钦定四库全书
　益古演段卷上　　　　　　元　李冶　撰
　　第一问
今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七
　分半并不记内圆外方只云从外田楞至内池楞四
　边各二十步问内圆外方各多少
　　答曰外田方六十步　内池径二十步
　法曰立天元一为内池径加倍至步得□丨(按太即/真数此)

　　　　　　　　　(即四十步/并一池径)为田方面(按方面/即每边)以
　　　　　　　　　自增乘得□□丨(按此即一千/六百步八十)
　　　　　　　　　(池径一/平方并)为方积于头再立天元
　　　　　　　　　一为内池径以自之又三因四
　而一得(太/○)○□(按此即百分平方之七十/五上二○存步与池之位)为池积以
　减头位得□□□(按此即一千六百步八/十池径二分半平方)为一段虚
　积寄左然后列直积以亩法(按亩法二/百四十步)通之得三千
　三百步与左相消(按相消者两边同减一千六百步后/凡言相消者皆两边加减一数也)

　　得□□□(按此即一千七百步与八/十池径二分半平方等)开平方得二十
　　步为圆池径也倍至步加池径即外方面也
　　　按今借根方法即立天元一法详见
御制数理精蕴兹不尽释
　　以条段求之真积内减四段至步幂为实四之至步
　　为从二分半常法
　　义曰真积内减四段至步幂者是减去四隅也以二
　　分半为常法者是于一步之内占却七分半外有二

　　　　　　　　　分半也
　
　
　
　　　第二问
　今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七
　　分半并不记径面只云从外田南楞通内池北楞四
　　十步问内圆外方各多少

　　答曰同前
　　　　　　　　　法曰立天元为池径减倍通步
　　　　　　　　　得□丨(按此即八十/步少一圆径)为田方面
　　　　　　　　　以自增乘得□□丨(按此即六/千四百步)
　　　　　　　　　(少一百六十/径多一平方)为方田积于头又
　以天元池径自之三因四而一得(太○/○)□(按此即百/分平方之)
　(七十/五)为池积以减头位得□□□(按此即六千四百/步少一百六十径)
　(多二分/半平方)为一段虚积寄左然后列真积三千三百步

　与左相消得□□□(按此即三千一百步与一百/六十径少二分半平方等)开
　平方得二十步即内池径也倍通步内减池径为方
　面也
　依条段求之倍通步自乘于头位以田积减头位馀
　为实四之通步为从二分半虚常法
　义曰倍通步者是于方面之外引出一圆也用二分
　半虚常法者是一个虚方内却有减馀圆池补了七
　分半外欠二分半故以之为虚隅也

　
　
　
　
　
　　第三问
今有方田一段内有圆池水占之外计地一万一千三
　百二十八步只云从外田角斜至内池楞各五十二

　步问面径外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池径六十四步
　　　　　　　　　法曰立天元一为内池径加倍
　　　　　　　　　至步得□丨为方斜以自增乘
　　　　　　　　　得□□丨为方斜幂于头(其方/斜上)
　　　　　　　　　(本合身外减四今不及减便是寄一/步四分为分母也今此方斜幂乃)
　(是变斜为方面以自乘之/数又别得是展起之数也)又立天元为池径自之又
　三因四而一为池积今为方田积既以展起则此池

　积亦须展起故又用一步九分六釐乘之得一步四
　分七釐亦为一个展起底圆池积也(以一步九分六/釐乘之者盖为)
　(分母十四以自之得/一步九分六釐也)以池积减田积馀□□□为一
　段虚积寄左然后列真积一万一千三百二十八步
　亦用分母幂一步九分六釐乘之(或两度不/加四亦同)得二万
　二千二百○二步八分八釐与左相消得□□□平
　方开之得六十四步为内池径也倍至步加池径身
　外除四见方面也　一法求所展池积以径自之了

　更不须三因四除及以一步九分六釐乘之只于径
　幂上以一步四分七釐(按此即三因四除一/步九分六釐之数)乘之便
　为所展之池积也
　依条段求之展积内减四段至步幂馀为实四之至
　步为从四分七釐益隅
　义曰凡言展积者是于正积上以一步九分六釐乘
　起之数元法本是方面上寄一步四分分母自乘过
　于每步上得一步九分六釐故今命之为展起之数

