钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷四十
　　末部十
　　　比例规解(分圆线/假数尺)　(正弦线数尺正切线线假正割线割尽日晷法/正弦假 切 数尺 线假数尺)

　　分圆线(即圆内之/通弦线)
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线依几何原本十二卷二十节之
　　　　　法分之即为分圆线也或用八线表三
　　　　　十分之正弦倍之即一度之通弦一度
　　　　　之正弦倍之即二度之通弦一度三十
　　　　　分之正弦倍之即三度之通弦至于九
　　　　　十度之正弦倍之即一百八十度之通

　　　　　弦以所得通弦之数于分釐尺上取其
　　　　　度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即
　　　　　成分圆线也
设如甲乙半径六寸丙乙弧二十九度问丙乙通弦
　几何
　　　　　法以比例尺分圆线六十度之两点依
　　　　　半径六寸之度展开勿令移动次取分
　　　　　圆线二十九度两点相距之度于分釐
　　　　　尺上量之得三寸即丙乙通弦之数也

　　　　　盖圆之半径与六十度之通弦等六十

　　　　　度之通弦既为六寸则二十九度相距
　　　　　之三寸即为二十九度之通弦可知矣
设如甲乙半径六寸丙乙通弦三寸问丙乙弧度几
　何
　　　　　法以比例尺分圆线六十度之两点依
　　　　　半径六寸之度展开勿令移动次取通
　　　　　弦三寸之度于分圆线上寻至二十九
　　　　　度之两点其相距之度恰合即丙乙弧

　　　　　为二十九度也盖圆之半径与六十度
　　　　　之通弦等通弦六寸相当之度为六十
　　　　　度则丙乙通弦三寸相当之二十九度
　　　　　即为丙乙弧之度可知矣
设如丙乙弧三十一度丙乙通弦一寸零三釐问甲
　乙半径几何
　　　　　法以比例尺分圆线三十一度之两点
　　　　　依通弦一寸零三釐之度展开勿令移
　　　　　动次取六十度两点相距之度于分釐

　　　　　尺上量之得二寸即甲乙半径也盖六

　　　　　十度之通弦与圆之半径等三十一度
　　　　　之通弦为一寸零三釐则六十度之通
　　　　　弦二寸即为圆之半径可知矣
设如圆径六寸内容五等边形问每一边几何
　　　　　法以比例尺分圆线六十度之两点依
　　　　　半径三寸之度展开勿令移动次以圆
　　　　　周三百六十度用五归之得七十二度
　　　　　即五等边形每边相当之弧乃取分圆

　　　　　线七十二度两点相距之度于分釐尺
　　　　　上量之得三寸五分有馀即圆内五等
　　　　　边形之一边也盖圆内容五边形之每
　　　　　一边即七十二度之通弦而半径又即
　　　　　六十度之通弦六十度之通弦为三寸
　　　　　则七十二度之通弦三寸五分有馀即
　　　　　为圆内容五等边形之一边可知矣
设如有甲乙丙三角形问乙角之度几何
　　　　　法以乙角为心任以一处为界作丁戊

　　　　　弧则乙丁乙戊皆为圆之半径丁己戊

　　　　　为乙角之通弦乃以比例尺分圆线六
　　　　　十度之两点依乙丁半径之度展开勿
　　　　　令移动次取丁己戊通弦之度于分圆
　　　　　线上寻至三十度之两点其相距之度
　　　　　恰合即乙角为三十度也

　　正弦线
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线用八线表正弦线自一度至九
　　　　　十度之数(自八十度至九十度正弦每/度之较甚微若尺小不能分)
　　　　　(或隔一度而作一点/或隔五度而作一点)于分釐尺上取其
　　　　　度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即
　　　　　成正弦线也
设如甲乙半径六寸丙乙弧二十一度问丙丁正弦

　几何
　　　　　法以比例尺正弦线九十度之两点依
　　　　　半径六寸之度展开勿令移动次取正
　　　　　弦线二十一度两点相距之度于分釐
　　　　　尺上量之得二寸一分五釐即丙丁正
　　　　　弦之数也盖圆之半径与九十度之正
　　　　　弦等九十度之正弦既为六寸则二十
　　　　　一度相距之二寸一分五釐即为二十
　　　　　一度之正弦可知矣若用分圆线则以

　　　　　分圆线六十度之两点依半径六寸之

　　　　　度展开勿令移动次以丙乙弧二十一
　　　　　度倍之得四十二度即取分圆线四十
　　　　　二度两点相距之度于分釐尺上量之
　　　　　得四寸三分为四十二度之通弦折半
　　　　　得二寸一分五釐即丙丁正弦之数也
　　　　　盖正弦之弧为弧背之一半正弦为通
　　　　　弦之一半故求得倍弧之通弦折半即
　　　　　半弧之正弦此分圆线与正弦线可以

　　　　　互相为用也
设如甲乙半径六寸乙丁正弦三寸问乙丙弧之度
　几何
　　　　　法以比例尺正弦线九十度之两点依
　　　　　半径六寸之度展开勿令移动次取正
　　　　　弦三寸之度于正弦线上寻至三十度
　　　　　之两点其相距之度恰合即乙丙弧为
　　　　　三十度也盖圆之半径与九十度之正
　　　　　弦等正弦六寸相当之度为九十度则

　　　　　正弦三寸相当之三十度为丙乙弧之

　　　　　度可知矣若用分圆线则以分圆线六
　　　　　十度之两点依半径六寸之度展开勿
　　　　　令移动次以正弦三寸倍之得六寸于
　　　　　分圆线上寻之得六十度折半得三十
　　　　　度亦即乙丙弧之度也
设如甲乙弧三十二度甲丙正弦一寸零六釐问乙
　丁半径几何
　　　　　法以比例尺正弦线三十二度之两点

