钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十七
　　末部七
　　　难题

　　难题
算术之学不外于线面体其间比例相求或借根借
方等法既已分门别类于前然设问中有纡回繁杂
之不同者非审详明辨则何以得其统绪兹又探赜
钩深编为难题一卷俾学者殚思观变以不迷于入
算之方庶几数理之微人心之巧由此引而伸之触
类而长之将以穷天下之变亦不难也
设如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙

　五日一次问三人何日同班
　　　　　法以三日与四日相乘得十二日再与
　　　　　五日相乘得六十日即三人同班之日
　　　　　也此法盖因六十为三四五皆可以度
　　　　　尽之数三与四相乘得十二日是甲乙
　　　　　同班之日而不能与丙同班三与五相
　　　　　乘得十五日是甲丙同班之日而不能
　　　　　与乙同班四与五相乘得二十日是乙
　　　　　丙同班之日而不能与甲同班惟六十

　　　　　日为甲第二十次值班之日为乙第十

　　　　　五次值班之日为丙第十二次值班之
　　　　　日故为三人同班之日也
设如有钱不知总数以三数之馀二文以五数之馀
　三文以七数之亦馀二文问钱总数几何
　　　　　法先以三数之率定为七十五数之率
　　　　　定为二十一七数之率定为十五乃以
　　　　　三数之率七十与馀二相乘得一百四
　　　　　十以五数之率二十一与馀三相乘得

　　　　　六十三以七数之率十五与馀二相乘
　　　　　得三十三数相并得二百三十三又以
　　　　　三五七递乘得一百零五于二百三十
　　　　　三内减两次馀二十三即总钱数也此
　　　　　法以三数之率定为七十者以其用七
　　　　　数五数皆尽惟用三数之馀一也今以
　　　　　馀二相乘得一百四十则是用七数五
　　　　　数皆尽惟用三数之馀二矣以五数之
　　　　　率定为二十一者以其用三数七数皆

　　　　　尽惟用五数之馀一也今以馀三相乘

　　　　　得六十三则是用三数七数皆尽惟用
　　　　　五数之馀三矣以七数之率定为十五
　　　　　者以其用三数五数皆尽惟用七数之
　　　　　馀一也今以馀二相乘得三十则是用
　　　　　三数五数皆尽惟用七数之馀二矣以
　　　　　此三数相并自为三数馀二五数馀三
　　　　　七数馀二之数又以三五七递乘得一
　　　　　百零五者此数用三五七皆可数尽故

　　　　　二百三十三虽为三数馀二五数馀三
　　　　　七数馀二之数然减去一百零五馀一
　　　　　百二十八以三五七数之其所馀之数
　　　　　仍同也即再减去一百零五馀二十三
　　　　　以三五七数之其所馀之数亦同也是
　　　　　以问数在一百零五以下必二十三如
　　　　　问数在一百零五以上必一百二十八
　　　　　或二百三十三如原数更在二百三十
　　　　　三以上则递加一百零五求之必有合

　　　　　也至其作率之法不过一乘一减如以

　　　　　三五七命算则以五七相乘得三十五
　　　　　以三减之馀二不可为率以其所馀为
　　　　　二难与他数相乘也故将三十五倍之
　　　　　得七十以三减之馀一故七十即为三
　　　　　数之率三七相乘得二十一以五减之
　　　　　馀一故二十一即为五数之率三五相
　　　　　乘得一十五以七减之馀一故十五即
　　　　　为七数之率或以五数七数九数命算

　　　　　皆仿此例推之
设如三人治田一人日耘七亩一人日耕三亩一人
　日种五亩今令一人自耕自种自耘问一日治田
　几何
　　　　　法以七亩三亩五亩连乘得一百零五
　　　　　亩为治田总衰数以每日耘七亩除之
　　　　　得十五日为耘田衰数以每日耕三亩
　　　　　除之得三十五日为耕田衰数以每日
　　　　　种五亩除之得二十一日为种田衰数

　　　　　三数相并得七十一日为一率一百零

　　　　　五亩为二率一日为三率得四率一亩
　　　　　四分七釐有馀即每日自耕自种自耘
　　　　　之数也此法盖因一日耘七亩则一百
　　　　　零五亩须耘十五日一日耕三亩则一
　　　　　百零五亩须耕三十五日一日种五亩
　　　　　则一百零五亩须种二十一日并之得
　　　　　七十一日是一人自耕自种自耘治田
　　　　　一百零五亩即知一日治田一亩四分

　　　　　七釐有馀也
设如甲乙二人甲借乙本银一千二百两已经还讫
　仍欠四月利银今乙又借甲银八百两欲与前利
　银抵兑问得月数几何
　　　　　法以今借银八百两为一率原借银一
　　　　　千二百两为二率原欠利银四月作一
　　　　　百二十日为三率得四率一百八十日
　　　　　以三十日归之得六月为所求之日数
　　　　　也盖甲借乙之银数多故月数少乙借

　　　　　甲之银数少故月数多而其利相等为

　　　　　转比例四率也
设如原买小布一疋长一丈八尺阔一尺三寸价一
　钱一分七釐今买大布一疋长二丈五尺阔一尺
　六寸问价几何
　　　　　法以原布长一丈八尺阔一尺三寸相
　　　　　乘得二十三尺四十寸为一率价一钱
　　　　　一分七釐为二率今布长二丈五尺阔
　　　　　一尺六寸相乘得四十尺为三率求得

　　　　　四率二钱即今布之价也凡物惟长不
　　　　　同或惟阔不同则各以其长阔为比例
　　　　　今长阔俱不同故以其长阔各相乘为
　　　　　面与面之比例也
设如有银三百九十六两令甲乙丙丁四人分之甲
　得二分之一又多十两乙得五分之三内少二十
　两丙得三分之一又多八两丁得四分之一内少
　六两问四人各得银数几何
　　　　　法先以总银三百九十六两内减去甲

　　　　　多十两丙多八两馀三百七十八两又

　　　　　加乙少二十两丁少六两共得四百零
　　　　　四两为各分之总银数乃以甲分母二
　　　　　乙分母五丙分母三丁分母四连乘之
　　　　　得一百二十为总衰数于总衰一百二
　　　　　十内取二分之一得六十为甲衰取五
　　　　　分之三得七十二为乙衰取三分之一
　　　　　得四十为丙衰取四分之一得三十为
　　　　　丁衰并之得二百零二衰为一率以各

　　　　　分总银数四百零四两为二率一衰为
　　　　　三率得四率二两乃以二两用甲衰六
　　　　　十乘之得一百二十两加所多十两得
　　　　　一百三十两即甲所分之银数用乙衰
　　　　　七十二乘之得一百四十四两内减所
　　　　　少二十两馀一百二十四两即乙所分
　　　　　之银数用丙衰四十乘之得八十两加
　　　　　所多八两得八十八两即丙所分之银
　　　　　数用丁衰三十乘之得六十两减所少

　　　　　六两馀五十四两即丁所分之银数将

　　　　　四人所分之银并之得三百九十六两
　　　　　以合原数也
设如甲乙丙三商货殖二年共得利银八千五百八
　十两甲原出本银三千两至满八月收回一千两
　至满十九月又添一千二百两乙原出本银二千
　四百两至满六月收回八百两至满十五月又添
　一千四百两丙原出本银二千两满七月悉收回
　至满十七月别出本银一千六百两问各人分得

　利银若干
　　　　　法以甲本银三千两与八月相乘(满八/月收)
　　　　　(回一千两是八月/以前皆为三千两)得二万四千两又以
　　　　　收回一千两与原本银三千两相减馀
　　　　　二千两以八月与十九月相减馀十一
　　　　　月(八月收回一千两馀二千两十九月/后方添一千二百两则是八月以后)
　　　　　(十九月以前此十/一月皆为二千两)以十一月与二千两
　　　　　相乘得二万二千两又以二千两加所
　　　　　添一千二百两得三千二百两以十九

　　　　　月与二年之二十四月相减馀五月(十/九)

　　　　　(月后添一千二百两是十九月以后二/十四月以前此五月皆为三千二百两)
　　　　　以五月与三千二百两相乘得一万六
　　　　　千两以三得数相并共六万二千两为
　　　　　甲之共衰数乙本银二千四百两与六
　　　　　月相乘(满六月收回八百两是六/月以前皆为二千四百两)得一
　　　　　万四千四百两又以收回八百两与原
　　　　　本银二千四百两相减馀一千六百两
　　　　　以六月与十五月相减馀九月(六月后/收回八)

