钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十四
　　末部四
　　　借根方比例(线类/)

　　线类
设如有一竹竿长一丈欲分为大小两分大分比小
　分多四尺问大小分各几何
　　　　　　法借一根为小分则大分即为一根多
　　　　　　四尺两数相加得二根多四尺与一丈
　　　　　　相等二根既多四尺乃减去所多四尺
　　　　　　馀二根又于一丈内亦减去四尺馀六
　　　　　　尺是为二根与六尺相等二根既与六

　　　　　　尺相等则一根必与三尺相等前既借
　　　　　　一根为小分则三尺即小分再加四尺
　　　　　　得七尺即大分也(此减法也于一丈内/减去大分所多之四)
　　　　　　(尺馀六尺折半得三尺即小分之数此/法甚易盖因借根比例之首先设此以)
　　　　　　(明其理使人由/浅以入深也)
设如有银三百四十三两分给众匠其为首一人所
　得之银与众匠人数相等众匠每人得银六两问
　共人数几何
　　　　　　法借一根为为首一人所得之银数亦

　　　　　　即为众匠之人数以众匠之人数一根

　　　　　　与六两相乘得六根为众匠之银数相
　　　　　　加得七根与三百四十三两相等七根
　　　　　　既与三百四十三两相等则一根必与
　　　　　　四十九两相等即为首一人所得之银
　　　　　　数亦即众匠之人数以四十九人与六
　　　　　　两相乘得二百九十四两即众匠所得
　　　　　　共银数再加为首一人所得银数四十
　　　　　　九两得三百四十三两以合原数也(此/归)

　　　　　　(除法也以每匠得银六两加一两得七/两以除共银三百四十三两即得四十)
　　　　　　(九两为为首一人所得银数亦即众匠/之人数盖为首一人之银既与众匠人)
　　　　　　(数等若以为首一人之银分给众匠每/人必多得一两故于每人之银数外加)
　　　　　　(一两以除共/银即得也)
设如有绳二条不言丈数但知其长短之比例同于
　九与五其相差之较与短绳除长绳所得之数相
　等问二绳各长若干
　　　　　　法借九根为长绳之数五根为短绳之
　　　　　　数两数相减馀四根以五根除九根得

　　　　　　一八即一丈八尺是为四根与一丈八

　　　　　　尺相等四根既与一丈八尺相等则一
　　　　　　根必与四尺五寸相等九因之得四丈
　　　　　　零五寸即长绳数五因之得二丈二尺
　　　　　　五寸即短绳数以二丈二尺五寸与四
　　　　　　丈零五寸相减馀一丈八尺以二丈二
　　　　　　尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺
　　　　　　也(此归/除法)
设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银九十

　两乙丙共银四十五两甲丙共银七十三两问三
　人各银几何
　　　　　　法借一根为三人之总银数以甲乙共
　　　　　　银九十两计之则丙为一根少九十两
　　　　　　以乙丙共银四十五两计之则甲为一
　　　　　　根少四十五两以甲丙共银七十三两
　　　　　　计之则乙为一根少七十三两三数相
　　　　　　加得三根少二百零八两而与所借之
　　　　　　一根相等三根少二百零八两与一根

　　　　　　各加二百零八两得三根与一根多二

　　　　　　百零八两相等(三根少二百零八两内/加二百零八两则补足)
　　　　　　(三根整数一根上再加二百零八/两则为一根多二百零八两矣)三根
　　　　　　与一根再各减一根则馀二根与二百
　　　　　　零八两相等二根既与二百零八两相
　　　　　　等则一根必与一百零四两相等即三
　　　　　　人之总银数总银一百零四两内减甲
　　　　　　乙共银九十两馀一十四两为丙银数
　　　　　　减乙丙共银四十五两馀五十九两为

　　　　　　甲银数减甲丙共银七十三两馀三十
　　　　　　一两为乙银数也(此加减法也如以三/数相加得二百零八)
　　　　　　(两折半得一百零四两即总银数总银/数内减甲乙共银数馀为丙银数总银)
　　　　　　(数内减甲丙共银数馀为乙银数总银/数内减乙丙共银数馀为甲银数也)
设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银数比
　丙银多六十八两乙丙共银数比甲银多一百两
　丙甲共银数比乙银多一百二十四两问三人各
　银几何
　　　　　　法借二根为三人之总银数以甲乙共

　　　　　　银数比丙银多六十八两计之则甲乙

　　　　　　共银为一根多三十四两丙银为一根
　　　　　　少三十四两(二根既为三人之总银数/平分之则甲乙应得一根)
　　　　　　(丙应得一根甲乙共银比丙所多六十/八两平分之则甲乙应得三十四两丙)
　　　　　　(应得三十四两甲乙所得为多丙所得/为少故甲乙为一根多三十四两丙为)
　　　　　　(一根少三十四两共相/差为六十八两下仿此)以乙丙共银数
　　　　　　比甲银多一百两计之则乙丙共银为
　　　　　　一根多五十两甲银为一根少五十两
　　　　　　以丙甲共银数比乙银多一百二十四

　　　　　　两计之则丙甲共银为一根多六十二
　　　　　　两乙银为一根少六十二两乃以丙银
　　　　　　一根少三十四两甲银一根少五十两
　　　　　　乙银一根少六十二两三数相加得三
　　　　　　根少一百四十六两而与所借之二根
　　　　　　相等三根少一百四十六两与二根各
　　　　　　加一百四十六两得三根与二根多一
　　　　　　百四十六两相等三根与二根再各减
　　　　　　二根则馀一根与一百四十六两相等

　　　　　　一根既与一百四十六两相等则二根

　　　　　　必与二百九十二两相等即三人之总
　　　　　　银数前既以丙银为一根少三十四两
　　　　　　乃于一百四十六两内减三十四两馀
　　　　　　一百一十二两即丙银数甲为一根少
　　　　　　五十两乃于一百四十六两内减五十
　　　　　　两馀九十六两即甲银数乙为一根少
　　　　　　六十二两乃于一百四十六两内减六
　　　　　　十二两馀八十四两即乙银数也(此加/减法)

　　　　　　(也如以甲乙比丙所多之六十八两与/乙丙比甲所多之一百两相加得一百)
　　　　　　(六十八两折半得八十四两即乙银数/又以乙丙比甲所多之一百两与甲丙)
　　　　　　(比乙所多之一百二十四两相加得二/百二十四两折半得一百一十二两即)
　　　　　　(丙银数再以乙丙数相加得一百九十/六两内减去乙丙比甲所多之一百两)
　　　　　　(馀九十六两/即甲银数也)
设如有银分赏众人不言银数亦不言人数但知第
　一人得银一两又得馀银之十分之一第二人得
　银二两又得馀银之十分之一第三人得银三两
　又得馀银之十分之一以下分赏之数皆准此例

　所得之银皆相等问人数及银数各几何

　　　　　　法借一根为第一人所得馀银之数
　　　　　　则一两多一根为第一人所得总银数
　　　　　　又第一人得馀银十分之一则馀银必为
　　　　　　十根减去一根仍馀九根再于九根内
　　　　　　减去第二人所得之二两为九根少二
　　　　　　两以九根少二两取其十分之一得十
　　　　　　分根之九少二钱与第二人之二两相
　　　　　　加得二两(作二/十钱)多十分根之九少二钱

　　　　　　为与第一人所得之一两(作一/十钱)多一根
　　　　　　相等一两多一根与二两多十分根之
　　　　　　九少二钱各加二钱得一两二钱多一
　　　　　　根与二两多十分根之九相等多一根
　　　　　　与多十分根之九各减十分根之九馀
　　　　　　一两二钱多十分根之一与二两相等
　　　　　　一两二钱与二两又各减一两二钱则
　　　　　　馀十分根之一与八钱相等十分根之
　　　　　　一既与八钱相等则一根必与八两相

　　　　　　等即第一人所得馀银之数乃以十因

　　　　　　之得八十两又加第一人所得之一两
　　　　　　共八十一两即原共银数第一人得一
　　　　　　两又加馀银八十两之十分之一八两
　　　　　　共为九两第二人得二两又加馀银七
　　　　　　十两之十分之一七两亦共为九两第
　　　　　　三人得三两又加馀银六十两之十分
　　　　　　之一六两亦共为九两第四人得银四
　　　　　　两又加馀银五十两之十分之一五两

　　　　　　亦共为九两第五人得银五两又加馀
　　　　　　银四十两之十分之一四两亦共为九
　　　　　　两第六人得银六两又加馀银三十两
　　　　　　之十分之一三两亦共为九两第七人
　　　　　　得银七两又加馀银二十两之十分之
　　　　　　一二两亦共为九两第八人得银八两
　　　　　　又加馀银十两之十分之一一两亦共
　　　　　　为九两第九人得银九两银尽无馀是
　　　　　　共九人每人得银九两皆相等也(此加/减法)

　　　　　　(也以分母十与分子一相减馀九即人/数以人数九自乘得八十一即总银数)

　　　　　　(也盖惟人数与每人所得银数相等者每/人递加一两又各加馀银十分之一所得)
　　　　　　(始能相等故以人数/自乘即得银数也)
设如有人行路共二千八百里步行则日行七十里
　坐船则日行九十里乘马则日行一百里但知步
　行之日数倍于坐船坐船之日数倍于乘马问步
　行及坐船乘马之日数各若干
　　　　　　法借一根为乘马之日数则坐船之日
　　　　　　数为二根步行之日数为四根以一根

　　　　　　与一百里相乘得一百根为乘马所行
　　　　　　之里数以二根与九十里相乘得一百
　　　　　　八十根为坐船所行之里数以四根与
　　　　　　七十里相乘得二百八十根为步行所
　　　　　　行之里数三数相加得五百六十根是
　　　　　　为五百六十根与二千八百里相等五
　　　　　　百六十根既与二千八百里相等则一
　　　　　　百根必与五百里相等前既以一百根
　　　　　　为乘马所行之里数则与一百根相等