　　　　　依正弦一寸零六釐之度展开勿令移
　　　　　动次取九十度两点相距之度于分釐
　　　　　尺上量之得二寸即乙丁半径也盖九
　　　　　十度之正弦与圆之半径等三十二度
　　　　　之正弦为一寸零六釐则九十度之正
　　　　　弦二寸即为圆之半径可知矣若用分
　　　　　圆线则以三十二度倍之得六十四度
　　　　　以正弦一寸零六釐倍之得通弦二寸
　　　　　一分二釐乃以分圆线六十四度之两

　　　　　点依通弦二寸一分二釐之度展开勿

　　　　　令移动次取分圆线六十度两点相距
　　　　　之度于分釐尺上量之得二寸即乙丁
　　　　　半径也
设如简平仪下盘作节气线问其法若何
　　　　　　　　　　法自甲圆心作乙丙径线
　　　　　　　　　　又自甲平分作赤道线即
　　　　　　　　　　为春分秋分线乃以比例
　　　　　　　　　　尺正弦线九十度之两点

　　　　　　　　　　依甲乙半径之度展开勿
　　　　　　　　　　令移动次取二十三度半
　　　　　　　　　　两点相距之度(二至黄赤/道大距度)
　　　　　　　　　　于赤道线左右丙乙径上
　　　　　　　　　　作识如丁戊依识与赤道
　　　　　　　　　　平行作线即为夏至冬至
　　　　　　　　　　线(丁为夏至/戊为冬至)复以正弦线
　　　　　　　　　　九十度之两点依甲戊二
　　　　　　　　　　十三度半之正弦线度展

　　　　　　　　　　开勿令移动而取十五度

　　　　　　　　　　三十度四十五度六十度
　　　　　　　　　　七十五度之各两点相距
　　　　　　　　　　之度于赤道左右作识悉
　　　　　　　　　　与赤道平行作线即成二
　　　　　　　　　　十四节气线也盖赤道即
　　　　　　　　　　春分秋分距二分十五度
　　　　　　　　　　之线左为惊蛰寒露右为
　　　　　　　　　　清明白露距二分三十度

　　　　　　　　　　之线左为雨水霜降右为
　　　　　　　　　　谷雨处暑距二分四十五
　　　　　　　　　　度之线左为立春立冬右
　　　　　　　　　　为立夏立秋距二分六十
　　　　　　　　　　度之线左为大寒小雪右
　　　　　　　　　　为小满大暑距二分七十
　　　　　　　　　　五度之线左为小寒大雪
　　　　　　　　　　右为芒种小暑距二分九
　　　　　　　　　　十度之线左即冬至右即

　　　　　　　　　　夏至也

设如简平仪下盘欲作时刻线问其法若何
　　　　　　　　　　法如前作径线及赤道二
　　　　　　　　　　至线乃以比例尺正弦线
　　　　　　　　　　九十度之两点依半径(即/春)
　　　　　　　　　　(秋分线/之半)之度展开勿令移
　　　　　　　　　　动次取十五度三十度及
　　　　　　　　　　四十五度六十度七十五
　　　　　　　　　　度之各两点相距之度自

　　　　　　　　　　圆心于赤道线上下作识
　　　　　　　　　　即春秋分时之二十四时
　　　　　　　　　　刻也又以比例尺正弦线
　　　　　　　　　　九十度之两点依冬夏至
　　　　　　　　　　线之半展开勿令移动取
　　　　　　　　　　十五度三十度四十五度
　　　　　　　　　　六十度七十五度之各两
　　　　　　　　　　点相距之度自圆径与二
　　　　　　　　　　至线相交之处于二至线

　　　　　　　　　　上下作识即二至时之二

　　　　　　　　　　十四时刻也乃用三点串
　　　　　　　　　　圆之法将二至及二分之
　　　　　　　　　　点连为一线即成时刻线
　　　　　　　　　　矣盖中心横线为卯正酉
　　　　　　　　　　正距中心十五度之线上
　　　　　　　　　　为辰初酉初下为卯初戌
　　　　　　　　　　初距中心三十度之线上
　　　　　　　　　　为辰正申正下为寅正戌

　　　　　　　　　　正距中心四十五度之线
　　　　　　　　　　上为巳初申初下为寅初
　　　　　　　　　　亥初距中心六十度之线
　　　　　　　　　　上为巳正未正下为丑正
　　　　　　　　　　亥正距中心七十五度之
　　　　　　　　　　线上为午初未初下为丑
　　　　　　　　　　初子初距中心九十度之
　　　　　　　　　　线即圆周上为午正下为
　　　　　　　　　　子正也

　　正切线
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线用八线表正切线自一度至四
　　　　　十五度之数于分釐尺上取其度按度
　　　　　截比例尺之甲乙甲丙二线即成正切
　　　　　线也至于四十五度以后则与四十五
　　　　　度以前相为正馀盖四十五度之正切
　　　　　线与半径等四十五度以前之正切线

　　　　　即四十五度以后之馀切线而半径与
　　　　　正切之比同于馀切与半径之比故切
　　　　　线止用四十五度即足九十度之用也
设如甲乙半径六寸乙丙弧三十五度问丁乙切线
　几何
　　　　　法以比例尺正切线四十五度之两点
　　　　　依半径六寸之度展开勿令移动次取
　　　　　正切线三十五度两点相距之度于分
　　　　　釐尺上量之得四寸二分即丁乙切线

　　　　　之数也盖圆之半径与四十五度之切

　　　　　线等四十五度之切线既为六寸则三
　　　　　十五度相距之四寸二分即为三十五
　　　　　度之切线可知矣
设如甲乙半径六寸乙丙弧五十八度问丁乙切线
　几何
　　　　　法以五十八度与九十度相减馀三十
　　　　　二度为馀弧乃以比例尺正切线三十
　　　　　二度之两点依半径六寸之度展开勿

　　　　　令移动次取四十五度两点相距之度
　　　　　于分釐尺上量之得九寸六分即丁乙
　　　　　切线之数也盖圆之半径与四十五度
　　　　　之切线等而三十二度之正切即为五
　　　　　十八度之馀切夫半径与正切之比既
　　　　　同于馀切与半径之比故以三十二度
　　　　　相距之六寸当半径而四十五度相距
　　　　　之九寸六分即为五十八度之切线也
　　　　　凡过四十五度者皆仿此

