钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十三
　　末部三
　　　借根方比例(带纵平方乘方带纵立方/三乘方四 五乘方附)

　　带纵平方
借根方比例开带纵平方其以长方之积用长阔之
较或和而求长阔之数皆与常法同但不立和纵较
纵之名惟有多根少根之号而每根之数或为长方
之阔或为长方之长错综其名有十二种推究其实
总不出和较之两端如云一平方多几根与几真数
等或几根多一平方与几真数等或一平方与几真
数少几根等或几根与几真数少一平方等此四者

根皆较纵而其每根之数皆长方之阔也如云一平
方少几根与几真数等或一平方少几真数与几根
等或一平方与几真数多几根等或一平方与几根
多几真数等此四者根亦皆较纵而其每根之数则
皆长方之长也如云一平方多几真数与几根等或
几真数多一平方与几根等或几真数与几根少一
平方等或一平方与几根少几真数等此四者根皆
和纵而其每根之数或为长方之长或为长方之阔
也要之所谓一平方者即一正方而多几根少几根

即变正方而为长方其真数比平方多根者其每根

为阔真数比平方少根者其每根为长二者皆较纵
惟真数比根少平方者则为和纵也至于开之之法
皆以真数为长方积以根数为纵(即以根数作真数/用如三根即作三)
(真数五根即作五真/数之类解见设如)依面部带纵平方法开之有较
纵者先求和有和纵者先求较其根为长方之阔者
以和较相减折半而得每根之数(用半和半较立法/者则相减即得根)
(数不用/折半)其根为长方之长者以和较相加折半而得
每根之数也(用半和半较立法者则相/加即得根数不用折半)俱详设如

设如有一平方多二根与二十四尺相等问每一根
　之数几何
　　　　　法以二十四尺为长方积二根为纵多
　　　　　二尺用带纵较数开平方法算之将积
　　　　　数四因加纵多自乘之数得一百尺开
　　　　　平方得十尺为和减较二尺馀八尺折
　　　　　半得四尺为一根之数即长方之阔加
　　　　　较二尺得六尺即长方之长也如图甲
　　　　　乙丙丁长方形共积二十四尺甲乙四

　　　　　尺为一根为阔甲丁六尺为长戊丁二

　　　　　尺为纵多甲乙己戊为一平方戊己丙
　　　　　丁为二根是甲乙丙丁二十四尺内有
　　　　　甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之
　　　　　二根故云一平方多二根与二十四尺
　　　　　相等也若以积计之则积之多于平方
　　　　　者为戊己丙丁之二根若以边计之则
　　　　　长多于阔者为戊丁之二尺故以二根
　　　　　即作二尺为纵多也此法错综其名则

　　　　　为四种一平方多二根与二十四尺相
　　　　　等一也如二根多一平方亦必与二十
　　　　　四尺相等又一也若于一平方多二根
　　　　　与二十四尺各减去二根则为一平方
　　　　　与二十四尺少二根相等此又其一也
　　　　　(甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁/二根馀甲乙己戊一平方故为一平方)
　　　　　(与二十四尺少/二根相等也)又如一平方多二根与
　　　　　二十四尺各减去一平方则为二根与
　　　　　二十四尺少一平方相等此又其一也

　　　　　(甲乙丙丁二十四尺内减去甲乙己戊/一平方馀戊己丙丁二根故为二根与)

　　　　　(二十四尺少一/平方相等也)此四者名虽不同合而
　　　　　观之总为真数比一正方多根数故知
　　　　　其为较纵而每根之数为阔也
设如有一平方少四根与四十五尺相等问每一根
　之数几何
　　　　　法以四十五尺为长方积四根为纵多
　　　　　四尺用带纵较数开平方法算之将积
　　　　　数四因加纵多自乘之数得一百九十

　　　　　六尺开平方得十四尺为和加较四尺
　　　　　得十八尺折半得九尺为一根之数即
　　　　　长方之长减较四尺得五尺即长方之
　　　　　阔也如图甲乙丙丁长方形共积四十
　　　　　五尺甲乙九尺为一根为长甲丁五尺
　　　　　为阔甲戊与甲乙等丁戊四尺为纵甲
　　　　　乙己戊为一平方丁丙己戊为四根于
　　　　　甲乙己戊平方内减去丁丙己戊之四
　　　　　根则馀甲乙丙丁四十五尺故云一平

　　　　　方少四根与四十五尺相等也若以积

　　　　　计之则积之少于平方者为丁丙己戊
　　　　　之四根若以边计之则阔少于长者为
　　　　　丁戊之四尺故以四根作四尺为纵多
　　　　　也此法错综其名亦为四种一平方少
　　　　　四根与四十五尺相等一也如一平方
　　　　　少四十五尺亦必与四根相等又一也
　　　　　若于一平方少四根与四十五尺各加
　　　　　四根则为一平方与四十五尺多四根

　　　　　相等此又其一也(甲乙丙丁四十五尺/加丁丙己戊四根成)
　　　　　(甲乙己戊一平方故为一平方/与四十五尺多四根相等也)如一平
　　　　　方亦必与四根多四十五尺相等此又
　　　　　其一也此四者名虽不同合而观之总
　　　　　为真数比一正方少根数故知其为较
　　　　　纵而其每根之数为长也
设如有一平方多三十六尺与十三根相等问每一
　根之数几何
　　　　　法以三十六尺为长方积十三根为和

　　　　　十三尺用带纵和数开平方法算之将

　　　　　积数四因与和自乘数相减馀二十五
　　　　　尺开平方得五尺为较与和十三尺相
　　　　　减馀八尺折半得四尺为一根之数即
　　　　　长方之阔加较五尺得九尺即长方之
　　　　　长也如图甲乙丙丁长方形共积三十
　　　　　六尺甲乙四尺为一根为阔甲丁九尺
　　　　　为长甲戊十三尺为和甲乙己戊为十
　　　　　三根丁丙己戊为一平方是甲乙己戊

