钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十六
　　末部六
　　　借根方比例(体类/)

　　体类
设如有扁方体高十八尺若将体积加六倍则高与
　长阔皆相等问长阔之各一边及体积几何
　　　　　法借一根为长阔之各一边数以一根
　　　　　自乘得一平方为扁方体之面积再以
　　　　　高十八尺乘之得十八平方为扁方体
　　　　　之体积又以一根与一平方相乘得一
　　　　　立方为扁方体积之六倍乃以扁方体

　　　　　之体积十八平方六因之得一百零八
　　　　　平方是为一立方与一百零八平方相
　　　　　等两边各降二位得一根与一百零八
　　　　　尺相等即扁方体之长阔各一边数也
　　　　　以一百零八尺自乘得一万一千六百
　　　　　六十四尺再以十八尺乘之得二十万
　　　　　零九千九百五十二尺为扁方体积六
　　　　　因之得一百二十五万九千七百一十
　　　　　二尺与每边一百零八尺自乘再乘之

　　　　　立方积相等此扁方体边线比例法也

　　　　　盖两体之底面积既同则其体积之比
　　　　　例同于其高之比例今扁方体之长阔
　　　　　各一边既与正方体之每一边等而正
　　　　　方体积为扁方体积之六倍则其高亦
　　　　　必为六倍故以扁方体之高数六因之
　　　　　即得长阔之各一边数也
设如有一长方体高三尺五寸又有一正方体其每
　一面积与长方体之底面积等而长方体积为正

　方体积之五倍问正方体之一边及体积各几何
　　　　　法借一根为正方体每边之数以一根
　　　　　自乘得一平方为正方体之面积亦即
　　　　　长方体之底面积以一平方与高三十
　　　　　五寸相乘得三十五平方为长方体之
　　　　　体积又以一根自乘再乘得一立方为
　　　　　正方体之体积长方体积既为正方体
　　　　　之五倍乃以一立方五因之得五立方
　　　　　而与三十五平方为相等两边各降二

　　　　　位得五根与三十五寸相等五根既与

　　　　　三十五寸相等则一根必与七寸相等
　　　　　即正方体之每一边之数也以七寸自
　　　　　乘再乘得三百四十三寸即正方体之
　　　　　体积又以七寸自乘得四十九寸再以
　　　　　三十五寸乘之得一千七百一十五寸
　　　　　即长方体之体积为正方体积之五倍
　　　　　此一长方体一正方体同底比例法也
　　　　　盖两体之底面积既同则其体积之比

　　　　　例同于其高之比例今正方体之每一
　　　　　面积既与长方体之底面积等而长方
　　　　　体积为正方体积之五倍则其高亦必
　　　　　为五倍故长方体之高之五分之一即
　　　　　正方体之每一边之数也
设如有一正方面形又有一正方体形但知正方面
　每边为正方体每边之八倍而正方面积与正方
　体积相等问边线积数各若干
　　　　　法借一根为正方体每边之数则正方

　　　　　面每边之数为八根以一根自乘再乘

　　　　　得一立方为正方体积以八根自乘得
　　　　　六十四平方为正方面积是为一立方
　　　　　与六十四平方相等两边各降二位得
　　　　　一根与六十四尺相等即正方体每边
　　　　　之数八因之得五百一十二尺即正方
　　　　　面每边之数以五百一十二尺自乘得
　　　　　二十六万二千一百四十四尺为正方
　　　　　面积以六十四尺自乘再乘亦得二十

　　　　　六万二千一百四十四尺为正方体积
　　　　　两数相等也(此一平方一立方/边数积数比例法)
设如有带两纵不同立方体其高与阔之比例同于
　四与六阔与长之比例同于六与九其高与阔相
　乘之数为长数之四倍问高阔长各几何
　　　　　法借四根为高数六根为阔数九根为
　　　　　长数以高四根与阔六根相乘得二十
　　　　　四平方为长数之四倍乃以长数九根
　　　　　四因之得三十六根是为二十四平方

　　　　　与三十六根相等两边各降一位得二

　　　　　十四根与三十六尺相等二十四根既
　　　　　与三十六尺相等则四根必与六尺相
　　　　　等即高数六根必与九尺相等即阔数
　　　　　九根必与一十三尺五寸相等即长数
　　　　　以高六尺与阔九尺相乘得五十四尺
　　　　　四归之得一十三尺五寸与长数相等
　　　　　也(此带两纵不同立方/边线面积比例法)
设如有带两纵不同立方体长二十四尺高与阔和

　五十二尺其高与阔相乘之积与长自乘之积等
　问高阔各若干
　　　　　法借一根为高数则阔数为五十二尺
　　　　　少一根以高一根与阔五十二尺少一
　　　　　根相乘得五十二根少一平方又以长
　　　　　二十四尺自乘得五百七十六尺此二
　　　　　数为相等乃以五百七十六尺为长方
　　　　　积以五十二根作五十二尺为长阔和
　　　　　用带纵和数开平方法算之得阔十六