　　　　　　之五百里即乘马所行之里数以乘马

　　　　　　每日行一百里除之得五日与一根相
　　　　　　等即乘马所行之日数倍之得十日即
　　　　　　坐船所行之日数以坐船每日行九十
　　　　　　里乘之得九百里为坐船所行之里数
　　　　　　再以坐船所行之十日倍之得二十日
　　　　　　即步行之日数以步行每日行七十里
　　　　　　乘之得一千四百里为步行之里数以
　　　　　　乘马所行之五百里与坐船所行之九

　　　　　　百里及步行之一千四百里相并共得
　　　　　　二千八百里以合原数也(此递加比例/法用借衰互)
　　　　　　(徵法算/之亦可)
设如一驴一马一车共驮载一千五百二十斤马所
　驮之数倍于驴仍多四十斤车所载之数倍于马
　驴共驮之数却少四十斤问驴马车各驮载几何
　　　　　　法借一根为驴所驮之数则马为二根
　　　　　　多四十斤车为六根多四十斤(驴马数/相并得)
　　　　　　(三根多四十斤倍之为六根多八十斤/内减去少四十斤则为六根多四十斤)

　　　　　　三数相加得九根多八十斤是为九根

　　　　　　多八十斤与一千五百二十斤相等多
　　　　　　八十斤与一千五百二十斤各减去八
　　　　　　十斤则馀九根与一千四百四十斤相
　　　　　　等九根既与一千四百四十斤相等则
　　　　　　一根必与一百六十斤相等即驴所驮
　　　　　　之数倍之得三百二十斤再加四十斤
　　　　　　得三百六十斤为马所驮之数将马驴
　　　　　　所驮之数相加得五百二十斤倍之得

　　　　　　一千零四十斤再减去四十斤得一千
　　　　　　斤即车所载之数驴驮一百六十斤马
　　　　　　驮三百六十斤车载一千斤三数相加
　　　　　　共一千五百二十斤以合原数也(此按/数加)
　　　　　　(减比例法用借衰/互徵法算之亦可)
设如有银三百八十五两令十一人挨次递加三两
　分之问每人各得若干
　　　　　　法借一根为第一人所得银数以十一
　　　　　　乘之得十一根又以第一人至第十一

　　　　　　人递加三两计之共得多一百六十五

　　　　　　两是为十一根多一百六十五两与三
　　　　　　百八十五两相等十一根多一百六十
　　　　　　五两与三百八十五两各减一百六十
　　　　　　五两则馀十一根与二百二十两相等
　　　　　　十一根既与二百二十两相等则一根
　　　　　　必与二十两相等即第一人所得银数
　　　　　　递加三两则知第二人得二十三两第
　　　　　　三人得二十六两第四人得二十九两

　　　　　　第五人得三十二两第六人得三十五
　　　　　　两第七人得三十八两第八人得四十
　　　　　　一两第九人得四十四两第十人得四
　　　　　　十七两第十一人得五十两各数相加
　　　　　　共得三百八十五两以合原数也(此按/数加)
　　　　　　(减比/例法)
设如有银四百七十四两令十二人挨次递加分之
　但知第一人得银一十二两问每人各得若干
　　　　　　法借一根为每人递加之数以第一人

　　　　　　至第十二人递加一根计之则得六十

　　　　　　六根再以十二两与十二人相乘得一
　　　　　　百四十四两是为六十六根多一百四
　　　　　　十四两与四百七十四两相等六十六
　　　　　　根多一百四十四两与四百七十四两
　　　　　　各减去一百四十四两则馀六十六根
　　　　　　与三百三十两相等六十六根既与三
　　　　　　百三十两相等则一根必与五两相等
　　　　　　即每人递加之数以第一人所得十二

　　　　　　两加五两即第二人所得十七两依此
　　　　　　递加则知第三人得二十二两第四人
　　　　　　得二十七两第五人得三十二两第六
　　　　　　人得三十七两第七人得四十二两第
　　　　　　八人得四十七两第九人得五十二两
　　　　　　第十人得五十七两第十一人得六十
　　　　　　二两第十二人得六十七两各数相加
　　　　　　共得四百七十四两以合原数也(此按/数加)
　　　　　　(减比/例法)

设如一人借银营利三次每次得利之后则还银二

　百四十两复以馀银作本其每次所得利银皆与
　每次本银相等至第三次还银后则银尽无馀问
　原借银若干
　　　　　　法借一根为原借本银数则第一次利
　　　　　　银亦为一根是本利共二根除还银二
　　　　　　百四十两则初次馀银即为二根少二
　　　　　　百四十两再以二根少二百四十两为
　　　　　　第二次本银数加第二次利银则为四

　　　　　　根少四百八十两除还银二百四十两
　　　　　　则第二次馀银即为四根少七百二十
　　　　　　两再以四根少七百二十两为第三次
　　　　　　本银数加第三次利银则为八根少一
　　　　　　千四百四十两除还银二百四十两则
　　　　　　第三次馀银当为八根少一千六百八
　　　　　　十两八根少一千六百八十两而银尽
　　　　　　无馀即八根与一千六百八十两相等
　　　　　　也八根既与一千六百八十两相等则

　　　　　　一根必与二百一十两相等即原借本

　　　　　　银之数因每次所得利银皆与本银相
　　　　　　等故以原借本银之数倍之得四百二
　　　　　　十两除还二百四十两馀一百八十两
　　　　　　为第二次本银之数又倍之得三百六
　　　　　　十两又除还二百四十两馀一百二十
　　　　　　两为第三次本银之数又倍之得二百
　　　　　　四十两再还二百四十两则银恰尽无
　　　　　　馀也(此按分递折比例法用/叠借互徵法算之亦可)

设如甲乙丙三人各作一器则甲六日可完乙八日
　可完丙二十四日可完今命三人同作问得日几
　何
　　　　　　法借一千一百五十二根(三分母连/乘之数)为
　　　　　　三人同作完之日数以甲六日计之则
　　　　　　甲每日得一百九十二根以乙八日计
　　　　　　之则乙每日得一百四十四根以丙二
　　　　　　十四日计之则丙每日得四十八根三
　　　　　　数相加共得三百八十四根与一日相

　　　　　　等三百八十四根既与一日相等则一

　　　　　　千一百五十二根必与三日相等即三
　　　　　　人同作完之日数也(此和数/比例法)
设如甲丙二商不言本银若干但知甲之本银四倍
　于丙而甲本银内减去七十二两则两人之银适
　等问二人本银各几何
　　　　　　法借一根为丙本银数则甲本银为四
　　　　　　根以甲本银减七十二两与丙银相等
　　　　　　计之则于甲本银四根内减七十二两

　　　　　　是为甲四根少七十二两与丙一根相
　　　　　　等四根少七十二两与一根各加七十
　　　　　　二两得四根与一根多七十二两相等
　　　　　　四根与一根各减去一根则馀三根与
　　　　　　七十二两相等三根既与七十二两相
　　　　　　等则一根必与二十四两相等即丙本
　　　　　　银数再加七十二两得九十六两即甲
　　　　　　本银数也(此较数/比例法)
设如甲乙二人分银其数相等甲用过一百两乙用

　过三十两则乙之馀银三倍于甲问二人原各分

　银几何
　　　　　　法借一根为原分银之数则甲之馀银
　　　　　　为一根少一百两乙之馀银为一根少
　　　　　　三十两乙之馀银既三倍于甲则将甲
　　　　　　馀银一根少一百两三倍之为三根少
　　　　　　三百两即与乙之馀银一根少三十两
　　　　　　相等矣三根少三百两与一根少三十
　　　　　　两各加三百两则得三根与一根多二

　　　　　　百七十两相等(甲三根少三百两今加/三百两则补足三根整)
　　　　　　(数乙一根少三十两今加三百两以三/十两补原少之数则止多二百七十两)
　　　　　　三根与一根各减去一根则馀二根与
　　　　　　二百七十两相等二根既与二百七十
　　　　　　两相等则一根必与一百三十五两相
　　　　　　等前既借一根为原分银之数则此一
　　　　　　百三十五两即原分银之数矣甲用过
　　　　　　一百两馀三十五两乙用过三十两馀
　　　　　　一百零五两故乙之馀银三倍于甲也

　　　　　　(此较数比例法用叠/借互徵法算之亦可)

设如甲乙二人行路两日行到初日乙所行之路四
　倍于甲次日甲所行之路三倍于乙但知初日乙
　行二百四十里甲行六十里问次日二人各行若
　干
　　　　　　法借一根为次日乙所行之路则甲次
　　　　　　日所行之路为三根以初日乙行二百
　　　　　　四十里与一根相加得一根多二百四
　　　　　　十里为乙两日所行之路以初日甲行

　　　　　　六十里与三根相加得三根多六十里
　　　　　　为甲两日所行之路是为乙一根多二
　　　　　　百四十里与甲三根多六十里相等一
　　　　　　根与三根各减一根多二百四十里与
　　　　　　多六十里各减六十里则馀一百八十
　　　　　　里与二根相等一百八十里既与二根
　　　　　　相等则九十里必与一根相等即次日
　　　　　　乙所行之路三因之得二百七十里即
　　　　　　次日甲所行之路以乙次日所行九十

　　　　　　里与初日所行二百四十里相加得三

　　　　　　百三十里以甲次日所行二百七十里
　　　　　　与初日所行六十里相加亦得三百三
　　　　　　十里是两人同行俱到也(此较数/比例法)
设如有甲乙二商各有本银生理但知乙本银比甲
　本银多六两数年得利之后甲本利共银比原银
　为十一倍乙本利共银比原银为七倍而两人之
　银适等问二人原有本银各几何
　　　　　　法借一根为甲本银数则乙本银为一

　　　　　　根多六两甲本利共银既比原银为十
　　　　　　一倍则以十一乘一根得十一根为甲
　　　　　　本利共银数乙本利共银既比原银为
　　　　　　七倍则以七乘一根多六两得七根多
　　　　　　四十二两为乙本利共银数是为甲十
　　　　　　一根与乙七根多四十二两相等十一
　　　　　　根与七根各减七根馀四根与四十二
　　　　　　两相等四根既与四十二两相等则一
　　　　　　根必与十两零五钱相等即甲原银之

