钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十九
　　末部九
　　　比例规解(平分线/分体线)　(分面线/更体线)　(更面线/五金线)

　　比例规解
比例尺代算凡点线面体乘除开方皆可以规度而
得然于画图制器尤所必需诚算器之至善者焉究
其立法之原总不越乎同式三角形之比例盖同式
三角形其各角各边皆为相当之率今张尺之两股
为三角形之两腰其尺末相距即三角形之底遂成
两边相等之三角形于中任截两边相等之各三角
形则其各腰之比例必与各底之比例相当也一曰

平分线以御三率一曰分面线一曰更面线以御面
羃一曰分体线一曰更体线以御体积一曰五金线
以御轻重一曰分圆线一曰正弦线一曰正切线一
曰正割线以御测量并制平仪诸器凡此十线或总
归一器或分为数体任意为之无所不可今将各线
之分法及用法并著于篇此外又有假数尺即用对
数及正弦割切诸线之对数为之用于三率比例测
量尤为简捷亦详其法于后

　　平分线
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线依几何原本十二卷十九节之
　　　　　法将甲乙甲丙二线俱平分为二百分
　　　　　即为平分线也尺之长短任意为之尺
　　　　　短则平分一百分尺长则平分四五百
　　　　　分或一千分亦可分愈多而用愈便也
设如一丁戊线欲加五倍问得几何

　　　　　法以比例尺平分线第十分之己庚二
　　　　　点依丁戊线度展开勿令移动次取平
　　　　　分线第五十分之辛壬二点相离之度
　　　　　作丁癸线即丁戊线之五倍也盖十分
　　　　　之点为己与庚而甲己庚为两边相等
　　　　　之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为
　　　　　底又五十分之点为辛与壬而甲辛壬
　　　　　为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰
　　　　　辛壬相距为底此两三角形为同式形

　　　　　故甲庚与己庚之比同于甲壬与辛壬

　　　　　之比而甲庚与甲壬之比亦同于己庚
　　　　　与辛壬之比甲壬既为甲庚之五倍则
　　　　　辛壬必为己庚之五倍而丁癸亦为丁
　　　　　戊之五倍可知矣若欲将丁戊线加十
　　　　　五倍则仍以丁戊线度于十分上定尺
　　　　　取平分线第一百五十分之子丑二点
　　　　　相离之度作寅卯线即为丁戊线之十
　　　　　五倍也若欲将丁戊线加三分之二则

　　　　　将平分线第三十分之辰巳二点依丁
　　　　　戊线度展开勿令移动而取平分线第
　　　　　五十分之午未二点相离之度作申酉
　　　　　线即为丁戊线加三分之二也(以丁戊/线为三)
　　　　　(分而加二分共得五分因三与五之点/近枢难用故用三十与五十其比例同)
　　　　　(也/)若有丁癸丁戊二线欲定其比例之
　　　　　分数则将平分线第一百分之戌亥二
　　　　　点依丁癸线度展开勿令移动次取丁
　　　　　戊线度寻至平分线第二十分之乾坎

　　　　　二点其相离之度恰符即定为一百分

　　　　　之二十约为五分之一即丁癸丁戊两
　　　　　线之比例也要之用尺之法不外于三
　　　　　率求四率如以一率为腰二率为底而
　　　　　定尺则三率复为腰而其底即四率也
　　　　　以一率为腰三率为底而定尺则二率
　　　　　复为腰而其底亦即四率也若以一率
　　　　　为底二率为腰而定尺则三率复为底
　　　　　而其腰则四率也诸线之用虽各不同

　　　　　其比例之理则一也
设如一丁戊线欲分为六分问每分几何
　　　　　法以比例尺平分线第六十分之己庚
　　　　　二点依丁戊线度展开勿令移动次取
　　　　　平分线第十分之辛壬二点相离之度
　　　　　截丁戊线于癸则丁癸即丁戊线六分
　　　　　之一也盖六十分之点为己与庚而甲
　　　　　己庚为两边相等之三角形甲己甲庚
　　　　　为腰己庚相距为底又十分之点为辛

　　　　　与壬而甲辛壬亦为两边相等之三角

　　　　　形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两
　　　　　三角形为同式形则甲庚与甲壬之比
　　　　　同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚
　　　　　六分之一则辛壬必为己庚六分之一
　　　　　而丁癸亦为丁戊线六分之一可知矣
　　　　　若欲分丁戊线为七分则将平分线第
　　　　　七十分之子丑二点依丁戊线度展开
　　　　　勿令移动次取平分线第十分之辛壬