　　　　　尺为一根之数即立方之高数与高阔

　　　　　和五十二尺相减馀三十六尺即立方
　　　　　之阔数以高十六尺与阔三十六尺相
　　　　　乘得五百七十六尺与长二十四尺自
　　　　　乘之数相等也(此带两纵不同立方/边线与面积比例法)
设如有带两纵不同立方体高十二寸长比阔多十
　寸其长与阔相乘之积与高自乘之积等问长阔
　各若干
　　　　　法借一根为阔数则长数为一根多十

　　　　　寸以阔一根与长一根多十寸相乘得
　　　　　一平方多十根以高十二寸自乘得一
　　　　　百四十四寸此二数为相等乃以一百
　　　　　四十四寸为长方积以十根作十寸为
　　　　　长阔较用带纵较数开平方法算之得
　　　　　阔八寸为一根之数即立方之阔数加
　　　　　长比阔多十寸得十八寸即立方之长
　　　　　数以阔八寸与长十八寸相乘得一百
　　　　　四十四寸与高十二寸自乘之数相等

　　　　　也(此带两纵不同立方/边较与面积比例法)

设如有带两纵不同立方体长比阔多四寸阔比高
　多二寸其体积比高自乘再乘之正方体多一百
　七十六寸问长阔高各几何
　　　　　法借一根为高数则阔数为一根多二
　　　　　寸长数为一根多六寸以高一根与阔
　　　　　一根多二寸相乘得一平方多二根再
　　　　　以长一根多六寸乘之得一立方多八
　　　　　平方多十二根内减高数一根自乘再

　　　　　乘之一立方馀八平方多十二根与一
　　　　　百七十六寸相等八平方多十二根既
　　　　　与一百七十六寸相等则一平方多一
　　　　　根半必与二十二寸相等乃以二十二
　　　　　寸为长方积以一根半作一寸五分为
　　　　　长阔较用带纵较数开平方法算之得
　　　　　阔四寸为一根之数即立方之高数加
　　　　　阔比高多二寸得六寸即立方之阔数
　　　　　再加长比阔多四寸得十寸即立方之

　　　　　长数以长阔相乘以高再乘得二百四

　　　　　十寸为立方体积内减高四寸自乘再
　　　　　乘之六十四寸馀一百七十六寸以合
　　　　　原数也(此带两纵不同立方/边较与积较比例法)
设如一长方池深二十尺长阔和六十尺其体积一
　万七千二百八十尺问长阔各若干
　　　　　法借一根为阔数则长数为六十尺少
　　　　　一根以阔一根与长六十尺少一根相
　　　　　乘得六十根少一平方以深二十尺再

　　　　　乘得一千二百根少二十平方与一万
　　　　　七千二百八十尺相等一千二百根少
　　　　　二十平方既与一万七千二百八十尺
　　　　　相等则六十根少一平方必与八百六
　　　　　十四尺相等乃以八百六十四尺为长
　　　　　方积以六十根作六十尺为长阔和用
　　　　　带纵和数开平方法算之得阔二十四
　　　　　尺为一根之数即池之阔数与长阔和
　　　　　六十尺相减馀三十六尺即池之长数

　　　　　以长阔相乘以深再乘得一万七千二

　　　　　百八十尺以合原数也(此带两纵不同/立方知一边与)
　　　　　(两边和/相求法)
设如一长方池深三十尺长比阔多十尺其体积七
　万一千二百八十尺问长阔各若干
　　　　　法借一根为阔数则长数为一根多十
　　　　　尺以阔一根与长一根多十尺相乘得
　　　　　一平方多十根再以深三十尺乘之得
　　　　　三十平方多三百根与七万一千二百

　　　　　八十尺相等三十平方多三百根既与
　　　　　七万一千二百八十尺相等则一平方
　　　　　多十根必与二千三百七十六尺相等
　　　　　乃以二千三百七十六尺为长方积以
　　　　　十根作十尺为长阔较用带纵较数开
　　　　　平方法算之得阔四十四尺为一根之
　　　　　数即池之阔数加长比阔多十尺得五
　　　　　十四尺即池之长数也以长阔相乘以
　　　　　深再乘得七万一千二百八十尺以合

　　　　　原数也(此带两纵不同立方知/一边与两边较相求法)

设如有带两纵不同立方体长阔高共五十八尺长
　比阔多六尺其对角斜线自乘之数为一千一百
　五十六尺问长阔高各几何
　　　　　法借一根为阔数则长数为一根多六
　　　　　尺以长阔两数相加得二根多六尺与
　　　　　长阔高共五十八尺相减馀五十二尺
　　　　　少二根为高数以阔一根自乘得一平
　　　　　方为阔自乘之数以长一根多六尺自

　　　　　乘得一平方多十二根多三十六尺为
　　　　　长自乘之数以高五十二尺少二根自
　　　　　乘得二千七百零四尺少二百零八根
　　　　　多四平方为高自乘之数三自乘数相
　　　　　加得二千七百四十尺少一百九十六
　　　　　根多六平方与对角线自乘之一千一
　　　　　百五十六尺相等两边各加一百九十
　　　　　六根得二千七百四十尺多六平方与
　　　　　一千一百五十六尺多一百九十六根