设如甲乙半径六寸丙乙切线四寸二分问丁乙弧

　之度几何
　　　　　法以比例尺正切线四十五度之两点
　　　　　依半径六寸之度展开勿令移动次取
　　　　　切线四寸二分之度于正切线上寻至
　　　　　三十五度之两点其相距之度恰合即
　　　　　丁乙弧为三十五度也盖圆之半径与
　　　　　四十五度之切线等切线六寸相当之
　　　　　度为四十五度则切线四寸二分相当

　　　　　之三十五度即为乙丁弧之度可知矣
设如甲乙弧三十五度丙乙切线一寸零五釐问丁
　乙半径几何
　　　　　法以比例尺正切线三十五度之两点
　　　　　依切线一寸零五釐之度展开勿令移
　　　　　动次取正切线四十五度两点相距之
　　　　　度于分釐尺上量之得一寸五分即丁
　　　　　乙半径也盖四十五度之切线与圆之
　　　　　半径等三十五度之切线为一寸零五

　　　　　釐则四十五度之切线一寸五分即为

　　　　　丁乙半径可知矣
设如地平上立表高四尺日中影长三尺六寸零二
　釐问日高度几何
　　　　　法以比例尺正切线四十五度之两点
　　　　　依分釐尺四寸之度展开勿令移动次
　　　　　取分釐尺三寸六分零二豪之度于正
　　　　　切线上寻至四十二度之两点其相距
　　　　　之度恰合乃以四十二度与九十度相

　　　　　减得四十八度为日距地平之高度也
　　　　　盖地平上立表取影以表为半径则影
　　　　　为日距地平之馀切线如甲乙表高为
　　　　　半径乙丙影长为切线求得乙丁弧为
　　　　　甲角之度故与九十度相减得丙角始
　　　　　为日距地平之度也
设如壁上立横表四尺日中影长二尺四寸零三釐
　问日高度几何
　　　　　法以比例尺正切线四十五度之两点

　　　　　依分釐尺四寸之度展开勿令移动次

　　　　　取分釐尺二寸四分零三豪之度于正
　　　　　切线上寻至三十一度之两点其相距
　　　　　之度恰合即日距地平之高为三十一
　　　　　度也盖壁上立横表取影以表为半径
　　　　　则影即日距地平之正切线如甲乙横
　　　　　表为半径甲丙影长为切线求得甲丁
　　　　　弧为乙角之度与乙丙戊角之度等故
　　　　　即为日距地平之高度也

　　正割线
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线用八线表正割线自初度至七
　　　　　十度之数(初度割线即圆之半径自一/度至十度其每度之较甚微)
　　　　　(若尺小不能分或隔五度作一点自七/十度以上渐与切线平行其数甚大尺)
　　　　　(上不能容故止/取七十度也)于分釐尺上取其度按
　　　　　度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正
　　　　　割线也

设如甲乙半径六寸乙丙弧四十一度问甲丁割线
　几何
　　　　　法以比例尺正割线初度之两点依半
　　　　　径六寸之度展开勿令移动次取正割
　　　　　线四十一度两点相距之度于分釐尺
　　　　　上量之得七寸九分五釐即甲丁割线
　　　　　之数也盖初度尚无切线故其割线即
　　　　　圆之半径初度之割线既为六寸则四
　　　　　十一度相距之七寸九分五釐即为四

　　　　　十一度之割线可知矣

设如甲乙半径六寸甲丙割线一尺二寸问丁乙弧
　之度几何
　　　　　法以比例尺正割线初度之两点依半
　　　　　径六寸之度展开勿令移动次取割线
　　　　　一尺二寸之度于正割线上寻至六十
　　　　　度之两点其相距之度恰合即丁乙弧
　　　　　为六十度也盖初度之割线即圆之半
　　　　　径割线六寸相当之度为初度则割线

　　　　　一尺二寸相当之六十度即为丁乙弧
　　　　　之度可知矣
设如甲乙弧四十四度半丙丁割线二寸一分零三
　豪问丁乙半径几何
　　　　　法以比例尺正割线四十四度半之两
　　　　　点依割线二寸一分零三豪之度展开
　　　　　勿令移动次取初度两点相距之度于
　　　　　分釐尺上量之得一寸五分即丁乙半
　　　　　径之数也盖初度之割线即圆之半径

　　　　　四十四度半之割线为二寸一分零三

　　　　　豪则初度之割线一寸五分即为丁乙
　　　　　半径可知矣

　　作地平日晷法(以北极出地/四十度为准)
　　　　　　　　　　法先作南北东西线相交
　　　　　　　　　　于甲各成直角次作甲乙
　　　　　　　　　　丙晷表取甲角五十度为
　　　　　　　　　　赤道高丙角四十度为北
　　　　　　　　　　极高而乙角为直角次取
　　　　　　　　　　晷表之甲乙度截南北线
　　　　　　　　　　于丁为半径作圜用比例

　　　　　　　　　　尺分圆线比得十五度三
　　　　　　　　　　十度四十五度六十度七
　　　　　　　　　　十五度之各分分圜界作
　　　　　　　　　　识乃自丁圜心引出各界
　　　　　　　　　　作线至东西线上即得午
　　　　　　　　　　正前后各初正时刻或以
　　　　　　　　　　甲乙为半径用比例尺正
　　　　　　　　　　切线比得十五度三十度
　　　　　　　　　　四十五度六十度七十五

　　　　　　　　　　度之各切线自甲左右作

　　　　　　　　　　识于东西线上亦即午正
　　　　　　　　　　前后各初正时刻(甲为午/正距甲)
　　　　　　　　　　(十五度前为午初后为未/初距甲三十度前为巳正)
　　　　　　　　　　(后为未正距甲四十五度/前为巳初后为申初距甲)
　　　　　　　　　　(六十度前为辰正后为申/正距甲七十五度前为辰)
　　　　　　　　　　(初后为/酉初也)乃以晷表之丙为
　　　　　　　　　　晷心至各点作线即时刻
　　　　　　　　　　线也卯正酉正各距午正

