钦定四库全书
　夏侯阳算经卷上
　　　明乘除法
夏侯阳曰夫算之法约省为善有分者通之分不均者
同之位高者下之可约者约之耦则半之五则倍而折
之一三七九商用所宜于此不得乃为之命分分母入
者须出之然后为定子可半者半之不可半者倍母而
入之此算之要道也凡除分者全数易了奇残难用心

意之劳正在于此后当随事释之其物残分求尺尺之
求寸皆上十之斤之求两二而八之两之求铢三而八
之铢之求累黍皆上十之斗之求升合抄撮皆上十之
里之求步三百之步之求尺六之氂毫丝忽可以意知
夫乘除之法先明九九一从十横百立千僵千十相望
万百相当满六已上五在上方六不积算五不单张上
下相乘实居中央言十自过不满自当以法除之宜得
上商从算相似横算相当以次右行极于左方言法之

上见十步至十见百步至百见千步至千见万步至万
悉观上数以安下位上不满十下不满一步随多少以
为楷式
以少呼多因法为母积实为子二分之一为中半三分
之二为太半三分之一为少半四分之一为弱半此漏
刻之数也
凡算者有五乘五除(除者散繁除约乃以除减为名乘/者令少乘多乃以乘长为称乘盈)
(除缩故曰/乘除也)一曰法除(上下置位以少呼多言十自过不/满自当实居中央故曰法除也)

二曰步除(如斛中求斗斗中求升升中求合合中求勺/勺中求抄及丈中求尺尺中求寸寸中求分)
(皆言上十之上百/之故曰步除也)三曰约除(如等数所得者约实约法/各得分数故曰为除也)
四曰开平方除(借一算为下法步之超一位幂方十其/积有百幂方百其积有万至百言十至)
(万言百故曰/开平方除也)五曰开立方除(借一算为下法步之超二/位立方十其积有千立方)
(百其积有百万至千言十至/百万言百故曰开立方除也)
时务云十乘加一等百乘加二等千乘加三等万乘加
四等十除退一等百除退二等千除退三等万除退四
等

　　　辩度量衡
田曹云度之所起起于忽十忽为一丝十丝为一毫十
毫为一氂十氂为一分十分为一寸十寸为一尺十尺
为一丈十丈为一引四丈为一匹五丈为一端六尺为
一步二百四十步为一亩三百步为一里
仓曹云量之所起起于粟十粟为一圭十圭为一撮十
撮为一抄十抄为一勺十勺为一合十合为一升十升
为一斗十斗为一斛

金曹云称之所起起于黍十黍为一累十累为一铢二
十四铢为一两十六两为一斤三十斤为一钧四钧为
一石
汉书律历志曰度者所以度长短本起于黄钟之长以
子谷秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一黍
为分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引而五度
审矣
量者所以量多少本起于黄钟之龠用度数审其容

以子谷秬黍中者千二百实其龠十龠为合十合为升
十升为斗十斗为斛而五量嘉矣
权者所以称物平施知轻重本起于黄钟之重一龠容
千二百黍重十二铢二十四铢为两十六两为斤三十
斤为钧四钧为石而五权谨矣(两者黄钟之重二十四/铢象二十四气十六两)
(为斤象四时乘四方三十斤为/钧象一月四钧为石象四时也)权与物均而生衡(谓重/与物)
(均所称适停/时衡平也)衡运生规规圆生矩矩方生绳绳直生准
(立准以望绳/以水为平也)是为五则规者所以规圆器械令得其类

也矩者所以矩方器械令不失其形也规矩相须阴阳
位序圆方乃成准者所以揆平取正也绳者上下端直
经纬四通也准绳连体权衡合德百工繇焉以定法式
(以上/古法)
在京诸司及诸州各给称尺并五尺度斗升合等样皆
铜为之
仓库令诸量函所在官造大者五斛中者三斛小者一
斛以铁为缘勘平印书然后给用(以上今时/用之也)

　　　言斛法不同
仓曹云古者凿地方一尺深一尺六寸二分受粟一斛
至汉王莽改铸铜斛用深一尺九寸二分至宋元嘉二
年徐受重铸用二尺三寸九分至梁大同元年甄鸾校
之用二尺九寸二分然时异事变斗尺不同以古就今
临时校定始可行用若欲审之以掘地作穴方广三尺
已下以今时用斗量米一斛置诸穴中槩令平满如有
少剩临时增减取米适平然后出之径量以知深浅乃