　　　　　(百两馀一千六百两十五月后方添一/千四百两是六月以后十五月以前此)
　　　　　(九月皆为一/千六百两)以九月与一千六百两相
　　　　　乘得一万四千四百两又以一千六百
　　　　　两加所添一千四百两得三千两以十
　　　　　五月与二年之二十四月相减馀九月
　　　　　(十五月后添一千四百两是十五月以/后二十四月以前此九月皆为三千两)
　　　　　以九月与三千两相乘得二万七千两
　　　　　三数相并共五万五千八百两为乙之
　　　　　共衰数丙本银二千两与七月相乘(满/七)

　　　　　(月悉收回则七月/以前皆为二千两)得一万四千两又以

　　　　　十七月与二十四月相减馀七月与别
　　　　　出本银一千六百两相乘(七月悉收回/不算外至第)
　　　　　(十七月方出本一千六百两是十七/月以后二十四月以前止七月也)得
　　　　　一万一千二百两二数相并共二万五
　　　　　千二百两为丙之共衰数以甲乙丙三
　　　　　衰数相并(甲六万二千乙五万五千/八百丙二万五千二百)共
　　　　　得一十四万三千两为一率总利银八
　　　　　千五百八十两为二率一两为三率求

　　　　　得四率六分以各人衰数乘之甲得三
　　　　　千七百二十两乙得三千三百四十八
　　　　　两丙得一千五百一十二两为各人所
　　　　　得利银之数也
设如有一大石不知其重但知一小石重四两求大
　石重几何
　　　　　法用一木杆结系于中两端令平乃以
　　　　　大石挂于一端以小石作砣称之如大
　　　　　石距提系一寸小石距提系六寸得平

　　　　　则以一寸为一率小石重四两为二率

　　　　　六寸为三率求得四率二十四两即大
　　　　　石之重也如图甲乙为大石距提系一
　　　　　寸甲丙为小石距提系六寸丁为大石
　　　　　戊为小石戊小石之重即甲乙之分丁
　　　　　大石之重即甲丙之分故甲乙与戊小
　　　　　石之比同于甲丙与丁大石之比也
设如有银大小二锭共重十五两求大小锭各重几
　何

　　　　　法用一木杆结系于中两端令平乃以
　　　　　大锭小锭各挂一端如大锭距提系四
　　　　　寸小锭距提系六寸得平则以四寸六
　　　　　寸相加得十寸为一率共重十五两为
　　　　　二率大锭距提系四寸为三率得四率
　　　　　六两即小锭之重如以小锭距提系六
　　　　　寸为三率则得四率九两即大锭之重
　　　　　也如图甲乙为大锭距提系四寸甲丙
　　　　　为小锭距提系六寸故以甲乙甲丙共

　　　　　分与丁戊共重之比同于甲乙与戊小

　　　　　锭之比亦同于甲丙与丁大锭之比也
设如以戥称银戥数不足将砣上加四两称之得二
　百两原砣重八两问银实重几何
　　　　　法以原砣重八两为一率又以原砣八
　　　　　两与加四两相并得十二两为二率以
　　　　　今称二百两为三率得四率三百两为
　　　　　原银之重数也如图甲乙为二百两之
　　　　　分丙为砣重十二两试将甲乙戥衡引

　　　　　长至丁甲丁为三百两之分戊为原砣
　　　　　重八两甲乙乘丙砣即与甲丁乘戊砣
　　　　　之数等故以戊砣与甲乙之比同于丙
　　　　　砣与甲丁之比为转比例四率也
设如戥子失去坠砣欲配一砣不知轻重以重三两
　之物用六钱之砣称之得四两问原砣重几何
　　　　　法以原重三两为一率今称得四两为
　　　　　二率今砣重六钱为三率求得四率八
　　　　　钱即原砣之重也如图甲乙为戥盘距

　　　　　提系之分丙为物重甲丁为三两之分

　　　　　戊为原砣甲己为四两之分庚为今砣
　　　　　以比例论之甲乙与戊砣之比同于甲
　　　　　丁与丙重之比又甲乙与庚砣之比同
　　　　　于甲己与丙重之比是甲丁乘戊砣即
　　　　　与甲己乘庚砣之数等故以甲丁与庚
　　　　　砣之比即同于甲己与戊砣之比为转
　　　　　比例四率也
设如河口上宽十尺下宽六尺深五尺求每日流水

　几何
　　　　　法以木板一块置于水面用验时仪坠
　　　　　子候之看六十秒内木板流远几丈如
　　　　　流远十丈即以十丈变为一百尺乃以
　　　　　河上宽十尺与下宽六尺相加折半得
　　　　　八尺与河深五尺相乘得四十尺又与
　　　　　木板流远一百尺相乘得四千尺即六
　　　　　十秒内所流之数又以六十秒收为一
　　　　　分为一率水流四千尺为二率以每日

　　　　　二十四小时化为一千四百四十分(一/小)

　　　　　(时为四刻一/刻为十五分)为三率求得四率五千七
　　　　　百六十万尺即一日内所流之数也此
　　　　　法先用木板以验所流之缓急水急则
　　　　　木随水流亦急水缓则木随水流亦缓
　　　　　看木之缓急即知水流之多少故先求
　　　　　得河口面积再以远乘之即得水流之
　　　　　积数也
设如有房一所不知间数亦不知房价但云每房六

　间每年租银二十四两五年后适得本银每房八
　间每年租银三十五两八年后得本银外又得利
　银二千一百六十两问房数房价各几何
　　　　　法以五年与每年二十四两相乘得一
　　　　　百二十两以八年与每年三十五两相
　　　　　乘得二百八十两是为每房六间租一
　　　　　百二十两适足每房八间租二百八十
　　　　　两盈二千一百六十两乃以六间互乘
　　　　　二百八十两得一千六百八十两以八

　　　　　间互乘一百二十两得九百六十两相

　　　　　减馀七百二十两为一率以六间与八
　　　　　间相乘得四十八间为二率以利银二
　　　　　千一百六十两为三率得四率一百四
　　　　　十四间即房之总数也又以六间为一
　　　　　率五年得一百二十两为二率总房一
　　　　　百四十四间为三率得四率二千八百
　　　　　八十两即房价或以八间为一率八年
　　　　　得二百八十两为二率总房一百四十

　　　　　四间为三率得四率五千零四十两内
　　　　　减利银二千一百六十两亦得二千八
　　　　　百八十两为房价也此法盖因五年八
　　　　　年之数不同故以五年八年与每年银
　　　　　数相乘作总得租银算也
设如有银买物不知银数亦不知物价但云取银六
　分之五买之则多六两取银四分之三买之仍多
　二两问银数及物价各几何
　　　　　法以前分母六互乘后分子三得十八

　　　　　以后分母四互乘前分子五得二十相

　　　　　减馀二分为一率盈六两与盈二两相
　　　　　减馀四两为二率两分母互乘得二十
　　　　　四分为三率求得四率四十八两即为
　　　　　银数取六分之五为四十两减盈六两
　　　　　得三十四两为物价或取四分之三得
　　　　　三十六两减盈二两亦得三十四两为
　　　　　物价也
　　　　　又先得物价之法以前分母六互乘后

　　　　　分子三得十八以后分母四互乘前分
　　　　　子五得二十又以十八互乘盈六两得
　　　　　盈一百零八两为加十八倍以二十互
　　　　　乘盈二两得盈四十两为加二十倍乃
　　　　　以十八倍与二十倍相减馀二倍为一
　　　　　率互乘所得两盈数相减馀六十八两
　　　　　为二率一倍为三率求得四率三十四
　　　　　两即物价加盈六两得四十两即原银
　　　　　六分之五乃用五归六因得四十八两

　　　　　为原银数或于物价三十四两加盈二

　　　　　两得三十六两即原银四分之三乃用
　　　　　三归四因亦得四十八两为原银数也
　　　　　此盈朒单法因带分母子不同故用通
　　　　　分互乘以齐其分耳
设如有银买米不知米数亦不知米价只云买米四
　分之一用银二十两则米少一石若买三分之一
　用银二十四两则米多二石问米数及米价各几
　何

　　　　　法以前分母四互乘得分子一得四以
　　　　　后分母三互乘前分子一得三乃以互
　　　　　乘所得后分子四互乘二十两得八十
　　　　　两互乘朒一石得朒四石又以互乘所
　　　　　得前分子三互乘二十四两得七十二
　　　　　两互乘盈二石得盈六石乃以朒四石
　　　　　与盈六石相加得十石为一率八十两
　　　　　与七十二两相减馀八两为二率一石
　　　　　为三率求得四率八钱即米一石之价