　　　　　　　　　　前后九十度故自丙晷心
　　　　　　　　　　与东西线平行作线即卯
　　　　　　　　　　正酉正线卯正以前酉正
　　　　　　　　　　以后则日转在北影转在
　　　　　　　　　　南故与辰初酉初反对作
　　　　　　　　　　线即卯初戌初线也次按
　　　　　　　　　　刻细分则自午正甲点每
　　　　　　　　　　加三度四十五分而得一
　　　　　　　　　　刻盖十五度当四刻而三

　　　　　　　　　　度四十五分则当一刻也

　　　　　　　　　　此法盖因北极为天之枢
　　　　　　　　　　赤道为天之带太阳虽由
　　　　　　　　　　黄道而行时刻皆以赤道
　　　　　　　　　　而定故以晷表之甲乙指
　　　　　　　　　　赤道丙乙指北极而东西
　　　　　　　　　　线即为赤道线丙乙即为
　　　　　　　　　　过极经圈甲乙即为半径
　　　　　　　　　　午正太阳在正南则影在

　　　　　　　　　　正北若偏东偏西若干度
　　　　　　　　　　则其切线即其影之长故
　　　　　　　　　　以甲乙为半径作圜而分
　　　　　　　　　　圜界者即所以求切线至
　　　　　　　　　　于用比例尺正切线者正
　　　　　　　　　　以切线分时刻也
　　地平日晷作节气线法
　　　　　　　　　　法以甲乙丙晷表之甲角
　　　　　　　　　　与丙乙平行作戊己线而

　　　　　　　　　　以甲乙为半径用比例尺

　　　　　　　　　　正切线比得二十三度三
　　　　　　　　　　十分二十二度四十分二
　　　　　　　　　　十度十二分十六度二十
　　　　　　　　　　三分十一度三十分五度
　　　　　　　　　　五十五分之各切线自甲
　　　　　　　　　　左右作识于戊己线上即
　　　　　　　　　　得各节气日影界(春秋分/为赤道)
　　　　　　　　　　(冬至距赤道南夏至距赤/道北各二十三度三十分)

　　　　　　　　　　(小寒大雪距赤道南芒种/小暑距赤道北各二十二)
　　　　　　　　　　(度四十分大寒小雪距赤/道南小满大暑距赤道北)
　　　　　　　　　　(各二十度十二分立春立/冬距赤道南立夏立秋距)
　　　　　　　　　　(赤道北各十六度二十三/分雨水霜降距赤道南谷)
　　　　　　　　　　(雨处暑距赤道北各十一/度三十分惊蛰寒露距赤)
　　　　　　　　　　(道南清明白露距赤道/北各五度五十五度)或
　　　　　　　　　　以二十三度三十分之正
　　　　　　　　　　切线甲戊为半径作圜将
　　　　　　　　　　甲乙线引长平分为四象

　　　　　　　　　　限用比例尺分圆线比得

　　　　　　　　　　十五度三十度四十五度
　　　　　　　　　　六十度七十五度之各圜
　　　　　　　　　　界又以乙戊为半径作戊
　　　　　　　　　　己弧而依所分甲戊小圜
　　　　　　　　　　界各与甲乙平行作线截
　　　　　　　　　　戊己弧界又自乙至戊己
　　　　　　　　　　各弧界作线截戊甲己线
　　　　　　　　　　亦即得各节气日影界(甲/为)

　　　　　　　　　　(春秋分距甲十五度左为/惊蛰寒露右为清明白露)
　　　　　　　　　　(距甲三十度左为雨水霜/降右为谷雨处暑距甲四)
　　　　　　　　　　(十五度左为立春立冬右/为立夏立秋距甲六十度)
　　　　　　　　　　(左为大寒小雪右为小满/大暑距甲七十五度左为)
　　　　　　　　　　(小寒大雪右/为芒种小暑)乃自乙至各
　　　　　　　　　　点作线与午正时刻线相
　　　　　　　　　　交其相交之点即午正各
　　　　　　　　　　节气日影界也若求未初
　　　　　　　　　　节气线则先以丙乙为半

　　　　　　　　　　径作圜又依甲乙度截午

　　　　　　　　　　正线于庚而以未初线与
　　　　　　　　　　赤道相交之辛点至庚相
　　　　　　　　　　距之度截圜界于壬作壬
　　　　　　　　　　辛线乃与壬辛取直角作
　　　　　　　　　　癸子十字线以壬辛为半
　　　　　　　　　　径如前法比得二十三度
　　　　　　　　　　三十分等距纬之各切线
　　　　　　　　　　于辛左右作识于癸子线

　　　　　　　　　　乃自壬至各点作线与未
　　　　　　　　　　初时刻线相交其相交之
　　　　　　　　　　点即未初各节气日影界
　　　　　　　　　　也仿此类推则得各时刻
　　　　　　　　　　之各节气日影界或用捷
　　　　　　　　　　法另取一纸画甲乙丙表
　　　　　　　　　　式将乙甲乙戊乙己类各
　　　　　　　　　　节气线俱画长些如求未
　　　　　　　　　　初节气线则以丙合于晷

　　　　　　　　　　心丙而以甲乙春秋分线

　　　　　　　　　　合于未初时刻线与赤道
　　　　　　　　　　相交之辛点乃于各节气
　　　　　　　　　　线与未初时刻线相交之
　　　　　　　　　　处俱作点识之即得未初
　　　　　　　　　　各节气之日影界馀仿此
　　　　　　　　　　乃将各时刻线与莭气线
　　　　　　　　　　相交之点作线联之即成
　　　　　　　　　　节气线也盖春秋分日行