　　　　　相等两边各减一千一百五十六尺得

　　　　　一千五百八十四尺多六平方与一百
　　　　　九十六根相等一千五百八十四尺多
　　　　　六平方既与一百九十六根相等则二
　　　　　百六十四尺多一平方必与三十二根
　　　　　又六分根之四相等乃以二百六十四
　　　　　尺为长方积以三十二根六分根之四
　　　　　作三十二尺又六分尺之四为长阔和
　　　　　用带纵和数开平方法算之得长十八

　　　　　尺为一根之数即立方之阔加长比阔
　　　　　多六尺得二十四尺即立方之长长阔
　　　　　相加得四十二尺与长阔高共五十八
　　　　　尺相减馀十六尺即立方之高也以高
　　　　　十六尺自乘得二百五十六尺以阔十
　　　　　八尺自乘得三百二十四尺以长二十
　　　　　四尺自乘得五百七十六尺三自乘数
　　　　　相加得一千一百五十六尺与对角斜
　　　　　线自乘之数相等也(此带两纵不同立/方边线面积和较)

　　　　　(相求/法)

设如有带两纵不同立方体其长阔高为相连比例
　三率长为首率阔为中率高为末率共五十七寸
　其六面积共二千零五十二寸问长阔高各几何
　　　　　法借一根为长数则阔高之共数为五
　　　　　十七寸少一根又以六面积共二千零
　　　　　五十二寸折半得一千零二十六寸为
　　　　　三面积共数以长阔高共五十七寸除
　　　　　之得一十八寸为阔数(因长为首率阔/为中率高为末)

　　　　　(率故其三面积一为首率乘中率一为/末率乘中率一为首率乘末率而首率)
　　　　　(乘末率之数与中率自乘之数等则此/三而积相合即为首率中率末率之共)
　　　　　(数乘中率之数矣故以长阔高/之共数除之即得中率为阔也)以阔一
　　　　　十八尺与阔高之共数五十七寸少一
　　　　　根相减馀三十九寸少一根为高数乃
　　　　　以首率长一根与末率高三十九寸少
　　　　　一根相乘得三十九根少一平方与中
　　　　　率阔十八寸自乘之三百二十四寸相
　　　　　等乃以三百二十四寸为长方积以三

　　　　　十九根作三十九寸为长阔和用带纵

　　　　　和数开平方法算之得长二十七寸为
　　　　　一根之数即立方之长数与高长和三
　　　　　十九寸相减馀一十二寸即立方之高
　　　　　数以长二十七寸与阔十八寸之比同
　　　　　于阔十八寸与高十二寸之比为相连
　　　　　比例三率也(此带两纵不同立方边/线面积相和比例法)
设如有带两纵不同立方体其高与阔之比例同于
　一与二阔与长之比例同于二与三以高自乘再

　乘之数与阔自乘再乘之数相加比原体积多一
　千零二十九寸问长阔高各几何
　　　　　法借一根为高数则阔数为二根长数
　　　　　为三根以阔二根与长三根相乘得六
　　　　　平方再以高一根乘之得六立方为原
　　　　　体积又以高一根自乘再乘得一立方
　　　　　以阔二根自乘再乘得八立方相并得
　　　　　九立方内减原体积六立方馀三立方
　　　　　与一千零二十九寸相等三立方既与

　　　　　一千零二十九寸相等则一立方必与

　　　　　三百四十三寸相等乃以三百四十三
　　　　　寸开立方得七寸为一根之数即立方
　　　　　之高数倍之得十四寸即立方之阔数
　　　　　三因之得二十一寸即立方之长数以
　　　　　长二十一寸与阔十四寸相乘得二百
　　　　　九十四寸再以高七寸乘之得二千零
　　　　　五十八寸为原体积又以高七寸自乘
　　　　　再乘得三百四十三寸阔十四寸自乘

　　　　　再乘得二千七百四十四寸相并得三
　　　　　千零八十七寸与原体积相减馀一千
　　　　　零二十九寸以合原数也(此带两纵不/同立方边线)
　　　　　(体积比/例法)
设如有甲乙丙三正方体甲方边与乙方边之比例
　同于二与三乙方积比甲方积多一百五十二寸
　丙方积比乙方积多七百八十四寸问三正方体
　之边数各若干
　　　　　法借二根为甲方每边之数则乙方每

　　　　　边之数为三根以二根自乘再乘得八

　　　　　立方为甲方之体积以三根自乘再乘
　　　　　得二十七立方为乙方之体积两体积
　　　　　相减馀一十九立方与一百五十二寸
　　　　　相等十九立方既与一百五十二寸相
　　　　　等则一立方必与八寸相等乃以八寸
　　　　　开立方得二寸为一根之数倍之得四
　　　　　寸即甲方每边之数三因之得六寸即
　　　　　乙方每边之数自乘再乘得二百一十

　　　　　六寸加七百八十四寸得一千寸开立
　　　　　方得十寸即丙方每边之数也(此三正/方体边)
　　　　　(线体积/比例法)
设如有带两纵不同立方体高比阔为五分之一阔
　比长亦为五分之一体积六十一万四千一百二
　十五尺问高阔长各几何
　　　　　法借一根为高数则阔数为五根长数
　　　　　为二十五根以阔五根与长二十五根
　　　　　相乘得一百二十五平方再以高一根