　　　　　也既得米价乃以八钱除二十两得二

　　　　　十五石减朒一石馀二十四石为米四
　　　　　分之一以四因之得九十六石即米数
　　　　　或以八钱除二十四两得三十石加盈
　　　　　二石得三十二石为米三分之一以三
　　　　　因之亦得九十六石为米数也盖以分
　　　　　母互乘前则为十二分之三后则为十
　　　　　二分之四(两分母互/乘得十二)又以分子互乘前
　　　　　则为米十二分(两分子互乘/亦得十二分)用银八十

　　　　　两朒四石后则为米十二分用银七十
　　　　　二两盈六石夫米之分数既同而银差
　　　　　八两则盈朒差十石故知十石价八两
　　　　　即知一石价八钱也此双套盈朒之法
　　　　　但有米之分数又有石数故立法微不
　　　　　同若止带零分则惟用通分法馀俱与
　　　　　双套盈朒之法同
　　　　　又先得米数之法以银数列于上分数
　　　　　列于下乃以前分母四互乘后分子一

　　　　　得四以后分母三互乘前分子一得三

　　　　　又以二十两互乘后所得分子四得八
　　　　　十分互乘盈二石得盈四十石以二十
　　　　　四两互乘前所得分子三得七十二分
　　　　　互乘朒一石得朒二十四石乃以七十
　　　　　二分与八十分相减馀八分为一率朒
　　　　　二十四石与盈四十石相加得六十四
　　　　　石为二率两分母互乘得十二分为三
　　　　　率求得四率九十六石即原米数也既

　　　　　得米数四归之得二十四石加朒一石
　　　　　得二十五石以除二十两得八钱为米
　　　　　价或将米数三归之得三十二石减盈
　　　　　二石馀三十石以除二十四两亦得八
　　　　　钱为米价也盖用互乘前则为四百八
　　　　　十两(二十两与二十四两/互乘得四百八十两)买米十二分
　　　　　之七十二朒二十四石后则为四百八
　　　　　十两买米十二分之八十盈四十石夫
　　　　　银数既同而米差八分则盈朒相差六

　　　　　十四石故知八分为六十四石即知十

　　　　　二分为九十六石也
　　　　　又法以二十两朒一石俱用四因之得
　　　　　八十两朒四石(因四分之一价二十两/故用四因为米总价)
　　　　　又以二十四两盈二石俱用三因之得
　　　　　七十二两盈六石(因三分之一价二十/四两故用三因为米)
　　　　　(总/价)作盈朒单法算以朒四石与盈六石
　　　　　相加得十石为一率八十两与七十二
　　　　　两相减馀八两为二率一石为三率求

　　　　　得四率八钱即米一石之价也此法盖
　　　　　因分数整齐故可比例而得其全分之
　　　　　价若有奇零则须用前法或用通分法
　　　　　算之
设如有一数不知几何但云以三乘之再加一十又
　以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以
　六乘之再加四十共得六千七百问原数几何
　　　　　法先以所加之一十以四乘之又以五
　　　　　乘之又以六乘之得一千二百再以所

　　　　　加之二十以五乘之又以六乘之得六

　　　　　百再以所加之三十以六乘之得一百
　　　　　八十乃以所得之三数相加得一千九
　　　　　百八十并所加之四十共二千零二十
　　　　　与共数六千七百相减馀四千六百八
　　　　　十为连乘之整数乃借一衰为原数以
　　　　　三乘之仍得三又以四乘之得一十二
　　　　　又以五乘之得六十又以六乘之得三
　　　　　百六十衰为一率原数一衰为二率以

　　　　　连乘整数四千六百八十为三率求得
　　　　　四率十三即为原数也此法盖因三乘
　　　　　原数外加一十而又用四乘五乘六乘
　　　　　则此一十己用四乘五乘六乘矣四乘
　　　　　后加二十而又用五乘六乘则此二十
　　　　　已用五乘六乘矣五乘后加三十而又
　　　　　用六乘则三十已用六乘矣故将一十
　　　　　二十三十之数亦用连乘并后所加之
　　　　　四十与共数相减然后为三四五六与

　　　　　原数连乘之整分而以三四五六连乘

　　　　　所得之三百六十与原数一为比例即
　　　　　同于今三四五六连乘所得之四千六
　　　　　百八十与原数十三之比例也
设如甲乙二车运粮甲车先行二日乙车后行五日
　追及甲车比乙车运价少五钱又甲车先行二日
　乙车后行七日追过甲车八十里甲车比乙车运
　价少一两一钱问甲乙二车日行里数及运价各
　几何

　　　　　法以乙车五日为正甲车七日为负里
　　　　　数相等作一空位(甲车先行二日乙车/行五日追及是乙车)
　　　　　(行五日甲车行七/日其里数相等)运价多五钱为正列
　　　　　于上又以乙车七日为正甲车九日为
　　　　　负过八十里为正运价多一两一钱为
　　　　　正列于下乃以上乙五日遍乘下乙七
　　　　　日甲九日多八十里多一两一钱得乙
　　　　　三十五日仍为正甲四十五日仍为负
　　　　　多行四百里运价多五两五钱仍为正

　　　　　又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日

　　　　　运价多五钱得乙三十五日仍为正甲
　　　　　四十九日仍为负多三两五钱仍为正
　　　　　相等无可乘仍为空位于是以上层为
　　　　　主两下相较则乙各三十五日彼此减
　　　　　尽甲两下相减馀四日本层少变负为
　　　　　正里数无可加减仍得四百里为正价
　　　　　两下相减馀二两依本层为正即甲车
　　　　　四日行四百里运价二两也以四日除

　　　　　四百里得一百里为甲车每日所行之
　　　　　里数以四日除二两得五钱即甲车每
　　　　　日之运价以乙车七日比甲车九日多
　　　　　行八十里价多一两一钱计之则甲车
　　　　　九日行九百里加多八十里共九百八
　　　　　十里为乙车七日所行之里数以七日
　　　　　除之得一百四十里即乙车每日所行
　　　　　之里数甲车九日运价四两五钱加多
　　　　　一两一钱共五两六钱为乙车七日之

　　　　　运价以七日除之得八钱即乙车每日

　　　　　之运价也此法因有里数运价二种或
　　　　　名叠脚然不过除两次耳若里数为较
　　　　　运价为和难以分列正负者则分两法
　　　　　算之
设如甲乙丙三人有银各不知数只云甲得乙银二
　分之一乙得丙银三分之一丙得甲银四分之一
　则各得七百两问三人原银各几何
　　　　　法先以甲三分乙一分共七百两列于

　　　　　上(甲原银四分丙得去一分馀三分又/得乙一分故为甲三分乙一分共七)
　　　　　(百两丙无数作/空位以足其分)又以甲一分丙二分共
　　　　　七百两列于下(丙原银三分乙得去一/分馀二分又得甲一分)
　　　　　(故为甲一分丙二分共七百两/乙无数亦作空位以足其分)乃以上
　　　　　甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百
　　　　　两得甲三分丙六分共二千一百两又
　　　　　以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共
　　　　　七百两仍得原数于是以下层为主两
　　　　　下相较则甲各三分彼此减尽乙一分

　　　　　无可减仍为一分依本层为正丙六分

　　　　　无可减仍为六分本层无数则为负银
　　　　　两下相减馀一千四百两本层少为负
　　　　　即乙一分比丙六分少一千四百两也
　　　　　次以乙一分为正丙六分为负少一千
　　　　　四百两为负列于上又以乙一分丙一
　　　　　分共七百两列于下(乙原银二分甲得/去一分馀一分又)
　　　　　(得丙一分故为乙一分丙一分/共七百两因为和数故不用号)因首色
　　　　　皆为一故省互乘两下相较则乙各一

　　　　　分彼此减尽丙六与丙一相加得七分
　　　　　银一千四百与七百相加得二千一百
　　　　　两即为丙七分之共数以七除之得三
　　　　　百两为丙一分之数以丙原银三分乘
　　　　　之得九百两为丙之银数以乙一分丙
　　　　　一分共七百两计之则于七百两内减
　　　　　去丙一分三百两馀四百两即乙一分
　　　　　之数以乙原银二分乘之得八百两为
　　　　　乙之银数以甲三分乙一分共七百两

　　　　　计之则于七百两内减去乙一分四百

　　　　　两馀三百两三归之得一百两即甲一
　　　　　分之数以甲原银四分乘之得四百两
　　　　　为甲之银数也
设如有长方面积八百六十四步一长二阔三和四
　较共三百一十二步问长阔各几何
　　　　　法以积数八因之得六千九百一十二
　　　　　步为大长方形积乃以长阔和较共数
　　　　　三百一十二步为长阔和折半得一百