　　　　　　　　　　赤道而晷表之甲乙指赤
　　　　　　　　　　道故赤道线即为春秋分
　　　　　　　　　　线春秋分时日在赤道则
　　　　　　　　　　午正日影在甲春分以后
　　　　　　　　　　秋分以前日在赤道北夏
　　　　　　　　　　至而极北则影在南春分
　　　　　　　　　　以前秋分以后日在赤道
　　　　　　　　　　南冬至而极南则影在北
　　　　　　　　　　故以甲乙为半径而取各

　　　　　　　　　　距度之切线为各节气之

　　　　　　　　　　影界且切线与半径成直
　　　　　　　　　　角故先与甲乙取直角作
　　　　　　　　　　十字线而后得其切线也
　　　　　　　　　　(甲乙本直立之线与之取/直角则戊端应在晷面下)
　　　　　　　　　　(己端应在空中出晷面上/而其距午正线之远近与)
　　　　　　　　　　(平面斜线之度同盖/平与立之理一也)其以
　　　　　　　　　　冬夏至之影界为半径作
　　　　　　　　　　圜用分圆线求之者盖半

　　　　　　　　　　径与冬夏至距纬正弦之
　　　　　　　　　　比同于各节气距二分度
　　　　　　　　　　之正弦与各节气距纬正
　　　　　　　　　　弦之比故以甲戊为半径
　　　　　　　　　　作圜为一率又以乙戊为
　　　　　　　　　　半径作戊己弧则甲戊切
　　　　　　　　　　线即变为冬夏至距纬之
　　　　　　　　　　正弦为二率而用分圆线
　　　　　　　　　　所分各圜界即得各节气

　　　　　　　　　　距二分度之正弦为三率

　　　　　　　　　　其自圜界作线截戊己弧
　　　　　　　　　　即得各节气距纬之正弦
　　　　　　　　　　为四率既得各节气之距
　　　　　　　　　　纬度又自乙至各弧界作
　　　　　　　　　　线截戊甲己线则戊甲己
　　　　　　　　　　线仍为各节气距纬之切
　　　　　　　　　　线故用正弦即如用切线
　　　　　　　　　　也然虽得各节气之影界

　　　　　　　　　　而犹不在午正线之上故
　　　　　　　　　　自乙至各节气点作线交
　　　　　　　　　　于午正线乃自乙表端照
　　　　　　　　　　至各节气点所必经之处
　　　　　　　　　　故为午正节气日影界也
　　　　　　　　　　至于未初春秋分时则日
　　　　　　　　　　影至辛乙辛为影线成乙
　　　　　　　　　　甲辛勾股形甲乙为股(甲/乙)
　　　　　　　　　　(表直立/故为股)甲辛为勾乙辛为

　　　　　　　　　　弦故以甲乙度截午正线

　　　　　　　　　　于庚而取庚辛之度即与
　　　　　　　　　　乙辛影线之度等又乙辛
　　　　　　　　　　线与丙乙为直角成丙乙
　　　　　　　　　　辛立勾股形丙乙为勾乙
　　　　　　　　　　辛影线为股丙辛时刻线
　　　　　　　　　　为弦(盖丙乙为过极经圈/乙辛为赤道影线经)
　　　　　　　　　　(圈与赤道无在而非直角/故乙辛与影线亦无在而)
　　　　　　　　　　(非直/角也)故以丙乙为半径作

　　　　　　　　　　圜而取庚辛度截圜界于
　　　　　　　　　　壬成丙壬辛平勾股形即
　　　　　　　　　　与丙乙辛立勾股形相等
　　　　　　　　　　(丙壬与丙乙等壬辛与乙/辛等丙辛仍为弦线故成)
　　　　　　　　　　(相等勾/股形)爰以壬辛影线为
　　　　　　　　　　半径与壬辛作直角取各
　　　　　　　　　　节气之切线为各节气日
　　　　　　　　　　影界皆与午正取节气线
　　　　　　　　　　之法同至其捷法乃以已

　　　　　　　　　　成之勾股已分之切线转

　　　　　　　　　　移用之尤为便捷也
　　向南壁上画立面日晷法(以北极出地/四十度为准)
　　　　　　　　　　法先作直线及东西横线
　　　　　　　　　　相交于甲各成直角次作
　　　　　　　　　　甲乙丙晷表取甲角四十
　　　　　　　　　　度丙角五十度而乙为直
　　　　　　　　　　角乃依地平日晷作时刻
　　　　　　　　　　线法求之即得各时刻线

　　　　　　　　　　盖晷表之甲丙指天顶甲
　　　　　　　　　　乙指赤道故丙甲乙角定
　　　　　　　　　　为四十度则乙甲丁外角
　　　　　　　　　　为五十度即赤道之高度
　　　　　　　　　　也丙乙指南极丙戊指地
　　　　　　　　　　平故甲丙乙角定为五十
　　　　　　　　　　度则乙丙戊外角为四十
　　　　　　　　　　度乃南极入地之度即北
　　　　　　　　　　极出地之度也甲乙既指

　　　　　　　　　　赤道丙乙既指南极则丙

　　　　　　　　　　乙即为过极经圈甲乙即
　　　　　　　　　　为半径午正太阳在正南
　　　　　　　　　　则影在正北若偏东偏西
　　　　　　　　　　若干度则其切线即其影
　　　　　　　　　　之长皆与地平日晷之法
　　　　　　　　　　同至于作节气线之法亦
　　　　　　　　　　与地平日晷同但赤道线
　　　　　　　　　　以上为春分前秋分后至

　　　　　　　　　　冬至之节气线赤道线以
　　　　　　　　　　下为春分后秋分前至夏
　　　　　　　　　　至之节气线盖春分以后
　　　　　　　　　　秋分以前日行赤道北夏
　　　　　　　　　　至而极北其度高故其影
　　　　　　　　　　在下也秋分以后春分以
　　　　　　　　　　前日行赤道南冬至而极
　　　　　　　　　　南其度卑故其影在上也
　　向东壁上画立面日晷法(以北极出地/四十度为准)