　　　　　　　　　也诸变斜为方者皆准此所展
　　　　　　　　　之池积是于一步圆积上展出
　　　　　　　　　九分六釐若以池径上取斜为
　　　　　　　　　外圆径则一步上止生得四分
　七釐也故以四分七釐为虚常法又取方幂一步九
　分六釐四分之三亦得圆积一步四分七釐也
　　按法内皆以径一周三方五斜七为率故各面积
　　分数与密率不合盖此书专为明理而作密率数

　　繁碍于讲解故用古率以从简且其法既明即用
　　密率亦无不可
　　第四问
今有方田一段内有圆池水占之外计地一万一千三
　百二十八步只云从外田角斜通池径得一百一十
　六步问面径外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池径六十四步
　法曰立天元一为圆径减倍通步得下□丨为方斜

　　　　　　　　　以自之得□□丨便为所展方
　　　　　　　　　田积于上再立天元一为池径
　　　　　　　　　以自之又以一步四分七釐乘
　　　　　　　　　之得(太○/○)□(步/)便为所展圆池
　积也以池积减上田积馀得□□□为一段如积寄
　左然后列真积如法展之得二万二千二百○二步
　八分八釐与左相消得□□□平方开之得六十四
　步为内池径也以池径减倍通步即是方田斜身外

　除四为方面也
　以条段求之四段通步幂内减展积为实四之通步
　为从四分七釐常法
　　　　　　　　　　　义曰四之通步为从其减
　　　　　　　　　　　积外实欠一个方今即有展
　　　　　　　　　　　池减时所剩之积补却一
　　　　　　　　　　　个虚方外犹剩一个四分
　　　　　　　　　　　七釐为常法也

　　第五问
今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩二
　分只云内圆周不及外方周一百六十八步问方圆
　各多少
　　答曰外方周二百四十步　内圆周七十二步
　法曰立天元一为内圆周加一百六十八步得□丨
　为外方周以自增乘得□□丨为一十六个方田积
　又三因之得□□□为四十八段方田积于头(所以/三因)

　　　　　　　　　(为四十八者就为/四十八分母也)再立天元圆
　　　　　　　　　周以自之(元/○)丨为十二段圆池
　　　　　　　　　积(圆周幂为九个圆径幂每三九/个圆径幂为四个圆池积今)
　　　　　　　　　(个圆径幂共为十/二个圆池积也)又就分四之
　得(元/○)□为四十八个圆池积以减头位得□□丨为
　四十八段如积寄左然后列真积一十三亩二分以
　亩法通之得三千一百六十八步又就分母四十八
　之得一十五万二千○六十四步与寄左相消得□

　□丨平方开之得七十二步为内圆周也三而一为
　池径
　依条段求之四十八段田积内减三段不及步幂为
　实六之不及为从一虚隅
　
　
　
　义曰每一个方周方为十六段方田积今三之为四

　十八段方田积也内除了三个圆周幂外于见积上
　虚了一个圆周幂也今求圆周故以一步为虚隅法
　旧术曰以十六乘田积为头位(以合方/周之积)以不及步自
　乘减头位馀三之为实六之不及步为从法廉常以
　一步为减从法
　　第六问
今有方田一段内有圆池水占之外计地二千六百七
　十三步只云内圆周与外方面数等问各多少

　　答曰外方面内圆周各五十四步
　　　　　　　　　法曰立天元一为方面(便是/圆周)以
　　　　　　　　　自之得元丨便为十二段池积
　　　　　　　　　也再立天元方面以自之又十
　　　　　　　　　二之得(元/○)□为十二段方田积
　也二数相减馀(元/○)□为十二段如积寄左然后列真
　积就分母十二之得□与左相消得□□平方开之
　得五十四步为方面亦为圆周径也