　　　　　五十六步为半和自乘得二万四千三
　　　　　百三十六步与六千九百一十二步相
　　　　　减馀一万七千四百二十四步开平方
　　　　　得一百三十二步为半较与半和一百
　　　　　五十六步相减得二十四步为原阔数
　　　　　以阔除原积八百六十四步得三十六
　　　　　步为原长数也此法盖因三和内有三
　　　　　长三阔加一长二阔共四长五阔如以
　　　　　四较加于四阔则又成四长是共得八

　　　　　长一阔此三百一十二步即八长一阔

　　　　　之共数今将原积八倍之成一大长方
　　　　　形其阔即原阔其长为原长之八倍故
　　　　　以三百一十二为长阔和求得阔即为
　　　　　原阔以原阔除原积即得原长也
设如买果木树不知树数亦不知树价但知树每株
　之价为树共数之六倍而每株脚钱六文其脚钱
　并树价共三千六百文问树每株价及树数各几
　何

　　　　　法先以共钱三千六百文六因之得二
　　　　　万一千六百文为长方积脚钱六文为
　　　　　纵多爰以纵多六文折半得三文为半
　　　　　较自乘得九文与二万一千六百文相
　　　　　加得二万一千六百零九文开平方得
　　　　　一百四十七文为半和内减半较三文
　　　　　得一百四十四文为树每株之价六归
　　　　　之得二十四为树之共数也此法以树
　　　　　数为阔树价并脚钱为长成长方形因

　　　　　每株之价为树数之六倍是长为阔之

　　　　　六倍又多六文故六倍其积则长比阔
　　　　　多六文故以带纵开方法算之得阔为
　　　　　树价六归之得树数也
设如一河宽一丈二尺中间生一蒲草出水面三尺
　斜引蒲稍至岸适与岸齐问蒲长水深各几何
　　　　　法以河宽一丈二尺折半得六尺为勾
　　　　　以蒲稍出水三尺为股弦较乃以勾六
　　　　　尺自乘得三十六尺以股弦较三尺除

　　　　　之得一十二尺为股弦和加股弦较三
　　　　　尺得一十五尺折半得七尺五寸为弦
　　　　　即蒲之长内减股弦较三尺馀四尺五
　　　　　寸为股即水之深也如图甲乙为河宽
　　　　　丙丁为蒲长与甲丁等戊丁为水深丙
　　　　　戊为蒲稍出水三尺故戊丁为股甲戊
　　　　　为勾甲丁为弦丙戊为股弦较用有勾
　　　　　有股弦较之法求得股为水深得弦为
　　　　　蒲之长也

设如圆柱高二十一尺周四尺以绳自底至末绕柱

　七周与柱适齐问绳长几何
　　　　　法以柱周四尺七因之得二十八尺为
　　　　　股柱高二十一尺为勾求得弦三十五
　　　　　尺即绳之长也此法盖合七勾股为一
　　　　　勾股算也如图甲乙为柱高二十一尺
　　　　　甲丙为七分之一若将柱面平铺之成
　　　　　一平面则丙丁即柱周四尺甲丁即绳
　　　　　绕柱之一周成甲丙丁勾股形今柱高

　　　　　为甲丙之七倍绳长为甲丁之七倍故
　　　　　将柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲
　　　　　乙为勾乙戊为股求得甲戊弦即绳长
　　　　　也
设如一方匣内对角斜容一比例尺长一尺一寸宽
　三寸问匣方边几何
　　　　　法以比例尺宽三寸与长一尺一寸相
　　　　　加得一尺四寸自乘折半开方得九寸
　　　　　八分九釐九豪即方匣之边数也如图

　　　　　甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺

　　　　　丁乙为对角斜线癸壬为比例尺之长
　　　　　壬乙与丁癸二段与己庚宽度等盖以
　　　　　己庚度作己子丑庚正方形则乙为方
　　　　　之中心壬乙为己庚方边之一半与壬
　　　　　庚等而壬乙与丁癸两段即与己庚等
　　　　　故以比例尺之长阔相加即为丁乙对
　　　　　角斜线用斜求方之法自乘折半开方
　　　　　即得方边也

设如三角形底二丈八尺小腰与中垂线之较二尺
　大腰与中垂线之较六尺问两腰各几何
　　　　　法借一衰为中垂线则小腰为一衰多
　　　　　二尺小腰与中垂线之和为二衰多二
　　　　　尺与小腰较二尺相乘得四衰多四尺
　　　　　为小分底自乘方积大腰为一衰多六
　　　　　尺大腰与中垂线之和为二衰多六尺
　　　　　与大腰较六尺相乘得十二衰多三十
　　　　　六尺为大分底自乘方积以两方积相

　　　　　较则大分底方为小分底方之三倍多

　　　　　二十四尺(大分底方十二衰为小分底/方四衰之三倍即将小分底)
　　　　　(方四衰多四尺以三因之得十二衰多/十二尺与大分底方十二衰多三十六)
　　　　　(尺相减仍馀/二十四尺)乃以底二十八尺自乘得
　　　　　七百八十四尺内减去所多之二十四
　　　　　尺馀七百六十尺为小分底自乘四正
　　　　　方小分底乘大分底二长方积折半得
　　　　　三百八十尺为小分底自乘二正方小
　　　　　分底乘大分底一长方积共成一大长

　　　　　方底二十八尺为长阔之较用带纵较
　　　　　数开平方法算之得阔十尺为小分底
　　　　　自乘得一百尺以小腰较二尺除之得
　　　　　五十尺为小腰与中垂线之和内加小
　　　　　腰较二尺得五十二尺折半得二十六
　　　　　尺即小腰又以小腰较二尺与大腰较
　　　　　六尺相减馀四尺即大腰与小腰之较
　　　　　与小腰二十六尺相加得三十尺即大
　　　　　腰也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰

　　　　　甲丙为大腰乙丙为底自甲角作甲丁

　　　　　垂线则分为甲丁乙甲丁丙两勾股形
　　　　　以甲乙甲丁股弦和与甲乙甲丁股弦
　　　　　较相乘则得乙丁勾自乘之乙戊己丁
　　　　　正方形(见勾/股法)以甲丁甲丙股弦和与甲
　　　　　丁甲丙股弦较相乘则得丁丙勾自乘
　　　　　之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形
　　　　　既为乙戊己丁正方形之三倍多二十
　　　　　四尺故于乙壬癸丙大正方形内减去

　　　　　二十四尺馀者即与乙戊己丁三正方
　　　　　等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己
　　　　　庚子癸辛为大分底乘小分底二长方
　　　　　共成丑寅卯丙一长方形折半得丑辰
　　　　　己丙长方形乙丙即长阔之较故用带
　　　　　纵较数开平方法算之得阔为乙丁小
　　　　　勾自乘以股弦较除之得股弦和故加
　　　　　股弦较折半即得甲乙为弦也或求得
　　　　　甲丙边亦同

设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一

　丈二尺二寸甲乙甲丙两边较三尺八寸求乙角
　丙角度几何
　　　　　法依甲丙边度截甲乙边于丁馀乙丁
　　　　　即两边较自丙至丁作丙丁线成乙丁
　　　　　丙钝角形乃以乙丙边一丈二尺二寸
　　　　　为一率乙丁边三尺八寸为二率甲角
　　　　　五十三度八分与一百八十度相减馀
　　　　　一百二十六度五十二分折半得六十

　　　　　三度二十六分即丁钝角之外角(与丁/丙甲)
　　　　　(角/等)其正弦八万九千四百四十一为三
　　　　　率求得四率二万七千八百五十八为
　　　　　丙分角正弦捡表得十六度十分为丙
　　　　　分角与丁丙甲角六十三度二十六分
　　　　　相加得七十九度三十六分即丙角度
　　　　　以丙分角与丁外角相减馀四十七度
　　　　　十六分即乙角度也
设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙边一

　丈一尺二寸甲乙乙丙两边较二尺八寸求乙角

　丙角度各几何
　　　　　法依乙丙边度截甲乙边于丁馀甲丁
　　　　　即两边较自丙至丁作丙丁线成甲丁
　　　　　丙钝角形乃以甲丁边二尺八寸与甲
　　　　　丙边一丈一尺二寸相加得一丈四尺
　　　　　为一率甲丁与甲丙相减馀八尺四寸
　　　　　为二率甲角半外角六十三度二十六
　　　　　分之正切线一十九万九千九百八十

　　　　　六为三率求得四率一十一万九千九
　　　　　百九十一为半较角切线捡表得五十
　　　　　度十二分为半较角度与半外角相减
　　　　　馀十三度十四分为丙分角倍之与甲
　　　　　角相加得七十九度三十六分即丙角
　　　　　度以甲角丙角相并与半周相减馀四
　　　　　十七度十六分即乙角度也盖以丙分
　　　　　角与甲角相加则得丙丁乙角与丙大
　　　　　分角等是丙大分角与一丙小分角一