　　　　　二点相离之度截丁戊线于寅则丁寅
　　　　　即丁戊线七分之一也又若丁戊线欲
　　　　　取七分之三则仍以丁戊线度于七十
　　　　　分上定尺而取平分线第三十分之卯
　　　　　辰二点相离之度截丁戊线于己则丁
　　　　　己即丁戊线七分之三也
设如有十三人每人给银七两问其银几何
　　　　　法以比例尺平分线第十分之丁戊二
　　　　　点依分釐尺七釐之度展开勿令移动

　　　　　次取平分线第一百三十分之己庚二

　　　　　点相离之度于分釐尺上量之得九分
　　　　　一釐即得共银为九十一两也盖十分
　　　　　之点为丁与戊而甲丁戊为两边相等
　　　　　之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为
　　　　　底又一百三十分之点为己与庚而甲
　　　　　己庚亦为两边相等之三角形甲己甲
　　　　　庚为腰己庚相距为底此两三角形为
　　　　　同式形故甲戊十分与甲庚一百三十

　　　　　分之比同于丁戊七釐与己庚九分一
　　　　　釐之比也又以十分当一人故以一百
　　　　　三十分当十三人以七釐当七两故九
　　　　　分一釐即为九十一两盖十分与一人
　　　　　之比同于一百三十分与十三人之比
　　　　　而七釐与七两之比亦同于九分一釐
　　　　　与九十一两之比也
设如每官一员每月给公费钱二千二百文共给钱
　八千八百文问官员几何

　　　　　法以比例尺平分线第二十二分之丁

　　　　　戊二点依分釐尺一分之度展开勿令
　　　　　移动次取平分线第八十八分之己庚
　　　　　二点相离之度于分釐尺上量之得四
　　　　　分即得官四员也盖二十二分之点为
　　　　　丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角
　　　　　形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又八
　　　　　十八分之点为己与庚而甲己庚为两
　　　　　边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚

　　　　　相距为底此两三角形为同式形故甲
　　　　　戊二十二分与甲庚八十八分之比同
　　　　　于丁戊一分与己庚四分之比也又以
　　　　　二十二分当钱二千二百故以八十八
　　　　　分当钱八千八百以一分当官一员故
　　　　　四分即为官四员盖二十二分与二千
　　　　　二百之比同于八十八分与八千八百
　　　　　之比而一分与一员之比亦同于四分
　　　　　与四员之比也

设如原有粟五斗易布二疋今有粟三石问易布几

　何
　　　　　法以比例尺平分线第二十分之丁戊
　　　　　二点(四倍五斗之数因五分近/枢难用故用四倍之数也)依分釐
　　　　　尺二分之度展开勿令移动次取平分
　　　　　线第一百二十分之己庚二点相离之
　　　　　度(四倍三石之数三石为三十/斗故四倍之得一百二十也)于分釐
　　　　　尺上量之得一寸二分即得布十二疋
　　　　　也盖二十分之点为丁与戊一百二十

　　　　　分之点为己与庚而甲丁戊与甲己庚
　　　　　为同式两三角形故甲戊二十分与甲
　　　　　庚一百二十分之比同于丁戊二分与
　　　　　己庚一寸二分之比也又以二十分当
　　　　　五斗为四倍之数故以一百二十分当
　　　　　三石亦为四倍之数以二分当二疋故
　　　　　一寸二分即为十二疋盖二十分与五
　　　　　斗之比同于一百二十分与三石之比
　　　　　而二分与二疋之比亦同于一寸二分

　　　　　与十二疋之比也

设如有二十七及十八之两数问其相连比例之三
　数几何
　　　　　法以比例尺平分线第二十七分之丁
　　　　　戊二点依分釐尺一分八釐之度展开
　　　　　勿令移动次取平分线第十八分之己
　　　　　庚二点相离之度于分釐尺上量之得
　　　　　一分二釐即相连比例之第三数为十
　　　　　二也盖二十七分之点为丁与戊十八

　　　　　分之点为己与庚而甲丁戊与甲己庚
　　　　　为同式三角形故甲戊二十七与甲庚
　　　　　十八之比同于丁戊十八与己庚十二
　　　　　之比也丁戊与甲庚既同为十八即连
　　　　　比例之中率则己庚十二为连比例之
　　　　　第三率无疑矣
设如有勾五尺股十二尺问弦几何
　　　　　法以比例尺平分线甲丁四十分甲戊
　　　　　三十分之丁戊二点依本线五十分之

　　　　　度展开勿令移动次取平分线甲庚五

　　　　　十分(当勾/数)甲己一百二十分(当股/数)之己
　　　　　庚二点相离之度于本线上量之为一
　　　　　百三十分即得弦十三尺也盖勾三股
　　　　　四弦五为勾股弦之定数今以甲戊三
　　　　　十甲丁四十为两腰而丁戊五十为底
　　　　　则其两腰相交之甲角必为直角故以
　　　　　今有之勾股数为两腰而取其底即为
　　　　　所求之弦数也若有勾五尺有弦十三

