钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十二
　　末部二
　　　借根方比例(开诸乘方法/)　(诸乘方表/)

　　开诸乘方法
借根方比例法中开各乘方为最要其算线部借根
算面部借平方算体部借立方以及多乘方虽各按
其类然有法属线类而仍须诸乘方算者故诸乘方
之法宜审也盖诸乘方之形体不同开法之难易迥
别总以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立
方之廉较多故较难自三乘以至多乘其廉愈多则
其法愈难今自平方以至九乘方俱专立一法在平

方立方所省不多而三乘方以后则甚为简捷至于
诸乘方中亦有可以用平方立方之法代开者如三
乘方与平方自乘之数等故可以平方两次开之五
乘方与平方自乘再乘之数等亦与立方自乘之数
等故可以平方开之继以立方开之七乘方与平方
两次自乘之数等故可以平方三次开之八乘方与
立方自乘再乘之数等故可以立方两次开之九乘
方与四乘方自乘之数等故可以平方开之继以四
乘方开之惟四乘方及六乘方与平方立方之数皆

不相合故不可以平方立方之法代开也又诸乘方

次商之数最难定今自立方至九乘方俱为立根数
两位之表若根数两位者以积数捡表即得更为便
捷至于十乘方以后并可以此法御之但其数繁衍
而无所用兹故不载焉
　　平方
设如有平方积一万五千一百二十九尺开平方问
　每一根之数几何
　　　　　法列方积一万五千一百二十九尺自

　　　　　末位起算每方积二位定方根一位故
　　　　　隔一位作记乃于九尺上定单位一百
　　　　　尺上定十位一万尺上定百位其一万
　　　　　尺为初商积与一百自乘之数相合即
　　　　　定初商为一百尺书于方积一万尺之
　　　　　上而以初商一百尺自乘之一万尺书
　　　　　于初商积之下相减恰尽爰以方根第
　　　　　二位积五千一百尺续书于后为次商
　　　　　廉隅之共积而以初商之一百尺倍之

　　　　　得二百尺为次商廉法以除次商积足

　　　　　二十倍即定次商为二十尺书于方积
　　　　　一百尺之上合初商共一百二十尺自
　　　　　乘得一万四千四百尺与原积相减馀
　　　　　七百尺爰以方根第三位积二十九尺
　　　　　续书于后共七百二十九尺为三商廉
　　　　　隅之共积而以初商次商之一百二十
　　　　　尺倍之得二百四十尺为三商廉法以
　　　　　除三商积足三倍即定三商为三尺书

　　　　　于方积九尺之上合初商次商共一百
　　　　　二十三尺自乘得一万五千一百二十
　　　　　九尺与原积相减恰尽是开得一百二
　　　　　十三尺为平方每一根之数也此法止
　　　　　用廉法除馀积得次商即并初商数自
　　　　　乘得数复与原积相减与常法不同然
　　　　　自三乘方以至多乘方则廉法条例甚
　　　　　繁难于布算用此法甚为省便在平方
　　　　　立方不觉其省(平方止省小隅一层立/方止省长廉小隅二层)

　　　　　而在多乘方所省实多盖各设一例以

　　　　　备体也
　　立方
设如有立方积四千一百零六万三千六百二十五
　尺开立方问每一根之数几何
　　　　　法列方积四千一百零六万三千六百
　　　　　二十五尺自末位起算每方积三位定
　　　　　方根一位故隔二位作记乃于五尺上
　　　　　定单位三千尺上定十位一百万尺上

　　　　　定百位其四千一百万尺为初商积与
　　　　　三百自乘再乘之数相准即定初商为
　　　　　三百尺书于方积一百万尺之上而以
　　　　　三百尺自乘再乘之二千七百万尺书
　　　　　于初商积之下相减馀一千四百万尺
　　　　　爰以方根第二位馀积六万三千尺续
　　　　　书于后共一千四百零六万三千尺为
　　　　　次商廉隅之共积而以初商之三百尺
　　　　　自乘得九万尺三因之得二十七万尺

　　　　　为次商廉法以除次商积足四十倍即

　　　　　定次商为四十尺书于方积三千尺之
　　　　　上合初商共三百四十尺自乘再乘得
　　　　　三千九百三十万四千尺与原积相减
　　　　　馀一百七十五万九千尺爰以方边第
　　　　　三位馀积六百二十五尺续书于后共
　　　　　一百七十五万九千六百二十五尺为
　　　　　三商廉隅之共积而以初商次商之三
　　　　　百四十尺自乘得一十一万五千六百

　　　　　尺三因之得三十四万六千八百尺为
　　　　　三商廉法以除三商积足五倍即定三
　　　　　商为五尺书于方积五尺之上合初商
　　　　　次商共三百四十五尺自乘再乘得四
　　　　　千一百零六万三千六百二十五尺与
　　　　　原积相减恰尽是开得三百四十五尺
　　　　　为立方每一根之数也
　　　　　又用表开法列积四千一百零六万三
　　　　　千六百二十五尺自末位起算隔二位