　　　　　甲角之度等故倍小分角与甲角相加

　　　　　得丙全角也
设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一
　丈二尺二寸甲乙甲丙两边和二丈六尺二寸求
　丙角乙角度各几何
　　　　　法以甲乙与甲丙相加得丙丁自乙至
　　　　　丁作乙丁线成丁乙丙三角形乃以乙
　　　　　丙边一丈二尺二寸为一率丙丁边二
　　　　　丈六尺二寸为二率甲角五十三度八

　　　　　分折半得二十六度三十四分即丁角
　　　　　(与甲乙/丁角等)其正弦四万四千七百二十四
　　　　　为三率求得四率九万六千零四十六
　　　　　为丙乙丁角正弦捡表得七十三度五
　　　　　十分为丙乙丁角内减半甲角二十六
　　　　　度三十四分(即甲乙/丁角)馀四十七度十六
　　　　　分即乙角度以甲角乙角相并与半周
　　　　　相减馀七十九度三十六分即丙角度
　　　　　也

设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙边一

　丈五尺甲丙乙丙两边和二丈三尺四寸求乙角
　丙角度几何
　　　　　法以甲丙与乙丙相加得甲丁自乙至
　　　　　丁作乙丁线成甲乙丁三角形乃以甲
　　　　　丁边二丈三尺四寸与甲乙边一丈五
　　　　　尺相加得三丈八尺四寸为一率甲丁
　　　　　边与甲乙边相减馀八尺四寸为二率
　　　　　甲角五十三度八分与半周相减折半

　　　　　得半外角六十三度二十六分其正切
　　　　　线一十九万九千九百八十六为三率
　　　　　求得四率四万三千七百四十七为半
　　　　　较角切线捡表得二十三度三十八分
　　　　　为半较角与半外角相减馀三十九度
　　　　　四十八分为丁角度倍之得七十九度
　　　　　三十六分即丙角度以甲角丙角相并
　　　　　与半周相减馀四十七度十六分即乙
　　　　　角度也

设如有一旗杆不知其高用日影测之问高几何

　　　　　法先立一表长五尺看影长几尺如得
　　　　　四尺同时看旗杆影为几尺如得二丈
　　　　　四尺乃以表影长四尺为一率表高五
　　　　　尺为二率旗杆影长二丈四尺为三率
　　　　　求得四率三丈即旗杆之高也如图甲
　　　　　乙为旗杆乙丙为旗杆影丁戊为表高
　　　　　戊己为表影甲乙丙与丁戊己为同式
　　　　　勾股形故己戊与丁戊之比同于乙丙

　　　　　与甲乙之比也
设如有塔一座不知其高亦不知其远用日影测之
　问塔高几何
　　　　　法先立一表长六尺影长四尺同时看
　　　　　塔影所至记之阅时看表影长五尺塔
　　　　　影比先所记之处长几尺如得八尺乃
　　　　　以表影差一尺为一率表高六尺为二
　　　　　率影差八尺为三率求得四率四丈八
　　　　　尺即塔之高也如图甲乙为塔高乙丙

　　　　　为先所记塔影乙丁为后所记塔影戊

　　　　　己为表高己庚为先所记表影己辛为
　　　　　后所记表影戊庚辛与甲丙丁戊己庚
　　　　　与甲乙丙皆为同式形故庚辛与戊己
　　　　　之比同于丙丁与甲乙之比也
设如远望一村欲知其远用放鎗验时仪坠子候之
　问远几何
　　　　　法令一人在村边放鎗一见烟出即用
　　　　　验时仪坠子候之一闻鎗响即止计自

　　　　　见烟至闻响得几秒如得三秒即以一
　　　　　秒为一率一百二十八丈五尺七寸为
　　　　　二率三秒为三率求得四率三百八十
　　　　　五丈七尺一寸即距村之远也盖响与
　　　　　烟一时并出其见烟而未闻响者声未
　　　　　至也故自见烟至闻响之分即路远之
　　　　　分尝以其分较之路远五里得七秒以
　　　　　七归之每秒得一百二十八丈五尺七
　　　　　寸闻雷亦然自一见电光至闻雷响候

　　　　　其秒数即得里数也

设如梭形阔四尺中长九尺求积几何
　　　　　法以中长九尺与阔四尺相乘得三十
　　　　　六尺折半得十八尺即梭形积也如图
　　　　　甲乙丙丁梭形以乙丁与甲丙相乘则
　　　　　成戊己庚辛长方形其积比梭形多一
　　　　　倍故半之为梭形积也此法必甲乙与
　　　　　乙丙等甲丁与丁丙等或甲乙与甲丁
　　　　　等乙丙与丁丙等则其中长适为两三

　　　　　角形之垂线故长阔相乘折半而得积
　　　　　也若中长不得为垂线则须先量得四
　　　　　边数及长数或阔数用三角形求中垂
　　　　　线法算之
设如三广形上阔三尺中阔五尺下阔四尺上截长
　六尺下截长四尺求积几何
　　　　　法以中阔五尺与上阔三尺相加折半
　　　　　得四尺与上截长六尺相乘得二十四
　　　　　尺又以中阔五尺与下阔四尺相加折

　　　　　半得四尺五寸与下截长四尺相乘得

　　　　　十八尺两数相并得四十二尺即三广
　　　　　形积也如图甲乙丙丁戊己三广形以
　　　　　乙戊线分之则成甲乙戊己乙丙丁戊
　　　　　两梯形故用梯形求积之法(见第十九/卷直线形)
　　　　　求得两梯形之积而并之即为三广形
　　　　　积也旧术以上下阔相加折半加中阔
　　　　　与长相乘得积此必上下两截长数相
　　　　　等者然后可算若上下不相等须用两

　　　　　梯形算之
设如眉形两尖相距弦长二十四尺外弧距弦九尺
　内弧距弦四尺求积几何
　　　　　法以两尖相距二十四尺为弦外弧距
　　　　　弦九尺为矢用弧矢求积法以矢九尺
　　　　　为首率弦二十四尺折半得十二尺为
　　　　　中率求得末率十六尺加矢九尺得二
　　　　　十五尺为圜径折半得半径十二尺五
　　　　　寸为一率半弦十二尺为二率半径十

　　　　　万为三率求得四率九万六千为半外

　　　　　弧之正弦捡八线表得七十三度四十
　　　　　五分为半外弧之度分倍之得一百四
　　　　　十七度三十分为外弧之度分乃以三
　　　　　百六十度为一率外弧一百四十七度
　　　　　半为二率全径二十五尺求得全周七
　　　　　十八尺五寸三分九釐八豪为三率求
　　　　　得四率三十二尺一寸七分九釐五豪
　　　　　为外弧之数与半径十二尺五寸相乘

　　　　　折半得二百零一尺十二寸十八分为
　　　　　自圜心所分弧背三角形积又以矢九
　　　　　尺与半径十二尺五寸相减馀三尺五
　　　　　寸与弦二十四尺相乘折半得四十二
　　　　　尺为自圜心至弦所分直线三角形积
　　　　　与弧背三角形积相减馀一百五十九
　　　　　尺一十二寸一十八分为外弧矢全积
　　　　　(见第二十/卷曲线形)又以两尖相距二十四尺为
　　　　　弦内弧距弦四尺为矢亦用弧矢求积

　　　　　法求得内弧矢虚积六十五尺三十七

　　　　　寸六十分与外弧矢积相减馀九十三
　　　　　尺七十四寸五十八分即眉形积也如
　　　　　图甲乙丙丁眉形甲丙为弦乙戊为外
　　　　　弧矢丁戊为内弧矢成甲乙丙戊甲丁
　　　　　丙戊两弧矢形故先求得甲乙丙戊弧
　　　　　矢形积又求得甲丁丙戊弧矢形积相
　　　　　减即得甲乙丙丁眉形积也
设如橄榄形长二尺四寸阔八寸求积几何

　　　　　法以长二尺四寸为弦阔八寸折半得
　　　　　四寸为矢用弧矢求积法求得弧矢积
　　　　　六十五尺三十七寸六十分倍之得一
　　　　　百三十尺七十五寸二十分即橄榄形
　　　　　积也如图甲乙丙丁橄榄形自甲至丙
　　　　　作甲丙线平分乙丁于戊则成甲乙丙
　　　　　戊甲丁丙戊两弧矢形故求得弧矢形
　　　　　积倍之即橄榄形积也
设如钱形径一尺二寸求积几何