　　　　　十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有
　　　　　丁丙己戊一平方故云一平方多三十
　　　　　六尺与十三根相等也若以积计之则
　　　　　积三十六尺与一平方相加共得甲乙
　　　　　己戊之十三根若以边计之则长九尺
　　　　　与阔四尺相加得甲戊之十三尺故将
　　　　　十三根作十三尺为和也此法错综其
　　　　　名亦为四种一平方多三十六尺与十
　　　　　三根相等一也如三十六尺多一平方

　　　　　亦必与十三根相等又一也若于一平

　　　　　方多三十六尺与十三根各减去三十
　　　　　六尺则为一平方与十三根少三十六
　　　　　尺相等此又其一也(甲乙己戊十三根/内减去甲乙丙丁)
　　　　　(三十六尺馀丁丙己戊一平方故云一/平方与十三根少三十六尺相等也)
　　　　　又如一平方多三十六尺与十三根各
　　　　　减去一平方则为三十六尺与十三根
　　　　　少一平方相等此又其一也(甲乙己戊/十三根内)
　　　　　(减去丁丙己戊一平方馀甲乙丙丁三/十六尺故为三十六尺与十三根少一)

　　　　　(平方相/等也)此四者名虽不同合而观之总
　　　　　为真数比根数少一正方故知其为和
　　　　　而其每根之数为阔也
设如有一平方多三十二尺与十二根相等问每一
　根之数几何
　　　　　法以三十二尺为长方积十二根为和
　　　　　十二尺用带纵和数开平方法算之将
　　　　　积数四因与和自乘数相减馀十六尺
　　　　　开平方得四尺为较加和十二尺得十

　　　　　六尺折半得八尺为一根之数即长方

　　　　　之长减较四尺馀四尺即长方之阔也
　　　　　如图甲乙丙丁长方形共积三十二尺
　　　　　甲乙八尺为一根为长甲丁四尺为阔
　　　　　甲戊十二尺为和甲乙己戊为十二根
　　　　　丁丙己戊为一平方是甲乙己戊十二
　　　　　根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙
　　　　　己戊一平方故云一平方多三十二尺
　　　　　与十二根相等也若以积计之则积三

　　　　　十二尺与一平方相加共得甲乙己戊
　　　　　十二根若以边计之则长八尺与阔四
　　　　　尺相加得甲戊之十二尺故以十二根
　　　　　作十二尺为和也此法亦真数比根数
　　　　　少一正方故知其为和而其每根之数
　　　　　为长也

　　带纵立方　(三乘方/)　(四乘方/)　(五乘方附/)
借根方比例开带纵立方与常法不同常法先知各
边之和或较既开得一边之数以和较加减之即得
各边之数此法止有根方多少之号而无和纵较纵
之名惟求每根之数而不问馀边其立法之本意盖
欲借根方以求他数既得一根之数则所求之数已
得而方之形体有所不计且其与根方相等之积数
或为长方体扁方体形或非长方体扁方体形(或于/长方)

(扁方之内少几数或于长方扁方之外/多几数则不能成长方扁方体形也)皆不可知故
不可以带纵之常法求也(其积数或原为几根几方/之总数而非一长方或一)
(扁方之全数则止可以逐方逐根计之若作一长方/或一扁方算则其各边必有奇零不尽而转与所设)
(之根数/不合矣)今类其法分为九种如一立方多几根与几
真数等一也一立方少几根与几真数等二也一立
方多几平方与几真数等三也一立方少几平方与
几真数等四也一立方多几平方多几根与几真数
等五也一立方少几平方少几根与几真数等六也
一立方多几平方少几根与几真数等七也一立方

少几平方多几根与几真数等八也又几平方少一

立方与几真数等九也其开之之法除第九种外馀
俱依立方法定初商复视所带根方为多号者其商
数须取略小于应得之数所带根方数为少号者其
商数须取略大于应得之数俱以初商数自乘再乘
为立方积以初商自乘数与几平方相乘为所带平
方之共积以初商数与几根相乘为所带根数之共
积多号者与立方积相加少号者与立方积相减然
后与原积相减不尽者为次商积次商之法以初商

自乘数三因之为立方廉以初商数倍之与几平方
相乘为所带平方之共廉多号者与立方廉相加少
号者与立方廉相减又加减所带之根数(多根者加/少根者减)
为次商廉法以廉法除次商积得次商即合初商自
乘再乘为立方积仍如所带几根几平方加减之而
后减原积并与初商同至于第九种之法则将立方
与真数俱用平方数除之得一平方少几分立方之
一与几真数等依平方法定初商其商数须取略大
于应得之数乃以初商数自乘为平方积又以初商

数再乘为立方积以平方数除之得数为少几分立

方之一以减平方积而后与原积相减不尽者为次
商积次商之法以初商数倍之为平方廉又以初商
自乘数三因之为立方廉以平方数除之得数以减
平方廉馀为次商廉法以廉法除次商积得次商其
减积之法与初商同以上九种如法开之即得每根
之数也要之所谓一立方者即一正方体而多平方
多根少平方少根即变正方体而为长方体扁方体
或为磬折长方体扁方体其积数中有立方则用再

乘有平方则用自乘有根则用商数多则相加少则
相减九种之中无异术也即推之多乘方莫不皆然
总以其累乘之数为主而以所带根方之积数加减
之与立方无二理也爰将立方九种之法各设一例
以明其理而三乘四乘五乘之法亦各设二例以附
其后焉
设如有一立方多八根与一千八百二十四尺相等
　问每一根之数几何
　　　　　法列原积一千八百二十四尺按立方