　　　　　作记定位同前乃截方根第二位以前

　　　　　积四一○六三为初商次商之积于表
　　　　　中取比此数相近略小之数为三九三
　　　　　○四(即初商次商自/乘再乘之数)其所对初商根为
　　　　　三次商根为四即将三四书于初商次
　　　　　商之位而以三九三○四书于初商次
　　　　　商积之下相减馀一七五九乃以三九
　　　　　三○四格内三商廉法三四六除馀积
　　　　　一七五九足五倍即定三商为五书于

　　　　　三商之位合初商次商共三百四十五
　　　　　自乘再乘得四千一百零六万三千六
　　　　　百二十五尺与原积相减恰尽即定立
　　　　　方根为三百四十五尺也
　　三乘方
设如有三乘方积一千零三十三亿五千五百一十
　七万七千一百二十一尺开三乘方问每一根之
　数几何
　　　　　法列方积一千零三十三亿五千五百

　　　　　一十七万七千一百二十一尺自末位

　　　　　起算每方积四位定方根一位故隔三
　　　　　位作记乃于一尺上定单位七万尺上
　　　　　定十位三亿尺上定百位其一千零三
　　　　　十三亿尺为初商积与五百乘三次之
　　　　　数相准即定初商为五百尺书于方积
　　　　　三亿尺之上而以五百尺乘三次之六
　　　　　百二十五亿尺书于初商积之下相减
　　　　　馀四百零八亿尺爰以方根第二位积

　　　　　五千五百一十七万尺续书于后共四
　　　　　百零八亿五千五百一十七万尺为次
　　　　　商廉隅之共积而以初商之五百尺乘
　　　　　二次得一亿二千五百万尺四因之得
　　　　　五亿尺为次商廉法以除次商积足八
　　　　　十倍因定次商为八十尺合初商共五
　　　　　百八十尺乘三次得一千一百三十一
　　　　　亿六千四百九十六万尺大于原积是
　　　　　次商不可商八也乃改商七为七十尺

　　　　　合初商共五百七十尺乘三次得一千

　　　　　零五十五亿六千零一万尺仍大于原
　　　　　积是次商不可商七也又改商六为六
　　　　　十尺合初商共五百六十尺乘三次得
　　　　　九百八十三亿四千四百九十六万尺
　　　　　小于原积可减也乃定次商为六十尺
　　　　　书于方积七万尺之上而以五百六十
　　　　　尺乘三次之九百八十三亿四千四百
　　　　　九十六尺与原积相减馀五十亿一千

　　　　　零二十一万尺爰以方根第三位积七
　　　　　千一百二十一尺续书于后共五十亿
　　　　　一千零二十一万七千一百二十一尺
　　　　　为三商廉隅之共积而以初商次商之
　　　　　五百六十尺乘二次得一亿七千五百
　　　　　六十一万六千尺四因之得七亿零二
　　　　　百四十六万四千尺为三商廉法以除
　　　　　三商积足七倍即定三商为七尺书于
　　　　　方积一尺之上合初商次商共五百六

　　　　　十七尺乘三次得一千零三十三亿五

　　　　　千五百一十七万七千一百二十一尺
　　　　　与原积相减恰尽是开得五百六十七
　　　　　尺为三乘方每一根之数也盖三乘方
　　　　　之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四
　　　　　长廉一小隅既得初商乃以初商自乘
　　　　　再乘四因之得四自乘再乘廉为法除
　　　　　馀积得次商以初商自乘与次商相乘
　　　　　六因之为六自乘廉以次商自乘与初

　　　　　商相乘四因之为四长廉以次商自乘
　　　　　再乘为一小隅合四自乘再乘廉六自
　　　　　乘廉四长廉一小隅以次商乘之为次
　　　　　商廉隅之共积今此法得次商之后合
　　　　　初商乘三次即得应减之积也
　　　　　又法用开平方法两次开之初以原积
　　　　　一千零三十三亿五千五百一十七万
　　　　　七千一百二十一尺开平方得三十二
　　　　　万一千四百八十九尺次以三十二万

　　　　　一千四百八十九尺复开平方得五百

　　　　　六十七尺即三乘方每一根之数也
　　　　　又用表开法列积一千零三十三亿五
　　　　　千五百一十七万七千一百二十一尺
　　　　　自末位起算隔三位作记定位同前乃
　　　　　截方根第二位以前积一○三三五五
　　　　　一七为初商次商之积于表中取比此
　　　　　数相近略小之数为九八三四四九六
　　　　　(即初商次商/乘三次之数)其所对初商根为五次商

　　　　　根为六即将五六书于初商次商之位
　　　　　而以九八三四四九六书于初商次商
　　　　　积之下相减馀五○一○二一乃以九
　　　　　八三四四九六格内三商廉法七○二
　　　　　四六除馀积五○一○二一足七倍即
　　　　　定三商为七书于三商之位合初商次
　　　　　商共五百六十七乘三次得一千零三
　　　　　十三亿五千五百一十七万七千一百
　　　　　二十一尺与原积相减恰尽即定三乘

　　　　　方根为五百六十七尺也

　　四乘方
设如有四乘方积二百六十二兆零三十五亿四千
　九百九十七万八千一百二十五尺开四乘方问
　每一根之数几何
　　　　　法列方积二百六十二兆零三十五亿
　　　　　四千九百九十七万八千一百二十五
　　　　　尺自末位起算每方积五位定方根一
　　　　　位故隔四位作记乃于五尺上定单位