　　　　　　数十一乘之得一百一十五两五钱即

　　　　　　甲本利共银之数以六两与十两零五
　　　　　　钱相加得一十六两五钱即乙原银之
　　　　　　数七因之亦得一百一十五两五钱为
　　　　　　乙本利共银之数也(此较数比例法用/叠借互徵法算之)
　　　　　　(亦/可)
设如甲乙二人分银其数相等甲银外加三百两乙
　银外加六十五两则甲之共银三倍于乙问二人
　原各分银若干

　　　　　　法借一根为原分银之数则乙之共银
　　　　　　为一根多六十五两甲之共银为一根
　　　　　　多三百两甲之共银既三倍于乙则将
　　　　　　乙之共银一根多六十五两三倍之为
　　　　　　三根多一百九十五两即与甲之共银
　　　　　　一根多三百两相等矣三根多一百九
　　　　　　十五两与一根多三百两各减一百九
　　　　　　十五两则馀三根与一根多一百零五
　　　　　　两相等三根与一根再各减去一根则

　　　　　　馀二根与一百零五两相等二根既与

　　　　　　一百零五两相等则一根必与五十二
　　　　　　两五钱相等前既借一根为原分银之
　　　　　　数则此五十二两五钱即原分银之数
　　　　　　矣以五十二两五钱与六十五两相加
　　　　　　得一百一十七两五钱为乙之共银数
　　　　　　以五十二两五钱与三百两相加得三
　　　　　　百五十二两五钱为甲之共银数即乙
　　　　　　之共银之三倍也(此较数比例法用叠/借互徵法算之亦可)

设如金球十二银球十八其轻重适等若将银球七
　换金球七则银球边多三百二十二两问金球银
　球各重几何
　　　　　　法借一根为金球换银球之差数以七
　　　　　　乘之得七根为七金球换七银球之差
　　　　　　数是为七根与三百二十二两相等七
　　　　　　根既与三百二十二两相等则一根必
　　　　　　与四十六两相等即一金球一银球相
　　　　　　换之差数一金球一银球相换之差数

　　　　　　既为四十六两则一金球比一银球之

　　　　　　重必差二十三两一金球比一银球既
　　　　　　重二十三两则十二金球比十二银球
　　　　　　必重二百七十六两如以银球再加六
　　　　　　个(十八/个)即与十二金球等是银球六个
　　　　　　与二百七十六两相等也乃以六归之
　　　　　　得四十六两即一银球之重数加二十
　　　　　　三两得六十九两即一金球之重数以
　　　　　　四十六两与十八银球相乘得八百二

　　　　　　十八两以六十九两与十二金球相乘
　　　　　　亦得八百二十八两也(此较数/比例法)
设如一人买鞋十二疋一人买䌷三十二疋用银适
　等但知缎每疋价比䌷每疋价多六两问䌷缎价
　银各若干
　　　　　　法借一根为䌷价则缎价为一根多六
　　　　　　两各以总数乘之则䌷总价得三十二
　　　　　　根缎总价得十二根多七十二两是为
　　　　　　䌷价三十二根与缎价十二根多七十

　　　　　　二两相等三十二根与十二根各减去

　　　　　　十二根则馀二十根与七十二两相等
　　　　　　二十根既与七十二两相等则一根必
　　　　　　与三两六钱相等即䌷每疋之价加缎
　　　　　　每疋比䌷每疋多六两得九两六钱即
　　　　　　缎每疋之价以九两六钱乘十二疋得
　　　　　　一百一十五两二钱为缎总价以三两
　　　　　　六钱乘三十二疋亦得一百一十五两
　　　　　　二钱为䌷总价两数适等也(此较数/比例法)

设如甲乙二人共买缎一百疋甲买三十八疋止与
　银三百一十二两乙买六十二疋止与银六百两
　而两人所欠之银适等问缎价及欠银各若干
　　　　　　法借一根为缎每疋价银数则甲三十
　　　　　　八疋总银数为三十八根又甲止与银
　　　　　　三百一十二两则甲所欠之银即为三
　　　　　　十八根少三百一十二两乙六十二疋
　　　　　　总银数为六十二根又乙止与银六百
　　　　　　两则乙所欠之银即为六十二根少六

　　　　　　百两是为甲三十八根少三百一十二

　　　　　　两与乙六十二根少六百两相等少三
　　　　　　百一十二两与少六百两各加六百两
　　　　　　得三十八根多二百八十八两与六十
　　　　　　二根相等(乙为六十二根少六百两今/加六百两则补足六十二根)
　　　　　　(整数甲为三十八根少三百一十二两/今加六百两以三百一十二两补原少)
　　　　　　(之数则止多二/百八十八两也)又三十八根与六十二
　　　　　　根各减去三十八根则馀二十四根与
　　　　　　二百八十八两相等二十四根既与二

　　　　　　百八十八两相等则一根必与十二两
　　　　　　相等即缎每疋之价银数再以十二两
　　　　　　乘三十八疋得四百五十六两即甲所
　　　　　　买缎之总银数内减甲与银三百一十
　　　　　　二两馀一百四十四两为甲所欠银数
　　　　　　又以十二两乘六十二疋得七百四十
　　　　　　四两为乙所买缎之总银数内减乙与
　　　　　　银六百两亦馀一百四十四两为乙所
　　　　　　欠银数也(此较数/比例法)

设如有米分给大小二等工人但知小工人数比大

　工人数为七倍大工人给米一升二合小工人给
　米八合共给过米五石四斗四升问人数米数各
　几何
　　　　　　法借一根为大工人之数则七根为小
　　　　　　工人之数以一根与一升二合相乘(作/一)
　　　　　　(十二/合)得一十二根为大工人米数以七
　　　　　　根与八合相乘得五十六根为小工人
　　　　　　米数两米数相加得六十八根与五石

　　　　　　四斗四升相等六十八根既与五石四
　　　　　　斗四升相等则十二根必与九斗六升
　　　　　　相等前既以十二根为大工人米数则
　　　　　　与十二根相等之九斗六升即大工人
　　　　　　之米数爰以大工人每人所得一升二
　　　　　　合除之得八十人与一根相等即大工
　　　　　　人之数七因之得五百六十即小工人
　　　　　　之数以八合乘之得四石四斗八升即
　　　　　　小工人之米数也(此和较比例法用叠/借互徵法算之亦可)

设如有银一百两分给大小二等匠人共一百名大

　匠人每人给银一两五钱小匠人每人给银五钱
　问大小匠人各若干
　　　　　　法借一根为大匠人数则小匠人为一
　　　　　　百少一根以一两五钱与一根相乘得
　　　　　　十五根为大匠人共银数又以五钱与
　　　　　　一百少一根相乘得五十两(作五/百钱)少五
　　　　　　根为小匠人共银数两银数相加得五
　　　　　　十两(作五/百钱)多十根(原少五根加十五/根则反多十根也)与

　　　　　　银一百两(作一/千钱)相等五十两与一百两
　　　　　　各减去五十两则馀十根与五十两相
　　　　　　等十根既与五十两相等则十五根必
　　　　　　与七十五两(即七百/五十钱)相等前既以十五
　　　　　　根为大匠人共银数则与十五根相等
　　　　　　之七十五两即大匠人之共银数爰以
　　　　　　大匠人每人所得一两五钱除之得五
　　　　　　十人与一根相等即大匠人之数于共
　　　　　　一百人内减大匠人五十人馀五十人

　　　　　　即小匠人之数以五钱乘之得二十五

　　　　　　两即小匠人之共银数也(此和较比例/法用方程法)
　　　　　　(算之/亦可)
设如有银一百两分赏马步兵共一百名马兵一人
　赏三两步兵三人赏一两问马步兵各若干
　　　　　　法借一根为步兵所得银数则马兵所
　　　　　　得银数即为三根相加得四根为马步
　　　　　　兵共得银数是为四根与一百两相等
　　　　　　四根既与一百两相等则一根必与二

　　　　　　十五两相等即步兵所得银数于一百
　　　　　　两内减之馀七十五两为马兵所得银
　　　　　　数以每人三两归之得二十五即马兵
　　　　　　人数于一百名内减之馀七十五即步
　　　　　　兵人数也(此和较/比例法)
设如鸡兔同笼但知共头三十六共足一百问鸡兔
　各若干
　　　　　　法借一根为兔数则鸡为三十六少一
　　　　　　根以兔四足乘兔一根得四根为兔之

　　　　　　共足数以鸡二足乘鸡三十六少一根

　　　　　　得七十二少二根为鸡之共足数两数
　　　　　　相加得七十二多二根与一百相等七
　　　　　　十二与一百各减七十二则馀二根与
　　　　　　二十八相等二根既与二十八相等则
　　　　　　一根必与十四相等即兔数于共三十
　　　　　　六内减兔十四馀二十二即鸡数兔十
　　　　　　四以四足乘之得五十六为兔共足数
　　　　　　鸡二十二以二足乘之得四十四为鸡

　　　　　　共足数相加得一百以合原数也(此和/较比)
　　　　　　(例/法)
设如有人行路乘马乘船共六十三日乘马日行一
　百六十里乘船日行一百四十四里乘船所行之
　里数比乘马所行之里数为十八倍问乘马乘船
　之日数各若干
　　　　　　法借一根为乘马之日数则乘船之日
　　　　　　数为六十三日少一根以一根与一百
　　　　　　六十里相乘得一百六十根为乘马所

　　　　　　行之里数以六十三日少一根与一百

　　　　　　四十四里相乘得九千零七十二里少一
　　　　　　百四十四根为乘船所行之里数乘船
　　　　　　所行里数既为乘马所行里数之十
　　　　　　八倍则以十八乘乘马所行之里数一
　　　　　　百六十根得二千八百八十根是为二
　　　　　　千八百八十根与九千零七十二里少
　　　　　　一百四十四根相等二千八百八十根
　　　　　　与少一百四十四根各加一百四十四