可以为斛法定数
今有方窖长一丈三尺广六尺深一丈问受粟几何答
曰四百八十一斛四斗八升二十七分升之四
术曰置长尺数以广尺数乘之又以深乘之得积尺以
斛法除之即粟数(凡斛法一尺/六寸二分)
今有圆篅周三丈高一丈六尺问受粟几何答曰七百
四十斛七斗四升二十七分升之二
术曰置周尺数自相乘以高数乘之十二而一得积尺

以斛法除之即粟数
今有平地聚粟下周三丈高四尺问受粟几何答曰六
十一斛七斗二升八十一分升之六十八
术曰置周尺数自相乘以高乘之三十六而一得积尺
以斛法除之即粟数
今有仓南北一丈五尺东西三丈五尺高八尺问受粟
几何答曰二千五百九十二斛五斗九升二十七分升
之七

术曰以东西南北丈尺相乘又以高乘之得积尺以斛
法除之即粟数
今有仓广二丈六尺长三丈四尺深一丈二尺中有二
柱长一丈二尺圆三尺牵二枚长二丈六尺方五寸梁
二枚长二丈六尺方三尺问受粟几何答曰六千二百
四十斛一斗二升八十一分升之二十八
术曰置广长相乘以其深乘得一万六百八尺柱圆三
尺自相乘得九尺以乘其长得一百八尺倍之得二百

一十六尺以十二除之得一十八尺牵方自相乘退位
得二寸五分复乘其长得六尺五寸倍之得一十三尺
梁方自乘得九尺复乘其长得二百三十四尺倍之得
四百六十八尺并柱牵梁(案原本脱梁字/今据上文补)得四百九十
九尺以减大数馀一万一百九尺以斛法除之即粟数
今有方仓长三十一丈六尺广七十二尺高一十七尺
中有九柱各圆三尺五寸长十七尺又有六柱各方二
尺八寸长十七尺梁三枚长三十二尺厚广二尺牵三

枚(案牵下原本/衍方字今删)长三十二尺各方七寸问受粟几何答
曰二十三万七千八百九十九斛四十三升五十四分
升之五十三
术曰置长广相乘以高乘为实圆柱自乘以乘长十二
而一九因之为实方柱自乘以乘长六因之为实梁厚
广相乘以乘长三因之为实牵方自乘以乘长三因之
为实并柱梁牵等减仓实尺以斛法除之即粟数
　　　课租庸调

赋役令诸户一丁租粟二斛其调各随乡土所出绢䌳
各二丈布二丈五尺输绢䌳者绵三两输布者麻三斤
若当户不成端匹屯綟者皆丈尺折半之
求庸七尺五寸法置丁数三因之折半丈尺折半之
又法置丁数以七尺五寸为法乘之以五丈除之不满
为奇丁丈尺他皆仿此
又法重张丁数下位退一等五因之以添上位丈尺折
半

又法置丁数三而五之丈尺折半之
凡年终除闰月外有二月谓五月十月(一云/九月)为农事之
月免庸若役五十日租庸调并免他皆放此
求每丁闰有二尺五寸法(案每丁下原本有布二端二/尺五字系下文讹衍在此又)
(脱闰有二字/今据术删补)置丁数五因之丈尺折半之
求有闰年每丁布二端二丈二尺五寸法置丁数(案此/下原)
(本有五因之丈尺折半之求有闰年每丁布二端二丈/二尺五寸置丁数凡二十六字即上文衍复在此今删)
(正/)七而七之退一等折半丈尺折半之(案原本脱丈尺/折半四字今据)

(术/补)
又法(案原本脱/法字今补)置丁数以二百四十五乘之退二等丈
尺折半之
求庸闰布每丁一端三丈二尺五寸法重置丁数各三
因之下位退一等添头位讫半之其丈尺以下更半之
求无闰年每丁布二端一丈五尺法重置丁数上位二
因之下位退一等三因之丈尺折半添上位
又法置丁数以二十三乘退一等丈尺折半之