　　　　　乘之得一百二十五立方与六十一万

　　　　　四千一百二十五尺相等一百二十五
　　　　　立方既与六十一万四千一百二十五
　　　　　尺相等则一立方必与四千九百一十
　　　　　三尺相等乃以四千九百一十三尺开
　　　　　立方得十七尺为一根之数即立方之
　　　　　高以五乘之得八十五尺即立方之阔
　　　　　以二十五乘之得四百二十五尺即立
　　　　　方之长也乃以长阔相乘得三万六千

　　　　　一百二十五尺再以高乘之得六十一
　　　　　万四千一百二十五尺以合原数也(此/带)
　　　　　(分比例开/立方法)
设如有一大长方体其阔三倍于高其长三倍于阔
　又有一小长方体比大长方体高为二分之一阔
　为三分之二长为九分之七小长方体积二万三
　千六百二十五寸问大小二长方体之长阔高各
　几何
　　　　　法借一根为大长方体之高则大长方

　　　　　体之阔为三根大长方体之长为九根

　　　　　小长方体之高为半根小长方体之阔
　　　　　为二根小长方体之长为七根乃以长
　　　　　七根与阔二根相乘得一十四平方再
　　　　　以高半根乘之得七立方为小长方体
　　　　　积与二万三千六百二十五寸相等七
　　　　　立方既与二万三千六百二十五寸相
　　　　　等则一立方必与三千三百七十五寸
　　　　　相等乃以三千三百七十五寸开立方

　　　　　得十五寸为一根之数即大长方体之
　　　　　高三因之得四十五寸即大长方体之
　　　　　阔又以三因之得一百三十五寸即大
　　　　　长方体之长以大长方体之高折半得
　　　　　七寸五分即小长方体之高以大长方
　　　　　体之阔三归二因得三十寸即小长方
　　　　　体之阔以大长方体之长九归七因得
　　　　　一百零五寸即小长方体之长以小长
　　　　　方体之长阔相乘再以高乘之得二万

　　　　　三千六百二十五寸以合原数也(此带/分比)

　　　　　(例开立/方法)
设如有人买马三次第二次比第一次多一倍第三
　次比第二次多一倍以第三次马数四分之一与
　第二次马数之一半相乘又与第一次马数三分
　之一相乘得六千五百六十一匹问三次所买马
　数各若干
　　　　　法借三根为第一次买马之数(第一次/分母数)
　　　　　则第二次买马之数为六根第三次买

　　　　　马之数为十二根以第三次四分之一
　　　　　三根与第二次之一半三根相乘得九
　　　　　平方又与第一次三分之一一根相乘
　　　　　得九立方与六千五百六十一匹相等
　　　　　九立方既与六千五百六十一匹相等
　　　　　则一立方必与七百二十九匹相等乃
　　　　　以七百二十九匹开立方得九匹为一
　　　　　根之数三因之得二十七匹为第一次
　　　　　买马之数倍之得五十四匹为第二次

　　　　　买马之数又倍之得一百零八匹为第

　　　　　三次买马之数以第三次四分之一二
　　　　　十七匹与第二次一半二十七匹相乘
　　　　　得七百二十九匹再以第一次三分之
　　　　　一九匹乘之得六千五百六十一匹以
　　　　　合原数也(此带分比例/开立方法)
设如有马牛羊各不知数但知牛数比马数多四羊
　数与马牛相乘之数等马每匹之价与牛数等牛
　每头之价与马数等羊每只之价比马每匹价少

　十两而羊之共价为一百九十二两问马牛羊及
　价银各若干
　　　　　法借一根为马数则牛数为一根多四
　　　　　以马数一根与牛数一根多四相乘得
　　　　　一平方多四根为羊数马价与牛数等
　　　　　为一根多四两则羊价为一根少六两
　　　　　以羊数一平方多四根与羊价一根少
　　　　　六两相乘得一立方少二平方少二十
　　　　　四根为羊之共价与一百九十二两相

　　　　　等乃以一百九十二两为磬折扁方体

　　　　　积用带纵开立方法算之得八为一根
　　　　　之数即马数亦即牛每头之价为八两
　　　　　也加牛比马多四得十二为牛数亦即
　　　　　马每匹之价为十二两也以马数八与
　　　　　牛数十二相乘得九十六为羊数以羊
　　　　　数九十六归除羊共价一百九十二两
　　　　　得二两为羊每只价比马一匹之价少
　　　　　十两也(此磬折扁方/体求边法)

设如有马骡运重其共马数比马每匹所驮之数多
　二十骡每匹所驮之数比共马数多三十其共骡
　数与马所驮之共数等但知骡共驮一千一百万
　斤问马数骡数及所驮之斤数各若干
　　　　　法借一根为共马数则马每匹所驮之
　　　　　斤数为一根少二十斤骡每匹所驮之
　　　　　数为一根多三十斤以共马数一根与
　　　　　马每匹驮一根少二十斤相乘得一平
　　　　　方少二十根为马所驮之共数亦即共