　　　　　　根得三千零二十四根与九千零七十
　　　　　　二里相等三千零二十四根既与九千
　　　　　　零七十二里相等则一百六十根必与
　　　　　　四百八十里相等前既以一百六十根
　　　　　　为乘马所行之里数则与一百六十根
　　　　　　相等之四百八十里即乘马所行之里
　　　　　　数以乘马每日所行一百六十里除之
　　　　　　得三日与一根相等即乘马所行之日
　　　　　　数以三日与六十三日相减馀六十日

　　　　　　为乘船所行之日数以乘船每日行一

　　　　　　百四十四里乘之得八千六百四十里
　　　　　　即乘船所行之里数为乘马所行之里
　　　　　　数之十八倍也(此和较比例法用叠/借互徵法算之亦可)
设如有青缎蓝缎二色共七十疋青缎每疋长四十
　七尺蓝缎每疋长六十尺其蓝缎总尺数比青缎
　总尺数多二十七尺问青缎蓝缎二色各若干
　　　　　　法借一根为青缎疋数则蓝缎为七十
　　　　　　疋少一根各以尺数乘之则青缎之总

　　　　　　尺数得四十七根蓝缎之总尺数得四
　　　　　　千二百尺少六十根于蓝缎总尺数内
　　　　　　减去比青缎所多之二十七尺得四千
　　　　　　一百七十三尺少六十根是为青缎四
　　　　　　十七根与蓝缎四千一百七十三尺少
　　　　　　六十根相等四十七根与少六十根各
　　　　　　加六十根得一百零七根与四千一百
　　　　　　七十三尺相等一百零七根既与四千
　　　　　　一百七十三尺相等则四十七根必与

　　　　　　一千八百三十三尺相等前既以四十

　　　　　　七根为青缎之总尺数则与四十七根
　　　　　　相等之一千八百三十三尺即青缎之
　　　　　　总尺数以每疋长四十七尺除之得三
　　　　　　十九疋与一根相等即青缎之疋数以
　　　　　　三十九疋与七十疋相减馀三十一疋
　　　　　　即蓝缎之疋数以三十一疋与六十尺
　　　　　　相乘得一千八百六十尺即蓝缎之总
　　　　　　尺数比青缎多二十七尺也(此和较/比例法)

设如有人买绢䌷二色共价银一百二十七两四钱
　绢一尺价银七分䌷一尺价银一钱四分其绢之
　尺数比䌷之尺数为五倍问绢䌷尺数各若干
　　　　　　法借一根为䌷之尺数则绢之尺数为
　　　　　　五根以䌷价一钱四分(作一十/四分)乘一根
　　　　　　得一十四根为䌷共价以绢价七分乘
　　　　　　五根得三十五根为绢共价两数相加
　　　　　　共得四十九根是为四十九根与一百
　　　　　　二十七两四钱相等四十九根既与一

　　　　　　百二十七两四钱相等则十四根必与

　　　　　　三十六两四钱相等前既以十四根为
　　　　　　䌷共价则与十四根相等之三十六两
　　　　　　四钱即䌷之共价以䌷每尺价一钱四
　　　　　　分除之得二百六十尺与一根相等即
　　　　　　䌷之尺数五因之得一千三百尺即绢
　　　　　　之尺数也(此和较/比例法)
设如甲有十成银一百二十四两丙有三成银不知
　数但知将二色银镕于一处则俱为五成银问三

　成银几何
　　　　　　法借一根为丙银数因二色银镕于一
　　　　　　处俱为五成故以五成与丙银三成相
　　　　　　减馀二成为每两所少之数以五成与
　　　　　　甲银十成相减馀五成为每两所多之
　　　　　　数乃以每两所少二成乘丙银一根得
　　　　　　二根以每两所多五成乘甲银一百二
　　　　　　十四两得六百二十成是为二根与六
　　　　　　百二十成相等(丙之所少即甲之/所多其数相等也)以丙

　　　　　　银每两少二成除之则得一根与三百

　　　　　　一十两相等前既借一根为丙银数则
　　　　　　与一根相等之三百一十两即丙之银
　　　　　　数也(此和较/比例法)
设如有银大小共九百二十四锭重二百七十六两
　大锭重三分两之一小锭重七分两之二问大小
　锭各若干
　　　　　　法借一根为大锭数则小锭为九百二
　　　　　　十四锭少一根因大锭重三分两之一

　　　　　　小锭重七分两之二其分母不同乃以
　　　　　　两分母三与七相乘得二十一为共母
　　　　　　数又以小锭分母七互乘大锭分子一
　　　　　　得七即变三分之一为二十一分之七
　　　　　　为大锭之重数又以大锭分母三互乘
　　　　　　小锭分子二得六即变七分之二为二
　　　　　　十一分之六为小锭之重数乃以一根
　　　　　　与大锭分子七相乘得七根为大锭之
　　　　　　重数以九百二十四锭少一根与小锭

　　　　　　分子六相乘得五千五百四十四少六

　　　　　　根为小锭之重数两数相加得五千五
　　　　　　百四十四多一根为共重数又各重数
　　　　　　既皆通为二十一分则共重二百七十
　　　　　　六两亦以分母二十一通之得五千七
　　　　　　百九十六是为五千五百四十四多一
　　　　　　根与五千七百九十六相等五千五百
　　　　　　四十四与五千七百九十六各减五千
　　　　　　五百四十四则馀一根与二百五十二

　　　　　　相等即大锭之共数与共九百二十四
　　　　　　锭相减馀六百七十二为小锭之共数
　　　　　　以大锭重三分两之一与大锭共数相
　　　　　　乘得八十四两为大锭之共重数以小
　　　　　　锭重七分两之二与小锭共数相乘得
　　　　　　一百九十二两为小锭之共重数相加
　　　　　　得二百七十六两以合原数也(此和较/比例法)
设如众人雇船每人出银一两二钱则少四两四钱
　每人出银一两五钱则多八两二钱问人数及船

　价银各若干

　　　　　　法借一根为人数以一根与一两五钱
　　　　　　相乘得十五根则船价银为十五根少
　　　　　　八两二钱又以一根与一两二钱相乘
　　　　　　得十二根则船价银又为十二根多四
　　　　　　两四钱此二数为相等两边各加八两
　　　　　　二钱得十五根与十二根多十二两多
　　　　　　钱相等两边再各减十二根则馀三根
　　　　　　与十二两六钱相等三根既与十二两

　　　　　　六钱相等则一根必与四两二钱相等
　　　　　　前既借一根为人数则此四两二钱即
　　　　　　为四十二人为雇船之人数以每人出
　　　　　　一两二钱乘之得五十两零四钱再加
　　　　　　四两四钱得五十四两八钱为船价以
　　　　　　每人出一两五钱乘之得六十三两减
　　　　　　去八两二钱亦为五十四两八钱两数
　　　　　　相同也(此盈/朒法)
设如有银买缎二色下号缎每疋价银八两上号缎

　每疋价银十一两若俱买下号者则银多二百九

　十六两若俱买上号者则银多三十二两问缎数
　及银数各若干
　　　　　　法借一根为缎数以一根与十一两相
　　　　　　乘得十一根为上号缎共价则共银为
　　　　　　十一根多三十二两又以一根与八两
　　　　　　相乘得八根为下号缎共价则共银为
　　　　　　八根多二百九十二两此二数为相等
　　　　　　两边各减三十二两得十一根与八根

　　　　　　多二百六十四两相等两边再各减八
　　　　　　根则馀三根与二百六十四两相等三
　　　　　　根既与二百六十四两相等则一根必
　　　　　　与八十八两相等前既借一根为缎数
　　　　　　则此八十八两即为八十八疋为缎之
　　　　　　总数以每疋八两乘之得七百零四两
　　　　　　为下号缎共价数加多二百九十六两
　　　　　　得一千两为共有银数以每疋十一两
　　　　　　乘之得九百六十八两为上号缎共价

　　　　　　数加多三十二两亦得一千两两数相

　　　　　　同也(此盈/朒法)
设如有井一口不知其深有绳一条不知其长但知
　取绳六分之一比井深少三尺四寸取绳四分之
　一比井深适等问井深及绳长各若干
　　　　　　法借二十四根为绳长数(两分母相/乘之数)取
　　　　　　其四分之一得六根则井深即为六根
　　　　　　又取其六分之一得四根则井深又为
　　　　　　四根多三尺四寸此二数为相等两边

　　　　　　各减四根得二根与三尺四寸相等二
　　　　　　根既与三尺四寸相等则一根必与一
　　　　　　尺七寸相等而二十四根必与四丈零
　　　　　　八寸相等即绳之长数也取其六分之
　　　　　　一得六尺八寸再加三尺四寸共得一
　　　　　　丈零二寸为井深或取其四分之一亦
　　　　　　得一丈零二寸两数相同也(此盈/朒法)
设如有人买房用本银三分之二则比房价多五十
　九两用本银五分之二则比房价少四十九两八

　钱问本银房价各若干

　　　　　　法借十五根为本银数(两分母相/乘之数)以用
　　　　　　本银三分之二比房价多五十九两计
　　　　　　之则房价为十根少五十九两以用本
　　　　　　银五分之二比房价少四十九两八钱
　　　　　　计之则房价又为六根多四十九两八
　　　　　　钱此二数为相等两边各加五十九两
　　　　　　得十根与六根多一百零八两八钱相
　　　　　　等两边再各减去六根则馀四根与一

　　　　　　百零八两八钱相等四根既与一百零
　　　　　　八两八钱相等则一根必与二十七两
　　　　　　二钱相等而十五根必与四百零八两
　　　　　　相等即本银数取其三分之二得二百
　　　　　　七十二两减多五十九两得二百一十
　　　　　　三两为房价数又将本银取其五分之
　　　　　　二得一百六十三两二钱加少四十九
　　　　　　两八钱亦得二百一十三两两数相同
　　　　　　也(此盈/朒法)