　　　　　九十万尺上定十位空百亿尺上定百
　　　　　位其二百六十二兆尺为初商积与七
　　　　　百乘四次之数相准即定初商为七百
　　　　　尺书于方积空百亿尺之上而以七百
　　　　　尺乘四次之一百六十八兆零七百亿
　　　　　尺书于初商积之下相减馀九十三兆
　　　　　九千三百亿尺爰以方根第二位馀积
　　　　　三十五亿四千九百九十万尺续书于
　　　　　后共九十三兆九千三百三十五亿四

　　　　　千九百九十万尺为次商廉隅之共积

　　　　　而以初商之七百尺乘三次得二千四
　　　　　百零一亿尺五因之得一兆二千零五
　　　　　亿尺为次商廉法以除次商积足七十
　　　　　倍因定次商为七十尺合初商共七百
　　　　　七十尺乘四次得二百七十兆六千七
　　　　　百八十四亿一千五百七十万尺大于
　　　　　原积是次商不可商七也乃改商六为
　　　　　六十尺合初商共七百六十尺乘四次

　　　　　得二百五十三兆五千五百二十五亿
　　　　　三千七百六十万尺小于原积可减也
　　　　　乃定次商为六十尺书于方积九十万
　　　　　尺之上而以七百六十尺乘四次之二
　　　　　百五十三兆五千五百二十五亿三千
　　　　　七百六十万尺与原积相减馀八兆四
　　　　　千五百一十亿一千二百三十万尺爰
　　　　　以方根第三位馀积七万八千一百二
　　　　　十五尺续书于后共八兆四千五百一

　　　　　十亿一千二百三十七万八千一百二

　　　　　十五尺为三商廉隅之共积而以初商
　　　　　次商之七百六十尺乘三次得三千三
　　　　　百三十六亿二千一百七十六万尺五
　　　　　因之得一兆六千六百八十一亿零八
　　　　　百八十万尺为三商廉法以除三商积
　　　　　足五倍即定三商为五尺书于方积五
　　　　　尺之上合初商次商共七百六十五尺
　　　　　乘四次得二百六十二兆零三十五亿

　　　　　四千九百九十七万八千一百二十五
　　　　　尺与原积相减恰尽是开得七百六十
　　　　　五尺为四乘方每一根之数也盖四乘
　　　　　方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉
　　　　　十自乘廉五长廉一小隅既得初商乃
　　　　　以初商乘三次五因之得五三乘廉为
　　　　　法除馀积得次商以初商自乘再乘与
　　　　　次商相乘十因之为十自乘再乘廉以
　　　　　初商自乘次商自乘两数相乘十因之

　　　　　为十自乘廉以次商自乘再乘与初商

　　　　　相乘五因之为五长廉以次商数乘三
　　　　　次为一小隅合五三乘廉十自乘再乘
　　　　　廉十自乘廉五长廉一小隅以次商乘
　　　　　之为次商廉隅之共积今此法得次商
　　　　　之后合初商乘四次即得应减之积也
　　　　　又用表开法列积二百六十二兆零三
　　　　　十五亿四千九百九十七万八千一百
　　　　　二十五尺自末位起算隔四位作记定

　　　　　位同前乃截方根第二位以前积二六
　　　　　二○○三五四九九为初商次商之积
　　　　　于表中取比此数相近略小之数为二
　　　　　五三五五二五三七六(即初商次商/乘四次之数)其
　　　　　所对初商根为七次商根为六即将七
　　　　　六书于初商次商之位而以二五三五
　　　　　五二五三七六书于初商次商积之下
　　　　　相减馀八四五一○一二三乃以二五
　　　　　三五五二五三七六格内三商廉法一

　　　　　六六八一○八八除馀积八四五一○

　　　　　一二三足五倍即定三商为五书于三
　　　　　商之位合初商次商共七百六十五乘
　　　　　四次得二百六十二兆零三十五亿四
　　　　　千九百九十七万八千一百二十五尺
　　　　　与原积相减恰尽即定四乘方根为七
　　　　　百六十五尺也
　　五乘方
设如有五乘方积八十五京九千零六十八兆三千

　零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺
　开五乘方问每一根之数几何
　　　　　法列方积八十五京九千零六十八兆
　　　　　三千零一十亿二千五百三十九万零
　　　　　六百二十五尺自末位起算每方积六
　　　　　位定方根一位故隔五位作记乃于五
　　　　　尺上定单位五百万尺上定十位八兆
　　　　　尺上定百位其八十五京九千零六十
　　　　　八兆尺为初商积与九百乘五次之数

　　　　　相准即定初商为九百尺书于方积八

　　　　　兆尺之上而以九百尺乘五次之五十
　　　　　三京一千四百四十一尺书于初商积
　　　　　之下相减馀三十二京七千六百二十
　　　　　七兆尺爰以方根第二位积三千零一
　　　　　十亿二千五百万尺续书于后共三十
　　　　　二京七千六百二十七兆三千零一十
　　　　　亿二千五百万尺为次商廉隅之共积
　　　　　而以初商之九百尺乘四次得五百九