　　　　　骡数再以骡每匹驮一根多三十斤乘

　　　　　之得一立方多十平方少六百根为骡
　　　　　所驮之共数与一千一百万斤相等乃
　　　　　以一千一百万斤为磬折长方体积用
　　　　　带纵开立方法算之得二百二十为一
　　　　　根之数即共马数减二十馀二百斤为
　　　　　马每匹所驮之数以共马二百二十匹
　　　　　与马每匹所驮之二百斤相乘得四万
　　　　　四千斤为马所驮之共数亦即共骡数

　　　　　以共骡四万四千匹归除一千一百万
　　　　　斤得二百五十斤为骡每匹所驮之数
　　　　　比共马数二百二十多三十也(此磬折/长方体)
　　　　　(求边/法)
设如有大小二正方体边数共二尺六寸体积共五
　千零九十六寸问二正方体边数体积各几何
　　　　　法借一根为小方每边之数则大方每
　　　　　边之数为二十六寸少一根以一根自
　　　　　乘再乘得一立方为小方之体积以二

　　　　　十六寸少一根自乘再乘得一万七千

　　　　　五百七十六寸少二千零二十八根多
　　　　　七十八平方少一立方为大方之体积
　　　　　两体积相加得一万七千五百七十六
　　　　　寸少二千零二十八根多七十八平方
　　　　　与五千零九十六寸相等两边各加二
　　　　　千零二十八根得一万七千五百七十
　　　　　六寸多七十八平方与五千零九十六
　　　　　寸多二千零二十八根相等两边各减

　　　　　五千零九十六寸得一万二千四百八
　　　　　十寸多七十八平方与二千零二十八
　　　　　根相等一万二千四百八十寸多七十
　　　　　八平方既与二千零二十八根相等则
　　　　　一百六十寸多一平方必与二十六根
　　　　　相等乃以一百六十寸为长方积以二
　　　　　十六根作二十六寸为长阔和用带纵
　　　　　和数开平方法算之得阔十寸为一根
　　　　　之数即小方每边之数与共边二十六

　　　　　寸相减馀一十六寸即大方每边之数

　　　　　以十寸自乘再乘得一千寸即小方之
　　　　　体积以十六寸自乘再乘得四千零九
　　　　　十六寸即大方之体积两体积相加共
　　　　　五千零九十六寸以合原数也(此二正/方体有)
　　　　　(边和积和/求边法)
设如有大小二正方体大方边比小方边多四尺大
　方积比小方积多一千二百一十六尺问二正方
　体边数体积各几何

　　　　　法借一根为小方每边之数则大方每
　　　　　边之数为一根多四尺以一根自乘再
　　　　　乘得一立方为小方之体积以一根多
　　　　　四尺自乘再乘得一立方多十二平方
　　　　　多四十八根多六十四尺为大方之体
　　　　　积两体积相减得十二平方多四十八
　　　　　根多六十四尺与一千二百一十六尺
　　　　　相等两边各减六十四尺得十二平方
　　　　　多四十八根与一千一百五十二尺相

　　　　　等十二平方多四十八根既与一千一

　　　　　百五十二尺相等则一平方多四根必
　　　　　与九十六尺相等乃以九十六尺为长
　　　　　方积以四根作四尺为长阔较用带纵
　　　　　较数开平方法算之得阔八尺为一根
　　　　　之数即小方每边之数加四尺得一十
　　　　　二尺即大方每边之数以八尺自乘再
　　　　　乘得五百一十二尺即小方之体积以
　　　　　一十二尺自乘再乘得一千七百二十

　　　　　八尺即大方之体积两体积相减馀一
　　　　　千二百一十六尺以合原数也(此二正/方体有)
　　　　　(边较积较/求边法)
设如有大小二正方体大方边比小方边多二尺体
　积共一千零七十二尺问二正方体边数体积各
　几何
　　　　　法借一根为小方每边之数则大方每
　　　　　边之数为一根多二尺以一根自乘再
　　　　　乘得一立方为小方之体积以一根多

　　　　　二尺自乘再乘得一立方多六平方多

　　　　　十二根多八尺为大方之体积两体积
　　　　　相加得二立方多六平方多十二根多
　　　　　八尺与一千零七十二尺相等两边各
　　　　　减去八尺得二立方多六平方多十二
　　　　　根与一千零六十四尺相等二立方多
　　　　　六平方多十二根既与一千零六十四
　　　　　尺相等则一立方多三平方多六根必
　　　　　与五百三十二尺相等乃以五百三十

　　　　　二尺为磬折长方体积用带纵开立方
　　　　　法算之得七尺为一根之数即小方每
　　　　　边之数加二尺得九尺即大方每边之
　　　　　数以七尺自乘再乘得三百四十三尺
　　　　　即小方之体积以九尺自乘再乘得七
　　　　　百二十九尺即大方之体积两体积相
　　　　　加得一千零七十二尺以合原数也(此/二)
　　　　　(正方体有边较/积和求边法)
设如有大小二正方体边数共十四尺大方比积小