　　　　　法作记于四尺上定单位一千尺上定

　　　　　十位其一千尺为初商积与十尺自乘
　　　　　再乘之数相合即定初商为十尺书于
　　　　　原积一千尺之上而以初商十尺自乘
　　　　　再乘之一千尺为一立方积又以初商
　　　　　十尺八因之得八十尺为多八根之共
　　　　　积与一立方积相加得一千零八十尺
　　　　　书于原积之下相减馀七百四十四尺
　　　　　为次商积而以初商之十尺自乘之一

　　　　　百尺三因之得三百尺为一立方廉加
　　　　　根数八共三百零八尺为次商廉法以
　　　　　除次商积足二倍即定次商为二尺书
　　　　　于原积四尺之上合初商共一十二尺
　　　　　自乘再乘得一千七百二十八尺为一
　　　　　立方积又以十二尺八因之得九十六
　　　　　尺为八根之共积与立方积相加共得
　　　　　一千八百二十四尺书于原积之下相
　　　　　减恰尽是开得一十二尺为每一根之

　　　　　数也此法以积计之为一正方体及八

　　　　　根之共数以边计之则所得每根之数
　　　　　即正方体之每一边因正方体之外多
　　　　　八根故成一磬折体而非正方体亦非
　　　　　长方体也
设如有一立方少九根与一千六百二十尺相等问
　每一根之数几何
　　　　　法列原积一千六百二十尺按立方法
　　　　　作记于空尺上定单位一千尺上定十

　　　　　位其一千尺为初商积与十尺自乘再
　　　　　乘之数相合即定初商为十尺书于原
　　　　　积一千尺之上而以初商十尺自乘再
　　　　　乘之一千尺为一立方积又以初商十
　　　　　尺九因之得九十尺为少九根之共积
　　　　　与立方积相减馀九百一十尺书于原
　　　　　积之下相减馀七百一十尺为次商积
　　　　　而以初商之十尺自乘之一百尺三因
　　　　　之得三百尺为一立方廉内减去根数

　　　　　九馀二百九十一尺为次商廉法以除

　　　　　次商积足二倍即定次商为二尺书于
　　　　　原积空尺之上合初商共十二尺自乘
　　　　　再乘得一千七百二十八尺为一立方
　　　　　积又以十二尺九因之得一百零八尺
　　　　　为少九根之共积与立方积相减馀一
　　　　　千六百二十尺书于原积之下相减恰
　　　　　尽是开得一十二尺为每一根之数也
　　　　　此法以积计之为一正方体少九根之

　　　　　数以边计之则所得每根之数即正方
　　　　　体之每一边因正方体内少九根之数
　　　　　故成磬折体而非正方体亦非扁方体
　　　　　也
设如有一立方多四平方与二千三百零四尺相等
　问每一根之数几何
　　　　　法列原积二千三百零四尺按立方法
　　　　　作记于四尺上定单位二千尺上定十
　　　　　位其二千尺为初商积与十尺自乘再

　　　　　乘之数相准即定初商为十尺书于原

　　　　　积二千尺之上而以初商十尺自乘再
　　　　　乘之一千尺为一立方积又以初商十
　　　　　尺自乘之一百尺四因之得四百尺为
　　　　　多四平方之共积与立方积相加得一
　　　　　千四百尺书于原积之下相减馀九百
　　　　　零四尺为次商积而以初商之十尺自
　　　　　乘三因之得三百尺为一立方廉又以
　　　　　初商之十尺倍之得二十尺四因之得

　　　　　八十尺为四平方廉与一立方廉相加
　　　　　得三百八十尺为次商廉法以除次商
　　　　　积足二倍即定次商为二尺书于原积
　　　　　四尺之上合初商共十二尺自乘再乘
　　　　　得一千七百二十八尺为一立方积又
　　　　　以十二尺自乘之一百四十四尺四因
　　　　　之得五百七十六尺为多四平方之共
　　　　　积与立方积相加共得二千三百零四
　　　　　尺书于原积之下相减恰尽是开得一

　　　　　十二尺为每一根之数也此法以积计

　　　　　之为一正方体及四平方之共数以边
　　　　　计之则所得每根之数即正方体之每
　　　　　一边亦即平方之每一边因正方体之
　　　　　外多四平方故成长方体而非正方体
　　　　　也
设如有一立方少八平方与七千九百三十五尺相
　等问每一根之数几何
　　　　　法列原积七千九百三十五尺按立方

　　　　　法作记于五尺上定单位七千尺上定
　　　　　十位其七千尺为初商积与十尺自乘
　　　　　再乘之数相准应商十尺而所带平方
　　　　　为少号故取略大之数为二十尺书于
　　　　　原积七千尺之上而以初商二十尺自
　　　　　乘再乘之八千尺为一立方积又以初
　　　　　商二十尺自乘之四百尺八因之得三
　　　　　千二百尺为少八平方之共积与立方
　　　　　积相减馀四千八百尺书于原积之下

　　　　　相减馀三千一百三十五尺为次商积

　　　　　而以初商之二十尺自乘三因之得一
　　　　　千二百尺为一立方廉又以初商之二
　　　　　十尺倍之得四十尺八因之得三百二
　　　　　十尺为八平方廉与一立方廉相减馀
　　　　　八百八十尺为次商廉法以除次商积
　　　　　足三倍即定次商为三尺书于原积五
　　　　　尺之上合初商共二十三尺自乘再乘
　　　　　得一万二千一百六十七尺为一立方