　　　　　法以钱形径一尺二寸求得圜面积一

　　　　　尺一十三寸零九分七十三釐又求得
　　　　　内容方积七十二寸相减馀四十一寸
　　　　　零九分七十三釐倍之得八十二寸一
　　　　　十九分四十六釐即钱形积也如图甲
　　　　　乙丙丁钱形作戊己己庚庚辛辛戊四
　　　　　线则分为壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢
　　　　　形故先求得圜形积又求得戊己庚辛
　　　　　内方积相减馀壬癸子丑四弧矢形倍

　　　　　之即得钱形积也
设如银锭形径一尺二寸求积几何
　　　　　法以银锭形径一尺二寸自乘得一尺
　　　　　四十四寸折半得七十二寸即银锭形
　　　　　积也如图甲乙丙丁戊己银锭形以甲
　　　　　丁径自乘折半则得乙丙戊己正方其
　　　　　所虚庚辛二弧矢形与所盈壬癸二弧
　　　　　矢形之积等故乙丙戊己正方积即与
　　　　　银锭形之积等也

设如甲乙丙丁四平圜共积二百一十七尺五十五

　寸五十三分一十釐甲圜径比乙圜径多三尺乙
　圜径比丙圜径多三尺丙圜径比丁圜径多二尺
　问四圜径各几何
　　　　　法用圜积方积定率比例以圜积一○
　　　　　○○○○○○○为一率方积一二七
　　　　　三二三九五四为二率四平圜共积二
　　　　　百一十七尺五十五寸五十三分一十
　　　　　釐为三率求得四率二百七十七尺为

　　　　　四平方共积乃以丙圜径比丁圜径所
　　　　　多之二尺自乘得四尺又以乙圜径比
　　　　　丁圜径所多之五尺(丙比丁多二尺乙/又比丙多三尺故)
　　　　　(乙比丁/多五尺)自乘得二十五尺又以甲圜径
　　　　　比丁圜径所多之八尺(乙比丁多五尺/甲又比乙多三)
　　　　　(尺故甲比/丁多八尺)自乘得六十四尺三数相并
　　　　　得九十三尺与四平方共积二百七十
　　　　　七尺相减馀一百八十四尺为长方积
　　　　　以丙圜径比丁圜径多二尺乙圜径比

　　　　　丁圜径多五尺甲圜径比丁圜径多八

　　　　　尺相加得十五尺为长阔之较用带纵
　　　　　较数开平方法算之得阔八尺二归之
　　　　　得四尺即丁圜径加二尺得六尺即丙
　　　　　圜径再加三尺得九尺即乙圜径再加
　　　　　三尺得十二尺即甲圜径也如图甲乙
　　　　　丙丁四平圜形变为甲乙丙丁四平方
　　　　　形则四圜径之较即四方边之较故于
　　　　　四方形内减去壬癸子三较方馀戊己

　　　　　庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六长方
　　　　　共成未申酉戌一长方戌亥为长阔之
　　　　　较即三边较之共数故用带纵较数开
　　　　　平方法算之得阔折半而得丁方边即
　　　　　丁圜径递加之即得甲乙丙各圜径也
设如有一方形内不切方边容一圜形但知方边离
　圜界五丈方内圜外积三百二十一丈四十六尺
　零一寸八十四分问方边圜径各几何
　　　　　法以方边离圜界五丈自乘得二十五

　　　　　丈四因之得一百丈与方内圜外积三

　　　　　百二十一丈四十六尺零一寸八十四
　　　　　分相减馀二百二十一丈四十六尺零
　　　　　一寸八十四分乃以圜积定率七八五
　　　　　三九八一六与方积定率一○○○○
　　　　　○○○○相减馀二一四六○一八四
　　　　　为一率方积一○○○○○○○○为
　　　　　二率今减馀积二百二十一丈四十六
　　　　　尺零一寸八十四分为三率求得四率

　　　　　一千零三十一丈九十五尺八十四寸
　　　　　五十八分为长方积又以二一四六○
　　　　　一八四为一率一○○○○○○○○
　　　　　为二率以方边离圜界五丈四因之得
　　　　　二十丈为三率求得四率九十三丈一
　　　　　尺九寸五分为长阔之较用带纵较数
　　　　　开平方法算之得阔十丈即内圜径加
　　　　　方边离圜界共十丈得二十丈即外方
　　　　　边也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形

　　　　　以方边离圜界五丈自乘四因与积相

　　　　　减则减去己庚辛壬四小方形馀癸子
　　　　　丑寅四长方形及卯辰巳午四隅积今
　　　　　欲以卯辰巳午四隅积补足戊圜虚积
　　　　　共成未申酉戌长方形应以定率之方
　　　　　积圜积相减馀方内圜外积为一率方
　　　　　积为二率今所馀之卯辰巳午方内圜
　　　　　外积为三率则得四率为未亥方积而
　　　　　戊圜虚积即补足在其中然今乃以卯

　　　　　辰巳午四隅积并癸子丑寅四长方积
　　　　　共为三率则戊圜虚积固已补足而癸
　　　　　子丑寅四长方积必多补出之分是知
　　　　　癸子丑寅四长方形其宽仍为戌酉而
　　　　　亥酉之长必亦多补出之分矣(癸子丑/寅四长)
　　　　　(方形为二平行线内直角方形其面之/互相为比同于其底之互相为比见几)
　　　　　(何原本八/卷第七节)故又以定率之方积圜积相
　　　　　减馀方内圜外积为一率方积为二率
　　　　　以方边离圜界五丈四因之得亥酉之

　　　　　长为三率求得四率即将亥酉之长亦

　　　　　增补出之分乃以此为长阔之较求得
　　　　　未申阔即为内圜径也
设如有一方形内不切方边容一圜形但知方角离
　圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外积一千
　四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分问方
　边圜径各几何
　　　　　法以方角离圜界二十一丈二尺一寸
　　　　　三分自乘得四百五十丈倍之得九百

　　　　　丈与方内圜外积一千四百四十二丈
　　　　　九十二尺零三寸六十八分相减馀五
　　　　　百四十二丈九十二尺零三寸六十八
　　　　　分乃以定率弧矢积二八五三九八一
　　　　　六为一率(方积一○○○○○○○○/方内容圜积七八五三九八)
　　　　　(一六圜内容方积五○○○○○○○/相减馀二八五三九八一六为弧矢积)
　　　　　圜内容方积五○○○○○○○为二
　　　　　率今减馀积五百四十二丈九十二尺
　　　　　零三寸六十八分为三率求得四率九

　　　　　百五十一丈十六尺三十寸四十八分

　　　　　为长方积又以二八五三九八一六为
　　　　　一率五○○○○○○○为二率以方
　　　　　角离圜界二十一丈二尺一寸三分用
　　　　　斜求方法求得四隅方边十五丈四因
　　　　　之得六十丈为三率求得四率一百零
　　　　　五丈一尺一寸六分为长阔和用带纵
　　　　　和数开平方法算之得阔十丈即内圜
　　　　　所容方边以四隅方边十五丈倍之得

　　　　　三十丈与内圜所容方边十丈相加得
　　　　　四十丈即外方边以内圜所容方边十
　　　　　丈求得对角斜线十四丈一尺四寸二
　　　　　分即内圜径加方角离圜界共四十二
　　　　　丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六
　　　　　寸八分即外方对角斜线也如图甲乙
　　　　　丙丁方形内容戊圜形以方角离圜界
　　　　　甲卯自乘倍之与积相减则减去己庚
　　　　　辛壬四小正方形(以甲卯自乘折半得/己正方形积故甲卯)

　　　　　(自乘倍之即得/四正方形积也)馀癸子丑寅四长方形

　　　　　而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所
　　　　　虚之未申酉戌四弧矢形变为卯辰巳
　　　　　午一正方形应以定率弧矢积为一率
　　　　　方积为二率未申酉戌四弧矢虚积为
　　　　　三率则得四率为卯辰巳午虚方积然
　　　　　今无未申酉戌四弧矢虚积而以癸子
　　　　　丑寅四长方形内虚未申酉戌四弧矢
　　　　　形之馀积为三率实积既变则虚积亦

　　　　　变故求得四率为卯辰亥乾长方形而
　　　　　内虚卯辰巳午正方形盖癸子丑寅四
　　　　　长方实积与午巳亥乾长方积之比同
　　　　　于弧矢积与方积之比则其所虚之未
　　　　　申酉戌四弧矢形与卯辰巳午正方形
　　　　　之比亦同于弧矢积与方积之比而癸
　　　　　子丑寅之共长与长亥之比亦必同于
　　　　　弧矢积与方积之比矣故以四长方之
　　　　　共边比例得辰亥边为长阔和求得卯