　方积多二百九十六尺问二正方体之边数体积

　各几何
　　　　　法借一根为小方每边之数则大方每
　　　　　边之数为十四尺少一根以一根自乘
　　　　　再乘得一立方为小方之体积以十四
　　　　　尺少一根自乘再乘得二千七百四十
　　　　　四尺少五百八十八根多四十二平方
　　　　　少一立方为大方之体积两体积相减
　　　　　得二千七百四十四尺少五百八十八

　　　　　根多四十二平方少二立方与二百九
　　　　　十六尺相等两边各加二立方又加五
　　　　　百八十八根得二立方多五百八十八
　　　　　根多二百九十六尺与二千七百四十
　　　　　四尺多四十二平方相等两边各减去
　　　　　二百九十六尺又各减去四十二平方
　　　　　得二立方少四十二平方多五百八十
　　　　　八根与二千四百四十八尺相等二立
　　　　　方少四十二平方多五百八十八根既

　　　　　与二千四百四十八尺相等则一立方

　　　　　少二十一平方多二百九十四根必与
　　　　　一千二百二十四尺相等乃以一千二
　　　　　百二十四尺为磬折扁方体积用带纵
　　　　　开立方法算之得六尺为一根之数即
　　　　　小方每边之数与共边数十四尺相减
　　　　　馀八尺即大方每边之数以六尺自乘
　　　　　再乘得二百一十六尺为小方之体积
　　　　　以八尺自乘再乘得五百一十二尺为

　　　　　大方之体积两体积相减馀二百九十
　　　　　六尺以合原数也(此二正方体有边/和积较求边法)
设如勾股积二百四十尺股弦较四尺问勾股弦各
　几何
　　　　　法借一根为股数则弦为一根多四尺
　　　　　以一根自乘得一平方为股自乘之数
　　　　　以一根多四尺自乘得一平方多八根
　　　　　多十六尺为弦自乘之数内减去股自
　　　　　乘之一平方馀八根多十六尺为勾自

　　　　　乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之

　　　　　数及股自乘之数为相连比例三率乃
　　　　　以首率勾自乘之八根多十六尺与末
　　　　　率股自乘之一平方相乘得八立方多
　　　　　十六平方又以勾股积二百四十尺倍
　　　　　之得四百八十尺为中率自乘得二十
　　　　　三万零四百尺是为八立方多十六平
　　　　　方与二十三万零四百尺相等八立方
　　　　　多十六平方既与二十三万零四百尺

　　　　　相等则一立方多二平方必与二万八
　　　　　千八百尺相等乃以二万八千八百尺
　　　　　为长方体积用带纵开立方法算之得
　　　　　三十尺为一根之数即股数加股弦较
　　　　　四尺得三十四尺即弦数又以股三十
　　　　　尺除倍积四百八十尺得十六尺即勾
　　　　　数也(此有勾股积有股/弦较求勾股弦法)
设如勾股积二百四十尺勾弦和五十尺问勾股弦
　各几何

　　　　　法借一根为勾数则弦为五十尺少一

　　　　　根以一根自乘得一平方为勾自乘之
　　　　　数以五十尺少一根自乘得二千五百
　　　　　尺少一百根多一平方为弦自乘之数
　　　　　内减去勾自乘之一平方馀二千五百
　　　　　尺少一百根为股自乘之数凡勾自乘
　　　　　之数与勾股相乘之数及股自乘之数
　　　　　为相连比例三率则以首率勾自乘之
　　　　　一平方与末率股自乘之二千五百尺

　　　　　少一百根相乘得二千五百平方少一
　　　　　百立方又以勾股积二百四十尺倍之
　　　　　得四百八十尺为中率自乘得二十三
　　　　　万零四百尺是为二千五百平方少一
　　　　　百立方与二十三万零四百尺相等二
　　　　　千五百平方少一百立方既与二十三
　　　　　万零四百尺相等则一平方少二十五
　　　　　分立方之一必与九十二尺一十六寸
　　　　　相等乃以九十二尺一十六寸为扁方

　　　　　体积用带纵开立方法算之得一十六

　　　　　尺为一根之数即勾数与勾弦和五十
　　　　　尺相减馀三十四尺即弦数又以勾十
　　　　　六尺除倍积四百八十尺得三十尺即
　　　　　股数也(此有勾股积有勾/弦和求勾股弦法)
设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与
　四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几
　何
　　　　　法借一根为二率以二率一根自乘得

　　　　　一平方以一率十万除之得十万分平
　　　　　方之一为三率又以二率一根与三率
　　　　　十万分平方之一相乘得十万分立方
　　　　　之一以一率十万除之得一百亿分立
　　　　　方之一为四率将四率俱以百亿乘之
　　　　　则一率为一千兆二率为一百亿根三
　　　　　率为一十万平方四率为一立方(因四/率为)
　　　　　(百亿分立方之一以百亿乘之则得一/整立方故将馀三率俱以百亿乘之其)
　　　　　(比例始/相当也)乃以一率与四率相加得一千