　　　　　尺而求股则取本线一百三十分之度
　　　　　自五十分之庚点寻至一百二十分之
　　　　　己点其相离之度恰符即得股十二尺
　　　　　矣
设如有圆径三十五寸问圆周几何
　　　　　法以比例尺平分线第二十一分之丁
　　　　　戊二点(径率七之三倍也因七/分近枢故用三倍之数)依分釐
　　　　　尺三分五釐之度展开勿令移动次取
　　　　　平分线第六十六分之己庚二点相离

　　　　　之度(周率二十二之三倍也因径/率用三倍故周率亦三倍之)于分

　　　　　釐尺上量之得一寸一分即一百一十
　　　　　寸为所求之圆周也盖二十一分之点
　　　　　为丁与戊六十六分之点为己与庚而
　　　　　甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲
　　　　　戊二十一与丁戊三分五釐之比同于
　　　　　甲庚六十六与己庚一寸一分之比而
　　　　　甲戊与甲庚既为径与周之比例则丁
　　　　　戊与己庚亦必为径与周之比例矣又

　　　　　甲戊为径率之三倍故甲庚亦用周率
　　　　　之三倍而丁戊以一釐当一寸故己庚
　　　　　亦以一釐当一寸其比例俱相当也

　　分面线
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线依几何原本十二卷二十一节
　　　　　之法分之即为分面线也或设正方面
　　　　　界一百釐其积数一万釐以二因之得
　　　　　二万釐开平方得一百四十一釐为积
　　　　　二万釐之根又以三因之得三万釐开
　　　　　平方得一百七十三釐为积三万釐之

　　　　　根照此屡倍积数开平方将所得之数
　　　　　于分釐尺上取其度按度截比例尺之
　　　　　甲乙甲丙二线即成分面线也
设如有甲乙丙三正方形甲形每边一寸其积数之
　比例甲为一分乙为六分丙为九分今欲作一大
　正方形与甲乙丙三正方形之积等问其边几何
　　　　　法以比例尺分面线第一分之两点(因/甲)
　　　　　(方之积为一分/故用一分也)依甲正方形每边一寸
　　　　　之度展开勿令移动乃并三正方面积

　　　　　共十六分即取分面线第十六分两点

　　　　　相距之度于分釐尺上量之得四寸即
　　　　　所求大正方形之每一边用其度作正
　　　　　方形其积与甲乙丙三正方形之共积
　　　　　等也盖十六分所作正方形原比一分
　　　　　所作正方形大十六倍则十六分相距
　　　　　之度所作正方形亦必比一分相距之
　　　　　度所作正方形大十六倍矣一分相距
　　　　　之度即甲正方形之一边其积为一分

　　　　　则以十六分相距之度所作正方形其
　　　　　积必为十六分与三正方形之共积相
　　　　　等也
设如有大小等边三角形小形每边一寸大形每边
　四寸今欲将两面积相减取其馀积作同式等边
　三角形问其边几何
　　　　　法以比例尺分面线第一分之两点依
　　　　　小形每边一寸之度展开勿令移动次
　　　　　以大形每边四寸之度于分面线上寻

　　　　　至第十六分之两点其相距之度恰合

　　　　　即大形与小形之比例为十六与一相
　　　　　减馀十五为较积即取分面线第十五
　　　　　分两点相距之度于分釐尺上量之得
　　　　　三寸八分七釐即较形之每一边也盖
　　　　　大小同式多边形之比例同于相当界
　　　　　所作正方形之比例(见几何原本/八卷第九节)今十
　　　　　六分所作正方形与一分所作正方形
　　　　　之比例为十六与一则十六分相距之

　　　　　度所作正方形与一分相距之度所作
　　　　　正方形之比例亦为十六与一矣夫大
　　　　　小两距度即大小两三角形之相当界
　　　　　其所作两正方形之比例既为十六与
　　　　　一则大小两三角形之比例亦必为十
　　　　　六与一矣既得两形之比例乃相减以
　　　　　得较既得较积之比例复用积以求边
　　　　　即得所求之边数也
设如有五等边形每边二尺欲三倍其积作同式五

　等边形问其每边几何

　　　　　法以比例尺分面线第一分之两点依
　　　　　分釐尺二寸之度展开勿令移动次取
　　　　　第三分两点相距之度于分釐尺上量
　　　　　之得三寸四分五釐即三尺四寸五分
　　　　　为所求大形之每一边用其度作五等
　　　　　边形其积与原形之三倍等也盖大小
　　　　　同式形之比例同于相当界所作正方
　　　　　形之比例(见几何原本/八卷第九节)今一分所作正