　依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法
　　　　　　　　　　　义曰一个方田积便是一
　　　　　　　　　　　个圆周积也一个圆周积
　　　　　　　　　　　便是十二个圆池积今将
　　　　　　　　　　　一十二个圆池积减于十
　二个方田积通有十一段方田积也
　旧术曰以十二乘田如十一而一所得开方除之合
　前问也

　又法立天元一为等数以自之为外田积又就分母
　九之得(元/○)□为九个方田积于头又立天元等数以
　自之为十二个圆池积也三之四而一得(元/○)□为九
　个圆池以减头位得(元/○)□为九段如积寄左然后列
　真积就分九之得二万四千○五十七步与左相消
　得□○□平方开得五十四步为等数也
　依条段求之九之积为实无从八步二分半为常法
　义曰每一个方幂为十二个圆池今将见有底九个

　　　　　　　　　圆池去了七分半馀二分半并
　　　　　　　　　实有八个方恰是八个二分半
　　　　　　　　　也
　　　　　　　　　又法立天元一为径以三之为
　外方面以自之得(元/○)□为外方积于上再立天元圆
　径以自之三之四而一得(元/○)□为圆池积也以此圆
　积减方积得(元/○)□为一段如积寄左然后列真积与
　左相消得下式□○□平方开得一十八步为圆径

　也
　以条段求之积为实八步二分半为常法
　　　　　　　　　义曰中间一方除圆池四分之
　　　　　　　　　三外有四分之一即是一步内
　　　　　　　　　得二分半也
　　　　　　　　　旧术曰列积步以八步二分半
　为法除之所得再开方见内圆径
　　第七问

今有方田一段内有圆池水占之外计地一千三百五
　十七步只云外方面不及内池周一十四步问方圆
　各多少
　　答曰方面四十步　圆周五十四步
　　　　　　　　　法曰立天元一为外方加不及
　　　　　　　　　一十四步得□丨为内周以自
　　　　　　　　　增乘得□□丨为十二个圆池
　　　　　　　　　积于头再立天元方面以自之

　又十二之为十二个方田积内减头位得□□□为
　十二段如积寄左然后列见积一千三百五十七步
　就分母十二通之得一万六千二百八十四步与左
　相消得□□□开平方得四十步为外方面也
　依条段求之十二之积内加入不及步幂为实二之
　不及步为虚从十一步常法
　义曰其十二段积内𢃄起十二个圆池其十二个
　圆池补成一个圆周方其圆周多于方面十四步故

　　　　　　　　　　　　　　自之为幂加入所
　　　　　　　　　　　　　　欠之一角又二之
　　　　　　　　　　　　　　为虚从恰得十一
　个方也
　　第八问
今有方田一段内有圆池水占之外有地一十三亩七
　分半只云内外方圆周共相和得三百步问方圆周
　各多少

　　答曰外方周二百四十步　内圆周六十步
　　　　　　　　　法曰立天元一为圆径以三之
　　　　　　　　　为圆周以减共步得□□为方
　　　　　　　　　周以自增乘得□□□为十六
　　　　　　　　　段方田积于头再立天元圆径
　以自之又十二之得(太/○)○□为十六个圆池积以减
　头位得□□□为十六段如积寄左然后列真积一
　十三亩七分半以亩法通之得三千三百步又就分

　母一十六通之得五万二千八百步与左相消得□
　□□开平方得二十步为圆池径又三之为圆周也
　依条段求之和步幂内减十六之见积为实六之和
　步为从三步常法
　义曰十六个圆池该十二个方内从步合除去九个
　方外犹剩三个方故以三步为常法也
　旧术曰列相和步自乘为头位又以十六之田积减
　头位又六而一为实以相和步为从法廉常置五分

　
　
　
　
　
　
　　第九问
今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六

　十八步只云内外周与实径共相得三百三十步问
　三事各多少
　　答曰外方周二百四十步　实径十八步　圆周
　　七十二步
　　　　　　　　　法曰立天元一为池径以五之
　　　　　　　　　减倍之相和步得□□为九个
　　　　　　　　　方面以自增乘得□□□为八
　　　　　　　　　十一段方田积于头位(二之相/和步别)