　　　　　兆多一立方又以二率三倍之得三百

　　　　　亿根是为三百亿根与一千兆多一立
　　　　　方相等两边各减去一立方得三百亿
　　　　　根少一立方与一千兆相等乃以一千
　　　　　兆为实以三百亿根为法用割圜内新
　　　　　增益实归除法算之得三万四千七百
　　　　　二十九为一根之数即相连比例之第
　　　　　二率也以二率自乘一率除之得一万
　　　　　二千零六十一为相连比例之第三率

　　　　　又以二率与三率相乘一率除之得四
　　　　　千一百八十七为相连比例之第四率
　　　　　乃以一率与四率相加得一十万零四
　　　　　千一百八十七与二率之三倍相等也
　　　　　(此即求圜内/容十八边法)
设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与
　四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二
　率三率四率各几何
　　　　　法借一根为二率以二率一根自乘得

　　　　　一平方以一率十万除之得十万分平

　　　　　方之一为三率以二率一根与三率十
　　　　　万分平方之一相乘得十万分立方之
　　　　　一以一率十万除之得一百亿分立方
　　　　　之一为四率将四率俱以百亿乘之则
　　　　　一率为一千兆二率为一百亿根三率
　　　　　为一十万平方四率为一立方乃以一
　　　　　率与四率相加得一千兆多一立方又
　　　　　以二率倍之得二百亿根加一三率得

　　　　　二百亿根多十万平方是为二百亿根
　　　　　多十万平方与一千兆多一立方相等
　　　　　两边各减去一立方得二百亿根多十
　　　　　万平方少一立方与一千兆相等乃以
　　　　　一千兆为实以二百亿根为法用割圜
　　　　　内益实兼减实归除法算之得四万四
　　　　　千五百零四为一根之数即相连比例
　　　　　之第二率也以二率自乘一率除之得
　　　　　一万九千八百零六为相连比例之第

　　　　　三率又以二率与三率相乘一率除之

　　　　　得八千八百一十四为相连比例之第
　　　　　四率乃以一率与四率相加得一十万
　　　　　零八千八百一十四与二率两倍加一
　　　　　三率之数相等也(此即求圜内/容十四边法)
设如有大小二正方面大方每边为小方每边之二
　倍若以两面积相乘得五万八千五百六十四尺
　问二方边面积各几何
　　　　　法借一根为小方每边之数则大方每

　　　　　边数为二根以一根自乘得一平方为
　　　　　小方之面积以二根自乘得四平方为
　　　　　大方之面积以一平方与四平方相乘
　　　　　得四三乘方为两方面积相乘之数与
　　　　　五万八千五百六十四尺相等四三乘
　　　　　方既与五万八千五百六十四尺相等
　　　　　则一三乘方必与一万四千六百四十
　　　　　一尺相等乃以一万四千六百四十一
　　　　　尺为三乘方积用开三乘方法算之得

　　　　　十一尺为一根之数即小方每边之数

　　　　　倍之得二十二尺即大方每边之数以
　　　　　十一尺自乘得一百二十一尺即小方
　　　　　之面积以二十二尺自乘得四百八十
　　　　　四尺即大方之面积两面积相乘得五
　　　　　万八千五百六十四尺以合原数也(此/开)
　　　　　(三乘/方法)
设如有解钱粮船不言数但知每船所载银鞘之数
　比船数加一倍每鞘内银数与共鞘数等其共银

　数为五百三十四万五千三百四十四两问船数
　鞘数各若干
　　　　　法借一根为船数则每船所载鞘数为
　　　　　二根以一根与二根相乘得二平方为
　　　　　共鞘数亦为每鞘内银数自乘得四三
　　　　　乘方与五百三十四万五千三百四十
　　　　　四两相等四三乘方既与五百三十四
　　　　　万五千三百四十四两相等则一三乘
　　　　　方必与一百三十三万六千三百三十

　　　　　六两相等乃以一百三十三万六千三

　　　　　百三十六两为三乘方积用开三乘方
　　　　　法算之得三十四为一根之数即船数
　　　　　倍之得六十八即每船之鞘数以船数
　　　　　三十四与每船所载鞘数六十八相乘
　　　　　得二千三百一十二为共鞘数亦即每
　　　　　鞘内之银数自乘得五百三十四万五
　　　　　千三百四十四两以合原数也(此开三/乘方法)
设如有一正方又有一长方二方面积共二十三万

　六千一百九十六尺长方之长比正方面积多二
　十四尺长方之阔比正方面积少二十尺问二方
　边面积各几何
　　　　　法借一根为正方每边之数自乘得一
　　　　　平方为正方之面积则长方之长为一
　　　　　平方多二十四尺长方之阔为一平方
　　　　　少二十尺长阔相乘得一三乘方多四
　　　　　平方少四百八十尺为长方面积加正
　　　　　方面积之一平方得一三乘方多五平

　　　　　方少四百八十尺为二方之共面积与

　　　　　二十三万六千一百九十六尺相等两
　　　　　边各加四百八十尺得一三乘方多五
　　　　　平方与二十三万六千六百七十六尺
　　　　　相等乃以二十三万六千六百七十六
　　　　　尺为带纵三乘方积用带纵开三乘方
　　　　　法算之得二十二为一根之数即正方
　　　　　每边之数自乘得四百八十四尺为正
　　　　　方面积加二十四尺得五百零八尺为