　　　　　　　　　　法先安甲乙直表与壁面

　　　　　　　　　　成直角(甲乙表不/拘尺寸)次作甲
　　　　　　　　　　丙垂线及甲丁横线各成
　　　　　　　　　　直角次以甲为心作甲丙
　　　　　　　　　　丁象限弧用比例尺分圆
　　　　　　　　　　线比得赤道高五十度之
　　　　　　　　　　弧为丁戊自甲至戊作甲
　　　　　　　　　　戊赤道线乃以甲乙表长
　　　　　　　　　　为半径用比例尺正切线

　　　　　　　　　　比得十五度三十度四十
　　　　　　　　　　五度六十度七十五度之
　　　　　　　　　　各切线于赤道线上作识
　　　　　　　　　　按识作十字线即成时刻
　　　　　　　　　　线也(甲点为卯正距甲十/五度前为卯初后为)
　　　　　　　　　　(辰初距甲三十度为辰正/距甲四十五度为巳初距)
　　　　　　　　　　(甲六十度为巳正距/甲七十五度为午初)盖时
　　　　　　　　　　刻生于赤道春秋分时卯
　　　　　　　　　　正日出正东与表对射故

　　　　　　　　　　无影若向南若干度则其

　　　　　　　　　　切线即其影之长至于午
　　　　　　　　　　正则距卯正九十度切线
　　　　　　　　　　与割线平行故无切线而
　　　　　　　　　　日影即与壁面平行故亦
　　　　　　　　　　无影也若于向西壁上画
　　　　　　　　　　晷则以午初为未初巳正
　　　　　　　　　　为未正巳初为申初辰正
　　　　　　　　　　为申正辰初为酉初卯正

　　　　　　　　　　为酉正卯初为戌初馀俱
　　　　　　　　　　与向东壁上画晷法同
　　向东壁上立面日晷画节气线法
　　　　　　　　　　法以乙表端至卯初点相
　　　　　　　　　　距之度为半径用比例尺
　　　　　　　　　　正切线比得二十三度三
　　　　　　　　　　十分二十二度四十分二
　　　　　　　　　　十度十二分十六度二十
　　　　　　　　　　三分十一度三十分五度

　　　　　　　　　　五十五分之各切线于卯

　　　　　　　　　　初线左右作识即得各节
　　　　　　　　　　气日影界(春秋分为赤道/冬至距赤道南)
　　　　　　　　　　(夏至距赤道北各二十三/度三十分小寒大雪距赤)
　　　　　　　　　　(道南芒种小暑距赤道北/各二十二度四十分大寒)
　　　　　　　　　　(小雪距赤道南小满大暑/距赤道北各二十度十二)
　　　　　　　　　　(分立春立冬距赤道南立/夏立秋距赤道北各十六)
　　　　　　　　　　(度二十三分雨水霜降距/赤道南谷雨处暑距赤道)
　　　　　　　　　　(北各十一度三十分惊蛰/寒露距赤道南清明白露)

　　　　　　　　　　(距赤道北各五/度五十五分)又以乙表
　　　　　　　　　　端至卯正点相距之度(即/甲)
　　　　　　　　　　(乙表/长)为半径比得各节气
　　　　　　　　　　距纬度之切线于卯正线
　　　　　　　　　　左右作识即为卯正各节
　　　　　　　　　　气日影界凡各时刻节气
　　　　　　　　　　俱以乙表端至各时刻点
　　　　　　　　　　相距之度为半径比得各
　　　　　　　　　　节气距纬度之切线于各

　　　　　　　　　　时刻线左右作识即得各

　　　　　　　　　　时刻各节气之日影界将
　　　　　　　　　　各点作线联之即成节气
　　　　　　　　　　线也盖春秋分时日在赤
　　　　　　　　　　道故其影界即在赤道线
　　　　　　　　　　之上其自表端至各时刻
　　　　　　　　　　点相距之度即春秋分各
　　　　　　　　　　时刻之影线也若春分以
　　　　　　　　　　后秋分以前日在赤道北

　　　　　　　　　　夏至而极北则影在南春
　　　　　　　　　　分以前秋分以后日在赤
　　　　　　　　　　道南冬至而极南则影在
　　　　　　　　　　北故以表端至各时刻点
　　　　　　　　　　相距之度为半径而取各
　　　　　　　　　　节气距纬度之切线即为
　　　　　　　　　　各时刻各节气之日影界
　　　　　　　　　　联之即成节气线也向西
　　　　　　　　　　壁法同

　　假数尺
　　　　　法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙
　　　　　二平行线又作甲乙丁丙二线令成直
　　　　　角乃取假数表内自一至一百所对之
　　　　　假数于分釐尺上取其度(如二之假数/为○三○一)
　　　　　(则为三寸/零一釐)截甲丁乙丙二边依所截点
　　　　　作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二
　　　　　边各平分为十分作线与甲丁平行自

　　　　　一十以上又依分釐尺法于各平行线
　　　　　之间悉作斜线则斜线与直线相交之
　　　　　处即其间零数之度如一○至一一之
　　　　　斜线其与第一直线相交之处即一○
　　　　　一也故假数虽止于一百而可以当一
　　　　　千之用若尺止长一尺则如上图截去
　　　　　自一至九之数从一十起至一百止盖
　　　　　十之假数为一而百之假数为二今既
　　　　　截去一尺则假数即减去首位之一取

　　　　　其零数作寸分釐豪用时则以十为单

　　　　　总之假数尺虽始于一十终于一百小
　　　　　之则可以为单为零大之则可以为千
　　　　　为万皆因假数之首位虽递加一数而
　　　　　其后之零数皆同故可以进退为用惟
　　　　　在比例分明加减详审则其用自无穷
　　　　　也
设如有十二人每人给银四两五钱问共银几何
　　　　　法以假数尺之四分五釐(即从一十至/四十五之度)

　　　　　与一十二分相加得五十四分即五十
　　　　　四两为共银数也盖一人与四两五钱
　　　　　之比同于一十二人与五十四两之比
　　　　　而真数以乘得者假数以加得之故以
　　　　　四分五釐当四两五钱以十二分当十
　　　　　二人两线相加即得五十四两为共银
　　　　　数也
设如有米四百八十石每石价银七钱五分问共价
　银几何