　　　　　辰阔为内圜所容正方形之每一边也

设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离
　方角五丈圜内方外积二百六十四丈十五尺九
　十二寸六十四分问圜径方边各几何
　　　　　法以圜界离方角五丈自乘得二十五
　　　　　丈四因之得一百丈又以圜积定率七
　　　　　八五三九八一六为一率方积一○○
　　　　　○○○○○○为二率今圜内方外积
　　　　　二百六十四丈十五尺九十二寸六十

　　　　　四分为三率求得四率三百三十六丈
　　　　　三十三尺八十寸二十三分内减所得
　　　　　一百丈馀二百三十六丈三十三尺八
　　　　　十寸二十三分乃以定率弧矢积二八
　　　　　五三九八一六(方积一○○○○○○/○○内容圜积七八五)
　　　　　(三九八一六圜内容方积五○○○○/○○○相减馀二八五三九八一六)
　　　　　用圜积变方积法通之得三六三三八
　　　　　○二三为一率方积一○○○○○○
　　　　　○○为二率今减馀积二百三十六丈

　　　　　三十三尺八十寸二十三分为三率求

　　　　　得四率六百五十丈三十八尺七十四
　　　　　寸为长方积又以三六三三八○二三
　　　　　为一率一○○○○○○○○为二率
　　　　　以圜界离方角五丈四因之得二十丈
　　　　　为三率求得四率五十五丈零三寸八
　　　　　分七釐四豪为长阔之较用带纵较数
　　　　　开平方法算之得阔十丈即内方对角
　　　　　斜线用斜求方法算之得七丈零七寸

　　　　　一分即内方边以内方对角斜线十丈
　　　　　加圜界离方角共十丈得二十丈即外
　　　　　圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以
　　　　　圜积方积定率比例则变为丁戊己庚
　　　　　辛壬癸子方环形而多丑寅卯辰四弧
　　　　　矢形所变之积盖圜环变为方环今圜
　　　　　内方外积比圜环积多丑寅卯辰四弧
　　　　　矢形故所变之方环亦多丑寅卯辰四
　　　　　弧矢形所变之积也以圜界离方角五

　　　　　丈自乘四因与积相减则减去巳午未

　　　　　申四小方形馀酉戌亥乾四长方形及
　　　　　丑寅卯辰四弧矢形所变之积今欲以
　　　　　丑寅卯辰四弧矢形所变之积补成辛
　　　　　壬癸子正方形共成辛壬坎艮长方形
　　　　　应以定率四弧矢形已变之积为一率
　　　　　方积为二率(设方积为一○○○○○/○○○方内容圜积为七)
　　　　　(八五三九八一六圜内容方积为五○/○○○○○○内圜积与内方积相减)
　　　　　(馀二八五三九八一六是二八五三九/八一六与一○○○○○○○○相比)

　　　　　(为弧矢积与外方积之定率也然今所/多之四弧矢积先已用圜率变为方率)
　　　　　(故又以圜积七八五三九八一六为一/率方积一○○○○○○○○为二率)
　　　　　(弧矢积二八五三九八一六为三率得/四率三六三三八○二三是三六三三)
　　　　　(八○二三与一○○○○○○○○相/比为已变之弧矢积与外方积之定率)
　　　　　(也/)今所多之丑寅卯辰四弧矢形已变
　　　　　之积为三率则得四率为辛壬癸子正
　　　　　方积然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已
　　　　　变之积并酉戌亥乾四长方积共为三
　　　　　率则辛壬癸子正方积固已补足而酉

　　　　　戌亥乾四长方必多补出之分是知酉

　　　　　戌亥乾四长方其宽仍为子癸而癸坎
　　　　　之长必亦多补出之分矣故又以四弧
　　　　　矢形已变之积为一率方积为二率以
　　　　　圜界离方边五丈四因之得癸坎之长
　　　　　为三率求得四率即将癸坎之长亦增
　　　　　补出之分乃以此为长阔之较求得辛
　　　　　壬阔即内方对角斜线也
设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离

　方边十五丈圜内方外积一千一百五十六丈六
　十三尺七十寸四十分问圜径方边各几何
　　　　　法以圜界离方边十五丈自乘得二百
　　　　　二十五丈四因之得九百丈又以圜积
　　　　　方积定率比例圜积七八五三九八一
　　　　　六为一率方积一○○○○○○○○
　　　　　为二率今圜内方外积一千一百五十
　　　　　六丈六十三尺七十寸四十分为三率
　　　　　求得四率一千四百七十二丈六十七

　　　　　尺六十寸四十六分内减所得九百丈

　　　　　馀五百七十二丈六十七尺六十寸四
　　　　　十六分乃以方内圜外积二一四六○
　　　　　一八四(方积一○○○○○○○○内/容圜积七八五三九八一六相)
　　　　　(减馀二一四/六○一八四)用圜积变方积法通之得
　　　　　二七三二三九五五为一率方积一○
　　　　　○○○○○○○为二率今减馀积五
　　　　　百七十二丈六十七尺六十寸四十六
　　　　　分为三率求得四率二千零九十五丈

　　　　　八十八尺六十三寸六十一分为长方
　　　　　积又以二七三二三九五五为一率一
　　　　　○○○○○○○○为二率以圜界离
　　　　　方边十五丈四因之得六十丈为三率
　　　　　求得四率二百一十九丈五尺八寸八
　　　　　分为长阔和用带纵和数开平方法算
　　　　　之得阔十丈即内方边加圜界离方边
　　　　　共三十丈得四十丈即外圜径也如图
　　　　　甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定

　　　　　率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方

　　　　　环形而少丑寅卯辰四隅所变之积盖
　　　　　圜环变为方环今圜内方外积比圜环
　　　　　积少丑寅卯辰四隅故所变之方环亦
　　　　　少丑寅卯辰四隅所变之积也以圜界
　　　　　离方边十五丈自乘四因与积相减则
　　　　　减去巳午未申四小正方形馀酉戌亥
　　　　　乾四长方形而内少丑寅卯辰四隅所
　　　　　变之积今欲以所虚之丑寅卯辰四隅

　　　　　形所变之积作为辛壬癸子正方形应
　　　　　以定率四隅形已变之积为一率方积
　　　　　为二率(设方积为一○○○○○○○/○方内容圜积为七八五三九)
　　　　　(八一六相减馀二一四六○一八四是/三一四六○一八四与一○○○○○)
　　　　　(○口○相比为圜外四隅积与外方积/之定率也然今所少者乃圜外四隅积)
　　　　　(用圜积方积比例之数故又以圜积七/八五三九八一六为一率方积一○○)
　　　　　(○○○○○○为二率圜外四隅积二/一四六○一八四为三率求得四率二)
　　　　　(七三二三九五五是二七三二三九五/五与一○○○○○○○○相比为已)
　　　　　(变之四隅积与外/方积之定率也)丑寅卯辰四隅形已

　　　　　变之虚积为三率则得四率为辛壬癸

　　　　　子虚方积然今无辛壬癸子四隅形已
　　　　　变之虚积而以酉戌亥乾四长方内虚
　　　　　丑寅卯辰四隅形之馀积为三率实积
　　　　　既变则虚积亦变故求得四率为辛壬
　　　　　坎艮长方形而内虚辛壬癸子正方形
　　　　　盖酉戌亥乾四长方实积与子癸坎艮
　　　　　长方形之比同于己变之四隅积与方
　　　　　积之比则其所虚之丑寅卯辰四隅已

　　　　　变之积与辛壬癸子正方形之比亦同
　　　　　于己变之四隅积与方积之比而酉戌
　　　　　亥乾之共长与壬坎之比亦少同于己
　　　　　变之四隅积与方积之比矣故以四长
　　　　　方之共边比例而得壬坎边为长阔和
　　　　　求得辛壬阔为内方边也
设如有一大球体内容四小球体大球径一尺二寸
　求小球径几何
　　　　　法以大球径一尺二寸自乘得一尺四

　　　　　十四寸倍之得二百八十八寸为长方

　　　　　积以大球径一尺二寸四因之得四尺
　　　　　八寸为长阔之较用带纵较数开平方
　　　　　法算之得阔五寸三分九釐三豪即内
　　　　　容四小球之径也如图甲乙大球体内
　　　　　容丙丁戊己四小球体试自四小球之
　　　　　中心俱各作线联之则成一四等面体
　　　　　又以甲乙大球心为心丙丁戊己小球
　　　　　心为界作一虚圆则成四等面体外切

　　　　　圆球体其四面体之一边即小球径以
　　　　　四面体外切丁庚虚球径加一小球径
　　　　　即大球径故以大球径自乘得甲乙辛
　　　　　壬正方形内甲癸丁子为小球径自乘
　　　　　方(即四面体每/边自乘方)丁庚辛丑为四面体外
　　　　　切圆球径自乘方癸乙庚丁子丁丑壬
　　　　　为四面体之每边与外切圆球径相乘
　　　　　二长方凡四面体每边自乘方为外切
　　　　　圆球径自乘方三分之二(见第二十八/卷球内容四)