　　　　　方形与三分所作正方形之比例为一
　　　　　与三则一分相距之度所作正方形与
　　　　　三分相距之度所作正方形之比例亦
　　　　　必为一与三矣夫一分相距之度即原
　　　　　形之界则以三分相距之度为大形之
　　　　　界其积为原形之三倍可知矣又以二
　　　　　寸当原形之边二尺故三寸四分五釐
　　　　　即为三尺四寸五分也
设如有六等边形每边三尺欲取其积四分之三作

　同式六等边形问其每边几何

　　　　　法以比例尺分面线第四分之两点依
　　　　　分釐尺三寸之度展开勿令移动次取
　　　　　分面线第三分两点相距之度于分釐
　　　　　尺上量之得二寸六分即二尺六寸为
　　　　　所求小形之每一边用其度作六边形
　　　　　其积即为原形四分之三也盖大小同
　　　　　式形之比例同于相当界所作正方形
　　　　　之比例今四分所作正方形与三分所

　　　　　作正方形之比例为四与三则四分相
　　　　　距之度所作正方形与三分相距之度
　　　　　所作正方形之比例亦必为四与三矣
　　　　　夫四分相距之度即原形之界则以三
　　　　　分相距之度为小形之界其积为原形
　　　　　四分之三可知矣又以三寸当原形之
　　　　　边三尺故二寸六分即为二尺六寸也
设如有三率相连比例数首率二尺末率八尺问中
　率几何

　　　　　法以比例尺分面线第二分之两点依

　　　　　分釐尺二寸之度展开勿令移动次取
　　　　　分面线第八分两点相距之度于分釐
　　　　　尺上量之得四寸即四尺为相连比例
　　　　　之中率也盖相连比例三率其首率所
　　　　　作正方形与中率所作正方形之比同
　　　　　于首率与末率之比今首率为二尺末
　　　　　率为八尺则首率所作正方形与中率
　　　　　所作正方形之比例即如二与八之比

　　　　　例故以二分相距之度为首率之数则
　　　　　八分相距之度必为中率之数可知矣
　　　　　又首率用二寸当二尺故中率四寸即
　　　　　为四尺也
设如有正方面积一千六百尺问每一边几何
　　　　　法以比例尺分面线第一分之两点依
　　　　　分釐尺一寸之度展开勿令移动乃以
　　　　　一寸之十分作十尺自乘得一百尺与
　　　　　积数一千六百尺相较其比例如一与

　　　　　十六即取分面线第十六分两点相距

　　　　　之度于分釐尺上量之得四寸即四十
　　　　　尺为所求正方之每一边也盖一分之
　　　　　积既为一百尺则十六分之积必为一
　　　　　千六百尺而一分相距之度既为方积
　　　　　一百尺之每一边则十六分相距之度
　　　　　必为方积一千六百尺之每一边矣又
　　　　　以一寸当十尺故四寸即为四十尺也
设如有正方面积九千零二十五尺问每一边几何

　　　　　法以比例尺分面线第一百分之两点
　　　　　依分釐尺一寸之度展开勿令移动乃
　　　　　以一寸之一百釐作一百尺自乘得一
　　　　　万尺与积数九千零二十五尺相较其
　　　　　比例如一百与九十有馀即取分面线
　　　　　第九十分有馀相距之度于分釐尺上
　　　　　量之得九分五釐即九十五尺为所求
　　　　　正方之每一边也盖一百分之积既为
　　　　　一万尺则九十分有馀之积必为九千

　　　　　馀尺而一百分相距之度既为方积一

　　　　　万尺之每一边则九十分有馀相距之
　　　　　度必为方积九千馀尺之每一边矣又
　　　　　以一寸当一百尺故九分五釐即为九
　　　　　十五尺也

　　更面线
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线设积数一亿用面部内面积相
　　　　　等边线不同之定率比例得各形之边
　　　　　线其方边一万圜径一万一千二百八
　　　　　十四三等边一万五千一百九十七五
　　　　　等边七千六百二十四六等边六千二
　　　　　百零四七等边五千二百四十六八等

　　　　　边四千五百五十一九等边四千零二
　　　　　十二十等边三千六百零五将各形边
　　　　　数于分釐尺上取其度按度截比例尺
　　　　　之甲乙甲丙二线即成更面线也
设如有甲圆形径一尺二寸欲作一正方形其积与
　圆积等问每边几何
　　　　　法以比例尺更面线圆号之两点依分
　　　　　釐尺一寸二分之度展开勿令移动次
　　　　　取方号之两点相距之度于分釐尺上