　(得是八方面六圆径二实径今将二实径与一圆径/就成一方面共前数计九方面五圆径却更无实径)
　(也/)再立天元池径以自之又以六十步七分半乘之
　得(元/○)□为八十一个圆池(所以用六十步七分半乘/之者欲齐其八十一分母)
　(也每个圆池七分半以八十/一通之得六十步七分半也)以此减头位馀□□□
　为八十一段如积寄左然后列真积三千一百六十
　八步以八十一通之得二十五万六千六百○八与
　左相消得下□□□(步/)开平方得二十四步为池径
　也五因池径减倍相和馀九而一得方田面以池径

　减方馀折半为实径
　依条段求之倍共步自乘于头以八十一之田积减
　头位馀为实二十之共步为从三十五步七分半为
　常法
　　　　　　　　　义曰八十一个方田内𢃄起八
　　　　　　　　　十一个圆池每个圆池七分半
　　　　　　　　　此八十一个计该六十步七分
　　　　　　　　　半其从步内合除去二十五个

　外犹剩三十五个七分半故以之为常法也
　旧术曰倍相和步自乘为头位又以八十一乘田积
　减头位馀退一位为实倍相和步为从法廉常置三
　步五分七釐半
　　第十问
今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六
　十八步只云内外方圆周与斜径共相和得三百四
　十二步问三事各多少

　　答曰外方周二百四十步　内圆周七十二步
　　　　斜三十步
　　　　　　　　　法曰立天元一为池径以二十
　　　　　　　　　五之减于十之相和三千四百
　　　　　　　　　二十步得□□为四十七个外
　　　　　　　　　方面以自增乘得□□□为二
　千二百九段方田积于头位(十之相和步三千四百/二十为方面四十个内)
　(池径三十个斜至步一十个以一十个斜至步合入/五个池径共得五斜此五斜却便是七个方面计总)

　(数该四十七个方面二十五/个圆径外更无斜至步也)再立天元池径以自之
　又以一千六百五十六步七分半乘之得(元/○)　□为
　二千二百○九个圆池积也(所以用一千六百五十/六步七分半乘之者欲)
　(齐其二千二百○九分母也每一个圆池积七分半/今有二千二百○九个圆池积以七分半乘之该一)
　(千六百五十六/步七分半也)以此减头位得□□□为二千二百
　九段如积数寄左然后列真积三千一百六十八步
　以分母二千二百九通之得六百九十九万八千一
　百一十二步与左相消得□□□开平方得二十四

　步即池径也以二十五之圆径减十之和步馀四十
　七而一得为外方面身加四内减了圆池径馀折半
　为斜径也
　　按法内所用四十七方面之数亦由立天元一法
　　取出但截去前段恐初学不能无疑兹仍依其法
　　补之
　　法立天元一为池径五因之以减倍和得□□为
　　八方面一斜共数以方五因之得□□为实又以

　　方五因八方面得四十以斜七乘一斜得七并之
　　得四十七为法除实得方面不除便为四十七个
　　方面也
　依条段求之相和步进一位自乘于头位以二千二
　百九之真积减头位馀为实五百之和步为益从一
　千三十一步七分五釐为益隅
　义曰减数系是二千二百九段方面幂内却漏下二
　千二百九个圆池此数该一千六百五十六个七分

　　　　　　　　　圆径幂却于从步上叠用了六
　　　　　　　　　百二十五个池径幂外犹剩一
　　　　　　　　　千三十一个七分五釐故以之
　　　　　　　　　为隅法其从法元有五十个圆
　径今命为之五百者缘相和步进一位也
　旧术曰列相和步进一位自相乘为头位以二千二
　百九之积减头位馀以三之为实又以一千五百之
　相和步为从法廉常置三千九十五步二分半开平

　方见池径
　　第十一问
今有圆田一段内有方池水占之外计地二十五亩馀
　二百四步只云从外田楞至四边各三十二步问外
　圆内方各多少
　　答曰外圆径一百步　内方面三十六步
　法曰立天元一为内方面加倍至步为外田径以自
　之得下式□□丨又三之得□□□为四段圆田积

