两表之
小句股但用一表之小句股为则例而求之乃先知塔
高而止求塔远也大句大股已得其数亦可求大弦乃
眼绳之斜长即人目距塔顶之斜远也欲求其数不可
不明其乘除开方所谓乘者七其八得五十六名曰七
乘八或八其七得五十六名曰八乘七若十二与三十
相乘则得三百六十所谓自乘者三其三为九或十其

十为百或百其百为万或十九自乘十九则为三百六
十一凡自乘之数名曰幂幂是覆物之巾方而有眼数
自乘之数必方故名为幂所谓除者七除其五十六各
得八乃置五十六如七而一则为八也或八除其五十
六各得七乃置五十六如八而一则为七也或十二除
其三百六十而得三十谓之如十二而一或三十除其
三百六十而得十二谓之如三十而一或三除其九而
得三或十除其百而得十或百除其万而得百皆曰除

也所谓开方者九而开方而得三或百而开方得十或
万而开方得百或三百六十一而开方纵横皆得十九
是谓开方也凡已乘之数除则复元已除之数乘则复
元今求眼绳斜长之数当用句股求弦之术其术曰句
自乘名句幂股自乘名股幂两幂相并为弦幂开为平
方即得其弦凡以丈尺求者宜改为寸数以算之今以
后表所测大句十丈准为大句一千寸其一千寸共乘
得一百万寸名曰句幂大股数同名为股幂相并得二

百万寸名为弦幂开为平方得后大弦乃一千四百一
十四寸有奇是后表之眼绳长一十四丈一尺四寸有
馀也以前表求前弦者仿之后弦之幂二百万寸而开
方譬似方砖二百万片砌于方台之上东西南北纵横
数之皆广一千四百一十四片尚有方砖六百四片若
欲用尽无馀则碎之而砌作大方馀数此术以塔心喻
戴日之下以塔顶喻日之高以灯影喻日景喻月景亦
然众星无景则人以目就地望而准之测得三辰之高

则可知日月不附著于天而悬虚运转若五纬较远于
经星则是五纬亦悬虚而不附著设或五纬与经星之
高远相齐则是五纬如磨蚁而右旋矣塔之为物高数
不多两表相距三丈亦可以测若夫三辰之高必须两
表相距数百里否则不觉其景差里之为数长三百步
每步之长伸手一度也浙尺约六淮尺约五世间路里
迢遥难取径直既然地上量之不直岂能推其三辰高
远是以古人测表景千里一寸之差犹未亲切姑以其

术言之然古者制表未精今别定表之制度并述元有
算法就地中各去南北数百里仍不偏于东西俱立一
表约高四丈于表首之下数寸许作一方窍所以低数
寸者恐其表首景淡也所以方其窍者盖小窍有景不
随空罅之象必随日月之形可以测日月之周径也其
窍外广而内狭当中薄如连边两旁如侧置漏底之碗
形圆而窍方所以然者盖日光斜射之际恐其窍枵相
妨也窍空之大小当于地上试景而定之直立其表而

后试稍有偏斜则不可准若试而光淡者窍差小也景
不圆者窍差大也须得酌中为佳若表末细而不可开
大窍者以木接之以薄板接之尤妙盖为作侧碗之状
也自表根量至空窍下际其寸数名曰表高两表制度
须同不可差异少许同日测表景于正午之时自表根
量地至于空窍下际之景其寸数名曰表景以南北表
景之数相减馀名景差两表相距路里变作寸数名曰
表间各乘南北表景各如景差而一即得二表各与戴

日之地相距寸数名曰平远南北各以表景加之所得
各以表高乘之各如表景而一即得日轮顶与戴日地
相距寸数名曰日高乘表间如景差而一却加表高亦
得日高也若求日轮底之高者量表高则至空窍上际
量表景亦至空窍上际之景算法并不殊若将日轮顶
底之两高数相减则知日圆之径以南北表景各加平
远所得自乘名句幂日高自乘名股幂两幂相并名弦
幂开为平方名曰日远乃南北表窍之景距日斜远也

然南北各有两数盖日轮顶底各距表窍上下之景际
其相远寸数可于南北各作两次求之凡测早晚者仿
此太阴亦然若谓表高难直者当并树两表构横木以
为高架横木之中钉一方环如前表窍之制须当稳实
不摇曳却悬一壮绳以代木表系于悬虚之中坠石去
地寸许令其急而不缓则直可准矣若测众星者量表
则至于窍心望亦须在窍心也此句股之法以横测远
以树测高乃测高远也若测广远者则以绳引于地而

为句股句与股皆横测之若测深远者高立表木横构
二平木于表前以横测远以树测深此句股则又有横
树之分矣夫测三辰之高远者必须远量两表之间然
难于地平直步要当节节测望地平之远数却通并以
为表间是又不可不知也
乾象周髀
日之圆径一度以算术求其周围计三度一十四分一
十六秒月之周径比似之赤道周天三百六十五度二