　　　　　积又以二十三尺自乘之五百二十九
　　　　　尺八因之得四千二百三十二尺为少
　　　　　八平方之共积与一立方积相减馀七
　　　　　千九百三十五尺书于原积之下相减
　　　　　恰尽是开得二十三尺为每一根之数
　　　　　也此法以积计之为一正方体少八平
　　　　　方之数以边计之则所得每根之数即
　　　　　正方体之每一边亦即平方之每一边
　　　　　因正方体之内少八平方故成扁方体

　　　　　而非正方体也

设如有一立方多十三平方多三十根与二万七千
　一百四十四尺相等问每一根之数几何
　　　　　法列原积二万七千一百四十四尺按
　　　　　立方法作记于四尺上定单位七千尺
　　　　　上定十位其二万七千尺为初商积与
　　　　　三十自乘再乘之数相合应商三十尺
　　　　　而所带平方与根皆为多号故取略小
　　　　　之数为二十尺书于原积七千尺之上

　　　　　而以初商二十尺自乘再乘之八千尺
　　　　　为一立方积又以初商二十尺自乘之
　　　　　四百尺十三乘之得五千二百尺为多
　　　　　十三平方之共积又以初商之二十尺
　　　　　三十乘之得六百尺为多三十根之共
　　　　　积三积(立方平方与/根之三数)相加得一万三千
　　　　　八百尺书于原积之下相减馀一万三
　　　　　千三百四十四尺为次商积而以初商
　　　　　之二十尺自乘三因之得一千二百尺

　　　　　为一立方廉又以初商之二十尺倍之

　　　　　得四十尺以十三乘之得五百二十尺
　　　　　为十三平方廉与立方廉相加得一千
　　　　　七百二十尺又加根数三十共一千七
　　　　　百五十尺为次商廉法以除次商积足
　　　　　七倍因取略小之数为六尺书于原积
　　　　　四尺之上合初商共二十六尺自乘再
　　　　　乘得一万七千五百七十六尺为一立
　　　　　方积又以二十六尺自乘之六百七十

　　　　　六尺十三乘之得八千七百八十八尺
　　　　　为多十三平方之共积又以二十六尺
　　　　　三十乘之得七百八十尺为多三十根
　　　　　之共积三积相加共二万七千一百四
　　　　　十四尺书于原积之下相减恰尽是开
　　　　　得二十六尺为每一根之数也此法以
　　　　　积计之为一正方体及十三平方与三
　　　　　十根之共数以边计之则所得每根之
　　　　　数即正方体之每一边亦即平方之每

　　　　　一边因正方体之外多十三平方又多

　　　　　三十根恰成长方体而非正方体亦非
　　　　　磬折体也(将所多之十三平方内十平/方附于正方体之一面又以)
　　　　　(三平方加于正方体之又一面即成磬/折体而缺三十根之数如以三十根补)
　　　　　(其缺即成长方体其宽即一根为二十/六尺其长即一根多十尺为三十六尺)
　　　　　(其高即一根多三尺为二十九尺也此/因所多之平方及根数适足长方体形)
　　　　　(故为长方体若平方与根数/不能补足者仍为磬折体也)
设如有一立方少七平方少八根与七千零八十四
　尺相等问每一根之数几何

　　　　　法列原积七千零八十四尺按立方法
　　　　　作记于四尺上定单位七千尺上定十
　　　　　位其七千尺为初商积与十尺自乘再
　　　　　乘之数相准而所带平方与根皆为少
　　　　　号故取略大之数为二十尺书于原积
　　　　　七千尺之上而以初商二十尺自乘再
　　　　　乘之八千尺为一立方积又以初商二
　　　　　十尺自乘之四百尺七因之得二千八
　　　　　百尺为少七平方之共积又以初商之

　　　　　二十尺八因之得一百六十尺为少八

　　　　　根之共积与少七平方共积相加得二
　　　　　千九百六十尺以减立方积馀五千零
　　　　　四十尺书于原积之下相减馀二千零
　　　　　四十四尺为次商积而以初商之二十
　　　　　尺自乘三因之得一千二百尺为一立
　　　　　方廉又以初商之二十尺倍之得四十
　　　　　尺七因之得二百八十尺为七平方廉
　　　　　与立方廉相减馀九百二十尺又减去

　　　　　根数八馀九百一十二尺为次商廉法
　　　　　以除次商积足二倍即定次商为二尺
　　　　　书于原积四尺之上合初商共二十二
　　　　　尺自乘再乘得一万零六百四十八尺
　　　　　为一立方积又以二十二尺自乘之四
　　　　　百八十四尺七因之得三千三百八十
　　　　　八尺为少七平方之共积又以二十二
　　　　　尺八因之得一百七十六尺为少八根
　　　　　之共积与少七平方共积相加得三千

　　　　　五百六十四尺以减立方积馀七千零

　　　　　八十四尺书于原积之下相减恰尽是
　　　　　开得二十二尺为每一根之数也此法
　　　　　以积计之为一正方体少七平方又少
　　　　　八根之数以边计之则所得每根之数
　　　　　即正方体之每一边亦即平方之每一
　　　　　边因正方体之内少七平方又少八根
　　　　　故成磬折体而非正方体也
设如有一立方多一平方少二十根与三万三千一

　百五十二尺相等问每一根之数几何
　　　　　法列原积三万三千一百五十二尺按
　　　　　立方法作记于二尺上定单位三千尺
　　　　　上定十位其三万三千尺为初商积与
　　　　　三十自乘再乘之数相准即定初商为
　　　　　三十尺书于原积三千尺之上而以初
　　　　　商三十尺自乘再乘之二万七千尺为
　　　　　一立方积又以初商三十尺自乘之九
　　　　　百尺为多一平方积又以初商之三十