　　　　　法以假数尺之七分五釐(即自一十至/七十五之度)

　　　　　与四十八分相加过于一百分之度乃
　　　　　以其过于一百分之馀度自假数尺十
　　　　　分以上量之得三十六分即三百六十
　　　　　两为共价银数也盖以四十八分当四
　　　　　百八十石是以单当十则相加过于一
　　　　　百分即为过于一千分矣而以其过于
　　　　　一千分之馀度自十分以上量之是以
　　　　　十分当千分则三十六分即为三千六

　　　　　百分既以七分五釐当七钱五分故三
　　　　　千六百分即为三百六十两也
设如有银五百一十二两令三十二人分之问每人
　几何
　　　　　法以假数尺之五十一分二釐内减去
　　　　　三十二分以其馀度自假数尺十分以
　　　　　上量之得十六分即十六两为每人之
　　　　　银数也盖三十二人与五百一十二两
　　　　　之比同于一人与十六两之比而真数

　　　　　以除得者假数以减得之故以五十一

　　　　　分二釐当五百一十二两以三十二分
　　　　　当三十二人相减用其馀度自十分以
　　　　　上量之是以十分当一分故十六分即
　　　　　为一分六釐既以五十一分二釐当五
　　　　　百一十二两则一分六釐即为十六两
　　　　　也
设如有米四十二石令六十人分之问每人几何
　　　　　法以假数尺之四十二分内减去六分

　　　　　(即自一十至/六十之度)不足于一十之分乃以其
　　　　　不足于一十之度自假数尺一百以下
　　　　　减之馀七十分即七斗为每人之米数
　　　　　也盖以四十二分当四十二石以六分
　　　　　当六十人而以相减不足于一十之分
　　　　　自一百以下减之是以百分当十分则
　　　　　所馀之七十分即为七分矣且以六分
　　　　　当六十人是所减之数以单当十则减
　　　　　馀之数即以十为单而单即为零故所

　　　　　馀之七分即为七釐既以四十二分当

　　　　　四十二石故七釐即为七斗也
设如每银二两五钱兑钱四千七百五十文今有银
　八两问兑钱几何
　　　　　法以假数尺之二十五分与四十七分
　　　　　五釐相减馀度与八十分相加过于一
　　　　　百分乃以其过于一百分之馀度自假
　　　　　数尺十分以上量之得十五分二釐即
　　　　　一万五千二百为共钱数也盖二两五

　　　　　钱与四千七百五十文之比同于八两
　　　　　与一万五千二百文之比故以二两五
　　　　　钱为一率四千七百五十为二率八两
　　　　　为三率得一万五千二百为四率本宜
　　　　　以二率与三率相加内减去一率而得
　　　　　四率今先于二率内减去一率以其馀
　　　　　度与三率相加而得四率其理同也又
　　　　　四率既过于一百分而以其过于一百
　　　　　分之馀度自十分上量之是以十分当

　　　　　百分故十五分二釐即为一百五十二

　　　　　分既以四十七分半当四千七百五十
　　　　　则一百五十二分即为一万五千二百
　　　　　也
设如有银六两买米五石今有银四两八钱问买米
　几何
　　　　　法以假数尺之六十分内减去五十分
　　　　　馀度与四十八分相减得四十分即四
　　　　　石为米数也盖六两与五石之比同于

　　　　　四两八钱与四石之比故以六两为一
　　　　　率五石为二率四两八钱为三率得四
　　　　　石为四率本宜以二率与三率相加内
　　　　　减去一率而得四率今先于一率内减
　　　　　去二率以其馀度与三率相减而得四
　　　　　率其理同也总之二率大于一率者则
　　　　　四率亦大于三率故以二率多于一率
　　　　　之分与三率相加而得四率若二率小
　　　　　于一率者则四率亦小于三率故以二

　　　　　率小于一率之分与三率相减而得四

　　　　　率用虽不同而理实一也

　　正弦假数尺
　　　　　法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙
　　　　　二平行线又作甲乙丁丙二线令成直
　　　　　角乃取八线对数表内自一度至九十
　　　　　度之正弦假数减去首位之八于分釐
　　　　　尺上取其度(如一度之正弦假数为八/二四一八减去首位之八)
　　　　　(馀二四一八即为二/寸四分一釐八豪)截甲丁乙丙二边
　　　　　依所截点作线与甲乙边平行又将甲

　　　　　乙丁丙二边各平分为十二分作线与
　　　　　甲丁平行又依分釐尺法于各平行线
　　　　　之间悉作斜线则斜线与直线相交之
　　　　　处即其间之分数如自一度至二度之
　　　　　斜线其与第一直线相交之处即一度
　　　　　五分其与第二直线相交之处即一度
　　　　　十分盖一度有六十分故直线分为十
　　　　　二每一直线当五分若于直线之间酌
　　　　　量取之则五分中之零分亦可得其大

　　　　　槩矣若尺小止用一百分则截去自一

　　　　　度至五度之数从六度起至九十度止
　　　　　盖九十度之正弦假数首位为一○一
　　　　　度之正弦假数首位为八相减馀二故
　　　　　二尺之内始可容自一度至九十度之
　　　　　分今既截去一尺则假数首位须再减
　　　　　去一数故从六度起六度之正弦假数
　　　　　首位为九减去首位之九取其零数作
　　　　　寸分釐豪至九十度则恰得一尺之分

　　　　　也
设如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五
　十三度乙丙边五尺三寸七分问甲乙边几何
　　　　　法以正弦假数尺之四十四度三十分
　　　　　与五十三度相减用其馀度与假数尺
　　　　　之五十三分七釐相加得六丁一分一
　　　　　釐即六尺一寸一分为甲乙边也盖甲
　　　　　角正弦与丙角正弦之比同于乙丙边
　　　　　与甲乙边之比故以四十四度三十分