设如有银分给二等人其上等人比下等人多一倍

　上等人比下等人每人多得四两今欲与下等人
　每人三两则银多七十三两每人四两则银少二
　十两问人数及银数各若干
　　　　　　法借一根为下等人数则上等人数为
　　　　　　二根以一根与四两相乘得四根为下
　　　　　　等人所得共银数以二根与八两(下等/每人)
　　　　　　(四两上等多四/两故每人八两)相乘得十六根为上等
　　　　　　人所得共银数两数相加得二十根为

　　　　　　上下二等人所得共银数则原银数即
　　　　　　为二十根少二十两又以一根与三两
　　　　　　相乘得三根为下等人所得共银数以
　　　　　　二根与七两相乘得十四根为上等人
　　　　　　所得共银数两数相加得十七根为上
　　　　　　下二等人所得共银数则原银数即为
　　　　　　十七根多七十三两此两数为相等两
　　　　　　边各加二十两得二十根与十七根多
　　　　　　九十三两相等两边再各减十七根则

　　　　　　馀三根与九十三两相等三根既与九

　　　　　　十三两相等则一根必与三十一两相
　　　　　　等前既借一根为下等人数则此三十
　　　　　　一两即为三十一人为下等人数倍之
　　　　　　得六十二人即上等人数以下等三十
　　　　　　一人用三两乘之得九十三两以上等
　　　　　　六十二人用七两乘之得四百三十四
　　　　　　两两数相加共得五百二十七两再加
　　　　　　所多七十三两得六百两为原银数若

　　　　　　以下等三十一人用四两乘之得一百
　　　　　　二十四两以上等六十二人用八两乘
　　　　　　之得四百九十六两两数相加共得六
　　　　　　百二十两减去所少二十两亦得六百
　　　　　　两两数相同也(此盈/朒法)
设如有人分银不言人数亦不言银数但知每四人
　分银十八两则银少八两每三人分银十一两则
　银多十二两问人数及银数各若干
　　　　　　法借十二根为人数以四人分银十八

　　　　　　两计之则每人应得四两五钱爰以四

　　　　　　两五钱乘十二根得五十四根为共分
　　　　　　银之数而原银即为五十四根少八两
　　　　　　以三人分银十一两计之则每人应得
　　　　　　三两又三分两之二爰以三两又三分
　　　　　　两之二乘十二根得四十四根为共分
　　　　　　银之数而原银又为四十四根多十二
　　　　　　两此两数为相等两边各加八两得五
　　　　　　十四根与四十四根多二十两相等两

　　　　　　边各减四十四根得十根与二十两相
　　　　　　等十根既与二十两相等则十二根必
　　　　　　与二十四两相等前既借十二根为人
　　　　　　数则此二十四两即为二十四人为共
　　　　　　人数也以三人为一率十一两为二率
　　　　　　二十四人为三率求得四率八十八两
　　　　　　加多十二两共一百两为原银数或以
　　　　　　四人为一率十八两为二率二十四人
　　　　　　为三率求得四率一百零八两减少八

　　　　　　两亦得一百两两数相同也(此双套/盈朒法)

设如有一商人贩缎不言每疋价银之数亦不言每
　疋税银之数但知贩缎八十疋纳税用缎四疋则
　多银二两贩缎三百一十疋纳税用缎十四疋则
　少银六两五钱问每疋价银及税银几何
　　　　　　法借一根为缎一疋之价银数以纳税
　　　　　　用缎四疋多银二两计之则缎八十疋
　　　　　　之税银数为四根少银二两以纳税用
　　　　　　缎十四疋少银六两五钱计之则缎三

　　　　　　百一十疋之税银数为十四根多银六
　　　　　　两五钱此两缎数不相等故难用比例
　　　　　　须用互乘法以八十疋与三百一十疋
　　　　　　相乘得二万四千八百疋为共缎数乃
　　　　　　以三百一十疋乘四根少银二两得一
　　　　　　千二百四十根少银六百二十两为二
　　　　　　万四千八百疋之税银数又以八十疋
　　　　　　乘十四根多银六两五钱得一千一百
　　　　　　二十根多五百二十两亦为二万四千

　　　　　　八百疋之税银数此两缎数既为相等

　　　　　　故乘出之税银数亦为相等两边各加
　　　　　　六百二十两得一千二百四十根与一
　　　　　　千一百二十根多一千一百四十两相
　　　　　　等两边再各减一千一百二十根则馀
　　　　　　一百二十根与一千一百四十两相等
　　　　　　一百二十根既与一千一百四十两相
　　　　　　等则一根必与九两五钱相等即缎一
　　　　　　疋之价银数以缎四疋与银九两五钱

　　　　　　相乘得三十八两减去多二两馀三十
　　　　　　六两即缎八十疋之税银数以八十疋
　　　　　　除三十六两得四钱五分即缎一疋之
　　　　　　税银数以四钱五分与缎三百一十疋
　　　　　　相乘得一百三十九两五钱即缎三百
　　　　　　一十疋之税银数又以缎十四疋与九
　　　　　　两五钱相乘得一百三十三两再加少
　　　　　　六两五钱亦得一百三十九两五钱两
　　　　　　数相同也(此双套/盈朒法)

设如有银一千二百零九两令甲乙二人分之取甲

　四分之一与乙三分之一相加即与甲银等问二
　人各得几何
　　　　　　法借十二根(两分母/相乘数)为甲银数则乙银
　　　　　　为一千二百零九两少十二根取甲银
　　　　　　四分之一为三根取乙银三分之一为
　　　　　　四百零三两少四根相加得四百零三
　　　　　　两少一根是为十二根与四百零三两
　　　　　　少一根相等十二根与少一根各加一

　　　　　　根得十三根与四百零三两相等十三
　　　　　　根既与四百零三两相等则十二根必
　　　　　　与三百七十二两相等即甲银数于总
　　　　　　银内减甲银数馀八百三十七两即乙
　　　　　　银数取甲银四分之一得九十三两取
　　　　　　乙银三分之一得二百七十九两相加
　　　　　　得三百七十二两与甲银等也(此借衰/互徵法)
　　　　　　(用方程法/算之亦可)
设如有银一千两令甲乙丙三人分之乙所得之数

　倍于甲仍多三十两丙所得之数倍于乙问每人

　各得若干
　　　　　　法借一根为甲银数则乙为二根多三
　　　　　　十两丙为四根多六十两三数相并共
　　　　　　得七根多九十两而与一千两相等九
　　　　　　十两与一千两各减九十两馀七根与
　　　　　　九百一十两相等七根既与九百一十
　　　　　　两相等则一根必与一百三十两相等
　　　　　　即甲所得银数倍之再加三十两得二

　　　　　　百九十两为乙所得银数又倍之得五
　　　　　　百八十两为丙所得银数也(此借衰互/徵法用方)
　　　　　　(程法算/之亦可)
设如甲乙丙三人分银六千两乙得甲三分之一丙
　得乙二分之一问三人各得几何
　　　　　　法借一根为甲银数则乙银为三分根
　　　　　　之一丙银为六分根之一三数相加得
　　　　　　六分根之九(以甲一根为六分则乙为/六分根之二丙为六分根)
　　　　　　(之一共得六分根/之九即一根半)与六千两相等各以

　　　　　　六乘之得九根与三万六千两相等九

　　　　　　根既与三万六千两相等则一根必与
　　　　　　四千两相等即甲银数三分之得一千
　　　　　　三百三十三两又三分两之一为乙银
　　　　　　数又二分之得六百六十六两又三分
　　　　　　两之二为丙银数也
　　　　　　又法借一根为丙银数则乙银为二根
　　　　　　甲银为六根相加得九根与六千两相
　　　　　　等九根既与六千两相等则一根必与

　　　　　　六百六十六两又三分两之二相等即
　　　　　　丙银数倍之得一千三百三十三两又
　　　　　　三分两之一为乙银数三因之得四千
　　　　　　两即甲银数也(此借衰/互徵法)
设如有金银锡铜四色不言重数但知共数五分之
　二为铜数金银锡共数七分之四为锡数金银共
　数八分之五为银数金重三千零二十四两问四
　色各重若干
　　　　　　法借二百八十根为共数(用三分母连/乘之数取其)

　　　　　　(可以度/尽也)取其五分之二得一百一十二

　　　　　　根为铜数与二百八十根相减馀一百
　　　　　　六十八根为金银锡之共数取其七分
　　　　　　之四得九十六根为锡数与一百六十
　　　　　　八根相减馀七十二根为金银之共数
　　　　　　又取其八分之五得四十五根为银数
　　　　　　与七十二根相减馀二十七根为金数
　　　　　　是为二十七根与三千零二十四两相
　　　　　　等二十七根既与三千零二十四两相

　　　　　　等则一根必与一百一十二两相等四
　　　　　　十五根必与五千零四十两相等即银
　　　　　　数九十六根必与一万零七百五十二
　　　　　　两相等即锡数一百一十二根必与一
　　　　　　万二千五百四十四两相等即铜数四
　　　　　　数相加共得三万一千三百六十两以
　　　　　　所借共重二百八十根与每一根之一
　　　　　　百一十二两相乘亦得三万一千三百
　　　　　　六十两为四色之共数也(此借衰/互徵法)

设如有银三百五十六两分与三等人一等五人二

　等四人三等三人一等所得倍于二等内少二两
　二等所得倍于三等又多四两问三等人每人各
　得几何
　　　　　　法借一根为三等一人所得银数则二
　　　　　　等一人所得银数为二根多四两一等
　　　　　　一人所得银数为四根多六两以各等
　　　　　　共人数因之则三等所得共银数为三
　　　　　　根二等所得共银数为八根多十六两

　　　　　　一等所得共银数为二十根多三十两
　　　　　　三数相加共得三十一根多四十六两
　　　　　　为与三百五十六两相等三十一根多
　　　　　　四十六两与三百五十六两各减去四
　　　　　　十六两则馀三十一根与三百一十两
　　　　　　相等三十一根既与三百一十两相等
　　　　　　则一根必与十两相等即三等一人所
　　　　　　得银数倍之加四两得二十四两即二
　　　　　　等一人所得银数又倍之减二两得四