　　　　　十兆四千九百亿尺六因之得三千五
　　　　　百四十二兆九千四百亿尺为次商廉
　　　　　法以除次商积足八十倍因定次商为
　　　　　八十尺按法相乘大于原积乃改商七
　　　　　十尺书于方积五百万尺之上合初商
　　　　　共九百七十尺乘五次得八十三京二
　　　　　千九百七十二兆零四十九亿二千九
　　　　　百万尺与原积相减馀二京六千零九
　　　　　十六兆二千九百六十亿九千六百万

　　　　　尺爰以方根第三位积三十九万零六

　　　　　百二十五尺续书于后共二京六千零
　　　　　九十六兆二千九百六十亿九千六百
　　　　　三十九万零六百二十五尺为三商廉
　　　　　隅之共积而以初商次商之九百七十
　　　　　尺乘四次得八百五十八兆七千三百
　　　　　四十亿二千五百七十万尺六因之得
　　　　　五千一百五十二兆四千零四十一亿
　　　　　五千四百二十万尺为三商廉法以除

　　　　　三商积足五倍即定三商为五尺书于
　　　　　方积五尺之上合初商次商共九百七
　　　　　十五尺乘五次得八十五京九千零六
　　　　　十八兆三千零一十亿二千五百三十
　　　　　九万零六百二十五尺与原积相减恰
　　　　　尽是开得九百七十五尺为五乘方每
　　　　　一根之数也盖五乘方之本法有六四
　　　　　乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十
　　　　　五自乘廉六长廉一小隅既得初商乃

　　　　　以初商乘四次六因之得六四乘廉为

　　　　　法除馀积得次商以初商乘三次与次
　　　　　商相乘十五乘之为十五三乘廉以初
　　　　　商自乘再乘次商自乘两数相乘二十
　　　　　乘之为二十自乘再乘廉以初商自乘
　　　　　次商自乘再乘两数相乘十五乘之为
　　　　　十五自乘廉以次商乘三次与初商相
　　　　　乘六因之为六长廉以次商乘四次为
　　　　　一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十

　　　　　自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小
　　　　　隅以次商乘之为次商廉隅之共积今
　　　　　此法得次商之后合初商乘五次即得
　　　　　应减之积也
　　　　　又法用开平方开立方法开之初以原
　　　　　积八十五京九千零六十八兆三千零
　　　　　一十亿二千五百三十九万零六百二
　　　　　十五尺开平方得九亿二千六百八十
　　　　　五万九千三百七十五尺又以九亿二

　　　　　千六百八十五万九千三百七十五尺

　　　　　开立方得九百七十五尺即五乘方每
　　　　　一根之数也
　　　　　又用表开法列积八十五京九千零六
　　　　　十八兆三千零一十亿二千五百三十
　　　　　九万零六百二十五尺自末位起算隔
　　　　　五位作记定位同前乃截方根第二位
　　　　　以前积八五九○六八三○一○二五
　　　　　为初商次商之积于表中取比此数相

　　　　　近略小之数为八三二九七二○○四
　　　　　九二九(即初商次商/乘五次之数)其所对初商根为
　　　　　九次商根为七即将九七书于初商次
　　　　　商之位而以八三二九七二○○四九
　　　　　二九书于初商次商积之下相减馀二
　　　　　六○九六二九六○九六乃以八三二
　　　　　九七二○○四九二九格内三商廉法
　　　　　五一五二四○四一五四除馀积二六
　　　　　○九六二九六○九六足五倍即定三

　　　　　商为五书于三商之位合初商次商共

　　　　　九百七十五乘五次得八十五京九千
　　　　　零六十八兆三千零一十亿二千五百
　　　　　三十九万零六百二十五尺与原积相
　　　　　减恰尽即定五乘方根为九百七十五
　　　　　尺也
　　六乘方
设如有六乘方积三垓二千五百八十九京四千五
　百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十

　万零九百二十八尺开六乘方问每一根之数几
　何
　　　　　法列方积三垓二千五百八十九京四
　　　　　千五百九十九兆二千五百二十三亿
　　　　　九千五百九十万零九百二十八尺自
　　　　　末位起算每方积七位定方根一位故
　　　　　隔六位作记乃于八尺上定单位九千
　　　　　万尺上定十位五百兆尺上定百位其
　　　　　三垓二千五百八十九京四千五百兆

　　　　　尺为初商积与八百乘六次之数相准

　　　　　即定初商为八百尺书于方积五百兆
　　　　　尺之上而以八百尺乘六次之二垓零
　　　　　九百七十一京五千二百兆尺书于初
　　　　　商积之下相减馀一垓一千六百一十
　　　　　七京九千三百兆尺爰以方根第二位
　　　　　积九十九兆二千五百二十三亿九千
　　　　　万尺续书于后共一垓一千六百一十
　　　　　七京九千三百九十九兆二千五百二

　　　　　十三亿九千万尺为次商廉隅之共积
　　　　　而以初商之八百尺乘五次得二十六
　　　　　京二千一百四十四兆尺七因之得一
　　　　　百八十三京五千零八兆尺为次商廉
　　　　　法以除次商积足六十倍因定次商为
　　　　　六十尺按法相乘大于原积乃改商五
　　　　　十尺书于方积九千万尺之上合初商
　　　　　共八百五十尺乘六次得三垓二千零
　　　　　五十七京七千零八十八兆二千八百