　　　　　量之得一寸零六釐即一尺零六分为

　　　　　正方形之每一边用其度作正方形其
　　　　　积与圜积等也盖圆号与方号之比例
　　　　　原为同积之圆径与方边之比例则其
　　　　　两距度之比例亦必为圆径与方边之
　　　　　比例今圆号相距之度既为圆径则方
　　　　　号相距之度必为方边无疑矣又以一
　　　　　寸二分当圆径一尺二寸故一寸零六
　　　　　釐即为方边一尺零六分也

设如有甲三边形每边一十五尺又有乙五边形每
　边十尺欲并作一正方形问每边几何
　　　　　法以比例尺更面线三边号之两点依
　　　　　分釐尺一寸五分之度展开勿令移动
　　　　　次取方号之两点相距之度于分釐尺
　　　　　上量之得九分八釐七豪即九尺八寸
　　　　　七分为正方形之每一边用其度作正
　　　　　方形其积与甲三边形积等也又以五
　　　　　边号之两点依分釐尺一寸之度展开

　　　　　勿令移动次取方号之两点相距之度

　　　　　于分釐尺上量之得一寸三分一釐即
　　　　　十三尺一寸为方正形之每一边用其
　　　　　度作正方形其积与乙五边形积等也
　　　　　乃将两正方形用分面线求其积之比
　　　　　例以分面线第十分之两点依小方边
　　　　　九分八釐七豪之度展开勿令移动复
　　　　　以大方边一寸三分一釐之度于分面
　　　　　线上寻至第十七分六釐之处其相距

　　　　　之度恰合即两方形之比例为十分与
　　　　　十七分六釐并之得二十七分六釐即
　　　　　取分面线第二十七分六釐相距之度
　　　　　于分釐尺上量之得一寸六分四釐即
　　　　　十六尺四寸为正方形之每一边用其
　　　　　度作正方形其积与甲乙两形之积等
　　　　　也盖甲乙两形不同类不能得其比例
　　　　　即不能相加故先用更面线将甲乙两
　　　　　形俱变为正方形复用分面线求其比

　　　　　例而并之即得所求大正方形之一边

　　　　　也
设如有甲八边形每边十二尺又有乙六边形每边
　六尺今将两面积相减用其馀积作一七边形问
　其边几何
　　　　　法以比例尺更面线八边号之两点依
　　　　　分釐尺一寸二分之度展开勿令移动
　　　　　次取七边号两点相距之度于分釐尺
　　　　　上量之得一寸三分八釐即十三尺八

　　　　　寸为七边形之每一边用其度作七边
　　　　　形其积与甲八边形积等也又以六边
　　　　　号之两点依分釐尺六分之度展开勿
　　　　　令移动次取七边号两点相距之度于
　　　　　分釐尺上量之得五分零七豪即五尺
　　　　　零七分为七边形之每一边用其度作
　　　　　七边形其积与乙六边形积等也乃将
　　　　　两七边形用分面线求其比例以分面
　　　　　线第十分之两点依小七边形之边五

　　　　　分零七豪之度展开勿令移动复以大

　　　　　七边形之边一寸三分八釐之度于分
　　　　　面线上寻至第七十八分之处其相距
　　　　　之度恰合即两七边形之比例为十分
　　　　　与七十八分相减馀六十八分即取分
　　　　　面线第六十八分相距之度于分釐尺
　　　　　上量之得一寸三分即十三尺为所求
　　　　　七边形之每一边用其度作七边形其
　　　　　积与甲乙两形相减之馀积等也盖甲

　　　　　乙两形不同类不能得其比例即不能
　　　　　相减故先用更面线将甲乙两形俱变
　　　　　为七边形复用分面线求其比例而后
　　　　　相减即得所求七边形之一边也
设如有十等边形积四千四百四十五尺问每一边
　几何
　　　　　法先以比例尺分面线第一分之两点
　　　　　依分釐尺一寸之度展开勿令移动乃
　　　　　以一寸之十分作十尺自乘得一百尺

　　　　　与积四千四百四十五尺相较其比例

　　　　　如一与四十四又九之五即取分面线
　　　　　第四十四分又九之五相距之度于分
　　　　　釐尺上量之得六寸六分又三之二即
　　　　　六十六尺又三分尺之二为方形之一
　　　　　边用其度作正方形其积与十边形积
　　　　　等也乃以更面线方号之两点依方形
　　　　　每边六寸六分又三分之二之度展开
　　　　　勿令移动次取十边号两点相距之度