　　　　　尺二十乘之得六百尺为少二十根之

　　　　　共积于立方积内加多一平方积得二
　　　　　万七千九百尺又减去少二十根之共
　　　　　积馀二万七千三百尺书于原积之下
　　　　　相减馀五千八百五十二尺为次商积
　　　　　而以初商之三十尺自乘三因之得二
　　　　　千七百尺为一立方廉又以初商之三
　　　　　十尺倍之得六十尺为一平方廉与立
　　　　　方廉相加得二千七百六十尺又减去

　　　　　根数二十馀二千七百四十尺为次商
　　　　　廉法以除次商积足二倍即定次商为
　　　　　二尺书于原积二尺之上合初商共三
　　　　　十二尺自乘再乘得三万二千七百六
　　　　　十八尺为一立方积又以三十二尺自
　　　　　乘之一千零二十四尺为多一平方积
　　　　　又以三十二尺二十乘之得六百四十
　　　　　尺为少二十根之共积于一立方积内
　　　　　加多一平方积得三万三千七百九十

　　　　　二尺又减去少二十根之共积得三万

　　　　　三千一百五十二尺书于原积之下相
　　　　　减恰尽是开得三十二尺为每一根之
　　　　　数也此法以积计之为一正方体多一
　　　　　平方复少二十根之数以边计之则所
　　　　　得每根之数即正方体之每一边亦即
　　　　　平方之每一边因正方体之外多一平
　　　　　方又少二十根故成磬折体而非正方
　　　　　体也

设如有一立方少三平方多二根与一万二千一百
　四十四尺相等问每一根之数几何
　　　　　法列原积一万二千一百四十四尺按
　　　　　立方法作记于四尺上定单位二千尺
　　　　　上定十位其一万二千尺为初商积与
　　　　　二十自乘再乘之数相准即定初商为
　　　　　二十尺书于原积二千尺之上而以初
　　　　　商二十尺自乘再乘之八千尺为一立
　　　　　方积又以初商二十尺自乘之四百尺

　　　　　三因之得一千二百尺为少三平方之

　　　　　共积又以初商之二十尺二因之得四
　　　　　十尺为多二根之共积于立方积内减
　　　　　去少三平方之共积馀六千八百尺又
　　　　　加入多二根之共积得六千八百四十
　　　　　尺书于原积之下相减馀五千三百零
　　　　　四尺为次商积而以初商之二十尺自
　　　　　乘三因之得一千二百尺为一立方廉
　　　　　又以初商之二十尺倍之得四十尺三

　　　　　因之得一百二十尺为三平方廉与立
　　　　　方廉相减馀一千零八十尺又加入根
　　　　　数二得一千零八十二尺为次商廉法
　　　　　以除次商积足四倍即定次商为四尺
　　　　　书于原积四尺之上合初商共二十四
　　　　　尺自乘再乘得一万三千八百二十四
　　　　　尺为一立方积又以二十四尺自乘之
　　　　　五百七十六尺三因之得一千七百二
　　　　　十八尺为少三平方之共积又以二十

　　　　　四尺二因之得四十八尺为多二根之

　　　　　共积于立方积内减去三平方之共积
　　　　　馀一万二千零九十六尺又加入多二
　　　　　根之共积得一万二千一百四十四尺
　　　　　书于原积之下相减恰尽是开得二十
　　　　　四尺为每一根之数也此法以积计之
　　　　　为一正方体少三平方复多二根之数
　　　　　以边计之则所得每根之数即正方体
　　　　　之每一边亦即平方之每一边因正方

　　　　　体之内少三平方又多二根故成磬折
　　　　　体而非正方体也
设如有四十平方少一立方与五千六百二十五尺
　相等问每一根之数几何
　　　　　法以四十平方少一立方与五千六百
　　　　　二十五尺俱以四十除之得一平方少
　　　　　四十分立方之一与一百四十尺六十
　　　　　二寸五十分相等乃列一百四十尺六
　　　　　十二寸五十分为归除所得之积按平

　　　　　方法作记于空尺上定单位一百尺上

　　　　　定十位其一百尺为初商积与十尺自
　　　　　乘之数相合即定初商为十尺书于所
　　　　　得积一百尺之上而以初商十尺自乘
　　　　　之一百尺为一平方积再乘得一千尺
　　　　　为一立方积以四十除之得二十五尺
　　　　　为少四十分立方之一之积与一平方
　　　　　积相减馀七十五尺书于所得积之下
　　　　　相减馀六十五尺六十二寸五十分为

　　　　　次商积而以初商之一十尺倍之得二
　　　　　十尺为一平方廉又以初商之十尺自
　　　　　乘三因之得三百尺为一立方廉以四
　　　　　十除之得七尺五寸为四十分立方之
　　　　　一之廉与平方廉相减馀十二尺五寸
　　　　　为次商廉法以除次商积足五倍即定
　　　　　次商为五尺书于所得积空尺之上合
　　　　　初商共十五尺自乘得二百二十五尺
　　　　　为一平方积再乘得三千三百七十五

　　　　　尺为一立方积以四十除之得八十四

　　　　　尺三十七寸五十分为四十分立方之
　　　　　一之积与一平方积相减馀一百四十
　　　　　尺六十二寸五十分书于所得积之下
　　　　　相减恰尽乃以一平方积与四十相乘
　　　　　得九千尺为四十平方积内减去一立
　　　　　方积馀五千六百二十五尺与原积相
　　　　　合是开得一十五尺为每一根之数也
　　　　　此法以积计之为四十平方少一正方