　　　　　一十二亿五千万尺与原积相减馀五

　　　　　百三十一京七千五百一十兆九千七
　　　　　百一十一亿四千万尺爰以方根第三
　　　　　位积五百九十万零九百二十八尺续
　　　　　书于后共五百三十一京七千五百一
　　　　　十兆九千七百一十一亿四千五百九
　　　　　十万零九百二十八尺为三商廉隅之
　　　　　共积而以初商次商之八百五十尺乘
　　　　　五次得三十七京七千一百四十九兆

　　　　　五千一百五十六亿二千五百万尺七
　　　　　因之得二百六十四京零四十六兆六
　　　　　千零九十三亿七千五百万尺为三商
　　　　　廉法以除三商积足二倍即定三商为
　　　　　二尺书于方积八尺之上合初商次商
　　　　　共八百五十二尺乘六次得三垓二千
　　　　　五百八十九京四千五百九十九兆二
　　　　　千五百二十三亿九千五百九十万零
　　　　　九百二十八尺与原积相减恰尽是开

　　　　　得八百五十二尺为六乘方每一根之

　　　　　数也盖六乘方之本法有七五乘廉二
　　　　　十一四乘廉三十五三乘廉三十五自
　　　　　乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小
　　　　　隅既得初商即以初商乘五次七因之
　　　　　得七五乘廉为法除馀积得次商以初
　　　　　商乘四次与次商相乘二十一乘之为
　　　　　二十一四乘廉以初商乘三次次商自
　　　　　乘两数相乘三十五乘之为三十五三

　　　　　乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘
　　　　　两数相乘三十五乘之为三十五自乘
　　　　　再乘廉以初商自乘次商乘三次两数
　　　　　相乘二十一乘之为二十一自乘廉以
　　　　　次商乘四次与初商相乘七因之为七
　　　　　长廉以次商乘五次为一小隅合七五
　　　　　乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三
　　　　　十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长
　　　　　廉一小隅以次商乘之为次商廉隅之

　　　　　共积今得次商之后合初商乘六次即

　　　　　得应减之积也
　　　　　又用表开法列积三垓二千五百八十
　　　　　九京四千五百九十九兆二千五百二
　　　　　十三亿九千五百九十万零九百二十
　　　　　八尺自末位起算隔六位作记定位同
　　　　　前乃截方根第二位以前积三二五八
　　　　　九四五九九二五二三九为初商次商
　　　　　之积于表中取比此数相近略小之数

　　　　　为三二○五七七○八八二八一二五
　　　　　(即初商次商/乘六次之数)其所对初商根为八次商
　　　　　根为五即将八五书于初商次商之位
　　　　　而以三二○五七七○八八二八一二
　　　　　五书于初商次商积之下相减馀五三
　　　　　一七五一○九七一一四乃以三二○
　　　　　五七七○八八二八一二五格内三商
　　　　　廉法二六四○○四六六○九三七除
　　　　　馀积五三一七五一○九七一一四足

　　　　　二倍即定三商为二书于三商之位合

　　　　　初商次商共八百五十二尺乘六次得
　　　　　三垓二千五百八十九京四千五百九
　　　　　十九兆二千五百二十三亿九千五百
　　　　　九十万零九百二十八尺与原积相减
　　　　　恰尽即定六乘方根为八百五十二尺
　　　　　也
　　七乘方
设如有七乘方积六百三十八垓五千一百三十二

　京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零
　一十九万三千一百二十一尺开七乘方问每一
　根之数几何
　　　　　法列方积六百三十八垓五千一百三
　　　　　十二京零二百三十三兆九千三百八
　　　　　十三亿九千零一十九万三千一百二
　　　　　十一尺自末位起算每方积八位定方
　　　　　根一位故隔七位作记乃于一尺上定
　　　　　单位三亿尺上定十位二京尺上定百

　　　　　位其六百三十八垓五千一百三十二

　　　　　京尺为初商积与七百乘七次之数相
　　　　　准即定初商为七百尺书于方积二京
　　　　　尺之上而以七百尺乘七次之五百七
　　　　　十六垓四千八百零一京尺书于初商
　　　　　积之下相减馀六十二垓零三百三十
　　　　　一京尺爰以方根第二位积二百三十
　　　　　三兆九千三百八十三亿尺续书于后
　　　　　共六十二垓零三百三十一京零二百

　　　　　三十三兆九千三百八十三亿尺为次
　　　　　商廉隅之共积而以初商之七百尺乘
　　　　　六次得八千二百三十五京四千三百
　　　　　兆尺八因之得六垓五千八百八十三
　　　　　京四千四百兆尺为次商廉法以除次
　　　　　商积足九倍止可商九尺是次商为空
　　　　　位也乃书一空于方积三亿尺之上而
　　　　　以九尺书于方积一尺之上合初商次
　　　　　商共七百零九尺乘七次得六百三十

　　　　　八垓五千一百三十二京零二百三十

　　　　　三兆九千三百八十三亿九千零一十
　　　　　九万三千一百二十一尺与原积相减
　　　　　恰尽是开得七百零九尺为七乘方每
　　　　　一根之数也盖七乘方之本法有八六
　　　　　乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七
　　　　　十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八
　　　　　自乘廉八长廉一小隅既得初商乃以
　　　　　初商乘六次八因之得八六乘廉为法