　　　　　　十六两即一等一人所得银数三等三

　　　　　　人共得三十两二等四人共得九十六
　　　　　　两一等五人共得二百三十两三数相
　　　　　　加共得三百五十六两以合原数也(此/借)
　　　　　　(衰互/徵法)
设如甲丙二人共有米三百八十四石甲纳官八分
　之一丙纳官六分之一共纳五十四石问二人原
　米及纳官米各若干
　　　　　　法借一根为甲纳米数则丙纳米为五

　　　　　　十四石少一根将甲纳米一根八因之
　　　　　　得八根为甲原米数丙纳米五十四石
　　　　　　少一根六因之得三百二十四石少六
　　　　　　根为丙原米数相加得三百二十四石
　　　　　　多二根为甲丙共米数是为三百二十
　　　　　　四石多二根与三百八十四石相等三
　　　　　　百二十四石与三百八十四石各减去
　　　　　　三百二十四石馀二根与六十石相等
　　　　　　二根既与六十石相等则一根必与三

　　　　　　十石相等即甲所纳米数八因之得二

　　　　　　百四十石为甲原米数以甲原米数与
　　　　　　三百八十四石相减馀一百四十四石
　　　　　　为丙原米数六归之得二十四石即丙
　　　　　　所纳米数也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如甲乙二人不言本银若干但知以乙本银三分
　之一与甲本银相加再加六十两共得一千两以
　甲本银五分之一与乙本银相加亦得一千两问
　二人本银各几何

　　　　　　法借十五根(两分母/相乘数)为乙本银数以乙
　　　　　　三分之一与甲本银相加又加六十两
　　　　　　共得一千两计之则甲本银应得九百
　　　　　　四十两少五根取其五分之一则为一
　　　　　　百八十八两少一根以甲本银五分之
　　　　　　一一百八十八两少一根与乙本银十
　　　　　　五根相加得一百八十八两多十四根
　　　　　　与一千两相等一边一百八十八两一
　　　　　　边一千两各减去一百八十八两则得

　　　　　　十四根与八百一十二两相等十四根

　　　　　　既与八百一十二两相等则一根必与
　　　　　　五十八两相等前既借十五根为乙本
　　　　　　银数乃以十五乘之得八百七十两即
　　　　　　乙本银数取其三分之一得二百九十
　　　　　　两与一千两相减又减六十两馀六百
　　　　　　五十两即甲本银数也(此叠借互徵法/用方程法算之)
　　　　　　(亦/可)
设如甲乙二商不言本银若干但知各得利银九十

　两其甲之本利共银三倍于乙之本银乙之本利
　共银二倍于甲之本银问每人本银几何
　　　　　　法借三根为甲之本银数加利银九十
　　　　　　两得三根多九十两为甲之本利共银
　　　　　　数甲之本利共银既三倍于乙之本银
　　　　　　则乙之本银数即为一根多三十两再
　　　　　　加利银九十两得一根多一百二十两
　　　　　　为乙之本利共银数亦为甲之本银之
　　　　　　二倍也乃以甲之本银三根倍之得六

　　　　　　根与乙之一根多一百二十两相等六

　　　　　　根与一根各减去一根则馀五根与一
　　　　　　百二十两相等五根既与一百二十两
　　　　　　相等则三根必与七十二两相等即甲
　　　　　　之本银数加利银九十两得一百六十
　　　　　　二两三归之得五十四两为乙之本银
　　　　　　数以乙本银五十四两加利银九十两
　　　　　　共一百四十四两为甲之本银之二倍
　　　　　　也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)

设如甲丙二人有银不言其数但知甲银加九两为
　丙银之三倍丙银加七两为甲银之二倍问二人
　各银若干
　　　　　　法借六根(三倍二倍/相乘数)为甲银数加九两
　　　　　　为六根多九两甲银加九两既为丙银
　　　　　　之三倍则以三归之得二根多三两为
　　　　　　丙银数加七两为二根多十两丙银加
　　　　　　七两既为甲银之二倍则以二归之得
　　　　　　一根多五两仍为甲银数先借六根与

　　　　　　今所得一根多五两既同为甲银数则

　　　　　　其数必等六根与一根各减一根馀五
　　　　　　根与五两相等五根既与五两相等则
　　　　　　六根必与六两相等即甲银数加九两
　　　　　　得一十五两三归之得五两即丙银数
　　　　　　加七两得一十二两即甲银六两之二
　　　　　　倍也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如甲丙二人有银不言其数但知将丙银与甲二
　两则甲银为丙银之二倍若将甲银与丙三两则

　丙银为甲银之三倍问二人各银若干
　　　　　　法借六根(二倍三倍/相乘数)为甲原银数加丙
　　　　　　与甲二两得六根多二两以丙银与甲
　　　　　　二两则甲银为丙银之二倍计之则以
　　　　　　六根多二两半之得三根多一两为丙
　　　　　　馀银数丙先以二两与甲则丙之原银
　　　　　　必为三根多三两加甲与丙二两得三
　　　　　　根多六两以甲银与丙三两则丙银为
　　　　　　甲银之三倍计之则以三根多六两三

　　　　　　归之得一根多二两为甲馀银数甲先

　　　　　　以三两与丙则甲之原银必为一根多
　　　　　　五两夫先借六根与今所得一根多五
　　　　　　两既同为甲原银数则其数必等六根
　　　　　　与一根各减一根馀五根与五两相等
　　　　　　五根既与五两相等则六根必与六两
　　　　　　相等即甲原银之数加丙与甲二两得
　　　　　　八两半之得四两为丙馀银之数丙馀
　　　　　　银既为四两则原银必为六两加甲与

　　　　　　丙三两得九两三归之得三两即甲馀
　　　　　　银之数也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如甲乙二人共银一千二百四十两于甲银内加
　乙银四分之一乙银内加甲银五分之一其数相
　等问二人原银各几何
　　　　　　法借二十根(两分母/相乘数)为甲原银数则一
　　　　　　千二百四十两少二十根为乙原银数
　　　　　　甲原银五分之一为四根乙原银四分
　　　　　　之一为三百一十两少五根将甲原银

　　　　　　五分之一四根与乙原银一千二百四

　　　　　　十两少二十根相加得一千二百四十
　　　　　　两少十六根(原少二十根加入/四根止少十六根)将乙原
　　　　　　银四分之一三百一十两少五根与甲
　　　　　　原银二十根相加得三百一十两多十
　　　　　　五根(原二十根补乙少/五根馀十五根)此二数为相等
　　　　　　少十六根与多十五根各加十六根则
　　　　　　得一千二百四十两与三百一十两多
　　　　　　三十一根相等再一千二百四十两与

　　　　　　三百一十两各减三百一十两则馀九
　　　　　　百三十两与三十一根相等九百三十
　　　　　　两既与三十一根相等则六百两必与
　　　　　　二十根相等前既借二十根为甲原银
　　　　　　数则此六百两即甲原银之数以六百
　　　　　　两与一千二百四十两相减馀六百四
　　　　　　十两即乙原银之数若甲银内加乙原
　　　　　　银四分之一一百六十两乙银内加甲
　　　　　　原银五分之一一百二十两则俱为七

　　　　　　百六十两也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)

设如甲原有银五十两乙原有银八十两乙用过之
　银比甲用过之银为三分之一甲所馀之银比乙
　所馀之银亦为三分之一问二人用银及馀银各
　若干
　　　　　　法借一根为乙用过银数则甲用过之
　　　　　　银为三根而乙所馀之银为八十两少
　　　　　　一根甲所馀之银为五十两少三根甲
　　　　　　馀银既比乙馀银为三分之一则以甲

　　　　　　馀银五十两少三根三因之为一百五
　　　　　　十两少九根是为乙馀银八十两少一
　　　　　　根与甲馀银一百五十两少九根相等
　　　　　　少一根与少九根各加九根得八十两
　　　　　　多八根与一百五十两相等再八十两
　　　　　　与一百五十两各减八十两馀八根与
　　　　　　七十两相等八根既与七十两相等则
　　　　　　一根必与八两七钱五分相等即乙用
　　　　　　过银数三因之得二十六两二钱五分

　　　　　　即甲用过银数以甲用过银数与甲原

　　　　　　有银数相减馀二十三两七钱五分为
　　　　　　甲所馀银数三因之得七十一两二钱
　　　　　　五分即乙所馀银数也(此叠借互徵法/用方程法算之)
　　　　　　(亦/可)
设如甲乙丙三人有银不言数但知甲银比乙银所
　多之数与丙银四分之一相等乙银比丙银所多
　之数与甲银五分之一相等若以乙银五分之二
　与丙银相较则丙银多一百一十四两问三人各

　银几何
　　　　　　法借五根为乙银数则丙银数为二根
　　　　　　多一百一十四两于乙银数五根内减
　　　　　　去丙银数二根多一百一十四两馀三
　　　　　　根少一百一十四两为乙银比丙银所
　　　　　　多之数与甲银五分之一相等五因之
　　　　　　得一十五根少五百七十两为甲银数
　　　　　　又于甲银数一十五根少五百七十两
　　　　　　内减去乙银数五根馀十根少五百七

　　　　　　十两为甲银比乙银所多之数与丙银

　　　　　　四分之一相等四因之得四十根少二
　　　　　　千二百八十两亦为丙银数此四十根
　　　　　　少二千二百八十两与二根多一百一
　　　　　　十四两既同为丙银数是为相等乃于
　　　　　　二根多一百一十四两与四十根少二
　　　　　　千二百八十两各加二千二百八十两
　　　　　　得二根多二千三百九十四两与四十
　　　　　　根相等二根与四十根再各减二根则

　　　　　　馀三十八根与二千三百九十四两相
　　　　　　等三十八根既与二千三百九十四两
　　　　　　相等则一根必与六十三两相等而五
　　　　　　根必与三百一十五两相等即乙银数
　　　　　　丙银数既为二根多一百一十四两乃
　　　　　　以六十三两倍之得一百二十六两(即/二)
　　　　　　(根之数亦即乙/五分之二之数)加一百一十四两共得
　　　　　　二百四十两即丙银数甲银比乙银所
　　　　　　多之数既为丙银四分之一乃以丙银