　　　　　　　　　于头再立天元方面以自之又
　　　　　　　　　就分母四之得(元/○)□为四池积
　　　　　　　　　以减头位得□□丨为四段如
　　　　　　　　　积数寄左然后列真积又就分
　四之得二万四千八百一十六步与左相消得□□
　丨开平方得三十六步为方池面也加倍至步即圆
　径也
　依条段求之四之积步于头位(作三个外圆径幂内/出了四个方池积也)

　内减十二之至步幂为实十二之至步为从一虚隅
　
　
　
　义曰四个外圆田内减了十二段至步幂复以十二
　之至步为从又合去四个方池今元积内有三个虚
　池外犹欠一个虚池故以一步为虚隅常减从以为
　法

　又有圆田一段中有方池水占之外有田五十步只
　云方池一尖抵圆边其一尖至圆边三步问圆径方
　面各若干
　　答曰径十步　面五步
　　　　　　　　　法曰立天元一为方斜加三步
　　　　　　　　　为圆径以自之又以一步九分
　　　　　　　　　六釐乘之得□(步/)□□(按此为/一平方)
　　　　　　　　　(九分六釐多十一元七分六釐/多十七步六分四釐诸条皆步)

　(数在上此条/独步数在下)又三之得□(步/)□□内减四之天元幂
　得上层□中下云云(按即多三十五元二分八釐/多五十二平方九分二釐)寄
　左然后置五十步两度加四得□(步/)又四之得□(步/)
　与左相消得下层三百三十九步○八釐(按此下当/加与一平)
　(方八分八釐多三十五元/二分八釐等十八字方明)负开平方得七步即池斜
　也副置池斜上位加至步即圆径下位身外减四即
　方面也合问
　依条段求之四段展起见积内减三段展起至步幂

　为实六之至步展起为从一步八分八釐为常法也
　此问若求方面则其法甚易今求方斜故其图须细
　分之
　
　
　
　义曰三个九分六釐共计二步八分八釐其元初作
　四段如积时合有四个所展之池今来只见三个故

　于二步八分八釐内去却一步有馀只有一步八分
　八釐为常法也(此法于别纸上/抄得故录于此)
　　第十二问
今有圆田一段内有方池水占之外有地二十五亩零
　二百四步只云从外田楞通内方方面六十八步问
　各数若干
　　答曰外圆径一百步内方面三十六步
　法曰立天元一为内方面减倍通步得□丨为外圆

　　　　　　　　　径以自之得□□丨为圆径幂
　　　　　　　　　以三之得□□□为四段圆田
　　　　　　　　　积于头再立天元内方面以自
　　　　　　　　　之又就分母四之得(元/○)□为四
　段方池积以减头位得□□丨为四段如积数寄左
　然后以四之见积二万四千八百一十六步与左相
　消得□□丨平方开之得三十六步为内方面也减
　倍通步即圆径

　依条段求之十二段至步幂内减四之见积为实十
　二之通步为从一常法
　　　　　　　　　　　　　　义曰所减数内剩
　　　　　　　　　　　　　　下四个方池叠补
　　　　　　　　　　　　　　了三个外犹剩一
　个故以之为常法
　　第十三问
今有圆田一段内有方池水占之外计地五千步只云

　从外田楞至内池角四边各一十五步问方圆各多
　少
　　答曰外圆径一百步　内方面五十步
　　　　　　　　　法曰立天元一为内方面身外
　　　　　　　　　加四为内方斜又加倍至步得
　　　　　　　　　□□为外圆径也以自增乘得
　　　　　　　　　□□□为外径幂以三之得□
　□□为四段外圆积于头再立天元内方面以自之

　又四之得(元/○)□为四段方池积也以减头位馀□□
　□为四段如积数寄左然后列四之见积二万步与
　左相消得□□□开平方得五十步为池方面也身
　外加四又加入倍至步即为外田径也
　依条段求之四之积步内减十二段至步幂为实十
　二之至步身外加四为从一步八分八釐为常法
　义曰三个九分六釐计二步八分八釐其四个圆田
　内有四个方水池除从步合占三个外犹剩一个水