　　　　　于分釐尺上量之得二寸四分即二十
　　　　　四尺为所求十边形之每一边也盖正
　　　　　方形为各面形比例之宗故凡有积求
　　　　　边者必先用分面线求得方形之边然
　　　　　后用更面线使方号两点相距之度与
　　　　　方边等而取所求形之号两点相距之
　　　　　度即所求形之一边自圆形三边形以
　　　　　至九边形皆同一法也

　　分体线
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线依几何原本十二卷二十二节
　　　　　之法分之即为分体线也或设正方体
　　　　　界一百釐其积数一百万釐以二因之
　　　　　得二百万釐开立方得一百二十六釐
　　　　　为积二百万釐之根又以三因之得三
　　　　　百万釐开立方得一百四十四釐为积

　　　　　三百万釐之根照此屡倍积数开立方
　　　　　将所得之数于分釐尺上取其度按度
　　　　　截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体
　　　　　线也
设如有甲乙丙三正方体甲形每边二寸其积数之
　比例甲为一分乙为三分丙为四分今欲作一大
　正方体与甲乙丙三正方体之积等问其边几何
　　　　　法以比例尺分体线第一分之两点依
　　　　　甲正方体每边二寸之度展开勿令移

　　　　　动乃并三正方体积共八分即取八分

　　　　　两点相距之度于分釐尺上量之得四
　　　　　寸即所求大正方体之每一边用其度
　　　　　作正方体其积与甲乙丙三正方体之
　　　　　共积等也盖八分所作正方体原比一
　　　　　分所作正方体大八倍则八分相距之
　　　　　度所作正方体亦必比一分相距之度
　　　　　所作正方体大八倍矣一分相距之度
　　　　　即甲正方体之一边其积为一分则以

　　　　　八分相距之度所作正方体其积必为
　　　　　八分与三正方体之共积相等也
设如有大小两四等面体小体每边一寸大体每边
　三寸今将两体积相减取其馀积作同式四面体
　问其边几何
　　　　　法以比例尺分体线第一分之两点依
　　　　　小体每边一寸之度展开勿令移动次
　　　　　以大体每边三寸之度于分体线寻至
　　　　　第二十七分之两点其相距之度恰合

　　　　　即大形与小形之比例为二十七与一

　　　　　相减馀二十六为较积即取分体线第
　　　　　二十六分两点相距之度于分釐尺上
　　　　　量之得二寸九分六釐即较体之每一
　　　　　边也盖大小同式体之比例同于相当
　　　　　界所作正方体之比例(见几何原本/十卷第七节)今
　　　　　二十七分所作正方体与一分所作正
　　　　　方体之比例为二十七与一则二十七
　　　　　分相距之度所作正方体与一分相距

　　　　　之度所作正方体之比例亦必为二十
　　　　　七与一矣夫大小两距度即大小两体
　　　　　之相当界其所作两正方体之比例既
　　　　　为二十七与一则大小两四面体之比
　　　　　例亦必为二十七与一矣既得两体之
　　　　　比例乃相减以得较既得较积之比例
　　　　　复用积以求边即得所求之边数也
设如有八等面体每边一尺欲四倍其积作同式八
　等面体问其每边几何

　　　　　法以比例尺分体线第一分之两点依

　　　　　分釐尺一寸之度展开勿令移动次取
　　　　　第四分两点相距之度于分釐尺上量
　　　　　之得一寸五分九釐即一尺五寸九分
　　　　　为所求体之一边用其度作八等面体
　　　　　其积与原体之四倍等也盖大小同式
　　　　　体之比例同于相当界所作正方体之
　　　　　比例今一分所作正方体与四分所作
　　　　　正方体之比例为一与四则一分相距

　　　　　之度所作正方体与四分相距之度所
　　　　　作正方体之比例亦必为一与四矣夫
　　　　　一分相距之度即原体之界则以四分
　　　　　相距之度为大体之界其积为原体之
　　　　　四倍可知矣又以一寸当原形边一尺
　　　　　故一寸五分九釐即为一尺五寸九分
　　　　　也
设如有圆球径三尺欲取其积五分之二作同式圆
　球体问其径几何

　　　　　法以比例尺分体线第五分之两点依

　　　　　分釐尺三寸之度展开勿令移动次取
　　　　　分体线第二分两点相距之度于分釐
　　　　　尺上量之得二寸二分一釐即二尺二
　　　　　寸一分为所求小体之一边用其度为
　　　　　径作圆球体其积为原体五分之二也
　　　　　盖大小同式体之比例同于相当界所
　　　　　作正方体之比例今五分所作正方体
　　　　　与二分所作正方体之比例为五与二