　　　　　除馀积得次商以初商乘五次与次商
　　　　　相乘二十八乘之为二十八五乘廉以
　　　　　初商乘四次次商自乘两数相乘五十
　　　　　六乘之为五十六四乘廉以初商乘三
　　　　　次次商自乘再乘两数相乘七十乘之
　　　　　为七十三乘廉以初商自乘再乘次商
　　　　　乘三次两数相乘五十六乘之为五十
　　　　　六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四
　　　　　次两数相乘二十八乘之为二十八自

　　　　　乘廉以次商乘五次与初商相乘八因

　　　　　之为八长廉以次商乘六次为一小隅
　　　　　合八六乘廉二十八五乘廉五十六四
　　　　　乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉
　　　　　二十八自乘廉八长廉一小隅以次商
　　　　　乘之为次商廉隅之共积今此法得次
　　　　　商之后合初商乘七次即得应减之积
　　　　　也
　　　　　又法用开平方法三次开之初以原积

　　　　　六百三十八垓五千一百三十二京零
　　　　　二百三十三兆九千三百八十三亿九
　　　　　千零一十九万三千一百二十一尺开
　　　　　平方得二千五百二十六亿八千八百
　　　　　一十八万七千七百六十一尺次以二
　　　　　千五百二十六亿八千八百一十八万
　　　　　七千七百六十一尺复开平方得五十
　　　　　万二千六百八十一尺又以五十万二
　　　　　千六百八十一尺复开平方得七百零

　　　　　九尺即七乘方每一根之数也

　　　　　又用表开法列积六百三十八垓五千
　　　　　一百三十二京零二百三十三兆九千
　　　　　三百八十三亿九千零一十九万三千
　　　　　一百二十一尺自末位起算隔七位作
　　　　　记定位同前乃截方根第二位以前积
　　　　　六三八五一三二○二三三九三八三
　　　　　为初商次商之积于表中取比此数相
　　　　　近略小之数为五七六四八○一○○

　　　　　○○○○○○(即初商次商/乘七次之数)其所对初
　　　　　商根为七次商根为○即将七○书于
　　　　　初商次商之位而以五七六四八○一
　　　　　○○○○○○○○书于初商次商积
　　　　　之下相减馀六二○三三一○二三三
　　　　　九三八三乃以五七六四八○一○○
　　　　　○○○○○○格内三商廉法六五八
　　　　　八三四四○○○○○○除馀积六二
　　　　　○三三一○二三三九三八三足九倍

　　　　　即定三商为九书于三商之位合初商

　　　　　次商共七百零九尺乘七次得六百三
　　　　　十八垓五千一百三十二京零二百三
　　　　　十三兆九千三百八十三亿九千零一
　　　　　十九万三千一百二十一尺与原积相
　　　　　减恰尽即定七乘方根为七百零九尺
　　　　　也
　　八乘方
设如有八乘方积四千二百四十四垓三千五百八

　十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿
　五千二百八十二万七千三百九十二尺开八乘
　方问每一根之数几何
　　　　　法列方积四千二百四十四垓三千五
　　　　　百八十四京九千一百八十五兆四千
　　　　　四百四十九亿五千二百八十二万七
　　　　　千三百九十二尺自末位起算每方积
　　　　　九位定方根一位故隔八位作记乃于
　　　　　二尺上定单位四十亿尺上定十位五

　　　　　百京尺上定百位其四千二百四十四

　　　　　垓三千五百京尺为初商积与四百乘
　　　　　八次之数相准即定初商为四百尺书
　　　　　于方积五百京尺之上而以四百尺乘
　　　　　八次之二千六百二十一垓四千四百
　　　　　京尺书于初商积之下相减馀一千六
　　　　　百二十二垓九千一百京尺爰以方根
　　　　　第二位积八十四京九千一百八十五
　　　　　兆四千四百四十亿尺续书于后共一

　　　　　千六百二十二垓九千一百八十四京
　　　　　九千一百八十五兆四千四百四十亿
　　　　　尺为次商廉隅之共积而以初商之四
　　　　　百尺乘七次得六垓五千五百三十六
　　　　　京尺九因之得五十八垓九千八百二
　　　　　十四京尺为次商廉法以除次商积足
　　　　　二十倍即定次商为二十尺书于方积
　　　　　四十亿尺之上合初商共四百二十尺
　　　　　乘八次得四千零六十六垓七千一百

　　　　　三十八京三千八百四十九兆四千七

　　　　　百二十亿尺与原积相减馀一百七十
　　　　　七垓六千四百四十六京五千三百三
　　　　　十五兆九千七百二十亿尺爰以方根
　　　　　第三位积九亿五千二百八十二万七
　　　　　千二百九十二尺续书于后共一百七
　　　　　十七垓六千四百四十六京五千三百
　　　　　三十五兆九千七百二十九亿五千二
　　　　　百八十二万七千三百九十二尺为三

　　　　　商廉隅之共积而以初商次商之四百
　　　　　二十尺乘七次得九垓六千八百二十
　　　　　六京五千一百九十九兆六千四百一
　　　　　十六亿尺九因之得八十七垓一千四
　　　　　百三十八京六千七百九十六兆七千
　　　　　七百四十四亿尺为三商廉法以除三
　　　　　商积足二倍即定三商为二尺书于方
　　　　　积二尺之上合初商次商共四百二十
　　　　　二尺乘八次得四千二百四十四垓三