　
　
　
　池却于数内取了一步馀一步八分八釐故以之为
　常法也其从步加四者盖取斜中之方面也盖不加
　四不能见方面而但得方斜也
　旧术曰四因积步为头位又倍去角步自乘三之减
　头位馀折半为实又倍去角步三因加四为从法廉

　常置九分四釐
　　第十四问
今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七
　步只云从田外楞通内池斜三十五步半问外圆内
　方各多少
　　答曰外圆径三十六步　内方面二十五步
　法曰立天元一为内方面加四得(元/□)为方斜以减倍
　通步得(太/□)□为外圆径以自增乘得□□□为外田

　　　　　　　　　径幂也以三之得□□□为四
　　　　　　　　　段圆田积于头再立天元内方
　　　　　　　　　面以自之又就分四之得(元/○)□
　　　　　　　　　为四段方池以减头位得□□
　□为四段如积寄左然后列四之见积一千三百八
　十八步与左相消得□□□开平方得二十五步为
　内方面也方面加四减于倍通步得圆径也
　依条段求之十二段通步幂内减四之田积为实十

　二之通步加四为益从一步八分八釐常法
　
　
　
　义曰此式元系虚从今以虚隅命之四段圆田减积
　时剩下四段方池于从步内用讫三个外犹剩一个
　却于二步八分八釐虚数内补了一步外虚一步八
　分八釐故以之为法(从负隅正或从正隅负其实/皆同故因此廉从以别之)

　旧术曰倍通步自乘三之为头位四因田积减头位
　馀为实又十二通步加四为从法廉常置一步八分
　八釐减从开方(新旧廉从不同开/时则同故两存之)
　　第十五问
今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一
　百七十六步只云内方周不及外圆周一百五十二
　步问外圆内方各多少
　　答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步

　　　　　　　　　法曰立天元一为内方面以四
　　　　　　　　　之为内方周加不及一百五十
　　　　　　　　　二步得□□为外圆周以自增
　　　　　　　　　乘得□□□为十二段圆田积
　于头再立天元内方面以自之又就分十二之得(元/○)
　□为十二段方池积以减头位馀□□□为十二段
　如积寄左然后列见积八千○九十六步又就分十
　二之得九万七千一百五十二步与左相消得□□

　□平方开得五十二步为内池方面也以四之为内
　方周加不及步为圆周也
　依条段求之十二段积步内减不及步幂为实八之
　不及步为从四步为常法也
　　　　　　　　　义曰十二段圆积该九段圆径
　　　　　　　　　幂九段圆径幂便是九个圆周
　　　　　　　　　幂也据十二段圆积内元少十
　　　　　　　　　二个方池今于周幂内除折算

　外剩四个池积故以四步为常法也
　旧术曰十二之积步为头位以不及步自乘减头位
　馀八而一为实以不及步为从法廉常置半步开平
　方(新旧二术不同者旧术从简耳算术本贵简易/而犹立新术者缘旧术难画条段也馀仿此)
　　第十六问
今有圆田一段内有方池水占之外计地三千五百六
　十四步只云内方周与外圆径等问等数各若干
　　答曰内方周外圆径各七十二步

　　　　　　　　　法曰立天元一为等数便以为
　　　　　　　　　方周以自之为十六个方池于
　　　　　　　　　头(元/○)丨再立天元等数便以为
　　　　　　　　　圆径以自之又十二之得(元/○)□
　为十六段圆田积内减头位馀(元/○)□为十六段如积
　寄左然后列真积三千五百六十四步又就分十六
　之得五万七千○二十四步与左相消得□○□平
　方开得七十二步即等数也

　　按法后落条段一条依前例补之
　依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法
　　　　　　　　　　　　　　义曰十六个圆积
　　　　　　　　　　　　　　乃十二段圆径幂
　　　　　　　　　　　　　　也其十六个圆积
　内有十六个方池恰是一个方也此一个方便是等
　数幂也
　旧术曰列田积从十一段平方开之得内方面四之

　即等数也乂法以十六乘田积如十一而一所得开
　方即等数
　　第十七问
今有圆田一段内有方池水占之外有地一千六百一
　十一步只云外圆径不及内方周四十二步问方圆
　各若干
　　答曰外圆径五十四步　内方周九十六步
　法曰立天元一为外圆径加不及四十二步得