　　　　　则五分相距之度所作正方体与二分
　　　　　相距之度所作正方体之比例亦必为
　　　　　五与二矣夫五分相距之度即原体之
　　　　　径则以二分相距之度为小体之径其
　　　　　积为原体五分之二可知矣又以三寸
　　　　　当原体之径三尺故二寸二分一釐即
　　　　　为二尺二寸一分也
设如有四率相连比例数一率八尺四率二十七尺
　求二率三率各几何

　　　　　法以比例尺分体线第八分之两点依

　　　　　分釐尺八分之度展开勿令移动次取
　　　　　分体线第二十七分之两点相距之度
　　　　　于分釐尺上量之得一寸二分即十二
　　　　　尺为连比例四率之第二率既得二率
　　　　　乃用平分线有一率二率求连比例第
　　　　　三率之法以平分线第八分之两点依
　　　　　分釐尺一寸二分之度展开勿令移动
　　　　　次取平分线第十二分两点相距之度

　　　　　于分釐尺上量之得一寸八分即十八
　　　　　尺为连比例四率之第三率也盖相连
　　　　　比例四率其一率所作正方体与二率
　　　　　所作正方体之比例同于一率与四率
　　　　　之比例今一率为八尺四率为二十七
　　　　　尺则一率所作正方体与二率所作正
　　　　　方体之比例即如八与二十七之比例
　　　　　故以八分相距之度为一率之数则二
　　　　　十七分相距之度必为二率之数可知

　　　　　矣又一率用八分当八尺故二率一寸

　　　　　二分即为十二尺至于求第三率之法
　　　　　即平分线求连比例三率之理也
设如有正方体积二万七千尺问每一边几何
　　　　　法以比例尺分体线第一分之两点依
　　　　　分釐尺一寸之度展开勿令移动乃以
　　　　　一寸之十分作十尺自乘再乘得一千
　　　　　尺与积数二万七千尺相较其比例如
　　　　　一与二十七即取分体线第二十七分

　　　　　两点相距之度于分釐尺上量之得三
　　　　　寸即三十尺为所求正方体之每一边
　　　　　也盖一分之积既为一千尺则二十七
　　　　　分之积必为二万七千尺而一分相距
　　　　　之度既为方积一千尺之每一边则二
　　　　　十七分相距之度必为方积二万七千
　　　　　尺之每一边矣又以一寸当十尺故三
　　　　　寸即为三十尺也
设如有正方体积八十三万零五百八十四尺问每

　一边几何

　　　　　法以比例尺分体线第一百分之两点
　　　　　依分釐尺一寸之度展开勿令移动乃
　　　　　以一寸之一百釐作一百尺自乘再乘
　　　　　得一百万尺与积数八十三万零五百
　　　　　八十四尺相较其比例如一百与八十
　　　　　三有馀即取分体线第八十三分有馀
　　　　　相距之度于分釐尺上量之得九分四
　　　　　釐即九十四尺为所求正方体之每一

　　　　　边也盖一百分之积既为一百万尺则
　　　　　八十三分有馀之积必为八十三万馀
　　　　　尺而一百分相距之度既为方积一百
　　　　　万尺之每一边则八十三分有馀相距
　　　　　之度必为方积八十三万馀尺之每一
　　　　　边矣又以一寸当一百尺故九分四釐
　　　　　即为九十四尺也
设如有银正方体每边二寸问重几何
　　　　　法以比例尺分体线第九分之两点(银/正)

　　　　　(方一寸之定率为/九两故用九分度)依分釐尺一寸之度

　　　　　展开勿令移动次取分釐尺二寸之度
　　　　　于分体线上寻至第七十二分之两点
　　　　　其相距之度恰合即七十二两为银正
　　　　　方体之重数也盖各体重数之比例与
　　　　　积数之比例等相距之度一寸其积为
　　　　　九分相距之度二寸其积则为七十二
　　　　　分今相距一寸之九分既为正方一寸
　　　　　银体之重数则相距二寸之七十二分

　　　　　必为正方二寸银体之重数矣又以九
　　　　　分当九两故七十二分为七十二两也
设如有大铜球体径二寸重三十一两四钱一分今
　有小铜球体径一寸二分问重几何
　　　　　法以比例尺分体线第三十一分四釐
　　　　　之处依大球径二寸之度展开勿令移
　　　　　动次取小球径一寸二分之度于分体
　　　　　线上寻至第六分七釐有馀之处其相
　　　　　距之度恰合即六两七钱有馀为小铜