　　　　　　数四归之得六十两与乙银三百一十

　　　　　　五两相加得三百七十五两即甲银数
　　　　　　也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如甲乙丙三人有银但知甲银七十两乙银三十
　四两而丙银不知数如以丙银与甲银相减又以
　丙银与乙银相减其甲银之馀则三倍于乙问丙
　银若干
　　　　　　法借一根为丙银数则甲丙相减之馀
　　　　　　为七十两少一根乙丙相减之馀为三

　　　　　　十四两少一根甲之馀银既三倍于乙
　　　　　　则以乙丙相减之馀三十四两少一根
　　　　　　三因之得一百零二两少三根是为七
　　　　　　十两少一根与一百零二两少三根相
　　　　　　等少一根与少三根各加三根得七十
　　　　　　两多二根与一百零二两相等七十两
　　　　　　与一百零二两各减七十两则馀二根
　　　　　　与三十二两相等二根既与三十二两
　　　　　　相等则一根必与十六两相等即丙银

　　　　　　数与甲银七十两相减馀五十四两与

　　　　　　乙银三十四两相减馀十八两是甲馀
　　　　　　银为乙馀银之三倍也(此叠借互徵法/用方程法算之)
　　　　　　(亦/可)
设如甲乙丙三人各有银不言数但知将乙银十两
　与甲则甲乙二人之银相等若将丙银十四两与
　乙则乙丙二人之银相等若将甲银十八两与丙
　则丙银比甲银为五倍问三人各银若干
　　　　　　法借一根为甲原银数则乙之原银必

　　　　　　为一根多二十两(以十两与甲则皆为/一根多十两其数相)
　　　　　　(等/)丙之原银必为一根多四十八两(乙/之)
　　　　　　(原银既为一根多二十两再加十四/两俱为一根多三十四两其数相等)又
　　　　　　甲之原银既为一根以十八两与丙计
　　　　　　之则为一根少十八两丙之原银既为
　　　　　　一根多四十八两今再加十八两则为
　　　　　　一根多六十六两此丙之一根多六十
　　　　　　六两比甲之一根少十八两既为五倍
　　　　　　则以甲之一根少十八两五因之得五

　　　　　　根少九十两而与丙之一根多六十六

　　　　　　两为相等少九十两与多六十六两各
　　　　　　加九十两得五根与一根多一百五十
　　　　　　六两相等五根与一根各减一根则馀
　　　　　　四根与一百五十六两相等四根既与
　　　　　　一百五十六两相等则一根必与三十
　　　　　　九两相等即甲原银之数甲原银既为
　　　　　　三十九两则乙原银必为五十九两以
　　　　　　十两与甲则皆得四十九两乙原银既

　　　　　　为五十九两则丙原银必为八十七两
　　　　　　以十四两与乙则皆得七十三两丙原
　　　　　　银既为八十七两甲原银既为三十九
　　　　　　两甲以十八两与丙则丙为一百零五
　　　　　　两而甲为二十一两是丙银比甲银为
　　　　　　五倍也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如甲乙丙三人有银但知甲银二万五千两乙得
　甲丙共银二分之一丙得甲乙共银八分之一问
　乙丙二人各银几何

　　　　　　法借二根为丙银数则甲乙共银数为

　　　　　　十六根乙银数为十六根少二万五千
　　　　　　两甲丙共银数为二根多二万五千两
　　　　　　半之又得乙银数为一根多一万二千
　　　　　　五百两十六根少二万五千两与一根
　　　　　　多一万二千五百两既同为乙银数则
　　　　　　为相等十六根少二万五千两与一根
　　　　　　多一万二千五百两各加二万五千两
　　　　　　得十六根与一根多三万七千五百两

　　　　　　相等十六根与一根各减一根则馀十
　　　　　　五根与三万七千五百两相等十五根
　　　　　　既与三万七千五百两相等则二根必
　　　　　　与五千两相等即丙银数与甲银二万
　　　　　　五千两相加得三万两半之得一万五
　　　　　　千两即乙银数也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如一商贸易不言本银若干但知第一次所得利
　银比本银为四分之一用去银二十两第二次所
　得利银比第二次本银为五分之二用去银十四

　两第三次所得利银比第三次本银为三分之一

　用去银十五两合计所馀利银共八十两问原本
　银及每次所得利银各几何
　　　　　　法借十二根为原本银数则第一次利
　　　　　　银为三根本利相加得十五根内减用
　　　　　　去银二十两得十五根少二十两为第
　　　　　　二次本银数取其五分之二得六根少
　　　　　　八两为第二次利银数本利相加得二
　　　　　　十一根少二十八两又减用去银十四

　　　　　　两得二十一根少四十二两为第三次
　　　　　　本银数取其三分之一得七根少十四
　　　　　　两为第三次利银数以第三次本利相
　　　　　　加得二十八根少五十六两又减用去
　　　　　　银十五两则为二十八根少七十一两
　　　　　　而原借十二根与所馀利银八十两遂
　　　　　　为十二根多八十两是为二十八根少
　　　　　　七十一两与十二根多八十两相等少
　　　　　　七十一两与多八十两各加七十一两

　　　　　　得二十八根与十二根多一百五十一

　　　　　　两相等二十八根与十二根各减十二
　　　　　　根得十六根与一百五十一两相等十
　　　　　　六根既与一百五十一两相等则十二
　　　　　　根必与一百一十三两二钱五分相等
　　　　　　即原本银数四归之得二十八两三钱
　　　　　　一分二釐五毫即第一次所得利银数
　　　　　　本利相加减用去二十两得一百二十
　　　　　　一两五钱六分二釐五毫即第二次本

　　　　　　银数取其五分之二得四十八两六钱
一　　　　　二分五釐即第二次所得利银数本利
一　　　　　相加又减用去十四两得一百五十六
　　　　　　两一钱八分七釐五毫即第三次本银
　　　　　　数三归之得五十二两零六分二釐五
　　　　　　毫即第三次所得利银数本利相加又
　　　　　　减用去十五两得一百九十三两二钱
　　　　　　五分即原本银与三次所馀共利银相
　　　　　　加之数盖原本银一百一十三两二钱

　　　　　　五分又加所馀共利银八十两即一百

　　　　　　九十三两二钱五分两数相等也(此叠/借互)
　　　　　　(徵/法)
设如有人贸易四次第一次所得利银比原本银为
　九分之一用去银比原本银为十二分之一第二
　次所得利银比原本银为六分之一用去银比原
　本银为九分之四第三次所得利银比原本银为
　四分之一用去银比原本银为二分之一第四次
　所得利银比原本银为三分之一用去银比原本

　银为三分之二合四次利银已用尽仍用本银六
　百两问本利银各若干
　　　　　　法借三十六根为本银数(借三十六者/以九与十二)
　　　　　　(与六皆系用三可以度尽之数独四与/九不能度尽故借四九相乘之数则各)
　　　　　　(分母皆可/以度尽也)则第一次利银为四根第二
　　　　　　次利银为六根第三次利银为九根第
　　　　　　四次利银为十二根四数相加共得三
　　　　　　十一根为四次利银之共数第一次用
　　　　　　去为三根第二次用去为十六根第三

　　　　　　次用去为十八根第四次用去为二十

　　　　　　四根四数相加共得六十一根为四次
　　　　　　用去银之共数以四次利银皆用尽仍
　　　　　　用本银六百两计之则四次利银之共
　　　　　　数三十一根仍如本银六百两乃与四
　　　　　　次用去银之共数六十一根相等也三
　　　　　　十一根与六十一根各减去三十一根
　　　　　　则馀三十根与六百两相等三十根既
　　　　　　与六百两相等则一根必与二十两相

　　　　　　等而三十六根必与七百二十两相等
　　　　　　即本银数三十一根又与六百二十两
　　　　　　相等即利银数六十一根又与一千二
　　　　　　百二十两相等即用去银数也(此叠借/互徵法)
设如甲乙丙丁四人同出银作生理内甲丙丁三人
　所出银不言数但知乙出银五两若将甲所出银
　二分之一与乙又将乙所出银五分之一与丙又
　将丙所出银七分之一与丁又将丁所出银九分
　之一与甲则四人所出之银皆相等问四人各出

　银若干

　　　　　　法借二根为甲出银数则甲将一根(二/分)
　　　　　　(之/一)与乙乙将一两(五分/之一)与丙是甲为一
　　　　　　根乙为一根多四两今以甲与乙相较
　　　　　　则数不相等盖因甲尚当得丁银九分
　　　　　　之一也甲因未得丁银九分之一故比
　　　　　　乙银少四两是四两即丁银之九分之
　　　　　　一也九分之一既为四两则三十六两
　　　　　　即为丁原银数丁既以四两与甲则丁

　　　　　　所馀止三十二两以丁三十二两与乙
　　　　　　一根多四两相较其数又不相等盖因
　　　　　　丁尚当得丙银七分之一也丁因未得
　　　　　　丙银七分之一故比乙银差一根少二
　　　　　　十八两(于乙一根多四两内减去三十/二两即馀一根少二十八两也)
　　　　　　是一根少二十八两即丙银之七分之
　　　　　　一也七分之一既为一根少二十八两
　　　　　　则七根少一百九十六两即为丙原银
　　　　　　数丙既以一根少二十八两与丁则丙

　　　　　　所馀为六根少一百六十八两再加乙

　　　　　　所与之一两则丙得六根少一百六十
　　　　　　七两矣夫四人既按分各与之则乙为
　　　　　　一根多四两甲馀一根又得丁四两亦
　　　　　　为一根多四两丁馀三十二两又得丙
　　　　　　一根少二十八两亦为一根多四两其
　　　　　　数皆相等则丙之六根少一百六十七
　　　　　　两亦必与一根多四两为相等矣少一
　　　　　　百六十七两与多四两各加一百六十