　　　　　　　　　为内方周以自增乘得下式□
　　　　　　　　　□丨为十六段池积于头再立
　　　　　　　　　天元外圆径以自之又十二之
　　　　　　　　　得(元/○)□为十六段田积也内减
　头位馀□□□为十六段如积寄左然后列真积一
　千六百一十一步就分母十六之得二万五千七百
　七十六步与左相消得□□□平方开得五十四步
　为外圆径也加不及步为内方周也

　依条段求之置十六之积加不及步幂为实倍不及
　步为虚从一十一步为常
　　　　　　　　　　　　　义曰十二个圆径
　　　　　　　　　　　　　幂该十六个圆田
　　　　　　　　　　　　　积十六个圆田积
　内有十六个方池其十六个方池于实积内侵过所
　加一角并二段虚从之数也
　　第十八问

今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七
　步只云外圆周内方周共得二百八步问内外周各
　多少
　　答曰外圆周一百八步　内方周一百步
　　　　　　　　　法曰立天元一为内方面以四
　　　　　　　　　之为内方周减于相和二百八
　　　　　　　　　步得□□为外圆周以自增乘
　　　　　　　　　得□□□为圆周幂便为十二

　段圆田积于头再立天元内方面以自之又就分十
　二之得(元/○)□为十二段方池积也以减头位馀□□
　□为十二段如积寄左然后列见积三百四十七步
　就分母十二之得四千一百六十四步与左相消得
　□□□开平方得二十五步为内方面也四之为内
　方周减于相和步为圆周也
　依条段求之以十二之积步减和步幂为实八之和
　步为虚从四常法

　　　　　　　　　义曰十二段圆田内有十二个
　　　　　　　　　方池于方周幂内补了十二池
　　　　　　　　　外犹欠四个故以四为隅法此
　　　　　　　　　式元系虚从今却为虚隅命之
　故以四为虚常法
　旧术曰相和步自乘于头位以十二之积步减头位
　馀八而一为实相和步为从法廉常置半步减从
　　第十九问

今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一
　百七十六步只云内外周与实径共相和得六百二步
　问三事各多少
　　答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步
　　　　实径三十四步
　法曰立天元一为内方面以减一百七十二得□丨
　为外田径也(倍云数得一千二百四步别得是六个/圆径八个方面两个实径今将一个方)
　(面两个实径合成一个圆俓并前数而计是七个方/面七个圆径也今置一千二百四步在地以七约之)

　　　　　　　　　(得一百七十二步为径面共也/便是一个方面一个圆径更无)
　　　　　　　　　(实径/也)以自增乘得□□丨为圆
　　　　　　　　　径幂也以三之得□□□为四
　　　　　　　　　段圆田积于头再立天元内池
　面以自之又就分四之得(元/○)□为四池积以减头位
　得□□丨为四段如积寄左然后列见积八千九十
　六步又就分四之得三万二千三百八十四步与左
　相消得□□丨开平方得五十二步为内方面也以

　七之方面减于倍和步馀以七而一即圆径也圆径
　内减方面馀者又半之即实径也
　依条段求之径面共一百七十二也自之为幂又三
　之于头位内减四之见积馀为实六之径面共步为
　从一常法

　义曰四之真积内有四个方池于从法内叠周了三
　个外剩一个故以一步为常法
　旧术曰倍相和步自乘三之为头位以一百九十六
　步(按此即四与四/十九相乘之数)之田积减头位馀以十四而一为
　实又六之相和步为从法廉常置三步半开平方见
　内方面
　　第二十问
今有圆田一段内有方池水占之外计地二千四百七

　十五步只云内外周与斜径相和得二百五十九步
　半问三事各多少
　　答曰外圆周一百八十步　内方周六十步　斜
　　　　十九步半
　　　　　　　　　法曰立天元一为内方面以三
　　　　　　　　　十三之减于十之云数二千五
　　　　　　　　　百九十五步得□□为三十五
　　　　　　　　　个圆田径(十之云数内有外圆/径三十个内方面四)