　　　　　体之数以边计之则所得每根之数即
　　　　　平方之每一边亦即正方体之每一边
　　　　　因四十平方内少十五平方之一正方
　　　　　体(每边为十五尺故十五/平方为一正方体也)馀二十五平
　　　　　方为长方体(其宽即一根为十五尺其/高亦十五尺其长为二十)
　　　　　(五尺/也)而非正方体也
设如有五百平方少一立方与二十七万四千一百
　七十六尺相等问每一根之数几何
　　　　　法以五百平方少一立方与二十七万

　　　　　四千一百七十六尺俱以五百除之得

　　　　　一平方少五百分立方之一与五百四
　　　　　十八尺三十五寸二十分相等乃列五
　　　　　百四十八尺三十五寸二十分为归除
　　　　　所得之积按平方法作记于八尺上定
　　　　　单位五百尺上定十位其五百尺为初
　　　　　商积与二十自乘之数相准即定初商
　　　　　为二十尺书于所得积五百尺之上而
　　　　　以初商二十尺自乘之四百尺为一平

　　　　　方积再乘得八千尺为一立方积以五
　　　　　百除之得十六尺为少五百分立方之
　　　　　一之积与平方积相减馀三百八十四
　　　　　尺书于所得积之下相减馀一百六十
　　　　　四尺三十五寸二十分为次商积而以
　　　　　初商之二十尺倍之得四十尺为一平
　　　　　方廉又以初商之二十尺自乘三因之
　　　　　得一千二百尺为一立方廉以五百除
　　　　　之得二尺四寸为五百分立方之一之

　　　　　廉与平方廉相减得三十七尺六寸为

　　　　　次商廉法以除次商积足四倍即定次
　　　　　商为四尺书于所得积八尺之上合初
　　　　　商共二十四尺自乘得五百七十六尺
　　　　　为一平方积再乘得一万三千八百二
　　　　　十四尺为一立方积以五百除之得二
　　　　　十七尺六十四寸八十分为少五百分
　　　　　立方之一之积与平方积相减馀五百
　　　　　四十八尺三十五寸二十分书于所得

　　　　　积之下相减恰尽乃以一平方积与五
　　　　　百相乘得二十八万八千尺为五百平
　　　　　方积内减去一立方积馀二十七万四
　　　　　千一百七十六尺与原积相合是开得
　　　　　二十四尺为每一根之数也此法以积
　　　　　计之为五百平方少一正方体以边计
　　　　　之则所得每根之数即平方之每一边
　　　　　亦即正方体之每一边因五百平方内
　　　　　少二十四平方之一正方体(每边为二/十四尺故)

　　　　　(二十四平方即/一正方体也)馀四百七十六平方为

　　　　　长方体(其宽即一根为二十四尺其高/亦为二十四尺其长为四百七)
　　　　　(十六/尺也)而非正方体也
设如有一三乘方多二平方与二万一千零二十四
　尺相等问每一根之数几何
　　　　　法列原积二万一千零二十四尺按三
　　　　　乘方法作记于四尺上定单位二万尺
　　　　　上定十位其二万尺为初商积与十尺
　　　　　乘三次之数相准即定初商为十尺书

　　　　　于原积二万尺之上而以初商十尺乘
　　　　　三次之一万尺为一三乘方积又以初
　　　　　商十尺自乘之一百尺二因之得二百
　　　　　尺为多二平方之共积与三乘方积相
　　　　　加得一万零二百尺书于原积之下相
　　　　　减馀一万零八百二十四尺为次商积
　　　　　而以初商之十尺再乘四因之得四千
　　　　　尺为三乘方廉又以初商之十尺倍之
　　　　　得二十尺二因之得四十尺为多二平

　　　　　方之廉与三乘方廉相加得四千零四

　　　　　十尺为次商廉法以除次商积足二倍
　　　　　即定次商为二尺书于原积四尺之上
　　　　　合初商共十二尺乘三次得二万零七
　　　　　百三十六尺为一三乘方积又以十二
　　　　　尺自乘之一百四十四尺二因之得二
　　　　　百八十八尺为多二平方之共积与三
　　　　　乘方积相加得二万一千零二十四尺
　　　　　书于原积之下相减恰尽是开得一十

　　　　　二尺为每一根之数也
　　　　　又法用带纵平方及平方两次开之将
　　　　　原积二万一千零二十四尺为长方积
　　　　　以多二平方作二尺为纵多折半得一
　　　　　尺为半较自乘仍得一尺与积相加得
　　　　　二万一千零二十五尺开平方得一百
　　　　　四十五尺为半和内减半较一尺(凡多/平方)
　　　　　(者即减半较如少/平方者则加半较)馀一百四十四尺为
　　　　　正方积复开平方得十二尺即每一根

　　　　　之数也盖三乘方多平方与方根自乘

　　　　　为阔加多平方数为长所作之长方积
　　　　　等故用带纵较数开平方法开之得数
　　　　　复开平方即得每一根之数也
设如有一千平方少一三乘方与一十二万三千二
　百六十四尺相等问每一根之数几何
　　　　　法以一千平方少一三乘方与一十二
　　　　　万三千二百六十四尺俱以一千除之
　　　　　得一平方少一千分三乘方之一与一

　　　　　百二十三尺二十六寸四十分相等乃
　　　　　列一百二十三尺二十六寸四十分为
　　　　　归除所得之积按平方法作记于三尺
　　　　　上定单位一百尺上定十位其一百尺
　　　　　为初商积与十尺自乘之数相合即定
　　　　　初商为十尺书于所得积一百尺之上
　　　　　而以初商十尺自乘之一百尺为一平
　　　　　方积又以初商之十尺乘三次得一万
　　　　　尺为一三乘方积以一千除之得一十