　　　　　　七两得六根与一根多一百七十一两
　　　　　　相等六根与一根各减一根则馀五根
　　　　　　与一百七十一两相等五根既与一百
　　　　　　七十一两相等则一根必与三十四两
　　　　　　二钱相等而二根必与六十八两四钱
　　　　　　相等即甲所出银数又七根必与二百
　　　　　　三十九两四钱相等内减去一百九十
　　　　　　六两(丙原为七根少/一百九十六两)馀四十三两四钱
　　　　　　为丙所出银数乃于丁所出银内减九

　　　　　　分之一(馀三十/二两)加丙银之七分之一(六/两)

　　　　　　(二/钱)得三十八两二钱于丙所出银内减
　　　　　　七分之一(馀三十七/两二钱)加乙银之五分之
　　　　　　一(一/两)亦得银三十八两二钱于乙所出
　　　　　　银内减五分之一(馀四/两)加甲银之二分
　　　　　　之一(三十四/两二钱)亦得银三十八两二钱于
　　　　　　甲所出银内减二分之一(馀三十四/两二钱)加
　　　　　　丁银之九分之一(四/两)亦得银三十八两
　　　　　　二钱也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)

设如甲乙丙丁戊五人各出银不言数但知甲乙共
　银二百四十两丙银为甲银三分之一丁银为乙
　银四分之一戊银七十二两与丙丁共数相等问
　五人各银若干
　　　　　　法借十二根为甲银数则乙银为二百
　　　　　　四十两少十二根丙银为四根丁银为
　　　　　　六十两少三根以丙丁二数相加得六
　　　　　　十两多一根而与戊银七十二两相等
　　　　　　七十二两与六十两各减六十两得十

　　　　　　二两与一根相等十二两既与一根相

　　　　　　等则十二根必与一百四十四两相等
　　　　　　即甲银数甲乙共银二百四十两内减
　　　　　　甲银数馀九十六两即乙银数将甲银
　　　　　　数三归之得四十八两即丙银数将乙
　　　　　　银数四归之得二十四两即丁银数也
　　　　　　(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙
　共得二百两丙丁共得二百两戊己共得二百两

　丙所得银比甲所得银为四分之一戊所得银比
　丁所得银为三分之一乙所得银比己所得银为
　二分之一问六人各分银几何
　　　　　　法借十二根为甲所得银数则乙所得
　　　　　　银为二百两少十二根丙所得银为三
　　　　　　根丁所得银为二百两少三根戊所得
　　　　　　银为六十六两又三分两之二少一根
　　　　　　(戊比丁为三分之一/以三除丁数即是)己所得银为四百
　　　　　　两少二十四根(乙比己为二分之一/以二乘乙数即是)以

　　　　　　戊己两数相加得四百六十六两又三

　　　　　　分两之二少二十五根是为二百两与
　　　　　　四百六十六两又三分两之二少二十
　　　　　　五根相等二百两与四百六十六两又
　　　　　　三分两之二少二十五根各加二十五
　　　　　　根得二百两多二十五根与四百六十
　　　　　　六两又三分两之二相等二百两与四
　　　　　　百六十六两又三分两之二各减二百
　　　　　　两则馀二十五根与二百六十六两又

　　　　　　三分两之二相等二十五根既与二百
　　　　　　六十六两又三分两之二相等则一根
　　　　　　必与十两又三分两之二相等三根必
　　　　　　与三十二两相等即丙所得银数四因
　　　　　　之得一百二十八两为甲所得银数甲
　　　　　　乙共得二百两内减甲所得银数馀七
　　　　　　十二两为乙所得银数丙丁共得二百
　　　　　　两内减丙所得银数馀一百六十八两
　　　　　　为丁所得银数乙所得银七十二两二

　　　　　　因之得一百四十四两为己所得银数

　　　　　　丁所得银一百六十八两三归之得五
　　　　　　十六两为戊所得银数也(此叠借互徵/法用方程法)
　　　　　　(算之/亦可)
设如有驼一群七十二个马一群不知数牛一群与
　驼马相并之数等羊一群与驼马相乘之数等又
　为牛数之六十倍问马牛羊各几何
　　　　　　法借一根为马数则一根多七十二为
　　　　　　牛数以驼数七十二与马数一根相乘

　　　　　　得七十二根为羊数再以牛数一根多
　　　　　　七十二与六十相乘得六十根多四千
　　　　　　三百二十亦为羊数此两数既同为羊
　　　　　　数则为相等七十二根与六十根各减
　　　　　　六十根则馀十二根与四千三百二十
　　　　　　相等十二根既与四千三百二十相等
　　　　　　则一根必与三百六十相等即马一群
　　　　　　之数与驼数相加得四百三十二即牛
　　　　　　一群之数再与六十相乘得二万五千

　　　　　　九百二十即羊一群之数以驼七十二

　　　　　　与马三百六十相乘亦得二万五千九
　　　　　　百二十为相等也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如有大小二石不知重数有铜条一根重十二两
　均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一
　头七分将大石挂于铜条之端离提系五分而以
　小石作砣称之离提系六分始平又将小石挂于
　铜条之端离提系五分而以大石作砣称之离提
　系四分始平问二石各重若干

　　　　　　法先以五分加一倍与十二分相减馀
　　　　　　二分折半得一分与五分相加为六分
　　　　　　乃以五分为一率六分为二率馀二分
　　　　　　之重二两为三率求得四率二两四钱
　　　　　　即五分之端加二两四钱始与七分相
　　　　　　平也今大石离提系五分小石离提系
　　　　　　六分而平是大石重六分小石重五分
　　　　　　而大石多二两四钱则小石为大石六
　　　　　　分之五而少二两也(铜条五分之端应/加二两四钱而平)

　　　　　　(今大石在五分之一头是大石多二两/四钱也将二两四钱以大石之六分除)

　　　　　　(之每分得四钱是大石比小石每分多/四钱以小石五分计之则大石比小石)
　　　　　　(多二两故小石为大石之/六分之五而少二两也)又小石离提
　　　　　　系五分大石离提系四分而平是小石
　　　　　　重四分大石重五分而小石多二两四
　　　　　　钱则小石为大石五分之四而多二两
　　　　　　四钱也(铜条五分之端应加二两四钱/而平今小石在五分之一头是)
　　　　　　(小石多二两四钱也将二两四钱以小/石之四分除之每分得六钱是小石比)
　　　　　　(大石每分多六钱以小石四分计之则/小石比大石多二两四钱故小石为大)

　　　　　　(石之五分之四而/多二两四钱也)乃借三十根(六分五/分相乘)
　　　　　　(之/数)为大石之重数以小石为大石六分
　　　　　　之五而少二两计之则小石之重为二
　　　　　　十五根少二两以小石为大石五分之
　　　　　　四而多二两四钱计之则小石之重又
　　　　　　为二十四根多二两四钱此两数为相
　　　　　　等两边各加二两得二十五根与二十
　　　　　　四根多四两四钱相等两边再各减去
　　　　　　二十四根馀一根与四两四钱相等一

　　　　　　根既与四两四钱相等则三十根必与

　　　　　　一百三十二两相等即大石之重数六
　　　　　　归之得二十二两五因之得一百一十
　　　　　　两减去二两得一百零八两即小石之
　　　　　　重数或以大石之重数五归之得二十
　　　　　　六两四钱四因之得一百零五两六钱
　　　　　　加二两四钱亦得一百零八两为小石
　　　　　　之重数也(此叠借互徵法用/方程法算之亦可)
设如有银买马牛二色马四匹牛八头共价五十六

　两又马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价
　若干
　　　　　　法借一根为牛一头之价则前牛八头
　　　　　　之共价为八根前马四匹之共价为五
　　　　　　十六两少八根而后牛五头之共价为
　　　　　　五根乃以前马四匹为一率共价五十
　　　　　　六两少八根为二率后马三匹为三率
　　　　　　求得四率四十二两少六根为后马三
　　　　　　匹之共价内加后牛五头之共价五根

　　　　　　得四十二两少一根为后马三匹牛五

　　　　　　头之共价与后共价三十八两相等四
　　　　　　十二两少一根与三十八两各加一根
　　　　　　得四十二两与三十八两多一根相等
　　　　　　四十二两与三十八两多一根再各减
　　　　　　去三十八两则馀四两与一根相等即
　　　　　　牛一头之价八因之得三十二两为前
　　　　　　牛八头之共价于前共价五十六两内
　　　　　　减之馀二十四两为前马四匹之共价

　　　　　　四归之得六两为马一匹之价又以后
　　　　　　马三匹因之得十八两为后马三匹之
　　　　　　共价于后共价三十八两内减之馀二
　　　　　　十两为后牛五头之共价五归之亦得
　　　　　　四两为牛一头之价也(此二色和/数方程法)
设如有钱买桃梨二色桃四个比梨八个少钱十二
　文桃九个比梨六个多钱二十一文问桃梨多价
　若干
　　　　　　法借一根为桃一个之价则前桃四个

　　　　　　之共价为四根前梨八个之共价为十

　　　　　　二文多四根而后桃九个之共价为九
　　　　　　根乃以前梨八个为一率共价十二文
　　　　　　多四根为二率后梨六个为三率求得
　　　　　　四率九文多三根为后梨六个之共价
　　　　　　加后桃比梨多钱二十一文得三十文
　　　　　　多三根与后桃九个之共价九根相等
　　　　　　(九桃比六梨多二十一文故以二十一/文与六梨之价相加即与九桃之价等)
　　　　　　(也/)三十文多三根与九根各减去三根

　　　　　　则馀三十文与六根相等三十文既与
　　　　　　六根相等则五文必与一根相等即桃
　　　　　　一个之价四因之得二十文为前桃四
　　　　　　个之共价加入桃比梨少钱十二文得
　　　　　　三十二文为前梨八个之共价八归之
　　　　　　得四文为梨一个之价又以后梨六个
　　　　　　因之得二十四文为后梨六个之共价
　　　　　　加入桃比梨多钱二十一文得四十五
　　　　　　文为后桃九个之共价九归之亦得五

　　　　　　文为桃一个之价也(此二色较/数方程法)