　(十个角斜十个今将七个方面并入十个角斜为五/个圆径也总别得十之云数是方面三十三个圆径)
　(三十五个外更/无斜径角也)乃以三十五之圆径自增乘得下式
　□□□为一千二百二十五段圆径幂也以三因之
　得□□□合以四除之今不除便为四千九百段圆
　田积于头再立天元内池面以自之又就分以四千
　九百乘之得○□为四千九百段方池积以减头位
　得□□□为四千九百段如积数寄左然后列真积
　二千四百七十五步就分以四千九百乘之得一千

　二百一十二万七千五百步与左相消得□□□平
　方开得一十五步为内方面方(三十三之方面以减/于十之相和二千五)
　(百九十五步馀三十五而一即圆径以/方面加四减圆径馀半之即斜径也)
　依条段求之十之相和步自之为幂以三之于头位
　以四千九百段见积减头位为实一千九百八十之
　相和步为从一千六百三十三为常法
　义曰减数计三千六百七十五个圆径幂便是四千
　九百个圆田积也内漏下四千九百个方池却于从

　　　　　　　　　　　　　　内叠用了三千二
　　　　　　　　　　　　　　百六十七个方池
　　　　　　　　　　　　　　外犹剩一千六百
　三十三个方面幂故以之为常法也其从法元有一
　百九十八个方面合用一百九十八之相和步为从
　今用一千九百八十个相和步者缘为相和步先进
　了一位也
　　第二十一问

今有方田三段共计积四千七百七十步只云方方相
　较等三方面共并得一百八步问三方多少
　　答曰大方面五十七步　中方面三十六步　小
　　　　方面一十五步
　　　　　　　法曰立天元一为方差以减中方面
　　　　　　　(置并数三而一/即得中方面)得□丨为小方面也
　　　　　　　以自之得□□丨为小方积于头再
　　　　　　　立天元方差加入中方面得□丨为

　大方面以自之得□□丨为大方积于次位又列中
　方面□自之得下□为中方积于下位三位相并得
　□○□为一段如积数寄左然后列真积四千七百
　七十步与左相消得□○□开平方得二十一步即
　是方差也(置方差数加中方即大方/面减中方即小方面也)
　依条段求之列并数以三约之所得即中方面也以
　自之为幂又三之以减积为实无从二步常法
　义曰积步内减三个中方幂外有两个方故得二步

　　　　　　　　　　常法旧术又折半止得一个
　　　　　　　　　　方也
　
　
　　第二十二问
今有方田一段其西北隅被斜水占之外计地一千二
　百一十二步七分半只云从田东南隅至水楞四十
　五步半问田方面多少

　　答曰田方面三十五步
　　　　　　　　　法曰立天元一为水占斜加入
　　　　　　　　　云数四十五步半得□(元/丨)为田
　　　　　　　　　斜以自增乘得□步□丨为田
　　　　　　　　　斜幂于头再立天元一水占斜
　以自之为水占得小方积就分以一步九分六釐乘
　之得(元/○)□(步/)为所展得水占积也以减头位得□□
　□(步/)为如积一段寄左然后列真积一千二百一十

　二步七分半以一步九分六釐乘之得二千三百七
　十六步九分九釐与左相消得□□□开平方得三
　步半为水占斜加至步为田斜身外减四即是方面
　也
　依条段求之展积内减至步幂为实二之至步为从
　九分六釐虚常法开平方得三步半即水占斜也
　义曰今将水占斜直命为小方池面也
　旧术曰列田积于头位又列至步除四则直至步以

　　　　　　　　　自乘减头位馀为实二之直至
　　　　　　　　　为从以九分六釐为廉从开平
　　　　　　　　　方得二步半加直至步三十二
　　　　　　　　　步半得三十五步即田方面也
　　　　　　　　　此图即旧术条段也旧术减云
　　　　　　　　　步为直至步入法而求得二步
　　　　　　　　　半为直至不及方面步新术展
　　　　　　　　　积入法而求得三步半为水占

　斜
　
　
　
　
　
　
　益古演段卷上