　　　　　尺为千分三乘方之一之积与一平方

　　　　　积相减馀九十尺书于所得积之下相
　　　　　减馀三十三尺二十六寸四十分为次
　　　　　商积而以初商之十尺倍之得二十尺
　　　　　为一平方廉又以初商之十尺自乘再
　　　　　乘四因之得四千尺为一三乘方廉以
　　　　　一千除之得四尺为千分三乘方之一
　　　　　之廉与平方廉相减馀一十六尺为次
　　　　　商廉法以除次商积足二倍即定次商

　　　　　为二尺书于所得积三尺之上合初商
　　　　　共十二尺自乘得一百四十四尺为一
　　　　　平方积又以十二尺乘三次得二万零
　　　　　七百三十六尺为一三乘方积以一千
　　　　　除之得二十尺零七十三寸六十分与
　　　　　一平方积相减馀一百二十三尺二十
　　　　　六寸四十分书于所得积之下相减恰
　　　　　尽乃以一平方积与一千相乘得一十
　　　　　四万四千尺为一千平方积内减去一

　　　　　三乘方积馀一十二万三千二百六十

　　　　　四尺与原积相合是开得一十二尺为
　　　　　每一根之数也
　　　　　又法用带纵平方及平方两次开之将
　　　　　原积一十二万三千二百六十四尺为
　　　　　长方积以一千平方作一千尺为和折
　　　　　半得五百尺为半和自乘得二十五万
　　　　　尺与积相减馀十二万六千七百三十
　　　　　六尺开平方得三百五十六尺为半较

　　　　　与半和相减馀一百四十四尺为正方
　　　　　积复开平方得一十二尺即每一根之
　　　　　数也盖平方少三乘方与方根自乘为
　　　　　阔与平方数相减为长所作之长方积
　　　　　等故用带纵和数开平方法开之得数
　　　　　复开平方即得每一根之数也
设如有一四乘方多二立方与七百九十九万零二
　百七十二尺相等问每一根之数几何
　　　　　法列原积七百九十九万零二百七十

　　　　　二尺按四乘方法作记于二尺上定单

　　　　　位九十万尺上定十位其七百九十万
　　　　　尺为初商积与二十乘四次之数相准
　　　　　即定初商为二十尺书于原积九十万
　　　　　尺之上而以初商二十尺乘四次之三
　　　　　百二十万尺为一四乘方积又以初商
　　　　　二十尺自乘再乘之八千尺二因之得
　　　　　一万六千尺为多二立方之共积与四
　　　　　乘方积相加得三百二十一万六千尺

　　　　　书于原积之下相减馀四百七十七万
　　　　　四千二百七十二尺为次商积而以初
　　　　　商之二十尺乘三次五因之得八十万
　　　　　尺为一四乘方廉又以初商之二十尺
　　　　　自乘三因之得一千二百尺又二因之
　　　　　得二千四百尺为多二立方之廉与四
　　　　　乘方廉相加得八十万零二千四百尺
　　　　　为次商廉法以除次商积足五倍因取
　　　　　略小之数为四尺书于原积二尺之上

　　　　　合初商共二十四尺乘四次得七百九

　　　　　十六万二千六百二十四尺为一四乘
　　　　　方积又以二十四尺自乘再乘之一万
　　　　　三千八百二十四尺二因之得二万七
　　　　　千六百四十八尺为多二立方之共积
　　　　　与四乘方积相加得七百九十九万零
　　　　　二百七十二尺书于原积之下相减恰
　　　　　尽是开得二十四尺为每一根之数也
　　　　　盖四乘方多立方之数不与平方立方

　　　　　之数相合故不能以平方立方之法开
　　　　　也
设如有二千立方少一四乘方与一千九百六十八
　万五千三百七十六尺相等问每一根之数几何
　　　　　法以二千立方少一四乘方与一千九
　　　　　百六十八万五千三百七十六尺俱以
　　　　　二千除之得一立方少二千分四乘方
　　　　　之一与九千八百四十二尺六百八十
　　　　　八寸相等乃列九千八百四十二尺六

　　　　　百八十八寸为归除所得之积按立方

　　　　　法作记于二尺上定单位九千尺上定
　　　　　十位其九千尺为初商积与二十自乘
　　　　　再乘之数相准即定初商为二十尺书
　　　　　于所得积九千尺之上而以初商二十
　　　　　尺自乘再乘之八千尺为一立方积又
　　　　　以初商之二十尺乘四次得三百二十
　　　　　万尺为一四乘方积以二千除之得一
　　　　　千六百尺为二千分四乘方之一之积

　　　　　与一立方积相减馀六千四百尺书于
　　　　　所得积之下相减馀三千四百四十二
　　　　　尺六百八十八寸为次商积而以初商
　　　　　之二十尺自乘三因之得一千二百尺
　　　　　为一立方廉又以初商之二十尺乘三
　　　　　次五因之得八十万尺为一四乘方廉
　　　　　以二千除之得四百尺为二千分四乘
　　　　　方之一之廉与立方廉相减馀八百尺
　　　　　为次商廉法以除次商积足四倍即定

　　　　　次商为四尺书于所得积二尺之上合

　　　　　初商共二十四尺自乘再乘得一万三
　　　　　千八百二十四尺为一立方积又以二
　　　　　十四尺乘四次得七百九十六万二千
　　　　　六百二十四尺为一四乘方积以二千
　　　　　除之得三千九百八十一尺三百一十
　　　　　二寸与一立方积相减馀九千八百四
　　　　　十二尺六百八十八寸书于所得积之
　　　　　下相减恰尽乃以一立方积与二千相