　　　　　长方之长减二十尺得四百六十四尺
　　　　　为长方之阔长阔相乘得二十三万五
　　　　　千七百一十二尺为长方面积两面积
　　　　　相加得二十三万六千一百九十六尺
　　　　　以合原数也(此带纵开/三乘方法)
设如有一长方其面积五百二十七丈又有大小二
　正方其面积共一千二百五十丈大正方边与长
　方之长等小正方边与长方之阔等问长方之长
　阔各几何

　　　　　法借一根为大方每边之数自乘得一

　　　　　平方为大方之面积则小方之面积为
　　　　　一千二百五十丈少一平方此大方面
　　　　　积与长方面积及小方面积为相连比
　　　　　例三率乃以首率大方面积一平方与
　　　　　末率小方面积一千二百五十丈少一
　　　　　平方相乘得一千二百五十平方少一
　　　　　三乘方又以长方面积五百二十七丈
　　　　　为中率自乘得二十七万七千七百二

　　　　　十九丈此两数为相等乃以二十七万
　　　　　七千七百二十九丈为带纵三乘方积
　　　　　用带纵开三乘方法算之得三十一为
　　　　　一根之数即大方每边之数亦即长方
　　　　　之长以长三十一丈除长方面积五百
　　　　　二十七丈得十七丈即长方之阔亦即
　　　　　小正方每边之数乃以三十一丈自乘
　　　　　得九百六十一丈为大方面积以十七
　　　　　丈自乘得二百八十九丈为小方面积

　　　　　两面积相加得一千二百五十丈以合

　　　　　原数也(此带纵开/三乘方法)
设如有一方台俱系正方石砌成其用石之块数与
　每一石之面积等其共石之体积为五十三万七
　千八百二十四寸问用石之块数及每一石之边
　数若干
　　　　　法借一根为每一石之边数自乘得一
　　　　　平方为每一石之面积亦即所用石之
　　　　　块数再乘得一立方为每一石之体积

　　　　　与所用石之块数一平方相乘得一四
　　　　　乘方为共石之体积与五十三万七千
　　　　　八百二十四寸相等乃以五十三万七
　　　　　千八百二十四寸为四乘方积用开四
　　　　　乘方法算之得一十四寸为一根之数
　　　　　即每一石之边数自乘得一百九十六
　　　　　寸为每一石之面积亦即所用石之块
　　　　　数再乘得二千七百四十四寸为每一
　　　　　石之体积与所用石之块数相乘得五

　　　　　十三万七千八百二十四寸以合原数

　　　　　也(此开四/乘方法)
设如有二十四正方体又有一扁方体共积八百二
　十九万四千四百寸扁方体之高与正方体之边
　数等扁方体之长与阔俱与正方体之面积等问
　正方体扁方体之边数各若干
　　　　　法借一根为正方体每边之数亦即扁
　　　　　方体之高数以一根自乘得一平方为
　　　　　正方体之面积亦即扁方体之长与阔

　　　　　再乘得一立方为正方体之积以二十
　　　　　四乘之得二十四立方为二十四正方
　　　　　体之共积又以扁方体之长阔一平方
　　　　　自乘得一三乘方再以高一根乘之得
　　　　　一四乘方为扁方体之积两积数相加
　　　　　得一四乘方多二十四立方与共体积
　　　　　八百二十九万四千四百寸相等乃以
　　　　　八百二十九万四千四百寸为带纵四
　　　　　乘方积用带纵开四乘方法算之得二

　　　　　十四寸为一根之数即正方体之每边

　　　　　亦即扁方体之高自乘得五百七十六
　　　　　寸为正方体之面积亦即扁方体之长
　　　　　与阔再乘得一万三千八百二十四寸
　　　　　为一正方体之积以二十四乘之得三
　　　　　十三万一千七百七十六寸为二十四
　　　　　正方体之共积又以扁方体之长阔五
　　　　　百七十六寸自乘再以高二十四寸乘
　　　　　之得七百九十六万二千六百二十四

　　　　　寸为一扁方体积两积相加得八百二
　　　　　十九万四千四百寸以合原数也(此带/纵开)
　　　　　(四乘/方法)
设如有商人贸易第一次之银数比原本银加一倍
　第二次之银数与第一次银自乘再乘之数等第
　三次之银数与第一次银自乘又乘第二次银之
　数等将第三次之银数与第二次之银数相加得
　三万三千二百八十两问原本银数及每次银数
　各若干

　　　　　法借一根为原本银数则第一次之银

　　　　　数为二根自乘再乘得八立方为第二
　　　　　次之银数以第一次自乘之四平方与
　　　　　第二次之八立方相乘得三十二四乘
　　　　　方为第三次之银数与第二次之银数
　　　　　八立方相加得三十二四乘方多八立
　　　　　方与三万三千二百八十两相等三十
　　　　　二四乘方多八立方既与三万三千二
　　　　　百八十两相等则一四乘方多四分立