　　　　　之正弦为一率五十三度之正弦为二

　　　　　率假数尺之五十三分七釐当乙丙边
　　　　　为三率得六十一分一釐当甲乙边为
　　　　　四率本宜以二率与三率相加内减去
　　　　　一率而得四率今先于二率内减去一
　　　　　率以其馀度与三率相加而得四率其
　　　　　理同也
设如甲乙丙三角形甲乙边六尺一寸一分甲丙边
　七尺五寸九分乙角八十二度三十分问丙角几

　何
　　　　　法以假数尺之六十一分一釐与七十
　　　　　五分九釐相减用其馀度与正弦假数
　　　　　尺之八十二度三十分相减得五十三
　　　　　度为丙角度也盖甲丙边与甲乙边之
　　　　　比同于乙角正弦与丙角正弦之比故
　　　　　以七十五分九釐当甲丙边为一率六
　　　　　十一分一釐当甲乙边为二率八十二
　　　　　度三十分之正弦为三率得乙角五十

　　　　　三度为四率本宜以二率与三率相加

　　　　　内减去一率而得四率今先于一率内
　　　　　减去二率馀度与三率相减而得四率
　　　　　其理同也

　　切线假数尺
　　　　　法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙
　　　　　二平行线又作甲乙丁丙二线令成直
　　　　　角乃取八线对数表内自一度至四十
　　　　　五度之切线假数减去首位之八于分
　　　　　釐尺上取其度截甲丁乙丙二边依所
　　　　　截点作线与甲乙边平行又将甲乙丁
　　　　　丙二边各平分为十二分作线与甲丁

　　　　　平行又依分釐尺法于各平行线之间
　　　　　悉作斜线则斜线与直线相交之处即
　　　　　其间之分数皆与正弦假数尺同至于
　　　　　四十五度以后则与四十五度以前相
　　　　　为正馀盖四十五度之正切线与半径
　　　　　等四十五度以前之正切线即四十五
　　　　　度以后之馀切线而半径与正切之比
　　　　　同于馀切与半径之比故切线尺止用
　　　　　四十五度正馀相对即足八十九度之

　　　　　用若尺小止用一百分则截去自一度

　　　　　至五度之数从六度起至四十五度止
　　　　　其馀度则至八十四度止亦与正弦假
　　　　　数尺同也
设如甲乙丙直角三角形甲丙边四尺三寸六分乙
　丙边四尺二寸九分问甲角几何
　　　　　法以假数尺之四十三分六釐与四十
　　　　　二分九釐相减用其馀度与切线假数
　　　　　尺之四十五度相减得四十四度三十

　　　　　分为甲角度也盖甲丙边与乙丙边之
　　　　　比同于半径与甲角切线之比故以四
　　　　　十三分六釐当甲丙边为一率四十二
　　　　　分九釐当乙丙边为二率四十五度之
　　　　　切线当半径为三率得甲角四十四度
　　　　　三十分为四率也因二率小于一率故
　　　　　于一率内减去二率馀数于三率内减
　　　　　之即得四率也
设如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙边三

　十二尺三寸问乙丙边几何

　　　　　法以切线假数尺之五十三度与半径
　　　　　相减用其馀度与假数尺之三十二分
　　　　　三釐相加得四十二分九釐即四十二
　　　　　尺九寸为乙丙边也盖半径与甲角正
　　　　　切线之比同于甲丙边与乙丙边之比
　　　　　而甲角馀切线与半径之比亦同于甲
　　　　　丙边与乙丙边之比故以五十三度之
　　　　　馀切线为一率四十五度之切线当半

　　　　　径为二率三十二分三釐当甲丙边为
　　　　　三率得四十二分九釐当乙丙边为四
　　　　　率因五十三度切线自四十五度起是
　　　　　已减去半径矣故以二率与三率相加
　　　　　即得四率不必更减一率也

　　割线假数尺
　　　　　法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙
　　　　　二平行线又作甲乙丁丙二线令成直
　　　　　角乃取八线对数表内自一度至八十
　　　　　九度之割线假数减去首位之一于分
　　　　　釐尺上取其度截甲丁乙丙二边依所
　　　　　截点作线与甲乙边平行又将甲乙丁
　　　　　丙二边各平分为十二分作线与甲丁

　　　　　平行又依分釐尺法于各平行线之间
　　　　　悉作斜线则斜线与直线相交之处即
　　　　　其间之分数皆与正弦假数尺同若尺
　　　　　小止用一百分则截去自八十五度至
　　　　　八十九度之数从○度起至八十四度
　　　　　止盖○度之割线即半径其假数为一
　　　　　○今从○度起即减去半径之数至八
　　　　　十四度以后则假数甚大一尺之内不
　　　　　能容故止八十四度止也

设如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲

　丙边四十二尺九寸问甲乙边几何
　　　　　法以割线假数尺之四十五度三十分
　　　　　与假数尺之四十二分九釐相加得六
　　　　　十一分一釐即六十一尺一寸为甲乙
　　　　　边也盖半径与甲角割线之比同于甲
　　　　　丙边与甲乙边之比故以半径为一率
　　　　　四十五度三十分之割线为二率四十
　　　　　二分九釐当甲丙边为三率得六十一

　　　　　分一釐当甲乙边为四率因割线先巳
　　　　　减去半径之数故二率与三率相加即
　　　　　得四率不必更减半径也
设如甲乙丙直角三角形甲丙边四十二尺九寸甲
　乙边五十三尺七寸问甲角几何
　　　　　法以假数尺之四十二分九釐与五十
　　　　　三分七釐相减用其馀度自割线假数
　　　　　尺○度以上量之得三十七度为甲角
　　　　　度也盖甲丙边与甲乙边之比同于半

　　　　　径与甲角割线之比故以四十二分九

　　　　　釐当甲丙边为一率五十三分七釐当
　　　　　甲乙边为二率半径为三率得三十七
　　　　　度当甲角为四率因○度之割线即半
　　　　　径故以一率二率相减之馀度自○度
　　　　　以上量之即如与半径相加也
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷四十