十五分七十五秒以算术求其中径计一百一十六度二十
六分五十一秒径当周中似乎圆扇夹脊平分两旁即是南
北二极相距之直数折半计五十八度一十三分二十
五秒有奇乃是六合各距天中之均数天体圆如弹丸
东西南北相距皆然凡相距平分之数皆圆中之径也
古人谓圆径一尺周围三尺方广一尺边旁四尺圆象
天而天数三方象地而地数四数分阴阳自然有理后
世考究则不然方广一尺而边旁四尺无可言者若言

圆径一尺而周围三尺则三尺尚有馀围三尺而中径
一尺则一尺为不足盖围三尺径一尺是六角之田也
或谓圆径一尺周围三尺一寸四分(案此刘/徽所推)或谓圆径
七尺周围二十二尺(案此祖冲之/所推约率)或谓圆径一百一十三
周围三百五十五(案此祖冲之/所推密率)径一尺而周三尺一寸
四分犹自径多围少径七尺而周二十二尺却是径少
周多径一百一十三而周围三百五十五最为精密今
求日周天径是此法也既论其异同亦当言其考究之

术画为百眼棋盘一眼广一寸横十寸名句在于东西
相距方图之内画为圆图是去其方之四角也圆径十
寸与外方之股数相同圆径名髀圆之髀比方之股其
数同而字义不异但有方圆之别就圆图之内又画小方
图其小方四角不指外方之四角而斜抵东西南北之
四正盖其外大方四角在于乾坤艮巽其内小四角在
于坎离震兑小方四角斜弦一十寸尚是圆中之髀为
数不殊于外方之股以外方而比内方包容之积相半

外方积一百寸内方积五十寸何以知其然盖将外方
均作四隅而视之一半归于内一半出于外由是察之
圆中之直髀即内方之斜弦内方既用为弦圆中难以
名股句股与弦名不可紊故称为髀以别之内方之弦
十寸自乘得一百寸名弦幂凡弦幂必兼得句股两幂
之数今图方而纵横相同当以弦幂均为句股两幂各
得五十寸而开方即知句股皆七寸有馀考究圆围本
起于此考究之术将薄纸剪圆而临于棋枰之上不须

于纸上画为方眼但景映以为准则然后于此薄纸之
上模下之小方以算术展为圆象充满所定之圆围自
四角之方添为八角曲圆为第一次若第二次则求其
为曲十六若第三次则求其为曲三十二若第四次则
求其为曲六十四凡多一次其曲必倍若至十二次则
求其为曲一万六千三百八十四其初之小方渐加渐
展渐满渐实角数愈多而其为方者不复方而变为圆
矣故自一二次求之以至一十二次可谓极其精密若

节节求之虽至千万次其数终不穷须当逐节作为大小
句大小股大小句幂大小股幂小弦小弦幂大弦大弦幂
但大弦与大弦幂不于节次作之毕竟止用本数而已今
先以第一次言之内方之弦十寸名大弦自乘淂一百寸
名大弦幂内方之句幂五十寸名第一次大句幂以第一
次大句幂减其大弦幂馀五十寸名第一次大股幂开方
得七寸七釐一毫有奇名第一次大股以第一次大股减
其大弦馀二寸九分二釐八毫有奇名第一较以此较折

半得一寸四分六釐四毫有奇名第一次小句此小句之
数乃是内方之四边与圆围最相远处也以第一次小句
自乘得二寸一分四釐四毫有奇名第一次小句幂以第
一次大句幂折半得二十五寸又折半得一十二寸五分
名第一次小股幂以第一次小股幂并第一次小句幂得
一十四寸六分四釐四毫有奇名第一次小弦幂以第一
次小弦幂开方得三寸八分二釐六毫有奇名第一次小
弦即是八曲之一八乘其第一次小弦得三十寸六分一

釐有奇是即八曲之周围也此以小数求之不若改为大
数所以然者盖求至十二次数之降者渐小愈小则不便
于数名当将大弦改为一千寸大弦幂改为一百万寸第
一次大句幂改为五十万寸大股亦如之然后依法而求
若求至第二次者以第一次小弦幂就名第二次大句幂
以第一次大股幂减其大弦幂馀为第二次大股幂开
方为第二次大股以减其大弦馀为第二较折半名二
次小句此小句之数即是八曲之边与圆围最相远处

也以第二次小句自乘名第二次小句幂以第二次大句
幂两折名第二次小股幂以第二次小股幂并第二次
小句幂名第二次小弦幂以第二次小弦幂开方为第
二次小弦即是十六曲之一以十六乘其第二小弦即
是十六曲之周围也以第二次仿第一次若至十二次
亦递次相仿而已置第十二次之小弦以第十二次之
曲数一万六千三百八十四乘之得三千一百四十一
寸五分九釐二毫有奇即是千寸径之周围也置此周

围之数降呼作三尺一寸四分一釐五毫九丝二忽有
奇以一百一十三乘之果得三百五十五尺故言其法
精密要之方为数之始圆为数之终圆始于方方终于
圆周髀之术无出于此矣