　　　　　(面体/法)故甲癸丁子正方形为丁庚辛丑

　　　　　正方形三分之二将甲乙辛壬正方形
　　　　　倍之则得甲癸丁子二正方丁庚辛丑
　　　　　二正方癸乙庚丁四长方而丁庚辛丑
　　　　　二正方为甲癸丁子正方形之三倍是
　　　　　共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四长
　　　　　方即与寅卯辰巳长方积等其巳午长
　　　　　阔之较为甲乙球径之四倍故四因大
　　　　　球径为较纵求得阔即小球径也如先

　　　　　有小球径求大球径则以小球径为四
　　　　　面体之一边自乘二归三因开平方得
　　　　　四面体外切圆球径再加一小球径即
　　　　　大球径也
设如有一大球体内容六小球体大球径一尺二寸
　求小球径几何
　　　　　法以大球径一尺三寸自乘得一尺四
　　　　　十四寸为长方积以大球径一尺二寸
　　　　　倍之得二尺四寸为长阔之较用带纵

　　　　　较数开平方法算之得阔四寸九分七

　　　　　釐即内容六小球之径数也如图甲乙
　　　　　大球体内容丙丁戊己庚辛六小球体
　　　　　试自六小球之中心俱各作线联之则
　　　　　成一八等面体其八面体之一边即小
　　　　　球径以八面体之对角线加一小球径
　　　　　即大球径故以大球径自乘得甲乙壬
　　　　　癸正方形内甲子丙丑为小球径自乘
　　　　　方(即八面体每/边自乘方)丙戌壬寅为八面体对

　　　　　角线自乘方子乙戊丙丑丙寅癸为八
　　　　　面体之每边与对角线相乘二长方凡
　　　　　八面体每边自乘方为对角线自乘方
　　　　　之一半(见第二十七/卷八面体法)故丙戊壬寅一正
　　　　　方与甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸
　　　　　一正方共为甲子丙丑三正方子乙戊
　　　　　丙二长方与卯辰巳午长方积等其午
　　　　　未长阔之较为甲乙球径之二倍故倍
　　　　　大球径为较纵求得阔即小球径也如

　　　　　先有小球径求大球径则以小球径为

　　　　　八面体之一边自乘加倍开方得对角
　　　　　线再加一小球径即大球径也
设如一大球体内容八小球体大球径一尺二寸求
　小球径几何
　　　　　法以大球径一尺二寸自乘得一百四
　　　　　十四寸折半得七十二寸为长方积以
　　　　　大球径一尺二寸为长阔之较用带纵
　　　　　较数开平方法算之得阔四寸三分九

　　　　　釐二豪即内容八小球之径数也如图
　　　　　甲乙大球体内容丙丁戊己庚辛壬癸
　　　　　八小球体试自八小球之中心俱各作
　　　　　线联之则成一正方体其正方体之一
　　　　　边即小球径以正方体之丙壬对角斜
　　　　　线加一小球径即大球径故以大球径
　　　　　自乘得甲乙子丑正方形内甲寅卯辰
　　　　　为小球径自乘方卯巳子午为正方体
　　　　　对角斜线自乘方寅乙巳卯辰卯午丑

　　　　　为小球径乘正方体对角斜线二长方

　　　　　凡正方对角斜线自乘方为每边自乘
　　　　　方之三倍(见第二十八卷球/内容正方体法)故卯巳子
　　　　　午正方形为甲寅卯辰正方形之三倍
　　　　　折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方
　　　　　寅乙巳卯一长方共成未乙巳申一长
　　　　　方甲乙球径即长阔之较故用带纵较
　　　　　数开平方法算之得阔即小球径也如
　　　　　先有小球径求大球径则以小球径为

　　　　　正方体之一边自乘三因之开平方得
　　　　　正方体对角斜线再加一小球径即大
　　　　　球径也
设如有三角形底十四尺中垂线十二尺大腰与小
　腰之较二尺求两腰各几何
　　　　　法借一根为小腰则大腰为一根多二
　　　　　尺以一根自乘得一平方为小腰之面
　　　　　积内减中垂线十二尺自乘之一百四
　　　　　十四尺馀一平方少一百四十四尺为

　　　　　小分底之面积以一根多二尺自乘得

　　　　　一平方多四根多四尺为大腰之面积
　　　　　内减中垂线十二尺自乘之一百四十
　　　　　四尺馀一平方多四根少一百四十尺
　　　　　为大分底之面积又以底十四尺自乘
　　　　　得一百九十六尺内减去大小两分底
　　　　　之共面积二平方多四根少二百八十
　　　　　四尺馀四百八十尺少二平方少四根
　　　　　折半得二百四十尺少一平方少二根

　　　　　为小分底乘大分底之面积此数与大
　　　　　分底之面积及小分底之面积为连比
　　　　　例三率盖大分底之面积为首率而小
　　　　　分底乘大分底之面积为中率小分底
　　　　　之积为末率也乃以首率大分底之面
　　　　　积一平方多四根少一百四十尺与末
　　　　　率小分底之面积一平方少一百四十
　　　　　四尺相乘得一三乘方多四立方少二
　　　　　百八十四平方少五百七十六根多二

　　　　　万零一百六十尺又以中率小分底乘

　　　　　大分底之面积二百四十尺少一平方
　　　　　少二根自乘得一三乘方多四立方少
　　　　　四百七十六平方少九百六十根多五
　　　　　万七千六百尺此二数为相等两边各
　　　　　减一三乘方四立方二万零一百六十
　　　　　尺又各加四百七十六平方九百六十
　　　　　根得一百九十二平方多三百八十四
　　　　　根与三万七千四百四十尺相等一百

　　　　　九十二平方多三百八十四根既与三
　　　　　万七千四百四十尺相等则一平方多
　　　　　二根必与一百九十五尺相等乃以一
　　　　　百九十五尺为长方积以多二根作二
　　　　　尺为长阔较用带纵较数开平方法算
　　　　　之得阔十三尺为一根之数即小腰加
　　　　　二尺得十五尺即大腰也
设如有三角形底十四尺中垂线十二尺大腰与小
　腰之和二十八尺求大小腰各几何

　　　　　法借一根为小腰则二十八尺少一根

　　　　　为大腰以一根自乘得一平方为小腰
　　　　　之面积内减中垂线十二尺自乘之一
　　　　　百四十四尺馀一平方少一百四十四
　　　　　尺为小分底之面积以二十八尺少一
　　　　　根自乘得七百八十四尺少五十六根
　　　　　多一平方为大腰之面积内减中垂线
　　　　　十二尺自乘之一百四十四尺馀一平
　　　　　方少五十六根多六百四十尺为大分

　　　　　底之而积又以底四十尺自乘得一百
　　　　　九十六尺内减去大小两分底之共面
　　　　　积二平方少五十六根多四百九十六
　　　　　尺馀五十六根少三百尺少二平方折
　　　　　半得二十八根少一百五十尺少一平
　　　　　方为小分底乘大分底之面积此数与
　　　　　大分底之面积及小分底之面积为连
　　　　　比例三率盖大分底之面积为首率而
　　　　　大分底乘小分底之而积为中率小分

　　　　　底之而积为末率也乃以首率大分底

　　　　　之面积一平方少五十六根多六百四
　　　　　十尺与末率小分底之面积一平方少
　　　　　一百四十四尺相乘得一三乘方少五
　　　　　十六立方多四百九十六平方多八千
　　　　　零六十四根少九万二千一百六十尺
　　　　　又以中率小分底乘大分底之面积二
　　　　　十八根少一百五十尺少一平方自乘
　　　　　得一三乘方少五十六立方多一千零

　　　　　八十四平方少八千四百根多二万二
　　　　　千五百尺此二数为相等两边各减一
　　　　　三乘方又各加五十六立方得四百九
　　　　　十六平方多八千零六十四根少九万
　　　　　二千一百六十尺与一千零八十四平
　　　　　方少八千四百根多二万二千五百尺
　　　　　相等两边各减四百九十六平方各加
　　　　　八千四百根又各加九万二千一百六
　　　　　十尺得一万六千四百六十四根与五

　　　　　百八十八平方多一十一万四千六百

　　　　　　六十尺相等一万六千四百六十四根
　　　　　　既与五百八十八平方多一十一万四
　　　　　　千六百六十尺相等则二十八根必与
　　　　　　一平方多一百九十五尺相等故以一
　　　　　　百九十五尺为长方积以二十八根作
　　　　　　二十八尺为长阔和求得阔十三尺为
　　　　　　一根之数即小腰也
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷三十七