　　　　　千五百八十四京九千一百八十五兆

　　　　　四千四百四十九亿五千二百八十二
　　　　　万七千三百九十二尺与原积相减恰
　　　　　尽是开得四百二十二尺为八乘方每
　　　　　一根之数也盖八乘方之本法有九七
　　　　　乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一
　　　　　百二十六四乘廉一百二十六三乘廉
　　　　　八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九
　　　　　长廉一小隅既得初商乃以初商乘七

　　　　　次九因之得九七乘廉为法除馀积得
　　　　　次商以初商乘六次与次商相乘三十
　　　　　六乘之为三十六六乘廉以初商乘五
　　　　　次次商自乘两数相乘八十四乘之为
　　　　　八十四五乘廉以初商乘四次次商自
　　　　　乘再乘两数相乘一百二十六乘之为
　　　　　一百二十六四乘廉以初商乘三次次
　　　　　商乘三次两数相乘一百二十六乘之
　　　　　为一百二十六三乘廉以初商自乘再

　　　　　乘次商乘四次两数相乘八十四乘之

　　　　　为八十四自乘再乘廉以初商自乘次
　　　　　商乘五次两数相乘三十六乘之为三
　　　　　十六自乘廉以次商乘六次与初商相
　　　　　乘九因之为九长廉以次商乘七次为
　　　　　一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八
　　　　　十四五乘廉一百二十六四乘廉一百
　　　　　二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三
　　　　　十六自乘廉九长廉一小隅以次商乘

　　　　　之为次商廉隅之共积今此法得次商
　　　　　之后合初商乘八次即得应减之积也
　　　　　又法用开立方法两次开之初以原积
　　　　　四千二百四十四垓三千五百八十四
　　　　　京九千一百八十五兆四千四百四十
　　　　　九亿五千二百八十二万七千三百九
　　　　　十二尺开立方得七千五百一十五万
　　　　　一千四百四十八尺次以七千五百一
　　　　　十五万一千四百四十八尺复开立方

　　　　　得四百二十二尺即八乘方每一根之

　　　　　数也
　　　　　又用表开法列积四千二百四十四垓
　　　　　三千五百八十四京九千一百八十五
　　　　　兆四千四百四十九亿五千二百八十
　　　　　二万七千三百九十二尺自末位起算
　　　　　隔八位作记定位同前乃截方根第二
　　　　　位以前积四二四四三五八四九一八
　　　　　五四四四为初商次商之积于表中取

　　　　　比此数相近略小之数为四○六六七
　　　　　一三八三八四九四七二(即初商次商/乘八次之数)
　　　　　其所对初商根为四次商根为二即将
　　　　　四二书于初商次商之位而以四○六
　　　　　六七一三八三八四九四七二书于初
　　　　　商次商积之下相减馀一七七六四四
　　　　　六五三三五九七二乃以四○六六七
　　　　　一三八三八四九四七二格内三商廉
　　　　　法八七一四三八六七九六七七四除

　　　　　馀积一七七六四四六五三三五九七

　　　　　二足二倍即定三商为二书于三商之
　　　　　位合初商次商共四百二十二尺乘八
　　　　　次得四千二百四十四垓三千五百八
　　　　　十四京九千一百八十五兆四千四百
　　　　　四十九亿五千二百八十二万七千三
　　　　　百九十二尺与原积相减恰尽即定八
　　　　　乘方根为四百二十二尺也
　　九乘方

设如有九乘方积八穰七千四百零六垓九千四百
　四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四
　千七百二十二万零二百二十四尺开九乘方问
　每一根之数几何
　　　　　法列方积八穰七千四百零六垓九千
　　　　　四百四十七京八千零一十四兆三千
　　　　　二百九十亿四千七百二十二万零二
　　　　　百二十四尺自末位起算每方积十位
　　　　　定方根一位故隔九位作记乃于四尺

　　　　　上定单位二百亿尺上定十位六垓尺

　　　　　上定百位其八穰七千四百零六垓尺
　　　　　为初商积与三百乘九次之数相准即
　　　　　定初商为三百尺书于方积六垓尺之
　　　　　上而以三百尺乘九次之五穰九千零
　　　　　四十九垓尺书于初商积之下相减馀
　　　　　二穰八千三百五十七垓尺爰以方根
　　　　　第二位积九千四百四十七京八千零
　　　　　一十四兆三千二百亿尺续书于后共

　　　　　二穰八千三百五十七垓九千四百四
　　　　　十七京八千零一十四兆三千二百亿
　　　　　尺为次商廉隅之共积而以初商之三
　　　　　百尺乘八次得一百九十六垓八千三
　　　　　百京尺又以十因之得一千九百六十
　　　　　八垓三千京尺为次商廉法以除次商
　　　　　积足十倍即定次商为一十尺书于方
　　　　　积二百亿尺之上合初商共三百一十
　　　　　尺乘九次得八穰一千九百六十二垓

　　　　　八千二百八十六京九千八百零八兆

　　　　　零一百亿尺与原积相减馀五千四百
　　　　　四十四垓一千一百六十京八千二百
　　　　　零六兆三千一百亿尺爰以方根第三
　　　　　位积九十亿四千七百二十二万零二
　　　　　百二十四尺续书于后共五千四百四
　　　　　十四垓一千一百六十京八千二百零
　　　　　六兆三千一百九十亿四千七百二十
　　　　　二万零二百二十四尺为三商廉隅之