　　　　　乘得二千七百六十四万八千尺为二
　　　　　千立方积内减去一四乘方积馀一千
　　　　　九百六十八万五千三百七十六尺与
　　　　　原积相合是开得二十四尺为每一根
　　　　　之数也盖立方少四乘方之数亦不与
　　　　　平方立方之数相合故不能以平方立
　　　　　方之法开也
设如有一五乘方多四立方与一亿一千三百四十
　二万二千四百九十六尺相等问每一根之数几

　何

　　　　　法列原积一亿一千三百四十二万二
　　　　　千四百九十六尺按五乘方法作记于
　　　　　六尺上定单位三百万尺上定十位其
　　　　　一亿一千三百万尺为初商积与二十
　　　　　乘五次之数相准即定初商为二十尺
　　　　　书于原积三百万尺之上而以初商二
　　　　　十尺乘五次之六千四百万尺为一五
　　　　　乘方积又以初商二十尺自乘再乘之

　　　　　八千尺四因之得三万二千尺为多四
　　　　　立方之共积与五乘方积相加得六千
　　　　　四百零三万二千尺书于原积之下相
　　　　　减馀四千九百三十九万零四百九十
　　　　　六尺为次商积而以初商之二十尺乘
　　　　　四次六因之得一千九百二十万尺为
　　　　　一五乘方廉又以初商之二十尺自乘
　　　　　二因之得一千二百尺又四因之得四
　　　　　千八百尺为四立方之廉与五乘方廉

　　　　　相加得一千九百二十万零四千八百

　　　　　尺为次商廉法以除次商积足二倍即
　　　　　定次商为二尺书于原积六尺之上合
　　　　　初商共二十二尺乘五次得一亿一千
　　　　　三百三十七万九千九百零四尺为一
　　　　　五乘方积又以二十二尺自乘再乘之
　　　　　一万零六百四十八尺四因之得四万
　　　　　二千五百九十二尺为多四立方之共
　　　　　积与五乘方积相加得一亿一千三百

　　　　　四十二万二千四百九十六尺书于原
　　　　　积之下相减恰尽是开得二十二尺为
　　　　　每一根之数也
　　　　　又法用带纵平方及立方开之将原积
　　　　　一亿一千三百四十二万二千四百九
　　　　　十六尺为长方积以多四立方作四尺
　　　　　为纵多折半得二尺自乘得四尺与积
　　　　　相加得一亿一千三百四十二万二千
　　　　　五百尺开平方得一万零六百五十尺

　　　　　为半和内减半较二尺(因立方为多号/故减半较若立)

　　　　　(方为少号/即加半较)得一万零六百四十八尺为
　　　　　立方积开立方得二十二尺即每一根
　　　　　之数也盖五乘方多立方与方根自乘
　　　　　再乘为阔加多立方数为长所作之长
　　　　　方积等故用带纵较数开平方法开之
　　　　　得数复开立方即得每一根之数也
设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三
　万八千四百三十九尺相等问每一根之数几何

　　　　　法以一万立方少一五乘方与一千一
　　　　　百五十三万八千四百三十九尺俱以
　　　　　一万除之得一立方少一万分五乘方
　　　　　之一与一千一百五十三尺八百四十
　　　　　三寸九百分相等乃列一千一百五十
　　　　　三尺八百四十三寸九百分为归除所
　　　　　得之积按立方法作记于三尺上定单
　　　　　位一千尺上定十位其一千尺为初商
　　　　　积与十尺自乘再乘之数相合即定初

　　　　　商为十尺书于所得积一千尺之上而

　　　　　以初商十尺自乘再乘之一千尺为一
　　　　　立方积又以初商十尺乘五次得一百
　　　　　万尺为一五乘方积以一万除之得一
　　　　　百尺为一万分五乘方之一之积与立
　　　　　方积相减馀九百尺书于所得积之下
　　　　　相减馀二百五十三尺八百四十三寸
　　　　　九百分为次商积而以初商之十尺自
　　　　　乘三因之得三百尺为一立方廉又以

　　　　　初商之十尺乘四次六因之得六十万
　　　　　尺为一五乘方廉以一万除之得六十
　　　　　尺为一万分五乘方之一之廉与立方
　　　　　廉相减馀二百四十尺为次商廉法以
　　　　　除次商积足一倍即定次商为一尺书
　　　　　于所得积三尺之上合初商共十一尺
　　　　　自乘再乘得一千三百三十一尺为一
　　　　　立方积又以十一尺乘五次得一百七
　　　　　十七万一千五百六十一尺为一五乘

　　　　　方积以一万除之得一百七十七尺一

　　　　　百五十六寸一百分为一万分五乘方
　　　　　之一之积与立方积相减馀一千一百
　　　　　五十三尺八百四十三寸九百分书于
　　　　　所得积之下相减恰尽乃以一立方积
　　　　　与一万相乘得一千三百三十一万尺
　　　　　为一万立方积内减去一五乘方积馀
　　　　　一千一百五十三万八千四百三十九
　　　　　尺与原积相合是开得一十一尺为每

　　　　　一根之数也
　　　　　又法用带纵平方及立方开之将原积
　　　　　一千一百五十三万八千四百三十九
　　　　　尺为长方积以一万立方作一万尺为
　　　　　和折半得五千尺为半和自乘得二千
　　　　　五百万尺与积相减馀一千三百四十
　　　　　六万一千五百六十一尺开平方得三
　　　　　千六百六十九尺为半较与半和相减
　　　　　馀一千三百三十一尺为立方积开立

　　　　　方得一十一尺即每一根之数也盖立

　　　　　　方少五乘方与方根自乘再乘为阔与
　　　　　　立方数相减为长所作之长方积等故
　　　　　　用带纵和数开平方法开之得数复开
　　　　　　立方即得每一根之数也
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷三十三