　　　　　球体之重数也盖各体重数之比例与

　　　　　积数之比例等相距之度二寸其积为
　　　　　三十一分四釐相距之度一寸二分其
　　　　　积则为六分七釐今相距一寸之三十
　　　　　一分四釐既为径二寸大铜球体之重
　　　　　数则相距一寸二分之六分七釐必为
　　　　　径一寸二分小铜球体之重数矣又以
　　　　　三十一分四釐当三十一两四钱故六
　　　　　分七釐即为六两七钱也

　　更体线
　　　　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲
　　　　　丙二线设积数一兆用体部内体积相
　　　　　等边线不同之定率比例得各体之边
　　　　　线其立方边一万球径一万二千四百
　　　　　零七四面体边二万零三百九十七八
　　　　　面体边一万二千八百四十九十二面
　　　　　体边五千零七十二二十面体边七千

　　　　　七百一十将各体边线数于分釐尺上
　　　　　取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二
　　　　　线即成更体线也
设如有甲球体径二尺欲作一正方体其积与球积
　等问每边几何
　　　　　法以比例尺更体线球号之两点依分
　　　　　釐尺二寸之度展开勿令移动次取方
　　　　　号之两点相距之度于分釐尺上量之
　　　　　得一寸六分一釐即一尺六寸一分为

　　　　　正方体之每一边用其度作正方体其

　　　　　积与甲球积等也盖球号与方号之比
　　　　　例原为同积之球径与立方边之比例
　　　　　则其两距度之比例亦必为球径与立
　　　　　方边之比例今球号相距之度既为球
　　　　　径则方号相距之度必为方边无疑矣
　　　　　又以二寸当球径二尺故一寸六分一
　　　　　釐即为一尺六寸一分也
设如有甲四面体每边三尺又有乙八面体每边四

　尺欲并作一正方体问每边几何
　　　　　法以比例尺更体线四面号之两点依
　　　　　分釐尺三寸之度展开勿令移动次取
　　　　　方号两点相距之度于分釐尺上量之
　　　　　得一寸四分六釐即一尺四寸六分为
　　　　　正方体之每一边用其度作正方体其
　　　　　积与甲四面体积等也又以八面号之
　　　　　两点依分釐尺四寸之度展开勿令移
　　　　　动次取方号两点相距之度于分釐尺

　　　　　上量之得三寸一分一釐即三尺一寸

　　　　　一分为正方体之每一边用其度作正
　　　　　方体其积与乙八面体积等也乃将两
　　　　　正方体用分体线求其积之比例以分
　　　　　体线第一分之两点依小方体每边一
　　　　　寸四分六釐之度展开勿令移动复以
　　　　　大方体每边三寸一分一釐之度于分
　　　　　体线上寻至第九分五釐之处其相距
　　　　　之度恰合即两方体之比例为一与九

　　　　　分五釐并之得十分五釐即取分体线
　　　　　第十分五釐相距之度于分釐尺上量
　　　　　之得三寸二分即三尺二寸为正方体
　　　　　之每一边用其度作正方体其积与甲
　　　　　乙两体之积等也盖甲乙两体不同类
　　　　　不能得其比例即不能相加故先用更
　　　　　体线将甲乙两体俱变为正方体复用
　　　　　分体线求其比例而并之即得所求大
　　　　　方体之一边也

设如有甲正方体每边二尺又有乙球体径亦二尺

　今将两体积相减用其馀积作十二面体问其边
　几何
　　　　　法以比例尺更体线方号之两点依分
　　　　　釐尺二寸之度展开勿令移动次取十
　　　　　二面号两点相距之度于分釐尺上量
　　　　　之得一寸零一釐四豪即一尺零一分
　　　　　四釐为十二面体之每一边用其度作
　　　　　十二面体其积与甲正方体积等也又

　　　　　以球号之两点依分釐尺二寸之度展
　　　　　开勿令移动次取十二面号两点相距
　　　　　之度于分釐尺上量之得八分一釐七
　　　　　豪即八寸一分七釐为十二面体之每
　　　　　一边用其度作十二面体其积与乙球
　　　　　体积等也乃将两十二面体用分体线
　　　　　求其比例以分体线第十分之两点依
　　　　　小十二面体每边八分一釐七豪之度
　　　　　展开勿令移动复以大十二面体每边

　　　　　一寸零一釐四豪之度于分体线上寻

　　　　　至第十九分其相距之度恰合即两十
　　　　　二面体之比例为十分与十九分相减
　　　　　馀九分即取分体线第九分两点相距
　　　　　之度于分釐尺上量之得七分九釐即
　　　　　七寸九分为所求十二面体之每一边
　　　　　用其度作十二面体与甲乙两体相减
　　　　　之馀积等也盖甲乙两体不同类不能
　　　　　得其比例即不能相减故先用更体线