求每丁调綟布四丈法置丁数八因退一等丈尺折半
之
求每丁闰年庸调布二端二丈二尺五寸(案此即上求/有闰年每丁)
(布二端二丈二尺五寸法而立术各/异又求每下原本衍年字今删正)列置丁数之位头
位二因(端/也)中位退一等四因(丈/也)下位退二等五因(尺/也)丈
尺半之百丁已上不折半并三位即都数(案此下原本/有若每丁因)
(一位端也中退一等二因丈也下位退二等五因尺也/奇丁丈尺折半三位即得凡三十六字系上下文衍复)
(在此今/删正)

若每丁庸调并剩布二丈五尺都当二端二丈五尺亦
列丁数二位头位二因(端/也)下位退一等五因(丈/也)奇丁丈
尺折半之并二位得都数
若每丁庸调并剩布一尺六寸七分都当二端一丈六
尺六寸七分亦列丁数五位头位二因(端/也)次位退一等
三因(丈/也)次位退二等三因(尺/也)次位退三等三因(寸/也)下位
退四等四因(分/也)奇丁丈尺折半之并得都数
凡算布从丈尺以下皆倍本因之数

　　　论步数不等
田曹以六尺为步三百步为一里(此古/法)
杂令诸度地以五尺为一步三百六十步为一里
田令诸田广一步长二百四十步为亩亩百为顷(此今/用之)
方田(四方平等/名曰方田)术曰方自乘为积步以亩法除之
直田(从长而广狭/故曰直田)术曰以从广相乘为积步以亩法除
之
腰鼓田(形似腰/鼓细)术曰并三广以三而一乘长为积步以

亩法除之
圆田(形如/鼓面)术曰周自乘以十二而一得积步
又术周乘径四而一亦得
又术半周乘半径亦得各得积步并以亩法除之
环田(此外周而/心空如环)术曰并外内周而半之以径乘为积步
以亩法除之
丸田(形如覆/半弹丸)术曰径乘周四而一得积步以亩法除之
圭田(三角/之田)术曰半长乘广为积步以亩法除之

弓田(形如/弓样)术曰矢乘弦矢又自乘并之二而一以亩法
除之
箕田(一头广/一头狭)术曰并二广而半之以乘长为积步以亩
法除之
四不等田(二广二长/不齐也)术曰并二长而半之又并二广而
半之相乘为积步以亩法除之
今有田二十一顷七十八亩一百八十步问为方几何
答曰七百二十三步奇百七十一步

术曰先置顷亩于上以二百四十步乘之得五十二万
二千七百二十步内零一百八十步以开方除之借一
算为下法步之超一位至百止万上置上商七百下亦
置七万于实位之下下法之上命上商除实讫倍方为
一十四万方法一退下法再退又置上商二十于前商
后又置二百于方法之下下法之上名曰隅法以方隅
二法皆命上商以除实讫倍隅法为四百从上方法一
退下法再退又置上商三于前商二十之后又置三步

于方法之下下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上
商除实讫倍隅法得六从上方法得一千四百四十六
即是上方得七百二十三步奇一百七十一步
　　　变米榖
仓库令云其折糙米者稻三斛折纳糙米一斛四斗
若榖求米法十四乘三除(除毕以米数/折退一等)
又法四二乘九除一四乘三除(案此句即上十四/乘三除句复出)二八
乘六除

若米求谷法三乘十四除
又法九乘四二除三乘一四除(案此句即上三乘/十四除句复出)六乘
二八除
粟五斗为粝米三斗三十乘之五十而一为粺米二斗
七升二十七乘之五十而一为糳米二斗四升二十四
乘之五十而一为御米二斗一升二十一乘之五十而
一
今有粟五千五百一十斛九斗欲每斛为粝米六斗粺

米五斗四升糳米四斗八升御米四斗二升问各几何
答曰粝米三千三百六斛五斗四升粺米二千九百七
十五斛八斗八升六合糳米二千六百四十五斛二斗
三升二合御米二千三百一十四斛五斗七升八合
术曰置粟退一等以六斗乘为粝米以五斗四升乘为
粺米以四斗八升乘为糳米以四斗二升乘为御米
返求粟法置粝米数以五因之三除之置粺米数以上
十之以五斗四升除之糳米各以本米数除之皆得本

粟
今有榖一千八百四十三斛八斗三升欲依租变米每
谷三斛为米一斛四斗问合得米几何答曰八百六十
斛四斗五升四合
术曰置谷数以一斛四斗为法乘之以三斛为法除之
得米数