　　　　　共积而以初商次商之三百一十尺乘
　　　　　八次得二百六十四垓三千九百六十
　　　　　二京二千一百六十兆六千七百一十
　　　　　亿尺十因之得二千六百四十三垓九
　　　　　千六百二十二京一千六百零六兆七
　　　　　千一百亿尺为三商廉法以除三商积
　　　　　足二倍即定三商为二尺书于方积四
　　　　　尺之上合初商次商共三百一十二尺
　　　　　乘九次得八穰七千四百零六垓九千

　　　　　四百四十七京八千零一十四兆三千

　　　　　二百九十亿四千七百二十二万零二
　　　　　百二十四尺与原积相减恰尽是开得
　　　　　三百一十二尺为九乘方每一根之数
　　　　　也盖九乘方之本法有十八乘廉四十
　　　　　五七乘廉一百二十六乘廉二百一十
　　　　　五乘廉二百五十二四乘廉二百一十
　　　　　三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五
　　　　　自乘廉十长廉一小隅既得初商乃以

　　　　　初商乘八次十因之得十八乘廉为法
　　　　　除馀积得次商以初商乘七次与次商
　　　　　相乘四十五乘之为四十五七乘廉以
　　　　　初商乘六次次商自乘两数相乘一百
　　　　　二十乘之为一百二十六乘廉以初商
　　　　　乘五次次商自乘再乘两数相乘二百
　　　　　一十乘之为二百一十五乘廉以初商
　　　　　乘四次次商乘三次两数相乘二百五
　　　　　十二乘之为二百五十二四乘廉以初

　　　　　商乘三次次商乘四次两数相乘二百

　　　　　一十乘之为二百一十三乘廉以初商
　　　　　自乘再乘次商乘五次两数相乘一百
　　　　　二十乘之为一百二十自乘再乘廉以
　　　　　初商自乘次商乘六次两数相乘四十
　　　　　五乘之为四十五自乘廉以次商乘七
　　　　　次与初商相乘十因之为十长廉以次
　　　　　商乘八次为一小隅合十八乘廉四十
　　　　　五七乘廉一百二十六乘廉二百一十

　　　　　五乘廉二百五十二四乘廉二百一十
　　　　　三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五
　　　　　自乘廉十长廉一小隅以次商乘之为
　　　　　次商廉隅之共积今此法得次商之后
　　　　　合初商乘九次即得应减之积也
　　　　　又法用开平方开四乘方法开之初以
　　　　　原积八穰七千四百零六垓九千四百
　　　　　四十七京八千零一十四兆三千二百
　　　　　九十亿四千七百二十二万零二百二

　　　　　十四尺开平方得二兆九千五百六十

　　　　　四亿六千六百五十五万二千八百三
　　　　　十二尺又以二兆九千五百六十四亿
　　　　　六千六百五十五万二千八百三十二
　　　　　尺开四乘方得三百一十二尺即九乘
　　　　　方每一根之数也
　　　　　又用表开法列积八穰七千四百零六
　　　　　垓九千四百四十七京八千零一十四
　　　　　兆三千二百九十亿四千七百二十二

　　　　　万零二百二十四尺自末位起算隔九
　　　　　位作记定位同前乃截方根第二位以
　　　　　前积八七四○六九四四七八○一四
　　　　　三二为初商次商之积于表中取比此
　　　　　数相近略小之数为八一九六二八二
　　　　　八六九八○八○一(即初商次商/乘九次之数)其所
　　　　　对初商根为三次商根为一即将三一
　　　　　书于初商次商之位而以八一九六二
　　　　　八二八六九八○八○一书于初商次

　　　　　商积之下相减馀五四四四一一六○

　　　　　八二○六三一乃以八一九六二八二
　　　　　八六九八○八○一格内三商廉法二
　　　　　六四三九六二二一六○六七一除馀
　　　　　积五四四四一一六○八二○六三一
　　　　　足二倍即定三商为二书于三商之位
　　　　　合初商次商共三百一十二尺乘九次
　　　　　得八穰七千四百零六垓九千四百四
　　　　　十七京八千零一十四兆三千二百九

　　　　　十亿四千七百二十二万零二百二十
　　　　　四尺与原积相减恰尽即定九乘方根
　　　　　为三百一十二尺也

　　诸乘方表
凡表上横行所列自一至九之数为初商根右直行
所列自○至九之数为次商根其中每格所列细数
二层上层为初商次商积(如立方表第一行第三格/上层一七二八即方根一)
(二自乘再乘/之数馀仿此)下层为三商廉法(如立方表第一行第/三格下层四三即三)
(商廉法乃以初商次商两根一二自乘三因截去末/一位之数盖方根既有三位则初商为百次商为十)
(以一百二十自乘三因得四三二○○为廉法除实/至三商本位止今捷法止用次商馀积求三商不加)
(三商本位之积其初商仍作十用以十二自乘三因/得四三二仍比次商馀积多一位故截去末一位止)

(用四三为廉法除实则法实尾/位均齐定位始无误馀仿此)用表之法具见设如
立方表